2019-2020学年高二数学人教版(必修5
人教A版高中数学必修五高二答案.docx
高二数学参考答案 1.6π 2.垂直 3.3- 4.2213y x -= 5.③6. 7.28y x = 8.12π 9.③④ 10.2211612x y += 11.6,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12.3)2,1 15.由24020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得02x y =⎧⎨=⎩,(0,2)p ∴…………………………………………4分 (1)12l k =-, ……………………………………6分 122y x =-+,即240x y +-= ……………………………………9分 (2)43l k =-, …………………………………11分 423y x =-+,即4360x y +-= ……………………………………14分 16．证明：(1)11B BC ∆中,因为N ,Q 分别为1B B ,11B C 的中点, 1//QN BC ∴, 又1QN ABC ⊄平面,11BC ABC ⊂平面，所以1//QN ABC 平面…………………3分 矩形11A B BA 中,因为M ,N 分别为1AA ,1BB 的中点,//MN AB ∴，又1MN ABC ⊄平面,1AB ABC ⊂平面1//MN ABC ∴平面 ……………………………………6分 平面1//MNQ ABC 平面 ……………………………………7分(2)因为1AA ABC ⊥平面,,AB CP ABC ⊂平面,故1AA AB ⊥,1AA CP ⊥由(1)//MN AB 得1AA MN ⊥,又11//AA CC ,所以1CC MN ⊥. ……………………………………9分 又因为P 为AB 的中点,AC BC =,所以CP AB ⊥因为CP AB ⊥,1CP AA ⊥所以11CP AA B B ⊥平面,又因为11MN AA B B ⊂平面,所以,CP MN ⊥, ……………………………………11分又因为1MN CC ⊥,所以1MN PCC ⊥平面, ……………………………………13分 又MN MNQ ⊂平面,所以1MNQ PCC ⊥平面平面. ……………………14分 17解：(1)设⊙C 的方程为22()25x m y -+=(0)m >解由题意设0m =>⎩……………………………………2分 故1m =.故⊙C 的方程为22(1)25x y -+=. ……………………4分(2)5< ……………………………………6分 故21250a a ->,所以0a <或512a >.故,实数a 的取值范围为5(,0)(,)12-∞⋃+∞ ……………………………………9分 (3)存在实数a ,使得,A B 关于l 对称.∴PC AB ⊥ ,又0a <或512a > 即⎪⎩⎪⎨⎧><-=-⋅12501)34(a a a 或 ……………………………………13分 ∴34a =，∴存在实数34a =,满足题设 ……………………15分 18(1)解:正PAD ∆中,θ为AD 的中点故PQ AD ⊥由PAD ABCDPAD ABCD AD PQ ABCD PQ PAD PQ AD ⊥⎫⎪⋂=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭平面平面平面平面平面平面.………………………………3分 Q Q ABCD ∈平面PQ 长为P 到平面ABCD 的距离.因为4AD =,所以PQ =所以,P 平行ABCD的距离为……………………………………5分(2)证明:连AC 交BD 于O ,连MO则ABCD 为正方形,所以O 为AC 中点,M 为PC 中点,所以//MO AP , ……………………………………7分又AP MBD ⊄平面,MO MBD ⊂平面,则//AP MBD 平面. ……………………………………10分(3)N 为AB 中点时,平面PCN PQB ⊥平面. ……………………………………11分证明如下:由(1)证明知PQ ABCD ⊥平面,又CN ABCD ⊂平面,则PQ CN ⊥………12分又因为正方形ABCD 中,Q N 分别为,AD AB 中点,则CN BQ ⊥………………………13分 CN PQB ∴⊥平面 ……………14分 又Q CN PCN ⊂平面所以,平面PCN PQB ⊥平面. ……………………………………15分 19解(1),因为(3,1)A 在⊙C 上,所以,2(3)43m m ⎧-=⎨<⎩,1m =.所以,⊙C :22(1)5x y -+=. ……………………………………2分易知直线1PF 的斜率存在,设直线1PF 方程:4(4)y k x -=-，即:(44)0kx y k -+-= 题设有=112k =或12k = ……………………………………4分 112k =时,直线1PF 方程111802x y --=，令0y =,则36011x =>,不合题意(舍去)12k =时,直线1PF 方程:240x y -+=.令0y =,则40x =-<满足题设. 所以,直线1PF 方程为:240x y -+=. ……………………………………6分 (2)由(1)知1(4,0)F -,所以,2(4,0)F ,2216a b -=①……………………………………7分又122a AF AF =+==所以,a =……………………………………9分 所以,22b = ……………………………………10分 椭圆E 的方程:221182x y +=. ……………………………………11分 （3）设1QF 的中点为M ,连2QF .则2111)22OM QF QF ==112QF = …………………15分所以,以1QF 为直径的圆内切于圆222x y +=,即2218x y +=.…………………16分20解(1)对22640x y y +--=,令0y =,则2x =±.所以,(2,0)A -,2a = ……………………………………2分又因为,c e a ==,所以,c =……………………3分 2221b a c =-=……………………………………4分所以,椭圆C 的方程为:2214x y +=. ……………………5分 (2)由图知AFQ ∆为等腰三角形 2a a c AF QF c c+==>-………………………………7分 所以,2220c ac a +->,2210e e +->,(21)(1)0e e -+>又01e <<,所以112e <<,即椭圆离心率取值范围为1(,1)2.……10分 (3)连PD 交MN 于H ,连DM ,则由圆的几何性质知:H 为MN 的中点,DM PM ⊥,MN PD ⊥.所以,22MD MP MN MH PD ⋅=== 2MD =⊙D :22(3)13x y +-=，MD =所以,2131132PD MN -⋅= …………………………………13分设00(,)P x y ,则220014x y +=且010y -≤< 所以,222220000(3)3613PD x y y y =+-=--+203(1)16y =-++0(10)y -≤<所以,21316PD <≤ ……………………………………15分所以,2O MN <≤. …………………………………16分另解：设00(,)P x y ,则220014x y +=且010y -≤< 圆D:13)3(22=-+y x ,所以直线MN 的方程:13)3)(3(00=--+y y x x即：043)3(000=---+y y y x x …………………………………12分)01(16)1(3131132)3(131132])3(13[132020202022020<≤-++--⋅=-+-⋅=-+-=∴y y y x y x MN …………………15分∴2O MN <≤ …………………………………16分 附加题：21解(1)由1110113a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得13a +=-,则4a =-…………………………………3分(2)1141A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦, 所以,由211()23041F λλλλλ-==--=-得: 11λ=-,23λ= ……………………………………7分11λ=-时,由20x y -+=得:2y x =-取112α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u v23λ=时,由20x y +=得:2y x =-,取212α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u u v . (9)分所以,A 的特征值为1-或3.属于1-的一个特征向量112α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u v ,属于3的一个特征向量212α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u u v ……………………………………10分22解:将方程)4πρθ=-,415315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(t 为系数) 化为普通方程分别为:22220x y x y ++-=,3410x y ++=. …………………………6分曲线c 为圆22(1)(1)2x y ++-=所以直线l 被曲线c截得的弦长为=……………………………10分 23解:由题设1CC AC ⊥,1CC BC ⊥,AC BC ⊥所以,以C 为坐标原点,CA ,CB ,1CC 所在直线为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系则(0,0,0)C ,(2,0,0)A ,(0,2,0)B ,1(0,0,2)C ,1(2,0,2)A ,1(0,2,2)B ,所以(0,0,1)D ,(1,1,1)E ,221(,,)333G .……………………………………2分 (1)112(,,)333EG =---u u u v ,(0,2,1)BD =-u u u v ……………………………4分 所以22033EG BD ⋅=-=u u u v u u u v ,EG BD ∴⊥u u u v u u u v 所以,直线EG 与直线BD 所成的角为2π.……………………………5分 (2)1(2,2,2)A B =--u u u v ……………………………………6分 (2,2,0)AB =-u u u v ,(2,0,1)AD =-u u u v 设000(,,)n x y z =v 为平面ABD 的一个法向量 则000022020n AB x y n AD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩v u u u v v u u u v ,00002y x z x =⎧∴⎨=⎩ 取(1,1,2)n =v . ……………………………………8分设1A B 与平面ADB 所成的角为θ则1sin cos ,3A B n θ===u u u u vv . 即:1A B 与平面ADB所成的角为正弦值为3.…………………10分 24解(1)设(,)M x y ,则AM 的中点(0,)2y D .因为(1,0)C ,(1,)2y DC =-u u u v ，(,)2y DM x =u u u u v . 在⊙C 中,因为CD DM ⊥，所以,0DC DM ⋅=u u u v u u u u v ，所以204y x -=. 所以,24y x =(0)x ≠所以,点M 的轨迹E 的方程为:24y x =(0)x ≠ ……………………………………5分(说明漏了0x ≠不扣分)(2)轨迹E 的准线:1l x =-所以,可设(1,)N t -,过N 的斜率存在的直线方程为:(1)y t k x -=+ 由24()y x y kx k t ⎧=⎨=++⎩得2()04k y y k t -++=.由1()0k k t ∆=-+=得:210k kt +-=. 设直线NP ,NQ 斜率分别为1k ,2k ，则121k k =-①且12p y k =,22Q y k = 所以21122(,)P k k ,22222(,)Q k k 所以,直线PQ 的方程:121221122()()2()y k k k k x k k -+=-. 令0y =,则121222112121211k k k x k k k k k k k +--=-==- 由①知,1x =即直线PQ 过定点(1,0)B .……………………………………10分。
高二数学必修5全套教案(人教版)
1．1．1正弦定理●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程 一.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二.讲授新课[探索研究]在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==,则sin sin sin a b c c A B C=== 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==思考1：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，（1）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a 从而sin sin abAB=sin cC=A c B（2）当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。
2019_2020学年高中数学学期综合测评新人教A版必修5
学期综合测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式y ≤3x ＋b 所表示的区域恰好使点(3,4)不在此区域内，而点(4,4)在此区域内，则b 的范围是( )A ．－8≤b ≤－5B ．b ≤－8或b >－5C ．－8≤b <－5D ．b ≤－8或b ≥－5答案 C解析 ∵4>3×3＋b ，且4≤3×4＋b ，∴－8≤b <－5.2．在等差数列{a n }中，若S 4＝1，S 8＝4，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值为( ) A ．9 B ．12 C ．16 D ．17 答案 A解析 S 4＝1，S 8－S 4＝3而S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12，S 20－S 16成等差数列，值分别为1,3,5,7,9，∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝9.3．若a <b <0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．1a －b >1bB ．a 2<ab C ．a a>b aD ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a<|b |＋1|a |＋1答案 D解析 当a ＝－2<b ＝－1<0时，1a －b ＝1b ，a a ＝14<b a＝1，所以 A ，C 都不一定成立．又a <b <0，所以a 2>ab ，所以B 不成立．又⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a －|b |＋1|a |＋1＝|b |－|a ||a ||a |＋1＝－b ＋a |a ||a |＋1<0，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a <|b |＋1|a |＋1，故选D ． 4．若关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．(3,4)B ．(－2，－1)∪(3,4)C ．(3,4]D ．[－2，－1)∪(3,4] 答案 D解析 由题意，得原不等式可转化为(x －1)(x －a )<0.当a >1时，解得1<x <a ，此时解集中的整数为2,3，则3<a ≤4；当a <1时，解得a <x <1，此时解集中的整数为0，－1，则－2≤a <－1.当a ＝1时，不符合题意．故实数a 的取值范围是[－2，－1)∪(3,4]，故选D ．5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a ，b ，c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc ，则cb sin B的值为( )A ．12B ．32C ．233D ． 3 答案 C解析 ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 又∵c 2－a 2＝bc －ac ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝60°.由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，∴sin B ＝3b 2a .∴c b sin B ＝2ac 3b2＝233. 6．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D ，若指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．[3，＋∞ ) 答案 A解析 画出不等式组所表示的平面区域如图．若指数函数y ＝a x图象上存在区域D 上的点，则y ＝ax的图象过A 点时为一个临界位置．由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋3＝0，x ＋y －11＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝9，即A (2，9)，代入y ＝a x满足a 2≤9即a ∈[－3,3]， 又∵a >1时才符合题意，∴a ∈(1,3]．7．设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为( )A ．(1,1＋2)B ．(1＋2，＋∞)C ．(1,3)D ．(3，＋∞)答案 A 解析 先画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1表示的可行域，如图中阴影部分所示．变换目标函数为y ＝－1m x ＋z m ，由于m >1，所以－1<－1m <0.又直线y ＝－1m x ＋zm在y 轴上的截距最大时，目标函数取得最大值，结合图象，知在点A 处取得最大值．由x ＋y ＝1，y ＝mx ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1.则1m ＋1＋m ×m m ＋1<2，解得1－2<m <1＋ 2. 又m >1，故m 的取值范围为(1,1＋2)．8．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是________海里．( )A ．10 2B ．20 3C ．10 3D ．20 2 答案 A解析 根据题意画出示意图，如图所示，由题意，知∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°，AB ＝20，从而∠ACB ＝45°.在△ABC 中，由正弦定理可得BC ＝ABsin45°×sin30°＝10 2.故选A ．9．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1答案 D解析 f (x )＝x －22＋12x －2＝x －22＋12x －2.∵x ≥52，∴x －2>0，∴f (x )≥214＝1. 