能被2、5整除数的特征
数学教案能被25整除的数的特征
数学教案－能被二、5整除的数的特征能被二、5整除的数的特征教学内容：义务教育小学数学八册第二单元教学目标：一、掌握能被二、5整除的数的特征，并能正确判断一个数是不是能被二、5整除。
二、初步理解偶数、奇数的意义，能正确识别偶数和奇数。
3、通过观察、猜想、探索、讨论，培育学生探讨问题的能力和合作精神。
教学重点、难点：重点：掌握能被二、5整除的数的特征，并正确判断。
难点：能同时被2和5整除的数有什么特征。
课前准备：一、每位学生明确自己的学号是几。
二、准备红牌和蓝牌每生各一张。
3、投影（或课件）板书设计：能被二、5整除的数的特征5的倍数有：五、10、1五、20、2五、30、3五、40……个位上是0或5的数，都能被5整除。
能被2整除的数有：二、4、六、八、10、1二、14、16……（偶数）个位是0、二、4、六、8的数，都能被2整除。
不能被2 整除的数有：一、3、五、7、九、1一、13、15……（奇数）个位是0的数，能同时被2和5整除。
教学进程：一、温习引入一、:下面各数中，哪两个数存在整除关系？并说一说谁是谁的约数？谁是谁的倍数？二、3、五、1五、1八、24(指名说。
如:18能被2整除，18是2的倍数，2是18的约数。
)引入：（师）今天咱们来做一个游戏，只要你们随意说出一个数，老师不计算马上能说出可否被2或5整除。
（学生报数，教师板书作答。
有疑问的数据可笔算查验老师回答是不是正确）（师）想知道老师快速判断的绝招吗？（或学生质疑）今天，咱们就来研究“能被二、5整除的数的特征”〈板书课题〉二、研究探新一、探讨能被5整除的数的特征。
（1）、请学号是5的倍数的同窗起立。
按照学生汇报板书：五、10、1五、20、2五、30、3五、40……（2）观察这些数有什么特征？（学生各抒已见）初步得出结论：个位上是0或5 能被5整除（3）适才咱们观察的都是一两位数。
那么是不是任何整数，只要能被5整除，个位上必然是0或5呢？请同窗们任意写一个个位上是0或5的数验证一下。
整除的特征
整除的特征：一个数能否被另一个数整除，要根据一定的规律来判断，所以要掌握一些特征。
（1）能被2 整除的数的特征：个位数是0、2、4、6、8的整数能被2整除。
例如：10、72、34、56、98都能被2整除。
（2）能被5整除的数的特征：个位数是0或5的整数能被5整除。
例如：180、315都能被5整除。
（3）能被3或9整除的数的特征：各个数位上数字的和是3或9的倍数的整数，能被3或9整除。
例如：5037各数位上的数的和是15，15是3的倍数，所以5037能被3整除。
4878各数位上的数的和是27，27是9的倍数，所以4878能被9整除。
能被9整除的数必然能被3整除，但能被3整除的数不一定能被9整除。
一个自然数除以9的余数与它的各个数位上的数字和除以9的余数相同。
（4）能被4 和25整除的数的特征：末尾两位数是4或25的倍数的整数，能被4或25整除。
例如：712末尾两倍数是12，12是4 的倍数，所以712能被4整除。
975的末尾两倍数是75，75是25的倍数，所以975能被25整除。
如果一个数既能被4整除，又能被25整除，那么这个数一定是整百数。
如700、2800都能同时被4 和25整除。
（5）能被8和125整除的数的特征：末尾三位数是8或是125的倍数，能被8或25整除。
例如：2408的末尾三位数是408，408是8的倍数，所以2408能被8整除。
9250末尾三位数是250，因为250是125的倍数，所以9250能被125整除。
如果一个数既能被8整除，又能被125整除，那么这个数一定是整千数。
如1000、3000、78000等。
（6）能被11整除的数的特征：如果一个数奇数位上的数之和与偶数位上的数之和的差是11的倍数，那么这个整数就能被11整除。
例如：189354奇数位上的数之和是1+9+5=15，偶数位的数之和是8+3+4=15，它们的差是15-15=0，因为0能被11整除，所以189354能被11整除。
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自 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 主 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
思考：
这些数 的个位 数有什 么特征？
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小学数学第八册
能被2和5整除的数的特征
复习导入 能被2整除的数 能被5整除的数 能被2、5整除的数 练习
请你用最快的速度判断出下 面这些数能不能被2或5整除？
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请你用 红彩笔 圈出能 被 2整 除的数
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亞太地區(中國，澳大利亞，日本)
貿易
➢看百分比用饼状图
数量
5000 4000 3000 2000 1000
能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征
能被2、3、4、5、7、9、11、13、27、99等数整除的数的特征性质1：如果数a、b都能被c整除,那么它们的和（a+b）或差（a－b）也能被c 整除。
性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
1、看末尾。
