中考复习相似三角形基础复习(一)
中考复习专题1：相似三角形中的旋转问题配有辅导训练资料含试题解析与参考答案教师版
中考专题：相似三角形与旋转1. 已知，如图1，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，连DE ，且3AC BCDC EC==，2tan 2B =； （1）如图2，将△CDE 绕C 点旋转，连AD 、BE 交于H ，求证：AD ⊥BE ；（2）如图3，当△CDE 绕C 点旋转过程中，当5CH =时，求2A H ﹣BH 的值；（3）若CD ＝1，当△CDE 绕C 点旋转过程中，直接写出AH 的最大值是 ．2. 在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝α（0°＜α＜180°）．点P 是平面内不与A ，C 重合的任意一点，连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，CP ．点M 是AB 的中点，点N 是AD 的中点．（1）如图1，当α＝60°时，PCMN的值是 ，直线MN 与直线PC 相交所成的较小角的度数是 ．（2）如图2，当α＝120°时，请写出的PCMN 值及直线MN 与直线PC 相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由． （3）如图3，当α＝90°时，若点E 是CB 的中点，点P 在直线ME 上，请直接写出点B ，P ，D 在同一条直线上时MN PD的值．3. 在△ABC 中，∠ABC ＝120°，线段AC 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CD ，连接BD ．（1）如图1，若AB ＝BC ，求证：BD 平分∠ABC ；（2）如图2，若AB ＝2BC ，①求ACBD 的值；②连接AD ，当S △ABC ＝23时，直接写出四边形ABCD 的面积为 ．4. （1）如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AP 、BP 分别平分∠CAB 、∠CBA ，过点P作DE ∥AB 交AC 于点D ，交BC 于点E ．①求证：点P 是线段DE 的中点； ②求证：BP 2＝BE •BA ．（2）如图2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12，BP 平分∠ABC ，过点P 作DE ∥AB 交AC 于点D ，交BC 于点E ，若点P 为线段DE 的中点，求AD 的长度．5.在△ABC中，AB＝AC，点D在底边BC上，∠EDF的两边分别交AB、AC所在直线于E，F两点，∠EDF＝2∠ABC，BD＝nCD．（1）如图1，若∠ABC＝45°，n＝1，求证：DE＝DF；（2）如图2，求DEDF的值（含n的式子表示）：（3）如图3，连接EF，若tan∠B＝1，EF∥BC，且58EFBC=，直接写出n的值为．6.已知：在▱ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，且∠ECF＝∠B＝α（0°＜α＜90°）（1）如图1，若CF⊥AD，求证：CE CB CF CD=；（2）如图2，若α＝60°，∠AEF＝∠ECB，求证：四边形ABCD是菱形；（3）如图3，若α＝45°，AC⊥EF，EH⊥BC于点H，34CEAD=，直接写出AECH的值．中考专题：相似（一）1. 已知，如图1，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，连DE ，且3AC BCDC EC==，2tan 2B =； （1）如图2，将△CDE 绕C 点旋转，连AD 、BE 交于H ，求证：AD ⊥BE ；（2）如图3，当△CDE 绕C 点旋转过程中，当5CH =时，求2A H ﹣BH 的值； （3）若CD ＝1，当△CDE 绕C 点旋转过程中，直接写出AH 的最大值是 ．【解答】（1）证明：如图2中，设BE 交AC 于O ．∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴∠ACD ＝∠ECB ， AC BCDC EC =，∴AC CDBC CE =，∴△ACD ∽△BCE ， ∴∠DAC ＝∠EBC ，∵∠AOH ＝∠BOC ，∴∠AHO ＝∠BCO ＝90°，∴AD ⊥BE ． （2）解：如图2中，在HB 上取一点T ，使得HT ＝AH ，连接AT ．在Rt △AHT 中，2tan AH ATH HT ∠==， 2tan ABC ∠=，∴∠ATH ＝∠ABC ， ∵∠ATH +∠HAT ＝90°，∠ABC +∠CAB ＝90°，∴∠HAT ＝∠CAB ，∴∠CAH ＝∠BAT ，∴△AHT ∽△ACB ，∴AT AH AB AC =，∴AH AC AT AB =，∴△CAH ∽△BAT ，∴CH AHBT AT=，2HT AH =，设AH m =，则2HT m =，3AT m ， ∴53m =15BT ∴ （3）解：如图3中，在Rt △AHB 中，∵AH ＝AB •sin ∠ABH ，∴当∠ABH 最大时，AH 的值最大，此时CE ⊥BE ， ∵∠DCE ＝∠CEH ＝∠EHD ＝90°， ∴此时四边形ECDH 是矩形，∴DH ＝EC ，∠ADC ＝∠CDH ＝90°， 由题意CD ＝1，，2EC 3AC =， 2DH CE ∴==在Rt ACD ∆中，22312AD AC CD =-=-= 2222AH AD DH ∴=+= 的最大值为2. 在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝α（0°＜α＜180°）．点P 是平面内不与A ，C 重合的任意一点，连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，CP ．点M 是AB 的中点，点N 是AD 的中点．（1）如图1，当α＝60°时，PCMN的值是 ，直线MN 与直线PC 相交所成的较小角的度数是 ．（2）如图2，当α＝120°时，请写出的PCMN 值及直线MN 与直线PC 相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由． （3）如图3，当α＝90°时，若点E 是CB 的中点，点P 在直线ME 上，请直接写出点B ，P ，D 在同一条直线上时MN PD的值．【解答】（1）如图1中，连接PC ，BD ，延长BD 交PC 于K ，交AC 于G ． ∵CA ＝CB ，∠ACB ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠CAB ＝∠PAD ＝60°，AC ＝AB ，∴∠PAC ＝∠DAB ，∵AP ＝AD ，∴△PAC ≌△DAB （SAS ），∴PC ＝BD ，∠ACP ＝∠ABD ， ∵AN ＝ND ，AM ＝BM ，∴BD ＝2MN ，∴PCMN＝21．∵∠CGK ＝∠BGA ，∠GCK ＝∠GBA ，∴∠CKG ＝∠BAG ＝60°，∴BK 与PC 的较小的夹角为60°， ∵MN ∥BK ，∴MN 与PC 较小的夹角为60°． （2）如图设MN 交AC 于F ，延长MN 交PC 于E ．∵CA ＝CB ，PA ＝PD ，∠APD ＝∠ACB ＝120°，∴△PAD ∽△CAB ，∴ABADAC AP =，∵AM ＝MB ，AN ＝ND ，∴AMANAC AP =，∴△ACP ∽△AMN ，∴∠ACP ＝∠AMN ，PCMN ＝23=AC AM∵∠CFE ＝∠AFM ，∴∠FEC ＝∠FAM ＝30°． （3）设MN ＝a ，∵PCMN＝22=AC AM ，∴PC ＝2a ，∵ME 是△ABC 的中位线，∠ACB ＝90°，∴ME 是线段BC 的中垂线， ∴PB ＝PC ＝2a ，∵MN 是△ADB 的中位线，∴DB ＝2MN ＝2a ，如图3﹣1中，当点P 在线段BD 上时，PD ＝DB ﹣PB ＝（2﹣2）a ，∴MN PD＝2﹣2．如图3﹣2中，PD ＝DB +PB ＝（2+2）a ，∴MN PD＝2+2．3. 在△ABC 中，∠ABC ＝120°，线段AC 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CD ，连接BD ．（1）如图1，若AB ＝BC ，求证：BD 平分∠ABC ；（2）如图2，若AB ＝2BC ，①求ACBD 的值；②连接AD ，当S △ABC ＝23时，直接写出四边形ABCD 的面积为 ．【解答】（1）证明：连接AD ，由题意知，∠ACD ＝60°，CA ＝CD ，∴△ACD 是等边三角形，∴CD ＝AD ，又∵AB ＝CB ，BD ＝BD ，∴△ABD ≌△CBD （SSS ），∴∠CBD ＝∠ABD ，∴BD 平分∠ABC ； （2）解：①连接AD ，作等边三角形ACD 的外接圆⊙O ， ∵∠ADC ＝60°，∠ABC ＝120°，∴∠ADC +∠ABC ＝180°，∴点B 在⊙O 上，∵AD ＝CD ，∴⁔AB =⁔CD ，∴∠CBD ＝∠CAD ＝60°， 在BD 上截取BM ，使BM ＝BC ，则△BCM 为等边三角形，∴∠CMB ＝60°，∴∠CMD ＝120°＝∠CBA ，又∵CB ＝CM ，∠BAC ＝∠BDC ，∴△CBA ≌△CMD （AAS ），∴MD ＝AB ，设BC ＝BM ＝1，则AB ＝MD ＝2，∴BD ＝3，过点C 作CN ⊥BD 于N ， 在Rt △BCN 中，∠CBN ＝60°，∴∠BCN ＝30°， ∴BN ＝21BC ＝21，CN ＝23BC ＝23，∴ND ＝BD ﹣BN ＝25， 在Rt △CND 中，CD ＝722=+DN CD ，∴AC ＝7，∴773=ACBD ;②如图3，分别过点B ，D 作AC 的垂线，垂足分别为H ，Q ， 设CB ＝1，AB ＝2，CH ＝x ，则由①知，AC ＝7，AH ＝7﹣x ， 在Rt △BCH 与Rt △BAH 中，BC 2﹣CH 2＝AB 2﹣AH 2，即1﹣x 2＝22﹣（7﹣x ）2，解得，x ＝772，∴BH ＝721,在Rt △ADQ 中，DQ ＝23AD ＝23×7＝221，∴72=DQ BH∵AC 为△ABC 与△ACD 的公共底，∴72==∆∆DQ BH S SACDABC ，∵S △ABC ＝23，∴S △ACD ＝437，∴S 四边形ABCD ＝23+437＝439，4. （1）如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AP 、BP 分别平分∠CAB 、∠CBA ，过点P 作DE ∥AB 交AC 于点D ，交BC 于点E ．