河南省高一上学期数学考试试卷
2023-2024学年河南省南阳市高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河南省南阳市高一（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝（）A．∅B．A C．B D．A∪B2．命题“方程x2﹣8x+15＝0有一个根是偶数”的否定是（）A．方程x2﹣8x+15＝0有一个根不是偶数B．方程x2﹣8x+15＝0至少有一个根不是偶数C．方程x2﹣8x+15＝0至多有一个根不是偶数D．方程x2﹣8x+15＝0的每一个根都不是偶数3．若函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f(x)=1e x+e−x B．f(x)=1e x−e−xC．f(x)=e x−e−xe x+e−x D．f(x)=ex+e−xe x−e−x4．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得ln2≈0.693，ln54≈0.223，由此可知ln5的近似值为（）A．1.519B．1.726C．1.609D．1.3165．已知a=243，b=425，c=2013，则（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b6．通过北师大版必修一教材57页的详细介绍，我们把y＝[x]称为取整函数．那么“[x]＝[y]”是“|x﹣y|＜1”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要7．若关于x的不等式1x−a ＞1x−b的解集是{x|1＜x＜3}，则下列式子中错误的是（）A．a﹣b＜0B．a+b＝4C．a＝1，b＝3D．a＝3，b＝18．已知函数f(x)={−2x 2+4x ，x ≤2，x−2x+1，x ＞2，若存在三个不相等的实数x 1，x 2，x 3使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则f （x 1+x 2+x 3）的取值范围是（ ） A ．(25，1)B ．(25，+∞)C ．(25，2)D ．（2，+∞）二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．满足函数f （x ）＝x 2﹣ax +1在区间[1，3]上不单调的实数a 的值可能是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．610．下列函数中，具备奇偶性的函数是（ ） A ．f(x)=(√x)2B ．f(x)=1+22x−1C ．f(x)={−x ，x ＜−11，−1＜x ＜1，x ，x ＞1.D ．f(x)=√4−x 22−|x−2|11．已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 满足f （1+x ）＝f （1﹣x ），且对∀x 1，x 2∈（﹣∞，1），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则下列结论正确的有（ ）A ．f （1.2）＞f （1.5）B ．2a +b ＝0C ．f(−√2)＜f(√3)D ．abc ＜012．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，则下列结论成立的是（ ） A ．1a +1b的最小值为4B ．1a +ab 的最小值为3C ．11−a+12−b的最小值为2D ．a +1b的最小值为1三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．幂函数f （x ）＝（a 2﹣2a +2）x b （a ＞0）的图像经过点（2，4），则a +b ＝ ． 14．若函数f （x ）的定义域是[2，5]，则函数y =f(2x−3)√x 2−2x−3的定义域是 ．15．已知f （x ）＝x 2+|x |+2；则不等式f （x +1）＜8的解集是 ．16．如图，已知等腰三角形中一腰上的中线长为√6，则该等腰三角形的面积最大值为 ．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）（1）已知x+x﹣1＝3，求是x 12+x−12值；（2）计算：2−12+2+(1−√2)−1−823+2lg5lg20+(lg2)2．18．（12分）已知函数f(x)=x+1x．（1）判断函数f（x）在[1+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明；（2）求函数g(x)=√x2+4x2+5的值域．19．（12分）已知集合A＝{x|x2+ax﹣a﹣1＜0，a∈R}，B＝{x|2＜x＜3}．（1）若0∈A且2∉A，求实数a的取值范围；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．20．（12分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件20元，出厂价为每件24元，每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣10x+600．（1）设袁阳每月获得的利润为ω（单位：元），写出每月获得的利润ω与销售单价x的函数关系；（2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？21．（12分）已知log a b+log b a=52，a b＝b a，其中a＞b＞1．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）＝m•a x+b x+1在定义域[1，2]上为增函数，求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＞0时，f（x）＝2x+a，a∈R．（1）若函数f（x）为奇函数，求函数f（x）的表达式；（2）若函数f（x）是奇函数且在R上单调，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，若关于x的方程（（f（x）+2+a）（f（x）﹣a）＝0有三个不等的实数根，求实数a的取值范围．2023-2024学年河南省南阳市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝（）A．∅B．A C．B D．A∪B解：集合A＝{x|1＜x＜3}，则B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}＝{y|1＜y＜5}，故A∩B＝A．故选：B．2．命题“方程x2﹣8x+15＝0有一个根是偶数”的否定是（）A．方程x2﹣8x+15＝0有一个根不是偶数B．方程x2﹣8x+15＝0至少有一个根不是偶数C．方程x2﹣8x+15＝0至多有一个根不是偶数D．方程x2﹣8x+15＝0的每一个根都不是偶数解：“方程x2﹣8x+15＝0有一个根是偶数”的否定是：方程x2﹣8x+15＝0的每一个根都不是偶数．故选：D．3．若函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f(x)=1e x+e−x B．f(x)=1e x−e−xC．f(x)=e x−e−xe x+e−x D．f(x)=ex+e−xe x−e−x解：对于A，f(0)=12，与图象不相符，故A错误；对于B，f（0）无意义，与图象不相符，故B错误；对于C，函数定义域为R，f（0）＝0，f(−x)=e−x−e xe−x+e x=−f(x)，函数为奇函数，符合图象，故C正确；对于D，f（0）无意义，与图象不相符，故D错误．故选：C．4．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得ln2≈0.693，ln 54≈0.223，由此可知ln 5的近似值为（ ）A ．1.519B ．1.726C ．1.609D ．1.316解：因为ln 2≈0.693，ln 54≈0.223=ln 5﹣2ln 2＝ln 5﹣1.386，由此可知ln 5≈1.609．故选：C ． 5．已知a =243，b=425，c=2013，则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b解：∵a =243=√163，b =425=√165，c =2013=√203，y =x 13=√x 3是R 上的增函数，20＞16，∴√203＞√163，即c ＞a ．再根据√163＞√165，可得a ＞b ． 综上可得，c ＞a ＞b ． 故选：A ．6．通过北师大版必修一教材57页的详细介绍，我们把y ＝[x ]称为取整函数．那么“[x ]＝[y ]”是“|x ﹣y |＜1”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要解：若[x ]＝[y ]，设[x ]＝[y ]＝m ，则x ＝m +a （0≤a ＜1），y ＝m +b （0≤b ＜1）， ∴x ﹣y ＝a ﹣b ∈（﹣1，1），∴|x ﹣y |＜1，反之，令x ＝1.1，y ＝0.9，则满足|x ﹣y |＝0.2＜1，但[x ]＝1，[y ]＝0，[x ]≠[y ]， ∴[x ]＝[y ]是|x ﹣y |＜1的充分不必要条件． 故选：A ． 7．若关于x 的不等式1x−a＞1x−b的解集是{x |1＜x ＜3}，则下列式子中错误的是（ ）A ．a ﹣b ＜0B ．a +b ＝4C ．a ＝1，b ＝3D ．a ＝3，b ＝1解：由1x−a＞1x−b，得1x−a−1x−b＞0，化简得，a−b(x−a)(x−b)＞0，即（a ﹣b ）（x ﹣a ）（x ﹣b ）＞0，∵不等式1x ＞a＞1x−b的解集是{x |1＜x ＜3}，∴a ﹣b ＜0，且1和3是方程（x ﹣a ）（x ﹣b ）＝0的两个根， ∴a ＝1，b ＝3，∴a +b ＝4，故A 正确，B 正确，C 正确，D 错误． 故选：D ．8．已知函数f(x)={−2x 2+4x ，x ≤2，x−2x+1，x ＞2，若存在三个不相等的实数x 1，x 2，x 3使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则f （x 1+x 2+x 3）的取值范围是（ ） A ．(25，1)B ．(25，+∞)C ．(25，2)D ．（2，+∞）解：函数f （x ）={−2x 2+4x ，x ≤2x−2x+1，x ＞2的图象如图所示：由f （x ）在（﹣∞，2]上关于x ＝1对称，且f max （x ）＝2， 当x ∈（2，+∞）时，f （x ）=x−2x+1=1−3x+1是增函数， 且f （x ）=x−2x+1=1−3x+1∈（0，1）， 所以x 1+x 2＝2，x 3∈（2，+∞）， 所以x 1+x 2+x 3∈（4，+∞），又f （4）=4−24+1=25， 故f （x 1+x 2+x 3）∈（25，1）．故选：A ．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．满足函数f （x ）＝x 2﹣ax +1在区间[1，3]上不单调的实数a 的值可能是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6解：因为函数f （x ）＝x 2﹣ax +1在区间[1，3]上不单调，所以1＜12a ＜3，即2＜a ＜6．故选：ABC ．10．下列函数中，具备奇偶性的函数是（ ） A ．f(x)=(√x)2B ．f(x)=1+22x−1C ．f(x)={−x ，x ＜−11，−1＜x ＜1，x ，x ＞1.D ．f(x)=√4−x 22−|x−2|解：根据题意，依次分析选项：对于A ，f （x ）＝（√x ）2，其定义域为[0，+∞），不关于原点对称， 则该函数为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B ，f （x ）＝1+22x−1，其定义域为R ， 有f （﹣x ）+f （x ）＝1+22−x −1+1+22x −1=2+2⋅2x1−2x +22x−1=0，即f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 则该函数为奇函数，符合题意；对于C ，f(x)={−x ，x ＜−11，−1＜x ＜1，x ，x ＞1.其定义域为{x |x ≠±1}，当x ＜﹣1时，﹣x ＞1，有f （﹣x ）＝f （x ）＝﹣x ， 当﹣1＜x ＜1时，﹣1＜﹣x ＜1，有f （﹣x ）＝f （x ）＝1， 当x ＞1时，﹣x ＜﹣1，有f （﹣x ）＝f （x ）＝x ，综合可得：∀x ∈{x |x ≠±1}，都有f （x ）＝f （﹣x ），则f （x ）为偶函数，符合题意；对于D ，f （x ）=√4−x 22−|x−2|，则有{4−x 2≥02−|x −2|≠0，解可得﹣2≤x ≤2且x ≠0，即函数的定义域为{x |﹣2≤x ≤2且x ≠0}， 则f （x ）=√4−x 2x，则有f （﹣x ）=−√4−x 2x=−f （x ），则f （x ）为奇函数．故选：BCD ．11．已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 满足f （1+x ）＝f （1﹣x ），且对∀x 1，x 2∈（﹣∞，1），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则下列结论正确的有（ ）A ．f （1.2）＞f （1.5）B ．2a +b ＝0C ．f(−√2)＜f(√3)D ．abc ＜0解：因为二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 满足f （1+x ）＝f （1﹣x ）， 即函数的图象关于x ＝1对称，故−b2a=1，所以b +2a ＝0，B 正确； 对∀x 1，x 2∈（﹣∞，1），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，所以f （x ）在（﹣∞，1）上单调递增，所以a ＜0，b ＝﹣2a ＞0，但c 的正负无法确定，D 错误；根据函数的对称性可知，f （x ）在（1，+∞）上单调递减，则f （1.2）＞f （1.5），A 正确， 又f （−√2）＝f （2+√2）＜f （√3），C 正确． 故选：ABC ．12．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，则下列结论成立的是（ ）A ．1a +1b的最小值为4B ．1a +ab 的最小值为3C ．11−a+12−b的最小值为2D ．a +1b的最小值为1解：对于A ，1a +1b =(a +b)(1a +1b )=2+b a +a b ≥2+2√b a ⋅a b=4，当且仅当a ＝b =12时，取等号，故A 正确；对于B ，1a =a+b a =1+b a ，故1a +a b =1+b a +a b ≥1+2√b a ⋅a b=3，当且仅当a ＝b =12时，取等号，故B 正确；对于C ，由a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，可知（1﹣a ）+（2﹣b ）＝3﹣（a +b ）＝2，且1﹣a ＞0，2﹣b ＞0， 11−a+12−b=12[(1−a)+(2−b)](11−a+12−b)=12(2+2−b 1−a+1−a 2−b)≥12(2+√2−b 1−a ⋅1−a 2−b)=2， 不等式取等号的条件是1﹣a ＝2﹣b ＝1，即a ＝0，b ＝1，与题设a +b ＝1矛盾，故11−a+12−b的最小值大于2，C 不正确；对于D ，a +1b −1=1b −b =1−b 2b =(1+b)(1−b)b ＞0，故a +1b＞1，最小值大于1，故D 不正确．故选：AB ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．幂函数f （x ）＝（a 2﹣2a +2）x b （a ＞0）的图像经过点（2，4），则a +b ＝ 3 ． 解：幂函数f （x ）＝（a 2﹣2a +2）x b （a ＞0）的图像经过点（2，4）， ∴{a 2−2a +2=1f(2)=2b =4，解得a ＝1，b ＝2，则a +b ＝1+2＝3． 故答案为：3．14．若函数f （x ）的定义域是[2，5]，则函数y =f(2x−3)√x 2−2x−3的定义域是 （3，4] ．解：由题意得，{2≤2x −3≤5x 2−2x −3＞0，解得3＜x ≤4．故答案为：（3，4]．15．已知f （x ）＝x 2+|x |+2；则不等式f （x +1）＜8的解集是 （﹣3，1） ．解：对于f （x ）＝x 2+|x |+2，当x ≥0时，f （x ）＝x 2+x +2，当x ＜0时，f （x ）＝x 2﹣x +2， 所以f(x)={x 2+x +2，x ≥0x 2−x +2，x ＜0，当x +1≥0时，即x ≥﹣1时，不等式f （x +1）＜8可化为（x +1）2+（x +1）+2＜8，即x2+3x﹣4＜0，解得﹣4＜x＜1，所以﹣1≤x＜1；当x+1＜0时，即x＜﹣1时，不等式f（x+1）＜8可化为（x+1）2﹣（x+1）+2＜8，即x2+x﹣6＜0，解得﹣3＜x＜2，所以﹣3＜x＜﹣1；综上，不等式f（x+1）＜8的解集为（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．16．如图，已知等腰三角形中一腰上的中线长为√6，则该等腰三角形的面积最大值为4．解：如图所示：作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，则AE＝EB，EF＝FB，设DF＝h，FB＝b，故AF＝3b，在△ADF中：6＝9b2+h2≥2√9b2×ℎ2=6bh，即bh≤1，当且仅当9b2＝h2，即h=√3，b=√33时等号成立，S△ABC＝2S△ABD＝4bh≤4．故答案为：4．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）（1）已知x+x﹣1＝3，求是x 12+x−12值；（2）计算：2−12+40√2+(1−√2)−1−823+2lg5lg20+(lg2)2．解：（1）由于(x 12+x12)2=x+x−1+2=5，又x 12+x−12＞0，故x12+x12=√5；（2）原式=√222−（√2+1）﹣4+2＝﹣3．18．（12分）已知函数f(x)=x+1x．（1）判断函数f（x）在[1+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明；（2）求函数g(x)=√x2+4x2+5的值域．解：（1）函数f（x）在[1+∞）上单调递增，证明如下：任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，x2x1＞1，则f(x2)−f(x1)=(x2+1x2)−(x1+1x1)=x2−x1+1x1=(x2−x1)(x2x1−1)x2x1＞0，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）是[1，+∞）上的增函数．（2）令t=√x2+4(t≥2)，则t2﹣4＝x2，于是g（x）的值域即为求ℎ(t)=tt2+1=1t+1t的值域，由（1）知函数y=t+1t(t≥2)在[2，+∞）是单调递增的，所以当t＝2时，即√x2+4=2，即x＝0处y取最小值y min=2+12=52，所以0＜1t+1t≤25，所以函数g(x)=√x2+4x2+5的值域为(0，25]．19．（12分）已知集合A＝{x|x2+ax﹣a﹣1＜0，a∈R}，B＝{x|2＜x＜3}．（1）若0∈A且2∉A，求实数a的取值范围；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解：（1）由0∈A且2∉A，得{−a−1＜0a+3≥0，∴a＞﹣1，∴a的取值范围为（﹣1，+∞）；（2）由p是q的必要不充分条件，∴B⫋A，∵x2+ax﹣a﹣1＝（x﹣1）（x+a+1）＜0，且B＝{x|2＜x＜3}，故A＝{x|1＜x＜﹣a﹣1}，∴{1＜−a−1−a−1≥3，∴a≤﹣4，∴a的取值范围为（﹣∞，﹣4]．20．（12分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件20元，出厂价为每件24元，每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣10x+600．（1）设袁阳每月获得的利润为ω（单位：元），写出每月获得的利润ω与销售单价x 的函数关系；（2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？解：（1）依题意可知每件的销售利润为（x ﹣20）元，每月的销售量为（﹣10x +600）件，所以每月获得的利润ω与销售单价x 的函数关系为ω＝（x ﹣20）（﹣10x +600）（20≤x ≤60）；（2）由每月获得的利润不小于3000元，即（x ﹣20）（﹣10x +600）≥3000，即x 2﹣80x +1500≤0，即（x ﹣30）（x ﹣50）≤0，解得30≤x ≤50，又因为这种节能灯的销售单价不得高于40元，所以30≤x ≤40，设政府每个月为他承担的总差价为p 元，则p ＝（24﹣20）（﹣10x +600）＝﹣40x +2400，由30≤x ≤40，得800≤p ≤1200，故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为[800，1200]元．21．（12分）已知log a b +log b a =52，a b ＝b a ，其中a ＞b ＞1． （1）求实数a ，b 的值；（2）若函数f （x ）＝m •a x +b x +1在定义域[1，2]上为增函数，求实数m 的取值范围．解：（1）设log b a ＝k ，则k ＞1，因为log a b +log b a =52， 可得k +1k =52，所以k ＝2，则a ＝b 2． 又a b ＝b a ，所以b 2b =b b 2，即2b ＝b 2，又a ＞b ＞1，解得b ＝2，a ＝4．（2）由（1）以及函数f （x ）＝m •a x +b x +1，得f （x ）＝m •4x +2x +1，令t ＝2x ，x ∈[1，2]，则y ＝mt 2+t +1，t ∈[2，4]．为使f （x ）在[1，2]上为增函数，则m ＝0或{m ＞0−12m ＜2或{m ＜0−12m≥4，解得m ＝0或m ＞0或−18≤m ＜0． 综上，m 的取值范围为[−18，+∞)． 22．（12分）已知函数f （x ）的定义域为R ．当x ＞0时，f （x ）＝2x +a ，a ∈R ．（1）若函数f （x ）为奇函数，求函数f （x ）的表达式；（2）若函数f （x ）是奇函数且在R 上单调，求实数a 的取值范围；（3）在（1）的条件下，若关于x 的方程（（f （x ）+2+a ）（f （x ）﹣a ）＝0有三个不等的实数根，求实数a 的取值范围．解：（1）当x ＝0时，f （0）＝0；当x ＜0时，f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣（2﹣x +a ）＝﹣2﹣x ﹣a ；故f(x)={2x +a ，x ＞00，x =0−2−x −a ，x ＜0．（2）因为当x ＞0时，f （x ）＝2x +a 是单调增函数，所以若f （x ）在R 上单调，则f （x ）必为R 上的单调增函数，只须满足﹣20﹣a ≤0≤20+a ，得a ≥﹣1，实数a 的取值范围是[﹣1，+∞）；（3）由方程（f （x ）+2+a ）（f （x ）﹣a ）＝0⋯（*），可得f （x ）＝﹣2﹣a 或f （x ）＝a ，由题意可知，f （x ）不可能是单调函数，故a ＜﹣1，又因为方程（*）有三个不等的实数根，且a ＜1+a ，所以只须1+a ＜﹣2﹣a ＜﹣1﹣a 且﹣2﹣a ≠0，解得a ＜−32且a ≠﹣2， 综上所述，a 的取值范围为(−∞，−2)∪(−2，−32)．。
河南省高一上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合,集合,则=( ){}2|4A x x =>{}23|B y y x ==-+A B ⋂A ．B ．()2,3(]2,3C ． D ．()(],22,3-∞- ()(),22,3-∞-⋃【答案】C【分析】求出集合,利用交集的定义求解即可.,A B 【详解】因为或,,{}{242A x x x x ==<-}2x >{}{}2|33B y y x y y ==-+=≤所以或. {2A B x x ⋂=<-}23x <≤故选:C.2．命题“，”的否定为（ ） 0x ∃≥210x -≥A ．， B ．， 0x ∀<210x -<0x ∃≥210x -≥C ．， D ．，0x ∃≥210x -<0x ∀≥210x -<【答案】D【分析】利用含有一个量词命题的否定的定义求解.【详解】解：因为命题“，”是存在量词命题， 0x ∃≥210x -≥所以其否定是全称量词命题，即为，， 0x ∀≥210x -<故选：D3．函数，若，则（ ） 3()tan 2f x ax bx x =--+()1f m =()f m -=A ．1 B ．－1 C ．3 D ．－3【答案】C【分析】先求出，再整体代入即得解.3tan 1am bm m --=-【详解】由题得，()3tan 21f m am bm m =--+=3tan 1am bm m ∴--=-所以.()33tan 2(tan )2123f m am bm m am bm m +-=-++=---+=+=故选：C4．若函数在上不单调，则实数取值范围是（ ） 231y x mx m =-+-[3,4]-m A ． B ．C ．D ．[6,8]-(6,8)-(,6][8,)-∞-⋃+∞(,6)(8,)-∞-⋃+∞【答案】B【分析】利用二次函数的对称轴与所给区间的关系即可得解. 【详解】因为二次函数的对称轴方程为，且在上不单调， 231y x mx m =-+-2mx =[3,4]-所以，解得， 342m-<<68m -<<故选：B5．已知函数，若，则不等式的解集为（ ）()32log 12313x x a x f x x -+≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩()1f a =()28(2)f x f x -<A ． B ． C ． D ．(2,4)-(2,)-+∞(4,2)-(1,4)-【答案】A【分析】先由，求得，再判断其单调性，然后由，利用其单调性求()1f a =()f x ()28(2)f x f x -<解.【详解】解：因为函数，且，()32log 12313x x a x f x x -+≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩()1f a =当时，，解得， 1a ≥3log 1a a +=1a =当时，，解得（舍去）， 1a <22313a -+=1a =所以，32log 1,1()23,13x x x f x x -+≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩当时，单调递增；1x ≥3()log 1f x x =+当时，，单调递增，且， 1x <22()33x f x -=+1232log 1133-+=+所以在R 上递增，()f x 因为，()28(2)f x f x -<所以，即， 282x x -<2280x x --<解得， 24-<<x 故选：A6．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城，有学者根据公布数据建立了某地区某种疾病累计确诊病例数的单位：天）的Logistic 模型：，其中为最大()(I t t ()()0.24531e t K I t --=+K 确诊病例数．当时，则t 约为（ ） ()0.8I t K =()ln 4 1.39≈A ．48B ．72C ．63D ．59【答案】D【分析】根据题意得到，再两边取对数求解即可.0.24(53)()0.81e t K I t K --==+【详解】由题意得：，0.24(53)()0.81e t KI t K --==+即， 0.24(53)e41t --=两边取对数得， 10.24(53)ln ln 4 1.394t --==-≈-即， 0.24(53) 1.39t -≈解得， 59t ≈故选：D.7．锐角三角形的内角A ，B ，C 满足：，则有（ ） cos sin 2cos sin A B B C =A ． B ． sin 2cos 0B C -=sin 2cos 0B C +=C ． D ．sin 2sin 0B C -=sin 2sin 0B C +=【答案】C【分析】由三角恒等变换化简可得，得出，再由诱导公式即可得解. A B =π2C B =-【详解】因为， cos sin 2cos sin A B B C =所以， 2cos sin cos cos sin A B B B C =又，所以， π02B <<cos 0B ≠所以， 2cos sin sin sin()sin cos cos sin A B C A B A B A B ==+=+即，又为锐角， in 0()s A B -=,A B 所以，故，A B =π2C B =-所以，， sin sin(π2)sin 2C B B =-=cos cos(π2)cos 2C B B =-=-故， sin 2sin 0B C -=故选：C 8．已知，则等于（ ） 1124m m+=+2log m m A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．－4【答案】C【分析】首先根据已知条件得到，再根据求解即128mm ⋅=()2222log log 2log log 2m m m m m m +=+=⋅可.【详解】因为，所以，即.1124m m+=128m m =128mm ⋅=所以. ()222221log log 2log log 2log 38m mm m m m +=+=⋅==-故选：C二、多选题9．下列说法中，正确的是（ ）A ．集合和表示同一个集合 {}1,2A =(){}1,2B =B ．函数的单调增区间为()f x [3,1]--C ．若，则用a ，b 表示2log 3a =2log 5b =303log 401b a b +=++D ．已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，()f x (,0)(0,)-∞+∞ 0x >21()1f x x x=+-0x < 21()1f x x x=--+【答案】BC【分析】对于A ，根据集合的定义即可判断；对于B ，利用复合函数的单调性即可判断；对于C ，利用对数的换底公式及运算性质即可判断；对于D ，利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式即可判断.【详解】对于A ，集合中元素为数，集合为点，可知表示的不是同一个集合，{1,2}A ={(1,2)}B =所以A 选项错误；对于B ，根据解得函数的定义域为， 2320x x --≥()f x =[3,1]-令则，232t x x =--y =为二次函数，开口向下，对称轴为，232t x x =--()2121x -=-=-⨯-所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，232t x x =--[]3,1--[]1,1-函数为增函数，根据复合函数的单调性可知函数，y =()f x =[]3,1--所以B 选项正确；对于C ，因为，，根据对数的换底公式可得2log 3a =2log 5b =，所以C 选项正确；22223022222log 40log (58)log log 83log 40log 30log (352155)log 3log log 2b a b ⨯++==+==⨯⨯+++对于D ，因为当时，，可令，则，所以 0x >21()1f x x x=+-0x <0x ->， 2211()()11()f x x x x x-=-+-=---又因为是定义在上的奇函数，所以与题干结果不()f x (,0)(0,)-∞+∞ 21()()1f x f x x x=--=-++符，所以D 选项错误； 故选：BC.10．下列函数中，最小正周期为的是（ ） πA ． B ．|sin |y x =πtan 6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ． D ．cos ||y x =πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】依次判断选项中的函数周期即可得到答案。
