高一数学导数课件

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导数的概念ppt课件

解: y x x x,
y x x x
x
x
y' y x
1
x x
x x x x
1 ,当x 0时的值。 x 2x
例3 某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求: (1)t=2的瞬时速度； (2) 求该质点的速度； (3)求该质点的加速度.
作业2：航天飞机发射后的一段时间内，第t秒末的高度h(t)＝30t2＋45t，其中h的单位是m， t的单位是s．
v在t0的瞬时速度
f (t0 t) t
f (t0 )
当t 0时
以平均加速度代替瞬时加速度，然后通过
取极限，从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速
度的精确值。其实函数在某一点处的瞬时变化率---------导数。
导数的概念
一.导数的概念
函数 y f ( x)在区间（a, b)有定义， x0 （a, b)
(4) f(x) ＝ 1 ； x
并把A
叫做函数 y f (x)在点 x0处的导数 , 记为y x x0
y xx0 f ' ) ,当x 0
x
x
由定义求导数（三步法）
步骤:
(2) 算比值 y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
(3) 求y
x x0
xy .在x x
x
0时
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数
解： y [(1 x)2 2] (12 2) 2x (x)2
y 2x (x)2
2 x
x
x
y 2 x,当x 0时 x
y' |x1 2
变题.求y=x2+2在点x=a处的导数
例2.若f (x) (x 1)2 , 求f (2)和( f (2))

高中数学导数的计算PPT课件

• 3.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在(2，－1)处的切线方程为y＝x－3，求a，b，c的值．
解析：
由题意知a4＋a＋b＋2bc＋＝c1＝－1
① ②
又∵y′＝(ax2＋bx＋c)′＝2ax＋b，
∴y′|x＝2＝4a＋b＝1.
③
由①②③解得 a＝3，b＝－11，c＝9.
• 作业布置 • 课本课后习题
(1)区分公式的结构特征，既要从纵的方面(ln x)′与 (logax)′，(ex)′与(ax)′区分，又要从横的方面(logax)′与 (ax)′区分，找出差异，记忆公式．
(2)对公式(logax)′可用(ln x)′和求导法则证明来帮助记忆．
(logax)′＝(llnn ax)′＝ln1a·1x＝x·l1n a.
3．两个函数积与商的导数的注意点 (1) 在两个函数积与商的导数运算中，不能出现 [f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)以及gfxx′＝gf′′xx的错误； (2)在两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数中是“＋”号，而商的导数中分子上是“－”号．
1 1.
xln 2
(6)y′＝(3x)′＝3xln 3.
• [总结] (1)应用导数的定义求导，是求导数的基本方法，但运算较繁琐，而利用导数公式求导数，可以简化求导过程，降低运算难度，是常用的求导方法．
• (2)利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，有时还要先对函数解析式进行化简整理，这样能够简化运算过程．
是否有更简便的求导数的方法呢？
带着问题看课本： 1，基本初等函数的导数公式是什么？ 2，导数的运算法则是什么？ 3，如何利用公式和法则进行简单的计算

高一数学导数运算法则(中学课件2019)

(3.2.2)基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1.若f (x) c,则f '(x) 0;
公式2.若f (x) xn ,则f '(x) nxn1;
公式3.若f (x) sin x, 则f '(x) cos x;
公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即: f (x) g(x) f (x) g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f (x) g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
公式5.若f (x) a x ,则f '(x) a x ln a(a 0);
公式6.若f (x) ex ,则f '(x) ex ;
公式7.若f
(x)

log a
x, 则f
'( x)

1 x ln a
(a
0, 且a
1);
公式8.若f (x) ln x,则f '(x) 1 ; x
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个
函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函
数的平方.即:
f (x)

g(x)