①求证：点P 是线段DE 的中点； ②求证：BP 2＝BE •BA ．（2）如图2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12，BP 平分∠ABC ，过点P 作DE ∥AB 交AC 于点D ，交BC 于点E ，若点P 为线段DE 的中点，求AD 的长度．【解答】（1）①证明：∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠CBP ，∵DE ∥AB ，∴∠ABP ＝∠EPB ，∴∠CBP ＝∠EPB ，∴BE ＝PE ， 同理可证：DP ＝DA ，∵DE ∥AB ，∴CE CDCB CA=， ∵CA ＝CB ，∴CE ＝CD ，∴BE ＝AD ，∴PE ＝PD ，∴点P 是DE 的中点． ②证明：由①得∠ABP ＝∠EBP ＝∠EPB ＝21∠CBA ， ∵AP 平分∠CAB ，∴∠P AB ＝21∠CAB ， ∵CA ＝CB ，∴∠CBA ＝∠CAB ，∴∠ABP ＝∠EBP ＝∠EPB ＝∠P AB ，∴△ABP ∽△PBE ，∴BP BEBA BP=，∴BP 2＝BA •BE ． （2）过点P 作FG ∥AC 交BC 于F ，交AB 于G ．在Rt △ACB 中，222213125AC AB BC =-=-=，∵FG ∥AC ，∴∠PFE ＝∠C ＝90°，∵PD ∥AG ，∴四边形AGPD 是平行四边形，∴PG ＝AD ， ∵PE ＝PD ，PF ∥CD ，∴EF ＝FC ，∴PF ＝21CD ，由（1）可知BE ＝EP ，设AD ＝PG ＝x ，则CD ＝5﹣x ，PF ＝21（5﹣x ），∵DE ∥AB ，∴CD CE CA CB =，∴512CD CA CE CB ==， 125CE CD ∴=，12(5)5x =-，则6(5)5EF x =-，1212120(5)55BE EP x x ∴==-=，在Rt EFP ∆中，6(5)125sin sin sin 1213(5)5x EF EPF EDC BAC EP x -∠===∠=∠=-，解得6537x =，6537AD ∴=．5.在△ABC中，AB＝AC，点D在底边BC上，∠EDF的两边分别交AB、AC所在直线于E，F两点，∠EDF ＝2∠ABC，BD＝nCD．（1）如图1，若∠ABC＝45°，n＝1，求证：DE＝DF；（2）如图2，求DEDF的值（含n的式子表示）：（3）如图3，连接EF，若tan∠B＝1，EF∥BC，且58EFBC=，直接写出n的值为．【解答】（1）证明：如图1中，连接AD．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，∵BD＝nCD，n＝1，∴BD＝CD，∴AD⊥BC，∠DAC＝∠DAB＝45°，AD＝DB＝DC，∵∠EDF＝2∠ABC＝90°，∴∠BDA＝∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，∵∠B＝∠DAF，BD＝AD，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴DE＝DF．（2）解：在射线B上取一点T，使得DB＝DT．∵DB＝DT，∴∠B＝∠T，∴∠TDC＝∠B+∠T＝2∠B，∵∠EDF＝2∠B，∴∠EDF＝∠TDC，∴∠EDT＝∠DFC，∵∠BAC+2∠B＝180°，∴∠BAC+∠DEF＝180°，∴∠TED+∠AFD＝180°，∵∠DFC+∠AFD＝180°，∴∠TED＝∠DFC，∴△TED∽△FDC，∴DE DT DBn DF DC CD===．（3）如图3中，作ET⊥BC于E，FH⊥BC于H．∵EF∥BC，ET∥FH，∴四边形EFHT是平行四边形，∵∠ETH＝90°，∴四边形EFHT是矩形，∴ET＝FH，EF＝TH，∵EF：BC＝5：8，设EF＝5k，BC＝8k，则TH＝5k，∵tan B＝1，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠ETB＝∠FHC＝90°，∴ET＝BT＝FH＝CH＝1.5k，设DT＝x，则DH＝5K﹣x，∵∠EDF＝2∠B＝90°，∠ETD＝∠FHD＝90°，∴∠EDT+∠FDH＝90°，∠TED+∠EDT＝90°，∴∠TED＝∠FDH，∴△ETD∽△DHF，∴ET DTDH FH=，∴1.55 1.5k xk x k=-，∴x2﹣5kx+2.25k2，解得x＝0.5k或4.5k，∴BD＝2k或6k，∴BD：DC＝2k：6k＝1：3或BD：DC＝6k：2k＝3：1．∴n＝3或．6. 已知：在▱ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，AD 边上，且∠ECF ＝∠B ＝α（0°＜α＜90°）（1）如图1，若CF ⊥AD ，求证：CE CBCF CD=； （2）如图2，若α＝60°，∠AEF ＝∠ECB ，求证：四边形ABCD 是菱形；（3）如图3，若α＝45°，AC ⊥EF ，EH ⊥BC 于点H ，34CE AD =，直接写出AECH 的值． 【解答】（1）证明：如图1中，∵在▱ABCD 中，∠B ＝∠D ，∵∠ECF ＝∠B ＝α，∴∠D ＝∠ECF ＝α，∵CF ⊥AD ，∴∠D +∠DCF ＝90°，∴∠ECF +∠DCF ＝90°，∴EC ⊥CD ， ∵AB ∥CD ，∴CE ⊥AB ，∴∠BEC ＝∠CFD ＝90°，∴∠BCE ∽△DCF ，∴CE CBCF CD=； （2）证明：如图2中，连接AC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∠B ＝60°，∴∠BAC ＝120°，∵∠ECF ＝60°，∴∠EAF +∠ECF ＝180°，∴A ，E ，C ，F 四点共圆，∴∠AEF ＝∠ACF ， ∵∠AEF ＝∠BCE ，∴∠ACF ＝∠BCE ，∴∠ACB ＝∠ECF ＝60°，∴△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝BC ，∴四边形ABCD 是菱形；（3）解：∵∠ECF ＝∠B ＝45°，∵34CE AD =，∴设CE ＝3m ，BC ＝AD ＝4m ， 过C 作CI ⊥BC 交BA 的延长线于I ，交AD 于K ，交EF 于J ，延长HE 交DA 的延长线于L ， 则CI ＝BC ＝4m ，作JM ⊥LH 于M ，交BI 于R ，连接AJ ，∵∠ECF ＝∠B ＝45°，∴∠EAF ＝135°，∴C ，E ，A ，F 四点共圆，∴∠CEF ＝∠F AC ， ∵AC ⊥EF ，∴∠EJC ＝∠CAF ，∴∠CEJ ＝∠EJC ，∴CE ＝CJ ，∴AC 垂直平分EJ ，∴AE ＝AJ ， 设BH ＝EH ＝n ，CH ＝4m ﹣n ，在Rt △CHE 中，EH 2+CH 2＝CE 2， ∴n 2+（4m ﹣n ）2＝（3m ）2，解得42n ±=，（取42n -=时，结论一样）， 424KL CH m n -∴==-=，42223ME MH HE CJ EH m +-=-=-=-=，2LE LA =，2222KJ LM ME -===，422AK LK AL -=-=-， 2222224222(()22AE AJ AK JK --∴==+=+， 解得：3(21)32AE -=-，∴3(21)3322742AE CH --==-。
2024年中考数学一轮复习基础训练：相似三角形(无答案)
中考数学一轮复习基础训练（相似三角形）班级 姓名 学号 成绩一、选择题（每题4分，共28分）1.如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A 1B 1C 1相似的是（ ）A ．BC ．D ．2.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 和AC 边上，DE △BC ，M 为BC 边上一点(不与点B 、C 重合)连接AM 交DE 于点N ，则 （ ） A .AE AN AN AD = B .CEMNMN BD = C .MC NE BM DN = D .BMNE MC DN =第2题图 第3题图 第4题图 第5题图3.如图，在△ABC 中，AC =2，BC =4，D 为BC 边上的一点，且△CAD =△B . 若△ADC 的面积为a ，则△ABD 的面积为（ ）A .2a B .2.5a C .3a D .3.5a4.把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（ ）A ．61B ．31C ．51D ．41 5.如图，在△ABC 中，D 在AC 边上，AD ∶DC = 1∶2，点O 是BD 的中点，连接AO 并延长交BC 于 E ，则BE △EC =（ ）A . 1△2B . 1△3C . 1△4D . 2△36.如图， ABCD 中,点F 为BC 的中点,延长AD 至E ,使DE :AD =1:3,连接EF 交DC 于点G ,则S △DEG :S △CFG =（ ）A .2:3B .3:2C .9:4D .4:9第6题图 第7题图 第12题图 第13题图7.