中考复习相似三角形基础复习(一)

相似三角形基础复习（一）

1、如图，已知正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接AE，以AE为边作正方形AEFG，使得点F在CD边上，连接DG。若AB＝3，BE＝2，求tan∠GFD的值。

知识点相似三角形的性质与判定

【知识梳理】

1、相似三角形的概念

对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比。

2、相似三角形的判定方法

（1）常规方法

①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

用数学语言表述如下：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC

③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。

④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。

（2）直角三角形相似的判定方法

①以上各种判定方法均适用

②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

3、相似三角形的性质

（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；

（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；

（3）相似三角形周长的比等于相似比；

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

4、位似图形

（1）位似图形的概念：如果一个图形的点与另一个图形上的点分别对应，并且它们的连线都经过同一个点，那么这两个图形叫做位似图形，这个点是位似中心。

由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。

（示例1）（示例2）

（2）位似图形的性质

①每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比；

②位似图形的对应边互相平行。

【例题精讲】直击中考

例1. 1、已知：线段OA OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点。连结AC，BD交于点P。若OA＝OB，且

D为OA中点，则AP

PC

＝。

2、已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E。如图，若∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：ED·EA＝EC·EB。

3、在△ABC中，P为边AB上一点。如图，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP•AB。

4、已知四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 边上的点，DE 与CF 交于点G 。 如图，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF ，求证

。

【课堂练习】

1、已知锐角△ABC 中，边BC 长为12，高AD 长为8。如图，矩形EFGH 的边GH 在BC 边上，其余两个顶点E 、F 分别在AB 、AC 边上，EF 交AD 于点K 。求

AK

EF

的值。

CD

AD

CF DE

2、如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE＝BP，过点E、P作BC的平行线，分别交AC于点F、Q．记△AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3。求证：EF＋PQ＝BC；

3、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接P Q。若△BPQ与△ABC相似，求t的值。

4、如图，在△ABC 中，点D ，E ，Q 分别在AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P 。求证：

DP PE

BQ QC

。

1、如图，在直角坐标系中，有两点A （6，3）、B （6，0）。以原点O 为位似中心，相似比为3

1，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为（ ） A ．（2，1）

B ．（2，0）

C ．（3，3）

D ．（3，1）

（第1题） （第2题）

2、等边△ABC 的边长为6，在AC ，BC 边上各取一点E ，F ，连接AF ，BE 相交于点P ，AE ＝2，BF ＝4，则BP ·BE 等于 。

3、如图1，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为AD 上一点，连接CE 交BD 于F 。如图，若E 为AD 中点，则

DF

OF

的值为 。

（第3题）（第4题）

4、在△ABC中，点D为BC上一点。如图，若∠BAD＝∠CAD，求证：BD AB CD AC

＝。

5、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥BC交BC边于点E。求证：△ABF∽△COE。

CE DF 的值。

6、如图，四边形ABCD是正方形，E边BC的中点，F是边CD上一点，且∠AEF＝90°，求