能被2整除的数，个位上的数能被2整除(偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除能被4、25整除的数，末二位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除能被8、125整除的数，末三位数能被8整除，那么这个数能被8整除2、看数字和能被3整除的数,各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被9整除的数，各个数位上的数字和能被9整除,那么这个数能被9整除能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除,则该数就能被11整除。
3、截尾法能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如,判断133是否7的倍数的过程如下:13－3×2＝7,所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595,59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
能被11整除的数， 11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1.如:242是不是11的倍数，24—2=22，所以242是11的倍数。
1232，123-2=121， 12—1=11，1232是11的倍数.能被13整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
三年级奥数专题：能被2,5整除的数的特征
三年级奥数专题：能被2，5整除的数的特征同学们都知道，自然数和0统称为(非负)整数.同学们还知道，两个整数相加，和仍是整数；两个整数相乘，乘积也是整数；两个整数相减，当被减数不小于减数时，差还是整数.两个整数相除时，情况就不那么简单了.如果被除数除以除数，商是整数，我们就说这个被除数能被这个除数整除；否则，就是不能整除.例如，84能被2，3，4整除，因为84÷2=42，84÷3=28，84÷4=21，42，28，21都是整数.而84不能被5整除，因为84÷5=16……4，有余数4.也不能被13整除，因为84÷13=6……6，有余数6.因为0除以任何自然数，商都是0，所以0能被任何自然数整除.这一讲的内容是能被2和5整除的数的特征，也就是讨论什么样的数能被2或5整除.1.能被2整除的数的特征因为任何整数乘以2，所得乘数的个位数只有0，2，4，6，8五种情况，所以，能被2整除的数的个位数一定是0，2，4，6或8.也就是说，凡是个位数是0，2，4，6，8的整数一定能被2整除，凡是个位数是1，3，5，7，9的整数一定不能被2整除.例如，38，172，960等都能被2整除，67，881，235等都不能被2整除.能被2整除的整数称为偶数，不能被2整除的整数称为奇数.0，2，4，6，8，10，12，14，…就是全体偶数.1，3，5，7，9，11，13，15，…就是全体奇数.偶数和奇数有如下运算性质：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数，偶数±奇数=奇数，奇数±偶数=奇数，偶数×偶数=偶数，偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数.例1在1～199中，有多少个奇数？有多少个偶数？其中奇数之和与偶数之和谁大？大多少？分析与解：由于1，2，3，4，…，197，198，199是奇、偶数交替排列的，从小到大两两配对：(1，2)，(3，4)，…，(197，198)，还剩一个199.共有198÷2=99(对)，还剩一个奇数199.所以奇数的个数=198÷2+1=100(个)，偶数的个数=198÷2=99(个).因为每对中的偶数比奇数大1，99对共大99，而199-99=100，所以奇数之和比偶数之和大，大100.如果按从大到小两两配对：(199，198)，(197，196)，…，(3，2)，那么怎样解呢？例2(1)不算出结果，判断数(524+42-429)是偶数还是奇数？(2)数(42□+30-147)能被2整除，那么，□里可填什么数？(3)下面的连乘积是偶数还是奇数？1×3×5×7×9×11×13×14×15.解：根据奇偶数的运算性质：(1)因为524，42是偶数，所以(524+42)是偶数.又因为429是奇数，所以(524+42-429)是奇数.(2)数(42□+30-147)能被2整除，则它一定是偶数.因为147是奇数，所以数(42□+30)必是奇数.又因为其中的30是偶数，所以，数42□必为奇数.于是，□里只能填奇数1，3，5，7，9.(3)1，3，5，7，9，11，13，15都是奇数，由1×3为奇数，推知1×3×5为奇数……推知1×3×5×7×9×11×13×15为奇数.因为14为偶数，所以(1×3×5×7×9×11×13×15)×14为偶数，即1×3×5×7×9×11×13×14×15为偶数.由例2得出：(1)在全部是加、减法的运算中，若参加运算的奇数的个数是偶数，则结果是偶数；若参加运算的奇数的个数是奇数，则结果是奇数. (2)在连乘运算中，只要有一个因数是偶数，则整个乘积一定是偶数. 例3在黑板上先写出三个自然数3，然后任意擦去其中的一个，换成所剩两个数的和.照这样进行100次后，黑板上留下的三个自然数的奇偶性如何？它们的乘积是奇数还是偶数？为什么？解：根据奇偶数的运算性质知：第一次擦后，改写得到的三个数是6，3，3，是“二奇一偶”；第二次擦后，改写得到的三个数是6，3，3或6，9，3或6，3，9，都是“二奇一偶”.以后若擦去的是偶数，则改写得到的数为二奇数之和，是偶数；若擦去的是奇数，则改写得到的数为一奇一偶之和，是奇数.总之，黑板上仍保持“二奇一偶”.所以，无论进行多少次擦去与改写，黑板上的三个数始终为“二奇一偶”.它们的乘积奇数×奇数×偶数=偶数.