平面的概念
平面的基本性质
∴过不共线的三点A,B,C有一个平面 （公理3）
∵B∈ ，C∈ ∴a （公理1）
∴过点A和直线a有一个平面
（唯一性）
又由公理3,经过不共线的三点A、B、C的平面
只有一个 ∴经过a和平点面的A基本的性质平面只有一个.
推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。
a
βb
C
数学语言表示:
直 线 a bC 有 且 只 有 一 个 平 面 ， 使 得 a， b.
平面的基本性质
一.平面的概念：
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的 平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽 象的结果。
二.平面的特征：
观察思考
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是 无限延伸的。
三.平面的表示方法：
平面可以用小写的希腊字母或大写的英文字 母表示，也可以用三个或三个以上字母表示。
察 思
问题2 如图，两个平面只有一个公共点，是吗？ 考
?
问题3 照相机架为什么只有三只脚？自行车只用
一只撑脚？
平面的基本性质
公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上的所有点都在这个平面内
BAAB
B A α
l
如果直线l 上所有点都在平面α内就说直线l在平 面α内，或者说平面α经过直线l,否则，就说直 线l在平面α外 应用：
平面的基本性质
推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。
βA
Ba b
C
数学语言表示:
直 线 a//b 有 且 只 有 一 个 平 面 ， 使 得 a， b.
思考1：不共面的四点可以确定多少个平面？ 思考2：四条相交于同一点的直线a,b,c,d并且任意三条都不在同一平 面内，有它们中的两条来确定平面，可以确定多少个平面。
平面的概念知识点总结
平面的概念知识点总结一、平面的概念平面是数学中的基本几何概念之一，是一个没有厚度的二维几何空间。
平面可以用来描述点、直线和其他几何图形的位置关系，是几何学中的基本工具之一。
二、平面的特征1. 平面是无限大的平面没有边界，没有限制，可以延伸到无限远的位置。
任何两点都可以在平面上找到直线连接，这也是平面的特征之一。
2. 平面是无厚度的平面是一个没有厚度的二维几何空间，没有高度和深度的概念，只有长度和宽度的概念。
3. 平面是无旋绕的平面上的任意两条直线不会相交于一个以上的点，也不会平行于一个以上的点，这是平面的另一重要特征。
4. 平面是无法弯曲的平面上的任意两点之间都可以画出唯一一条直线，这条直线不会弯曲或者有转折，也不会在平面之外。
以上几点是平面的主要特征，理解这些特征对于理解平面的性质和应用是非常重要的。
三、平面的表示方法平面可以用三种方法来表示：1. 平面的点集表示法这种方法是最基本的表示方法，平面可以用一组点的集合来表示。
例如，我们可以用A(1,2), B(3,4), C(5,6)来表示一个平面上的三个点。
2. 二维坐标系表示法这种方法是比较常用的表示方法，平面上的点可以用二维坐标系来表示，例如，点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(3,4)。
3. 方程表示法这种方法是用代数方程来表示平面上的点，例如，平面上的点满足方程x+y=5，这就表示了一个平面。
以上三种表示方法可以根据具体情况和需要来选择使用，它们都可以很好地表示平面。
四、平面的性质1. 平面上的直线在平面上的两点可以确定一条直线，平面上的直线可以是任意方向的，可以与平面相交，也可以不相交。
平面上的直线有无限多条。
2. 平面上的角角是由两条不同的直线所围成的空间，平面上的角有不同的类型，例如，锐角、直角和钝角。
3. 平面上的图形平面上的图形有很多种，例如，三角形、正方形、矩形等等，它们都是在平面上的一些特殊的形状。
4. 平面的投影平面上的点和图形可以投影到另一个平面上，投影的形状和大小是与原来的形状和大小有关的。
一、平面的基本性质
平面的基本性质教学目标：1,并能运用它解决点、线共面问题2,并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点”和“三点共线”问题教学重点：平面基本性质的三条公理及其作用．教学难点：（1）对“有且只有一个”语句的理解．（2）确定两相交平面的交线．1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分2．平面的画法及其表示方法：①在立体几何中，常用平行四边形表示平面锐角画成45，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面α，平面AC等3．