如图,将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC 的面积为16,阴影部分三角形的面积为9,若AA'=1,则A'D 等于（ ）A .2B .3C .4D .32 二、填空题（每空4分，共36分） N EAB C D M B A CD8.若23=+x y x ，则xy = ． 9.在某一时刻，侧的一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时同地测得一栋楼的影长为90m ，则这栋楼的高度为 m ．10.在平面直角坐标系中，点A （4，2），B （5，0），以点O 为位似中心，相似比为1:2，把△ABO 缩小，得到△A 1B 1O ，则点A 的对应点A 1的坐标为 .11.若△ABC ∽△A B C '''，相似比为1﹕2，则△ABC 与△A B C '''的周长的比为 .12.如图，D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，∠ADE =∠ACB ，若AD =2，AB =6，AC =4，则AE 的长是 .13.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，若AD =2，AB =3，DE =4，则BC 等于 .14.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，BC =6，CD ∥AB ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点E ，DE = .第14题图 第15题图 第16题图15.如图，在一斜边长30cm 的直角三角形木板（即Rt △ACB ）中截取一个正方形CDEF ，点D 在边BC 上，点E 在斜边AB 上，点F 在边AC 上，若AF ：AC =1：3，则这块木板截取正方形CDEF 后，剩余部分的面积为 .16.如图，在△ABC 中，点D 为BC 边上的一点，AD △AB 且AD =AB =2，过点D 作DE △AD ，DE 交AC 于点E ．若DE =1，则△ABC 的面积为 .三、解答题（17至19题每题8分，20题12分，共36分）17.如图，为了测量一栋楼的高度OE ，小明同学先在操场上A 处放一面镜子，向后退到B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部E ；再将镜子放到C 处，然后后退到D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E （O 、A 、B 、C 、D 在同一条直线上），测得AC =2m ，BD =2.1m ，如果小明眼睛距地面髙度BF ，DG 为1.6m ，试确定楼的高度OE ．第17题图18.如图，△ABD =△BCD =90°，DB 平分△ADC ，过点B 作BM △CD 交AD 于M ．连接CM 交DB 于N ．（1）求证：BD 2 =AD ·CD ；（2）若CD =6，AD =8，求MN 的长．第18题图19.如图，Rt△ABC 中，△ACB =90°，以AC 为直径的△O 交AB 于点D 过点D 作△O 的切线交BC 于点E ，连接OE .（1）求证：△DBE 是等腰三角形；（2）求证：△COE △△CA B.第19题图 20.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =90°，ABD ，E 分别在边AB ，BC 上，将线段ED 绕点E 按逆时针方向旋转90°得到EF ．（1）如图1，若AD =BD ，点E 与点C 重合，AF 与DC 相交于点O ，求证：BD =2DO ．（2）已知点G 为AF 的中点．如图2，若AD =BD ，CE =2，求DG 的长．第20题图E B 图图2图1G F AB (E)CD E。
初中数学精品试卷：相似三角形基础复习
一、平行线分线段成比例（一）、比例式比例式：1、设2y －3x ＝0（y ≠0），则yyx +＝ ． 比例中项：1、已知线段a=2，b=8，若线段c 是线段a 与b 的比例中项，则c ＝ ．（二）、A 字型1、在△ABC 中，已知点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ．如果AD ＝1cm ，AB ＝3cm ，DE ＝4cm ，那么BC ＝ cm ．2、已知：在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ．如果AD ＝4cm ，AB ＝6cm ，DE ＝3cm ，那么BC ＝ cm ．3、如图，在△ABC 中，DE ∥B C ，DB AD ＝21， 则BCDE＝ ． 4、已知：如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，过点D 作DE ∥CB ，交AB 于点E ，DC AD ＝31，DE ＝6，则AB ＝ ．（三）、X 型1、如图，AB//CD ，AD 与BC 交于点O ， 若35=OD OC ，则BO AO= ．2、如图，E 是平行四边形ABCD 边AD 上一点，且AE ∶ED=1∶2，CE 与BD 交于点O ，则BO ：OD= ．3、已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ．且AB ＝2CD ，点E 、F 分别是AB 和BC 的中点，EF 与BD 相交于点M ．求证：DM ＝2BM ．（四）、中间比1、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AB ，那么下列比例式中正确的是（ ） （A ）EB AE ＝FC BF ； （B ）EB AE ＝FBCF；A D CEBDBCAE FE DAB CODACB OB CD AE FMBCADE（C ）BC DE ＝DC AD ； （D ）BC DE ＝ABDF． 2、已知：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，点F 为AD 上的一点，且AD 2＝AB ·AF ． 求证：EF ∥CD ．3、已知：如图，AB ∥PD ，BC ∥PE ． 求证：AC ∥DE ． 1、判定三角形相似1、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 是斜边AB 上的中线．过点M 作CM 的垂线与AC 和CB 的延长线分别交于点D 和点E ，求证：△CDM ∽△ABC ；2、已知：如图七，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，点E 、F 是AB 边所在直线上的两点， 且∠EC F ＝135°.（1）求证：△ECA ∽△CFB ；（2）若AE ＝3，设AB ＝x ，BF ＝y ，求 y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域.针对训练：1、已知矩形ABCD ，长BC=12cm ，宽AB=8cm ，P 、Q 分别是AB 、BC 上运动的两点。
相似三角形判定复习(一)
A E
C
二、证明题： 证明题： 1.D为 ABC中AB边上一点 边上一点， 1.D为△ABC中AB边上一点， ∠ACD= ∠ ABC. A 2=AD AB. 求证： 求证：AC =AD·AB. 2.△ABC中 BAC是直角 是直角， 2.△ABC中,∠ BAC是直角，过斜 边中点M而垂直于斜边BC BC的直线 边中点M而垂直于斜边BC的直线 CA的延长线于 的延长线于E AB于D,连 交CA的延长线于E，交AB于D,连AM. 求证： 求证：① △ MAD ∽△ MEA B ② AM2=MD · ME D 如图，AB∥CD，AO=OB， 3. 如图，AB∥CD，AO=OB， E DF=FB，DF交AC于 DF=FB，DF交AC于E， 求证： 求证：ED2=EO · EC. A
复习（ 复习（一）
一、相似三角形的判定定理： 相似三角形的判定定理：
A'
定理1 两角对应相等，两三角形相似。 定理1：两角对应相等，两三角形相似。 ∠A' ∠A= ∠A ⇒△ABC∽△A'B'C' B' ABC∽△ B C C' ∠B' ∠B= ∠B A 定理2 两组边的比相等且夹角相等， 定理2：两组边的比相等且夹角相等， 两三角形相似。 两三角形相似。 AB BC = ABC∽△ B C A 'B ' B ' C ' ⇒ △ABC∽△A'B'C' ∠B' ∠B= ∠B B C 定理3 三组边的比相等，两三角形相似。 定理3：三组边的比相等，两三角形相似。
解: ∵ DE∥BC ∴∠ADE= ∠B, ∠EDC=∠DCB=∠A ① ∵ DE∥BC ∴△ADE ∽ △ABC D ② ∵ ∠A= ∠DCB, ∠ADE= ∠B ∴△ADE∽ △CBD ③ ∵ △ADE ∽ △ABC B △ADE ∽ △CBD ∴ △ABC ∽ △CBD ④ ∵ ∠DCA= ∠DCE, ∠A= ∠EDC ∴ △ADC ∽ △DEC
《相似三角形》中考复习题专题及答案