故进行100次后，所得的三个自然数的奇偶性为二奇数、一偶数，它们的乘积一定是偶数.2.能被5整除的数的特征由0×5=0，2×5=10，4×5=20，6×5=30，8×5= 40，…可以推想任何一个偶数乘以5，所得乘积的个位数都是0.由1×5=5，3×5=15，5×5=25，7×5=35，9×5= 45，…可以推想，任何一个奇数乘以5，所得乘积的个位数都是5.因此，能被5整除的数的个位数一定是0或5.也就是说，凡是个位数是0或5的整数一定能被5整除；凡是个位数不是0或5的整数一定不能被5整除.例如，870，6275，1234567890等都能被5整除，264，3588等都不能被5整除.例4由0，3，5写成的没有重复数字的三位数中，有哪些能被5整除？解：因为个位数为0或5的数才能被5整除，所以由0，3，5写成的没有重复数字的三位数中，只有350，530，305三个数能被5整除. 例5下面的连乘积中，末尾有多少个0？1×2×3×…×29×30.解：因为2×5=10，所以在连乘积中，有一个因子2和一个因子5，末尾就有一个0.连乘积中末尾的0的个数，等于1～30中因子2的个数与因子5的个数中较少的一个.而在连乘积中，因子2的个数比因子5的个数多(如4含两个因子2，8含三个因子2)，所以，连乘积末尾0的个数与连乘积中因子5的个数相同.连乘积中含因子5的数有5，10，15，20，25，30，这些数中共含有七个因子 5(其中25含有两个因子5).所以，1×2×3×…×29×30的积中，末尾有七个0.练习181.在20～200的整数中，有多少个偶数？有多少个奇数？偶数之和与奇数之和谁大？大多少？2.不算出结果，直接判断下列各式的结果是奇数还是偶数：(1)1＋2＋3＋4＋5；(2)1＋2＋3＋4＋5＋6＋7；(3)1＋2＋3＋…＋9＋10；(4)1＋3＋5＋…＋21＋23；(5)13-12＋11-10＋…＋3-2＋1.3.由4，5，6三张数字卡片能组成多少个能被2整除的三位数？4.两个质数之和是13，这两个质数之积是多少？5.下面的连乘积中，末尾有多少个0？20×21×22×…×49×50.6.用0，1，2，3，4，5这六个数码组成的没有重复数字的两位数中，能被5整除的有几个？能被2整除的有几个？能被10整除的有几个？答案与提示练习181.解：偶数有(200-20)÷2＋1=91(个)，奇数有(200-20)÷2＝90(个)，偶数之和比奇数之和大1×90＋20=110.2.(1)奇数；(2)偶数；(3)奇数；(4)偶数；(5)奇数.3.6个.提示：卡片6可以看成9，能被2整除的有564，654，594，954，456，546.4.22.解：13为奇数，它必是一奇一偶之和.因为质数中唯一的偶数是2，所以这两个质数中的偶数是2，奇数是13-2＝11，乘积为2×11=22.5.9个0.6.有9个能被5整除；有13个能被2整除；有5个能被10整除.。
能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征
能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c 整除。
性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
能被2整除的数，个位上的数是0、2、4、6、8、的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除．例如：4675＝46×100＋75由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除．又如： 832＝8×100＋32由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除．能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除能被6整除的数，个数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
能被8整除的数，百位、个位和十位所组成的三位数能被8整除，那么这个数能被8整除能被9整除的数，各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除能被10整除的数，如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。
“能被2、5整除的数的特征”教学设计
“能被2、5整除的数的特征”教学设计与评析蒋玉蓉教学内容：九年义务教育人教版第十册九年义务教育人教版第十册54页“能被2、5整除的数”及相关教学内容：内容。
教学目标：知识与技能：1、掌握能被2、5整除的数的特征，能正确地判断一个数能否被2或5整除。
2、认识奇数和偶数，能判断一个自然数是奇数还是偶数。
过程与方法：1、学会与人合作，与人交流。
2、培养学生观察、比较、归纳、概括等思维能力。
情感、态度与价值观：通过教学培养学生学数学、用数学、爱数学的思想感情。
掌握能被2、5整除的数的特征，偶数及奇数。
教学重点：掌握能被教学重点：灵活运用能被2、5整除的数的特征及奇数、偶数的概念进行综教学难点：教学难点：灵活运用能被合判断。
：多媒体教具准备：多媒体教具准备教学过程：（一）创设情境，引入新课。
师：今天老师给同学们带来了一个好朋友——聪明可爱的小天使，首先她想对同学们进行一个生活小调查，大家愿意接受她的调查吗？课件演示出示：教师根据学生的回答将搜集到的数字依次板书出来。
师:如果现在我们把黑板上的邮政编码、电话等都看成一个数,你们能不能马上判断出哪些数能被2整除、哪些数能被5整除?师:老师可就能一下就能判断出来哟，如……觉得老师很神奇吧,其实这是因为老师知道能被2、5整除的数的特征，想像老师一样的棒吗？好,今天我们就来研究能被2、5整除的数的特征。
