导数与函数的极值、最值

导数与函数的极值、最值

【题型突破】

利用导数解决函数的极值问题

►考法1根据函数图象判断函数极值的情况

【例1】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)

C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)

D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)

D

►考法2求已知函数的极值

【例2】已知函数f(x)＝(x－2)(e x－ax)，当a＞0时，讨论f(x)的极值情况．[解]∵f′(x)＝(e x－ax)＋(x－2)(e x－a)

＝(x－1)(e x－2a)，

∵a＞0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln 2a.

①当a＝e

2时，f′(x)＝(x－1)(e

x－e)≥0，∴f(x)单调递增，故f(x)无极值．

②当0＜a＜e

2时，ln 2a＜1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x (－∞，ln 2a)ln 2a (ln 2a,1)1(1，＋∞) f′(x)＋0－0＋

f(x)极大值极小值

③当a＞e

2时，ln 2a＞1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x (－∞，1)1(1，ln 2a)ln 2a (ln 2a，＋∞) f′(x)＋0－0＋

f(x)极大值极小值

综上，当0＜a ＜e

2时，f (x )有极大值－a (ln 2a －2)2，极小值a －e ；

当a ＝e

2

时，f (x )无极值；

当a ＞e

2时，f (x )有极大值a －e ，极小值－a (ln 2a －2)2.

►考法3 已知函数极值求参数的值或范围

【例3】 (1)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.

(2)若函数f (x )＝e x －a ln x ＋2ax －1在(0，＋∞)上恰有两个极值点，则a 的取值范围为( ) A ．(－e 2，－e)

B .⎝ ⎛

⎭⎪⎫－∞，－e 2 C .⎝ ⎛

⎭⎪⎫－∞，－12 D ．(－∞，－e)

(1)－7 (2)D

[方法总结] 1.利用导数研究函数极值问题的一般流程

2．已知函数极值点和极值求参数的两个要领

(1)列式：根据极值点处导数为0和极值列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：因为一点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．

A ．2或6

B ．2

C .23

D ．6

(2)(2019·广东五校联考)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有极值，则实数a 的取值范围

是( )

A .⎝ ⎛

⎭⎪⎫－∞，12 B .⎝ ⎛⎭⎪⎫

0，12 C .⎝ ⎛

⎦⎥⎤－∞，12 D .⎝ ⎛⎦

⎥⎤0，12 (1)D (2)A

利用导数解决函数的最值问题

【例4】 已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；

(2)当a ＞0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值． [解] (1)f ′(x )＝1

x －a (x ＞0)，

①当a ≤0时，f ′(x )＝1

x －a ＞0，即函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1

a ， 当0＜x ＜1

a 时，f ′(x )＝1－ax x ＞0； 当x ＞1

a 时，f ′(x )＝1－ax x ＜0， 故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫

0，1a ，

单调递减区间为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1a ，＋∞.

综上可知，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； 当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫

0，1a ，

单调递减区间为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1a ，＋∞.

(2)①当0＜1

a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .

②当1a ≥2，即0＜a ≤1

2时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值

是f (1)＝－a .

③当1＜1a ＜2，即12＜a ＜1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

1a ，2上是减函

数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，

所以当1

2＜a ＜ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；

当ln 2≤a ＜1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a . 综上可知，

当0＜a ＜ln 2时，函数f (x )的最小值是f (1)＝－a ； 当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .

[方法总结] 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值、最小值的步骤 (1)求函数在(a ，b )内的极值.

(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b ).

(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值.

(2017·北京高考)已知函数f (x )＝e x cos x －x .

(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤

0，π2上的最大值和最小值．

[解] (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，

所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，

所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.

(2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x .

当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫

0，π2时，h ′(x )<0，

所以h (x )在区间⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

0，π2上单调递减．

所以对任意x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤

0，π2有h (x )

所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

0，π2上单调递减．

因此f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π2＝－π2.

利用导数研究生活中的优化问题

【例5】 已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品x 千件，并且全部销售完，每千件