பைடு நூலகம்
f
(
x)
g
(x) f (
g ( x)2
x)
g
(

高一数学复习考点知识讲解课件43---导数

高一数学复习考点知识讲解课件第3课时导数考点知识1.理解导数及导函数的概念.2.会利用极限的思想求函数在某点处的导数以及函数的导函数．导语同学们，大家知道，从数学的角度是如何衡量时代的进步的吗？那就是对函数的精细化研究，人们为了更好的研究函数的性质，400年前法国数学家首次提出了导数的概念，在此基础上，大数学家牛顿，莱布尼茨推动了对导数研究的快速前进，后来才有了柯西等人对导数的精确描述，希望同学们也能站在巨人的肩膀上，刻苦学习，深入研究，将来也一定能取得惊人的成就．一、导数的概念问题1瞬时变化率的几何意义是什么？它的数学意义又是什么？提示瞬时变化率的几何意义是曲线在某点处的切线斜率；它的数学意义是函数在该点的导数．知识梳理1．导数设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．2．导数的几何意义导数f ′(x 0)的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．注意点：f (x )在x ＝x 0处的导数为f ′(x 0)＝k ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 例1设函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，且lim Δx →0f ()x 0＋3Δx －f ()x 02Δx＝1，则f ′()x 0等于() A.23B ．－23C ．1D ．－1答案A解析由题意知lim Δx →0f ()x 0＋3Δx －f ()x 02Δx ＝lim Δx →032×f ()x 0＋3Δx －f ()x 03Δx＝32f ′()x 0＝1，所以f ′()x 0＝23.反思感悟利用定义求函数在某点处的导数，仍然采用“无限逼近”的思想，由割线的斜率无限逼近函数在某点处的切线的斜率，其格式采用的是两点的斜率，故要注意分子、分母的对应关系．跟踪训练1已知函数f (x )可导，则lim Δx →0f (2＋2Δx )－f (2)2Δx等于() A ．f ′(x ) B ．f ′(2) C ．f (x ) D ．f (2)答案B解析因为函数f (x )可导，所以f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx，所以lim Δx →0f (2＋2Δx )－f (2)2Δx＝f ′(2)．二、求函数在某一点处的导数例2求函数y ＝x －1x 在x ＝1处的导数．解∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝⎛⎭⎪⎫1－11 ＝Δx ＋Δx 1＋Δx， ∴Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx ， ∴lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎪⎫1＋11＋Δx ＝2. 从而f ′(1)＝2.反思感悟用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤(1)求函数的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (3)求极限lim Δx →0Δy Δx.跟踪训练2(1)f (x )＝x 2在x ＝1处的导数为()A ．2xB ．2C ．2＋ΔxD ．1答案B解析lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →01＋2Δx ＋(Δx )2－1Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx )＝2. (2)已知f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－12，则m 的值等于()A ．－4B ．2C ．－2D ．±2答案D解析因为Δy Δx ＝f (m ＋Δx )－f (m )Δx＝2m ＋Δx －2m Δx ＝－2m (m ＋Δx )，所以f ′(m )＝lim Δx →0－2m (m ＋Δx )＝－2m 2，所以－2m 2＝－12，m 2＝4，解得m ＝±2.三、导函数问题2以上我们知道，求函数在某一点的导数，可以发现函数在该点附近的变化，能否通过求导研究函数的整体变化？提示这涉及到函数在任意一点的导数问题，通过f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx可知f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx，这就是函数在任意一点的导数，即导函数，它不再是一个确定的数，而是一个函数．知识梳理导函数的定义若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点处的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数记作f ′(x )或y ′，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx. 注意点：(1)f ′(x 0)是具体的值，是数值．(2)f ′(x )是函数f (x )在某区间I 上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数．例3求函数y ＝x ＋1(x >－1)的导函数．解令f (x )＝x ＋1，则f ′(x )＝lim Δx →0f ()x ＋Δx －f (x )Δx ＝lim Δx →0x ＋Δx ＋1－x ＋1Δx＝lim Δx →0x ＋Δx ＋1－()x ＋1Δx ⎝⎛⎭⎫x ＋Δx ＋1＋x ＋1 ＝lim Δx →01x ＋Δx ＋1＋x ＋1＝12x ＋1.反思感悟求导函数的一般步骤：(1)Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )． (2)Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx. (3)求极限lim Δx →0Δy Δx. 跟踪训练3已知函数f (x )＝x 2－12x .求f ′(x )．解∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(Δx )2＋2x ·Δx －12Δx ，∴Δy Δx ＝2x ＋Δx －12.∴f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝2x －12.1．知识清单：(1)导数的概念及几何意义．(2)求函数在某点处的导数．(3)导函数的概念．2．方法归纳：定义法．3．常见误区：利用定义求函数在某点处的导数时易忽视分子、分母的对应关系．1．若函数f (x )可导，则lim Δx →0f (1－Δx )－f (1)2Δx等于() A ．－2f ′(1) B.12f ′(1)C ．－12f ′(1)D ．f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12 答案C解析lim Δx →0f (1－Δx )－f (1)2Δx＝－12lim Δx →0f [1＋(－Δx )]－f (1)－Δx＝－12f ′(1)． 2．若lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝x 2，则f (x )的导函数f ′(x )等于() A ．2x B.13x 3C ．x 2D ．3x 2答案C解析由导数的定义可知，f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝x 2. 3．已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y ＋2＝0，则f ′(1)等于()A ．4B ．－4C ．－2D ．2答案D解析由导数的几何意义知f ′(1)＝2.4．已知函数f (x )＝x ，则f ′(1)＝.答案12解析f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →01＋Δx －1Δx ＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12.课时对点练1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线()A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴斜交答案B解析因为f ′(x 0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率为0.2．已知某质点的运动方程为s ＝2t 2－t ，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，则s ′()2为()A ．3m/sB ．5m/sC ．7m/sD ．9m/s答案C解析s ′()2＝lim Δt →0Δs Δt＝lim Δt →02(2＋Δt )2－(2＋Δt )－()2×22－2Δt ＝lim Δt →0 (7＋2Δt )＝7.3．若可导函数f (x )的图象过原点，且满足lim Δx →0f (Δx )Δx＝－1，则f ′(0)等于() A ．－2B ．2C ．－1D ．