空间图形是由点、线、面组成的=b A⊂aαα=∅α=Al β= 集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言． a α=∅或a A α=平面的基本性质公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内图1 图2 图3图4公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面. 已知：直线l ，点A 是直线l 外一点.推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面例1 求证:三角形是平面图形已知：三角形ABC求证：三角形ABC 是平面图形例2 两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内已知：直线,,AB BC CA 两两相交，交点分别为,,A B求证：直线,,AB BC CA 共面例3 在正方体1111ABCD A B C D -中，①1AA 与1CC 是否在同一平面内？②点1,,B C D 是否在同一平面内？③画出平面1AC 与平面1BC D 的交线，平面1ACD 与平面1BDC 的交线例4 若l αβ=，,A B α∈，c β∈，试画出平面ABC 与平面,αβ的交线课堂练习1：1 下面是一些命题的叙述语（A 、B 表示点，a 表示直线，α、β表示平面） A ．∵αα∈∈B A ,，∴α∈AB ． B ．∵βα∈∈a a ,，∴a =βα ． C ．∵α⊂∈a a A ,，∴A α∈． D ．∵α⊂∉a a A ,，∴α∉A ． 其中命题和叙述方法都正确的是（ ）1C2．下列推断中，错误的是（ ） A ．αα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,,B ．B B A A =⇒∈∈∈∈βαβαβα ,,,C ．αα∉⇒∈⊄A l A l ,D ．βα∈∈C B A C B A ,,,,,，且A 、B 、C 不共线βα,⇒重合3．一个平面把空间分成____部分，两个平面把空间最多分成____部分，三个平面把空间最多分成____部分．4．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）空间三点可以确定一个平面 （ ） （2）两条直线可以确定一个平面 （ ） （3）两条相交直线可以确定一个平面 （ ） （4）一条直线和一个点可以确定一个平面 （ ） （5）三条平行直线可以确定三个平面 （ ） （6）两两相交的三条直线确定一个平面 （ ） （7）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合 （ ） （8）若四点不共面，那么每三个点一定不共线 （ ）课堂练习2： 1．选择题（1）下列图形中不一定是平面图形的是 （ ） （A ）三角形 （B ）菱形 （C ）梯形 （D ）四边相等的四边形（2）空间四条直线，其中每两条都相交，最多可以确定平面的个数是（ ） （A ）一个 （B ）四个 （C ）六个 （D ）八个（3）空间四点中，无三点共线是四点共面的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要（4）若a ⊂ α，b ⊂ β，α∩β=c ，a ∩b =M ，则 （ ） （A ）M ∈c （B ）M ∉c （C ）M ∈α （D ）M ∈β2．已知直线a //b //c ，直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ，求证：a 、b 、c 、d 四线共面.课后练习：11、给定四个命题：(1)一平面的面积可以等于100cm3；(2)平面是矩形或平行四边形形状；(3)铺得很平的一张白纸是一个平面；(4)20个平面重合在一起比一个平面厚20倍，其正确的有 ( )A.0B.2C.3D.42、满足下列条件，平面α∩平面β=AB，直线a⊂α，直线b⊂β且a∥AB，b∥AB的图形是 ( )3、两个平面能把空间分成几个部分 ( )A.2或3B.3或4C.3D. 2或44、三个平面把空间分成最多或最少几个部分 ( )A.8；4B.7；4C.8；6D.6；45、三条直线两两相交，经过这3条直线的平面有 ( )A.0个B.1个C.0或1个D.3个6、空间有四个点，如果其中任意三点都不在同一直线上，那么经过其中三个点的平面 ( )A.可能有3个，也可能有2个B.可能有3个，也可能有1个C.可能有4个，也可能有3个D.