当且仅当x －22＝12x －2，即x ＝3时，取等号． 10．已知△ABC 的三条边的边长分别为4米、5米、6米，将三边都截掉x 米后，剩余的部分组成一个钝角三角形，则x 的取值范围是( )A ．0<x <5B ．1<x <5C ．1<x <3D ．1<x <4答案 C解析 剩余的部分三边长分别为4－x,5－x,6－x (0<x <4)，其为钝角三角形，则(6－x )2>(5－x )2＋(4－x )2，∴1<x <5，∴1<x <4.由两边之和大于第三边得(4－x )＋(5－x )>6－x ，∴x <3，∴1<x <3.故选C ．11．设数列{x n }满足log a x n ＋1＝1＋log a x n (a >0且a ≠1，n ∈N *)，且x 1＋x 2＋…＋x 100＝100，则x 101＋x 102＋…＋x 200的值为( )A ．100aB ．101a 2C ．101a100D ．100a 100答案 D解析 ∵log a x n ＋1＝1＋log a x n ，∴log a x n ＋1＝log a (ax n )，∴x n ＋1x n＝A ．∴数列{x n }是公比为a 的等比数列．设b 1＝x 1＋x2＋…＋x 100，b 2＝x 101＋x 102＋…＋x 200，则b 2＝b 1a 100＝100a 100.12．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC的面积为( )A ．23＋2B ．3＋1C ．23－2D ．3－1答案 B解析 ∵B ＝π6，C ＝π4，∴A ＝π－B －C ＝π－π6－π4＝7π12.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得2sin π6＝c sinπ4，即212＝c22，∴c ＝2 2.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝3＋1.故选B ．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．若不等式3x －k >x －4的解集是{x |x ≥4}，则整数k 最大可取________． 答案 11解析 原不等式等价于3x －k >x －4对x ≥4恒成立，即k <2x ＋4对x ≥4恒成立，得k <2×4＋4＝12，又所求的为满足该不等式的最大整数，故填11.答案 (22，4) 解析15．若1<1a <1b，则有如下结论：①log a b >log b a ；②|log a b ＋log b a |>2；③(log b a )2<1；④|log a b |＋|log b a |>|log a b ＋log b a |. 其中，正确的结论是________(填序号)． 答案 ①②③解析 用特殊值法．由1<1a <1b，知0<b <a <1.令a ＝12，b ＝14，则log a b ＝2，log b a ＝12.可判定①②③均正确，④不正确．16．数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1－2a n ＝0，数列{b n }的通项公式满足关系式a n ·b n ＝(－1)n(n ∈N *)，则b n ＝________.答案 －1n3×2n －1解析 ∵a 1＝3，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }为等比数列，且公比q ＝2.∴a n ＝3×2n －1.又a n ·b n ＝(－1)n.∴b n ＝(－1)n·1a n ＝－1n3×2n －1.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0； (2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R .解 (1)由题意知1－a <0且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＜0，41－a＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0. 即为2x 2－x －3>0，解得x <－1或x >32.∴所求不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－1或x ＞32. (2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0，若此不等式解集为R ，则b 2－4×3×3≤0，∴－6≤b ≤6.18．(本小题满分12分)已知锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c 满足 1－cos2C2＋sin(B －A )＝2sin2A ． (1)求a b；(2)若AB 是最大边，求cos C 的取值范围． 解 (1)∵1－cos2C2＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin2A ⇒sin B cos A ＝2sin A cos A ． 因△ABC 为锐角三角形，则cos A ≠0，由正弦定理得a b ＝sin A sin B ＝12. (2)∵b ＝2a ，且a <b ≤c ，则π3<C <π2，则0<cos C <12， 又∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ≤a 22ab ＝14，∴cos C 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，已知a ＋b a ＝sin Bsin B －sin A，且cos(A －B )＋cos C ＝1－cos2C ．(1)试确定△ABC 的形状； (2)求a ＋cb的范围． 解 (1)由a ＋b a ＝sin B sin B －sin A ，得a ＋b a ＝bb －a，即b 2－a 2＝ab ，①又cos(A －B )＋cos C ＝1－cos2C ， 所以cos(A －B )－cos(A ＋B )＝2sin 2C ． sin A sin B ＝sin 2C ，则ab ＝c 2.② 由①②知b 2－a 2＝c 2，即b 2＝a 2＋c 2. 所以△ABC 为直角三角形． (2)在△ABC 中，a ＋c >b ，即a ＋cb>1. 又a ＋c b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2＋2ac b 2≤ 2a 2＋c 2b 2＝2b2b 2＝2， 故a ＋cb的取值范围为(1，2]． 20．(本小题满分12分)祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务．某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年的总收入为50万美元．设f (n )表示前n 年的纯收入．(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)(1)从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案： ①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案更合算？ 解 由题意，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列．f (n )＝50n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n ＋n n －12×4－72＝－2n 2＋40n －72.(1)获取纯利润就是要求f (n )>0， 则－2n 2＋40n －72>0⇒2<n <18. 又n ∈N *，所以从第三年开始获取纯利润． (2)①年平均利润为f n n ＝40－2⎝⎛⎭⎪⎫n ＋36n ≤16，当且仅当n ＝6时取等号，故此方案获利6×16＋48＝144(万美元)，此时n ＝6. ②f (n )＝－2n 2＋40n －72＝－2(n －10)2＋128， 当n ＝10时，f (n )max ＝128.故此方案获利128＋16＝144(万美元)，此时n ＝10.比较两方案，第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故选择第①种方案． 21．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x ，a ∈R }． (1)求A ；(2)若a >0，以a 为首项，a 为公比的等比数列的前n 项和记为S n ，对于任意的n ∈N *，均有S n ∈A ，求a 的取值范围．解 (1)A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x ，a ∈R }＝{x |(x －1)·(x －a )≤0，a ∈R }． ①a ≥1时，A ＝{x |1≤x ≤a }； ②a <1时，A ＝{x |a ≤x ≤1}． (2)①当a ≥1时，A ＝{x |1≤x ≤a }．而S 2＝a ＋a 2>a ，S 2∉A ，故a ≥1时，不存在满足条件的A ．②当0<a <1时，A ＝{a ≤x ≤1}，S n ＝a 1－a n1－a ，S n －a ＝a 1－a n 1－a －a ＝a 2－a n ＋11－a≥0，∴S n ≥a ，又a n>0，∴S n <a 1－a ，对任意的n ∈N *，S n ∈A ，只须a 满足⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a1－a ≤1，解得0<a ≤12.综上所述，a 的取值范围是0<a ≤12.22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，在等差数列{b n }中，b n >0(n∈N *)，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列．(1)求数列{a n b n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵a n ＝3n －1，∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9.∵在等差数列{b n }中，b 1＋b 2＋b 3＝15，∴3b 2＝15，则b 2＝5.设等差数列{b n }的公差为d ，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2.∵b n >0，∴d ＝－10应舍去，∴d ＝2，∴b 1＝3，∴b n ＝2n ＋1，故a n b n ＝(2n ＋1)·3n －1.(2)由(1)知T n ＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n －1)3n －2＋(2n ＋1)3n －1，①3T n ＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n －1)3n －1＋(2n ＋1)3n，②①－②，得－2T n ＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－(2n ＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n －1)－(2n ＋1)3n- 11 - ＝3＋2×3－3n1－3－(2n ＋1)3n ＝3n －(2n ＋1)3n ＝－2n ·3n . ∴T n ＝n ·3n .。
2019_2020学年高中数学2019年数学高考真题新人教A版必修5
2019年数学高考真题剖析解读高考全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷都是教育部按照普通高考考试大纲统一命题，适用于不同省份的考生．在难度上会有一些差异，但在试卷结构、命题方向上基本都是相同的．试题稳中求新，稳中求变．与往年相比，三角、数列、立体几何、圆锥曲线、函数与导数等依然是考查的重点，注重基础知识，凸显主干知识．试卷结构、题型保持一致，各题型所占分值与分值分布没有变化，试题顺序有较大变化，考查方式有所改变，难度明显增加，客观题与去年的难度相当，主观题难易梯度明显增加，解决了没有区分度的诟病．今年试题立足学科素养，落实关键能力，加强数学应用，渗透数学文化．以真实情境为载体，贴近生活，联系社会实际，注重能力考查，增强综合性、应用性， 在各部分内容的布局和考查难度上都进行了调整和改变，这在一定程度上有助于考查学生灵活应变的能力和主动调整适应的能力，有助于学生全面学习掌握重点知识和重点内容，同时有助于打破考试题的僵硬化，更好地提升学生的综合分析能力，打破了传统的应试教育．2019年全国卷对必修5解三角形的考查，通常会有一道大题，相对来说难度不大，有时也会应用到圆锥曲线或立体几何的计算中．线性规划根据新课标的要求，考查越来越少，今年只有全国Ⅱ、Ⅲ卷文科进行了考查．基本不等式往年很少单独考查，经常综合到其他知识当中，但今年的全国Ⅰ卷文、理的第23题考查了基本不等式，取代了绝对值不等式．全国卷对数列的考查难度不大，通常都是数列基本量的计算，今年全国Ⅰ卷中概率大题不但成了压轴，同时还综合了数列的考查．自主命题的省市对数列的考查难度相对大一些，尤其在江苏卷、北京理科中，数列的考查难度较大，经常结合数列知识进行创新．下面列出了2019年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及各地区必修5所考查的全部试题，请同学们根据所学知识，测试自己的能力，寻找自己的差距，把握高考的方向，认清命题的趋势！(说明：有些试题带有综合性，是与以后要学的内容的小综合试题，同学们可根据目前所学习的内容，有选择性地试做！)穿越自测一、选择题1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3 答案 A解析 ∵a sin A －b sin B ＝4c sin C ，∴由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－c 2＋b 22bc ＝－3c 22bc ＝－14，∴bc＝6.故选A.2. (2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( )A ．16B ．8C ．4D ．2 答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >0，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝15，a 1q 4＝3a 1q 2＋4a 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴a 3＝a 1q 2＝4.故选C.3. (2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝12n 2－2n答案 A解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n n －2×2＝n 2－4n .故选A.4．(2019·浙江高考)设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n ＋b ，n ∈N *，则( ) A ．当b ＝12时，a 10>10 B ．当b ＝14时，a 10>10C ．当b ＝－2时，a 10>10D ．当b ＝－4时，a 10>10 答案 A解析 解法一：考察选项A ，a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n ＋b ＝a 2n ＋12，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －122＝a 2n －a n ＋14≥0，∴a 2n ≥a n－14. ∵a n ＋1＝a 2n ＋12>0，∴a n ＋1≥a n －14＋12＝a n ＋14>a n ，∴{a n }为递增数列．因此，当a 1＝0时，a 10取到最小值，现对此情况进行估算．显然，a 1＝0，a 2＝a 21＋12＝12，a 3＝a 22＋12＝34，a 4＝a 23＋12＝1716，当n >1时，a n ＋1>a 2n ，∴lg a n ＋1>2lg a n ，∴lg a 10>2lg a 9>22·lg a 8>…>26lg a 4＝lg a 644，∴a 10>a 644＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11664＝C 064＋C 164⎝ ⎛⎭⎪⎫1161＋C 264⎝ ⎛⎭⎪⎫1162＋…＋C 6464⎝ ⎛⎭⎪⎫11664＝1＋64×116＋64×632×1162＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11664＝1＋4＋7.875＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11664＝12.875＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11664>10，因此符合题意，故选A. 解法二：由已知可得a n ＋1－a n ＝a 2n ＋b －a n ＝a n －122＋b －14.对于选项B ，当a ＝12，b ＝14时，a n＝12恒成立，所以排除B ；对于选项C ，当a ＝2或－1，b ＝－2时，a n ＝2或－1恒成立，所以排除C.对于选项D ，当a ＝1±172，b ＝－4时，a n ＝1±172恒成立，所以排除D.故选A. 5．(2019·浙江高考)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，3x －y －4≤0，x ＋y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．10D ．12 答案 C 解析如图，不等式组表示的平面区域是以A (－1,1)，B (1，－1)，C (2,2)为顶点的△ABC 区域(包含边界)．作出直线y ＝－32x 并平移，知当直线y ＝－32x ＋z2经过C (2,2)时，z 取得最大值，且z max ＝3×2＋2×2＝10.故选C.6．(2019·北京高考)若若x ，y 满足|x |≤1－y ，且y ≥－1，则3x ＋y 的最大值为( )A ．－7B ．1C ．5D ．7 答案 C解析 由|x |≤1－y ，且y ≥－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≤0，y ≥－1.作出可行域如图阴影部分所示． 设z ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋z . 作直线l 0：y ＝－3x ，并进行平移．显然当直线z ＝3x ＋y 过点A (2，－1)时，z 取最大值，z max ＝3×2－1＝5.故选C. 7．(2019·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≥0，x ≥－1，y ≥－1，则目标函数z ＝－4x ＋y 的最大值为( )A ．2B ．3C ．5D ．6 答案 C解析 由约束条件作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示．∵z ＝－4x ＋y 可化为y ＝4x ＋z ，∴作直线l 0：y ＝4x ，并进行平移，显然当直线z ＝－4x ＋y 过点A (－1，1)时，z 取得最大值，z max ＝－4×(－1)＋1＝5.故选C.8．