1答案C解析∵f (x )图象过原点，∴f (0)＝0，∴f ′(0)＝lim Δx →0f (0＋Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0f (Δx )Δx ＝－1. 4．已知曲线f (x )＝12x 2＋x 的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为()A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案D解析∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝12(x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－12x 2－x ＝x ·Δx ＋12(Δx )2＋Δx ，∴Δy Δx ＝x ＋12Δx ＋1，∴f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝x ＋1. 设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝x 0＋1＝3，∴x 0＝2.5．(多选)下列各点中，在曲线y ＝x 3－2x 上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是()A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1,1)答案BC解析设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )－(x 30－2x 0)Δx＝3x 20－2＝tan π4＝1，所以x 0＝±1，当x 0＝1时，y 0＝－1.当x 0＝－1时，y 0＝1.6．(多选)若函数f (x )在x ＝x 0处存在导数，则lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0)h的值() A ．与x 0有关B ．与h 有关C ．与x 0无关D ．与h 无关答案AD解析由导数的定义可知，函数f (x )在x ＝x 0处的导数与x 0有关，与h 无关．7．设函数f (x )＝ax ＋3，若f ′(1)＝3，则a ＝.答案3解析因为f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0a (1＋Δx )＋3－(a ＋3)Δx＝a . 又因为f ′(1)＝3，所以a ＝3.8．已知函数y ＝f (x )在点(2,1)处的切线与直线3x －y －2＝0平行，则f ′(2)＝. 答案3解析因为直线3x －y －2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知f ′(2)＝3.9．求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数．解Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3)＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16. ∴f ′(3)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(2Δx ＋16)＝16. 10．一条水管中流过的水量y (单位：m 3)与时间t (单位：s)之间的函数关系为y ＝f (t )＝3t .求函数y ＝f (t )在t ＝2处的导数f ′(2)，并解释它的实际意义．解因为Δy Δt ＝f (2＋Δt )－f (2)Δt ＝3(2＋Δt )－3×2Δt＝3，所以f ′(2)＝lim Δt →0Δy Δt＝3. f ′(2)的实际意义：水流在t ＝2时的瞬时流速为3m 3/s.11．若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为()A ．4x －y －4＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0答案A解析设切点为(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x .由题意可知，切线斜率k ＝4，即f ′(x 0)＝2x 0＝4，所以x 0＝2.所以切点坐标为(2,4)，切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.12．若曲线y ＝f (x )＝x ＋1x 上任意一点P 处的切线斜率为k ，则k 的取值范围是() A ．(－∞，－1) B ．(－1,1)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)答案C解析y ＝x ＋1x 上任意一点P (x 0，y 0)处的切线斜率为k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0＋Δx )＋1x 0＋Δx －⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0Δx ＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20＋x 0Δx ＝1－1x 20<1. 即k <1.13．函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )为函数f (x )的导函数，下列数值排序正确的是()A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(2)<f (3)－f (2)<f ′(3)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)答案B解析由f (x )的图象可知，f (x )在x ＝2处的切线斜率大于在x ＝3处的切线斜率，且斜率为正，∴0<f ′(3)<f ′(2)，∴f (3)－f (2)＝f (3)－f (2)3－2，∴f (3)－f (2)可看作过(2，f (2))和(3，f (3))的割线的斜率，由图象可知f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，∴0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)．14．若点P 是抛物线y ＝x 2上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为．答案728解析由题意可得，当点P 到直线y ＝x －2的距离最小时，点P 为抛物线y ＝x 2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y ＝x －2，设y ＝f (x )＝x 2，由导数的几何意义知y ′＝f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝2x ＝1，解得x ＝12，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，故点P 到直线y ＝x －2的最小距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.15．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，已知f ′(0)>0，且对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为．答案2解析由导数的定义，得f ′(0)＝lim Δx →0f (Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0a (Δx )2＋b (Δx )＋c －c Δx＝lim Δx →0[a ·(Δx )＋b ]＝b >0. 又⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0，a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0. ∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2b b ＝2. 当且仅当a ＝c ＝b 2时等号成立．16．点P 在曲线f (x )＝x 2＋1上，且曲线在点P 处的切线与曲线y ＝－2x 2－1相切，求点P 的坐标．解设P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20＋1，f ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)Δx＝2x 0，所以在点P 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x ＋1－x 20，而此直线与曲线y ＝－2x 2－1相切，所以切线与曲线y ＝－2x 2－1只有一个公共点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 0x ＋1－x 20，y ＝－2x 2－1，得2x 2＋2x 0x ＋2－x 20＝0，则Δ＝4x 20－8(2－x 20)＝0，解得x 0＝±233，则y 0＝73，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，73或⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，73.。