《相似三角形》复习题及答案一.选择题(1)△ABC 中，D 、E 、F 分别是在AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，那么下列各式正确的是( ) A.DB AD =EC BF B.AC AB =FCEF C.DB AD =FC BF D.EC AE =BF AD (2)在△ABC 中，BC=5,CA=45,AB=46,另一个与它相似的三角形的最短边是15，则最长边是( ) A.138 B.346 C.135 D.不确定(3)在△ABC 中，AB=AC,∠A=36°，∠ABC 的平分线交AC 于D ，则构成的三个三角形中，相似的是( )A.△ABD ∽△BCDB.△ABC ∽△BDCC.△ABC ∽△ABDD.不存在(4)将三角形高分为四等分，过每个分点作底边的平行线，将三角形分四个部分，则四个部分面积之比是（ ）A.1∶3∶5∶7B.1∶2∶3∶4C.1∶2∶4∶5D.1∶2∶3∶5(5)下列命题中，真命题是( )A.有一个角为30°的两个等腰三角形相似B.邻边之比都等于2的两个平行四边形相似C.底角为40°的两个等腰梯形相似D.有一个角为120°的两个等腰三角形相似(6)直角梯形ABCD 中，AD 为上底，∠D=Rt ∠，AC ⊥AB ，AD=4，BC=9，则AC 等于( )A.5B.6C.7D.8 (7)已知CD 为Rt △ABC 斜边上的中线，E 、F 分别是AC 、BC 中点，则CD 与EF 关系是( )A.EF ＞CDB.EF=CDC.EF ＜CDD.不能确定(8)下列命题①相似三角形一定不是全等三角形 ②相似三角形对应中线的比等于对应角平分线的比；③边数相同，对应角相等的两个多边形相似；④O 是△ABC 内任意一点.OA 、OB 、OC 的中点连成的三角形△A′B′C′∽△ABC 。
其中正确的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个(9)D 为△ABC 的AB 边上一点，若△ACD ∽△ABC ，应满足条件有下列三种可能①∠ACD=∠B ②∠ADC=∠ACB ③AC 2=AB·AD ，其中正确的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个(10)下列命题错误的是( )A.如果一个菱形的一个角等于另一个菱形的一个角，则它们相似B.如果一个矩形的两邻边之比等于另一个矩形的两邻边之比，则它们相似C.如果两个平行四边形相似，则它们对应高的比等于相似比D.对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似二、填空题(1)比例的基本性质是________________________________________(2)若线段a=3cm,b=12cm,a、b的比例中项c=________,a、b、c的第四比例线段d=________(3)如下图，EF∥BC，若AE∶EB=2∶1,EM=1,MF=2,则AM∶AN=________,BN∶NC=________(4)有同一三角形地块的甲乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，则甲地图与乙地图的相似比为________，面积比为________(5)若两个相似三角形的面积之比为1∶2，则它们对应边上的高之比为________(6)已知CD是Rt△ABC斜边AB上的高，则CD2=________(7)把一个三角形改成和它相似的三角形，如果边长扩大为原来的10倍，那么面积扩大为原来的____倍，周长扩大为原来的______倍.(8)Rt△ABC中，∠C=90°,CD为斜边上的高。
《相似三角形》全章复习与巩固(基础)-知识讲解
《相似三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】（1）了解比例的基本性质,了解线段的比、成比例线段的概念;（2)通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长的比等于对应边的比，面积的比等于对应边比的平方;(3）了解两个三角形相似的概念,探索两个三角形相似的条件；(4）通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题( 如利用相似测量旗杆的高度)；（5)理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律。
【知识网络】【要点梳理】要点一、比例线段及比例的性质1。
比例线段：（1)线段的比:如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n,那么就说这两条线段的比是a:b=m：n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项.(2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．（3）比例的项:已知四条线段ａ,ｂ，ｃ,ｄ,如果，那么ａ，ｂ,ｃ,ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ,ｃ叫做比例内项,线段ｄ还叫做ａ,ｂ，ｃ的第四比例项．（4）比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b：c或,那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．要点诠释：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致,但有时为了计算方便，a，b的单位一致，c,d的单位一2。
比例的性质（1）比例的基本性质：(2）反比性质:(3）更比性质: 或（4）合比性质：（5）等比性质: 且3。
平行线分线段成比例定理（1)三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
（2）三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例.(3)三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
相似三角形复习1
A D B M C
D
C O
2. 如图，AB∥CD，AO=OB， DF=FB，DF交AC于E， 求证：ED2=EO ·EC.
E A B
F
△ABC中，∠ BAC是直角，过斜边中点M而垂直于 斜边BC的直线交CA的延长线于E， 交AB于D，连AM. 求证：① △ MAD ～△ MEA
E
② AM2=MD ·ME
证明：①∵∠BAC=90°
M为斜边BC中点 ∴AM=BM=BC/2 ∴ ∠B= ∠MAD A D 又 ∵ ∠B+ ∠BDM=90° B C ∠E+ ∠ADE= 90° M ∠BDM= ∠ADE ② ∵ △MAD∽ △MEA ∴∠B=∠E AM ME ∴∠MAD= ∠E ∴ MD AM 又 ∵ ∠DMA= ∠AME 2 即AM =MD· ME ∴△MAD∽ △MEA
AC BC BC BD
b 时，即当
BD
１ 时， B
D
a 2 b2 BD
2 2
时，
△ABC∽ △BDC， ∴ BD b a b
答：略.
a
将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，假 设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似 （不包括全等）三角形吗？如有，把它们一 一写出来. A 解：有相似三角形，它们是： △ADE∽ △BAE, △BAE ∽ △CDA ，△ADE∽ △CDA １ 2 E C （ △ADE∽ △BAE ∽ △CDA ） B D G
1.平行线分线段成比例定理及推论 对应高,中线,角平分线 的比等于相似比 对应周长的比等于相似比
相 似 三 角 形
2．性质
面积比等于相似比的平方
1.平行
3．判定
2.AA 3.SAS 4.SSS
相似三角形复习(较全)
相似三角形知识点汇总【知识要点】1. 比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==()b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ²BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。
2. 比例性质： ①基本性质：a b c dad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c dd =⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n ab===+++⇒++++++=()03. 平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF=== ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
二、有关知识点：1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
中考总复习 相似三角形
【名师提醒】解相似三角形问题时，要注意相似三角形中 的对应关系，可根据相似三角形对应的字母写对应边，这 样可避免对应关系混乱.
命题点3 相似三角形的实际应用
例（’15兰州24题8分）如图，在一面 与地面垂直的围墙的同侧有一根高10 米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆 CD，它们都与地面垂直，为了测得电 线杆的高度，一个小组的同学进行了 如下测量：某一时刻，在太阳光照射 下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度 为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落 在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH 的长为5米.依据这些数据，该小组的同学计算出了电线 杆的高度. (1)该小组的同学在这里利用的是_____投影的有关知识 进行计算的； (2)试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程.
【解析】∵两个相似三角形的面积比是1:4，∴这两个相 似三角形的相似比是1:2， ∴它们的周长比是1:2.