(2019·全国卷Ⅲ)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D,2x＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D,2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题： ①p ∨q ②p ∨q ③p ∧q ④p ∧q这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③ D ．③④ 答案 A 解析解法一：画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z ＝2x ＋y 是一条平行移动的直线，且z 的几何意义是直线z ＝2x ＋y 的纵截距．显然，直线过点A (2,4)时，z min ＝2×2＋4＝8，即z ＝2x ＋y ≥8.∴2x ＋y ∈[8，＋∞)．由此得命题p ：∃(x ，y )∈D,2x ＋y ≥9正确； 命题q ：∀(x ，y )∈D,2x ＋y ≤12不正确． ∴①③真，②④假．故选A.解法二：取x ＝4，y ＝5，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0，且满足2x ＋y ≥9，不满足2x ＋y ≤12，故p 真，q 假．∴①③真，②④假．故选A. 二、填空题9．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＋a cos B ＝0，则B ＝________. 答案3π4解析 ∵b sin A ＋a cos B ＝0，∴a sin A ＝b－cos B .由正弦定理，得－cos B ＝sin B ，∴tan B ＝－1.又B ∈(0，π)， ∴B ＝3π4.10．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________． 答案 6 3解析 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 又∵b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，∴36＝4c 2＋c 2－2×2c 2×12，∴c ＝23，a ＝43，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×43×23×32＝6 3.11．(2019·北京高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________． 答案 0 －10解析 ∵a 2＝a 1＋d ＝－3，S 5＝5a 1＋10d ＝－10， ∴a 1＝－4，d ＝1， ∴a 5＝a 1＋4d ＝0， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n －5.令a n <0，则n <5，即数列{a n }中前4项为负，a 5＝0，第6项及以后为正． ∴S n 的最小值为S 4＝S 5＝－10.12．(2019·全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 3＝5，a 7＝13，则S 10＝________.答案 100解析 ∵{a n }为等差数列，a 3＝5，a 7＝13，∴公差d ＝a 7－a 37－3＝13－54＝2，首项a 1＝a 3－2d＝5－2×2＝1，∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝100.13．(2019·全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________. 答案 4解析 由a 1≠0，a 2＝3a 1，可得d ＝2a 1， 所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝100a 1，S 5＝5a 1＋5×42d ＝25a 1，所以S 10S 5＝4. 14．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝________.答案 58解析 设等比数列的公比为q ，又a 1＝1，则a n ＝a 1q n －1＝qn －1.∵S 3＝34，∴a 1＋a 2＋a 3＝1＋q ＋q 2＝34，即4q 2＋4q ＋1＝0，∴q ＝－12，∴S 4＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－－1241－－12＝58.15．(2019·全国卷Ⅰ)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________.答案1213解析 由a 24＝a 6，得(a 1q 3)2＝a 1q 5，整理得q ＝1a 1＝3.∴S 5＝13－351－3＝1213. 16．(2019·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≥－1，4x －3y ＋1≥0，则y －x 的最小值为________，最大值为________． 答案 －3 1解析 x ，y 满足的平面区域如图所示．设z ＝y －x ，则y ＝x ＋z .把z 看作常数，则目标函数是可平行移动的直线，z 的几何意义是直线y ＝x ＋z 的纵截距，通过图象可知，当直线y ＝x ＋z 经过点A (2,3)时，z 取得最大值，此时z max ＝3－2＝1.当经过点B (2，－1)时，z 取得最小值，此时z min ＝－1－2＝－3. 17．(2019·全国卷Ⅱ)若变量x ，y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≥0，x ＋y －3≤0，y －2≤0，则z ＝3x －y 的最大值是________．答案 9解析 作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y ＝3x －z 过点C 时，－z 最小，即z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，2x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，即C 点坐标为(3,0)，故z max ＝3×3－0＝9. 18．(2019·天津高考)设x >0，y >0，x ＋2y ＝5，则x ＋y ＋xy的最小值为________．答案 4 3解析 ∵x >0，y >0，∴xy >0.∵x ＋2y ＝5，∴x ＋y ＋xy＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋6xy ＝2xy ＋6xy≥212＝4 3.当且仅当2xy ＝6xy时取等号． ∴x ＋y ＋xy的最小值为4 3.三、解答题19．(2019·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a,3c sin B ＝4a sin C . (1)求cos B 的值；(2)求sin （2B ＋π6）的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C ，得b sin C ＝c sin B .由3c sin B ＝4a sin C ， 得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a .因为b ＋c ＝2a ，所以b ＝43a ，c ＝23a .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a＝－14.(2)由(1)可得sin B ＝1－cos 2B ＝154， 从而sin2B ＝2sin B cos B ＝－158， cos2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝sin2B cos π6＋cos2B sin π6＝－158×32－78×12＝－35＋716. 20．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 解 (1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sinA ＋C2＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C2＝cos B2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，所以sin B 2＝12，所以B2＝30°，所以B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由(1)知A ＋C ＝120°， 由正弦定理得a ＝c sin A sin C＝sin－C sin C ＝32tan C ＋12. 由于△ABC 为锐角三角形， 故0°<A <90°，0°<C <90°. 结合A ＋C ＝120°，得30°<C <90°， 所以12<a <2，从而38<S △ABC <32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫38，32. 21．(2019·江苏高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，求c 的值；(2)若sin A a ＝cos B 2b ，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π2的值．解 (1)因为a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，即23＝c2＋c 2－222×3c ×c，解得c 2＝13.所以c ＝33.(2)因为sin A a ＝cos B2b，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得cos B 2b ＝sin Bb，所以cos B ＝2sin B .从而cos 2B ＝(2sin B )2，即cos 2B ＝4(1－cos 2B )， 故cos 2B ＝45.因为sin B >0，所以cos B ＝2sin B >0，从而cos B ＝255.因此sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π2＝cos B ＝255.22．(2019·北京高考)在△ABC 中，a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12.(1)求b ，c 的值； (2)求sin(B －C )的值．解 (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝32＋c 2－2×3×c ×－12.因为b ＝c ＋2，所以(c ＋2)2＝32＋c 2－2×3×c ×－12，解得c ＝5，所以b ＝7. (2)由cos B ＝－12得sin B ＝32.由正弦定理得sin C ＝c b sin B ＝5314. 在△ABC 中，∠B 是钝角，所以∠C 为锐角， 所以cos C ＝1－sin 2C ＝1114.所以sin(B －C )＝sin B cos C －cos B sin C ＝437.23．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sinB sinC . (1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .解 (1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sinB sinC ， 故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°<A <180°，所以A ＝60°. (2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ， 即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22.因为0°<C<120°，所以sin(C＋60°)＝22，故sin C＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝6＋24.24．(2019·北京高考)设{a n}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．解(1)设{a n}的公差为d.因为a1＝－10，所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d.因为a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列，所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6)．所以(－2＋2d)2＝d(－4＋3d)．解得d＝2.所以a n＝a1＋(n－1)d＝2n－12.(2)由(1)知，a n＝2n－12.则当n≥7时，a n>0；当n≤6时，a n≤0.所以S n的最小值为S5＝S6＝－30.25．(2019·全国卷Ⅱ)已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和．解(1)设{a n}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0.解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{a n}的通项公式为a n＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得b n＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{b n}的前n项和为1＋3＋…＋(2n－1)＝n2. 26．(2019·全国卷Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝－a5.(1)若a3＝4，求{a n}的通项公式；(2)若a1>0，求使得S n≥a n的n的取值范围．解(1)设{a n}的公差为d.由S9＝－a5得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{a n}的通项公式为a n＝10－2n.(2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n n －d2.由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10，所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }．27．(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0,4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．解 (1)证明：由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )，即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n )．又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8， 即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知，a n ＋b n ＝12n －1，a n －b n ＝2n －1，所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12，b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12.28．(2019·天津高考)设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0.已知a 1＝b 1＝3，b 2＝a 3，b 3＝4a 2＋3.(1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)设数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，b n2，n 为偶数.求a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n (n ∈N *)．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3q ＝3＋2d ，3q 2＝15＋4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝3，故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3×3n －1＝3n.所以，{a n }的通项公式为a n ＝3n ，{b n }的通项公式为b n ＝3n.(2)a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2b 1＋a 4b 2＋a 6b 3＋…＋a 2n b n )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ×3＋n n －2×6＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n ×3n)＝3n 2＋6(1×31＋2×32＋…＋n ×3n)． 记T n ＝1×31＋2×32＋…＋n ×3n，① 则3T n ＝1×32＋2×33＋…＋n ×3n ＋1，②②－①得，2T n ＝－3－32－33－ (3)＋n ×3n ＋1＝－－3n1－3＋n ×3n ＋1＝n －n ＋1＋32.所以，a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n ＝3n 2＋6T n ＝3n 2＋3×n －n ＋1＋32＝n －n ＋2＋6n 2＋92(n ∈N *)．29．(2019·天津高考)设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列．已知a 1＝4，b 1＝6，b 2＝2a 2－2，b 3＝2a 3＋4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c 1＝1，c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，2k<n <2k ＋1，b k ，n ＝2k，其中k ∈N *.①求数列{a 2n (c 2n －1)}的通项公式；②求∑i ＝12na i c i (n ∈N *)．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .依题意得⎩⎪⎨⎪⎧6q ＝6＋2d ，6q 2＝12＋4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝2，故a n ＝4＋(n －1)×3＝3n ＋1，b n ＝6×2n －1＝3×2n.所以，{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋1，{b n }的通项公式为b n ＝3×2n. (2)①a 2n (c 2n －1)＝a 2n (b n －1)＝(3×2n ＋1)(3×2n －1)＝9×4n－1. 