河南省开封市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
河南省开封市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （）A ．{1,0}-B ．{2,3}C ．{3,1,0}--D ．{1,0,2}-2．下列函数中，在区间()0,∞+上单调递减的是（）A．y =B ．1y x-=C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．3y x =3．已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（）A ．p 和q 都是真命题B ．p ⌝和q 都是真命题C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题4．已知 3.112a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，123.1b =， 3.113c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c a b <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．a b c <<5．已知p ：220x x -<，那么命题p 的一个必要不充分条件是（）A ．01x <<B ．12x -<<C ．13x <<D ．02x <<6．设函数()f x 定义域为R ，满足()()0f x f x +-=，且()20f -=，若()f x 在()0,∞+上单调递增，则不等式()0x f x ⋅<的解集为（）A ．()(),22,∞∞--⋃+B ．()()2,00,2-⋃C ．()(),20,2-∞- D ．()()2,02,-+∞ 7．已知函数()()1,2121,2xa x f x a x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A．21,22⎛⎤⎥⎝⎦B．⎫+∞⎪⎪⎣⎭C．⎫⎪⎪⎣⎭D．⎛ ⎝⎦8．某厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润210031x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元，要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是（）A ．2千克/小时B ．3千克/小时C ．4千克/小时D ．6千克/小时二、多选题9．下列命题中正确的是（）A ．命题：“0x ∀≥，20x ≥”的否定是“0x ∃<，20x <”B ．函数()41x f x a -=+（0a >且1a ≠）恒过定点()4,2C ．已知函数()21f x +的定义域为[]1,1-，则函数()f x 的定义域为[]1,3-D ．若函数)1=-fx ，则()()221f x x x x =--≥-10．已知定义在R 上的函数()f x 在(],2-∞上单调递增，且()2f x +为偶函数，则（）A ．直线2x =是()f x 的对称轴B ．()2,0是()f x 的对称中心C ．()()14f f ->D ．不等式()()34f x f x +>的解集为()1,1,5⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ 11．已知函数()3131-=+x x f x ，有如下四个结论：①函数()f x 在其定义域内单调递减；②函数()f x 的值域为()0,1；③函数()f x 的图象是中心对称图形；④方程()1f x x =-+有且只有一个实根.其中所有正确结论的序号是（）A ．①B ．②C ．③D ．④三、填空题12．设函数()f x 的定义域为I ，如果x I ∀∈，都有x I -∈，且()()f x f x -=，已知函数()f x 的最大值为2，则()f x 可以是．13．已知正数m ，n 满足m n mn +=，则m n +的最小值是.14．已知函数()23,0,2,0,x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩若()(1)1f x f x +->-，则x 的取值范围为.四、解答题15．分别求解下面两个问题.(1)()230.125-+(2)函数()y f x =为偶函数，当0x >时，()21xf x x =+-，求：当0x <时，()f x 的解析式.16．已知函数()()220f x ax ax b a =-+>在区间[]1,4-上的最小值为1，最大值为10.(1)求a ，b 的值；(2)设()()f x g x x=，利用定义证明：函数()g x 在)+∞上是增函数.17．某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x （单位：元）与日销售量y （单位：件）之间有如下表所示的关系.x …30404550…y…603015…（1）根据表中提供的数据描出实数对()x y ，的对应点，根据画出的点猜想y 与x 之间的函数关系，并写出一个函数解析式；（2）设经营此商品的日销售利润为P （单位：元），根据上述关系，写出P 关于x 的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？18．已知函数()42x xa f x +=为偶函数.(1)求出a 的值，并写出单调区间；(2)若存在[]0,1x ∈使得不等式()()21bf x f x +≥成立，求实数b 的取值范围.19．对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点．已知函数2()(1)8(0)f x mx n x n m =+-+-≠．(1)若对任意实数n ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求实数m 的取值范围；(2)若()f x 的两个不动点为12,x x ，且()()122mf x f x m +=-+，当13m <<时，求实数n 的取值范围．。
河南省商丘开封名校联考2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题
A． m2 + n2 ³ 2
B．
1 m
+
1 n
³
2
C．
m
£
23 3
D． m3 + n3 £ 2
三、填空题 12．命题“ "x > 2 ， x3 - 4x > 0 ”的否定是
13．已知 f ( x) 满足 f ( x + y) = f ( x) + f ( y) + 2 ，且 f (2) = 2 ，则 f (3) = .
【详解】因为 a + 5b = 2 (2a + b) - 3(a - b) ，又 -3 £ 2a + b £ 4 ， -1 £ a - b £ 2 ， 所以 -6 £ 2(2a + b) £ 8 ， -6 £ -3(a - b) £ 3 ，所以 -12 £ 2(2a + b) - 3(a - b) £ 11 ，即 a + 5b
为
f
(
x)
的一个“倒域
区间”.已知定义在[-2,2] 上的奇函数 g ( x) ，当 x Î[0, 2] 时， g ( x) = -x2 + 2x . (1)求 g ( x) 的解析式；
试卷第41 页，共33 页
(2)若关于 x 的方程 g ( x) = -mx - m 在 (0, 2) 上恰有两个不相等的根，求 m 的取值范围； (3)求函数 g ( x) 在定义域内的所有“倒域区间”.
f (-x) = - f ( x) ，设 g ( x) = xf ( x) ，则 g (-x) = (-x) f (-x) = xf ( x) = g ( x) ，所以函数
g ( x) 为偶函数，故选 B．
2023-2024学年河南省濮阳市、周口市等八地市高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河南省濮阳市、周口市等八地市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符1．函数f(x)=√x−2023+√2024−x的定义域为（）A．[2023，2024]B．（2023，2024）C．[0，2024]D．[2023，+∞）2．若命题p：∃x＞0，x2﹣2x+1＜0，则￢p为（）A．∃x＞0，x2﹣2x+1≥0B．∀x＞0，x2﹣2x+1≥0C．∃x≤0，x2﹣2x+1＞0D．∀x≤0，x2﹣2x+1＞03．已知集合M＝{（x，y）|y＝3x+4}，N＝{（x，y）|y＝x2}，则M∩N＝（）A．{﹣1，4}B．{1，4}C．{（﹣1，1），（4，16）}D．（﹣1，1），（4，16）4．若幂函数f（x）＝x m的图象过点（2，√2），则实数m＝（）A．2B．3C．﹣1D．1 25．已知﹣1＜a＜2，﹣2＜b＜3，则下列不等式错误的是（）A．﹣3＜a+b＜5B．﹣4＜a﹣b＜4C．2＜ab＜6D．a2+b2＜13 6．已知U为全集，集合A，B为U的两个子集，则“A⊆∁U B”的充要条件是（）A．B⊆∁U A B．A⊆B C．B⊆A D．∁U A⊆B 7．已知a＞b＞c，a﹣c＝5，则（a﹣b）2+（b﹣c）2的最小值为（）A．25B．252C．5D．528．下列说法正确的是（）A．若一次函数f（x）＝x+1，则f（x﹣1）＝x﹣2B．函数y＝x2的图象与直线y＝1有1个交点C．若函数f（x﹣2）的定义域为[﹣4，5]，则函数f（x+3）的定义域为[﹣6，3]D．函数f（x）＝2|x|与函数g(x)=√4x2是同一个函数二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9．已知a+1＞b＞2a＞0，则下列选项可以成立的是（）A．a＝2B．a＝1C．b＝1D．ab＝110．某种商品单价为50元时，每月可销售此种商品300件，若将单价降低x （x ∈N *）元，则月销售量增加10x 件，要使此种商品的月销售额不低于15950元，则x 的取值可能为（ ）A ．9B ．7C ．13D ．1111．已知函数f(x)=√x 2−2x +m （m ∈R ）的定义域为P ，值域为Q ，则下列说法正确的是（ ）A ．若m ＝0，则P ＝RB ．若m ＝2，则P ＝RC ．若m ＝0，则Q ＝[0，+∞）D ．若m ＝2，则Q ＝[2，+∞）12．已知函数f(x)=x +4x，则下列说法正确的是（ ） A ．在（0，+∞）上，f （x ）的最小值为4 B ．在（0，2）上，f （x ）单调递减C ．f （x ）为奇函数D ．在（﹣∞，﹣1）上，f （x ）单调递增三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省郑州市十所省级示范性高中2024-2025学年高一上学期期中联考数学试卷含答案
2024-2025学年上期高一年级期中联考试题数学学科（答案在最后）命题人：考试时间：120分钟分值：150分注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）.在试题卷上作答无效.一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,0,1,2,3M =-，{}|114N x x =-<-≤，则M N = （）A.{}2,0,1,2,3- B.{}2,0,1- C.{}0,1,2,3 D.{}20-，【答案】B 【解析】【分析】利用集合交集的定义求解即可．【详解】因为{}2,0,1,2,3M =-，{}|32N x x =-≤<，所以{}2,0,1M N ⋂=-.故选：B 2.函数0()(3)f x x =+的定义域是（）A.(,3)(3,)-∞-⋃+∞B.(,3)(3,3)-∞-- C.(,3)-∞- D.(,3)-∞【答案】B 【解析】【分析】根据函数解析式，只需解析式有意义，即3030x x ->⎧⎨+≠⎩，解不等式即可求解.【详解】由0()(3)f x x =+，则3030x x ->⎧⎨+≠⎩，解得3x <且3x ≠-，所以函数的定义域为(,3)(3,3)-∞-- 故选：B3.已知p ：223x x +=，q ：2x =，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】解方程223x x +=和2x =，根据充分条件、必要条件即可求解.【详解】由223x x +=，得1x =-或3x =，由2x =，得3x =或0x =，因为1x =-或3x =成立推不出3x =或0x =成立，反之也不成立，所以p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件.故选：D4.若()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且()()3xf xg x +=，则()f x 的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性可得()()3xf xg x --=，即可求解()f x 解析式，通过排除可得答案．【详解】解：由()()3xf xg x +=得：()()3xf xg x --+-=，即()()3xf xg x --=，由()()()()33xx f x g x f x g x -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得：()332x x f x -+=，由33122x x -+≥=，排除BC ．由指数函数的性质（指数爆炸性）排除D ．故选：A5.函数y =）A.5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.(),1-∞ C.[)4,+∞ D.5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据复合函数的单调性即可求解.【详解】2540x x -+≥，即(4)(1)0x x --≥，解得4x ≥或1x ≤，令254t x x -=+，则254t x x -=+的对称轴为5522x -=-=，254t x x ∴=-+在(,1)-∞上单调递减，在[4,)+∞上单调递增，又y =是增函数，y ∴=在(,1)-∞上单调递减，在[4,)+∞上单调递增.故选：B.6.若函数()2,142,12x ax x f x a x x ⎧+>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为（）A.(2,)-+∞B.(2,8)- C.10,83⎛⎫⎪⎝⎭D.10,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】根据条件，要使函数是R 上的增函数，每一段函数在其定义域内必须为增函数且左端的最大值小于等于右端的最小值，列出不等式组求解即可.【详解】因为函数2,1()(4)2,12x ax x f x ax x ⎧+>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的增函数，所以1240214+22aaa a ⎧-≤⎪⎪⎪->⎨⎪⎪+≥-⎪⎩，解得：1083a ≤<，故选：D .7.已知()f x 的定义域为()0,∞+，且满足()41f =，对任意()12,0,x x ∈+∞，都有()()()1212f x x f x f x ⋅=+，当()0,1x ∈时，()0f x <.则()()31263f x f x ++-≤的解集为（）A.(]0,4 B.(]3,5 C.()3,6 D.[)4,5【答案】B 【解析】【分析】利用单调性定义可判断函数为增函数，再结合单调性可求不等式的解.【详解】设()34,0,x x ∞∈+且34x x <，对任意(),0,x y ∈+∞，都有()()()f xy f x f y =+即()()()f xy f x f y -=，∴()()3344x f x f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,340x x << ，3401x x ∴<<，又当()0,1x ∈时,()0f x <，()()33440x f x f x f x ⎛⎫-=<⎪⎝⎭,()f x \在()0,∞+上是增函数，令124x x ==,则()()()16442f f f =+=,令14x =,216x =，则()()()644163f f f =+=，()()()3126364f x f x f ∴++-≤=，结合()f x 的定义域为()0,∞+，且在()0,∞+上是增函数，又()()()1212f x x f x f x ⋅=+恒成立，()()()312664f x x f ⎡⎤∴+⋅-≤⎣⎦，()()310260312664x x x x +>⎧⎪->∴⎨⎪+-≤⎩(]3,5x ∴∈，∴不等式的解集为(]3,5，故选：B .8.已知函数()f x 是R 上的奇函数，对任意的()12,,0x x ∞∈-，()()()211212120,x f x x f x x x x x ->≠-，设()1523,,1325a f b f c f ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c >>B.c a b>> C.c b a>> D.b c a>>【答案】A 【解析】【分析】确定数()()f x g x x=在(),0-∞上单调递增，()g x 是()(),00,-∞+∞ 上的偶数，变换得到13a g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，25b g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1c g =-，根据单调性得到答案.【详解】()()()211212120,x f x x f x x x x x ->≠-，即()()()121212120,f x f x x x x x x x ->≠-，故函数()()f x g x x=在(),0-∞上单调递增，()f x 是R 上的奇函数，故()g x 是()(),00,-∞+∞ 上的偶数，1113333a f g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，522255b f g ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()111c f g g ===-.12135->->-，故a b c >>.故选：A二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.至少有一个实数x ，使210x +=B.“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件C.命题“21,04x x x ∃∈-+<R ”的否定是假命题D.“集合{}210A x ax x =++=”中只有一个元素是“14a =”的必要不充分条件【答案】BD 【解析】【分析】由在实数范围内，20x >可得A 错误；举反例可得必要性不成立，可得B 正确；由全称与特称命题的性质和二次函数的性质可得C 错误；由集合A 中只有一个元素可得0a =或14，再由必要性可得D 正确；【详解】对于A ，在实数范围内，20x >，210x +>，故A 错误；对于B ，若0a b >>，则11a b<，充分性成立，若11a b<，如1,2a b =-=-，此时0a b >>，必要性不成立，所以“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件，故B 正确；对于C ，命题“21,04x x x ∃∈-+<R ”的否定是21,04x x x ∀∈-+≥R ，由二次函数的性质可得()214f x x x =-+开口向上，0∆=，所以()0f x ≥恒成立，故C 错误；对于D ，若集合{}210A x ax x =++=中只有一个元素，当0a =时，1x =-；当0a ≠时，可得11404a a D =-=Þ=，所以必要性成立，故D 正确；故选：BD.10.已知正实数,x y 满足22x y +=，则下列说法不正确的是（）A.3x y +的最大值为174B.42x y +的最小值为2C.2xy 的最大值为2D.211x y+的最小值为2【答案】AC 【解析】【分析】直接利用基本不等式即可求解BC ，利用乘“1“法即可判断D ，利用二次函数的性质可求解A.【详解】对于A ，因为22x y +=，所以22x y =-，因为,x y 为正实数，所以220y ->，解得：0<<y ，2231732324x y y y y ⎛⎫+=-+=--+ ⎪⎝⎭，由二次函数的性质可知3x y +的无最大值，故A 错误；对于B ，22422(22x y x y ++≥⨯=，当且仅当21x y ==时取等号，故B 正确；对于C ，22212x y xy ⎛⎫+≤= ⎪⎝⎭，当且仅当21x y ==时取等号，所以2xy 的最大值为1，故C 错误；对于D ，因为22x y +=，所以2122x y +=，222222111111=1=12222x y y xx y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅+⋅+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111222≥+=+⨯=，当且仅当2222y xx y=，即21x y ==时取等，故D 正确.故选：AC .11.给出定义：若()1122m x m m -<≤+∈Z ，则称m 为离实数x 最近的整数，记作{}x m =.在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个结论，其中正确的是（）A.函数()y f x =值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.函数()y f x =是偶函数C.函数()y f x =在11,22⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增D.函数()y f x =图象关于直线()2kx k =∈Z 对称【答案】ABD 【解析】【分析】根据{}x 的定义，画出函数的图象，根据图象判定即可.【详解】根据{}x 的定义知函数()y f x =的定义域为R ,又{}x m =，则{}{}11,22x x x -<≤+即{}11,22x x -<-≤所以{}10,2x x ≤-≤故函数()y f x =值域为10,2⎡⎤⎢⎣⎦，A 正确；函数()y f x =的图象如下图所示，有图可知函数()y f x =是偶函数，B 正确；函数()y f x =在11,22⎡⎤-⎢⎣⎦上有增有减，C 错误；由图可知()y f x =的图象关于()2kx k =∈Z 对称，D 正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()()222,22,2x x x f x f x x ⎧-++≤⎪=⎨->⎪⎩，则()5f =__________.【答案】3【解析】【分析】将5x =代入分段函数中即可得出答案.【详解】因为()()222,22,2x x x f x f x x ⎧-++≤⎪=⎨->⎪⎩，所以()()()()()55233211223f f f f f =-==-==-++=.故答案为：3.13.已知函数()1f x xx=+，计算()()()()1111122024202420232f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭_________．【答案】2024【解析】【分析】先求出1()()f x f x+，再观察所求，倒序相加即可得解.【详解】由()1xf x x=+，得111()()111111x x x f x f x x x x x+=+=+=++++，所以111()()()(1)(1)(2)(2024)202420232f f f f f f f ++++++++ 111[((2024)][()(2023)][()(2)][(1)(1)]202420232f f f f f f f f =++++++++ 11112024=++++= .故答案为：2024.14.下列结论中，正确的结论有__________（填序号）.①若1x <-，则11x x ++的最大值为2-②当0x ≥时，函数21244x y x x +=++的最大值为1③若正数,x y 满足23x y xy +=，则2x y +的最小值为83④若,a b 为不相等的正实数，满足11a b a b +=+，则118a b a b++≥+【答案】③④【解析】【分析】对①：借助基本不等式计算可得；对②：借助整体思想可得()12211y x x =+++，再利用基本不等式计算即可得；对③：由23x y xy +=可得12133y x+=，再借助基本不等式中“1”的活用计算即可得；对④：由11a b a b+=+可得1ab =，再通分后借助基本不等式计算即可得.【详解】对①：由1x <-，则10x -->，故()()11111311x x x x +=---+-≤-=-+---当且仅当()111x x --=--，即2x =-时，等号成立，即11x x ++的最大值为3-，故①错误；对②：()()22111122444212211x x y x x x x x ++===≤+++++++，当且仅当0x =时，等号成立，故函数21244x y x x +=++的最大值为14，故②错误；对③：由23x y xy +=，故2121333x y xy y x+=+=，又,x y 为正数，故()12224482233333333x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当423x y ==时，等号成立，故2x y +的最小值为83，故③正确；对④：若,a b 为不相等的正实数，满足11a b a b +=+，则118a b a b++≥+由11a b a b +=+，则11a b a b b a ab--=-=，又,a b 为不相等的正实数，故1ab =，则11888a b a b a b a b ab a b a b+++=+=++≥+++当且仅当1a =+，1b =-或1a =-，1b =+时，等号成立，故④正确.故答案为：③④.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤.15.（1）求值：110340.064(π)(16)--++；（2）已知()112230a aa -+=>，求值：12222a a a a --++++.【答案】（1）8π5-；（2）949【解析】【分析】（1）根据题意，由指数幂的运算即可得到结果；（2）由()112230a aa -+=>平方可得1a a -+的值，再对1a a -+平方可得22a a -+的值，代入即可得出答案.【详解】（1）110340.064(π)(16)--++()1313442123π5⎡⎤⎛⎫=-++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦212π35=-++-8π5=-（2）()112230a a a -+=> ，21112227,a a a a --⎛⎫∴+=+-= ⎪⎝⎭()2221247,a a a a --+=+-=12229.249a a a a --++∴=++16.设全集U =R ，集合{}{}02,123A x x B x a x a =<≤=-<<+.（1）若2a =时，求(),U A B A B ⋃⋂ð；（2）若A B B = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}07A B x x ⋃=<<，(){}01U A B x x ⋂=<≤ð（2）(],4-∞-【解析】【分析】（1）得到集合B 后，结合并集定义即可得A B ，结合交集与补集定义即可得()U A B ⋂ð；（2）由A B B = 可得B A ⊆，分B =∅及B ≠∅计算即可得解.【小问1详解】当2a =时，{}17B x x =<<，则{}07A B x x ⋃=<<，{1U B x x =≤ð或}7x ≥，故(){}01U A B x x ⋂=<≤ð；【小问2详解】因为A B B = ，所以B A ⊆，若B =∅，则231a a +≤-，即4a ≤-，若B ≠∅，则232410a a a +≤⎧⎪>-⎨⎪-≥⎩，无解；综上，当A B B = 时，a 的取值范围是(,4ù-¥-û.17.已知函数2()()2f x x a b x a =-++.（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为{|12}x x <<，求,a b 的值；（2）当2b =时，（i ）若函数()f x 在[2,1]-上为单调递增函数，求实数a 的取值范围；（ii ）解关于x 的不等式()0f x >.【答案】（1）12a b =⎧⎨=⎩（2）（i ）6a ≤-；（ii ）答案见解析【解析】【分析】(1)根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系，借助韦达定理列式计算即得.(2)把2b =代入，利用二次函数的单调性列出不等式即可得解；分类讨论解一元二次不等式即可作答.【小问1详解】依题意，关于x 的方程2()20x a b x a -++=的两个根为1和2，于是得322a b a +=⎧⎨=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，所以12a b =⎧⎨=⎩.