可能有4个，也可能有1个7、确定一个平面的条件是（）A、空间三点B、空间两条件直线C、一条直线和一点D、不过同一点且两两相交的三条直线8、下列命题中正确的是（）A、空间四点中有三点共线，则此四点必共面B、三个平面两两相交的三条交线必共点C、空间两组对边分别相等的四边形是平行四边形D、平面a和平面b只有一个交点9、M、N、P、Q是空间不同的四点，下列命题中，错误的是（）A、若MP与NQ共面，则MQ与NP异面B、若MP与NQ共面，则MQ与NP异面C、若MP=NQ，MN=PQ，则MQ=NPD、若MP^NQ，MN^PQ，则MQ^NP10、水平放置的DABC有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正DA1B1C1，则 DABC是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、任意三角形11、a、b为异面直线，a上有5个点，b上有8个点，从这些点中选三个点确定一个平面，共能确定不同的平面数为_________（任意3点不共线）12、正方体的六个面把空间分成_______个部分二、填空题：7.(1)如果把图形比作一本打开的书，那么书内是向里还是向外 ;(2)αβ= ，AB α= ，AB与PQ .8.两两平行的三条直线最多可以确定个平面.9.直线AB、AD⊂α，直线CB、CD⊂β，点E∈AB，点F∈BC，点G∈CD，点H∈DA，若直线EH∩直线FG=M，则点M 在上.三、解答题：10.画一个正方体ABCD—A1B1C1D1，再画出平面ACD1与平BDC1的交线，并且说明理由.11.求证：三条两两相交且不共点的直线必共面.12、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，设A1C与平面ABC1D1交于点O，求证：B、O、D1三点共线。
平面相关知识点总结高中
平面相关知识点总结高中一、平面的概念和特点1.1 平面的概念平面是指没有厚度、只有长度和宽度的二维几何图形。
在空间中，平面是一种没有厚度和边界的几何图形，它只有长度和宽度，可以用一个无限多边形的点集体来表示。
平面是一种基本的几何概念，也是几何学的一个重要分支。
1.2 平面的特点（1）平面上的点是没有厚度的，只有长度和宽度；（2）平面上的直线是没有宽度的，只有长度；（3）平面上的图形是由点和直线组成的，每个点和直线在平面上都有唯一的位置。
二、平面图形的基本性质2.1 平面图形的分类平面图形是指在平面上的几何图形，包括点、线段、直线、角、多边形等。
根据图形的特点，平面图形可以分为以下几类：（1）点：没有长度和宽度，只有位置；（2）线段：有两个端点，有长度，但没有宽度；（3）直线：无限延伸，没有宽度，只有长度；（4）角：由两条射线共同起点组成，可以分为锐角、直角、钝角等；（5）多边形：由多条线段组成，包括三角形、四边形、五边形等。
2.2 平面图形的性质（1）平行线的性质：平行线在同一平面上，不相交，且距离相等；（2）垂直线的性质：两条垂直线相交成直角；（3）角的性质：角的种类包括锐角、直角、钝角等，可根据角的度数进行分类；（4）多边形的性质：包括三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°等。
三、平面几何问题的解决方法3.1 轴测投影法轴测投影法是描述和分析物体形状和结构的一种有效方法，包括平行轴测投影、透视轴测投影和等轴测投影等。
在解决平面几何问题时，可以利用轴测投影法来进行图形的绘制和分析，以便更好地理解和解决问题。
3.2 图形的相似性图形的相似性是指两个或多个图形在形状上相似，但尺寸不同的一种关系。
在解决平面几何问题时，可以利用图形的相似性来推导和证明结论，从而解决问题。
3.3 平面几何的应用平面几何在生活中有着广泛的应用，包括地图制作、建筑设计、工程测量等领域。
在解决实际问题时，可以利用平面几何的知识和方法进行分析和计算，以满足实际需求。
平面构成知识
无目的构成
目的构成
•
构成教育的目的在于培养设计师具有创意 及组织能力和造型基础，一般均排出对具象事 物的描绘，只表现纯粹、非具象的形态。构成 法则可使用分割、位移、重叠、重复、错觉、 反置等手法。
• 设计可以说是有目的的构成之一。其构成要素 必然也具有某种意义，通常这些意义对其构成 整体不具有支配作用。简言之，构成不具有任 何装饰效果，写实描绘或模仿意识，是现代化 的造型概念之一。
• 自然造型是存在于宇宙的物体形貌。
• 人为造型分为由点、线、面、立体等几何学形 状所构成的抽象形态，又称几何或纯粹形态。 形态的组合变化，可以通过位置移动、角度变 换、形体大小三种基本方式来操作。
•
巴西议会大厦
—奥斯卡.尼迈耶
•
构成，指以形态和材料等为要素，组织出 具有视觉性、力学、美感或精神力学的形象。 • 大体上，构成要素必须排除具象事物的描 绘或具有象征意义之图像，只表现纯粹形态或 抽象形态。而构成所表现的动作不只是单纯的 机械化动作，必须含有可知性的主观意识的动 作。纯粹表达感觉效果的构成，称为无目的构 成；具有实用目的的构成，称为目的构成。
平面构成的基本元素
试分析上面三幅画可分 别概括为哪些基本图形构 成： 、 、 。
平面构成的要素:点、线、面 点、线、面构成是按照一定的构 成原理，将点、线、面等要素在平面 上进行排列、组合，构成具有装饰美 感的画面。
点是造型艺术中最小的构成单位。
点形态可以是自然具象的无限 缩小.