(板书:能被2、5整除的数的特征)（评析：（评析：本环节由小天使的生活小调查，本环节由小天使的生活小调查，本环节由小天使的生活小调查，得到一组数据，得到一组数据，得到一组数据，体现了数学的产生体现了数学的产生过程，一下子拉近了数学与生活的距离。
再由老师能很快的进行判断导出：“想像老师一样的棒吗？”马上就吸引了学生的好奇心，让学生能以一种积极的状态，兴趣高昂地投入到学习中。
）二、师生共研,探究新知（一）探究能被2整除的数的特征1、找倍数能被2整除的数也就是2 的倍数，现在我们就先来找一找。
1.3 能被2,5整除的数
1.3 能被2，5整除的数学习目标：1.经历观察与思考的过程，概括出能被2，5整除的数的特征，并会运用判断一个自然数能被2，5整除的方法.2.在具体情境下理解奇数和偶数的意义，并会判断一个正整数是奇数还是偶数.重点、难点：1.判断一个数是否能被2，5整除.2.理解奇数和偶数的应用.一、旧知铺垫，设疑激趣1、请说出整除的含义。
2、如何判断一个数能不能被另一个数整除？3、根据算式，说说被除数能不能被除数整除。
24÷2＝12 37÷5＝7……2 135÷3＝4578÷20＝3 (18)4、想一想，能不能不通过计算就能看出一个数能不能被另一个数整除呢？二、验证猜想，形成规律1、探究2的倍数的特征例1 把下面的数按能不能被2整除分成两类4，8，9，42，25，2013，95669，634468，2145687.能被2整除不能被2整除4÷2＝2 25÷2＝12 (1)8÷2＝4 2013÷2＝1006 (1)42÷2＝21 95669÷2＝47834 (1)634468÷2＝317234 61÷2＝30 (1)例2分别写出几个能被2整除和不能被2整除的数。
讨论：能被2整除的数有什么特征？知识点一：个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。
强调：一个正整数，如果能被2整除，这个数数叫做偶数；如果不能被2整除，这个数叫做奇（jī）数。
例3 请找出20以内的奇数和偶数。
20以内的奇数有：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。
20以内的偶数有：0、2、4、6、8、10、12、14、16、18、20。
知识点二：能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数。
例4 奇数的个位上的数有什么特点？解：奇数的个位数字是1，3，5，7，9 .分析：根据定义，不能被2整除的整数叫做奇数，联想到能被2整除的整数的个位特点：个位上是0，2，4，6，8，可以反过来得到答案.例5 在连续的正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数是奇数还是偶数？与偶数相邻的两个数呢？解：与奇数相邻的两个数是偶数，与偶数相邻的两个数是奇数.分析：根据奇数和偶数的定义，奇数的各位上的数是1，3，5，7，9，偶数的个位上的数是0，2，4，6，8.对于相邻2个数的定义就是各自加1和减1，得到答案就很简单了.2、探究5的倍数的特征例1 判断以下哪些数能被5整除.10，18，25，69，120，2013，3265，5880，123456.能被2整除不能被2整除10÷5＝2 18÷5＝3 (3)25÷5＝5 69÷5＝13 (4)120÷5＝24 2013÷5＝402 (3)3265÷5＝653 123456÷5=24691 (1)5880÷5＝11762、合作探究：讨论一下，怎样研究能被5整除的数的特征？研究步骤：步骤一，写出一些数，找出能被5整除的数。
能被2、5整除数的特征
能被2 能被2、5整除数的特征
二00年六七月三日 年六七月三日
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例题
1 2 3 4 5 6 7 8 … × 2 2 4 你发现了什么？ 你发现了什么？
数 学
1）右边的数是左边的数的倍数， ）右边的数是左边的数的倍数， 的数是左边的数的倍数 都能被5整除 整除． 都能被 整除．
106 75
130 130
60 130
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判断
1、一个自然数不是奇数就是偶数．（ √ ） 、一个自然数不是奇数就是偶数．（ 2、能被2除尽的数都是偶数． 、能被 除尽的数都是偶数． 除尽的数都是偶数 （ ×）
数 学
3、能同时被2、5整除的数的个位上的数字一定是 ． 、能同时被 、 整除的数的个位上的数字一定是 整除的数的个位上的数字一定是0． （√ ）
数 学
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数 学
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数 学
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个位上是0或 的数都能被 的数都能被5整 个位上是 或5的数都能被 整 除．
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数 学
34 20 890 335
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பைடு நூலகம்
强化练习
判断：下面哪些数能被２整除？哪些数能被 整除 整除？ 判断：下面哪些数能被２整除？哪些数能被5整除？ 60 75 106 130 521
数 学
整除： 能被2整除 能被 整除： 60 能被5整除： 能被 整除： 60 整除 整除的数: 能同时被2,5整除的数 能同时被 整除的数