【小问2详解】当2b =时，2()(2)2f x x a x a =-++，（i ）函数()f x 的对称轴为22a x +=，因函数()f x 在[2,1]-上为单调递增函数，则222a +≤-，解得6a ≤-，所以实数a 的取值范围是6a ≤-；（ii ）不等式为2(2)20x a x a -++>，即()(2)0x a x -->，当2a <时，解得x a <或2x >，当2a =时，解得2x ≠，当2a >时，解得2x <或x a >，综上可知，当2a <时，不等式的解集为(,)(2,)a -∞⋃+∞，当2a =时，不等式的解集为(2)(2,)-∞⋃+∞，，当2a >时，不等式的解集为(2)(,)a -∞⋃+∞，.18.在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备x 万台且全部售完，每万台的销售收入()G x （万元）与年产量x （万台）满足如下关系式：()()180,0202000800070,201x x G x x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪-⎩.（1）写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式（利润=销售收入-成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润．【答案】（1）()()25090,0208000201950,201x x x W x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨-+->⎪-⎩（2）20，1350【解析】【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式；（2）分别求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论.【小问1详解】因为()()180,0202000800070,201x x G x x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪-⎩，所以()()()25090,02050908000201950,201x x x W x G x x x x x x ⎧-+-<≤⎪=--=⎨-+->⎪-⎩；【小问2详解】当020x <≤时，()()225090451975W x x x x =-+-=--+，由函数性质可知当45x ≤时单调递增，所以当20x =时，()max 1350W x =，当20x >时，()()()8000400201950201193011W x x x x x ⎡⎤=-+-=--++⎢⎥--⎣⎦，由不等式性质可知()()4002011930202193011301W x x x ⎡⎤=--++≤-⨯⨯=⎢⎥-⎣⎦，当且仅当40011x x -=-，即21x =时，等号成立，所以()max 1130W x =，综上当20x =时，()max 1350W x =.19.已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上有最大值4和最小值1．设()()g x f x x =．（1）求,a b 的值;（2）若不等式()220x x f k -⋅≥在[]1,1x ∈-上有解,求实数k 的取值范围;（3）若()2213021x x f k k -+⋅-=-有三个不同的实数解,求实数k 的取值范围．【答案】（1）1,0a b ==（2）(],1-∞（3）()0,∞+【解析】【分析】(1)根据()g x 的函数性质,即可判断()g x 在[]2,3上单调性,即有()()21,34g g ==,解出,a b 即可;(2)根据(1)中结论,代入题中,先对式子全分离,再用换元求出其最值即可得出结果;(3)将(1)中结论,代入题中式子,令()21xh x t =-=,根据图像变换画出函数图象,根据()()2213221210x x k k --+⋅-++=有三个不同的根及()h x 图象性质可知,只需()()232210t k t k -+++=有两个不同的实数解1t 、2t ,且有101t <<,21t >,或101t <<,21t =成立即可,根据二次函数根的分布问题,分别列出不等式解出即可.【小问1详解】解:由题知()()211g x a x b a =-++-,因为0a >,所以()g x 为开口向上的抛物线,且有对称轴为1x =,所以()g x 在区间[]2,3上是单调增函数,则()()2134g g ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即11414a b a a b a ++-=⎧⎨++-=⎩,解得1,0a b ==;【小问2详解】由(1)得()221g x x x =-+,则()12f x x x =+-,因为()220x x f k -⋅≥在[]1,1x ∈-上有解,即[]1,1x ∃∈-,使得12222x x x k +-≥⋅成立,因为20x >,所以有2111222x x k ⎛⎫+-⋅≥ ⎪⎝⎭成立,令12x t =,因为[]1,1x ∈-,所以1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,即1,22t ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦,使得221k t t ≤-+成立,只需()2max 21k t t ≤-+即可,记()()22211h t t t t =-+=-,因为1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,得()()max 21h t h ==,所以k 的取值范围是(],1-∞;【小问3详解】因为()2213021x x f k k -+⋅-=-有三个不同实数解,即()()2213221210x x k k --+⋅-++=有三个不同的根,令()21x h x t =-=,则()0,t ∈+∞,则()h x 图象是由2x y =图象先向下平移一个单位,再将x 轴下方图像翻折到x 轴上方,画出函数图象如下:根据图像可知,一个()h x 的函数值,最多对应两个x 值,要使()()2213221210x x k k --+⋅-++=有三个不同的根,则需()()232210t k t k -+++=有两个不同的实数解1t 、2t ,且有101t <<,21t >,或101t <<,21t =,记()()()23221m t t k t k =-+++,当101t <<,21t >时,只需()()021010m k m k ⎧=+>⎪⎨=-<⎪⎩,解得0k >,当101t <<,21t =,只需()()021********m k m k k ⎧⎪=+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩,解得不存在,故舍去,综上:实数k 的取值范围是()0,∞+.【点睛】方法点睛:本题考查函数与方程的综合问题,属于中难题,关于方程根的个数问题的思路有:(1)对方程进行整体换元;(2)根据换元的对象,由图像变换,画出其图象;(3)根据方程根的个数,分析函数值的取值范围及二次方程根的个数;(4)利用二次函数根的分布问题进行解决即可.。
2024-2025学年河南省郑州市高一上学期期中数学质量检测试卷(含解析)
考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章～第三章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2024-2025学年河南省郑州市高一上学期期中数学质量检测试卷.1. 已知(){}(){},3,,1A x y x y B x y x y =+==-=∣∣，则A B = （ ）A. 2,1x y ==B. ()2,1 C.(){}2,1 D. {}2,1【答案】C 【解析】【分析】利用交集定义即可求得A B⋂【详解】由31x y x y +=⎧⎨-=⎩，可得21x y =⎧⎨=⎩则A B =(){}(){},3,1x y x y x y x y +=⋂-=∣∣()(){}3=,=2,11x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭∣故选：C2. 已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列说法正确的是（ ）A. 若a b >，c d >，则a c b d +>+ B. 若a b >，c d >，则a c b d ->-C. 若a b >，c d >，则ac bd > D. 若ac bc >，则a b>【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的性质，结合举反例的方法，可得答案.【详解】对于A ，根据同向不等式具有可加性可知A 正确；对于B ，21a b =>=，24c d =->=-，但45a c b d -=<-=，故B 错误；对于C ，21a b =>=，24c d =->=-，但44ac bd =-==-，故C 错误；对于D ，当0c <时，由ac bc >，得a b <，故D 错误．故选：A ．3. 下列函数中，与函数2y x =+是同一函数的是（ ）A. 22y =+B. 2y =+C. 22x y x=+ D.y =【答案】B 【解析】【分析】通过两个函数三要素的对比可得答案.【详解】2y x =+的定义域为R ．对于A ，22y =+的定义域为[)0,+∞，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于B ，22y x =+=+定义域为R ，与2y x =+的定义域相同，对应关系相同，是同一函数；对于C ，22x y x=+的定义域为{}0x x ≠，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于D，2,2,22,2x x y x x x +≥-⎧==+=⎨--<-⎩与2y x =+对应关系不同，不是同一函数．故选：B ．4. 已知p ：0a b >> q ：2211a b<，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据0a b >>与2211a b <的互相推出情况判断出属于何种条件.【详解】当0a b >>时，220a b >>，所以2211a b<，所以充分性满足，当2211a b<时，取2,1a b =-=，此时0a b >>不满足，所以必要性不满足，所以p 是q 的充分不必要条件，的故选：A.5. 已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，则()()03f f +等于（ ）A. 3- B. 1- C. 1D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据(3)f (3)f =--以及(0)0f =可求出结果.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，所以()()()33321f f =--=--+=．而()00f =，∴()()031f f +=．故选：C ．6. 若0x <，则1x x+（ ）A 有最小值―2B. 有最大值―2C. 有最小值2D. 有最大值2【答案】B 【解析】【分析】运用基本不等式求解即可.【详解】因为0x <，则0x ->，所以1()()2x x -+≥=-，当且仅当1x x -=-即：=1x -时取等号.所以12x x+≤-，当且仅当=1x -时取等号.故选：B.7. 已知函数()f x 的图象由如图所示的两条曲线组成，则（ ）A. ()()35ff -= B. ()f x 是单调增函数.C. ()f x 的定义域是(][],02,3∞-⋃D. ()f x 的值域是[]1,5【答案】D 【解析】【分析】根据函数的图象，结合函数求值、函数单调性、定义域与值域，可得答案.【详解】对于选项A ，由图象可得()32f -=，所以()()()321ff f -==，A 错误；对于选项B ，()04f =，()21f =，()()02f f >，故()f x 不是单调增函数，B 错误；对于选项C ，由图象可得()f x 的定义域为[][]3,02,3-⋃，C 错误；对于选项D ，由图象可得()f x 的值域为[]1,5，D 正确．故选：D ．8. 若定义域为R 的奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =，则满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是（ ）A. [][)2,02,-⋃+∞ B. ][3,10,1⎡⎤--⋃⎣⎦C. [)[)2,02,-⋃+∞ D. [)(]2,00,2-U 【答案】D 【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，由20)(x f x x≥可得()0xf x ≥且0x ≠可得020x x <⎧⎨-≤<⎩或002x x >⎧⎨<≤⎩解得20x -≤<或02x <≤，所以满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是[)(]2,00,2-U ，故选：D .二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（ ）A. y =B. 2y x =C. yD. 1y x=【答案】BC 【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性逐项分析判断.【详解】对A ：=y =在定义域内为奇函数，又∵y =在R 上单调递增，5u x =在R 上单调递增，则y =在R 上单调递增，A 错误；对B ：∵()22x x -=，则2y x =在定义域内为偶函数，且在()0,∞+内单调递增，B 正确；对C ：y又∵当()0,x ∈+∞，y 在()0,∞+内单调递增，C 正确；对A ：∵11=--x x ，则1y x =在定义域内为奇函数，且1y x=在()0,∞+内单调递减，D 错误；故选：BC.10. 下列关于幂函数y x α=的说法正确的是（ ）A. 幂函数的图象都过点()0,0，()1,1B. 当1,3,1α=-时，幂函数的图象都经过第一、三象限C. 当1,3,1α=-时，幂函数是增函数D. 若0α<，则幂函数的图象不过点()0,0【答案】BD 【解析】【分析】由幂函数的性质逐个判断即可.【详解】对于A ，当0α<时，幂函数的图象不通过点()0,0，A 错误；对于B ，幂指数1,3,1α=-时，幂函数分别为y x =，3y x =，1y x -=，三者皆为奇函数，图象都经过第一、三象限，故B 正确；对于C ，当1α=-时，幂函数1y x -=在(),0∞-，(0,+∞)上皆单调递减，C 错误；对于D ，若0α<，则函数图象不通过点()0,0，D 正确．故选：BD ．11. 下列结论正确的是（ ）A. 函数21x y x+=的最小值是2B. 若0ab >，则2b a a b+≥C. 若x ∈R ，则22122x x +++的最小值为2D. 若0,0a b >>22a b ++≥【答案】BD 【解析】【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，当0x <时，可得0y <，所以A 错误；对于B 中，因0ab >，则2b a a b +≥=，当且仅当b a a b =时，即a b =时，等号成立，所以B 正确；对于C中，由221222x x ++≥=+，当且仅当22122x x +=+时，此时方程无解，即等号不成立，所以C 错误；对于D 中，因为0,0a b >>22a b ++≥≥，当且仅当a b =时，等号成立，所以D 正确.故选BD ．12. 已知函数()f x 的定义域为A ，若对任意x A ∈，存在正数M ，使得()f x M ≤成立，则称函数为()f x 是定义在A 上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（ ）A. 3()4x f x x+=- B. ()f x =C. 25()22f x x x =-+ D. ()f x 【答案】BCD 【解析】【分析】“有界函数”值域需要有界，化简各函数，并求出函数的值域，然后进行判断.【详解】对于A ，3(4)77()1444x x f x x x x+--+===-+---，由于704x ≠-，所以()1f x ≠-，所以()[)0,f x ∈+∞，故不存在正数M ，使得()f x M ≤成立.对于B ，令21u x =-，则[]0,1u ∈，()f x =，所以()[]0,1f x ∈，故存在正数1，使得()1f x ≤成立.对于C ，令2222(1)1u x x x =-+=-+，则()5f x u=，易得1u ≥.所以()5051f x <≤=，即()(]0,5∈f x ，故存在正数5，使得()5f x ≤成立.对于D ，令t =[]0,2t ∈，24x t =-，则[]()22117()40,224f x t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭，易得()1724f x ≤≤，所以()172,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故存在正数174，使得()174f x ≤成立.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知命题p ：x ∀∈Q ，x N ∈，则p ⌝为______．【答案】x ∃∈Q ，x ∉N 【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】因为p ：x ∀∈Q ，x ∈N ，所以p ⌝为x ∃∈Q ，x ∉N ．故答案为：x ∃∈Q ，x ∉N .14. 函数()1f x x=+的定义域为_____________.【答案】()(],00,1-∞⋃【解析】【分析】由题意列不等式组即可求得.【详解】要使函数()1f x x=有意义，只需10,0,x x -≥⎧⎨≠⎩解得：1x ≤且0x ≠，从而()f x 的定义域为()(],00,1-∞⋃.故答案为：()(],00,1-∞⋃15. 已知函数()f x 满足下列3个条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②函数()f x 在()0,∞+上单调递增；③函数()f x 无最值．请写出一个满足题意的函数()f x 的解析式：______．【答案】()21f x x=-（答案不唯一）【解析】【分析】结合函数的对称性、单调性及常见函数即可求解.【详解】由()f x 的图象关于y 轴对称知()f x 为偶函数，()f x 在(0,+∞)上单调递增，()f x 无最值，根据幂函数性质可知满足题意的一个函数为()21f x x=-.故答案为：()21f x x =-（答案不唯一）16. 已知函数()21x f x x=+，则不等式()211f x -<的解集是____________.【答案】()0,1【解析】【分析】由题可得()f x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，后利用()()f x f x =可得答案.【详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数.的又当0x >时，()21x f x x =+2222211x x x+-==-++单调递增.因为()f x 是偶函数，所以()f x 在(),1-∞单调递减，又因为()11f =，所以()211f x -<()()211f x f ⇔-<211121101x x x ⇔-<⇒-<-<⇒<<.故答案为：()0,1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设全集U =R ，集合{}2680A x x x =-+=，31B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭．（1）求()U A B ⋃ð；（2）设集合(){}233,C x x a a x a =+=+∈Z ，若A C 恰有2个子集，求a 的值．【答案】（1）(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x = （2）2或4．【解析】【分析】（1）解方程和不等式求出集合,A B ，再由补集、并集运算即可求解；（2）解方程求出集合C ,再通过a 的讨论即可求解.【小问1详解】2680x x -+=，解得2x =或4，则{}2,4A =；由31x<，解得0x <或3x >，则{0B x x =<或}3x >；所以{}03U B x x =≤≤ð，(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x =．【小问2详解】因为A C 恰有2个子集，所以A C 仅有一个元素．()()()23330x a a x x x a +=+⇒--=，当3a =时，{}3C =，A C ⋂=∅，不满足题意；当2a =时，{}2,3C =，{}2A C ⋂=，满足题意；当4a =时，{}4,3C =，{}4A C ⋂=，满足题意．综上，a 的值为2或4．18. 已知函数()1f x x x=+．（1）求证：()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；（2）当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 值域．【答案】（1）证明见解析 （2）52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义，结合作差法，可得答案；（2）根据（1）的单调性，求得给定区间上的最值，可得答案.【小问1详解】证明：()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，有()()()121221212121212121121211111x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+-+=-+-=-+=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，得210x x ->，1210x x -<，120x x >，所以()12211210x x x x x x --⋅<，即()()21f x f x <．所以()f x 在()0,1上单调递减．同理，当()12,1,x x ∈+∞，且12x x <，有()()()1221211210x x f x f x x x x x --=-⋅>．故()f x 在()1,+∞上单调递增．【小问2详解】由（1）得()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；在[]1,2上单调递增．()12f =，()15222f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()52,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故函数()f x 的值域为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．的19. 设函数()223y ax b x =+-+.（1）若关于x 的不等式0y >的解集为{}13x x -<<，求4y ≥的解集；（2）若1x =时，2,0,0y a b =>>，求14a b+的最小值.【答案】（1）{}1（2）9【解析】【分析】（1）根据不等式的解集得到方程的根，代入求出,a b ，从而解不等式求出解集；（2）先得到1a b +=，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【小问1详解】由题知()2230ax b x +-+=的两个根分别是1-，3，则23093630a b a b +-+=⎧⎨+-+=⎩，解得1,4.a b =-⎧⎨=⎩故()2223234y ax b x x x =+-+=-++≥，2210x x -+≤，解得1x =.所求解集为{}1.【小问2详解】1x =时，2y =，即12++=a b ，所以有1a b +=，那么()1414a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭41459b a a b=+++≥+=，当且仅当41b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即1,323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，取等号.故14a b+的最小值为9.20. 已知集合(){}40A x x x =-≥，{}121B x a x a =+<<-．（1）若x A ∀∈，均有x B ∉，求实数a 的取值范围；（2）若2a >，设p ：x B ∃∈，x A ∉，求证：p 成立的充要条件为23a <<．【答案】（1）5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据二次不等式，解得集合的元素，利用分类讨论思想，可得答案；（2）根据充要条件的定义，利用集合之间的包含关系，可得答案.【小问1详解】(){}(][)40,04,A x x x ∞∞=-≥=-⋃+．因为x A ∀∈，均有x B ∉，所以A B =∅ ．当2a ≤时，B =∅，满足题意；当2a >时，10214a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得512a -≤≤，所以522a <≤．综上，52a ≤，即a 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【小问2详解】证明：若p ：x B ∃∈，x A ∉为真命题，则p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题．先求p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为真命题时a 的范围，因为2a >，所以B ≠∅，由p ⌝：x B ∀∈，x A ∈，得B A ⊆．则210a -≤或14a +≥，解得12a ≤或3a ≥，所以3a ≥．因为p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题，所以23a <<.综上，若2a >，则p 成立的充要条件为23a <<．21. 某市财政下拨专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数1y （单位：百万元）：12710x y x =+，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数2y （单位：百万元）：20.3y x =.设分配给植绿护绿项目的资金为x （单位：百万元），两个生态项目五年内带来的生态收益总和为y （单位：百万元）.（1）将y 表示成关于x 的函数；（2）为使生态收益总和y 最大，对两个生态项目的投资分别为多少？【答案】（1）27330(0100)1010x x y x x =-+≤≤+ （2）分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元【解析】【分析】（1）由题意列式化简即可；（2）将原式变形构造成对勾函数，利用对勾函数的性质求最值即可.【小问1详解】若分配给植绿护绿项目的资金为x 百万元，则分配给处理污染项目的资金为()100x -百万元，∴272730.3(100)30(0100)101010x x x y x x x x =+-=-+≤≤++.【小问2详解】由（1）得27(10)2703(1010)2703(10)306010101010x x x y x x +-+-+⎡⎤=-+=-+⎢⎥++⎣⎦6042≤-=（当且仅当2703(10)1010x x +=+，即20x =时取等号），∴分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元，生态收益总和y 最大.22. 设函数()()2*1488,,N f x mx m mn x m m n =+-++∈ .（1）若()f x 为偶函数，求n 的值；（2）若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，求m 的最大值.【答案】（1）2. （2）2.【解析】【分析】（1）根据函数为偶函数可得到14880m mn -+=，变形为714n m=+，结合*,1,N m n m ∈≥，即可确定答案.（2）根据对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，可得22(1488)40m mn m ∆=-+-≥恒成立，结合二次不等式的解法，讨论n 取值，即可确定答案.【小问1详解】根据题意，函数()()2*1488,R,,N f x mx m mn x m x m n =+-++∈∈为偶函数，即满足()()f x f x -=，即()()22()1488()1488m x m mn x m mx m mn x m -+-+-+=+-++，R x ∈，则14880m mn -+=变形可得：714n m =+ ，又由*,1,N m n m ∈≥ ，则 101m<≤ ， 故77111711,44444n m <+≤<≤∴ ，又N n *∈ ，则2n = ；【小问2详解】根据题意，若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，由于*,N 0m m ∈>，则22(1488)416[(32)2][(42)2]0m mn m m n m n ∆=-+-=-+-+≥恒成立 ，当1n = 时，32(2)(1)0m m ∆=++≥ ，对*N m ∀∈都成立， 当2n =时，32(2)0m ∆=-+≥，解得2m ≤ ，又*N m ∈，则12m ≤≤ ，当3n ≥时，21232n n <-- ，则223m n ≤- 或 12m n ≥-,当 223m n ≤- 时，又由1m ≥，则n 只能取2，不符合题意，舍去，当 12m n ≥- 时，又由1m ≥，从3n =开始讨论:令1()2g n n =-,由于1()2g n n =-单调递减，故只需1(3)132m g ≥==-，此时m 的取值范围为[1,2] ；综上所述，m 的最大值为2.。
河南省郑州市2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题
D．“ 0
<
q
<
π 3
”是“ 0
<
sin q
<
3 ”的充分不必要条件 2
三、填空题
13．已知幂函数
y
=
f
(x)
过点
æ çè
1 8
,
1 2
ö ÷ø
，则该幂函数解析式为
.