3. 如图，在 △ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4， 则EC的长为( B )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【解析】本题考查平行线分线段成比例定理
AD AE = ， 又∵AD=6， DB=3， DB EC AE=4，∴ 6 = 4 ，解得EC=2. 3 EC
6.某一时刻，身高1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m， 同一时刻同一地点，测得某旗杆的影长是5m，则该旗 杆的高度是____m. 20
【解析】根据题意可得
1.6 = 0.4 ，解得h=20m. h 5
7. 如图， 在△ABC中，∠C=90°，AD是 ∠CAB的角平分线，BE⊥AE，垂足为点E. 求证： △BDE～ △ABE. 证明：∵AD是∠CAB的角平分线， ∴ ∠CAD= ∠BAD ， ∵∠C=90°， ∴∠CAD+∠ADC=90°, ∵ BE⊥AE, ∴∠E=90°, ∴∠DBE+∠BDE=90°, ∵∠ADC= ∠BDE, ∴∠CAD= ∠BAD = ∠DBE ， ∴ △BDE～ △ABE.
【复习】：初中数学九年级上册.相似三角形的性质及应用--知识讲解(基础)
专项训练年度：相似三角形的性质及应用--知识讲解（基础）【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.要点诠释：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．【典型例题】类型一、相似三角形的应用1. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？【答案与解析】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？∵AB⊥BC，CD⊥BC,∴∠ABO=∠DCO=90°.又∵∠AOB=∠DOC,∴△AOB∽△DOC.∴.∵BO=50m，CO=10m，CD=17m,∴AB=85m.即河宽为85m．【总结升华】这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条.2. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?(2)求古塔的高度．【思路点拨】本题考查的是相似三角形的实际应用，要注意的是小明和古塔都与地面垂直，是平行的.【答案与解析】(1)△ABC∽△ADE．∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°.∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE .(2)由(1)得△ABC∽△ADE,∴.∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，∴.∴DE=16m,即古塔的高度为16m.【总结升华】解决相似三角形的实际应用题的关键是题中相似三角形的确定.举一反三【变式】小明把一个排球打在离他2米远的地上，排球反弹后碰到墙上，如果他跳起来击排球时的高度是1.8米，排球落地点离墙的距离是7米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方？【答案】如图，∵AB=1.8米，AP=2米，PC=7米，作PQ ⊥AC,根据物理学原理知∠BPQ=∠QPD,则∠APB=∠CPD ，∠BAP=∠DCP=90°，∴ △ABP ∽△CDP , ∴AB AP DC PC=, 即1.827DC =, ∴DC=6.3米.即球能碰到墙上离地6.3米高的地方.要点二、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.3. 相似三角形周长的比等于相似比.∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABC A B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.类型二、相似三角形的性质3. （2015•上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．【答案与解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=BD，∵OE=OB，∴OE=BD，∴∠BED=90°，∴DE⊥BE；（2）∵OE⊥CD∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE，∵OB=OE，∴∠DBE=∠CDE，∵∠BED=∠BED，∴△BDE∽△DCE，∴，∴BD•CE=CD•DE．【总结升华】本题综合性较强，考查了相似三角形、直角三角形以及平行四边形相关知识，而熟记定理是解题的关键．举一反三【变式】（2015•铜仁市）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1【答案】B．提示：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=1=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16．故选：B．4.如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.【思路点拨】相似三角形对应的高，中线，角分线对应成比例.【答案与解析】∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC.∵AD⊥BC，∴AD⊥EH，MD=EF.∵矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm.由相似三角形对应高的比等于相似比，得，∴，∴，∴.∴EF=6cm，EH=12cm..∴.【总结升华】解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高.举一反三：【变式】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.【答案】设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2.∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2且，，∴，∴相似三角形的性质及应用--巩固练习【巩固练习】一、选择题1．（2015•酒泉）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（）A．B．C．D．2. 如图2, 在△ABC中, D、E两点分别在AB、AC边上, DE∥BC. 若AD:DB = 2:1, 则S△ADE : S△ABC为( ).A. 9:4B. 4:9C. 1:4D. 3:23．某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为9∶4，其中一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是（）．A．24米B．54米C．24米或54米D．36米或54米4. 图为△ABC与△DEC重叠的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB// DE.若△ABC与△DEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=( ).A．3 B．7 C．12 D．155．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（）.A．6米B．8米C．18米D．24米6.要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8倍，而它的形状不变，那么它的边长要增大到原来的（）倍.A.2B.4C.2D.64二、填空题7. 如图所示，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD＝2m的标杆，现测量者从E处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上，如果测得BD＝20m，FD＝4m，EF＝1.8m，则树AB的高度为______m．8. 已知两个相似三角形的相似比为，面积之差为25，则较大三角形的面积为______.9．（2015•吉林）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm ，则楼高CD 为 m ．10. 梯形ABCD 中，AD ∥BC,AC ，BD 交于点O ,若AOD S △=4， OC S △B =9，S 梯形ABCD =________.11.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 上一点，DE:CE=2:3，连接AE,BE,BD,且AE,BD 交于点F ，则::DEF EF BAF S S S △△B △________________.12.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的21倍，那么边长应缩小到原来的________倍.三、解答题 13. 一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m 的竹竿影长0.9m ，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m ，又测得地面部分的影长2.7m ，他求得树高是多少？14.（2015•蓬溪县校级模拟）小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB 的高度：如图，在水平地面点E 处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B ．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB 的高度（注：入射角=反射角）．15. 在正方形中，是上一动点，(与不重合)，使为直角，交正方形一边所在直线于点. (1)找出与相似的三角形. (2)当位于的中点时，与相似的三角形周长为，则的周长为多少？【答案与解析】一．选择题1．【答案】D ．【解析】∵S △BDE ：S △CDE =1：3，∴BE ：EC=1：3；∴BE ：BC=1：4；∵DE ∥AC ，∴△DOE ∽△AOC ， ∴=，∴S △DOE ：S △AOC ==，故选D ．2．【答案】B ．【解析】提示：面积比等于相似比的平方．3．【答案】C.4．【答案】B.5．【答案】B.【解析】提示：入射角等于反射角，所以△ABP ∽△CDP ．6．【答案】C ．【解析】提示：面积比等于相似比的平方．二．填空题7．【答案】3.8．【答案】45cm 2.9．【答案】12．10．【答案】25.【解析】∵ AD ∥BC ，∴ △AOD ∽△COB ，∴ 2A O DB OC 49S AO CO S ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，∴AO:CO ＝2:3， 又∵AODDOC 23S AO S OC ==△△，∴ COD 6S =△，又 C O D A O B S S =△△，∴ ABCD 492625S =++⨯=梯形．11.【答案】4:10:25【解析】∵ 平行四边形ABCD ，∴△DEF ∽△BAF,∴2DEF AEB S DE S AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，∵DE:EC=2:3,∴DE:DC=2:5,即DE:AB=2:5，∴DEF BAFS S △△∵△DEF 与△BEF 是同高的三角形，∴DEF BEF S S △△24.510== 12．【答案】2. 三.综合题13．【解析】作CE ∥DA 交AB 于E ，设树高是xm ，∵ 长为1m 的竹竿影长0.9m∴ 1 1.20.9 2.7x -= 即 x ＝4.2m14．【解析】解：如图，∵根据反射定律知：∠FEB=∠FED ，∴∠BEA=∠DEC∵∠BAE=∠DCE=90°∴△BAE ∽△DCE ∴； ∵CE=2.5米，DC=1.6米， ∴； ∴AB=12.8答：大楼AB 的高为12.8米．15．【解析】(1)与△BPC 相似的图形可以是图(1)，(2)两种情况：△PDE ∽△BCP ，△PCE ∽△BCP ，△BPE ∽△BCP ．(2)①如图(1)，当点P 位于CD 的中点时，若另一直角边与AD 交于点E ， 则12PD BC = ∵ △PDE ∽△BCP∴ △PDE 与△BCP 的周长比是1:2∴ △BCP 的周长是2a ．②如图(2)，当点P 位于CD 的中点时，若另一直角边与BC 延长线交于点E时， 则12PC BC =， ∵ △PCE ∽△BCP∴ △PCE 与△BCP 的周长比是1:2∴ △BCP 的周长是2a ．③如图(2)，当点P 位于CD 的中点时，若另一直角边与BC 延长线交于点E时，∴ BP BC =∵ △BPE ∽△BCP∴ △BPE 与△BCP ，∴ △BCP 的周长是5．.。
中考数学一轮复习专题解析—相似三角形
中考数学一轮复习专题解析—相似三角形复习目标1.了解相似图形和相似三角形的概念。
2.掌握三角形相似的判定方法和性质并学会运用。
考点梳理一、相似图形1.形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.2.比例线段的相关概念如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nm b a =，或写成n m b a ::=． 注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位． 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注意：(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．(2)比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． 3. 比例的性质基本性质：(1)bc ad d c b a =⇔=::；(2)b a c b c c a ⋅=⇔=2::．注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b c d a c d c b d b ad b c a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 反比性质(把比的前项、后项交换)：cd a b d c b a =⇒=． 合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒=． 注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等． 等比性质： 如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．4.比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边．5.黄金分割把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB 例1．如果0ab cd =≠，则下列正确的是（ ）A ．::a c b d =B ．::a d c b =C ．::a b c d =D ．::d c b a = 【答案】B【分析】根据比例的基本性质，列出比例式即可．【详解】解：∵0ab cd =≠，∵::a d c b =，故选：B ．例2．两个相似多边形的一组对应边的长分别为6cm ，9cm ，那么它们的相似比为（ ）A ．23B C ．49 D ．94【答案】A【分析】根据相似多边形的性质求解即可；【详解】两个相似多边形一组对应边的长分别为6cm ，9cm ，∵它们的相似比为：6293=．故选A ．二、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∵”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意：∵对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．∵顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．∵两个三角形形状一样，但大小不一定一样．∵全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．三、相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∵ABC ∆．(2)对称性：若ABC ∆∵'''C B A ∆，则'''C B A ∆∵ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∵C B A '∆''，且C B A '∆''∵C B A ''''''∆，则ABC ∆∵C B A ''''''∆．四、相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：五、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解
1. 平行线分线段成比例定理
例.