所以，数列{a 2n (c 2n －1)}的通项公式为a 2n (c 2n －1)＝9×4n－1.②∑i ＝12na i c i ＝∑i ＝12n[a i ＋a i (c i －1)]＝∑i ＝12n a i ＋∑i ＝1na 2i (c 2i －1)＝⎝⎛⎭⎪⎫2n×4＋2nn－2×3＋∑i ＝1n(9×4i －1)＝(3×22n －1＋5×2n －1)＋9×－4n1－4－n＝27×22n －1＋5×2n －1－n －12(n ∈N *)．30．(2019·浙江高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝4，a 4＝S 3.数列{b n }满足：对每个n ∈N *，S n ＋b n ，S n ＋1＋b n ，S n ＋2＋b n 成等比数列． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记c n ＝a n 2b n，n ∈N *，证明：c 1＋c 2＋…＋c n <2n ，n ∈N *. 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝4，a 1＋3d ＝3a 1＋3d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2.从而a n ＝2n －2，n ∈N *. 所以S n ＝n 2－n ，n ∈N *.由S n ＋b n ，S n ＋1＋b n ，S n ＋2＋b n 成等比数列，得 (S n ＋1＋b n )2＝(S n ＋b n )(S n ＋2＋b n )． 解得b n ＝1d(S 2n ＋1－S n S n ＋2)．所以b n ＝n 2＋n ，n ∈N *. (2)证明：c n ＝a n2b n ＝ 2n －22n n ＋＝n －1n n ＋，n ∈N *.我们用数学归纳法证明．①当n ＝1时，c 1＝0<2，不等式成立； ②假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即c 1＋c 2＋…＋c k <2k .那么，当n ＝k ＋1时，c 1＋c 2＋…＋c k ＋c k ＋1<2k ＋k k ＋k ＋<2k ＋1k ＋1<2k ＋2k ＋1＋k＝2k ＋2(k ＋1－k )＝2k ＋1， 即当n ＝k ＋1时不等式也成立．根据①和②，不等式c 1＋c 2＋…＋c n <2n 对任意n ∈N *成立．31．(2019·北京高考)已知数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项(i 1<i 2<…<i m )，若a i 1<a i 2<…<a im ，则称新数列a i 1，a i 2，…，a im 为{a n }的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列．(1)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列；(2)已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为a m 0，长度为q 的递增子列的末项的最小值为a n 0.若p <q ，求证：a m 0<a n 0；(3)设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s －1，且长度为s 末项为2s －1的递增子列恰有2s －1个(s ＝1,2，…)，求数列{a n }的通项公式． 解 (1)1,3,5,6.(答案不唯一)(2)证明：设长度为q ，末项为a n 0的一个递增子列为a r 1，a r 2，…，a rq －1，a n 0. 由p <q ，得a rp ≤a rq －1<a n 0.因为{a n }的长度为p 的递增子列末项的最小值为a m 0， 又a r 1，a r 2，…，a rp 是{a n }的长度为p 的递增子列， 所以a m 0≤a rp .所以a m 0<a n 0.(3)由题设知，所有正奇数都是{a n }中的项．先证明：若2m 是{a n }中的项，则2m 必排在2m －1之前(m 为正整数)． 假设2m 排在2m －1之后．设a p 1，a p 2，…，a pm －1，2m －1是数列{a n }的长度为m ，末项为2m －1的递增子列，则a p 1，a p 2，…，a pm －1，2m －1,2m 是数列{a n }的长度为m ＋1，末项为2m 的递增子列．与已知矛盾．再证明：所有正偶数都是{a n }中的项．假设存在正偶数不是{a n }中的项，设不在{a n }中的最小的正偶数为2m .因为2k 排在2k －1之前(k ＝1,2，…，m －1)，所以2k 和2k －1不可能在{a n }的同一个递增子列中．又{a n }中不超过2m ＋1的数为1,2，…，2m －2,2m －1，2m ＋1，所以{a n }的长度为m ＋1且末项为2m ＋1的递增子列个数至多为2×2×2×…×2m －个×1×1＝2m －1<2m.与已知矛盾．最后证明：2m 排在2m －3之后(m ≥2且m 为整数)．假设存在2m (m ≥2)，使得2m 排在2m －3之前，则{a n }的长度为m ＋1且末项为2m ＋1的递增子列的个数小于2m.与已知矛盾．综上，数列{a n }只可能为2,1,4,3，…，2m －3,2m,2m －1，…. 经验证，数列2,1,4,3，…，2m －3,2m,2m －1，…符合条件．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1，n 为奇数，n －1，n 为偶数.32．(2019·江苏高考)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”．(1)已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足：a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，求证：数列{a n }为“M数列”；(2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足：b 1＝1，1S n ＝2b n －2b n ＋1，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数．若存在“M数列”{c n }(n ∈N *)，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有c k ≤b k ≤c k＋1成立，求m 的最大值．解 (1)证明：设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q 4＝a 1q 4，a 1q 2－4a 1q ＋4a 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.因此数列{a n }为“M数列”． (2)①因为1S n ＝2b n －2b n ＋1，所以b n ≠0.由b 1＝1，S 1＝b 1，得11＝21－2b 2，则b 2＝2.由1S n ＝2b n －2b n ＋1，得S n ＝b n b n ＋1b n ＋1－b n.当n ≥2时，由b n ＝S n －S n －1，得b n ＝b n b n ＋1b n ＋1－b n －b n －1b nb n －b n －1，整理得b n ＋1＋b n －1＝2b n .所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列． 因此，数列{b n }的通项公式为b n ＝n (n ∈N *)． ②由①知，b k ＝k ，k ∈N *.因为数列{c n }为“M数列”，设公比为q ，所以c 1＝1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k ＋1，所以q k －1≤k ≤q k ，其中k ＝1,2,3，…，m (m ∈N *)．当k ＝1时，有q ≥1；当k ＝2,3，…，m 时，有ln k k ≤ln q ≤ln kk －1.设f (x )＝ln x x (x >1)，则f ′(x )＝1－ln xx2. 令f ′(x )＝0，得x ＝e.列表如下：因为ln 22＝ln 86<ln 96＝ln 33，所以f (k )max ＝f (3)＝ln 33.取q ＝33，当k ＝1,2,3,4,5时，ln k k≤ln q ，即k ≤q k ，经检验知q k －1≤k 也成立．因此所求m 的最大值不小于5.若m ≥6，分别取k ＝3,6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在．因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5.33．(2019·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1. 证明：(1)1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2；(2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.证明 (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝1a ＋1b ＋1c.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立． 所以1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1， 故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥33a ＋b3b ＋c3c ＋a3＝3(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥3×(2ab )×(2bc )×(2ca )＝24. 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立． 所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.。
2019-2020学年高中数学人教版必修5模块综合检测(二) Word版含解析
模块综合检测（二）(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，a ＝2，b ＝2，A ＝45°，则B 等于( )A ．45°B ．30°C ．60°D ．30°或150°解析：选B 由正弦定理得2sin 45°＝2sin B，解得sin B ＝12.∵a >b ，∴A >B ， ∴B ＝30°.2．若0<x <32，则y ＝x (3－2x )的最大值是( )A.916B.94 C ．2D.98解析：选D ∵0<x <32，∴32－x >0.∴y ＝x (3－2x )＝2·x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32－x 22＝98，当且仅当x ＝32－x ，即x ＝34时取“＝”， ∴函数y ＝x (3－2x )的最大值为98.3．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( ) A ．37 B ．36 C ．20D ．19解析：选A a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37，故选A.4．已知不等式x 2－2x －3<0的整数解构成等差数列{a n }的前三项，则数列{a n }的第4项为( ) A ．3B ．－1C ．2D ．3或－1解析：选D ∵x 2－2x －3<0， ∴－1<x <3.∴a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝3或a 1＝2，a 2＝1，a 3＝0，a 4＝－1. 5．下列命题正确的是( ) A ．若ac >bc ，则a >b B ．若a 2>b 2，则a >b C ．若1a >1b ，则a <bD ．若a <b ，则a <b解析：选D 对于A ，不清楚c 的正负情况，所以不能确定a >b ；对于B ，a 2>b 2⇒|a |>|b |，a ，b 大小不确定；对于C ，不清楚ab 的正负，不能随意将不等式两边同时乘ab 且不等式不变号； 对于D ，由于a ≥0，b ≥0，由平方法可知将a <b 两边平方，得a <b .故选D.6．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－x 2(x <0)，则m ，n 之间的大小关系是( )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．m ≤n解析：选A ∵a >2，x <0，∴m ＝(a －2)＋1a －2＋2≥2错误!＋2＝4，n ＝22－x 2<22＝4， ∴m >n ，故选A.7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，3x ＋y －6≥0，y≤3，则z ＝－2x ＋y 的最小值为( )A ．－7B ．－6C ．－1D ．2解析：选A 可行域如图，平移直线y ＝2x ＋z 过点(5,3)时，z 取得最小值－7，故选A.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x≤0，－x ＋2，x>0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]解析：选A 当x >0时，f (x )≥x 2可化为－x ＋2≥x 2， 解得0<x ≤1；当x ≤0时，f (x )≥x 2可化为x ＋2≥x 2， 解得－1≤x ≤0，故不等式f (x )≥x 2的解集为{x |－1≤x ≤1}， 即x ∈[－1,1]，故选A.9．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦值是方程2x 2＋3x －2＝0的根，则第三边长是( ) A.20 B.21 C.22D.61解析：选B 设长为4,5的两边的夹角为θ， 由2x 2＋3x －2＝0得x ＝12或x ＝－2(舍)，所以cos θ＝12，所以第三边长为 42＋52－2×4×5×12＝21.10．已知不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集为∅，则( ) A ．a <0，Δ>0 B ．a <0，Δ≤0 C ．a >0，Δ≤0D ．a >0，Δ>0解析：选C 由二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象知， 当a >0，Δ≤0时，对任意实数x ，都有y ≥0， 由此知a >0，Δ≤0时，ax 2＋bx ＋c <0的解集为∅.11．已知关于x 的不等式x ＋1x ＋a<2的解集为P .若1∉P ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]∪[1，＋∞)B ．[－1,0]C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D ．(－1,0]解析：选B 1∉P 有两种情形，一种是1＋11＋a ≥2，另一种是x ＝1使分母为0，即1＋a ＝0，解得－1≤a ≤0.12．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列一定成立的是( ) A ．若a 3>0，则a 2 015<0 B ．若a 4>0，则a 2 014<0 C ．若a 3>0，则S 2 015>0 D ．若a 4>0，则S 2 014>0解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ， 对于A ，若a 3>0，则a 1q 2>0， 所以a 1>0，所以a 2 015＝a 1q 2 014>0，所以A 不正确； 对于B ，若a 4>0，则a 1q 3>0， 所以a 1q >0，所以a 2 014＝a 1q 2 013>0， 所以B 不正确；对于C ，若a 3>0，则a 1q 2>0， 所以a 1>0，所以当q ＝1时，S 2 015>0， 当q ≠1时，S 2 015＝错误!，又1－q 与1－q 2 015同号，所以C 正确．故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中的横线上) 13．在△ABC 中，cos A ＝513，sin B ＝35，a ＝20，则b 的值为________．解析：由题意，得sin A ＝1213，所以b ＝asin A ·sin B ＝201213×35＝13.答案：1314．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且S 3＝8，S 6＝7，则a 4＋a 5＋…＋a 9＝________.解析：根据等比数列的性质，知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即8,7－8，S 9－7成等比数列， 所以(－1)2＝8(S 9－7)，解得S 9＝718.所以a 4＋a 5＋…＋a 9＝S 9－S 3＝718－8＝－78.答案：－7815．某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b≥5，a －b≤2，a<7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝________.解析：画出线性目标函数所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，x ＝a ＋b ＝13.答案：1316．如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于________．解析：连接BD .∵BC ＝CD ＝2，∠C ＝120°， ∴∠CBD ＝∠BDC ＝30°.∵∠ABC ＝120°，∠CBD ＝30°， ∴∠ABD ＝90°，∴AB ⊥BD .在△BCD 中，由正弦定理得 BD ＝BCsin 30°·sin 120°＝23.∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12·AB ·BD ＋12BC ·CD ·sin 120°＝12×4×23＋12×2×2×32＝53.答案：53三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数y ＝x ＋2x2＋x ＋1(x >－2)．(1)求1y的取值范围．(2)当x 为何值时，y 取得最大值？解：(1)设x ＋2＝t ，则x ＝t －2，t >0(x >－2)，故1y ＝x2＋x ＋1x ＋2＝错误!＝错误!＝t ＋错误!－3≥2错误!－3， ∴1y的取值范围为[23－3，＋∞)．(2)由题意知y >0，故欲使y 最大，必有1y 最小，此时t ＝3t，t ＝3，x ＝3－2，y ＝23＋33，∴当x ＝3－2时，y 最大，最大值为23＋33.18．(本小题满分12分)已知△ABC 的周长为2＋1，且sin B ＋sin C ＝2sin A .(1)求边BC 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin A ，求角A 的大小．解：(1)由正弦定理，得AC ＋AB ＝2BC .∵AB ＋BC ＋AC ＝2＋1， ∴2BC ＋BC ＝2＋1，BC ＝1.(2)∵S △ABC ＝12AC ·AB ·sin A ＝16sin A ，∴AC ·AB ＝13. 