14．已知一个手表慢了 10 分钟，如果转动分针将其校准，则分针应转动
rad ．
15．已知函数 y
=
f (x) 为奇函数， g(x)
=
A．
B．
试卷第11 页，共33 页
C．
D．
5．已知实数 x > 0, y > 0 满足 x + y = xy ，则 x + 4 y 的最小值为（ ）
A． 8
B． 9
C． 7
D．10
6．已知
a
,
b
Î
æ çè
0,
π 2
ö ÷ø
，若
sin
æçèa
+
π4ö 2 ÷ø
=
5
,
cos
b5
=
13
，则
cos(a
+
b
【详解】当
x
>
0
时，若
x
³
1 x
，则
x2
³1
，解得
x
³
1或
x
£
-1（舍去），
若
x
<
1 x
，则
x2
<1
，解得 0
<
x
<1，
2022-2023学年河南省郑州市高一上学期期末数学试题(含解析)
2022-2023学年河南省郑州市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}|11A x x =-<<，{}02B x x =≤≤，则A B = （）A ．(12]-，B ．(12)-，C ．[01)，D ．[01]，【正确答案】C【分析】由交集的定义计算．【详解】由已知{|01}[0,1)A B x x =≤<= ．故选：C ．2．函数1()lg(2)3f x x x =-+-的定义域是（）A ．(2)+∞，B ．(23)，C ．(3)+∞，D ．(23)(3)+∞ ，，【正确答案】D【分析】由题可得2030x x ->⎧⎨-≠⎩，即得.【详解】∵1()lg(2)3f x x x =-+-，∴2030x x ->⎧⎨-≠⎩，解得2x >，且3x ≠，所以函数的定义域为(2,3)(3,)+∞ .故选：D.3．已知ln 3a =，0.43-=b ，0.53c -=，则（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a>>【正确答案】A【分析】根据对数的单调性，指数函数的单调性，求解即可.【详解】因为ln 3ln e 1a =>=，0.50.4331c b --=<=<，所以a b c >>．故选：A4．用二分法求函数32()22f x x x x =+--的一个正零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：f （1）＝–2，f （1.5）＝0.625，f （1.25）≈–0.984，f （1.375）≈–0.260，关于下一步的说法正确的是A ．已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值B ．已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值C ．没有达到精确度的要求，应该接着计算f （1.4375）D ．没有达到精确度的要求，应该接着计算f （1.3125）【正确答案】C【分析】根据已知能的特殊函数值，可以确定方程32220x x x +--=的根分布区间，然后根据精确要求选出正确答案.【详解】由由二分法知，方程32220x x x +--=的根在区间区间（1.375，1.5），没有达到精确度的要求，应该接着计算f （1.4375）．故选C ．本题考查了二分法的应用，掌握二分法的步骤是解题的关键.5．玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm ）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（）A ．21600cmB ．23200cmC ．23350cmD ．24800cm 【正确答案】D【分析】利用扇形的面积公式，大扇形面积减去小扇形面积即可求解【详解】易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到，设大、小扇形所在圆的半径分别为1r ，2r ，相同的圆心角为θ，则1216080r r θ==，得122r r =，又因为1240r r -=，所以180r =，240r =，该扇形玉雕壁画面积1211111608016080804048002222S r r =⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯=（2cm ）．故选：D ．6．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，点(1,3)P -在角α的终边上，则sin cos 2sin 3cos αααα-=-（）A ．34-B ．34C ．49-D ．49【正确答案】D【分析】先根据三角函数的定义求出tan α，然后采用弦化切，代入tan α计算即可【详解】因为点(1,3)P -在角α的终边上，所以tan 3α=-sin cos tan 13142sin 3cos 2tan 32(3)39αααααα----===--⨯--故选：D7．下列关于函数tan 23y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭的说法正确的是（）A ．最小正周期为πB ．图像关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C ．在区间,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增D ．图像关于直线12x π=-成轴对称【正确答案】B【分析】根据函数tan(2)tan(233y x x ππ=-+=--，结合正切函数的图象与性质，对选项中的命题判断正误即可．【详解】解：函数tan(2)tan(2)33y x x ππ=-+=--，当512x π=时，521232πππ⨯-=，所以图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，选项B 正确；函数的最小正周期为2T π=，所以A 错误；当,312x ππ⎛-∈⎫-⎪⎝⎭时，2,32x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，所以函数在,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，所以C 错误；正切函数不是轴对称函数，所以D 错误．故选：B ．8．下列有关命题的说法错误的是（）A ．()2lg(23)f x x x =-++的增区间为(1,1)-B ．“1x =”是“2x -4x +3=0”的充分不必要条件C ．若集合{}2440A x kx x =++=中只有两个子集，则1k =D ．对于命题p.存在0x R ∈，使得20010x x ++<，则⌝p ：任意x R ∈，均有210x x ++≥【正确答案】C【分析】A.利用复合函数的单调性判断；B.利用充分条件和必要条件的定义判断；C.由方程2440kx x ++=有一根判断；D.由命题p 的否定为全称量词命题判断.【详解】A.令223t x x =-++，由2230x x -++>，解得13x -<<，由二次函数的性质知：t 在(1,1)-上递增，在(1,3)上递减，又lg y t =在()0,∞+上递增，由复合函数的单调性知：()2lg(23)f x x x =-++在(1,1)-上递增，故正确；B.当1x =时，2x -4x +3=0成立，故充分，当2x -4x +3=0成立时，解得1x =或3x =，故不必要，故正确；C.若集合{}2440A x kx x =++=中只有两个子集，则集合只有一个元素，即方程2440kx x ++=有一根，当0k =时，=1x -，当0k ≠时，16160k ∆=-=，解得1k =，所以0k =或1k =，故错误；D.因为命题p .存在0x R ∈，使得20010x x ++<是存在量词命题，则其否定为全称量词命题，即⌝p 任意x R ∈，均有210x x ++≥，故正确；故选：C二、多选题9．下列化简结果正确的是（）A ．1cos 22sin 52sin 22cos522︒︒-︒︒=B ．1sin15sin 30sin 754︒︒︒=C ．cos15sin152︒-︒=D ．tan 24tan 361tan 24tan 36︒+︒=-︒︒【正确答案】ACD【分析】由正弦、余弦、正切函数的和差角公式逐一判断可得选项.【详解】解：对于A ，()1cos 22sin 52sin 22cos 52sin 5222sin 302︒︒-︒︒=-==，故A 正确；对于B ，11111sin15sin 30sin 75cos15sin15sin 30sin 30sin 3022228︒︒︒=︒︒︒=⋅=⨯⨯= ，故B 不正确；对于C ，()cos15sin15451530︒-︒=-== ，故C 正确；对于D ，()tan 24tan 36tan 24+36tan 601tan 24tan 36︒+︒=︒︒=︒=-︒︒D 正确，故选：ACD.10．下列四个命题正确的有（）A ．已知π3cos 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭值为35B ．若22a x a y ≥，则x y≥C ．若sin tan 0αα⋅>且cos tan 0αα⋅<，则角2α为第二或第四象限角D ．函数1cos 2y x =+是周期函数，最小正周期是2π【正确答案】ACD【分析】利用诱导公式可以判断A ；利用特值法可以判断B ；对C 先判断α的象限，再判断2α的象限；对D ，作出函数的图象，再由图象进行判断．【详解】A.因为π3cos 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以5ππππsin sin cos 3π3co 26s 66αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-⎝⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎝⎝=⎪⎭⎭⎭，故选项A 正确；B ．当0a =，1,2x y ==时，满足22a x a y ≥，但不能得到x y ≥，故选项B 错误；C ．2sin sin tan 0cos αααα⋅=> 且cos tan sin 0ααα⋅=<，∴cos 0,sin 0αα><，α\为第四象限角，所以32ππ2π2π,Z 2k k k α+<<+∈,所以3ππππ,Z 42k k k α+<<+∈，∴2α为第二或第四象限角，故选项C 正确；D ．作出1|cos |2y x =+的图象如图所示，由图象可得此函数为周期函数且最小正周期为2π，故选项D 正确；故选：ACD11．下列说法正确的有（）A ．若12x <，则1221x x +-的最大值是1-B ．若x ，y ，z 都是正数，且2x y z ++=，则411x y z+++的最小值是3C ．若0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值是2D ．()f x 是定义在实数集上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，()10f =，则不等式()0f x x>的解集为()(),11,-∞-⋃+∞【正确答案】AB【分析】对于A ，凑分母，结合基本不等式，可得答案；对于B ，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；对于C ，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；对于D ，根据题意可得函数在(),0∞-上单调递减，从而可得不等式()0f x x>等价于()00x f x >⎧⎨>⎩或()00x f x <⎧⎨<⎩，从而可得出答案【详解】对于A ，因为12x <，所以210x -<，所以120x ->，所以()1122112121x x x x +=-++=---()()11121212111212x x x x⎡⎤-++-⋅-⋅+=-⎢⎥--⎣⎦≤，当且仅当11212x x -=-，即0x =时等号成立，故1221x x +-的最大值为1-，故A 正确；对于B ，因为x ，y ，z 都是正数，且2x y z ++=，所以13x y z +++=，10x +>，0y z +>，所以()411411131x y z x y z x y z ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭，所以()4411115531313y z x x y z x y z ⎡+⎡⎤++=++≥+=⎢⎢⎥++++⎢⎣⎦⎣，当且仅当()411y z x x y z ++=++，即()12x y z +=+，即11x y z =⎧⎨+=⎩时等号成立，所以411x y z+++的最小值为3，故B 正确；对于C ，因为0x >，0y >，所以2222x y x y +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，即()2224x y xy +≤（当且仅当2x y =时等号成立），因为228x y xy ++=，所以()282xy x y =-+，所以()()22824x y x y +-+≤，所以()()2242320x y x y +++-≥，解得28x y +≤-（舍去）或24x y +≥，当且仅当22x y ==时等号成立，所以2x y +的最小值为4，故C 错误；对于D ，因为函数()f x 是偶函数，且在()0,∞+上单调递增，所以函数在(),0∞-上单调递减，又因(1)0f =，所以(1)0f -=，不等式()0f x x >等价于()00x f x >⎧⎨>⎩或()00x f x <⎧⎨<⎩，即()()01x f x f >⎧⎨>⎩或()()01x f x f <⎧⎨<-⎩，所以10x -<<或1x >，即不等式()0xf x >的解集为()(1,01,)-⋃+∞，故D 错误故选：AB12．定义运算：a b ad bc cd=-，将函数()cos sin x f x xωω=的图像向左平移23π个单位，所得图像关于原点对称，若01ω<<，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为4πB ．对任意的x R ∈，都有()23f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()f x 在()0,π上是增函数D ．由2sin y x ω=的图像向右平移3π个单位长度可以得到()f x 图像【正确答案】AC【分析】依题意得()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据奇函数可得12ω=，可判断A ；判断3x π=是否为对称轴可判断B ；当()0,x π∈时，有13236x πππ-<-<，可判断C ；根据平移性质可判断D ．【详解】依题意得()cos sin 2sin 3sin xf x x x x x ωπωωωω⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，()f x 图像向左平移23π个单位得22sin 33y x ππω⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为奇函数所以2,33k k Z πωππ-=∈，又01ω<<，得12ω=故()12sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其最小正周期为4π，A 正确；由于12sin 2sin 132336f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3x π=不是对称轴，故B 错；当()0,x π∈时，有13236x πππ-<-<，由于sin y x =在,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在()0,π上是增函数，故C 正确；由2sin y x ω=的图像向右平移3π个单位长度可以得到()12sin 23y x f x π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，故D 错；故选：AC三、填空题13．幂函数()()222mm m f x x =+-在区间()0,∞+上单调递减，则实数m 的值为______．【正确答案】3-【分析】利用幂函数的定义，幂函数的单调性列式计算作答.【详解】因函数()()222mm m f x x =+-是幂函数，则2221m m +-=，解得m =1或m =-3，又函数()f x 在()0,∞+上单调递减，则0m <，所以实数m 的值为-3.故-314．已知sin α＋cos α＝713，α∈(－π，0)，则tan α＝________.【正确答案】512-.由题意利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得sin α和cos α的值，可得tan α的值.【详解】因为sin α＋cos α＝713，①所以sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝49169，即2sin αcos α＝120169-.因为α∈(－π，0)，所以sin α＜0，cos α＞0，所以sin α－cos α＝1713==-，与sin α＋cos α＝713联立解得sin α＝－513，cos α＝1213，所以tan α＝sin 5cos 12αα=-.故答案为.512-该题考查的是有关三角函数恒等变换化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，在解题的过程中，注意sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα++⋅这三个式子是知一求二，属于简单题目.15．已知函数π()cos ln(4f x x x =+⋅+在区间[]2022,2022-上的最大值是M ，最小值是m ，则()f M m +=____________．【正确答案】π4【分析】令(()cos ln g x x x =⋅，则()()π4f xg x =+，()f x 和()g x 在[]2022,2022-上单调性相同，()g x 时奇函数，可得()g x 在max min ()()0g x g x +=，据此可求M ＋m ，从而求出()f M m +.【详解】令(()cos ln g x x x =⋅，则()()π4f xg x =+，∴()f x 和()g x 在[]2022,2022-上单调性相同，∴设()g x 在[]2022,2022-上有最大值max ()g x ，有最小值min ()g x .∵()(cos ln g x x x -⋅-＝，∴()())cos ln 0g x g x x x x ⎡⎤+-=⋅=⎢⎥⎣⎦，∴()g x 在[]2022,2022-上为奇函数，∴max min ()()0g x g x +=，∴max min ππ(),()44M g x m g x =+=+，∴π2M m +=，()ππ24f M m f ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故π416．如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数()()sin 0πy A x B ωϕϕ=++<<，则下列说法正确的是________．①该函数的周期是16．②该函数图象的一条对称轴是直线14x =③该函数的解析式是()π3π10sin 2002484y x x ⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭④这一天的函数关系式也适用于第二天【正确答案】①②【分析】根据图象确定函数的最小正周期及14x =时，函数取得最大值，判断①②正确；由于2ππ8T ω==，故可取π8ω=-，从而该函数的解析式不一定是()π3π10sin 2002484y x x ⎛⎫=++≤≤ ⎝⎭，③错误；这一天的函数关系式只适用于当天，④错误.【详解】由图象可得：函数最小正周期()146216T =-⨯=，①正确；故2ππ8T ω==，不妨令A >0，且3010A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得：1020A B =⎧⎨=⎩，由图象可得：当14x =时，函数取得最大值，故该函数图象的一条对称轴是直线14x =，②正确；不妨取π8ω=-，则π10sin 208y x ϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，将()6,10代入得：3π10sin 20104ϕ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，因为0πϕ<<，解得：π4ϕ=，故③错误；这一天的函数关系式只适用于当天，不一定适合第二天，④错误.故①②四、解答题17．化简求值：(1))120431818-⎛⎫- ⎪⎝⎭．(2)2log 32122log 1lg 25lg ln 4⎛⎫++-⋅ ⎪⎝⎭【正确答案】(1)5；(2)4.【分析】（1）利用指数幂的运算法则化简计算即得；（2）利用对数的运算性质化简计算即得.【详解】（1）)()()1211204333443181=22218---⎛⎫-⨯+- ⎪⎝⎭2415=+-=；（2）2log 321122log 1lg 25lg ln 30lg10031442⎛⎫++-⋅++⋅=+= ⎪⎝⎭.18．已知全集U =R ，集合{}13A x x =<≤，集合{}21B x m x m =<<-．条件①U A B =∅ ð；②x A ∈是x B ∈的充分条件；③12,x A x B ∀∈∃∈，使得12x x =．(1)若1m =-，求A B ⋂；(2)若集合A ，B 满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m 的取值范围．【正确答案】(1){}12x x <＜(2)∞（-,-2）或{}|2m m -＜【分析】（1）可将1m =-带入集合B 中，得到集合B 的解集，即可求解出答案；（2）可根据题意中三个不同的条件，列出集合A 与集合B 之间的关系，即可完成求解.【详解】（1）当1m =-时，集合{}22B x x =-<<，集合{}13A x x =<≤，所以{}12A B x x ⋂=<＜；（2）i.当选择条件①时，集合{}21B x m x m =<<-，当B =∅时，U A B A =≠∅ ð，舍；当集合B ≠∅时，即集合21m m -＜，13m ＜时，{}|21U B x x m x m =≤≥-或ð，此时要满足U A B =∅ ð，则2131m m ≤⎧⎨-⎩＜，解得m ＜-2，结合13m ＜，所以实数m 的取值范围为∞（-,-2）或{}|2m m -＜；ii.当选择条件②时，要满足x A ∈是x B ∈的充分条件，则需满足在集合B ≠∅时，集合A 是集合B 的子集，即2131m m ≤⎧⎨-⎩＜，解得m ＜-2，所以实数m 的取值范围为∞（-,-2）或{}|2m m -＜；iii.当选择条件③时，要使得12,x A x B ∀∈∃∈，使得12x x =，那么需满足在集合B ≠∅时，集合A 是集合B 的子集，即2131m m ≤⎧⎨-⎩＜，解得m ＜-2，所以实数m 的取值范围为∞（-,-2）或{}|2m m -＜；故，实数m 的取值范围为∞（-,-2）或{}|2m m -＜.19．已知角α在第二象限，且4tan 3α=-．(1)求23112tan()sin 2sin(3)sin 2ππααπαπα⎡⎤⎢⎥⎛⎫--+⎢⎥ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值；(2)若cos()αβ-=，且αβ-为第一象限角，求sin β的值．【正确答案】(1)145-【分析】（1）利用同角三角函数关系可求解得43sin ,cos 55αα==-，利用诱导公式化简原式可得原式2(sin cos )αα=--，代入即得解；（2）利用同角三角函数关系可得sin()αβ-=sin[(]sin )ααββ=--，利用两角差的正弦公式，即得解【详解】（1）因为4tan 3α=-，且α在第二象限，故22sin 4cos 3sin cos 1sin 0cos 0αααααα⎧=-⎪⎪⎪+=⎨⎪>⎪<⎪⎩，所以43sin ,cos 55αα==-，原式2112(tan )cos sin cos αααα⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭sin cos 2sin cos 2(sin cos )sin cos αααααααα-=-⋅=--145=-（2）由题意有sin()0αβ->故sin()10αβ-===，sin sin[()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ=--=---4351051050⎛⎫=⨯--⨯= ⎪⎝⎭．20．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O ，筒车上的盛水桶抽象为圆O 上的点P ，已知圆O 的半径为4m ，圆心O 距离水面2m ，且当圆O 上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间．(1)根据如图所示的直角坐标系，将点P 到水面的距离h （单位：m ，在水面下，h 为负数）表示为时间t （单位：s ）的函数，并求13t =时，点P 到水面的距离；(2)在点P 从0P 开始转动的一圈内，点P 到水面的距离不低于4m 的时间有多长？【正确答案】(1)()ππ4sin 266h t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2m (2)4s【分析】（1）根据题意先求出筒车转动的角速度，从而求出h 关于时间t 的函数，和13t =时的函数值；（2）先确定定义域[]0,12t ∈，再求解不等式，得到26t ≤≤，从而求出答案.【详解】（1）筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，故筒车每秒转动的角速度为52ππ606⨯=()rad /s ，故()ππ4sin 266h t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当13t =时，()13ππ134sin 2266h ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，故点P 到水面的距离为2m（2）点P 从0P 开始转动的一圈，所用时间012t =，令()ππ4sin 2466h t ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，其中[]0,12t ∈，解得：26t ≤≤，则624-=，故点P 到水面的距离不低于4m 的时间为4s.21．已知()π2sin cos 23cos 44f x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求函数()f x 的单调递减区间：（2）若函数()()42sin 2g x f x k x =--在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点，求实数k 的取值范围.【正确答案】（1）7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）11|44k k ⎧-<≤⎨⎩或12k ⎫=-⎬⎭.（1）化简()f x ，利用正弦函数的递减区间列式可解得结果；（2）转化为函数()cos 26h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象与2y k =的图象有唯一交点，根据图象可得结果.【详解】（1）()2sin cos cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos244x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos44x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭sin 222x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 222sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令3222232k x k πππππ+≤+≤+，Z k ∈，解得：71212k x k ππππ+≤≤+，Z k ∈，∴()f x 的单调递减区间为7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由（1）知，函数2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()g x =2sin 242sin 23x k x π⎛⎫+-- ⎪⎝⎭在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点等价于12sin 2sin 2sin 2cos 2cos 2326k x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一实根，设()cos 26h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，依题意可知2y k =与()y h x =的图象有唯一交点，函数()h x 在7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象如图：由图可知实数k 应满足11222k -<≤或21k =-，∴1144k -<≤或12k =-，故实数k 的取值范围11|44k k ⎧-<≤⎨⎩或12k ⎫=-⎬⎭.关键点点睛：转化为函数()cos 26h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象与2y k =的图象有唯一交点，根据图象求解是解题关键.22．已知函数()()2log 41x f x kx =++为偶函数.(1)求实数k 的值;(2)解关于m 的不等式()()211f m f m +>-;(3)设()()()2log 20x g x a a a =⋅+≠，若函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)1-(2)()(),20,-∞-⋃+∞(3)()2,1【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；（2）判断0x ≥时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；（3）由函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，可得1222x x xa a ⋅+=+有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围.【详解】（1）函数的定义或为R ，函数()()2log 41x f x kx =++为偶函数.()()f x f x ∴-=，即()()22og 41lo l g 41x x kx kx -+-=++，()()22224142log 41log 41log log 4241x x x x x x kx x --+∴=+-+===-+，1k ∴=-；（2）()()222411log 41log log 222x xx x x f x x ⎛⎫+⎛⎫=+-==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，当0x ≥时，21x ≥，122x xy =+单调递增，()f x \在[)0,∞+上单调递增，又函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，在(],0-∞上单调递减；()()211f m f m +>- ，211m m ∴+>-，解得2m <-或0m >，所以所求不等式的解集为()(),20,-∞-⋃+∞；（3） 函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，()()()()22241log 2log 41log 2x x xx g x a a f x x ⎛⎫+∴=⋅+==+-= ⎪⎝⎭，即4112222x xx x x a a +⋅+==+，20x a a ⋅+>，设20x t =>，则1at a t t +=+，即()2110a t at -+-=，又2x t =在R 上单调递增，所以方程()2110a t at -+-=有两个不等的正根；()()210Δ411001101a a a a a a -≠⎧⎪=--⨯->⎪⎪∴⎨->-⎪⎪->⎪-⎩，解得21a <<，即a的取值范围为()2,1-.。
河南省信阳市普通高中2023-2024学年高一上学期期末教学质量检测数学试题
又 f ( x) 为单调增函数，所以 f ( x) 有唯一零点，且在区间(1, 2) 内.