已知 l 1∥ l 2∥ l 3,
A Dl
B El
: 三条平行线截两条直线
1 2
, 所得的 对应线段成比 .
C
Fl
可得 AB
DE AB 或
DE 等.
BC EF AC DF
2. 推论 : 平行于三角形一边的直线截其它两边
3
( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例 .
注意 ：(1) 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
(2) 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(3)
可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
知识点三：黄金分割
1） 定义 ：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC＞BC ），如果 AC AB
ad bc
（两外项的积等于两内项积）
2. 反比性质：
ac bd
bd a c ( 把比的前项、后项交换 )
3. 更比性质 ( 交换比例的内项或外项 ) ：
ac bd
a b ，(交换内项 ) cd d c ，(交换外项 ) ba d b ．(同时交换内外项 ) ca
4. 合比性质
a
：
c
bd
ab b
cd （分子加（减）分母 , 分母不变）
例 4、矩形 ABCD 中， BC=3AB ， E、F，是 BC 边的三等分点，连结 AE 、 AF 、AC ，问图中是否存在非全 等的相似三角形？请证明你的结论。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
例 5、△ ABC 中，在 AC 上截取 AD ，在 CB 延长线上截取 BE ，使 AD=BE ，求证： DF AC=BC FE
《相似三角形》复习基本图形(1)
《相似三角形》复习——从基本图形到中考题的演变主备:鄢自红 授课：鄢自红 □ 自学导读 【学习目标】1、掌握相似三角形的基本图形。
通过图形的变化，感受到图形之间的联系。
2、能从复杂图形中进行识别基本图形并能利用图形解决问题。
【重、难点】能在复习图形中找或补出基本图形，并能运用图形的结论解决问题。
【读书思考】（一）基本图形回顾：现在给你一个锐角三形ABC 和一条直线MN .问题1：直线MN 与AB 、AC 边或其延长线相交，所截得三角形与△ABC 相似，有多少种作法？ 请同学们作出图形，并说明相似的理由。
问题2：如图，在正方形ABCD 中,E 为BC 上任意一点（与B 、C 不重合）∠AEF=90°.观察图形： （1） △ABE 与△ECF 是否相似？并证明你的结论。
（2）若E 为BC 的中点，连结AF,图中有哪些相似三角形？发现问题，整理知识：（1）点E 为BC 上任意一点∠B=∠C=60°, ∠AEF= ∠ C,则△ABE 与△ ECF 的关系还成立吗？说明理由.（2）点E 为BC 上任意一点，若 ∠B=∠C= α, ∠AEF= ∠ C,则△ABE 与△ ECF 的关系还成立吗？整理相似基本图形：ABCBCEAFECBAFA B E C D FA B F E C D□ 典题解析例1 如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，E 为AC 的中点，ED 交CB 的延长线于F 。
求证：BD ·CF=CD ·DF解析：这个图形中有几个相似三角形的基本图形?例2.如图，已知EM ⊥AM ，交AC 于D ，CE=DE ，求证：2ED •DM=AD •CD牛刀小试！已知：如下左图，D 为BC 上一点， ∠B=∠C=∠EDF=60°,BE=6 , CD=3 , CF=4 ,则BD=_______.变式题：如上右图，P 是正△ABC 边BC 上的一点，MN 为AP 的中垂线，求证：BP ·PC=BM ·CN.ECDMAAMNBPCEBCD FA【课堂小结】谈谈这节课你有什么收获？□ 当堂测评(本节课只完成1-3题，后面两个题为下节预习题）1、梯形ABCD 中， AD ∥ BC,AD<BC,P 为AD 上的一点（不与A 、D 重合），∠BPC= ∠A= ∠D,找出图中的相似三角形。
相似三角形复习专题一
相似三角形复习专题一
——相似形三角形与一次函数
1、 预备知识:
2、 相似三角形判定方法
3、 相似三角形性质
4、 相似三角形的应用
5、 一次函数表达式、求法
一、例题讲解
归纳总结:
四边形OABC 是放在直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将BC 边折叠，使点B 落在边OA 的点D 处，已知 43DA AE ,55CE == 是否相似？说明理由与判断DAE COD 1.∆∆2、根据相似和已知条件你能求解出那些结论？
3、求直线CE 与x 轴的交点P 的坐标
4、是否存在过点D 的直线l ，使直线l 、直线CE 与x 轴所围成的三角形和直线l 、直线CE 与y 轴所围成的三角形相似？如果存在，试写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，试说明理由。
二、练习巩固
1. 如图, 在平面直角坐标系中, 一次函数的图象经过点, 且与轴的正半轴相交于点, 点、点在线段上, 点、在线段上, 且与是相似比为3∶1的两个等腰直角三角形, 。
试求:
（1）AN∶AM的值；
=+的图象表达式。
（2）一次函数y kx b
三、自我提高
.如图, 在平面直角坐标系中, 点, 点分别在轴, 轴的正半轴上, 且满足.
（1）求点, 点的坐标.
（2）若点从点出发, 以每秒1个单位的速度沿射线运动, 连结. 设的面积为, 点的运动时间为秒, 求与的函数关系式, 并写出自变量的取值范围.
（3）在（2）的条件下, 是否存在点, 使以点为顶点的三角形与相似？若存在, 请直接写出点的坐标；若不存在, 请说明理由．。
中考数学基础复习第19课相似三角形及其性质课件
【考点剖析】 【考点1】比例线段 例1.如图,l1∥l2∥l3,AB=3,BC=5,DF=12,求DE和EF的长.
【解析】∵l1∥l2∥l3, ∴ AB DE (平行线分线段成比例),
AC DF
∵AB=3,BC=5,∴AC=AB+BC=8,
∵DF=12,∴ 3 DE .∴DE=4.5,
8 12
第19课 类似三角形及其性质
【知识清单】 一、平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段____成__比__例___. 二、类似三角形的性质 性质1:类似三角形的对应角____相__等___,对应边的比____相__等___. 性质2:类似三角形周长的比等于____类__似__比___. 性质3:类似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于 ____类__似__比___. 性质4:类似三角形的面积的比等于类似比的____平__方___.
b b＋2x
b（b＋2x）
b（b＋2x）
∵a>b>0,x>0,∴m-n= 2x（a－b）>0,
b（b＋2x）
∴m>n.
若图中的两个矩形类似,则需m=n.
∴图中的两个矩形不类似.
反思:利用类似多边形的性质转化为比例式求解.
