高宏2014年第2次习题课(1)

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宏观高宏答案1中文

第一章1．如教材中方程（⒈10）所示，一个变量的增长率等于其对数的时间导数。

则，（a ）若)()()(t Y t X t Z =，有：[]dtt Y t X d dt t z d t z t z )()(ln )(ln )()(==•利用导数的性质可得：[])()()()()(ln )(ln )(ln )(ln )()(t Y t Y t X t X dt t Y d dt t X d dt t Y t X d t z t z •••+=+=+=（b ）若)()()(t Y t X t Z =，有：[][]dtt Y t X d dt t Y t X d dt t z d t z t z )(ln )(ln )()(ln )(ln )()(−===•)()()()()(ln )(ln t Y t Y t X t X dt t Y d dt t X d ••−=−=（c ）若，有：)()(t X t Z α=)()()(ln ln )(ln )()()(t X t X dt t X d dt d dt t z d t z t z t X ••====ααα⒉（a ）由已知可得，时间函数X 的增长率的图形为：即，从0至t 1，增长率为常数，且,至a 0>a t 1时刻下降为0，在t 1至t2的时间段，X 的增长率逐渐上升至，并于a t2后保持不变的增长率。

（b ）时间函数关于时间t 的斜率为：X ln)()()(ln t X t X dt t X d •=，即斜率为X 的增长率，由此可知：即：从0至t 1，)(lnt X 为一条斜率为的线段，从a t 1至t 2，)(ln t X 的斜率从0逐渐增大直至斜率恢复到a 的状态，从t2起，)(ln t X 又是一条斜率为的直线。

a⒊持平投资线为()k g n δ++，实际投资线为)(k sf（a ）持平投资线的斜率给定为()δ++g n ，故折旧率δ的下降，意味着持平投资线斜率的减小。

高2014级第二次诊断性测试题语文试卷

高2014级第二次诊断性测试题语文1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.选择题答案用2B铅笔填涂在“机读部分”处。