故选：C. 4．A 【分析】由函数的奇偶性及特殊点即可判定.
【详解】由于
f
(x) =
ex
x + e-x
， xÎ
R，
f (-x) =
-x e-x + ex
= - f (x) ，故
f (x) 为奇函数，图象
答案第11 页，共22 页
C．已知命题 p : $x > 0, x2 - x + 1 < 0 ，则 p 的否定为： "x > 0, x2 - x +1 ³ 0
D． x > 0 是 x > 3 的充分不必要条件 10．下列化简正确的是（ ）
A． sin(2024π)-a s=in- a
B． tan(a - 2025π) = tan a
产量
x
间的函数关系是
S
=
ìï3x í
+
18 x-8
+
5, 0
<
x
<
6
.
ïî14, x ³ 6
(1)把商品的利润表示为生产量 x 的函数；
(2)当该商品生产量 x （千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？
21．设 sinq ， cosq 是关于 x 的方程 x2 - ax + a = 0 （其中 a Î R ）的两个实数根
且 at2 + t > 0 恒成立，因此 a ³ 0 ；
当
a<0
时，由
v
=
at 2
+
t
在
河南省洛阳市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
河南省洛阳市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．设命题:p R ²20x x x ∃∈+≥，，则p 的否定为（）A ．²20x x x ∀∈+≥R ，B ．²20x x x ∀∈+<R ，C ．²20x x x ∃∈+<R ，D ．R ²20x x x ∃∈+≤，2．已知集合{}21,9,A a a a =++，若6A ∈，则a =（）A ．2-或3B ．3-或2C ．2D ．3-3．函数()12f x x =+）A ．[)()3,22,--⋃-+∞B ．()3,2--C ．[)3,-+∞D ．()2,-+∞4．“ 0a b +>”是“ 0ab >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知全集{}{}{N|7}12341346U x x M N =∈<==,,,,，,,,则集合()U M N ð的真子集个数为（）A ．16B ．15C ．8D ．76．函数1xy x =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基人之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，如：[][]1.21, 1.22=-=-.则不等式[][]22730x x -+≤的解集为（）A ．132x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭B ．{}14x x ≤≤C ．142x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭D ．{}14x x ≤<8．设()()221121 1.x a x x x f x a x --⎧<⎪-=⎨⎪-≥⎩，，，若函数=op 是单调递增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．45,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．43,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,52⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题9．下列各组函数中，不是相同函数的是（）A ．() f x x x =与()2200x x g x x x ⎧≥=⎨-<⎩，，，B ．()f x x =与()g x =C ．()f x =与()g x =D ．()f x =2x +与()242x g x x -=-10．下列大小关系正确的是（）A ．34232233⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．13253152⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．12552253⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11223524--⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．已知 0 0x y >>,且24x y +=则（）A ．xy 的最小值是2B ．2214x y +的最小值是2C211x y++的最小值是D ．24x y x y++的最小值是6三、填空题12．已知点(3,9)在幂函数()f x x α=的图象上，则(2)f -=.13．已知函数 ()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()31xf x =-，则((1))f f -=.14．已知函数()()()()()11211211010121010x x x x f x x x +----=+-+--，则满足()0f x >的实数x 的取值范围为.四、解答题15．已知集合{}21|2150|326.4A x x x B x m x m ⎧⎫=--≤=-≤≤-⎨⎬⎩⎭，(1)若8m =，求.A B (2)若A B B = ，求实数m 的取值范围.16．已知函数()133.2x x f x x +=--≤<（）(1)用分段函数的形式表示该函数；(2)画出该函数的图象；(3)写出该函数的单调区间（指明增减）、值域.17．（1）计算:100.52372023162723;92024258-⎛⎫⎫⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭（2）已知1003x <<，求210 3y x x =-（）的最大值.18．已知函数()248.f x x kx =--(1)若函数()f x 是偶函数，求实数k 的值；(2)若不等式()0f x ≤的解集为{|12}x x -≤≤，求实数k 的值；(3)求函数()f x 在[]1,2上的最小值.19．党的十八大以来，习近平总书记对加强水污染防治和整治城市黑臭水体、加快城镇污水处理等提出了明确要求，污水的治理提升了居民的生活环境质量，促进了水资源的循环利用.已知某污水处理厂的月处理成本y （万元）与月处理量x （万吨）之间的函数关系可近似地表示为2110360y x bx =++，其中60180x ≤≤.当月处理量为72万吨时，月处理成本为32.4万元.该厂处理1万吨污水收取费用为1万元.(1)该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低?(2)请写出该厂每月获利W （万元）与月处理量x （万吨）之间的函数关系式，并求出每月获利的最大值.20．已知函数()()2.21xf x a a R =-∈+(1)判断函数()f x 的单调性并证明；(2)求实数a ，使函数()f x 为奇函数;(3)在（2）条件下，设()1232221x x ϕ-=-+，若不等式()()212320242025202520252025bf x f x ϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭对任意x ∈R 恒成立，求实数b 的取值范围.。
河南省郑州市2022-2023学年高一上学期期末数学试题(解析版)
高一数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|ln 0}B x x =>，则A B = （）A.{1}B.{2} C.{2,2}- D.{1,0,1}-【答案】B 【解析】【分析】求出集合B 中元素范围，再求A B ⋂即可.【详解】{|ln 0}{|ln ln1}{|1}B x x x x x x =>=>=>，又{2,1,0,1,2}A =--，{2}A B ∴⋂=.故选：B.2.若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是（）A.1a <1bB.a 2>b 2C.21a c +>21bc + D.a |c |>b |c |【答案】C 【解析】【分析】举特例即可判断选项A ，B ，D ，利用不等式的性质判断C 即可作答.【详解】当a =1，b =-2时，满足a >b ，但11a b >，a 2<b 2，排除A ，B ；因211c +>0，a >b ，由不等式性质得2211a b c c >++，C 正确；当c =0时，a |c |>b |c |不成立，排除D ，故选：C3.英国浪漫主义诗人Shelley (雪莱)在《西风颂》结尾写道“,?IfWintercomes canSpringbefarbehind ”春秋战国时期，为指导农耕，我国诞生了表示季节变迁的24节气.它将黄道(地球绕太阳按逆时针方向公转的轨道，可近似地看作圆)分为24等份，每等份为一个节气.2019年12月22日为冬至，经过小寒和大寒后，便是立春.则从冬至到次年立春，地球公转的弧度数约为（）A.4π B.3πC.3π-D.4π-【答案】A 【解析】【分析】找到每一等份的度数，进而可得答案．【详解】解：由题可得每一等份为22412ππ=，从冬至到次年立春经历了3等份，即3124ππ⨯=.故答案为：A.【点睛】本题考查角的运算，是基础题.4.若0.70.6a =，0.60.7b =，lg13c =，则下列结论正确的是（）A.b c a >>B.c a b>> C.a b c>> D.c b a>>【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数三种函数的单调性即可判断大小.【详解】函数0.6x y =在()0,∞+上单调递减，函数0.6y x =在()0,∞+上单调递增，0.70.60.60.60.60.60.711a b ∴=<<=<=，又lg13lg101c =>=，c b a ∴>>.故选：D.5.已知函数()y f x =的表达式为()3log f x x =．若0m n <<且()()f m f n =，则2m n +的取值范围为（）A.()1,+∞；B.[)1,+∞；C.()+∞；D.)⎡+∞⎣．【答案】D 【解析】【分析】由对数的运算性质与基本不等式求解即可【详解】因为()()f m f n =，所以33log log m n =，故33log log m n =或33log log m n =-．若33log log m n =，则m n =（舍去）；若33log log m n =-，则1m n=，又0m n <<，所以01m n <<<，因此22m n n n +=+≥（等号当且仅当2n n=，即n =，即2m n +的取值范围是)⎡+∞⎣．故选：D ．6.函数()n 1l 1xx f x -=-的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】分析出函数()f x 的图象关于直线1x =对称，利用特殊值法结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数()n 1l 1x x f x -=-的定义域为{}1x x ≠，()()()ln 21ln 12112x x f x f x x x ----===---，故函数()f x 的图象关于直线1x =对称，排除BC 选项，312ln 022f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，排除A 选项.故选：D.7.将函数sin 22y x x =的图象沿x 轴向左平移ϕ个单位后，得到一个偶函数的图象，则||ϕ的最小值为（）A.π12 B.π6C.π4D.5π12【答案】A 【解析】【分析】先利用辅助角公式化简，然后利用平移的规则得到π2sin 223y x ϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，进而令ππ2π,Z 32k k ϕ+=+∈可得ϕ的值，最后根据绝对值最小得答案.【详解】由已知πsin 222sin 23y x x x ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，其沿x 轴向左平移ϕ个单位后得,()ππ2sin 22sin 2233y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎣⎦⎝⎭，因为π2sin 223y x ϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭为偶函数，ππ2π,Z 32k k ϕ∴+=+∈，即ππ,Z 122k k ϕ=+∈，当0k =时，||ϕ最值，且为π12.故选：A.8.设函数1,[1,)()2(2),(,1)x x f x f x x ⎧-∈-+∞=⎨+∈-∞-⎩，若对任意的[,)x m ∈+∞，都有()4f x ≥-，则m 的最小值是（）A.4-B.6- C.132-D.112-【答案】D 【解析】【分析】作图函数的图象，数形结合即可求解【详解】作出f （x ）的部分图象，如图所示.当(6,5)x ∈--时，f （x ）=8（x +5）.令f （x ）=-4，解得112x =-.数形结合可得，若对任意的[,)x m ∈∞，都有()4f x ≥-，则m 的最小值是112-.故选：D二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）9.下列说法正确的是（）A.“22ac bc >”是“a b >”的充分不必要条件B.“0xy >”是“0x y +>”的必要不充分条件C.命题“x ∃∈R ，210x +≠”的否定是“x ∀∈R ，210x +=”D.2114x y -+⎛⎫=⎪⎝⎭的最大值为14【答案】AC 【解析】【分析】对A 、B ：根据充分、必要条件结合不等式性质分析判断；对C ：根据特称命题的否定分析判断；对D ：根据指数函数的单调性分析判断.【详解】对A ：若“22ac bc >”，则20c >，即210c>，故a b >；若“a b >”，则2c ≥0，故22ac bc ≥，当且仅当0c =时等号成立；综上所述：“22ac bc >”是“a b >”的充分不必要条件，A 正确；对B ：若“0xy >”，不能得出0x y +>，例如1x y ==-，则10,20xy x y =>+=-<；若“0x y +>”，不能得出0xy >，例如2,1x y ==-，则10,20x y xy +=>=-<；综上所述：“0xy >”是“0x y +>”的既不充分也不必要条件，B 错误；对C ：命题“x ∃∈R ，210x +≠”的否定是“x ∀∈R ，210x +=”，C 正确；对D ：∵211x -+≤，且14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域内单调递减，则211414x -+⎫⎪⎭≥⎛⎝，当且仅当211x -+=，即0x =时等号成立，∴2114x y -+⎛⎫=⎪⎝⎭的最小值为14，D 错误.故选：AC.10.已知实数a ，b 满足等式20222023a b =，下列式子可以成立的是（）A.0a b ==B.0a b << C.0a b<< D.0b a<<【答案】ABD 【解析】【分析】根据指数函数图象分析判断.【详解】设202220023a b k =>=，分别作出,20222023x x y y ==的函数图象，如图所示：当1k =，则0a b ==，A 成立；当01k <<，则0a b <<，B 成立，C 不成立；当1k >时，则0b a <<，D 成立.故选：ABD.11.已知()cos 5αβ+=-，4cos 25α=-，其中α，β为锐角，则以下命题正确的是（）A.3sin 25α=B.()cos αβ-=C.cos cos 10αβ= D.1tan tan 3αβ=【答案】AC 【解析】【分析】根据同角的三角函数的基本关系式和两角和与差的余弦公式和积化和差公式即可求解.【详解】因为()54cos ,cos255αβα+=-=-(,αβ为锐角),故3sin25α==,故A 正确;因为()25sin 5αβ+=,所以()()cos cos 2αβααβ⎡⎤-=-+⎣⎦()cos2cos ααβ=++()sin2sin ααβ+453555⎛⎫⎛⎫=-⨯-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故B 错误;由()cos cos cos αβαβ-=sin sin αβ+=()cos cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=-,故cos cos αβ=()()115255cos cos 225510αβαβ⎛⎫⎡⎤++-=-+= ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭,故C 正确;且()1sin sin [cos 2αβαβ=-()1255cos ]255αβ⎡⎤⎛-+=--=⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦,所以tan tan 3αβ=,故D 错误.故选:AC.12.已知20ax bx c ++>的解集是(2,3)-，则下列说法中正确的是（）A.若c 满足题目要求，则有20232022c c >成立B.1234a b -+的最小值是4C.函数()2lg 1y bx ax =++的值域为R ，则实数b 的取值范围是[4,)+∞D.当2c =时，2()36f x ax bx =+，[,]x m n ∈的值域是[3,1]-，则n m -的取值范围是[2,4]【答案】ACD 【解析】【分析】根据三个二次之间的关系分析可得0,,6a b a c a <=-=-，对A ：根据指数函数的单调性分析判断；对B ：根据基本不等式分析运算；对C ：根据对数函数分析判断；对D ：根据二次函数的性质运算判断.【详解】若20ax bx c ++>的解集是(2,3)-，则方程20ax bx c ++=的根为2,3-，且a<0，可得16ba c a⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得060b a c a =->⎧⎨=->⎩，对A ：∵0c >，则02023202320231,20220202220222022cc cc⎛⎫⎛⎫=>=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴20232022c c >，A 正确；对B ：∵()1212112448343434334333a b b b b b -=+=++-≥=+++，当且仅当()11234334b b +=+，即23b =时等号成立，∴1234a b -+的最小值是83，B 错误；对C ：函数()2lg 1y bx ax =++的值域为R ，则函数21y bx ax =++的值域包含()0,∞+，且0b >，可得22Δ440b a b b b >⎧⎨=-=-≥⎩，解得4b ≥，C 正确；对D ：当2c =时，则11,33a b =-=，2()2f x x x =-+，令2()21f x x x =-+=，解得1x =；令2()23f x x x =-+=-，解得=1x -或3x =；若()f x 在[,]x m n ∈上的值域是[3,1]-，则113m n =-⎧⎨≤≤⎩或113m n -≤≤⎧⎨=⎩，可得24n m ≤-≤，故n m -的取值范围是[]2,4，D 正确.故选：ACD.【点睛】易错点睛：注意理解以下两种情况：（1）()()2lg 0y ax bx c a =++≠的值域为R ，则0Δ0a >⎧⎨≥⎩；（2）()()2lg 0y ax bx ca =++≠的定义域为R ，则0Δ0a >⎧⎨<⎩.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）.13.用二分法研究函数f (x )=x 3+3x -1的零点时，第一次经计算(0)0,(1)0f f <>，可得其中一个零点x 0∈(0，1)，那么经过下一次计算可得x 0∈___________(填区间).【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据零点存在性定理判断零点所在区间.【详解】311153102228f ⎛⎫⎛⎫=+⨯-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1002f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，所以下一次计算可得010,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭14.已知某扇形的圆心角为3rad ，周长为10cm ，则该扇形的面积为________2cm ．【答案】6【解析】【分析】求出弧的半径和弧长后可得面积.【详解】设扇形半径为r ，弧长为l ，则3210lr l r ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得26r l =⎧⎨=⎩，扇形面积为1162622S lr ==⨯⨯=．故答案为：6．15.函数22(0,1)x y a a a +=->≠的图像恒过定点P ，若(){},10,0P x y mx ny mn ∈++=，则12m n+的最小值________.【答案】8【解析】【分析】首先求定点()2,1P --，再利用“1”的变换，利用基本不等式求最小值.【详解】函数22x y a +=-，所以函数恒过点()2,1--,即210m n --+=，即21m n +=，则()121242448n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当4n m m n=时，即2n m =时，等号成立，12m n +的最小值为8，此时221n m m n =⎧⎨+=⎩，解得14m =，12n =.故答案为：816.已知函数()f x 和()g x 是定义在R 上的函数，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()22f x g x ax x +=++，则()f x =__；若对于任意1212x x <<<，都有()()12122g x g x x x ->--，则实数a 的取值范围是__．【答案】①.x②.1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】由题意，根据构造方程的思想，结合奇偶函数的性质，可得函数解析式；根据单调性的定义，整理不等式，构造函数，分0a =和0a ≠两种情况，结合一次函数和二次函数的性质，可得答案.【详解】根据题意，2()()2f x g x ax x +=++，则2()()2f x g x ax x -+--=+，两式相加可得2()()()()24f x f x g x g x ax +-++-=+，又由()f x 是定义在R 上的奇函数，()g x 是定义在R 上的偶函数，所以22()24g x ax =+，即2()2g x ax =+，()f x x =．若对于任意1212x x <<<，都有1212()()2g x g x x x ->--，变形可得112212[()2][()2]0g x x g x x x x +-+>-，令()()2h x g x x =+，则()()2h x g x x =+在(1,2)上单调递增；所以2()()222h x g x x ax x =+=++，若0a =，则()22h x x =+在(1,2)上单调递增，满足题意；若0a ≠，则2()22h x ax x =++是对称轴为1x a=-的二次函数，若()h x 在(1,2)上单调递增，只需011a a >⎧⎪⎨-⎪⎩ 或012a a<⎧⎪⎨-⎪⎩ ，解得0a >或102a -<，综上，12a -．即a 的取值范围为：1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．故答案为：x ；1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（1）化简：πsin 3sin(π)tan()211π2cos cos(5π)tan(3π)2αααααα⎛⎫+⋅--⋅- ⎪⎝⎭⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭；（2）求值：4log 3100.2561.5(2023)82-⨯+⨯-.【答案】（1）32；（2）110【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简计算即可；（2）利用指数，对数的运算性质计算即可.【详解】（1）()()()()()()()πsin 3sin πtan cos 3sin tan 3211π2sin cos tan 22cos cos 5πtan 3π2αααααααααααα⎛⎫+⋅--⋅- ⎪⋅⋅-⎝⎭=-⋅-⋅-⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭＝；（2）4log 3100.2561.5(2023)82-⨯+⨯-213631632log 34422212223233⨯⨯⎛⎫=⨯+⨯+⨯-+ ⎪⎝⎭22242733=++⨯-+110=.18.已知集合2{|1327},{|log 1}xA xB x x =≤≤=>.（1）求()R B A ⋃ð；（2）已知集合{|11}C x a x a =-<<+，若C A ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}3x x ≤；（2）1a ≤.【解析】【分析】（1）由指数函数、对数函数的性质确定集合,A B ，然后由集合的运算法则计算．（2）由集合的包含关系得不等关系，求得参数范围．【详解】解：（1）{}03A x x =≤≤，{}2B x x =>，{}2R B x x =≤ð，(){}3RB A x x ⋃=≤ð.（2）当C =∅时，11a a -≥+，即0a ≤成立；当C ≠∅时，11100113a a a a a -<+⎧⎪-≥⇔<≤⎨⎪+≤⎩成立.综上所述，1a ≤．【点睛】易错点睛：本题考查集合的运算，考查由集合的包含关系示参数范围．在A B ⊆中，要注意A =∅的情形，空集是任何集合的子集．这是易错点．19.已知函数()()21f x x a x a =-++.（1）当2a =时，求关于x 的不等式()0f x >的解集；（2）若()20f x x +≥在区间（1，+∞）上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(-∞，1） （2，)∞+.（2）(,3⎤-∞+⎦.【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可；（2）原不等式等价于20x ax x a -++≥在(1,)+∞上恒成立，分离参数得21x x a x +≤-，令1(0)t x t =->，利用基本不等式和不等式恒成立思想可得答案.【小问1详解】解：当2a =时，则2()32f x x x =-+，由()0f x >，得2320x x -+>，令2320x x -+=，解得1x =，或2x =，∴原不等式的解集为(-∞，1） （2，)∞+；【小问2详解】解：由()20f x x +≥即20x ax x a -++≥在(1,)+∞上恒成立，从而有：21x xa x +≤-，令1(0)t x t =->，则22(1)12331x x t t t x t t++++==++≥+-t =时取等号，∴3a ≤+故实数a 的取值范围是(,3⎤-∞⎦.20.已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中02ω<≤，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件.条件①：函数()f x 最小正周期为π；条件②：函数()f x 图像关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；条件③：函数()f x 图像关于π12x =对称.求：（1）函数()f x 的单调递增区间；（2）函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值.【答案】（1）()5πππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z（2）最大值为1，最小值为【解析】【分析】（1）根据题意结合正弦函数的性质求()f x 的解析式，进而求()f x 的单调递增区间；（2）由x 的范围求得π23x +的范围，结合正弦函数求()f x 的最值.