(一)点的概念
2）等量分割
----被分割面面 积相同、形状不 同 特点：富于变化， 量上给人以均衡 感及稳定感。
1.2 比例分割
分割线的间距采用 依次增大或减小的 级数分割； 特点：形状、面积 均按规则变化，是 动感和统一感的组合。
平面图形的基本概念与性质
定义：直角三角形是有一个角为直角的三角形，等腰直角三角形是两边相等且有一个角为直角的三角形。
性质：直角三角形具有斜边最长的特点，等腰直角三角形除了具有直角三角形的性质外，还具有两边相等的特点。
面积计算：直角三角形的面积可以通过底和高来计算，等腰直角三角形的面积可以通过直角边来计算。
特殊性质：等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形，它具有一些特殊的性质，如两个锐角相等，两条直角边相等，斜边最长且等于直角边的平方和的平方根。
根据轴对称性分类：轴对称图形、中心对称图形等
根据是否封闭分类：封闭图形、开放图形等
02
平面图形的性质
形状与大小
添加标题
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添加标题
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平面图形的大小由其面积和周长衡量，表示平面图形所占据的区域大小。
平面图形的形状由其边界决定，可以是圆形、椭圆形、多边形等。
平面图形的形状和大小是描述平面图形的基本属性，对于确定图形的位置、关系和性质具有重要意义。
平面图形可以是封闭的，即由线段围成的区域，也可以是开放的，即由线段组成但没有形成封闭区域。
平面图形具有多种分类方式，如按照形状、边数、对称性等进行分类。
平面图形只存在于二维平面中，不具有三维空间中的深度和高度。
平面图形的分类
根据边数分类：三角形、四边形、五边形等
根据角数分类：锐角三角形、钝角三角形、直角三角形等
形状与大小是平面图形的基本性质之一，对于几何学、图形学等领域的研究和应用具有基础性作用。
边与角
边长：连接两个顶点的线段的长度
角度：两条射线之间的夹角大小
平行线：不相交的两条直线
对角线：连接一个角的顶点与其对边上一点的线段
对称性
定义：平面图形关于某一直线或点对称
平面及其表示教案中职
平面及其表示教案中职教案标题：平面及其表示教学目标：1. 了解平面的基本概念和特征。
2. 掌握平面的表示方法，包括平面图和坐标表示法。
3. 能够在平面上进行简单的几何运算，如平移、旋转和镜像。
4. 发展学生的几何思维和空间想象能力。
教学内容：1. 平面的定义和特征：a. 平面的定义：平面是一个没有厚度的二维空间，可以看作是无限多个平行线的集合。
b. 平面的特征：平面上的任意两点可以确定一条直线，平面上的任意三点不共线。
2. 平面的表示方法：a. 平面图表示法：通过绘制平面图来表示平面上的图形和位置关系。
b. 坐标表示法：通过引入坐标系，使用坐标来表示平面上的点和图形。
3. 平面上的几何运算：a. 平移：将平面上的图形按照指定的方向和距离进行移动。
b. 旋转：围绕平面上的某个点或轴进行旋转，可以按照角度和方向确定旋转的方式。
c. 镜像：以平面上的某条直线或点为轴进行镜像，可以按照轴的位置和方向确定镜像的方式。
教学步骤：1. 导入与激发兴趣：通过展示一些平面相关的实际例子，引发学生对平面的兴趣和好奇心。
2. 知识讲解：简要介绍平面的定义和特征，并详细讲解平面的表示方法和几何运算。
3. 实例演示：通过绘制平面图和使用坐标表示法，展示不同图形在平面上的表示方法，并进行平移、旋转和镜像的演示。
4. 练习与巩固：提供一些练习题，让学生运用所学知识进行实践操作，巩固对平面及其表示的理解。
5. 拓展与应用：引导学生思考平面在日常生活和其他学科中的应用，并展示相关实际案例。
6. 总结与归纳：对本节课所学内容进行总结，并强调学生需要掌握的重点和难点。
7. 课后作业：布置一些与平面及其表示相关的作业，以巩固学生的学习成果。
教学资源：1. 平面图纸和绘图工具。
2. 坐标系图纸和坐标纸。
3. 实际生活中的平面示例图片或视频。
4. 平面几何练习题和答案。
评估方式：1. 课堂练习：通过学生的练习题完成情况和答案讲解，检查学生对平面及其表示的掌握程度。
空间直线和平面 概念整理