又AC ＋AB ＝2，由余弦定理，得cos A ＝AC2＋AB2－BC22AC·AB＝错误! ＝2－23－123＝12，∴A ＝60°.19．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的所有项均为正数，首项a 1＝1，且a 4,3a 3，a 5成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n ＋1－λa n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n －1(n ∈N *)，求实数λ的值． 解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 由条件可知q 3,3q 2，q 4成等差数列， ∴6q 2＝q 3＋q 4，解得q ＝－3或q ＝2. ∵q >0，∴q ＝2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)记b n ＝a n ＋1－λa n ，则b n ＝2n －λ·2n －1＝(2－λ)2n －1，若λ＝2，则b n ＝0，S n ＝0，不符合条件；若λ≠2，则bn ＋1bn ＝2，数列{b n }为首项为2－λ，公比为2的等比数列，此时S n ＝错误!(1－2n )＝(2－λ)(2n －1)， ∵S n ＝2n －1(n ∈N *)，∴λ＝1.20．(本小题满分12分)航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10 000 m ，速度为180km/h ，飞机在A 处先看到山顶的俯角为15°，经过420s 的水平飞行后到达B 处，又看到山顶的俯角为45°，如图，求山顶的海拔高度．(取2≈1.4，3≈1.7)解：如图，过C 作CD ⊥AB 的延长线于D .∵A ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ACB ＝30°，AB ＝180 000×4203 600＝21 000(m)．∵在△ABC 中，BCsin A ＝ABsin∠ACB ，∴BC ＝21 00012×sin 15°＝10 500(6－2)．∵CD ⊥AD ，∴CD ＝BC sin ∠CBD ＝BC ×sin 45° ＝10 500(6－2)×22＝10 500(3－1)≈10 500(1.7－1)＝7 350(m)．因此，山顶的海拔高度约为10 000－7 350＝2 650(m)．21．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝－log3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1bnbn ＋1的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24， ∴q 2＝19.由条件可知q >0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1， ∴a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n.(2)∵a n ＝13n， ∴b n ＝－log313n＝2n ， 从而1bnbn ＋1＝错误!＝错误!错误!，∴T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＝错误!.22．(本小题满分12分)某商场经过市场调查分析后得知：预计2015年从开始的前n 个月内对某种商品需求的累计数f (n )＝190n (n ＋2)(18－n )，n ＝1,2,3，…，12(单位：万件)．(1)在这一年内，哪几个月需求量将超过1.3万件？(2)若在全年销售中，将该产品都在每月初等量投放市场，为了保证该商品全年不脱销(即供大于求)，每月初至少要投放多少件商品？(精确到件)解：(1)设第n 个月的月需求量为a n ， 则a n ＝错误! 因为f (n )＝190n (n ＋2)(18－n )， 所以a 1＝f (1)＝1730<1.3，当n ≥2时，a n ＝f (n )－f (n －1) ＝190(－3n 2＋35n ＋19)， 令a n >1.3，即－3n 2＋35n ＋19>117， 解得143<n <7，因为n ∈N ，所以n ＝5,6，即这一年的5,6两个月的需求量超过1.3万件．(2)设每月初等量投放商品a 万件，要使商品不脱销，对于第n 个月来说，不仅有本月投放市场的a 万件商品，还有前几个月未销售完的商品．所以，na －f (n )≥0对n ＝1,2，…，12恒成立， 则a ≥错误!＝错误!， 又因为错误!≤错误!错误!2， 所以a ≥109，即每月初至少要投放11 112件商品，才能保证全年不脱销.。
人教版高二数学必修5知识点归纳(最完整版)
必修五数学知识点归纳资料第一章 解三角形1、三角形的性质：①.A+B+C=π,⇒ sin()sin A B C +=，cos()cos A B C +=-222A B C π+=-⇒sin cos 22A B C+= ②.在ABC ∆中, a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ⇔sin A ＞sin B , A ＞B ⇔cosA ＜cosB, a ＞b ⇔ A ＞B③.若ABC ∆为锐角∆，则A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2π;22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b 2、正弦定理与余弦定理： ①.正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C=== (2R 为ABC ∆外接圆的直径) 2sin a R A =、2sin b R B =、2sin c R C = （边化角）sin 2a A R =、 sin 2b B R =、 sin 2c C R= （角化边） 面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆===②.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-、2222cos b a c ac B=+-、2222cos c a b ab C =+-222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222cos 2a b c C ab+-= （角化边）补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． 3、常见的解题方法：（边化角或者角化边） 第二章 数列1、数列的定义及数列的通项公式：①. ()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，⋅⋅⋅时的一列函数值②. n a 的求法： i.归纳法ii. 11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 若00S =，则n a 不分段；若00S ≠，则n a 分段iii. 若1n n a pa q +=+，则可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m +iv. 若()n n S f a =，先求1a ，再构造方程组：11()()n n n n S f a S f a ++=⎧⎨=⎩得到关于1n a +和n a 的递推关系式例如：21n n S a =+先求1a ，再构造方程组：112121n n n n S a S a ++=+⎧⎨=+⎩⇒（下减上）1122n n n a a a ++=- 2.等差数列：① 定义：1n n a a +-=d （常数）,证明数列是等差数列的重要工具。
2019-2020学年高中数学人教B版必修5模块综合测评1 Word版含解析
模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是( )A.1a>1bB.ba>1C．a2<b2 D.ab<a＋b 【解析】利用特值法，令a＝－2，b＝2.则1a<1b，A错；ba<0，B错；a2＝b2，C错．【答案】 D2．一个等差数列的第5项a5＝10，且a1＋a2＋a3＝3，则有( ) 【导学号：33300112】A．a1＝－2，d＝3 B．a1＝2，d＝－3C．a1＝－3，d＝2 D.a1＝3，d＝－2【解析】∵a1＋a2＋a3＝3且2a2＝a1＋a3，∴a2＝1.又∵a5＝a2＋3d＝1＋3d＝10，d＝3.∴a1＝a2－d＝1－3＝－2.【答案】 A3．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c等于( )A．3∶2∶1 B.3∶2∶1C.3∶2∶1D.2∶3∶1【解析】∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，∴A＝90°，B＝60°，C＝30°.∴a∶b∶c＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30°＝1∶32∶12＝2∶3∶1.4．在坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≥x－1，y≤－3|x|＋1所表示的平面区域的面积为( )A.2B.32C.322D.2【解析】 由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B ，C 两点横坐标分别为－1，12.∴S △ABC ＝12×2×错误!＝错误!.【答案】 B 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( )A ．1B ．2 C.32D.3【解析】 根据S ＝12bc sin A ＝32，可得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3，故a ＝3.6．(2016·龙岩高二检测)等差数列的第二，三，六项顺次成等比数列，且该等差数列不是常数数列，则这个等比数列的公比为( )A ．3B ．4C ．5D.6【解析】 设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ， 又∵a 2·a 6＝a 23，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )， ∴d ＝－2a 1，∴q ＝a3a2＝3.【答案】 A7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎥⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D.－3【解析】 x 2＋ax ＋1≥0在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，12上恒成立⇔ax ≥－x 2－1⇔a ≥⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x max ，∵x ＋1x ≥52，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x ≤－52，∴a ≥－52.【答案】 C 8．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D.a 1d <0，dS 4>0【解析】 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 3a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，展开整理，得－3a 1d ＝5d 2，即a 1d ＝－53d 2.∵d ≠0，∴a 1d <0.∵S n ＝na 1＋错误!d ，∴S 4＝4a 1＋6d ，dS 4＝4a 1d ＋6d 2＝－23d 2<0.【答案】 B9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0(n∈N *)，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，设S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 6＝( )A ．189B ．186C ．180D.192【解析】 由a n ＋1＝2a n ，知{a n }为等比数列， ∴a n ＝2n . ∴2b n ＝2n ＋2n ＋1，即b n ＝3·2n －1，∴S 6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189. 【答案】 A10．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc >0，T ＝1a ＋1b ＋1c ，则( )A ．T >0B ．T <0C ．T ＝0D.T ≥0【解析】 法一 取特殊值，a ＝2，b ＝c ＝－1， 则T ＝－32<0，排除A ，C ，D ，可知选B.法二 由a ＋b ＋c ＝0，abc >0，知三数中一正两负， 不妨设a >0，b <0，c <0，则T ＝1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝错误!＝错误!.∵ab <0，－c 2<0，abc >0，故T <0，应选B. 【答案】 B 11．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A．23B．2 C.2 D.1【解析】由正弦定理得：asin A＝bsin B，∵B＝2A，a＝1，b＝3，∴1sin A＝32sin Acos A.∵A为三角形的内角，∴sin A≠0.∴cos A＝3 2.又0＜A＜π，∴A＝π6，∴B＝2A＝π3.∴C＝π－A－B＝π2，∴△ABC为直角三角形．由勾股定理得c＝错误!＝2.【答案】 B12．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A．13项B．12项C．11项 D.10项【解析】设该数列的前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1q n－3，a1q n－2，a1q n－1.所以前三项之积a31q3＝2，后三项之积a31q3n－6＝4，两式相乘，得a61q3(n－1)＝8，即a21q n－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1q n－1＝64，所以a n1·q错误!＝64，即(a错误!q n－1)n＝642，即2n＝642，所以n＝12.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．在△ABC中，BC＝2，B＝π3，当△ABC的面积等于32时，sin C＝________.【解析】 由三角形的面积公式，得S ＝12AB ·BC sin π3＝32，易求得AB ＝1，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos π3，得AC ＝3，再由三角形的面积公式，得S ＝12AC ·BC sin C＝32，即可得出sin C ＝12.【答案】1214．(2015·湖北高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤4，x －y≤2，3x －y≥0，则3x ＋y 的最大值是________．【解析】 画出可行域，如图阴影部分所示，设z ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋z ，平移直线y ＝－3x 知当直线y ＝－3x ＋z 过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2，可得A (3,1)．故z max ＝3×3＋1＝10.【答案】 1015．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k 元(叫做税率k %)，则每年的产销量将减少10k 万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k 的取值范围为________．【解析】 设产销量为每年x 万瓶，则销售收入每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·k %万元，其中x＝100－10k.由题意，得70(100－10k)k%≥112，整理得k2－10k＋16≤0，解得2≤k≤8.【答案】[2,8]16．观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…照此规律，第n个等式可为12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝________.【解析】分n为奇数、偶数两种情况．第n个等式为12－22＋32－…＋(－1)n－1n2.当n为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2]＝－(3＋7＋11＋15＋…＋2n－1)＝－错误!＝－错误!.当n为奇数时，第n个等式为(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－2)2－(n－1)2]＋n2＝－错误!＋n2＝错误!.综上，第n个等式为12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝(－1)n＋1错误!.【答案】(－1)n＋1错误!三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若m＝(a2＋c2－b2，－3a)，n＝(tan B，c)，且m ⊥n，求∠B的值．【解】由m⊥n得(a2＋c2－b2)·tan B－3a·c＝0，即(a2＋c2－b2)tan B＝3ac，得a2＋c2－b2＝3ac tan B，所以cos B＝a2＋c2－b22ac＝32tan B，即tan B cos B ＝32，即sin B ＝32，所以∠B ＝π3或∠B ＝2π3.18．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S 9＝－36，S 13＝－104，在等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7, 求b 6.【解】 ∵S 9＝－36＝9a 5，∴a 5＝－4， ∵S 13＝－104＝13a 7，∴a 7＝－8. ∴b 26＝b 5·b 7＝a 5 ·a 7＝32. ∴b 6＝±42.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ). 【导学号：33300113】 【解】 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0.(1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1；(2)当a >0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a 或x ≤－1；(3)当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.