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选择
1、一个奇数相邻的两个数（ B ）． 、一个奇数相邻的两个数（ A．都是奇数 ． B．都是偶数 ． C．一个是奇数，一个是偶数 ．一个是奇数， 2、三个偶数的和（ A ）． 、三个偶数的和（ A． A．一定是偶数 B．可能是偶数 ． C．可能是奇数 ． 3、任何一个自然数都能被5（ B ）． 、任何一个自然数都能被5 A．整除 ． B．除尽 ． C．除不尽 ．
能被2,5,3,9,8,125等数整除的数特征
下面我们讨论能被2，5，3，9，4，25，8，125，11，7，13等数整除的数的特征．1．能被2或5整除的数的特征是：如果这个数的个位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除．也就是说：一个数的个位数字是0、2、4、6、8时，这个数一定能被2整除．一个数的个位数字是0、5时，这个数一定能被5整除．例如要判断18762，9685，8760这三个数能否被2或5整除，根据这三个数的个位数字的特点，很快可以判断出，2|18762，2不能整除9685，2|8760；5不能整除18762，5|9685，5|8760．2．能被3或9整除的数的特征是：如果这个数的各个数位上的数字和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除．例如要判断47322能否被9整除，由于47322=40000+7000+300+20+2=4×（9999＋1）+7×（999+1）+3×（99＋1）+2×（9+1）＋2=4×9999+7×999+3×99+2×9+4+7+3+2+2=9×（4×1111+7×111+3×11+2×1）+（4+7+3+2+2）9一定能整除9×（4×1111+7×111+2×11+2×1），所以要判断9能否整除47322，只要看9能否整除4+7+3+2+2=18，因为9|18，所以9|47322．可以看到4+7+3+2+2恰好是这个数的各个数位上的数字和．类似的方法我们还可以判断出3|47322．3．能被4或25整除的数的特征是：如果这个数的末两位数能被4或25整除，这个数就能被4或25整除．例如要判断63950能否被4或25整除，由于63950=639×100+50，100=4×25，所以100能被4或25整除，根据整除的性质，639×100能被4或25整除，要判断63950能否被4或25整除，只要看50能否被4或25整除，因为4不能整除50，25|50，所以4不能整除63950，25|63950．可以看出50恰好是63950的末两位数．4．能被8或125整除的数的数的特征是：如果这个数的末三位数能被8或125整除，这个数就能被8或125整除．例如要判断4986576能否被8整除，由于4986576=4986×1000＋576，1000=8×125，所以8|1000，根据整除的性质，8|4986000，要判断8能否整除4986576，只要看8能否整除576，因为8|576，所以8|4986576．可以看出576恰好是4986576的末三位数．同理可以判断这个数不能被125整除．5．能被11整除的数的特征是：如果这个数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大减小）能被11整除，这个数就能被11整除．奇数位是指从个位起的第1、3、5…位，其余数位是偶数位．例如要判断64251能否被11整除，由于64251=6×104＋4×103+2×102+5×10+1=6×（9999+1）+4×（1000+1-1）+2×（99+1）+5×（10+1-1）+1=6×（11×909+1）+4×（11×91-1）+2×（11×9+1）+5×（11-1）+1=[11×（6×909+4×91+2×9+5）]+[（6+2+1）-（4＋5）]上式第一个中括号内的数能被11整除，要判断64251能否被11整除，只要（6＋2＋1）-（4＋5）=0能被11整除，因为11|0，所以11|64251，而（6＋2+1）-（4+5）恰好是64251的奇数位上的三个数减去偶数位上的两个数字．6．能被7、11、13整除的数的特征是：如果这个数的末三位数所组成的数与末三位以前的数所组成的数的差（大减小）能被7、11、13整除，这个数就能被7、11、13整除．例如要判断1096823能否被7、11、13整除，由于7×11×13=1001，所以7|1001，11|1001，13|10011096823=1096×1000+823=1096×（1001-1）+823=1096×1001-（1096-823）因为1096×1001能被7、11、13整除，要判断1096823能否被7、11、13整除，只要判断1096-823=273能否被7、11、13整除，由于7|273，13|273，11不能整除273，所以7|1096823，13|1096823，11不能整除1096823，而1096-823恰好是1096823的末三位以前的数所组成的四位数减去1096823的末三位数所组成的数．下面举例说明整除的性质及数的整除特征的应用．例1在□内填上适当的数字，使（1）34□□能同时被2、3、4、5、9整除；（2）7□36□能被24整除；（3）□1996□□能同时被8、9、25整除．分析：（1）题目要求34□□能同时被2、3、4、5、9整除，因为能被4整除的数一定能被2整除，能被9整除的数一定能被3整除，所以34□□只要能被4、9、5整除，就一定能被2、3、4、5、9整除．先考虑能被5整除的条件．个位是0或5，再考虑能被4整除的条件，由于4不能整除34□5，所以个位必须是0，最后考虑能被9整除的条件，34□0的各个数位上的数字和是9的倍数，3+4+□+0=7+□，这时十位数字只能是2，问题得以解决．