半群与幺半群

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近世代数
可逆元素和逆元
问题：设◦为S上的二元运算, 令e为S中关于运算的 单位元. 对于x∈S， (1) 如果x有左逆元yl ，则 x一定有右逆元yr 吗？
例： SS为S上的所有映射的集合，则合成运算为SS 上二元运算. 单射左可逆，满射右可逆.
(2) 若x既有左逆元yl又有右逆元yr ，则yl = yr ? (3) 若x有逆元，则逆元唯一吗？
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近世代数
逆元惟一性定理
定理3 设◦为S上可结合的二元运算, e为该运算的 单位元, 对于x∈S 如果存在左逆元 yl 和右逆元 yr, 则有 yl = yr= y, 且 y是 x 的惟一的逆元.
[说明] 对于可结合的二元运算，可逆元素 x 只有惟 一的逆元，记作 x1 .
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(2) 若S关于◦运算既有左零元 l又有右零元 r ， 则 l = r ( = )? (3) 若S关于◦运算有零元，则零元唯一吗？
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零元惟一性定理
定理2 设◦为S上的二元运算， l 和 r分别为S中关 于运算的左和右零元，则 l = r = 为S上关于◦运 算的惟一的零元.
第2节 半群与幺半群
主要内容:
半群与幺半群 子半群、子幺半群、理想 循环半群与循环幺半群
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2.1 半群与幺半群
定义1 (1) 设(S, ∘)是一个代数系统，如果运算∘满足结合律， 则称(S, ∘)为一个半群. (2) 设(S, ∘)是半群，若e∈S是关于∘运算的单位元， 则称(S, ∘)是一个幺半群，也叫做独异点. 有时也将独异点(S, ∘) 记作 (S,∘,e). (3) 如果(幺)半群S中的运算∘满足交换律，则称(幺)半 群S为交换(幺)半群或可换(幺)半群. (4) 只含有有限个元素的(幺)半群S称为有限(幺)半群， 否则称为无限(幺)半群. 11/25 通常把S的基数称为(幺)半群S的阶.
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性 质
[注意] 有单位元并不是半群的固有性质. 在没有单位元的半群中可能有左单位元，或者有右 单 位元，而且左(右)单位元也可能不只一个，甚至可能 有无穷多个. (1) 有单位元的半群、无单位元的半群； (2) 在没有单位元的半群中可能有左单位元； (3) 在没有单位元的半群中可能有右单位元.
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实 例
例1 (1) (N,+), (Z+,+),(Z,+),(Q,+),(R,+)都是半群，其中+ 是普通加法. 这些半群中除(Z+,+)外都是幺半群.
(2) 设n是大于1的正整数，(Mn(R),+)和(Mn(R),· )都是 半群，也都是幺半群，其中+和· 分别表示矩阵加 法和矩阵乘法.
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特异元素：单位元
问题：设◦为S上的二元运算, (1) 如果S关于◦运算有左单位元el ，则 S关于◦运算 一定有右单位元er 吗？ 例：设R为实数集合，如下定义R上的二元运算∗： x, y∈R, x ∗ y = x 或 x ∗ y = y. (2) 若S关于◦运算既有左单位元el又有右单位元er ， 则el = er ( = e )? (3) 若S关于◦运算有单位元，则单位元唯一吗？
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性 质
定理1 如果半群(S,∘)既有左单位元素又有右单位元 素，则左单位元素与右单位元素相等，从而半群S有 单位元素(即半群S成为幺半群)且单位元素是唯一的. 定理2 有限半群(S,∘)为一个幺半群存在x,yS使得 xS=S，Sy=S. [注 ] (1) 半群的正式研究始于二十世纪初. (2) 自从1950年代，有限半群的研究在理论计算机科 学中变得特别重要，因为在有限半群和有限自动 机之间有自然的联系. 15/25
(3) (P(B),)为半群，也是幺半群，其中为集合对 称差运算.
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实 例
(4) (Zn, )为半群，也是幺半群，其中 Zn={[0],[1],…,[n1]}, [x]={y|y∈Z, y≡x (mod n )} 为模n加法: [x][y]=[x＋y] 或者 [x][y]=(x＋y)mod n (5) (AA,◦)为半群，也是幺半群，其中◦为映射的合成 运算. (6) (R*,◦)为半群，其中R*为非零实数集合，◦运算 定义如下：x, yR*, x◦y=y.
[注意] 当 |S| 2，单位元与零元是不同的； 当 |S| = 1时，这个元素既是单位元也是零元.
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可逆元素和逆元
定义3 设◦为S上的二元运算, 令e为S中关于运算的单 位元. 对于x∈S，如果存在yl (或yr)∈S使得 yl◦x=e（或x◦yr=e） 则称yl (或 yr)是x的左逆元（或右逆元）. 关于◦运算，若y∈S 既是 x 的左逆元又是 x 的右逆 元，则称y为x的逆元. 如果 x 的逆元存在，就称 x 是 可逆的.
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特异元素：单位元
定义1 设◦为S上的二元运算, 如果存在el (或er)S，使得对任意 x∈S 都有 el◦x = x (或 x◦er = x)， 则称el (或er)是S中关于◦运算的左(或右)单位元. 若e∈S关于◦运算既是左单位元又是右单位元，则 称e为S上关于◦运算的单位元. 单位元也叫做幺元.
若 ∈S 关于◦运算既是左零元又是右零元，则称 为S上关于运算◦的零元.
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特异元素：零元
问题：设◦为S上的二元运算, (1) 如果S关于◦运算有左零元 l ，则 S关于◦运算 一定有右零元 r 吗？
例：设R为实数集合，如下定义R上的二元运算∗： x, y∈R, x ∗ y = x 或 x ∗ y = y.
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单位元惟一性定理
定理1 设◦为S上的二元运算，el和er分别为S中关于 运算的左和右单位元，则el = er = e为S上关于◦运算 的惟一的单位元.
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特异元素：零元
定义2 设◦为S上的二元运算， 如果存在 l (或 r)∈S，使得对任意 x∈S 都有 l ◦ x = l ( 或 x ◦ r = r)， 则称 l (或 r)是S 中关于◦运算的左(或右)零元.