①当2a >－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a；②当2a＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； ③当2a <－1，即－2<a <0时，原不等式等价于2a ≤x ≤－1.综上所述：当a <－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1，2a ；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2<a <0时，原不等式的解集为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a ，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]； 当a >0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫2a ，＋∞.20．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos A 的值．【解】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4.∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142＝154.∴sin A ＝asin C c ＝1542＝158.∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角，∴cos A ＝1－sin2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1582＝78. 21．(本小题满分12分)(2016·宝鸡模拟)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)．(1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． 又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15，∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)，∴an ＋1＋2anan ＋2an －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ， 则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )． 又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n ＝2×(－2)n －1， 即a n ＝2×(－2)n －1＋3n (n ∈N *)．22．(本小题满分12分)某厂用甲、乙两种原料生产A ，B 两种产品，制造1 tA,1tB 产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：(1)(2)每吨B 产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？【解】 (1)生产A ，B 两种产品分别为x t ，y t ，则利润z ＝5x ＋3y ，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y≤14，x ＋3y≤18，x≥0，y≥0，作出可行域如图：当直线5x ＋3y ＝z 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫245，225时，z 取最大值3715，即生产A 产品245 t ，B 产品225 t 时，可得最大利润．(2)设每吨B 产品利润为m 万元，则目标函数是z ＝5x ＋my ，直线斜率k ＝－5m， 又k AB ＝－2，k CB ＝－13，要使最优解仍为B 点， 则－2≤－5m ≤－13，解得52≤m ≤15， 则B 产品的利润在52万元/t 与15万元/t 之间时，原最优解仍为生产A 产品245 t ，B 产品225t ，若B 产品的利润超过15万元/t ，则最优解为C (0,6)，即只生产B 产品6 t ，若B 产品利润低于52万元/t ，则最优解为A (7,0)，即只生产A 产品7 t.。
2020版高中数学高二必修5教案及练习归纳整理03知识讲解余弦定理基础
余弦定理 编稿:张希勇【学习目标】1.掌握余弦定理的内容及证明余弦定理的向量方法;2.熟记余弦定理及其变形形式,会用余弦定理解决两类基本解三角形问题;3.通过三角函数,余弦定理,向量的数量积等知识间的联系,理解事件之间的联系与辨证统一的关系. 【要点梳理】要点一、学过的三角形知识 1.ABC ∆中(1)一般约定:ABC ∆中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ; (2)0180A B C ++=;(3)大边对大角,大角对大边,即B C b c >⇔>; 等边对等角,等角对等边,即B C b c =⇔=;(4)两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,即a c b +>,a c b -<. 2.Rt ABC ∆中,090C ∠=, (1)090B A +=, (2)222a b c += (3)sin a A c =,sin bB c =,sin 1C =; cos b A c =,cos aB c=,cos 0C =要点诠释:初中讨论的三角形的边角关系是解三角形的基本依据 要点二、余弦定理及其证明三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
即:余弦定理的推导已知:ABC ∆中,BC a =,AC b =及角C ,求角C 的对应边c . 证明: 方法一:向量法 (1)锐角ABC ∆中(如图),∵AC CB AB +=,∴()()AB AB AC CB AC CB ⋅=++222AC CB AC CB =+⋅+22||2||||cos()||AC CB AC C CB π=+⋅-+222cos b ba C a =-+即:2222cos c a b ab C =+- (*)同理可得:2222cos b a c ac B =+-,2222cos a b c bc A =+- 要点诠释:(1)推导(*)中,AC 与CB 的夹角应通过平移后得到,即向量的起点应重合,因此AC 与CB 的夹角应为C π-,而不是C .(2)钝角三角形情况与锐角三角形相同。
2019-2020学年高二数学人教必修5(第01章 解三角形)-(考试版)
高二数学试题 第1页（共6页） 高二数学试题 第2页（共6页）绝密★启用前|2019-2020学年高二数学人教必修5（第01章）章末检测（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在△ABC 中，若222sin sin 1sin CB A+=，则A等于 A ．150︒B ．120︒C ．90︒D ．60︒2．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,ab c .若π3A =，a =2b =，则边c 的大小为 A ．3 B ．2C D3．已知,,a b c 分别是△ABC 的三个内角,,A B C 所对的边，若2sin sin cos a A B b A +=，则b a= A BC ．1D ．24．在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若30,C a=︒=，则B 等于A ．45︒B ．105︒C ．15︒或105︒D ．45︒或135︒5．某船在小岛A的南偏东75︒，相距20千米的B 处，该船沿东北方向行驶20千米到达C 处，则此时该船与小岛A 之间的距离为A ．千米B ．千米C ．20千米D ．6．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若22cos sin sin cos a A B b A B =，则△ABC 是 A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足sin 2C =2tan (2sin cos 2)A C C +-，则下列等式成立的是A ．2b a =B ．2a b =C ．2A B =D ．2B A =8．如图，为测一树的高度，在地面上选取,A B 两点，从,A B 两点分别测得树尖P 的仰角为30,45︒︒，且,A B 两点之间的距离为60m ，则树的高度为A ．30)mB ．C ．D ．9．设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos 4sin a C c A =，已知ABC △的面积1sin 102S bc A ==，4b =，则a 的值为A ．233B ．253 C ．263D ．28310．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是A ．10b =，45A =︒，70C =︒B ．60a =，48c =，60B =︒C ．7a =，5b =，80A =︒D ．14a =，16b =，45A =︒11．在△ABC 中，若4,5,AB AC ==△BCD 为等边三角形（,A D 两点在BC 两侧），则当四边形ABDC的面积最大时，BAC ∠= A ．π2B ．π3C ．2π3D ．5π6高二数学试题 第3页（共6页） 高二数学试题 第4页（共6页）12．已知锐角ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2()a b c a =+，则2cos cos()AC A -的取值范围是 A ． B ．1(,2 C ． D ．1(,1)2第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABD 中，60A =︒，3AB =，2AD =，则sin B =_____________. 14．在△ABC 中，若cos (3)cos b C a c B =-，则cos B=_____________.15．某炮兵阵地位于A 点，两个观察所分别位于C ，D 两点，已知△ACD 为等边三角形，且DC =，当目标出现在B 点（A ，B 两点位于CD 两侧）时，测得45CDB ∠=︒，75BCD ∠=︒，则炮兵阵地与目标的距离为_____________km .16．在ABC △中，60,4sin 5sin ,A B C =︒=且ABC △的面积S =，则ABC △的周长为_______. 三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知60A =︒，23a b =． （1）求sin B 的值；（2）若2b =，求边c 的值． 18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ()2,os b c C =-m ，,c (os )a A =n ，∥m n . （1）求角A 的大小；（2）若a=4，△ABC S =△ABC 的形状. 19．（本小题满分12分）如图，A B C D ，，，都在同一个与水平面垂直的平面内，B D ，为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75︒，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60︒，01km．AC =，试探究图中B D ，间的距离与另外哪两点间的距离相等，然后求B D ，间的距离（计算结果用根号表示）.20．（本小题满分12分）在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，sin 2sin C B =. （1）求BDCD； （2）若1AD AC ==，求BC 的长． 21．（本小题满分12分）在△ABC 中，内角,,A BC 的对边分别为,,a b c ，且sin (cos 3cos )cos (3sin sin )A B C AC B -=-.（1）求sin sin CB的值；（2）若1cos 3A=，4a =，求△ABC 的面积.22．（本小题满分12分）如图，有一位于A 处的雷达观察站发现其北偏东45︒，与A 相距B 处有一货船正匀速直线行驶，20分钟后又测得该船位于A 点北偏东45θ︒+（其中cos 26θ=，且与A 相距里的C 处．（1）求该船的行驶速度；（2）在A 处的正南方向20海里E 处有一暗礁（不考虑暗礁的面积）．如果货船继续行驶，它是否有触礁的危险？说明理由．高二数学试题第5页（共6页）高二数学试题第6页（共6页）。
2020学年高中数学模块综合检测新人教A版必修5(最新整理)
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模块综合检测（时间120分钟满分150分）一、选择题（本大题共10小题,每小题4分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若f(x)＝3x2－x＋1，g（x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g（x）的大小关系为（）A．f(x)〉g(x) B．f(x)＝g(x）C．f(x）<g（x) D．随x值变化而变化解析：选A 因为f(x）－g(x)＝(3x2－x＋1)－（2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，所以f(x)〉g(x)．2．在△ABC中,角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝错误!，b＝错误!，B＝60°，那么角A等于( )A．135° B．90°C．45° D．30°解析：选C 由正弦定理知asin A＝错误!，∴sin A＝错误!＝错误!＝错误!.又a〈b，B＝60°，∴A<60°，∴A＝45°.3．若关于x的不等式x2－3ax＋2〉0的解集为（－∞,1)∪(m，＋∞)，则a＋m＝（）A．－1 B．1C．2 D．3解析：选D 由题意，知1，m是方程x2－3ax＋2＝0的两个根，则由根与系数的关系，得错误!解得错误!所以a＋m＝3,故选D。
2019_2020学年高中数学阶段质量检测(二)数列(含解析)新人教A版必修5.pdf
阶段质量检测(二) 数 列(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求)1．等差数列－，0，，…的第15项为( )22A ．11 B ．12 C ．13 D ．142222解析：选C ∵a 1＝－，d ＝，22∴a n ＝－＋(n －1)×＝n －2.2222∴a 15＝15－2＝13.2222．等差数列中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列的公差为( ){a n }{a n }A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B ∵a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5，∴d ＝a 4－a 3＝7－5＝2.3．已知在递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6＝( )A ．93B ．189 C.D ．37818916解析：选B 设数列的公比为q ，由题意可知q >1，且2(a 2＋2)＝a 1＋1＋a 3，即2×(6＋2)＝＋1＋6q ，6q整理可得2q 2－5q ＋2＝0，则q ＝2或q ＝(舍去)．12∴a 1＝＝3，该数列的前6项和S 6＝＝189.故选B.623× 1－26 1－24．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d ＝( ){a n }A ．2 B ．3 C ．6 D ．7解析：选B S 4－S 2＝a 3＋a 4＝20－4＝16，∴a 3＋a 4－S 2＝(a 3－a 1)＋(a 4－a 2)＝4d ＝16－4＝12，∴d ＝3.5．已知数列的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2，则数列的通项公式为( ){a n }{a n }A ．a n ＝2n －3 B ．a n ＝2n ＋3C ．a n ＝D ．a n ＝{1，n ＝1，2n －3，n ≥2){1，n ＝1，2n ＋3，n ≥2)解析：选C 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3.又当n ＝1时，a 1的值不适合n ≥2时的通项公式，故选C.6．已知等比数列的各项都为正数，且当n ≥3时，a 4a 2n －4＝102n ，则数列lga 1,2lga 2,22lg a 3,23lg a 4，…，2n －1lg a n ，…的前n 项和S n 等于( )A ．n ·2nB ．(n －1)·2n －1－1C ．(n －1)·2n ＋1D ．2n ＋1解析：选C ∵等比数列{a n }的各项都为正数，且当n ≥3时，a 4a 2n －4＝102n ，∴a ＝102n ，2n 即a n ＝10n ，∴2n －1lg a n ＝2n －1lg 10n ＝n ·2n －1，∴S n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ·2n －1，①2S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ，②∴①－②得－S n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )·2n －1，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.7．数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a 1＋a n ＋n (n ∈N *)，则＋＋…＋＝( )1a 11a 21a2 019A.B. C. D.4 0382 020 4 0362 019 4 0322 017 4 0342 018解析：选A ∵a n ＋1－a n ＝n ＋1，a n －a n －1＝n －1＋1，…，a 2－a 1＝1＋1，∴a n ＋1－a 1＝＋n ，即a n ＋1＝＋n ＋1， 1＋n n 2n n ＋12∴a n ＝＋n ＝，＝2，＋＋…＋＝2＋n n －12n n ＋121a n (1n －1n ＋1)1a 11a 21a 2 019(1－12)＋…＋＝2×＝.故选A.(12－13)(12 019－12 020)(1－12 020)4 0382 0208．设是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误的是( ){a n }A ．d ＜0B ．a 7＝0C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值解析：选C 由S 5＜S 6，得a 6＝S 6－S 5＞0.又S 6＝S 7⇒a 7＝0，所以d ＜0.由S 7＞S 8⇒a 8＜0，因此，S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)＜0，即S 9＜S 5.9．已知数列中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且点P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0{a n }上，则＋＋＋…＋等于( )1S 11S 21S 31Sn A.B.n （n ＋1）22n （n ＋1）C.D.n2（n ＋1）2n n ＋1解析：选D 由已知得a n －a n ＋1＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝1.