【小问1详解】若选①②：∵函数()f x 最小正周期为π，则2ππTω==，解得2ω=±，且02ω<≤，故2ω=，故()()sin 2f x x ϕ=+，又∵函数()f x 图像关于点π,06⎛⎫-⎪⎝⎭对称，则11ππ,3k k ϕ-+=∈Z ，解得11ππ,3k k ϕ=+∈Z ，由π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则10k =，π3ϕ=，故()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令πππ2π22π,232k x k k -≤+≤+∈Z ，解得5ππππ,1212k x k k -≤≤+∈Z ，故函数()f x 的单调递增区间为()5πππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；若选①③：∵函数()f x 最小正周期为π，则2ππTω==，解得2ω=±，且02ω<≤，故2ω=，故()()sin 2f x x ϕ=+，∵函数()f x 图像关于π12x =对称，则22πππ,62k k ϕ+=+∈Z ，解得22ππ,3k k ϕ=+∈Z ，由π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则20k =，π3ϕ=，故()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令πππ2π22π,232k x k k -≤+≤+∈Z ，解得5ππππ,1212k x k k -≤≤+∈Z ，故函数()f x 的单调递增区间为()5πππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；若选②③：∵函数()f x 图像关于点π,06⎛⎫-⎪⎝⎭对称，则11ππ,6k k ωϕ-+=∈Z ，由(]0,2ω∈，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得πππ,632ωϕ⎛⎫-+∈- ⎪⎝⎭，则10k =，即π06ωϕ-+=，又∵函数()f x 图像关于π12x =对称，则22πππ,122k k ωϕ+=+∈Z ，由(]0,2ω∈，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得π2π0,123ωϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则20k =，即ππ122ωϕ+=，故π06ππ122ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2π3ωϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，故()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令πππ2π22π,232k x k k -≤+≤+∈Z ，解得5ππππ,1212k x k k -≤≤+∈Z ，故函数()f x 的单调递增区间为()5πππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .【小问2详解】由（1）可得：()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则当ππ232x +=，即π12x =时，()f x 取到最大值1；当π4π233x +=，即π2x =时，()f x 取到最小值2；∴函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为1，最小值为.21.近年来，中国自主研发的长征系列运载火箭的频频发射成功，标志着中国在该领域已逐步达到世界一流水平.设火箭推进剂的质量为M （单位：t ），去除推进剂后的火箭有效载荷质量为m （单位：t ），火箭的飞行速度为v （单位：km /s ），初始速度为0v （单位：km /s ），已知其关系式为齐奥尔科夫斯基公式：0ln 1M v v m ω⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭，其中ω是火箭发动机喷流相对火箭的速度.假设00km /s v =，25t m =.（参考数据：16.73e261.56≈，ln80 4.382≈）.（1）若3km /s ω=，当火箭飞行速度达到第三宇宙速度（16.7km /s ）时，求相应的M ；（精确到小数点后一位）（2）如果希望火箭飞行速度达到16.7km /s ，但火箭起飞质量的最大值为2000t ，请问ω的最小值为多少？（精确到小数点后一位）【答案】（1）6514.0t （2）3.8【解析】【分析】（1）根据题意可得3ln 125M v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令16.7v =运算求解；（2）根据题意可得25ln25M v ω+=⋅，令16.7v =整理可得()16.7ln 25ln 25M ω+=+，解不等式()ln 25ln 2000M +≤即可得结果.【小问1详解】由题意可得：3ln 125M v ⎛⎫=+⎪⎝⎭，令3ln 116.725M v ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则16.7325e 16514.0M ⎛⎫=-≈ ⎪⎝⎭（t ），故当火箭飞行速度达到第三宇宙速度（16.7km /s ）时，相应的M 为6514.0t.【小问2详解】由题意可得：25ln 1ln 2525M M v ωω+⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭，令25ln16.725M v ω+=⋅=，则()16.7ln 25ln 25ln 2000M ω+=+≤，∴16.716.83.8ln 2000ln 25ln 80ω≥=≈-，故ω的最小值为3.8.【点睛】方法点睛：函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序（1）常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题；（2）应用函数模型解决实际问题的一般程序读题（文字语言）⇒建模（数学语言）⇒求解（数学应用）⇒反馈（检验作答）；（3）解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．22.已知函数2()21g x ax ax b =-++（0a ≠，1b <），在区间[2,3]上有最大值4，最小值1，设()()g x f x x=．（1）求常数a ，b 的值；（2）方程()2213021xxf k ⎛⎫⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的解，求实数k 的取值范围．【答案】（1）1a =，0b =（2）0k >【解析】【分析】（1）对开口方向进行讨论，利用所给的在区间[2,3]上有最大值4，最小值1，即可列出方程求的两个未知数；（2）可直接对方程进行化简、换元法令21xt =-，结合函数图象21xt =-可得()()223120t k t k -+++=有两个根1t 、2t ，且1201t t <<<或101t <<，21t =以及一元二次方程根的分布及树形结合思想即可获得问题的解答.【小问1详解】解：因为()()222111g x ax ax b a x b a =-++=-++-对称轴为1x =，当0a >时，()g x 在[]2,3上为增函数，故()()34961412144110g a a b a g a a b b ⎧=-++==⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-++==⎪⎩⎩⎩；当a<0时，()g x 在[]2,3上为减函数，故()()31961112444143g a a b a g a a b b ⎧=-++==-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-++==⎪⎩⎩⎩，∵1b <，∴1a =，0b =.【小问2详解】解：由（1）可得2()21g x x x =-+，则()1()2g x f x x x x==+-，所以方程()2213021xx f k ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭化为()122123021x x k k +-+-+=-，即()()2212321120x x k k --+-++=，210x-≠，令21xt -=，则方程化为()()223120t k t k -+++=（0t ≠），∵方程()122123021xxk k +-+-+=-有三个不同的实数解，∴由21xt =-的图象知()()223120t k t k -+++=有两个根1t 、2t ，且1201t t <<<或101t <<，21t =，记()()()22312t t k t k ϕ=-+++，则()()012010k k ϕϕ⎧=+>⎪⎨=-<⎪⎩或()()01201023012k k kϕϕ⎧⎪=+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩，∴0k >，∴实数k 的取值范围是(0,)+∞．。
河南省高一上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ）{}2|log 1A x x =<{}|11B x x =-<<A ．B ．C ．D ． A B B A A B =A B ⋂≠∅【答案】D【分析】根据对数函数的单调性化简集合，逐一判断各选项即可.A 【详解】由，解得，所以，又，2log 1x <02x <<()0,2A ={}|11B x x =-<<对于A ： 不成立，A 错；A B 对于B ： 不成立，B 错；B A 对于C ：不成立，C 错；A B =对于D ：，D 正确．()0,1A B ⋂=≠∅故选：D2．（ ）sin 70sin10cos10cos 70︒︒+︒︒=A ．B ．CD ．1212-【答案】A【分析】利用两角差的余弦公式即可求解.【详解】． ()1sin 70sin10cos10cos 70cos 7010cos 602︒︒+︒︒=︒-︒=︒=故选：A.3．已知，则的值为（ ） tan 2α=6sin cos 3sin 2cos αααα+-A ．B ．C ．D ． 4-134134-134±【答案】B【分析】根据题意，利用同角三角函数之间的关系即可求得结果.【详解】由，分子分母同时除以，可得： tan 2α=6sin cos 3sin 2cos αααα+-cos α. 6sin cos 6tan 1621133sin 2cos 3tan 23224αααααα++⨯+===--⨯-故选：B.4．方程的解所在的一个区间是（ ）lg 3x x +=A ．B ．C ．D ．()0,1()1,2()2,3()3,4【答案】C【分析】令，由零点存在定理判断区间 ()lg 3f x x x =+-【详解】令，则单调递增，()lg 3f x x x =+-()f x 由，，()22lg 23lg 210f =+-=-<()33lg 33lg 30f =+-=>∴方程的解所在一个区间是．lg 3x x +=()2,3故选：C ．5．函数①；②，；③，中，奇函数的个2πcos 2y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin y x =[]0,2πx ∈sin 2y x =[]π,πx ∈-数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】根据奇函数的定义，对选项逐一判断即可.【详解】根据奇函数定义，②中违背了定义域要关于原点对称这一要求，所以排除②； []0,2πx ∈对于①，，是奇函数； 22πcos sin 2y x x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()()()()22sin sin f x x x x x f x -=--=-=-对于③，，是偶函数．sin 2y x =()()sin 2sin 2f x x x f x -=-==故选：B ．6．已知函数的定义域为R ，且，当时，，则()f x ()()10f x f x +-=01x ≤≤()sin πf x x =74f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A B C ．1 D 【答案】A【分析】根据题意得到的周期为1，从而，代入求解即可. ()f x 7731444f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【详解】因为，所以，函数的周期为1，()()10f x f x +-=()()1f x f x +=()f x所以 7733π1sin 4444f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A ．7．已知使不等式成立的任意一个x ，都不满足不等式，则实数a 的取值()210x a x a +++≤20x +≤范围为（ ）A ．B ．C ．D ．(),1-∞-(],1-∞-[)2,-+∞(),2-∞【答案】D【分析】由得，因为使不等式成立的任意一个x ，都不满足不等20x +≤2x ≤-()210x a x a +++≤式，所以不等式的解集是的子集．讨论解出不等式的解集，20x +≤()210x a x a +++≤()2,-+∞a 从而利用集合的包含关系即可求解【详解】由得，20x +≤2x ≤-因为使不等式成立的任意一个x ，都不满足不等式，()210x a x a +++≤20x +≤所以不等式的解集是的子集．()210x a x a +++≤()2,-+∞由，得，()210x a x a +++≤()()10x a x ++≤当，，符合题意；1a ={}()12,x ∈-⊆-+∞当，，则，；1a >[](),12,x a ∈--⊆-+∞2a ->-12a <<当，，符合题意，1a <[]()1,2,x a ∈--⊆-+∞综上所述，实数a 的取值范围为．(),2-∞故选：D ．8．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，()m y ()s t ()()sin 0,πy t ωϕωϕ=+><若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且1t 2t ()31230t t t t <<<，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为（ ）122t t +=235t t +=A ．B ．C ．1sD ． 1s 32s 34s 3【答案】C 【分析】先根据周期求出，再解不等式，得到的范围即得解. 2π3ω=2πsin 0.53t ϕ⎛⎫+> ⎪⎝⎭t 【详解】因为，，，所以，又，所以， 122t t +=235t t +=31t t T -=3T =2πT ω=2π3ω=则，由可得， 2πsin 3y t ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0.5y >2πsin 0.53t ϕ⎛⎫+> ⎪⎝⎭所以， π2π5π2π2π,Z 636k t k k ϕ+<+<+∈，， 135333,Z 42π42πk t k k ϕϕ+-<<-+∈531333142π42πk k ϕϕ⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为1s ．故选：C ．二、多选题9．已知，，则下列不等式一定成立的是（ ）0a b <<0c d <<A ．B ．C ．D ． a c b d +<+ac bd >d c a a >22a ab b >>【答案】ABD【分析】本题考查了不等式的性质，利用不等式的同向可加性、同向同正可乘性、传递性即可求解.【详解】由不等式的同向可加性知选项A 正确；因为，，所以，，所以，故选项B 正确； 0a b <<0c d <<0a b ->->0c d ->->ac bd >因为，，所以，故选项C 错误； 0c d <<10a <d c a a<因为，所以，，所以，故选项D 正确．0a b ->->2a ab >2ab b >22a ab b >>故选：ABD ．10．（多选）下列三角函数值中符号为负的是（ ）A ．B ．C ．D ． sin100︒()cos 220-︒()tan 10-cos π【答案】BCD【分析】根据各交所在象限判断三角函数的正负情况.【详解】因为，所以角是第二象限角，所以；因为90100180︒<︒<︒sin100︒sin1000︒>，角是第二象限角，所以；因为，所270220180-︒<-︒<-︒220-︒()cos 2200-︒<71032ππ-<-<-以角是第二象限角，所以；；10-()tan 100-<cos 10π=-<故选：BCD ．11．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0ϕϕ>则的值可以是（ ）ϕA ．B ．C ．D ． π12π32π37π12【答案】AD【分析】根据三角函数图象的平移变换求出变换后的解析式，再根据所得图象关于原点对称，即可求出答案.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ϕπsin 226y x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭象，该图象关于原点对称，所以， π2π,6k k ϕ-=∈Z 即，所以的值可以是，． ππ,212k k ϕ=+∈Z ϕπ127π12故选：AD ．12．某同学用“五点法”画函数在一个周期内的图象时，列()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭表并填入的部分数据如下表：则下列说法正确的是（ ）A ．都有成立x ∀∈R ()()2πf x f x +=-B ． ()f x ≥()π2π,π2πZ 3k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．的图象关于点中心对称 ()f x π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．在区间上单调递增 ()f x ππ,212⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】AD【分析】首先求出. 可以化简证明选项A 正确；解不等式得()π23x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选项B 错误；求出函数图象的对称中心，即得选项C 错误；求出()π4π,π4πZ 3x k k k ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦函数的单调递增区间即得选项D 正确．【详解】由题意得，解得，，．ππ327π3π32A ωϕωϕ⎧⎪=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩12ω=π3ϕ=A =()π23x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ，，故A 正确； ()()2ππππ2ππ232323x x x f x f x +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对于B ，由，所以， ()f x ≥π1sin 232x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭ππ5π2π2π,Z 6236x k k k +≤+≤+∈得，故B 错误； ()π4π,π4πZ 3x k k k ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦对于C ，令，解得， ππ,Z 23x k k +=∈2π2π,Z 3x k k =-∈所以函数的对称中心为，当时，，不满足题意，故C ()f x 2π2π,0,Z 3k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭2ππ2π33k -=12k =错误；对于D ，， πππ2π,2π,Z 2322x k k k ⎛⎫+∈-++∈ ⎪⎝⎭所以，所以是函数的一个单调递增区间， 5ππ4π,4π,Z 33x k k k ⎛⎫∈-++∈ ⎪⎝⎭5ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x 又，，因此函数在上单调递增，故D 正确． π5π23->-ππ123<()f x ππ,212⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：AD ．三、填空题13．计算：______． 201log 6210.0428-⎛⎫+--= ⎪⎝⎭【答案】0【分析】直接利用指数对数的运算法则求解.【详解】因为，，， 1120.040.25--==0118⎛⎫-= ⎪⎝⎭2log 626=所以. 201log 6210.04251608-⎛⎫+--=+-= ⎪⎝⎭故答案为：014．已知，，请写出一个使为假命题的实数的值，______．0:p x ∃∈R 200430x ax -+<p a =a 【答案】0（答案不唯一）【分析】利用命题的否定来找到一个满足条件即可.【详解】由题意，，为真命题，:p x ⌝∀∈R 2430x ax -+≥当时，恒成立，满足题意，0a =224330x ax x -+=+≥故答案为：0（答案不唯一）.15．若，则______． π2sin 43θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 2θ=【答案】 19-【分析】化，从而平方即可. )π2sin sin cos 43θθθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭【详解】因为，所以)π2sin sin cos 43θθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭sin cos θθ+=，即，． 228sin cos 2sin cos 9θθθθ++=81sin 29θ+=1sin 29θ=-故答案为： 19-四、双空题16．记表示不超过x 的最大整数，例如，，已知函数则[]x []2.32=[]1.52-=-()[]2,0,,0,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩______；若函数恰有3个零点，则实数a 的取值范围是______． ()()1f f -=()()log a g x f x x =-【答案】 0 【分析】直接代入可求得；有3个零点方程有3个()()1f f -()()log a g x f x x =-⇔()log a f x x =不同的实数根，即的图象与函数的图象有3个交点，数形结合可求.()f x log a y x =【详解】； ()()111022f f f ⎛⎫⎡⎤-=== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦有3个零点方程有3个不同的实数根，即的图象与函数()()log a g x f x x =-⇔()log a f x x =()f x 的图象有3个交点，log a y x =由题可知当，显然不成立，所以，做出与的图象如图．01a <<1a >()f x log a y x =两函数图象在y 轴的左侧只有1个交点，故y 轴右边有2个交点，则1log 22log 32log 43a aa <≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩a ≤<故答案为：0；五、解答题17．（1）求的值；tan 255 （2）求的值．tan 22.5 【答案】（1）；（221-【分析】（1）利用诱导公式利两角和的正切公式计算即可；（2）换元法及二倍角公式化简求值即可.【详解】（1）()()tan 255tan 18075tan 75tan 4530︒=︒+︒=︒=︒+︒ tan 45tan 3021tan 45tan 30︒+︒===-︒︒（2）设，tan 22.5x =︒则， 222tan 22.52tan 4511tan 22.51x x ︒︒===-︒-即，2210x x +-=解得1x =-±又，tan 22.50x =︒>所以．tan 22.51︒=18．已知，．1p ≤:1q x a -≤≤(1)若q 是p 的必要非充分条件，求实数a 的取值范围；(2)若，且p ，q 至少有一个成立，求x 的取值范围．1a =【答案】(1)[)2,+∞(2)[]1,2-【分析】（1）解出集合A ，由p ，q 的推断关系得集合A ，B 的关系，得a 的取值范围. （2）求出p ，q 都不成立时a 的取值范围，其补集即为所求.【详解】（1）设，，{}{}1|12A x x x =≤=≤≤{}|1B x x a =-≤≤因为q 是p 的必要非充分条件，所以A 是B 的真子集，则，2a ≥所以实数a 的取值范围为．[)2,+∞（2）当时，，，1a =:12p x ≤≤:11q x -≤≤当p ，q 都不成立时， 或，且或同时成立，1x <2x >1x <-1x >解得或，1x <-2x >故p ，q 至少有一个成立时，x 的取值范围为．[]1,2-19．证明下列不等式，并讨论等号成立的条件．(1)若； 01x ≤≤114≤(2)若，则． 0ab ≠2b a a b+≥【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）利用基本不等式即可证明；（2）讨论和两种情况，脱掉绝对值符号，结合基本不等式证明即可.0ab >0ab <【详解】（1）证明：因为，所以，， 01x ≤≤01≤≤10≥， 2114≤=时，等号成立． 1=14x =（2）证明：因为，当时，， 0ab ≠0ab >2b a b a a b a b +=+≥=当且仅当时等号成立． 0a b =≠当时，， 0ab <2b a b a a b a b ⎛⎫⎛⎫+=-+-≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当时等号成立．0a b =-≠综上，若，则成立，当且仅当时等号成立． 0ab ≠2b a a b+≥220a b =≠20．已知．()211f x x -=-(1)求函数的解析式；()f x (2)若函数，求的单调区间．()()ln g x f x =()g x 【答案】(1)()22f x x x =+(2)单调增区间为，单调递减区间为()0,∞+(),2-∞-【分析】（1）由配凑法或换元法即可求；（2）由复合函数单调性判断.【详解】（1）因为，()()()2211121f x x x x -=-=-+-设，则，所以．1t x =-()22f t t t =+()22f x x x =+（2），由或， ()()()2ln ln 2y g x f x x x ===+2202x x x +>⇒<-0x >设，则，220u x x =+>ln y u =当时，，因为其对称轴为，(),2x ∞∈--22u x x =+=1x -则此时单调递减，单调递增，所以在单调递减； ()u x ln y u =()g x (),2-∞-当时，单调递增，单调递增，所以在单调递增． ()0,x ∈+∞22u x x =+ln y u =()g x ()0,∞+所以的单调增区间为，单调递减区间为．()g x ()0,∞+(),2-∞-21．已知函数（，且），对，． ()824x x x a f x a ⋅+=⋅a ∈R 0a ≠x ∀∈R ()()22f x f x =-(1)求a 的值；(2)若，关于x 的不等式恒成立，求实数m 的取值范围．0a >()()2f x mf x ≥【答案】(1)或11-(2)(],1-∞【分析】（1）根据题意代入运算求解；（2）利用换元法结合基本不等式可得，题意转化为当时恒成立，根据222x x s -=+≥2m s s≤-2s ≥恒成立问题结合函数单调性分析运算.【详解】（1）由题意可得：，， ()821224x x x x x a f x a a-⋅+==+⋅⋅()122x x f x a --=+⋅∵，即， ()()22f x f x =-22112222x x x x a a --⎛⎫⎛⎫+⋅=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得，则， 2221214444x x x x a a a a --++⋅=++⋅()211440x x a -⎛⎫--= ⎪⎝⎭且不恒为0，则，解得， 44x x --2110a -=1a =±故实数a 的值为或1．