（2）题目要求7□36□能被24整除，24=3×8，而3与8互质，根据整除的性质，考虑被24整除，只要分别考虑被3、8整除就行了．先考虑被8整除的条件，7□36□的末三位数所组成的数36□能被8整除，所以个位数字只能是0或8，当个位数字为0时，由于要求7□360能被3整除，所以7+□+3+6+0=16+□能被3整除，这样千位数字只能是2或5或8；当个位数字为8时，由于要求7□368能被3整除，所以7+□+3+6+8=24+□能被3整除，这样千位数字只能是0或3或6或9．（3）题目要求□1996□□能同时被8、9、25整除，首先考虑能被25整除的条件，□1996□□的末两位数能被25整除，末两位数只能是00，25，50，75．其次考虑能被8整除的条件，□1996□□的末三位数字组成的数能被8整除，但600，625，650，675这四个数中，只有600这个数能被8整除．最后□199600这个数能被9整除，其各个数位上的数字和□+1+9+9+9+6+0=25+□能被9整除，所以第七位数字是2．解：（1）因为34□□能同时被2、3、4、5、9整除，因此只要34□□能同时被4、5、9整除．由于34□□能被5整除，所以个位数字只能是0或5，又因为4不能整除34□5，所以个位必须是0，又34□0能被9整除，3+4+□+0=7+□能被9整除，所以十位数字只能是2．3420能同时被2、3、4、5、9整除．（2）因为24=3×8，3与8互质，7□36□被8整除的条件是，7□36□的末三位数所组成的数36□能被8整除，所以个位数字只能是0或8；当个位数字是0时，7□360能被3整除，7+□+3+6+0=16+□能被3整除，所以千位数字只能是2或5或8；当个位数字是8时，7□368能被3整除，7+□+3+6+8=24+□能被3整除，所以千位数字只能是0或3或6或9．所以所求的数为72360，75360，78360，70368，73368，76368，79368．（3）因为□1996□□能被25整除，□1996□□的末两位数能被25整除，这样末两位数只能是00，25，50，75；又因为□1996□□能被8整除，但□1996□□的末三位数600，625，650，675这四个数中，只有600能被8整除；而□199600又能被9整除，□+1+9+9+6+0+0=25+□能被9整除，所在第七位数字只能是2．所以2199600能同时被8、9、25整除．例2把915连续写多少次，所组成的数就能被9整除，并且这个数最小．分析：要求这个数能被9整除，而9+1+5=15显然不能被9整除，但3×15能被9整除，因此只要把915连续写3次，所组成的数就能被9整除，并且这个数最小．解：因为9+1+5=15，15不能被9整除，而3×15能被9整除，所以只要把915连续写3次，即915915915必能被9整除，且这个数最小．例3希希买了九支铅笔，两支圆珠笔，三个练习本和五块橡皮．她看到圆珠笔每支3角9分，橡皮每块6分，其余她没注意．售货员要她付3元8角，希希马上说：“阿姨你算错了．”请问售货员的帐算错了没有？为什么？分析：根据圆珠笔与橡皮的单价，可以算出圆珠笔、橡皮共需39×2+6×5=108（分），而3元8角即380分减去108分等于272分，这272分是买九支铅笔、三个练习本的价格，这9与3正好是3的倍数，也就是说九支铅笔与三个练习本的总价钱应是3的倍数（无论它们各自的单价是多少），而272不是3的倍数，显然是售货员把账算错了．解：两支圆珠笔和五块橡皮的总钱数39×2+6×5=108（分）3元8角即380分，380-108=272（分）应是九支铅笔与三个练习本付的总价钱，因为九支铅笔与三个练习本的总价钱必是3的倍数，而272不是3的倍数，所以售货员把账给算错了．。
数的整除1 能被N整除数的特征!
数的整除：能被一个数N整除的数的特征能被2、5整除数的特征：个位上的数能被2、5整除能被3、9整除数的特征：各位上的数字和是3和9的倍数能被4、25整除数的特征：一个数的末两位是4、25的倍数。
能被8、125整除数的特征：一个数的末三位是8、125的倍数。
能被6整除数的特征：一个数既是2的倍数，又是3的倍数。
能被12整除数的特征：一个数既是3的倍数，又是4的倍数。
能被11整除的数的特征：一个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差是11的倍数，这个数就是11的倍数。
能同时被7、11、13整除数的特征：一个三位数连续写两遍，一定是7、11、13的倍数。
（末三位以前的数字所表示的数与末三位数字所表示的数的差）练习一：一、判断下面的数，哪些数是4和25、8和125的倍数500、120、36400、12000、5800、1136、88652、52000、4375二、判断下面的数，哪些数是3的倍数，哪些是9的倍数258、666、357、878、342、895、12000、3630、1503、三、判断下面的数，哪些是11的倍数。
121、1357、1826、64746、363、1325、888、13211、四、根据数的整除特点，完成下面的填空。
1、一个数如果能被45整除，它就一定能被（）和（）整除。
2、一个数如果能被15整除，它就一定能被（）和（）整除。
3、一个数如果能被12整除，它就一定能被（）和（）整除。
4、一个数如果能被22整除，它就一定能被（）和（）整除。
5、一个数如果能被24整除，它就一定能被（）和（）整除。
6、一个数如果能被36整除，它就一定能被（）和（）整除。
7、四位数4A5B能被12整除，那么这个四位数最大是（）。
8、三位数58A是6的倍数，那么这个三位数最大是（）。
9、四位数236A能同时被2、3整除，这个四位数是（）。
10、五位数4H97H能被3整除，它的最末两位数字所组成的数7H能被6整除，这个五位数是（）。
能被2,5,3整除的数的特征