空间直线和平面概念整理1.空间直线、平面这一章节有哪几个章节组成？（1）平面直线；（2）空间两直线；（3）直线与直线平行，平面与平面平行；（4）直线与平面相交，平面与平面相交2.空间两直线位置关系有哪几种？（1）相交；（2）平行；（3）异面3.空间直线与平面的位置关系卫？（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交（包括垂直）；（3）直线与平面平行4.空间两平面位置关系？（1）平行；（2）相交（包括垂直）5.平面的概念中有哪几个公理？公理1：如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面内有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个点的公共线。
公理3：经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面（也称确定一个平面）。
推论1：经过直线与直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
6.什么是等角定理？如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，则这两组直线所交的锐角（或直角）相等。
7.异面直线如何定义？什么是异面直线所成角？什么是两条异面直线互相垂直？（1）不同在任何一平面内的两条直线，叫做异面直线。
（2）经过空间任意一点，作两条异面直线的平行线，这两条平行直线所成的锐角（或直角）就称异面直线的所成角。
90，则称这两条异面直线互相垂直。
（3）若两条异面直线的所成角为8.直线与平面平行的判定（1）定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称直线与平面平行。
（2）判定：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（线线平行，面面平行）9.直线与平面平行的性质：定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（线面平行，线线平行）10.平面与平面平行的判定：（1）定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面互相平行。
直线与平面的关系
直线与平面的关系直线与平面是几何学中最基本的概念之一，它们之间的关系是我们在解决几何问题时必须要了解和掌握的。
直线是由无数个点组成，它在空间中没有宽度和厚度，只有长度。
而平面则是由无数个直线相互沿着同一方向延伸形成的，它有长度和宽度，但没有厚度。
下面我们将进一步探讨直线与平面之间的关系。
1. 直线与平面的相交当一条直线与一个平面相交时，可以出现三种情况：直线与平面相交于一点、直线与平面相交于一条线段或直线与平面相交形成空间中的一平面。
1.1 直线与平面相交于一点当一条直线与一个平面只有一个公共点时，我们称直线与平面相交于一点。
这个点是直线上的一个点，同时也是平面上的一个点。
例如，在空间中取一直线L和一个平面P，如果直线L恰好通过平面P上的一个点，那么我们就可以说直线L与平面P相交于一个点。
1.2 直线与平面相交于一条线段当一条直线与一个平面有多个公共点时，我们称直线与平面相交于一条线段。
这个线段是直线上的一部分，同时也是平面上的一条线段。
例如，在空间中取一直线L和一个平面P，如果直线L通过平面P上的两个不同点，那么我们就可以说直线L与平面P相交于一条线段。
1.3 直线与平面相交形成一平面当一条直线与一个平面有无数个公共点时，我们称直线与平面相交形成一平面。
这个平面既包含直线上的所有点，也包含平面上的所有点。
例如，在空间中取一直线L和一个平面P，如果直线L与平面P 重合，那么我们就可以说直线L与平面P相交形成一平面。
2. 直线与平面的垂直关系直线与平面之间的垂直关系是指直线与平面之间的夹角为90度。
当一条直线与一个平面垂直时，我们称这条直线垂直于该平面。
2.1 直线垂直于平面的判定要判定一条直线是否垂直于一个平面，我们可以通过以下条件来进行判断：（1）直线上的任意一条线段都与平面上的任意一条线段垂直。
（2）直线上的一条线段与平面上的一条线段垂直，并且直线上的另一条线段也与平面上的另一条线段垂直。
当以上任意一种情况满足时，我们可以得出结论：直线垂直于该平面。
平面的基本性质及三大公理ppt课件
如果要把一根木条固定在墙 面上,至少需要几个钉子?