1-（2）因为，所以，0a >1a =则，， ()22x x f x -=+()()222222222x x x x f x --=+=+-令，则，当且仅当，即时，等号成立，22x x s -=+2s ≥=22-=x x 0x =∵恒成立，等价于当时恒成立，等价于当时恒成立， ()()2f x mf x ≥22s ms -≥2s ≥2m s s≤-2s ≥令， ()()22h x x x x=-≥对，且，[)12,2,x x ∀∈+∞12x x <因为一次函数与反比例函数在上都是增函数， y x =2y x=-[)2,+∞则，可得， 121222,x x x x <-<-121222x x x x -<-即，所以在上单调递增， ()()12h x h x <()2h x x x=-[)2,+∞则，即当时，取最小值1， ()()21h x h ≥=2s =()22s s s-≥所以，即实数m 的取值范围为．1m £(],1-∞【点睛】结论点睛：1.恒成立问题：，，等价于；x M ∀∈()f x a ≥()min f x a ⎡⎤≥⎣⎦，，等价于.x M ∀∈()f x a ≤()max f x a ⎡⎤≤⎣⎦2．存在性问题：，，等价于；x M ∃∈()f x a ≥()max f x a ⎡⎤≥⎣⎦，，等价于.x M ∃∈()f x a ≤()min f x a ⎡⎤≤⎣⎦22．已知函数的最小正周期为．()()22sin cos 0f x x x x ωωωω=+>π(1)求的解析式；()f x(2)若关于x 的方程在区间上有相异两解 ()f x a =+π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦12,x x 求：①实数a 的取值范围；②的值． ()12sin x x +【答案】(1) ()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)①，② )212【分析】（1）根据三角恒等变换公式将化简，然后由的最小正周期为，解得，即可()f x ()f x πω得到函数的解析式；()f x （2）将方程有两解转化为函数图像有两个交点，然后结合图像即可求得的范围，然后由正弦函a 数的对称性即可得到的值.()12sin x x +【详解】（1）()22sin cos f x x x x ωωω=+πsin 222sin 23x x x ωωω⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭因为的最小正周期为，所以，解得． ()f x π2ππ2ω=1ω=所以． ()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）①，即． ()f x a =+π2sin 23x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭关于x 的方程在区间上有相异两解，， ()f x a =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x 2x也即函数与的图像在区间上有两个交点， π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y a =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦由，得， π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦在上单调递增，在上单调递减，且， 2sin y x =ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦π24π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦π2sin 3做出在上的图像如图， 2sin y x =π4π,33⎡⎤⎢⎣⎦由图可知，要使函数与的图像在区间， π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y a =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2a ≤<所以实数a 的取值范围为． )2②由（1）和正弦函数的对称性可知与关于直线对称， 1π23x +2π23x +π2x =则有，所以， 12ππ22π33x x +++=12π6x x +=所以的值为． ()12sin x x +12。
河南省信阳市息县三校联考2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题
河南省信阳市息县三校联考2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．若函数()()()2225311f x a a x a x =++++-的定义域､值域都为R ,则实数a 满足A ．1a =-或32a =-B ．1319a -<<-C ．1a ≠-且32a ≠-D ．32a =-2．已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =A ．（–1，1）B ．（1，2）C ．（–1，+∞）D ．（1，+∞）3．已知234a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，322b =，34log 913c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b<<D ．c b a<<4．已知()22f x x x =-，对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，则m 的取值范围是（）A ．[]0,3B ．[]0,4C ．{}3D ．{}45．设全集U =R ，集合{}|2A x x =<，{}|1B x x =<，则集合()U A B ⋃=ð（）A ．(),2∞-B ．[)2,∞+C ．()1,2D ．()[),12,∞∞-⋃+6．设,a b 是向量，“a ab =+”是“0b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知集合{}1P x R x =∈≥，{}1,2Q =，则下列关系中正确的是（）A ．P Q=B ．QPC ．PQD ．P Q R= 8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，若(2)3f =，则满足(1)3f x +<的x 的取值范围是（）A ．(,2)(0,2)-∞-⋃B ．(2,2)-C ．(,3)(0,1)-∞-⋃D ．(3,1)-9．若()4sin π5α-=，则cos 2α＝（）A ．－2425B ．725C ．－725D ．242510．下列命题正确的是（）A ．1a a+的最小值是2B ．221a a +的最小值是2C ．1a a+的最大值是2D ．221a a +的最大值是211．已知集合{N1},{04}A x x B x x =∈>=<<∣∣，则A B = （）A ．{14}xx <<∣B ．{0}xx >∣C ．{}2,3D ．{}1,2,312．函数()f x =）A ．(0,)+∞B ．[1,)+∞C ．(1,)+∞D ．[0,)+∞二、填空题13．函数()f x 满足()11f x x-=，则()2f 等于.14．已知扇形圆心角60,αα= 所对的弧长6πl =，则该扇形面积为.15．已知若函数()20,01,93,1x f x x x <≤⎧⎪=⎨-->⎪⎩，()ln g x x =，若函数()()(0y f x g x m x =+->)恰有两个不相等的零点，则实数m 的取值范围为.16．已知函数()f x 满足：x≥4,则()f x ＝12x⎛⎫⎪⎝⎭；当x ＜4时()f x ＝()1f x +，则()22log 3f +＝三、解答题17．已知函数f (t 17()cos (sin )sin (cos ),(,).12g x x f x x f x x ππ=⋅+⋅∈（Ⅰ）将函数g(x )化简成Asin(ωx +φ)+B （A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π]）的形式；（Ⅱ）求函数g(x )的值域．18．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)．若以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程为sin 4aπρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程（2）点P 为曲线C 上任意一点，点P 到直线l a 的值．19．如图，A 、B 是一矩形OEFG 边界上不同的两点，且∠AOB ＝45°，OE ＝1，EF设∠AOE ＝α.（1）写出△AOB 的面积关于α的函数关系式()f α；（2）求（1）中函数()f α的值域.20．已知函数sin()0,0,||2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象过点,012P π⎛⎫⎪⎝⎭，图象与P 点最近的一个最高点坐标为,53π⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求该函数的解析式；(2)求该函数的单调递增区间；(3)求使0y ≤的x 的取值集合.21．武威“天马之眼”摩天轮，于2014年5月建成运营．夜间的“天马之眼”摩天轮美轮美奂，绚丽多彩，气势宏大，震撼人心，是武威一颗耀眼的明珠．该摩天轮直径为120米，摩天轮的最高点距地面128米，摩天轮匀速转动，每转动一圈需要t 分钟，若小夏同学从摩天轮的最低点处登上摩天轮，从小夏登上摩天轮的时刻开始计时．(1)求小夏与地面的距离y（米）与时间x（分钟）的函数关系式；(2)在摩天轮转动一圈的过程中，小夏的高度在距地面不低于98米的时间不少253分钟，求t的最小值．。
河南省高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知全集，集合，，则（ ） {1,2,3,4,5,6,7,8,9}U ={1,2,3,4,5}M ={2,4,6,8}N =()U M N = ðA ． B ．C ．D ．{1,2,3,4,5,6,8}{7,9}{2,4}{1,3,5,6,7,8,9}【答案】B【分析】利用并集和补集的定义求解即可.【详解】因为全集，集合，， {1,2,3,4,5,6,7,8,9}U ={1,2,3,4,5}M ={2,4,6,8}N =所以， {1,2,3,4,5,6,8}M N = 所以, (){7,9}U M N = ð故选：B 2．使“”成立的一个充分不必要条件是（ ） 112x>A ． B ． C ． D ． 0x >12x <102x <<104x <<【答案】D 【分析】由得，再根据充分不必要条件判断即可.112x>102x <<【详解】由得，，即，得， 112x>1202xx ->()2210x x -<102x <<所以，使“”成立的一个充分不必要条件可以是的子集， 112x >10,2⎛⎫⎪⎝⎭所以，由各选项可知 “”满足题意， 104x <<所以，使“”成立的一个充分不必要条件可以是“”.112x>104x <<故选：D ．3．已知命题p ：，或，则命题的否定是（ ） ()0,4x ∃∈1x <3x >A ．，或 B ．， ()0,4x ∃∈1x ≥3x ≤()0,4x ∃∈13x ≤≤C ．，或 D ．，()0,4x ∀∈1x ≥3x ≤()0,4x ∀∈13x ≤≤【答案】D【分析】存在量词命题的否定是特称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】首先确定量词，排除选项A ，B ； 其次“或”的否定形式为, 1x <3x >13x ≤≤故命题p 的否定为“，”． ()0,4x ∀∈13x ≤≤故选：D ．4．已知a b ＝c ＝2，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） 3log 2，A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【答案】C【分析】由对数式和根式的运算，确定三个数的范围再比较大小.【详解】∵，∴； 12<<12a c <<=又， 3330log 1log 2log 31=<<=所以，∴． 01b a <<<b a c <<故选：C ．5．若函数的定义域为集合，值域为集合，则（ ）()f x =M N M N ⋂=A ．B ．C ．D ．⎡⎣⎤⎦(⎡⎣【答案】A【分析】利用根式的定义域求得集合，利用单调性的定义求的单调性进而求得集合，再M ()f x N 根据集合交集的定义即可求解.【详解】由解得，所以，030x x ≥⎧⎨-≥⎩03x ≤≤[]0,3M =任取 1203x x ≤<≤<12330x x ->-≥>， <()()12f x f x <所以在上是增函数，且()f x []0,3()0f =()3f =所以， N ⎡=⎣所以， M N ⎡⋂=⎣故选：A6．若函数，则的零点所在区间是（ ）()2log f x x x ＝＋()f x A ．B ．C ．D ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】由已知可推得在上为增函数．然后分别求解，可得，，()f x ()0,∞+104f ⎛⎫< ⎪⎝⎭102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，，即可根据零点存在定理，得出答案. 304f ⎛⎫> ⎪⎝⎭()10f >【详解】定义域为，且的图象在上是连续的. ()f x ()0,∞+()f x ()0,∞+根据对数函数的单调性可知，任意，有成立， 120x x <<2122log log x x <则，即，故在上为增函数．121222log log x x x x +<+()()12f x f x <()f x ()0,∞+又，，211117log 2044444f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭＝211111log 1022222f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭＝＋，223335log log 34444f ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭()()45222114log 35log 3log 244=-=-2181log 0432=>. ()21log 1110f =>＝＋即，根据零点存在定理可知，的零点所在区间是. 13024⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f ()f x 13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：C.7．已知，，，，则的最小值为（ ） 0a >0b >0c >()()10a b c a b c +++-=33a b c +-A ．8B ．10C ．D ．【答案】C【分析】利用结合均值不等式求解即可. ()()332a b c a b c a b c +-=++++-【详解】因为，， ()()10a b c a b c +++-=0,0,0a b c >>>所以，，0a b c ++>0a b c +->所以，()()332a b c a b c a b c +-=++++-≥=当且仅当即时取等号， ()2a b c a b c ++=+-3a b c +=所以的最小值为 33a b c +-故选：C.8．已知函数，则（ ）())lg f x x =()()()()2lg lg 2lg log 51f f ++=A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】由已知可推得.又因为，所以，()()1f x f x -+=()2lg 2log 511⨯+=()()2lg log 51lg lg 2+=-即可得出答案.【详解】恒成立，所以的定义域为， 0x >()f x R且. ()()))()22lglglg 101f x f x x x x x -+=+==＋-， ()()222lg 2log 51lg 2log 5log 2⨯+=⨯+2lg10lg 2log 10lg 21lg 2=⨯=⨯=所以，， ()()21lg log 51lglg lg 2lg 2+==-所以，. ()()()()()()()()2lg lg 2lg log 51lg lg 2lg lg 21f f f f ++=+-=故选：B.【点睛】关键点睛：涉及较复杂的函数求值问题，探求给定函数的性质，再借助性质计算是解题的关键.二、多选题9．已知函数(是常数），，则以下结论错误的是（ ）()f x x α=α()42f =A ． B ．在区间上单调递增 12α=()f x ()0,∞+C ．的定义域为 D ．在区间上，()f x ()0,∞+()0,1()1f x >【答案】CD【分析】由题知，，进而结合幂函数的性质依次讨论各选项即可得答案.12α=()12f x x ==【详解】解：由得，，即，函数在定义域上单调递增，故选项()442f α==12α=()12f x x ==A ，B 正确；因为的定义域为，故选项C 错误； ()12f x x =[)0,∞+因为在区间上，，故选项D 错误． ()f x ()0,1112211x <=故选：CD ．10．已知，则以下不等式成立的是（ ）11a b a＞＞＞A ． B ． C ．D ．1ab ＞2a b ＋＞log 1b a ＞b a a b ＞【答案】ABD【分析】由已知可推得，.根据基本不等式可判断B 项；根据对数函数、指数函数的单1a >01b <<调性可判断C 、D 项.【详解】由已知可得，，. 1a >01b <<对于A 项，由题意知，故，故选项A 正确； 10b a>>1ab >对于B 项，由已知可得，当且仅当时等号成立.12a b a a+>+≥1a a =因为，所以，故选项B 正确；1a >2a b ＋＞对于C 项，由已知，故为上的减函数， 01b <<log b y x =()0,∞+又，所以，故选项C 错误；a b >log log 1b b a b <=对于D 项，因为，，所以，， 1a >01b <<01b a a >=01a b b <=所以，故D 项正确. b a a b ＞故选：ABD ．11．若不等式的解集为，则（ ） 2240ax bx a >＋＋＋()4a >-(),4a a +A ． B ．C ．D ．1a ＝1b ＝0a ＜0b ＜【答案】BC【分析】根据已知条件可得，和是方程的两根，且.进而可根据两根a 4a +2240ax bx a +++=a<0之积，求出的值.然后根据两根之和求出. ()44a a a a+⋅+=a b 【详解】由已知可得，和是方程的两根，且， a 4a +2240ax bx a +++=a<0所以. ()44a a a a+⋅+=又，则，则． 4a >-21a =1a =-又，则，则． 24ba a a-=++1b =0b >故选:BC ．12．已知函数的部分图象如图所示，有以下变换：①向左平()()2sin f x x ωϕ=+()()0,0,2πωϕ>∈移个单位长度；②向左平移个单位长度；③各点的横坐标变为原来的倍；④各点的横坐标π25π612变为原来的倍，则使函数的图象变为函的图象的变换次序可以是（ ）352sin y x =A ．③①B ．④①C ．①③D ．②④【答案】BD【分析】先根据图象求得的解析式，再根据三角函数图像变换求解即可. ()f x 【详解】由图象可得，故，又，故或，()02sin 1f ϕ==1sin 2ϕ=()0,2πϕ∈π6ϕ=5π6又因为，结合图象可得，所以， 0ω>ππ2ϕ<<5π6ϕ=将的图象先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到的2sin y x =ϕ1ω()f x 图象，故，解得，故， π5π126ω⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭53ω=()552sin π36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由可知图象变换过程中包含④，不包含③，53ω=按的变换次序，则B 正确；55π552sin 2sin 2sin 2sin π33236y x y x y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=→=→=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦按的变换次序，则D 正确， 5π552sin 2sin 2sin 636y x y x y x π⎛⎫⎛⎫=→=+→=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：BD三、填空题13．已知角，角终边上有一点，则______． ()0,2πα∈α)cos 2,(cos 2M α=【答案】5π4【分析】由题知点在第三象限且，进而得. )cos 2,(cos 2M tan 1α=5π4α=【详解】解：因为， cos20<所以，点在第三象限， )cos 2,(cos 2M 又， cos 2tan 1cos 2α==()0,2πα∈所以，． 5π4α=故答案为：5π414．已知函数，则的最小值为______．()()2,0f x ax bx a a =++>()11f =1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】##22-+【分析】由可得，再利用均值不等式求解即可. ()11f =12b a =-【详解】由题意得，即，()121f a b =+=12b a =-所以，()()212f x ax a x a =+-+所以由均值不等式得， ()12112222a f a a a aa a -⎛⎫=++=+-≥= ⎪⎝⎭当且仅当，即2a a=a =所以的最小值为，1f a ⎛⎫⎪⎝⎭2故答案为：2-15．已知，，，则＝______．π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，()6sin 7αβ＋＝tan 2tan αβ=()sin αβ-【答案】27【分析】化切为弦，由正弦和角公式得到方程组，求出，利用正弦差角公式求出答4sin cos 72cos sin 7αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩案.【详解】由得，，则①， tan 2tan αβ=sin 2sin cos cos αβαβ=sin cos 2cos sin αβαβ=由得，②，()6sin 7αβ+=6sin cos cos sin 7αβαβ+=联立①②解得，4sin cos 72cos sin 7αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴． ()2sin sin cos cos sin 7αβαβαβ-=-=故答案为：2716．若函数，则的解集为______．()e e x xf x -=+()()123f x f x +>-【答案】2,43⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由题知为偶函数，且在区间上单调递增，进而根据单调性与奇偶性解不等式()f x [)0,∞+即可.【详解】解：函数的定义域为，定义域关于原点对称，()f x R 所以，，即为偶函数．()()e e x xf x f x --=+=()f x 设，则，，，120x x ≤<12e e 0x x -<12e 1x x +>12110ex x +->所以，， ()()()1212121212111e e e e 10e e e xx x x x x x x f x f x +⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-⋅-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，在区间上单调递增，()f x [)0,∞+所以，根据偶函数的性质，易知等价于，()()123f x f x +>-()()123f x f x +>-所以，，解得． 123x x +>-243x <<所以，的解集为()()123f x f x +>-2,43⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：2,43⎛⎫⎪⎝⎭四、解答题17．已知函数．()πcos sin 3f x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋(1)求的最小正周期及单调递增区间；()f x (2)求在区间上的根．()0f x ＝π0,2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】(1)最小正周期，单调递增区间为，；π5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z (2). π3x =【分析】（1）化简可得，即可得出函数的周期.整体代入即可求出函数的单调()1πsin 223f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭区间；（2）解可得，，.结合的范围，即可求出. ()0f x ＝ππ62kx =-+k ∈Z x【详解】（1）由已知，()π1cos sin cos sin 32f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 11cos 211πsin 2sin 22sin 242423x x x x x +⎛⎫===+ ⎪⎝⎭故的最小正周期. ()f x 2ππ2T ==由，得，，， πππ2π22π232k x k -≤+≤+k ∈Z 5πππ1212k x k π-≤≤+k ∈Z 故的单调递增区间为，．()f x 5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z （2）由（1）知，.()1πsin 223f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则，即．则，，()0f x =1πsin 2023x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π2π3x k +=k ∈Z 即，.ππ62kx =-+k ∈Z又，所以，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π3x =故在区间上的根为． ()0f x =π0,2⎛⎫⎪⎝⎭π3x =18．已知，，． 1b a >>log 2a b =6a b +=(1)求的值；,a b (2)解不等式：． 680x x b a -+<【答案】(1) 2,4a b ==(2) {|12}x x <<【分析】（1）利用对数的概念列方程组求解即可；（2）利用换元法令，解一元二次不等式，结合指数函数的单调性即可求解.()2,0,xt t =∈+∞【详解】（1）由可得， log 2a b =2a b =代入得， 6a b +=260+-=a a 又因为，1a >所以，；2a =24b a ==（2）由（1）得，所以不等式即为，2,4a b ==680x x b a -+<46280x x -⋅+<令得，解得，()2,0,x t t =∈+∞()()268420t t t t -+=--<24t <<即，解得， 242x <<12x <<所以不等式的解集为.{|12}x x <<19．某种植户要倚靠院墙建一个高3m 的长方体温室用于育苗，至多有54m 2的材料可用于3面墙壁和顶棚的搭建，设温室中墙的边长分别为，如图所示．x y ，(1)写出：满足的关系式； x y ，(2)求温室体积的最大值．【答案】(1)()3654018,09xy x y x y ++≤<<<<(2) 354m【分析】（1）根据长方形面积公式即可得到. ()3654018,09xy x y x y ++≤<<<<（2）首先利用基本不等式即可得到，得到36x y +≥=0t =>，再解不等式即可得到答案.2540t +-≤【详解】（1）由题意得：顶棚所用材料的面积为，3面墙壁所用材料的面积为， xy 36x y +所以．()3654018,09xy x y x y ++≤<<<<（2）因为时取等号， 36x y +≥=2x y =所以，则， 3654xy xy x y +≤++≤0t =>2540t +-≤解得∴，当且仅当，时取等号， 0t <≤18xy ≤6x =3y =所以温室体积，则温室体积的最大值为．354V xy =≤354m 20．如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别为BC ，CD 上的动点，其中∠MAB ＝＞0，∠MAN ＝αβ＞0，∠NAD ＝＞0．γ(1)若M 为BC 的中点，DN ＝DC ，求13β(2)求证：＋＋＝1． tan tan αβtan tan βγtan tan γα【答案】(1)； π4β=(2)证明见解析.【分析】（1）由题可得及，又，即可得； t an ，t an αγ()t an αγ+2παγβ++=β（2）由，整理后可证明结论. ()222πππt an t an αγβαβγαβγ⎛⎫++=⇒+=-⇒+=- ⎪⎝⎭【详解】（1）由题意得，， 1tan 2MB AB α==1tan 3DN AD γ==故，由题可得均为锐角，则. ()11tan tan 23tan 1111tan tan 123αγαγαγ+++===--⨯，αγπ4+=αγ又，则； 2παγβ++=π4β=（2）证明：因，则， 2παγβ++=2παβγ+=-故， ()πsin πcos 12tan tan π2sin tan cos 2γγαβγγγγ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭+=-=== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭即，则， tan tan 11tan tan tan αβαβγ+=-()tan tan tan 1tan tan αβγαβ+=-故．tan tan tan tan tan tan 1αββγγα++=21．已知定义在R 上的函数满足，.()f x ()()()f x y f x f y ＋＝()00f ≠(1)求的值；()0f (2)若，，求满足的的最大值．()13f =*n ∈N ()2023f n ＜n 【答案】(1)；1(2)6.【分析】（1）令，代入即可得出；0x y ==()01f =（2）令，，代入可得，.依次求解，即可得出，x n =*n ∈N 1y =()()13f n f n =＋()2679f =，进而得出答案.()87217f =【详解】（1）令，由已知可得，解得或（舍去）.0x y ==()()200f f ＝()01f =()00f =所以，.()01f =（2）令，，，则由已知可得，.x n =*n ∈N 1y =()()()()113f n f n f f n =＋＝显然，所以.()0f n >()()()13f n f n f n =>＋所以，，，，，()()2319f f ==()()33272f f ==()()14383f f ==()()354324f f ==，.()()965372f f ==()()7763218f f ==所以，满足的的最大值为6.()2023f n ＜n22．已知函数，，．()22f x x ax =-()3g x ax a =+-R a ∈(1)若对，，求的取值范围；R x ∀∈()()0f x g x +>a (2)若对，或，求的取值范围．R x ∀∈()0f x >()0g x >a 【答案】(1)()6,2-(2)(),3-∞【分析】（1）利用一元二次函数的图象和性质求解即可；（2）根据的取值分情况讨论即可求解.a 【详解】（1）由题意可得恒成立，()()230f x g x x ax a +=-+->则即，解得， ()()24130a a ∆=--⨯⨯-<()()2412620a a a a +-=+-<62a -<<故的取值范围为.a ()6,2-（2）当时，，，符合题意；0a =()2f x x =()30g x =>当时，由，解得或，a<0()220f x x ax =->2x a <0x >故当时，恒成立，而在上为减函数，故只需，20a x ≤≤()30g x ax a =+->()g x R ()030g a =->而由，得，故符合题意；a<030a ->a<0当时，由，解得或，0a >()220f x x ax =->0x <2x a >故当时，恒成立，而在上为增函数，故只需，02x a ≤≤()30g x ax a =+->()g x R ()030g a =->解得，0<<3a 综上的取值范围是．a (),3-∞。