能被2，5，3整除的数凡是个位数是0，2，4，6，8的整数一定能被2整除，能被5整除的数的个位数一定是0或5，如果整数的各位数字之和能被3整除，那么此整数能被3整除。
偶数和奇数有如下运算性质：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数，偶数±奇数=奇数，奇数±偶数=奇数，偶数×偶数=偶数，偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数。
例1在1～199中，有多少个奇数？有多少个偶数？其中奇数之和与偶数之和谁大？大多少？例2(1)不算出结果，判断数(524+42-429)是偶数还是奇数？(2)数(42□+30-147)能被2整除，那么，□里可填什么数？(3)下面的连乘积是偶数还是奇数？1×3×5×7×9×11×13×14×15。
例3在黑板上先写出三个自然数3，然后任意擦去其中的一个，换成所剩两个数的和。
照这样进行100次后，黑板上留下的三个自然数的奇偶性如何？它们的乘积是奇数还是偶数？为什么？例4由0，3，5写成的没有重复数字的三位数中，有哪些能被5整除？例5下面的连乘积中，末尾有多少个0？1×2×3×…×29×30。
例6判断下列各数是否能被3整除：2574，38974，587931。
例7六位数能被3整除，数字a=？例8由1，3，5，7这四个数字写成的没有重复数字的三位数中，有几个能被3整除？例9被2，3，5除余1且不等于1的最小整数是几？例10同时能被2，3，5整除的最小三位数是几？练习1.在20～200的整数中，有多少个偶数？有多少个奇数？偶数之和与奇数之和谁大？大多少？2.不算出结果，直接判断下列各式的结果是奇数还是偶数：(1)1＋2＋3＋4＋5；(2)1＋2＋3＋4＋5＋6＋7；(3)1＋2＋3＋…＋9＋10；(4)1＋3＋5＋…＋21＋23；(5)13-12＋11-10＋…＋3-2＋1。
能被2、5整除的数的特征
能被2、5整除的数的特征教学设计：本节课选自九年义务教育教材人教版第十册，这部分内容是在约数、倍数的基础的进行教学的，也是分解质因数、求最大公约数、最小公倍数的重要基础，还是学习约分、通分知识的必要前提。
因此对这部分内容学习的好不好，对以后的学习影响很大，所以必须把这部分内容学好。
“能被2、5整除的数的特征”是学生在理解整除这一概念的基础上,对数的整除性的进一步学习,根据学生原有的认知基础和认识规律,并结合"以学生为本"的教学理念,在本课设计中,我力求突出以下几点：1.、目标确定一一注重“双基”,强调整合。
在确定教学目标时，力图体现“发展为根本”的教学理念，不仅凸现双基要求，切实掌握能被2、5整除的数的特征，并能正确运用这一特征判断而且十分注重凸现学习过程的体验、学习方法的获得等方面的发展性目标,让学生通过观察、探索、讨论,培养学生独立探寻问题的能力及合作精神,激发学生的求知欲,努力使学生在知、能、情、意诸方面得到发展。
2.、教材处理一一尊重教材,不“唯”教材。
教材是落实教学大纲、实现教学计划的重要载体,也是教师进行课堂教学的主要依据。
教材内容是教学内容的一个组成部分,但不是全部。
在尊重教材的基础上,根据学生的实际可以对教材内容进行有目的的选择、补充或调整。
基于这一认识,在设计这节课时对教材内容进行了大胆的处理学。
力图使学习内容具有较强的灵活性,以促进学生的思维,培养学生的观察、分析、判断等能力。
3.、学生分析一一尊重学生,找准起点。
对学生学习起点的正确估计是设计适合每个学生自主学习的教学过程的基本点,它直接影响新知识的学习程度。
我在教学设计时十分注重学生原有的认知基础,促进新旧知识间的同化与顺应。
因此,设计时,我考虑不直接给出能被2、5整除的数,让学生去观察特征,自己利用整除的概念去判断数的整除性把数的特征同化到整除中去,最后再观察、概括整除特征,实现认知结构的扩展。
这样顺着学生的思路来设计例题,我感到既注重了概念的同化,又发挥了学生的主体作用,学生学习概念的激情也会高。
小五培优：能被2、3、5等数整除的数的特征
能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c 整除。
性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除能被5整除的数，个位上为0或5的数都能被5整除，那么这个数能被5整除能被6整除的数，各数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
能被8整除的数，一个整数的末3位若能被8整除，则该数一定能被8整除。
能被9整除的数，各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除能被10整除的数，如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！能被12整除的数，若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除能被13整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
2和5倍数的特征
2和5倍数的特征2和5的倍数是数学中常见的概念，它们分别代表能被2和5整除的数字。
在数学中，我们可以通过一些特征来识别一个数是否是2和5的倍数。
在本文中，我们将探讨与2和5的倍数相关的一些特征，并且探讨它们在数学中的应用。
首先，我们来讨论2的倍数。
一个数是2的倍数，意味着它可以被2整除，也就是说它是偶数。
因此，我们可以通过一个简单的特征来判断一个数是否是2的倍数，那就是这个数的个位数字是0、2、4、6、8中的任意一个。
例如，数字16是2的倍数，因为它的个位数字是6、而数字25不是2的倍数，因为它的个位数字是5另外，我们还可以通过一个数的各个位上的数字之和是否是2的倍数来判断这个数是否是2的倍数。