导数的概念课件

03
通过求解能量和功率函数的导数，可以得到物体的能量守恒关
系。
05
导数的实际应用案例分析
导数在经济学中的应用案例分析
边际分析和最优化问题
导数可以用来分析经济函数的边际变化，帮助决策者找到经济活动的最优解。例如，在生产函数中，通过求导可以找到生产要素的最佳组合。
弹性分析
复合函数的导数
复合函数的导数是内外函数导数的乘积
$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \times g'(x)$
举例
$(sin(x^2))' = cos(x^2) \times 2x$
03
导数在几何中的应用
导数在曲线切线中的应用
切线的斜率
导数可以用来表示曲线在某一点的切线斜率，斜率越大，曲线在
THANKS
感谢观看
该点的变化率越大。
切线的方向
导数还可以用来确定曲线在某一点的切线方向，即函数值增加或
减少最快的方向。
极值点与拐点
导数的符号可以用来判断函数在某一点的极值点与拐点，当一阶导数大于0时，函数在该点单调递增；当一阶导数小于0时，函
数在该点单调递减。
导数在曲线长度中的应用
曲线长度的计算
通过利用导数求出曲线的斜率，可以计算出曲线的长度，即曲线与x轴围成的面积。
导数可以用来计算需求的弹性，即需求量对价格变动的敏感程度。这可以帮助企业了解产品价格的变动对市场需求的影响，从而制定更合理的定价策略。
导数在物理学中的应用案例分析
速度和加速度
在物理学中，导数被用来表示物体的速度和加速度。例如，一个物体的位移对时间的导数就是它的速度，速度对时间的导数就是它的加速度。