河南省名校联考2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题(含解析)
河南省名校联考2024-2025学年上期高一第一次月考数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册前两章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的.1.下列关系式正确的是A.3∈QB.—1∈NC. Z⊆ND. Q⊆R2.关于命题q:∀a<b,|a|≤|b|,下列结论正确的是A. q是存在量词命题，是真命题B. q是存在量词命题，是假命题C. q是全称量词命题，是假命题D. q是全称量词命题，是真命题3.已知集合A={x∈Z|3x―1∈Z},则用列举法表示A=A.{—2,0,2,4}B.{—2,0,1,2,4}C.{0,2,4}D.{2,4}4.已知a>0,b>0,c>0,则“a+b>c”是“a,b,c可以构成三角形的三条边”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知正数a，b满足1a +2b=1,则a+2b的最小值为A.9B.6C.4D.36.已知集合A={(x,y)|y=x²+ ax+1},B={(x,y)|y=2x-3},C=A∩B,若C恰有1|真子集，则实数a=A.2B.6C.2或6D.—2或67.某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株.为了使这种多肉植物每天的总销售额不于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为A.25元B.20元C.15元D.10元【高一数学第1页(共4页)】 ·A18.学校统计某班45名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，其中有20名学生参加了音乐小组，有21名学生参加了科学小组，有22名学生参加了体育小组，有24名学生只参加了1个兴趣小组，有12名学生只参加了2个兴趣小组，则3个兴趣小组都没参加的学生有A.5名B.4名C.3名D.2名二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列各组对象能构成集合的有A.郑州大学 2024 级大一新生B.我国第一位获得奥运会金牌的运动员C.体型庞大的海洋生物D.唐宋八大家10.已知a>b>0,则使得a+ca >b+cb成立的充分条件可以是A. c=-2B. c=-1C. c=1D. c=211.已知二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)的部分图象如图所示，则A. a+b>0B. abc>0C.13a+b+2c>0D.不等式bx²―ax―c>0的解集为{x|-2<x<1}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知a=10―6,b=6―2,则a ▲ b.(填“◯”或“<”)13.已知a∈R,b∈R,集合{,则(a―b)³=.14.已知m<n<0,则8nm+n ―2mm―n的最大值为▲ .四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知全集U=R,集合A={x|-2<x<3},B={x|a-1<x<2a}.(1)若a=2,求A∪B,C∪B;(2)若B⊆A,求a 的取值范围.【高一数学第2页(共4页)】 A116.(15分)给出下列两个结论：①关于x的方程.x²+mx―m+3=0无实数根；②存在0≤x≤2,使(m+1)x―3=0.(1)若结论①正确，求m 的取值范围；(2)若结论①，②中恰有一个正确，求m的取值范围.17.(15分)已知正数a,b,c 满足 abc=1.(1)若c=1,求2a +3b的最小值；(2)求a2+b2+2c2+8ac+bc的最小值.A11918.(17分)已知a∈R,函数y=ax²+(3a+2)x+2a+3.(1)当a=1时,函数y=ax²+(3a+2)x+2a+3的图象与x轴交于A(x₁,0),B(x₂,0)两点，求x31+x32;(2)求关于x的不等式y≥1的解集.19.(17分)设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a，b，c∈A，使得a-b=b-c，则称A 为“等差集”.(1)若集合A=1,3,5,9,B⊆A,且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B；(2)若集合.A=1,m,m²―1是“等差集”，求m的值；(3)已知正整数n≥3,证明:{x,x²,x³,…,x"}不是“等差集”.【高一数学第4 页(共4 页)】 A1·数学参考答案1. D 3₃∉Q,-1∉N,N ⊆Z,Q ⊆R2. C 由-2<1,|-2|>|1|,知q 是假命题,且q 是全称量词命题.3. A 因为3=1×3=(--1)×(-3),所以A={-2,0,2,4}.4. B 取a=5,b=3,c=1,满足a+b>c,此时b+c<a,a,b,c 不可以构成三角形的三条边.由a,b,c 可以构成三角形的三条边,得a+b>c.故“a+b>c”是“a,b,c 可以构成三角形的三条边”的必要不充分条件.5. A 因为 1a +2b =1,所以 a +2b =(1a +2b)(a +2b )=5+2b a+2a b.又a>0,b>0,所以 2ba + 2ab ≥22b a⋅2ab =4,当且仅当a=b=3时，等号成立，故a+2b 的最小值为9.6. D 因为C 恰有1个真子集，所以C 中只有1个元素.联立方程组 {y =x 2+ax +1,y =2x ―3,整理得 x ²+(a ―2)x +4=0,则 (a ―2)²―16=0,解得a=-2或6.7. D 设每株多肉植物的售价降低x(x∈N)元，则这种多肉植物每天的总销售额为(30-x)(25+5x)元.由(30-x)(25+5x)≥1 250,得5≤x≤20,故每株这种多肉植物的最低售价为30-20=10元.8. B 如图，由题可知 {a +b +9m +x ―20,a +c +m +z ―21,b +c +m +s ―21,a +b +c +1>22,a +b +z ―12,x +9z +z =24,则 3m=63-2(a+b+c)-(x+y+z)=15,则m=5,从而3个兴趣小组都没参加的学生有45-(a+b+c)-(x+y+z)-m=4名.9. ABD 由题可知，A ，B ，D 中的对象具有确定性，可以构成集合，C 中的对象不具有确定性，不能构成集合.10. AB 由a +c a>b +c b,得 a +c a ―b +cb=b (a +c )―a (b +c )ab=c (b ―a )ab>0.因为a>b>0,所以c<0.11. BCD 由图可知a>0,二次函数 y =ax ²+bx +c 的图象与x 轴相交于(--1,0),(2,0)两点，则 {a ―b +c =0,4a +2b +c =0,整理得 {b =―a ,c =―2a ,则 a+b=0, abc>0,A 不正确,B 正确. 由【高一数学·参考答案 第 1页(共4 页)】 ·A1·{4a―2b+c>0,9a+3b+c>0,得13a+b+2c>0,C正确.因为{b=―a,c=―2a,所以bx²―ax―c=―ax²―ax+2a>0,即x²+x―2<0,,解得-2<x<1,D正确.12.<a―b=10+2―26,因为( 10+2)2=12+45,(26)2=24,45<12(所以(10+2)2<(26)2,则10+2<26,从而a<b.13.8 由a+b,a,2=a²,2,0,得a=0或a=a².若a=0,则a²=0,，不符合集合元素的互异性.若a=a²,则a=0(舍去)或a=1,所以a+b=0,即b=-1,从而((a―b)³=8.14.―18nm+n ―2mm―n―4(m+n)―4(m―n)m+n―(m+n)+(m―n)m―n=3―[4(m―n) m+n +m+nm―n].因为m<n<0,所以4(m―n)m+n >0,m+nm―n>0,则4(m―n)m+n+m+nm―n≥24(m―n)m+n⋅m+nm―n=4，当且仅当m=3n时，等号成立，故的最大值为-（1）由a=2,得B={x|1<x<4}, ... 1分 (1)则或x≥4}. ... 3分 (3)因为A={x|-2<x<3},所以A∪B={x|-2<x<4}................................................5分（2）若B=∅,则a-1≥2a,解得a≤-1,满足B⊆A (7)若B≠∅,则由B⊆A,得分 (9)解得 (11)综上所述，a的取值范围为 (13)16.解:（1）由结论①正确,得分 (3)解得-6<m<2 (5)故当结论①正确时，m的取值范围为{m|-6<m<2}....................................6分（2）若m=-1,则原方程转化为-3=0,恒不成立. ... 7分 (7)若m≠-1,则由（m+1）x-3=0,得分 (8)从而解得 (10)当结论①正确，结论②不正确时， (12)当结论②正确,结论①不正确时,m≥2 (14)综上所述，当结论①，②中恰有一个正确时，m的取值范围为或m≥2}..........15 17.解分 (1)则 (4)当且仅当时，等号成立，故的最小值为₆ (6)（2）因为, (8)当且仅当a=b=c=1时,等号成立,... 9分 (9)所以分 (10) (12)当且仅当 ac+ bc=2时,等号成立,此时a=b=c=1, ... 14分 (14)所以的最小值为8………………………………………………………………………………15分18.解:(1)当a=1时,y=x²+5x+5.由题可知x₁,x₂;是方程x²+5x+5=0的两个实数根， (2)由{x21+5x1+5=0, x22+5x2+5=0,得{x 31=―5x21―5x1,x32=―5x22―5x2, 4分则x i+x32=―5(x21+x22)―5(x1+x2)=―5[(x1+x2)2―2x1x2]+25=―75+25=―50.6分(2)由y≥1,得ax²+(3a+2)x+2a+2≥0.当a=0时，不等式整理为………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………7分当a≠0时,令ax²+(3a+2)x+2a+2=(x+1)( ax+2a+2)=0,得x=---1或x=...............................................................................................................9分当a>0时,则原不等式的解集为或3x≥-1} (11)当--2<a<0时,―1<―2a+2a,则原不等式的解集为{x|―1≤x≤―2a+2a};当a=-2时,则原不等式的解集为{-1}；...............................................................15分当a<-2时,则原不等式的解集为 (17)【高一数学·参考答案第3页(共4页)】 ·A1·…13分1,3,5或1,5,9,………………………………………………………………………… (1)故满足条件的B可能是{1,3,5},{1,5,9},{1,3,5,9}...........................................4分（2）解:由A 是“等差集”,得, ... 5 分 (5)且m≥2,则 (6)（舍去）或m=2 (8)当m=2时,A={1,2,3}是“等差集”,故m=2 (9)（3）证明:假设{x,x²,x³, (10)则存在1≤i<j<k≤n,其中i,j,k∈N*,使得 (11)即则分 (12)因为1≤i<j<k≤n,所以k-i>j-i,从而k-i≥j-i+1,... 13分 (13)则2xʲ⁻ⁱ=1+xᵏ⁻ⁱ≥1+xʲ⁻ⁱ⁺¹, ……………………14分则分 (15)因为x≥2，所以从而2-x>0,即x<2, (16)不是“等差集” (17)【高一数学·参考答案第 4 页(共4页)】。
河南省南阳市六校2024-2025学年高一上学期10月期中考试数学试题
河南省南阳市六校2024-2025学年高一上学期10月期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________三、填空题【分析】分别求出f(x )值域为[]2,18时的定义域，从而可求解.【详解】由函数()()2223122f x x x x =-+=-+³，所以当x =1时，f(x )有最小值()12f =，当()18f x =时，即22318x x -+=，解得3x =-或5x =，又因为[)3,1x Î-时，f(x )单调递减，(]1,5x Î时，f(x )单调递增，所以n 的最大值为5，m 的最小值为3-，所以n m -的最大值为538+=.故选：D.8．B【分析】根据函数f(x )为偶函数且在(],0-¥上单调递减，则()()110f f =-=，且f(x )在()0,+¥上单调递增，然后对x 分情况讨论，从而可求解.【详解】由函数f(x )为偶函数且在(],0-¥上单调递减，且()10f =，所以()()110f f =-=，且f(x )在()0,+¥上单调递增，当1x £-时，12x -£-，则()10f x ->，所以()10xf x -<；当10x -<£时，211x -£-£-，则()10f x -³，所以()10xf x -£；当01x <<时，110x -<-<，则()10f x -<，所以()10xf x -<；当12x ££时，011x £-£，则()10f x -£，所以()10xf x -£；当x >2时，11x ->，则()10f x ->，所以()10xf x ->.。
2024届河南省中原名校数学高一上期末教学质量检测试题含解析
固定成本为 200 万元，每生产 x 万箱，需另投入成本 p x万元， x 为年产量 ( 单位：万箱 ) ；已知
所以 a 4 ，即 a 4
故选 A.
【题目点拨】本题考查了函数的零点问题，解决函数零点问题常转化为两函数交点问题
8、A
【解题分析】根据向量的线性运算法则，结合题意，即可求解.
【题目详解】由
中，
，
且边 上一点 满足
，如图所示，
根据向量的线性运算法则，可得： .
故选：A.
9、B
【解题分析】∵ a ， b 分别是方程 x lg x 4 ， x 10x 4 的解， ∴ a lg a 4 ， b 10b 4 ， ∴ a 104a ， 4 b 10b ， 作函数 y 4 x 与 y 10x 的图象如下：
结合图象可以知道，有且仅有一个交点，
故 a 4 b，即 a b 4
分类讨论：
（1）当 x 0 时，方程 f (x) 2x 1可化为 4 2 2x 1， x
计算得出， x 3 41 4
（ 2 ）当 x 0 时，方程 f (x) 2x 1可化 2 2x 1， 计算得出， x 3 ；
19．已知向量 m （cos x，1）， n （
3 sin x，cos2 x），设函数 （f x）= m n + 1
2
（1）求函数 （f x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当 x （0， ）时，求函数 （f x）的值域 2
20． 2021年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、拉姆达”变异毒株，尽管
2024—2025学年河南省高一上学期选科考试数学试卷
2024—2025学年河南省高一上学期选科考试数学试卷一、单选题(★) 1. 命题“，”的否定为（）A．，B．，C．，D．，(★) 2. 已知集合，，，则（）A．B．C．D．(★) 3. 函数的定义域为（）A．B．C．D．(★) 4. 下列选项中与是同一函数的是（）A．，B．，C．，D．，(★★) 5. 已知幂函数在上单调递增，则（）A．B．C．D． 3 (★) 6. 若，，则的取值范围为（）A．B．C．D．(★★) 7. 某生物制药公司为了节约污水处理成本，引进了一批新型生物污水处理器，通过费用开支的记录得知其月处理成本y（元）与月处理量x（吨）满足函数关系式，则每吨的月平均处理成本最低为（）A． 200元B． 220元C． 300元D． 400元(★★★★) 8. 我们将集合S的子集为元素的集合称为S的一个子集族.例如集合有3个子集族：.若集合B中有3个元素，则B的不同子集族有（）A． 128个B． 127个C． 256个D． 255个二、多选题(★★★) 9. 已知集合与的关系如图所示，则与可能是（）A．，B．，C．，D．，(★★★) 10. 已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是（）A．B．C．在上单调递减D．的值域为(★★★) 11. 已知函数，若，，当取得最大值时，的值可能为（）A． 2B． 4C．D．三、填空题(★) 12. 已知下列表格表示的是函数，则 ________ .(★★★) 13. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为 ________ . (★★★) 14. 已知函数满足为奇函数，则 ________ ，________ .四、解答题(★★★) 15. 已知集合，非空集合.(1)若，求的取值范围；(2)设，，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围.(★★) 16. 已知，，且．(1)求的最大值；(2)求的最小值．(★★★) 17. 辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x （）斤，每斤的售价降低x元；第二种方案，顾客买x（）斤，每斤的售价为元．已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元．(1)分别求函数，的解析式；(2)已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？(★★★★) 18. 已知是二次函数，且满足，.(1)求函数的解析式；(2)设函数，求在区间上的最小值的表达式；(3)在（2）的条件下，对任意的，存在，使得不等式成立，求的取值范围.(★★★★) 19. 已知函数的定义域为D，若对任意（，），都有，则称为的一个“n倍区间”．(1)判断是否是函数的一个“倍区间”，并说明理由；(2)若是函数的“2倍区间”，求m的取值范围；(3)已知函数满足对任意，且，都有，且，证明：（）是的一个“3倍区间”．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
河南省高一上学期数学考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共12分)
1. （1分） (2016高一上·马山期中) 下列判断正确的是（）
A . 0∉N
B . 1∈{x|（x﹣1）（x+2）=0}
C . N*∈Z
D . 0={0}
2. （1分） (2019高一上·高台期中) 函数的定义域为（）
A . （，+∞）
B . （–∞，）
C . （，1]
D . （，1）
3. （1分） (2019高一上·临澧月考) 下列四组函数中，f (x)与g (x)表示同一个函数的是（）
A . f (x) = |x|，g(x) =
B . f (x) = 2x，g (x) =
C . f (x) = x，g (x) =
D . f (x) = x，g (x) =
4. （1分）甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米。
甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60o的方向驶去。
当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（）
A . 分钟
B . 小时
C . 21.5分钟
D . 2.15分钟
5. （1分） (2019高三上·安康月考) 已知函数，，若方程
有四个不等的实数根，则实数的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
6. （1分） (2019高三上·西湖期中) 已知函数，则（）
A . ，是的一个周期
B . ，是的一个周期
C . ，是的一个周期
D . ，最小正周期不存在
7. （1分） (2020高三上·哈尔滨开学考) 已知函数的定义域为，是偶函数，，
在上单调递增，则不等式的解集为（）
A .
B .
C .
D .
8. （1分） (2017高三上·济宁开学考) 设常数a＞0，函数f（x）= 为奇函数，则a的值为（）
A . 1
B . ﹣2
C . 4
D . 3
9. （1分）(2018·南充模拟) 已知函数，则函数的图像大致是（）
A .
B .
C .
D .
10. （1分） (2017高一上·舒兰期末) 函数的一个零点所在区间为（）
A .
B .
C .
D .
11. （1分）已知函数，，则，，的大小关系为（）
A .
B .
C .
D .
12. （1分）(2018·海南模拟) 已知为偶函数，对任意，恒成立，且当
时， .设函数，则的零点的个数为（）
A . 6
B . 7
C . 8
D . 9
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2018高一上·广西期末) 计算： ________.
14. （1分）已知集合A中只含有1，a2两个元素，则实数a不能取的值为________．
15. （1分）定义运算则函数f（x）=1*2x的最大值为________
16. （1分） (2019高三上·葫芦岛月考) 设函数，则 ________.
三、解答题 (共6题；共12分)
17. （1分） (2016高一上·赣州期中) 已知集合A={x|2a≤x＜a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}．
（1）若a=﹣1，求A∪B，（∁RA）∩B．
（2）若A∩B=∅，求a的取值范围．
18. （2分） (2018高一上·北京期中) 设集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2+（a-1）x+a2-5=0}．
（1）若A∩B={2}，求实数a的值；
（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．
19. （2分） (2019高一上·吉安月考) 已知二次函数（，为常数，且）满足条件：，且方程有两等根.
（1）求的解析式；
（2）求在上的最大值.
20. （3分） (2019高一上·柳州月考) 已知是R上的奇函数，且当时，；
（1）求的解析式；
（2）作出函数的图象不用列表，并指出它的增区间．
21. （2分） (2019高三上·上海月考) 某温室大棚规定，一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工作作业时段，从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度y（单位：度）与时间t （单位：小时，）近似地满足函数关系，其中，b为大棚内一天中保温时段的通风量。
（1）若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度（精确到0.1℃）；
（2）若要保持一天中保温时段的最低温度不小于17℃，求大棚一天中保温时段通风量的最小值。
22. （2分） (2020高二下·石家庄月考) 已知函数．
（1）若，求的最大值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
参考答案一、单选题 (共12题；共12分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、
考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、考点：
解析：
答案：12-1、考点：
解析：
二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、
考点：
解析：
答案：15-1、
考点：
解析：
答案：16-1、
考点：
解析：
三、解答题 (共6题；共12分)答案：17-1、
答案：17-2、
考点：
解析：
答案：18-1、
答案：18-2、考点：
解析：
答案：19-1、
答案：19-2、考点：
解析：
答案：20-1、
答案：20-2、考点：
解析：
答案：21-1、
答案：21-2、考点：
解析：
答案：22-1、
答案：22-2、考点：
解析：。