如果一个数的各个位上的数字之和是2的倍数，那么这个数也是2的倍数。
例如，数字18的各个位上的数字之和是1+8=9，9不是2的倍数，因此18也不是2的倍数。
接下来，我们来讨论5的倍数。
一个数是5的倍数，意味着它可以被5整除。
与2的倍数类似，我们也可以通过一个简单的特征来判断一个数是否是5的倍数，那就是这个数的个位数字是0或5、例如，数字30是5的倍数，因为它的个位数字是0。
而数字37不是5的倍数，因为它的个位数字是7此外，一个数是5的倍数，当且仅当它的末两位数字是00、25、50、75中的一个。
这是因为5的倍数必须以0或5结尾。
因此，如果一个数的末两位数字是00、25、50、75中的一个，那么这个数就是5的倍数。
在数学中，对于2和5的倍数有很多有趣的性质和应用。
例如，在数字理论中，我们常常需要分解一个数为其质因数的乘积。
如果一个数是2和5的倍数，那么它可以表示为$2^m\cdot5^n$的形式，其中m和n为非负整数。
这种形式的数在计算和数论中有着广泛的应用。
此外，2和5的倍数在计算整数的最大公约数和最小公倍数时也发挥着重要作用。
当我们计算两个数的最大公约数时，通常需要将它们分解为质因数的乘积，然后取相同质因数的最小幂次共同乘积。
小学奥数-数的整除特征的证明
小学奥数-数的整除特征的证明数的整除特征的证明自然数分解以五位数举例abcde=a×10000+b×1000+c×100+d×10+e二、一个数能被2或5整除abcde= a×10000+b×1000+c×100+d×10+e因为10能被2或5整除，所以10的整数倍能被2或5整除，所以（a×10000+b×1000+c×100+d×10）能被2或5整除，所以只要个位上的e能被2或5整除，则这个数能被2或5整除。
三、一个数能被4或25整除abcde= a×10000+b×1000+c×100+d×10+e因为100能被4或25整除，所以100的整数倍能被4或25整除，所以（a×10000+b×1000+c×100）能被4或25整除，所以只要末两位能被4或25整除，则这个数能被4或25整除。
四、一个数能被8或125整除abcde= a×10000+b×1000+c×100+d×10+e因为1000能被8或125整除，所以1000的整数倍能被8或125整除，所以（a×10000+b×1000）能被8或125整除，所以只要末三位能被8或125整除，则这个数能被8或125整除。
五、一个数能被3或9整除abcde= a×10000+b×1000+c×100+d×10+e=a×(9999+1)+b×(999+1)+c×(99+1)+d×(9+1)+e=a×9999+a+b×999+b+c×99+c+d×9+d+e= a×9999+b×999+c×99+d×9+a+b+c+d+e因为(a×9999+b×999+c×99+d×9)能被3或9整除，所以只要(a+b+c+d+e)能被3或9整除，则这个数能被3或9整除。
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能被2、5整除的数的特征
【教学目标】
1．使学生初步掌握能被2、5整除的数的特征，会正确判断一个数是否能被2、5整除。
2．使学生知道奇数、偶数的概念。
3．培养学生判断、推理能力。
【教学重点】掌握能被2、5整除数的特征，理解奇数、偶数的概念。
【教学难点】掌握能被2 和5 同时整除的数的特征。
【教学过程】
一、复习引入
1．请你说出整除、因数和倍数的含义。
2．出示情境图：
师：看一下图中的同学在做什么（在电影院准备看电影），你们知道电影票上的单号和双号是什么意思吗？那么什么座位号的同学应该从双号入口进？
通过电影院里“双号”的概念，使学生利用因数和倍数的概念，判断出这些“双数”都是2的倍数。
然后引导学生观察这些座位号的个位上的数的特点，进而概括出2的倍数的特征。
3．38970这个数能否被2整除？你是怎样判断的？
师：要判断一个数是否能被另一个数整除，可根据整除的含义进行判断，但比较慢，我们可以根据数的特征来进行判断，今天我们就来学习能被2、5整除的数的特征。
二、探索研究
1．学生动手操作。
学习能被2整除的数的特征。
（1）写出2的倍数：
1×2＝2；2×2＝4；3×2＝6；4×2＝8；5×2＝10……
（2）观察并总结特征
师：自己去观察2的倍数，看他们有什么特征？
教师让学生自己观察，如观察有困难，可作提示：看他们的个位有什么特征。
特征：让学生说出观察的特征。
检验：让学生说出几个较大的数对观察的结果进行检验看是否正确。
总结：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。
2．小组合作学习——奇数和偶数。
总结：自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（包括0），不是2的倍数的数叫做奇数。
让学生举例分别说出几个奇数和偶数。
比较奇数和偶数个位的特征。
（1）偶数的个位上是： 0、2、4、6、8。
（2）奇数的个位上是： 1、3、5、7、9。
3．能被5整除的数的特征。
师：知道了2的倍数的特征，那么你们还能找到哪些倍数的特征呢？（10：各位是0）那么能被5整除数的特征是什么呢？要想研究能被5整除的数的特征，应该怎样做？
（2）老师这里有一个表格，你们看一下这些数中哪些是5的倍数，用彩笔标记出来！
教师让学生自己涂色，观察这些倍数，概括观察的特征，然后进行检验。
三、课堂实践
1．听要求举起手
师：学号是5的倍数的同学请举手？学号是2的倍数的同学请举手？
2．讨论研究
①首先让学生分小组讨论。
“既能被2整除又能被5整除的数”，这个数一定具有什么特征？为什么？
② 再让学生去找并检验讨论的结论。
③集体订正。
四、课堂小结
学生小结今天学习的内容。