江苏省句容碧桂园学校2020_2021学年高一下学期第一次月考数学测试卷

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句容碧桂园学校2020-2021学年度第二学期第一次月考检测

高一数学试卷

满分：150分 时间：120分钟 制卷： 审核：

一、单选题（每小题5分，共40分）

1．下列命题：（1）零向量没有方向；（2）单位向量都相等；（3）向量就是有向线段；（4）两向量相等，若起点相同，终点也相同；（5）若四边形ABCD 为平行四边形，则,

．其中正确命题的个数

是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 2．化简得（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

3．已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ） A ．+2

B ．2+

C ．－2

D ．2-

4．已知向量＝(2，1)，＝10，|＋|=，则||＝（ ） A ．

B ．

C ．5

D ．25

5．如图所示，点D 是线段AC 上靠近A 的三等分点，点E 是线段AB 的中点，则（ ）

A ．

B ．-

C ．-

D ．-

6．已知＝(-，-1)，＝(1，)，那么与的夹角为( )

A.π6

B.π3

C.2π3

D.5π

6

7．已知点A (2，3)，B (－2，6)，C (6，6)，D (10，3)，则以A 、B 、C 、D 为顶点的凸四边形是（ ） A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．不能构成平行四边形

8．河水的流速为5 m/s ，小船想沿垂直于河岸方向以12 m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（ ） A ．13 m/s

B ．12 m/s

C ．17 m/s

D ．15 m/s

二、多选题（每小题5分，共20分） 9．下列计算正确的选项有（ ）

A ．sin22°cos38°+cos22°sin38°＝1

B ．sin20°cos110°+cos160°sin70°＝1

C ．

1tan1531tan15+?=-?D ．3

cos74sin14sin 74cos142

??-??=-

10．函数()sin 3cos 1f x x x =+-的（ ）

A ．图象对称中心为2,1(Z)3k k ππ??

+-∈ ???

B ．图象对称轴方程为(Z)3

x k k π

π=-

+∈

C ．增区间为52,2(Z)66k k k ππππ??

-

++∈????

D ．最大值是1，最小值是3-

11．已知向量＝(2，1)，＝(1，-1)，＝(m -2，-n )，其中m ，n 均为正数，且(－)∥，下列说法正确的是（ ） A ．

＝1B ．与的夹角为钝角C ．向量在方向上的投影为

D ．2m +n ＝4

12．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且，，

BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ） A ．

B ．

C ．|

|=

D ．

在

方向上的投影为

三、填空题（每小题5分，共20分）

13．在边长为4的正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，E 在线段AB 上运动，则的取值范围.

14．已知向量＝(2，3)，＝(-1，m )，且与+垂直，则m=. 15．已知点O 是△ABC 的内心，若

，则cos BAC ∠=.

16．化简：sin 22cos 45sin 23cos 22sin 45sin 23???

???

+-＝.

四、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分）

17．计算：（1）

sin 57sin 27cos30cos 27?-???

（2）()

2

2sin 50sin1013tan102sin 80???+?+?????.

18. 如图，D 、E 分别是△ABC 的边BC 的三等分点，设

，

，∠BAC =60° .

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（1）用，分别表示，；

（2）若，|

|=

，求△ABC 的面积.

19．已知324π

π

βα<<<，()12cos 13αβ-=，()3sin 5

αβ+=-，求sin 2α、sin 2β.

20．已知平面向量，，||＝2，||＝1，且与的夹角为3

π． （1）求； （2）求||； （3）若与

垂直，求的值．

21．已知三个点()2,1A ，()3,2B ，()1,4D -. （1）求证：AB AD ⊥；

（2）若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标及矩形ABCD 两对角线所成锐角的余弦值.

22．在△ABC 中，2AB =，1AC =，120o BAC ∠=，点E ，F 在BC 边上且BE BC λ=，BF BC μ=. （1）若1

3

λ=

，求AE 的长； （2）若4AE AF ?=，求

1

1

λ

μ

+

的值.

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参考答案：

1．A2．D3．D4．C 5．B 6．D 7．B 8．A 9．CD 10．ACD 11．AD

12．BCD 【详解】由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：

所以，123

(0,0),(1,0),(1,0),(0,3),(,

)33

E A B C D -，

设123

(0,),(0,3),(1,),(,)3

3

O y y BO y DO y ∈==--

，BO ∥DO ， 所以231

3y y -

=-，解得：3y =

， 即O 是CE 中点，0OE OC +=，所以选项B 正确；

3

2OA OB OC OE OC OE ++=+==

，所以选项C 正确； 因为CE AB ⊥，0AB CE ?=，所以选项A 错误；

123(,)33ED =，(1,3)BC =，ED 在BC 方向上的投影为127326BC BC

ED +?==，所以选项D 正确.