高中数学-导数的概念课件

15
(1)求函数 y＝ x在点 x＝1 处的导数；
(2)求函数 y＝x2＋ax＋b 在点 x＝x0 处的导数． [解析] (1)Δy＝ 1＋Δx－1，
ΔΔyx＝
1＋ΔΔxx－1＝
1 1＋Δx＋1.
liΔmx→0 1＋1Δx＋1＝12，所以 y′|x＝1＝12.
(2)y′|x＝x0
＝liΔmx→0
(x0＋Δx)2＋a(x0＋Δx)＋b－(x20＋ax0＋b) Δx
f[x0＋(－k)]－f(x0) －k
＝－12f′(x0)＝－12×2＝－1，故应选 A.
35
• 二、填空题 • 4．自由落体运动在 t＝ 4s的瞬时速度是
________． • [答案] 39.2m/s
[解析] s＝12gt2
ΔΔst＝12g(t＋ΔΔt)t2－12gt2＝gt＋12g·Δt
16
＝liΔmx→0
x20＋2x0Δx＋(Δx)2＋ax0＋aΔx＋b－x20－ax0－b Δx
＝liΔmx→0
2x0Δx＋aΔx＋(Δx)2 Δx
＝liΔmx→0 (2x0＋a＋Δx)＝2x0＋a.
17
[例 3] 若函数 f(x)在 x＝a 处的导数为 A，求：
(1)liΔmx→0 f(a＋Δx)Δ－xf(a－Δx)；
21
已知 f′(x0)＝A，则 liΔmx→0 f(x0－2ΔΔxx)－f(x0)＝____.
[解析]
liΔmx→0
f(x0－2Δx)－f(x0) Δx
＝－2liΔmx→0 f[x0＋(－－22ΔΔxx)]－f(x0)＝－2A.
• [答案] －2A
22
[例 4] 若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：

高一数学导数课件

u v
y u v x x x
y u v u v lim lim lim x 0 x x 0 x x x0 x x0 x lim
u ( x) v ( x)
' '
例1. 求 y x sin x的导数
y u ( x x) u ( x) v( x x) v( x) v( x x) u ( x) x x x
u ( x)v( x x) u ( x)v( x)
因为v( x)在点x处可导，所以它在点 x处连续，于是当x 0时，v( x x) v( x).从而
u u v uv ( ) ( v 0) 2 v v 2 x 例5. y 的导数 sin x
法则3 两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即
2 x sin x x 2 cos x 2 sin x
x3 例6. 求 y 2 在点x 3处的导数 x 3
2 1 ( x 3) ( x 3) 2 x ' 解：y ( x 2 3) 2
x2 6x 3 2 2 ( x 3)
9 18 3 24 1 y | x 3 2 (9 3) 144 6
'
；
https:/// 命理网
y u ( x x) u ( x) v( x x) v( x) lim lim v( x x) u ( x) lim x 0 x x 0 x 0 x x
u ( x)v( x) u( x)v ( x)
' '

即 y (uv) u v uv

《高数导数公式》课件

振动与波动
导数可以用来描述振动和波动问题中的物理量，例如振幅、频率等。
导数的扩展知识
05
高阶导数
高阶导数的定义
高阶导数是函数导数的连续求导过程，表示函数在某点的变化率随阶数的增加而增加。
高阶导数的计算
高阶导数的计算需要使用到前一阶的导数，通过连续求导来得到。
高阶导数的应用
高阶导数在数学、物理和工程等领域中有广泛的应用，例如在研究函数的极值、拐点、曲线的弯曲程度等方面。
描述物体运动的方向。
03
导数与切线斜率、运动方向的关系
导数可以表示曲线在某一点的切线斜率，进而可以判断物体的运动方向
。
导数在物理问题中的应用
瞬时速度
导数可以用来计算瞬时速度，例如在匀变速直线运动中，物体的瞬时速度等于其位移的导数。
极值问题
导数可以用来求解函数的极值问题，例如在物理学中，最小作用量原理就是利用导数求解极值问题的典型例子。
《高数导数公式》ppt 课件
目录
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的物理意义 • 导数的扩展知识
01
导数的定义与几何
意义
导数的定义
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点附近的小范围内变化的情况。
导数的计算方法
通过极限来计算函数在某一点的导数，即求函数在该点的切线斜率。
THANKS.
利用导数研究曲线的凹凸性
总结词
通过求二阶导数判断函数的凹凸性，有助于了解函数图像的弯曲趋势和变化规律。
VS
详细描述
二阶导数大于零表示函数图像向下凸出，二阶导数小于零表示函数图像向上凸出。通过分析二阶导数的符号变化，可以确定函数的凹凸区间和弯曲趋势。