文 公理1:如果一条直线上的
字 两个点在平面内,那么这条
语 言
直线上所有的点都在这个 图形语言
平面内.
符
α AB
号
Al, B l, A, B
直AB
语 言
关键词: 两作点用, ：用所有来证明或
证明： AB , AC
B,C BC
你骑车放学回家了,到家时如何才 能把自行车停稳?
B
A
C
公理２经过不在同一直线上的 三点有且只有一个平面.
B
α 。A
C
表示为:
A、B、C不共线 A、B、C确定一个平面 .
推论1:过直线和直线外一点,有且只有 一个平面.
推论2:过两条相交直线,有且只有一 个平面 .
例题
一、平面的概念
平面和点、直线一样,它是构成空间图形的基 本要素之一，是一个只描述而不定义的原始概念.
(1)数学中所说的平面在空间是无限伸展的（直 线是无限延伸的）
(2)平时接触到的平面实例都只是平面的一部分
1.平面的基本概念:
几何里的平面的特征:
1.平 2.无限延展 3.不计厚薄
（不是凹凸不平） （没有边界）
（没有质量）
二、平面的画法
直线是无限延伸的,通常我们画出直线的一部 分来表示直线,同样地,我们也可以画出平面的一 部分来表示平面.
通常用平行四边形来画平面 1、一个平面在不同的摆放状态下的画法
当 平 面 水 平 放 置 的 时，候 通 常 把 平 行 四 边 形 的 锐 角 画 成4 5
2、两个平面在不同的位置关系下的画法
几何中平面的定义
几何中平面的定义平面是几何中的一个基本概念，它是一个无限大的二维空间。
平面没有任何厚度，可以看作是一个无限大的薄片。
在平面中，任意两点之间都能找到一条直线，平面上的点和直线之间有着密切的关系。
平面的定义可以从不同角度来理解。
从直观的角度来看，平面可以用一个平面镜来形象地表示。
当我们将平面镜放在任何位置时，我们都能看到平面上的所有点，这是因为光线可以在镜面上反射，从而将平面上的信息传递给我们。
这个概念可以帮助我们理解平面的特性。
在几何中，平面还可以通过一些特殊的性质来定义。
首先，平面上的任意三个点不共线，这意味着它们不能在同一条直线上。
其次，平面上的任意两条直线要么相交于一点，要么平行。
这些性质可以用来确定平面的位置和形状。
平面可以通过一些基本图形的组合来构造。
例如，通过连接平面上的三个非共线点，我们可以得到一个三角形。
通过连接平面上的四个非共线点，我们可以得到一个四边形。
这些基本图形可以进一步组合形成更复杂的图形，如多边形、圆等。
平面还有一些重要的性质和定理。
首先，平面上的点可以通过坐标系来表示。
我们可以用两个数来表示平面上的任意一个点，这两个数分别代表该点在水平和垂直方向上的位置。
其次，平面上的点可以通过向量来表示。
向量可以表示平面上的平移和旋转等运动。
平面上的点还可以通过极坐标来表示，其中一个数表示点到原点的距离，另一个数表示点与正向x轴的夹角。
平面几何是数学中一个重要的分支，它与其他数学学科有着密切的联系。
平面几何可以应用于建筑设计、艺术创作、地图制作等多个领域。
在建筑设计中，平面几何可以帮助设计师确定建筑物的外观和内部空间的布局。
在艺术创作中，平面几何可以用来构图和表达艺术家的创意。
在地图制作中，平面几何可以用来描绘地理信息和测量距离。
总结起来，平面是一个无限大的二维空间，其中任意两点之间都能找到一条直线。
平面可以通过特殊性质和基本图形来定义和构造。
平面几何是数学中一个重要的分支，它与其他学科有着广泛的应用。
高中数学《平面的基本性质》教案
高中数学《平面的基本性质》教案章节一：平面的概念1.1 教学目标让学生理解平面的基本概念，包括平面的定义和表示方法。
让学生掌握平面的性质，如平面的无限延展性和平面的包含关系。
1.2 教学内容平面定义：平面是无限延展的、无厚度的二维空间。