故选：BCD

13．[8，24] 14．113

-

15．

1

6【详解】因为()()3177

OA OB OA OC OA -=

-+-，即()

3OC OA OB =-+， 取AB 中点D ，连接OD ，则2OA OB OD +=，故6OC OD =-， 故点,,C O D 共线，又ACO BCO ∠=∠，故AC BC =，且CD AB ⊥， 所以1cos 6

DA OD BAC CA OC ∠=

==.故答案为：1

6.

16．1

17．（1）原式=sin 57sin 27cos30sin(3027)sin 27cos30cos 27cos 27???????

??

-+-=

sin 30cos 27cos30sin 27sin 27cos30cos 27???????+-=sin 30cos 271sin 30cos 272

???

?

=== （2）解：原式=2sin 50sin10(13tan10)2sin80??

????++???

cos103sin10(2sin 50sin10)2sin 80??

?

?+=+?? 13cos10sin1022(2sin 502sin10)2cos10cos10??

??

+=??

+? sin 30cos10cos30sin10(2sin 502sin10)2cos10cos10

????

?

??

+=+?? 22sin 50cos1022sin10sin 40???=?+?22(sin 50cos10sin10cos50)????

=+

3

22sin(5010)226??=+=?

= 18．解：（1）根据向量的线性运算法则，可得1

3

AD AB BD AB BC =+=+

12121

()33333

AB AC AB AB AC m n =+-=+=+，

221212

()333333

AE AB BE AB BC AB AC AB AB AC m n =+=+=+-=+=+.

（2）由BC AC AB m n =-=-，

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因为33BC =，可得22

2()233BC m n m n m n m n =-=-=+-?=, 即2

2

227m n m n +-?=， 又由222

112225

()()153333999

AD AE m n m n m n m n ?=+

?+=++?=， 解得9m n ?

=，所以9

18cos60m n ?=

=?

，

所以ABC 的面积1||||sin 6022

=??=

S m n . 19．解：∵

32

4π

π

βα<<<

，∴04παβ<-<，32

ππαβ<+<

又∵()12cos 13αβ-=

，()3sin 5αβ+=-，∴()5sin 13αβ-=，()4cos 5

αβ+=- ()()sin 2sin ααβαβ=++-????

()()()()56

sin cos cos sin 65

αβαβαβαβ=+-++-=-

()()sin 2sin βαβαβ=+--????()()()()16sin cos cos sin 65

αβαβαβαβ=+--+-=-

20.解：（1）1

cos

2132

a b a b π

?=?=?=； （2）()

2

2

22224444412a b a b

a a

b b +=+=+?+=++=，223a b +∴=；

（3）

()()22a b a b λ+⊥+，()()220a b a b λ∴+?+=，

即()()2

2

2428421230a a b b λλλλλ++?+=+++=+=，解得：4λ=-.

21．解：（1）由题知，()1,1AB =，()3,3AD =-，所以()13130AB AD ?=?-+?=，所以AB AD ⊥，所以AB AD ⊥；

（2）设点C 的坐标为(),C x y ，则根据四边形ABCD 为矩形得AB DC =，即：()()1,11,4x y =+-，所

以11

41

x y +=??-=?，解得0,5x y ==，所以()0,5C ；所以()2,4AC =-，()4,2BD =-， 所以164

cos ,205

2AC BD AC BD AC BD

?=

=

==，

矩形ABCD 两对角线所成锐角的余弦值为

45

. 22．解：（1）设AB a =，AC b =，则2a =，1b =，因此o

cos1201a b a b ?==-，

所以()

121333AE AB

BE a b a a b =+=+-=+，2

2113

39AE a b ??=+== ???， （2）因为BE BC λ=，所以()

()1AE AB BE a b a a b λλλ=+=+-=-+， 同理可得，()

(1)AF AB BF a b a a b μμμ=+=+-=-+，

所以()1(1)a b a AE AF b λλμμ????=-+?-+?????[]

4(1)(1)(1)(1)λμλμλμμλ=--+--+- 475()λμλμ=+-+，

∴475()4λμλμ+-+=，即75()0λμλμ-+=， 同除以λμ可得，1

1

7

5

λ

μ

+

=

.