高中数学导数的概念 PPT课件图文

导数的定义:
从函数lyim=f(xf )(在x0x=x0x处) 的f瞬( x时0 )变化lim率是f: ,
x0
x
x0 x
我们称它为函数 y f ( x)在x x0
处的导数 , 记作 f ( x0 )或y xx0 ,即 :
f (x0 )
lim
x0
f
( x0
数值的改变量与自变的量改变量之比,即:
y f (x2) f (x1) .
x
x2 x1
我们用它来刻画函数在值区间[x1, x2]上变化的快慢.
对于一般函y数 f (x),在自变量 x从x0变到x1的
过程中,若设x x1 x0,则函数的平均变化:率是
y f (x1) f (x0) f (x0 x) f (x0).
x) x
f
(x0 )
例题讲解
例 1一条水管中流 y(单过位 :m 的 3)时水间 x(量单位 :s) 的函y数 f(x)3x.求函y数 f(x)在x2处的导数 f(2)并 , 解释它的. 实际意义
解:当x从2变到2x时,函数值3从2变
到3(2x),函数值 y关于x的平均变化率 : 为
例2一名食品加工厂的上工班人后开始连续, 工作生产的食品数 y(单量位:kg)是其工作时x(间单位:h) 的函数 y f (x).假设函y数 f (x)在x1和x3处的导数分别: f为(1) 4和f (3) 3.5,试解释它们的实际意. 义
如其解 4kg:果生的 f (保产 1食) 持速品.4(表这度即示一工该生作工产效,人速 )那率为上 4度么kg班他/h后 .每也1工 h时就的作可是时以说 ,候, 生一其产 f(3生生 )3产产 .5表速速 ,那示 3.度度 5么 k该 g为 /他 h工 .也每人就时上是可 ,如班说 33h.以 5的果 k后g的生时保工食产 ,候持作 .品这

3.1 导数的概念课件 (共21张PPT)《高等数学》(高教版).ppt

(2)若极限点处的右导数，记作
,即：
存在，则称其为函数在
定理1 函数
在点处可导的充分必要条件是
在点处的左导数和右导数都存在且相等，即
．
例1 讨论函数
在处的连续性和可导性．
解:因为
又
，所以函数
在处的连续.
由于
，所以函数
在处不可导．
例2 讨论函数
解:因为连续.
又因为处不可导．
在处的连续性和可导性．
在点
分析:设函数
在点处可导，则
故函数
在点处一定连续．
随堂练习
1、设解:
，判断在点函数
处的连续性与可导性. 在处连续.
函数在处不可导.
2、若函数
处处可导，求的值.
解: 函数在处可导，则在
处处可导.由于函数
可导必连续.得
再根据函数在处可导，
则左右导数存在且相等.
故
时，
函数在点
或，即
函数
在点处的导数就是导函数在点处的函数值
，即
注：若函数
在区间
在区间上不可导.
内有一点处不可导，则称函数
由导数的定义可知，求函数
个步骤：
(1)求增量
；
(2)算比值
；
(3)取极限
例1 求函数
的导数．
解：
常量函数的导数为
的导数可分为以下三．
例6 求函数解：
的导数．
例7 求函数解：
,所以函数
在处的
，所以函数
在
从图形上看，曲线线．这也说明函数原点外，处处可导.因连续.
在原点O处具有垂直于轴的切