【学后检测】
1.如图l1∥l2∥l3,若
AB＝3 BC 2
,DF=10,则DE=
3
则点C坐标为 ( B )
A.(-1,-1) C. (1, 4)
3
B.( 4 , 1)
3
D.(-2,-1)
3.(202X·吉林)如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点.若△ADE的面积
为1
2
3
中考数学复习之相似三角形的性质与判定,考点过关与基础练习题
AD是Rt△ABC 斜边上的高 29. 相似三角形➢ 知识过关1. 相似三角形的概念：如果两个三角形的对应角_________,对应边_______,那么这两个三角形叫做相似三角形. 2. 相似三角形的性质：对应角________,对应边________;周长之比等于_______;面积之比等于_______.3. 相似三角形的判定(1)两_______对应相等的两个三角形相似；(2)两边对应成比例，且______相等的两个三角形相似； (3)_______边对应成比例的两个三角形相似；(4)若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应______,那这两个直角三角形相似. 4.相似三角形的几种基本图形DE △BC △B =△AED △B △ACDA 型➢ 考点分类考点1相似三角形的判定例1如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ，连接FD ．若∠BF A =90°，给出以下三对三角形：①△BEA 与△ACD ；②△FED 与△DEB ；③△CFD 与△ABO ．其中相似的有_____________（填写序号）．CB BCD E ADAEDAAD B CODBACCAO D BX 型母子型∠B ∠CAC ∥BD CB D AOFE DCBA考点2相似三角形的性质例2如图1所示，AB △BD ，CD △BD ，垂足分别为B ，D ．AD ，BC 交于点E ，过E 作EF △BD于点F ，则可以得到111AB CD EF+=．若将图1中的垂直改为斜交，如图2所示，AB △CD ，AD ，BC 交于点E ，过E 作EF △AB 交BD 于点F ，试问：111AB CD EF+=还成立吗？请说明理由．考点3相似三角形的判定和性质综合例3如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在AC 上 （1）已知：AC ＝4，BC ＝2，∠CBD ＝∠A ，求BD 的长；（2）取AB ，BD 的中点E ，F ，连接CE ，EF ，FC ，求证：△CEF ∽△BAD ．➢ 真题演练1.如图，点D 、E 分别在△ABC 边AB 、AC 上，AB AD=AE CE=3，且∠AED ＝∠B ，那么AD AC的值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．23F EDCBA图1F EDCBA图22．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，下列结论中，错误的是（ ）A ．AD AC=AC ABB ．AD AC=CD BCC ．AD AC=BD BCD ．AD CD=CD BD3．如图，边长为a 的正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 在BD 上，作EF ⊥CE 交AB 于点F ，连结CF 交BD 于H ，则下列结论：①EF ＝EC ；②△FCG ∽△ACF ；③BE •DH ＝a 2；④若BF ：AF ＝1：3，则tan ∠ECG =14，正确的是（ ）A ．①②④B ．②③④C ．①②③D ．①②③④4．如图，在▱ABCD 中，E 是BA 延长线上一点，CE 分别与AD ，BD 交于点G ，F ．下列结论：①EG GC=AG GD；②EF FC=BF DF；③FC GF=BF DF；④EAEB=AG AD；⑤CF 2＝GF •EF ，其中正确的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．25．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE ＝45°，将△ADC 绕点A 顺时针90°旋转后，得到△AFB ，连接EF ．下列结论中正确的个数有（ ） ①∠EAF ＝45°； ②△ABE ∽△ACD ； ③EA 平分∠CEF ； ④BE 2+DC 2＝DE 2．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，在矩形ABCD中，过点A作对角线BD的垂线并延长，与DC的延长线交于点E，与BC交于点F，垂足为点G，连接CG，且CD＝CF，则下列结论正确的有（）个①CE＝AD②∠DGC＝∠BFG③CF2＝BF•BC④BG＝GE−√2CGA．1B．2C．3D．47.如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，以BC为边向外作正方形BCDE，连接AD，则AD＝．8．如图，已知正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若AC＝2√2cm，点E在DC 边的延长线上，若∠CAE＝15°，则AE＝cm．9．如图，点E在正方形ABCD边CD上，以CE为边向正方形ABCD外部作正方形CEFG，连接AF，P、Q分别是AF、AB的中点，连接PQ．若AB＝7，CE＝5，则PQ＝．10．如图，等边△ABC 的边长为3，点D 在边AC 上，AD =12，线段PQ 在边BA 上运动，若PQ =12，当AQ ＝ 时，△AQD 与△BCP 相似．11．如图，AB ＝16cm ，AC ＝12cm ，动点P ，Q 分别以每秒2cm 和1cm 的速度同时开始运动，其中点P 从点A 出发，沿AC 边一直移到点C 为止，点Q 从点B 出发沿BA 边一直移到点A 为止（点P 到达点C 后，点Q 继续运动），当t ＝ 时，△APQ 与△ABC 相似．12.某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC 中，其中AB ＝AC ，如图Ⅰ，进行了如下操作：第一步，以点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA 的延长线和AC 于点E ，F ，如图Ⅱ；第二步，分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧相交于点D ，作射线AD ；第三步，以D 为圆心，DA 的长为半径画弧，交射线AE 于点G ； （1）填空；写出∠CAD 与∠GAD 的大小关系为 ； （2）△请判断AD 与BC 的位置关系，并说明理由． △当AB ＝AC ＝6，BC ＝2时，连接DG ，请直接写出AD AG= ；（3）如图△，根据以上条件，点P 为AB 的中点，点M 为射线AD 上的一个动点，连接PM ，PC ，当△CPM ＝△B 时，求AM 的长．13.如图：在矩形ABCD中，AB＝6m，BC＝8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以1m/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒（0＜t＜5）．（1）t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似？（2）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．课后练习1．如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F在另一条直线上．以下结论正确的是（）A．△COF∽△CEG B．OC＝3OF C．AB：AD＝4：3D．GE=√6DF 2．如图，在△ABC中，P为AB上一点，下列四个条件中：①AC2＝AP•AB；②AB•CP＝AP •CB；③∠APC＝∠ACB；④∠ACP＝∠B能满足△APC与△ACB相似的条件是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④3．如图，△ABC∽△DBE，延长AD，交CE于点P，若∠DEB＝45°，AC＝2√2，DE=√2，BE＝1.5，则tan∠DPC＝（）A ．√2B ．2C ．3+√22D ．124．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上的一点，AE ⊥EF ，则下列结论：（1）sin ∠BAE =12；（2）BE 2＝AB •CF ；（3）CD ＝3CF ；（4）△ABE ∽△AEF ，其中结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，在四边形ABCD 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，E 是BC 的中点，AD ∥BC ，AE ∥DC ，EF ⊥CD 于点F ．下列结论错误的是（ ）A ．四边形AECD 的周长是20B ．△ABC ∽△FEC C ．∠B +∠ACD ＝90°D ．EF 的长为2456．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是BC 的中点，AE 与BD 交于点P ，F 是CD 上一点，连接AF 分别交BD ，DE 于点M ，N ，且AF ⊥DE ，连接PN ，则以下结论中：①S△ABM＝4S △FDM ；②PN =2√6515；③tan ∠EAF =34；④△PMN ∽△DPE ，正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④7．如图，正方形ABCD 中，AB ＝2√5，点N 为AD 边上一点，连接BN ，作AP ⊥BN 于点P ，点M 为AB 边上一点，且∠PMA ＝∠PCB ，连接CM ．下列结论正确的个数有（ ） （1）△P AM ∽△PBC （2）PM ⊥PC ；（3）∠MPB ＝∠MCB ； （4）若点N 为AD 中点，则S △PCN ＝6 （5）AN ＝AMA．5个B．4个C．3个D．2个8．如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，CE，BD交于点H，DF⊥CE于点F，FM平分∠DFE，分别交AD，BD于点M，G，延长MF交BC于点N，连接BF．下列结论：①tan∠CDF=12；②S△EBH：S△DHF＝3：4；③MG：GF：FN＝5：3：2；④△BEF∽△HCD．其中正确的是.（填序号即可）．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，动点D，E分别在AB，CB边上，且BE=√2AD．连接CD，AE相交于点P，连接BP，则△CAD∽△，BP的最小值为．10．在△ABC中，AB＝8，BC＝16，AP＝BP，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝时，△BPQ与△BAC相似．11．如图，四边形ABCD，CDEF，EFHG是三个正方形，∠2+∠3＝．12．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，BE⊥EF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，则EF的长是．13．如图，小明想测量一棵大树AB的高度，他发现树的影子落在地面和墙上，测得地面上的影子BC的长为5m，墙上的影子CD的长为2m．同一时刻，一根长为1m垂直与地面标杆的影长为0.5m，则大树的高度AB为m．14．小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离AB 为1.6米，凉亭的高度CD为6.6米，小明到凉亭的距离BD为12米，凉亭与观景台底部的距离DF为42米，小杰身高为1.8米．那么观景台的高度为米．15如图所示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．（1）求证：△DAE≌△DCF；（2）求证：△ABG∽△CFG．16．如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4．（1）如图①，在AB 上取一点D ，将纸片沿OD 翻折，使点A 落在BC 边上的点E 处，求D 、E 两点的坐标；（2）如图②，若OE 上有一动点P （不与O ，E 重合），从点O 出发，以每秒1个单位的速度沿OE 方向向点E 匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t ＜5），过点P 作PM ⊥OE 交OD 于点M ，连接ME ，求当t 为何值时，以点P 、M 、E 为顶点的三角形与△ODA 相似？➢ 冲击A+在正方形ABCD 中，点G 是边AB 上的一个动点，点F 、E 在边BC 上，BF ＝FE ＝AG ，且AG ≤12AB ，GF 、DE 的延长线相交于点P ．（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求∠P 的度数；（2）如图2，当点E 与点C 不重合时，问：（1）中∠P 的度数是否发生变化，若有改变，请求出∠P 的度数，若不变，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作DN ⊥GP 于点N ，连接CN 、BP ，取BP 的中点M ，连接MN ，在点G 的运动过程中，求证：MN NC为定值．。
相似三角形中考复习(知识点+题型分类练习)
相似三角形一、知识概述1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其它直线上截得的线段也相等。
2.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
３.相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形.４．相似三角形的基本性质①相似三角形的对应边成比例、对应角相等.②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
③相似三角形的周长比等于相似比④面积比等于相似比的平方温馨提示：①全等三角形一定是相似三角形,其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例.其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′Ｃ′的对应边的比,即相似比为k，则△Ａ′B′Ｃ′∽△ＡBＣ的相似比，当且仅当它们全等时,才有k＝ｋ′＝1.③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助相似三角形可观察得出．5. 相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似;③两角对应相等的两个三角形相似;④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
温馨提示：（１)判定三角形相似的几条思路：①条件中若有平行,可采用判定定理1；②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角),可再找一对角相等或找夹边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例,可找夹角相等;但是，在选择利用判定定理２时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.④条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等,也可找腰和底对应成比例。
（2）在综合题中,注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用,培养综合运用知识的能力。
(3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。
三角形相似中考总复习原创课件
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，求证：△ABC∽ADE.