平面表示方法：用希腊字母“π”表示平面。
平面性质：平面的无限延展性，平面内任意两点可以确定一条直线。
1.3 教学步骤引入平面的概念，引导学生思考日常生活中的平面例子。
讲解平面的定义和表示方法，通过图形和实例进行说明。
引导学生理解平面的性质，通过实际操作和几何证明来加深理解。
章节二：平面的基本性质2.1 教学目标让学生掌握平面的基本性质，包括平面的连续性、平行的性质和平面的包含关系。
2.2 教学内容平面连续性：平面上的任意两点都可以用一条直线连接。
平面平行性质：同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。
平面包含关系：一条直线可以包含在平面内，也可以不包含在平面内。
2.3 教学步骤回顾平面的概念和表示方法，引导学生思考平面的性质。
讲解平面的连续性，通过图形和实例进行说明。
讲解平面的平行性质，通过实际操作和几何证明来加深理解。
讲解平面的包含关系，通过实际操作和几何证明来加深理解。
章节三：平面的画法3.1 教学目标让学生掌握平面的画法，包括平面在坐标系中的表示和平面的方程。
3.2 教学内容平面在坐标系中的表示：平面可以用方程表示，如Ax + By + C = 0。
平面方程的求法：通过已知的平面上的点和平面的法向量来求解平面方程。
3.3 教学步骤引导学生回顾平面的概念和性质，引出平面的画法。
讲解平面在坐标系中的表示方法，通过图形和实例进行说明。
讲解平面方程的求法，通过实际操作和几何证明来加深理解。
章节四：平面与直线的关系4.1 教学目标让学生掌握平面与直线的关系，包括平面与直线的相交和平行。
4.2 教学内容平面与直线的相交：平面与直线相交时，交点称为直线在平面上的投影。
平面与直线的平行：平面与直线平行时，直线上的任意点都不在平面内。
八、平面空间
余旭主讲
一、理解概念 平面——多个形象并置于画面，各形象无远近、厚度之分， 这些称为平面空间也称为二维空间。 在平面上，空间是一个幻觉幻像，是指通过制造视觉空间 幻觉的手段来表现平面中的形象。
二、平面空间的表达方法
1、大小变化——相同的形象通过大小的改变呈 现出远近的空间变化
2、复叠——一个形象叠在另一个形象上，产生前后的 空间变化
3、色彩变化——通过对相同和不同形象色彩的冷暖、明度、纯度的 改变产生空间变化
4、弯曲变化——通过对形象的局部弯曲产生空间变化
5、改变方向——将不同形象按正侧或不同方向放置在画面中，或将 形象某部分改变方向与其他部分产生一定角度或垂直而产生空间变化
6、添加投影——通过对形象添加投影表达平面空间
7、疏密——数目多的形象按疏密不同放置在画面中，产生前后变化 的空间感
三、平面空间的特性 1、幻觉性——幻觉性是平面空间的重要特性
2、暧昧性或矛盾性 形象的局部结构是合理的，但整理却是矛盾的。
平面空间幻觉性、矛盾性作品
《平面的概念和表示》教学设计
注：画两个平面相交的图时，注意画出交线。 3、平面的表示 平面通常用一个希腊字母α、β、γ等来表示，如平面 α，平面β，平面γ等，也可以用表示平面的多边形的一条 对角线的两个端点的字母，如平面 AC（如上图） 注：⑴用α、β、γ等表示平面时，字母写在表示平面 的多边形的一个内角内（一般写在锐角内） 。 ⑵用三角形表示平面时，可用三个顶点表示平面。 4、点与平面的位置关系及符号表示 平面可以认为是由它内部的所有的点组成的点集，其中 每个点都是它的元素。 空间的点与平面有且只有下列位置关系： ⑴点在平面内，如点 A 在平面α内，记作 A∈α。 ⑵点在平面外，如点 B 在平面α外，记作 B ∉ α（如图） B A α
D α A B
C β
α
特点 画法 表示法