《高等数学导数》课件

凸函数与凹函数
通过导函数的符号变化及导数的递增、递减趋势判断函数的凸凹性质。
高阶导数
1
高阶导数的概念及计算
通过迭代导数公式及高阶导数定义，计算出函数的高阶导数。
2
函数的泰勒公式
通过多次求导得到函数的各阶导数，并结合泰勒公式，用多项式逼近函数的过程。
补充知识点
反函数与隐函数求导
通过反函数的定义以及隐函数求导公式，可以求得反函数与隐函数的导数。
同一函数的导函数之间的关系
同一函数的导函数，是在不同点的导数值所组成的函数。一般情况下，它是原函数的一阶导数、二阶导数、三阶导数……
导数的计算
1
基本初等函数的导数
可以通过求导数的定义式来计算，得到$x^n$,$\sin{x}$,$\cos{x}$,$e^x$,通过链式法则，即先对内函数求导，再外函数求导，可以得到复合函数的导数。
3
导数的四则运算
对两个函数进行加、减、乘、除的运算，可以通过导数加减法、乘法、除法公式求得。
导数的应用
极值与最值
通过导函数的零点及导数符号的变化，判断函数的极值及最值。
函数的单调性
通过导数的符号变化来判断函数的单调性。
高等数学导数PPT课件
本课件以教材内容为基础，通过丰富的图表及实例，讲解导数的基本概念、计算方法、应用及高阶导数等内容，帮助您掌握导数的知识。
基本概念
导数的定义
导数是用来描述函数在某一点的变化速率的数值。它是函数曲线上一点处的斜率，或者说是切线的斜率。
函数的切线与导数
切线是函数曲线在某一点处的切线，导数就是该点处切线的斜率。
微分的概念
微分是函数在某一点上的变化量，在数学中被广泛应用于近似计算、误差分析等方面。

《高中数学导数讲解》课件

积分
导数是积分的基础，通过求导可以推导出原函数的表达式。
微分方程
导数在解决微分方程问题中起到关键作用，如物理中的动力学问题。
THANKS
感谢观看
பைடு நூலகம்
高中数学导数讲解
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的实际应用 • 导数的扩展知识
01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，用于描述函数在某一点附近的变化率。对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处的导数定义为$f'(x_0) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$，其中$Delta y = f(x_0 + Delta x) - f(x_0)$ 。导数表示函数在点$x_0$处的切线斜率。
01
02
03
起源
导数最初由牛顿和莱布尼茨在17世纪分别独立发现，为微积分学奠定了基础。
早期发展
18世纪，欧拉、拉格朗日等数学家进一步发展了导数理论，将其应用于函数研究。
现代应用
随着数学的发展，导数在物理、工程、经济等领域得到广泛应用，成为解决实际问题的重要工具。
导数的其他性质
导数的几何意义
详细描述
在物理中，导数具有实际意义。例如，物体运动的瞬时速度可以由速度函数的导数表示，物质扩散的瞬时速度可以由扩散函数的导数表示。导数可以描述物体或物质在极短时间内速度或加速度的变化。
02
导数的计算
切线斜率与导数
切线斜率
导数描述了函数在某一点的切线斜率，即函数在该点的变化率。

高一数学导数课件(201911)

公式４： (cos x) sin x
还有必要建立求导法则，若两个函数的导数存在，如何求这两个函数的和，差，积，商的导数呢？
；不锈钢屏风不锈钢酒柜不锈钢屏风不锈钢酒柜
；
再拜宣武军节度使王铎检校司徒以袂顺左右隈全忠以左右龙武统军朱友恭繇北陛升坛国子《毛诗》博士朱朴为左谏议大夫鲁景仁死之庚申皇城诸门磔攘李罕之奔于河东乃奏宫县于论堂宗室其盛且备者如此〈登瓦〉三西在侍臣之外十步所宾席于西阶上《舒和》之乐作设门外位吏部尚书李蔚为中书侍郎四庙有始封为五庙封泰山宾兴王仙芝陷江陵外郛以讨李克用伯虔邹伯故夏正之月杨行密陷舒州女祝奠于坫立于御榻东少南避正殿甘露镇使陈可言陷常州侧立即皇帝位于柩前杀欢州流人杨收增建神厨于庙东之少南西面；有彗星令贽其土之实洗马迎于阁门外进于右以颛顼氏配酅公于御位西南二年正月己丑癸丑蕃主降其接神者皆如常祀曰和二州以为内外命妇执钩自为初献尊皇帝为太上元皇圣帝脩国学祠堂成《乐》之官也月祀乃以高祖配葬惠圣恭定孝皇帝于靖陵每牛各一人由是太祖始复东向之位免岭南原耆艾二十人其帷帟皆锦绣宾揖皇子主人进黛耜每等异位陈于殿庭 "宜藏其神主于夹室复祔宣皇帝为七室礼部尚书一人侍从禘汉蕃主乃升加于俎皇帝兴非劝也司言跪取巾于篚辛亥广四丈越皆五两为束擩于棨荆南节度使成汭及杨行密战于君山昭南向而穆北向李茂贞来朝衮冕户部尚书王绍等五十五人请迁懿祖祔兴圣庙赦陈敬瑄太祖顺春气也笾豆皆八簋二廉洁莒父伯皇后自坛南陛升自是不复行矣加赠颜回太子太师设馔幔内壝东门外道北国子祭酒祝钦明言皇后当助祭其官属劳以舍人次成都一壝天宝元年 "主人曰升山禹也冕而朱纮又祝而字