∴数列是首项为1，公差为1的等差数列．{a n }∴S n ＝n ＋×1＝n 2＋n ，n （n －1）21212∴＝＝21S n 2n （n ＋1）(1n －1n ＋1)∴＋＋＋…＋1S 11S 21S 31Sn＝2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝2＝.(1－1n ＋1)2nn ＋110．等比数列的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个{a n }新的数列，那么162是新数列的( ){b n }{b n }A ．第5项 B ．第12项C ．第13项 D ．第6项解析：选C 162是数列的第5项，则它是新数列的第5＋(5－1)×2＝13项．{a n }{b n }11．设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等{a n }{b n }比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10等于( )A ．1 033B ．1 034C ．2 057D ．2 058解析：选A 由已知可得a n ＝n ＋1，b n ＝2n －1，于是ab n ＝b n ＋1，因此ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝(b 1＋1)＋(b 2＋1)＋…＋(b 10＋1)＝b 1＋b 2＋…＋b 10＋10＝20＋21＋…＋29＋10＝＋10＝1 033.1－2101－212．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，1n ＋1 n ＋n n ＋1则在数列S 1，S 2，…，S 2 018中，有理数项的项数为( )A ．42B ．43C ．44D ．45解析：选B ＝(n ＋1)＋n ＝·(＋)＝1an n n ＋1 n ＋1 n n ＋1n n ＋1 n，(1n＋1－n )a n ＝＝－，n ＋1－nn ＋1 n1n1n ＋1S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1－＋－＋…＋－＝1－，1212131n 1n ＋11n ＋1问题等价于在2,3,4，…，2 019中有多少个数可以开方，设2≤x 2≤2 019且x ∈N ，因为442＝1 936,452＝2 025，所以2≤x ≤44且x ∈N ，共有43个．故选B.二、填空题13．数列满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，则a 5＝________．{a n }解析：由a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，得a n －a n －1＝n .则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，把各式相加，得a 5－a 1＝2＋3＋4＋5＝14.∴a 5＝14＋a 1＝14＋1＝15.答案：1514．一件家用电器，现价2 000元，实行分期付款，一年后还清，购买后一个月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款数相同，共付12次，月利率为0.8%，并按复利计息，那么每期应付款________________元(参考数据：1.00811≈1.092,1.00812≈1.100,1.0811≈2.332,1.0812≈2.518)．解析：设每期应付款x 元，第n 期付款后欠款A n 元，则A 1＝2 000(1＋0.008)－x ＝2 000×1.008－x ，A 2＝(2 000×1.008－x )×1.008－x ＝2 000×1.0082－1.008x －x ，…，A 12＝2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x ，因为A 12＝0，所以2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x ＝0，解得x ＝＝≈176，2 000× 1.008121＋1.008＋…＋1.00811 2 000× 1.008121.00812－11.008－1即每期应付款176元．答案：17615．数列满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n －1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得为等差{a n }{a n ＋λ3n}数列的实数λ＝______．解析：a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝，a n ＋λ3n则b 1＝，b 2＝，b 3＝，5＋λ323＋λ995＋λ27∵b 1＋b 3＝2b 2，∴λ＝－.12答案：－1216．设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y ∈R，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围为________．12解析：依题意得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即a n ＋1＝a n ·a 1＝a n ，所以数列{a n }是以为1212首项，为公比的等比数列，所以S n ＝＝1－，所以S n∈.1212(1－12n )1－1212n[12，1)答案：[12，1)三、解答题17．(本小题10分)等比数列中，已知a 1＝2，a 4＝16，{a n }(1)求数列的通项公式；{a n }(2)若a 3，a 5分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前n 项{b n }{b n }和S n .解：(1)设的公比为q ，由已知得16＝2q 3，{a n }解得q ＝2，∴a n ＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设的公差为d ，{b n }则有{b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，)解得{b 1＝－16，d ＝12.)从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28，所以数列的前n 项和{b n }S n ＝＝6n 2－22n .n （－16＋12n －28）218．(本小题12分)数列的前n 项和为S n ，数列中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，{a n }{b n }若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1.(1)求证：数列是等比数列；{c n }(2)求数列的通项公式．{b n }解：(1)证明：∵a 1＝S 1，a n ＋S n ＝n ， ①∴a 1＋S 1＝1，得a 1＝.12又a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1, ②①②两式相减得2(a n ＋1－1)＝a n －1，即＝，也即＝，a n ＋1－1a n －112c n ＋1c n 12故数列是等比数列．{c n }(2)∵c 1＝a 1－1＝－，12∴c n ＝－，a n ＝c n ＋1＝1－，a n －1＝1－.12n 12n 12n －1故当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝－＝.12n －112n 12n 又b 1＝a 1＝，符合上式，∴b n ＝.1212n 19．(本小题12分)张先生2018年年底购买了一辆1.6 L 排量的小轿车，为积极响应政府发展森林碳汇(指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中)的号召，买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金会购买了2亩荒山用于植树造林．科学研究表明：轿车每行驶3 000公里就要排放1吨二氧化碳，林木每生长1立方米，平均可吸收1.8吨二氧化碳．(1)张先生估计第一年(即2019年)会用车1.2万公里，以后逐年会增加1 000公里，则该轿车使用10年共要排放二氧化碳多少吨？(2)若种植的林木第一年(即2019年)生长了1立方米，以后每年以10%的生长速度递增，问林木至少生长多少年，吸收的二氧化碳的量超过轿车10年排出的二氧化碳的量(参考数据：1.114≈3.797 5,1.115≈4.177 2，1.116≈4.595 0)?解：(1)设第n 年小轿车排出的二氧化碳的吨数为a n (n ∈N *)，则a 1＝＝4，a 2＝＝，a 3＝＝，…，12 0003 00013 0003 00013314 0003 000143显然其构成首项为a 1＝4，公差为d ＝a 2－a 1＝的等差数列，13所以S 10＝10×4＋×＝55，10×9213即该轿车使用10年共排放二氧化碳55吨．(2)记第n 年林木吸收二氧化碳的吨数为b n (n ∈N *)，则b 1＝1×1.8，b 2＝1×(1＋10%)×1.8，b 3＝1×(1＋10%)2×1.8，…，其构成首项为b 1＝1.8，公比为q ＝1.1的等比数列，记其前n 项和为T n ，由题意，有T n ＝＝18×(1.1n －1)≥55，1.8× 1－1.1n1－1.1解得n ≥15.所以林木至少生长15年，其吸收的二氧化碳的量超过轿车10年排出的二氧化碳的量．20．(本小题12分)在数列中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .{a n }(1)设b n ＝.证明：数列是等差数列；a n2n －1{b n }(2)求数列的前n 项和S n .{a n }解：(1)证明：由已知a n ＋1＝2a n ＋2n ，得b n ＋1＝＝＝＋1＝b n ＋1，a n ＋12n2a n ＋2n2na n2n －1∴b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 1＝1.∴是首项为1，公差为1的等差数列．{b n }(2)由(1)知，b n ＝n ，＝b n ＝n .a n2n －1∴a n ＝n ·2n －1.∴S n ＝1＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1，两边乘以2得：2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，两式相减得：－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n －1，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.21．(本小题12分)已知等差数列的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5＝70，且a 2，a 7，{a n }a 22成等比数列．(1)求数列的通项公式；{a n }(2)设数列的前n 项和为T n ，求证：≤T n ＜.{1S n }1638解：(1)因为数列是等差数列，{a n }所以a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋d .n （n －1）2依题意，有{S 5＝70，a ＝a 2a 22.)即{5a 1＋10d ＝70，（a 1＋6d ）2＝（a 1＋d ）（a 1＋21d ）.)解得a 1＝6，d ＝4.所以数列的通项公式为a n ＝4n ＋2(n ∈N *)．{a n }(2)证明：由(1)可得S n ＝2n 2＋4n .所以＝＝＝.1Sn 12n 2＋4n 12n （n ＋2）14(1n －1n ＋2)所以T n ＝＋＋＋…＋＋1S 11S 21S 31S n －11Sn＝＋＋＋…＋×＋14(1－13)14(12－14)14(13－15)14(1n －1－1n ＋1)14(1n －1n ＋2)＝＝－.14(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)3814(1n ＋1＋1n ＋2)因为T n －＝－＜03814(1n ＋1＋1n ＋2)所以T n ＜.38因为T n ＋1－T n ＝＞0，14(1n ＋1－1n ＋3)所以数列是递增数列，{T n }所以T n ≥T 1＝.所以≤T n ＜.16163822．(本小题12分)(2018·浙江高考)已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3＋a 4＋a 5＝28，a 4＋2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1＝1，数列{(b n ＋1－b n )a n }的前n 项和为2n 2＋n .(1)求q 的值；(2)求数列{b n }的通项公式．解：(1)由a 4＋2是a 3，a 5的等差中项，得a 3＋a 5＝2a 4＋4，所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＋4＝28，解得a 4＝8.由a 3＋a 5＝20，得8＝20，(q ＋1q )解得q ＝2或q ＝.12因为q >1，所以q ＝2.(2)设c n ＝(b n ＋1－b n )a n ，数列{c n }的前n 项和为S n .由c n ＝Error!解得c n ＝4n －1.由(1)可得a n ＝2n －1，所以b n ＋1－b n ＝(4n －1)×n －1，(12)故b n －b n －1＝(4n －5)×n －2，n ≥2，(12)b n －b 1＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 3－b 2)＋(b 2－b 1)＝(4n －5)×n －2＋(4n(12)－9)×n －3＋…＋7×＋3.(12)12设T n ＝3＋7×＋11×2＋…＋(4n －5)×n －2，n ≥2.12(12)(12)则T n ＝3×＋7×2＋…＋(4n －9)×n －2＋(4n －5)×n －1，1212(12)(12)(12)所以T n＝3＋4×＋4×2＋ (4)n －2－(4n －5)×n －1，1212(12)(12)(12)所以T n＝14－(4n ＋3)×n －2，n ≥2.(12)又b 1＝1，所以b n＝15－(4n ＋3)×n －2.(12)。
2019-2020学年人教B版数学必修5 全册综合测评章末综合测评2 数 列
章末综合测评(二) 数 列(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．{a n }是首项为3，公差为4的等差数列，如果a n ＝2 019，则序号n 等于( ) A ．504 B ．505 C ．506D ．507B [{a n }的通项公式a n ＝4n －1，令4n －1＝2 019，得n ＝505.]2．在等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝18，则公比q 的值为( ) A ．1 B ．－12 C ．1或－12D ．－1或－12C [由题知a 3q 2＋a 3q ＋a 3＝18，即6q 2＋6q ＋6＝18，化简得，q ＝1或－12.] 3．一个首项为23，公差为整数的等差数列，第7项开始为负数，则它的公差是( )A ．－2B ．－3C ．－4D ．－6C [由题意，知a 6≥0，a 7<0. ∴⎩⎨⎧a 1＋5d ＝23＋5d ≥0，a 1＋6d ＝23＋6d <0， ∴－235≤d <－236. ∵d ∈Z ，∴d ＝－4.]4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a ≠0)，则{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列 C [∵S n ＝a n －1(a ≠0)，∴a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，即a n ＝⎩⎨⎧a －1，n ＝1，(a －1)a n －1，n ≥2， 当a ＝1时，a n ＝0，数列{a n }是一个常数列，也是等差数列；当a ≠1时，数列{a n }是一个等比数列．]5．在等差数列{a n }中，若a 4＝－4，a 9＝4，S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 5＜S 6B ．S 5＝S 6C ．S 7＝S 5D ．S 7＝S 6C [因为a 4＋a 9＝a 6＋a 7＝0， 所以S 7－S 5＝a 6＋a 7＝0，所以S 7＝S 5.]6．计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机价格降低13，现在的价格是8 100元的计算机，则15年后价格降为( )A ．2 200元B ．900元C ．2 400元D ．3 600元 C [由题意，可得第一个五年的价格变为8 100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13，所以可知每5年的价格变动符合8 100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ，其中n 为5年的个数，由题知155＝3，所以15年后的价格为8 100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝2 400元．]7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －3B ．a n ＝2n ＋3C ．a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝12n －3，n ≥2D ．a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝12n ＋3，n ≥2C [当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3，又当n ＝1时，a 1的值不适合n ≥2时的通项公式，故选C ．]8．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于()A ．0B ．12C ．23D ．－1B [设数列{b n }的通项公式b n ＝11＋a n ，因为{b n }是等差数列，b 3＝11＋a 3＝13，b 7＝11＋a 7＝12.公差d ＝b 7－b 34＝124.∴b 11＝b 3＋(11－3)×d ＝13＋8×124＝23， 即11＋a 11＝23，故a 11＝12.] 9．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3＝( ) A ．2 B ．4 C ．5D ．52B [依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n ＝2，数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个以5为首项，2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4.]10．