2．如图，点P是▱ABCD的边AB上一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有________对．
解：（1）∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10. ∵CD⊥AB，∴S△ABC= BC·AC= AB·CD. ∴CD= . ∴线段CD的长为4.8.
【变式2】如图，四边形ABCD为平行四边形，以 CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的 切线DE与边AB相交于点E. 求证：△ADE∽△CDF.
证明：∵CD是⊙O的直径， ∴∠DFC=90°. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C，AD∥BC. ∴∠ADF=∠DFC=90°， ∵DE为⊙O的切线，∴DE⊥DC. ∴∠EDC=90°. ∴∠ADF=∠EDC=90°. ∴∠ADE=∠CDF. ∵∠A=∠C， ∴△ADE∽△CDF.
第四章 三角形第18课 三角形相似
1．相似三角形的判定：(1)如图，若DE∥BC(A型和X型)则 △ADE∽__________．(2)两个角对应相等的两个三角形__________．(3)两边对应成__________且夹角________的两个三角形 相似．(4)三边对应成比例的两个三角形__________．
中考数学复习---相似重点归纳
中考数学复习---相似重点归纳一、相似三角形的判定及性质1、定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．2、性质（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．3、判定（1）有两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．二、相似多边形1、定义对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．2、性质（1）相似多边形的对应边成比例；（2）相似多边形的对应角相等；（3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方．三、位似图形1、定义如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．2、性质（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．3、找位似中心的方法将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．4、画位似图形的步骤（1）确定位似中心；（2）确定原图形的关键点；（3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；（4）作出原图形中各关键点的对应点；（5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．。
中考数学相似三角形专题复习一
1 / 2相似三角形专题复习一：线段的比、黄金分割1、在比例尺1：10000的地图上，相距2cm 的两地的实际距离是（ ）。
A ．200cm B ．200dm C ．200m D ．200km 2．已知线段a=10，线段b 是线段a 上黄金分割的较长部分，则线段b 的长是 3．若则下列各式中不正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4、若52=-yy x ，则y x =_________。
已知32=y x ，则yx yx +-=_________。
5、若045=-y x 且0≠xy ，则x ∶y =_________。
6、2和8的比例中项是_________；线段2㎝与8㎝的比例中项为_________。
7、如果两个相似三角形的面积比为3∶4，则它们的周长比为_________。
8、已知a ：b ：c ＝2 ：3 ：4，且2a ＋3b －2c ＝10，求a ， b ，c 的值。
相似三角形专题复习二：相似的性质1、如果两个相似三角形的面积比为3∶4，则它们的周长比为_________。
1.1已知△ABC∽△DEF，且AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为 2、如图,DE ∥BC ，AD ∶BD=2∶3，则ΔADE 的面积∶四边形DBCE 的面积=_________。
2.1如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE ∽△CAB ，（3）△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为1：4.其中正确的有：（ ）个3、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，△ADE 与△BCE 面积之比为4 ：9，那么△ADE 与△ABE 面积之比为________4、如图，在△ABC 中，矩形DEFG ，G 、F 在BC 上，D 、E 分别在AB 、AC 上，AH ⊥BC 交DE 于M ，DG ∶DE ＝1∶2，BC ＝12 cm ，AH ＝8 cm ，求矩形的各边长。
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相似三角形基础复习（一）
1、如图，已知正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接AE，以AE为边作正方形AEFG，使得点F在CD边上，连接DG。
若AB＝3，BE＝2，求tan∠GFD的值。
知识点相似三角形的性质与判定
【知识梳理】
1、相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。
相似三角形对应边的比叫做相似比。
2、相似三角形的判定方法
（1）常规方法
①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
用数学语言表述如下：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC
③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。
（2）直角三角形相似的判定方法
①以上各种判定方法均适用
②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
3、相似三角形的性质
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；
（3）相似三角形周长的比等于相似比；
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
4、位似图形
（1）位似图形的概念：如果一个图形的点与另一个图形上的点分别对应，并且它们的连线都经过同一个点，那么这两个图形叫做位似图形，这个点是位似中心。
由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。
利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。
（示例1）（示例2）
（2）位似图形的性质
①每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比；
②位似图形的对应边互相平行。
【例题精讲】直击中考
例1. 1、已知：线段OA OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点。
连结AC，BD交于点P。
若OA＝OB，且
D为OA中点，则AP
PC
＝。
2、已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E。
如图，若∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：ED·EA＝EC·EB。
3、在△ABC中，P为边AB上一点。
如图，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP•AB。
4、已知四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 边上的点，DE 与CF 交于点G 。
如图，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF ，求证。
【课堂练习】
1、已知锐角△ABC 中，边BC 长为12，高AD 长为8。
如图，矩形EFGH 的边GH 在BC 边上，其余两个顶点E 、F 分别在AB 、AC 边上，EF 交AD 于点K 。
求
AK
EF
的值。
CD
AD
CF DE
2、如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE＝BP，过点E、P作BC的平行线，分别交AC于点F、Q．记△AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3。
求证：EF＋PQ＝BC；
3、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接P Q。
若△BPQ与△ABC相似，求t的值。
4、如图，在△ABC 中，点D ，E ，Q 分别在AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P 。
求证：
DP PE
BQ QC。
1、如图，在直角坐标系中，有两点A （6，3）、B （6，0）。
以原点O 为位似中心，相似比为3
1，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为（ ） A ．（2，1）
B ．（2，0）
C ．（3，3）
D ．（3，1）
（第1题） （第2题）
2、等边△ABC 的边长为6，在AC ，BC 边上各取一点E ，F ，连接AF ，BE 相交于点P ，AE ＝2，BF ＝4，则BP ·BE 等于 。
3、如图1，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为AD 上一点，连接CE 交BD 于F 。
如图，若E 为AD 中点，则
DF
OF
的值为 。
（第3题）（第4题）
4、在△ABC中，点D为BC上一点。
如图，若∠BAD＝∠CAD，求证：BD AB CD AC
＝。
5、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥BC交BC边于点E。
求证：△ABF∽△COE。
CE DF 的值。
6、如图，四边形ABCD是正方形，E边BC的中点，F是边CD上一点，且∠AEF＝90°，求。