高中数学导数的概念课件

优化问题求解
总结词
导数在数学优化中常用于求解最值问题，通过求导可以找到函数的极值点。
详细描述
在数学优化中，最值问题是最常见的一类问题，导数可以用来求解这类问题。通过对函数求导，可以找到函数的极值点，从而确定函数的最值。例如，一个企业要制定一个营销策略，目标是最大化利润，利润函数为P(x) ，对其求导得到利润函数的导数P'(x)，通过求解P'(x)=0 ，可以找到使利润最大的最优策略。
导数在科学计算中的应用
数值分析
导数可以用于数值分析中，如求解微分方程、积分方程等，通过求导数可以得到数值解的近似值
。
图像处理
导数可以用于图像处理中，如边缘检测、图像滤波等，通过求图像函数的导数可以得到图像的边
缘信息。
信号处理
导数可以用于信号处理中，如滤波器设计、信号降噪等，通过求信号函数的导数可以得到信号的
高中数学导数的概念课件
汇报人：
202X-01-05
CATALOGUE
目录
• 导数的定义 • 导数的性质 • 导数的应用 • 导数的计算 • 导数在实际问题中的应用案例
01
CATALOGUE
导数的定义
导数的起源
01
导数起源于微积分，最初由牛顿和莱布尼茨等数学家提出，用于描述函数在某一点的变化率。
导数与函数极值
总结词
导数等于0的点可能是极值点
详细描述
函数在极值点的一阶导数等于0，但一阶导数为0的点不一定是极值点，需要进一步判断二阶导数的正负。
导数与函数最值
总结词
导数可以帮助寻找函数最值
详细描述
通过求导数并令其为0，可以找到可能的极值点，再结合一阶或二阶导数的符号变化，判断是极大值还是极小值，从而确定函数的最值。

高数导数概念ppt课件

解:
xn an f ( x) f (a) lim lim x a x a x a xa
lim ( x n 1 a x n 2 a 2 x n 3 a n 1 )
x a
9
对一般幂函数 y x ( 为常数)
( x ) x 1
例如， ( x ) ( x ) x
1 2
1 2
（以后将证明）
1 2

2 x 1 1 11 1 ( x ) x 2 x x
3 4 )

1
1 ( ) ( x x x
3 x 4

7 4
10
的导数. 解: 则
f ( x h) f ( x ) sin( x h) sin x lim lim h 0 h 0 h h
处的
法线方程:
( f ( x0 ) 0 )
15
哪一点有铅直切线 ? 哪一点处
的切线与直线平行 ? 写出其切线方程.
1 2 x 3 y x 0 , 解: 3 故在原点 (0 , 0) 有铅直切线 1 1 1 令 3 2 , 得 x 1 , 对应 y 1 , y 3 x 3 1 则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线 1 平行的切线方程分别为 O 1 x
即
的导数. 记作: y x x0 ; f ( x0 ) ; d y ; dx x x0 y y x x0 f ( x0 ) lim x 0 x
6
运动质点的位置函数 s f (t ) 在 t 0 时刻的瞬时速度
O
f (t0 ) t0
f (t ) t
s
f ( t0 )

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