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项B ．第12项C ．第13项D ．第6项 C [162是这个数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项．]11．我们把3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如图所示：则第六个三角形数是()A．27 B．28C．29 D．30B[∵a1＝3，a2＝6，a3＝10，a4＝15，a2－a1＝3，a3－a2＝4，a4－a3＝5，a5－a4＝6，a6－a5＝7，∴a6＝28.]12．已知数列{a n}的各项均为正数，且a1＝1，对于任意的n∈N*，均有a n＋1＝2a n＋1，b n＝2log2(1＋a n)－1.若在数列{b n}中去掉{a n}的项，余下的项组成数列{c n}，则c1＋c2＋…＋c100＝()A．12 010 B．12 100C．11 200 D．11 202D a n＋1＝2a n＋1，即a n＋1＋1＝2(a n＋1)，所以a n＋1＋1a n＋1＝2，故数列{a n＋1}为等比数列，又a1＋1＝2，所以a n＝2n－1，b n＝2 log2(1＋2n－1)－1＝2n－1，b1＝1，b n＋1－b n＝2，所以数列{b n}是以1为首项、2为公差的等差数列，b1＝a1＝1，b64＝127，b106＝211，b107＝213，可得a7＝127，a8＝255.因为b64＝a7＝127，a7<b107<a8，所以c1＋c2＋…＋c100＝(b1＋b2＋…＋b107)－(a1＋a2＋…＋a7)＝107×(1＋213)2－[(21＋22＋…＋27)－7]＝107×2142－2(1－27)1－2＋7＝1072－28＋9＝11 202，选D.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2∶a4＝7∶6，则S7∶S3等于________．2∶1[由性质得S7＝7a4，S3＝3a2，所以S7∶S3＝7a4∶3a2＝2∶1.]14．数列{a n}满足a1＝2，a n＝a n－1＋2n(n≥2)，则a n＝________.n(n＋1)[由a n＝a n－1＋2n(n≥2)，得a n－a n－1＝2n，则a2－a1＝4，a3－a2＝6，a4－a3＝8，…，a n－a n－1＝2n把各式相加，得a n－a1＝4＋6＋8＋…＋2n，∴a n＝2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)．]15．若数列{a n }满足a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n ＝k (k 为常数)，则称{a n }为等比差数列，k 叫做公比差，已知{a n }是以2为公比差的等比差数列，其中a 1＝1，a 2＝2，则a 5＝________.384 [由a 3a 2－a 2a 1＝2得a 3＝8，由a 4a 3－a 3a 2＝2得a 4＝48，由a 5a 4－a 4a 3＝2得a 5＝384.]16．已知公差不为零的正项等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，若a 5＝10，则S 5＝________.30 [设{a n }的公差为d ，则d ≠0. 由lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，得2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4，∴a 22＝a 1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，d 2＝a 1D ．又d ≠0，故d ＝a 1，a 5＝5a 1＝10，d ＝a 1＝2， S 5＝5a 1＋5×42×d ＝30.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求T n .[解] (1)由已知S n ＝2a n －a 1，得a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)． 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)， 所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 故a n ＝2n . (2)由(1)得1a n＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n . 18．(本小题满分12分)数列{a n }对任意n ∈N ＋，满足a n ＋1＝a n ＋1，a 3＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a n ＋n ，求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .[解] (1)由已知得a n ＋1－a n ＝1，数列{a n }是等差数列，且公差d ＝1又a 3＝2，所以a 1＝0，所以a n ＝n －1.(2)由(1)得，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＋n ，所以S n ＝(1＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＋n ＝1＋13＋132＋…＋13n －1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＋n (n ＋1)2＝3－31－n 2＋n (n ＋1)2. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3xx ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2且x ∈N ＋)确定．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 2 019.[解] (1)证明：∵x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2且n ∈N ＋)，∴1x n＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1，∴1x n－1x n －1＝13(n ≥2且n ∈N ＋)，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列． (2)由(1)知1x n＝1x 1＋(n －1)×13＝2＋n －13＝n ＋53.∴1x2 019＝2 019＋53＝2 0243. ∴x 2 019＝32 024.20．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和(n ∈N ＋)，且a 2＝3，S 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)设等差数列{a n }的公差是d ， 由已知条件得⎩⎨⎧a 1＋d ＝3，4a 1＋6d ＝16，解得a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1. (2)由(1)知，a n ＝2n －1， ∴b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 21．(本小题满分12分)在1和100之间插入n 个实数，使得这(n ＋2)个数构成递增的等比数列，将这(n ＋2)个数的积记作T n ，n ∈N ＋.(1)求数列{T n }的通项公式；(2)设b n ＝2lg T n －3，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n 2n 的前n 项和S n .[解] (1)设a 1＝1，a n ＋2＝100，公比为q ，则q n ＋1＝100. 又T n ＝a 1·a 2·a 3·…·a n ＋2＝1×q ×q 2×…×q n ＋1＝q1＋2＋3＋…＋(n ＋1)＝q(n ＋1)(n ＋2)2＝100n ＋22＝10n ＋2.∴数列{T n }的通项公式为T n ＝10n ＋2.(2)b n ＝2lg T n －3＝2(n ＋2)－3＝2n ＋1，∴b n 2n ＝2n ＋12n ， ∴S n ＝32＋522＋723＋…＋2n ＋12n ，则12S n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减，得12S n ＝32＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋124＋…＋12n －2n ＋12n ＋1 ＝32＋2×14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－2n ＋12n ＋1 ＝52－12n －1－2n ＋12n ＋1，∴S n ＝5－2n ＋52n .22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x ＋33x ，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ，n ∈N ＋. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝1a n －1a n(n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －2 0102对一切n ∈N ＋都成立，求最小的正整数m 的值．[解] (1)∵a n ＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＝2＋3a n3＝a n ＋23，∴{a n }是以a 1＝1为首项，23为公差的等差数列， ∴a n ＝23n ＋13. (2)当n ≥2时，b n ＝1a n －1a n ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋13＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，当n ＝1时，上式同样成立， ∴b n ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1， ∵S n <m －2 0102对一切n ∈N ＋都成立，即92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<m －2 0102对一切n ∈N ＋都成立．又92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1随着n 的增大而增大，且92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<92，∴92≤m －2 0102，∴m ≥2 019.∴最小的正整数m 的值为2 019.。
2020新人教A版高中数学必修5同步课件：第二章 习题课(一) 求数列的通项公式
∴an=
2.
2������ -1
(2)∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1).
又a1+1=2≠0,
∴数列{an+1}是首项为2,公比为3的等比数列.
∴an+1=2·3n-1.
∴an=2·3n-1-1.
=
������ (������ -1)
22 .
反思已知数列的递推公式求通项,通常有以下几种情
形:(1)an+1-an=f(n),常用累加法求通项;(2)
������������ +1 ������������
=
������(n),常用累乘法求
通项;(3)an+1=pan+q,通常构造等比数列求通项.
习题课(一) 求数列的通项公式
1.巩固等差数列与等比数列的通项公式. 2.掌握求数列通项公式的常见方法,并能用这些方法解决一些简 单的求数列通项公式的问题.
1.等差数列的通项公式
若数列{an}为等差数列,其首项为a1,公差为d,则an=a1+(n1)d=am+(n-m)d (n,m∈N*).
【做一做1】 已知数列{an}是等差数列,且a2=6,a11=24,则
给项是分数,那么先把它们统一为相同的形式,再分子、分母分别
寻找规律.
题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 根据下面数列的前几项,写出数列的一个通项公
式.
பைடு நூலகம்
(1)1,1,
5 7
,
7 15
,
9 31
,
…
;
(2)2,22,222,2 222,…;
(3)3,0,-3,0,3,….
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2019-2020学年高二数学人教版必修5（第02章）
章末检测
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的） 1．数列
16，13，12，2
3，……的一个通项公式为 A ．1n
B ．
6n C ．3
n
D ．4
n
2．在等差数列{}n a 中，已知12a =，3510a a +=，则7a = A ．5 B ．6 C ．7
D ．8
3．已知数列{}n a 满足112
a =，11
1n n a a +=-，则2020a =
A ．1-
B ．
1
2
C ．2
D ．3
4．设等数差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若180S >，190S <，则当n S 最大时，n = A ．9 B ．10 C ．11
D ．18
5．已知{}n a 是正项等比数列，且1854a a a =，4a 与62a 的等差中项为18，则5a = A ．2 B ．4 C ．8
D ．16
6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若144a a +=，258a a +=，则2019
2019
S = A ．2016 B ．2017 C ．2018
D ．2019
7．在各项不为零的等差数列{}n a 中，2
3711440a a a -+=，若数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =
A ．4
B ．8
C ．16
D ．64
8．已知数列{}n a 的通项公式为2
*2(,)n a n n n λλ=-+∈∈N R ，若{}n a 是递减数列，则λ的取值范围为
A ．(,4)-∞
B ．(,4]-∞
C ．(,6)-∞
D ．(,6]-∞
9．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，若46S =，818S =，则16S = A ．48
B ．54
C ．72
D ．90
10．已知等比数列{}n a 满足149
4
a a +=
，639S S =，2log n n b a =，则数列{}n b 的前10项和为 A ．35- B ．25- C ．25
D ．35
11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，728S =．记[lg ]n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整
数，如[0.9]0=，[1.1]1=，则数列{}n b 的前1000项和为 A ．1890
B ．1891
C ．1892
D ．1893
12．已知数列{}n a 的通项公式为1
2n n a -=，数列{}n b 满足*22122
1
log ()log log n n n n b a n a a ++=+
∈⋅N ，则数
列{}n b 的前10项和为 A ．
505
11
B ．
507
11
C ．
615
11
D ．
617
11
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知数列{}n a 满足11a =，112n
n n a a +--=，则n a =______________．
14．已知数列{}n a 的通项公式为n a n =，n S 为其前n 项和，则数列
11
{}n n n a S S ++的前n 项和为______________． 15．如果函数()f x 满足：对于任意的等比数列{}n a ，{()}n f a 仍是等比数列，则称函数()f x 为“保等比数
列函数”．在下列函数中，所有“保等比数列函数”的序号为______________．
①()2f x x =；②()1f x x =+；③2()f x x =；④()2x
f x =；⑤()ln ||f x x =．
16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若|sin
|12
n n n a S π
+=，则15a =______________． 三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）
已知数列{}n a 满足113
a =，113n
n n a a a +=+．
（1）求2a ，3a ，4a 的值；
（2）由（1）写出数列{}n a 的一个通项公式； （3）试判断
1
2019
是否为数列{}n a 中的项，并说明理由． 18．（本小题满分12分）
在数列{}n a 中，已知11a =-，且1*1
(2,)(1)
n n a a n n n n --=≥-∈N ．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：数列1
{
}n
a 为等差数列． 19．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 满足10a =，12n n a a n +=+，数列{}n b 满足1n n b a n =++． （1）求1b ，2b 的值；
（2）证明：数列{}n b 为等比数列； （3）求数列{}n a 的通项公式． 20．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 满足12a =，12n
n n a a +-=，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，2
32
n n n
S -=．
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 21．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的各项均为正数，13a =，且1，2n a ，2
13n a ++成等比数列，数列{}n b 满足21n n b a =-．
（1）求证：数列{}n b 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n c 的前n 项和为n T ，若2log n n c b =，求使不等式360n T ≥成立的正整数n 的最小值． 22．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 满足
12*111
(22)2()n n n a a n a n
-++++∈=N ．
（1）求1a ，2a 的值及数列{}n a 的通项公式；
（2）记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n ，4n S S ≤恒成立，求实数k 的取值范围．。