注：当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐 角画成 45º，横边画成邻边的 2 倍（如图） 几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面 遮住时，应把被遮部分的线段画成虚线或不画，这样看起来 立体感强一些。 （如图）
虚线的意义
答案：⑴向两方无限伸长的⑵向四周无限扩展的 D ⑶ A B 或 a ⑷ A α B C
个人备课笔录
空间图形
平面图形 立体图形
（图 1） （图 2） T2：看图 2，这又是什么图形？我们看见了它的哪几个 面？ T3：请判断下面的两个图形是否正确？ 图 3 中， E、 分别在 C1D1 和 A1B1 上， 点 F 直线 EF 交 BA 的延长线于 G。 1 图 4 中，点 E、F 分别在 A1B1 和 A1A 上，直线 EF 交 BA 的延长线于 G。 D1 E C1 D1 C1 A1 F D B1 C B D F G A G A B （图 3） （图 4） 上面涉及到的正方体， 组成它的各点不都在同一平面内， 这种几何图形称为立体图形。 平面图形和立体图形都是空间图形，即 A1 E C B1
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15 年级学科数学教学设计（1）
，横边画成邻边的画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画
……来表示，还可用平行四
图形 符号语言 文字语言（读法） A
a
A a ∈ 点A 在直线a 上
A
a
A a ∉ 点A 不在直线a 上
A
α
A α∈
点A 在平面α内
A
α
A α∉
点A 不在平面α内
b a A
a
b A =
直线a 、b 交于A 点
a
α
a α⊂
直线a 在平面α内
a
α
a α=∅
直线a 与平面α无公共点
a
A
α
a A α= 直线a 与平面α交于点A
l α
β= 平面α、β相交于直线l
教 学 环 节 及 教 学 内 容
设 计 思 路
集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“⊂”和“ ”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言α⊄a （平面α外的直线a ）表示α⊄a （平面α外的直
线a ）表示a α=∅或a A α=
三、讲解范例：
例1将下列符号语言转化为图形语言： （1）A α∈，B β∈，A l ∈，B l ∈； （2）a α⊂，b β⊂，//a c ，b c p =，c αβ=
解：
说明：画图的顺序：先画大件（平面），再画小件（点、线） 例2 将下列文字语言转化为符号语言：
（1）点A 在平面α内，但不在平面β内；（2）直线a 经过平面α外一点M ；
（3）直线l 在平面α内，又在平面β内（即平面α和β相交
于直线l ）
解：（1）A ∈α，A ∉β； （2）M ∈a ，M ∉α； （3）l ∈α，l ∈β（即α β＝l ）
〖教师小结〗平面的概念；平面的画法、表示方法及两个平面
相交的画法；点、直线、平面间基本关系的文字语言，图形语言和符号语言之间关系的转换
〖指定作业〗试用集合符号表示下列各语句，并画出图形：
（1）点A 在平面α内，但不在平面β内；
（2）直线a 经过不属于平面α的点A ，且a 不在平面α内； （3）平面α与平面β相交于直线l ，且l 经过点P ；（4）直线l 经过平面α外一点P ，且与平面α相交于点M
教师引导学生根据上表分组完成，教师做好讲评
课堂小结 1：平面的概念
2：用集合符号表示点、线、面的位置关系。