第一部分阅读（70分）―、现代文阅读（35分）（一）论述类文本(9分)阅读下面的文字，完成1～3题。

本次全国人大会议将审议、表决民法总则草案，这是中国法治建设的大事件。

舆论对此总体上反应正面、热烈，但也有一些人泼冷水，其中“操之过急”论、“条件不成熟”论都比较典型。

众所周知，民法是离老百姓最近的法律，一个人一辈子都可能沾不到刑法的边，但每个人却无时无刻不“生活在民法当中”。

一个国家只有民法完善了，并让它在社会生活中发挥主导作用了，依法治国才算真的落到了实处。

中国1986年通过了民法通则，至今30年过去，社会发生了翻天覆地的变化，我们个人生活的维度前所未有，各种权利意识不断觉醒，完善民法因此成了当务之急。

这一立法的浩大工程无疑具有历史意义，它既契合了中国改革开放近40年所形成的社会权利关系面貌，也将对未来中国法治的进一步演进打下坚实基础。

世界上的立法没有一次是“百分百成熟”的，也几乎不可能管住立法之后长时间里的全部社会实践，否则的话，宪法就不会有修正案，各种法律也就不需修订了。

有人批评对编纂民法总则草案泼冷水的人说，没有民法的时候，他们说中国不重视法律；真的修民法总则了，他们又嫌修得太快了，质疑其质量。

总之，怎么都无法让他们高兴。

中国是不是很需要一部完整的民法典？回答无疑是肯定的。

那么国家就应致力于民法典的编纂和施行，这当中如果有什么困难和问题，都是应当全力克服的，而不应把它们作为推迟民法典修订的理由。

民法总则针对了今天中国社会的大量关切，比如父母子女之间的抚养、赡养关系，胎儿权利，保护见义勇为的行为，保护个人隐私，网络世界的一些权利义务关系等等。

绝大多数老百姓对有一部民法典来保护他们的权利充满期待。

高宏2014年第1次习题课

／σ
]] σ／(σ-1)
] σ／(σ-1)
所以生产函数为规模报酬不变的。 b) 对生产函数两边均除以 AL：Y／AL=[ (K／AL)(σ-1)／σ +1] σ／(σ-1) 取 k=K／AL,y=Y／AL=f(k), 则可以得到生产函数的密集形式： a) f(k)= [k(σ-1)／σ +1] σ／(σ-1) c）对(1)式两边对 k 求导数： f′(k)= [σ／(σ-1)] [k(σ-1)／σ +1] σ／(σ-1)-1[(σ-1)／σ] k[(σ-1)／
2014 年高级宏观经济学第 1 次习题课
1.1 考虑一处于平衡增长路径上的索洛经济，为了简单，假定无技术进步。现在假定人口增长率下降。 a) 处于平衡增长路径上的每工人平均资本、每工人平均产量和每工人平均消费将发生什么变化？画出经济向其新平衡增长路径移动的过程中这些变量的路径。 b) 说明人口增长率下降对产量路径(总产量，而非每工人平均产量)的影响。答： a) k˙=sf(k)-(n+σ)k 假设经济在初始时处于平衡增长路径上，即满足 k*˙=sf(k*)-(n+σ)k*=0.此时，经济中的实际投资等于持平投资，两条线相交于 (k*,y*) 。在 t0 时刻，当人口增长率由 n 下降到 nnew 后，实际投资线不变，持平投资线发生偏转。此时，k*˙=sf(k*)-(nnew+σ)k*>0,实际投资超过持平投资，每个人平均资本开始增加。在 t1 时刻之后，经济重新达到平衡增长路径后。 k*new˙=sf(k* new)-(nnew+σ)k* new =0, 单位有效劳动（由于没有技术进步，相当于每人）实际投资等处持平投资。在 t0 时刻到 t1 时刻之间，由于 k˙>0，所以每个人平均资本逐步增长。而由于生产函数固定，所以每个人平均产出伴随每个人平均资本的增加而增加，每个人平均消费也将随之逐步增加（c=(1-s)f(k) ）。

【2014朝阳二模】北京市朝阳区2014届高三第二次综合练习文科数学 Word版含答案

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类）2014．5（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）若全集{},,,U a b c d =，{},A a b =，{}B c =，则集合{}d 等于（A ）()U AB ð （B ）A B （C ）A B （D ）()U AB ð （2）下列函数中，既是奇函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为（A ） sin y x = （B ）ln y x = （C ）3y x = （D ） 2x y = （3）已知抛物线22x y =,则它的焦点坐标是（A ）1,04⎛⎫⎪⎝⎭ （B ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （C ）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）1,02⎛⎫⎪⎝⎭（4）执行如图所示的程序框图．若输入3a =,则输出i 的值是（A ）2 （B ） 3 （C ） 4 （D ） 5（5）由直线10x y -+=，50x y +-=和10x -=)用不等式组可表示为（A ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ （B ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ （C ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩ （D ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩（6）在区间ππ[-,]上随机取一个数x ，则事件：“cos 0x ≥”的概率为（A ）14 （B ） 34 （C ）23 （D ）12（7）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若11a d ==，则8n nS a +的最小值为（A ）10 （B ）92 （C ）72 （D）12+ ( 8 )已知平面上点{2200(,)()()16,P x y x x y y ∈-+-=其中}22004x y +=，当0x ，0y 变化时，则满足条件的点P 在平面上所组成图形的面积是(A) 4π (B) 16π ( C) 32π （D ）36π第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.计算12i1i+=- . 10.已知两点()1,1A ，()1,2B -，若12BC BA =，则C 点坐标是 . 11.圆心在x 轴上，半径长是4，且与直线5x =相切的圆的方程是．12.由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，其体积是；表面积是．13.设一列匀速行驶的火车，通过长860m 的隧道时,整个车身都在隧道里的时间是22s .该列车以同样的速度穿过长790m 的铁桥时，从车头上桥，到车尾下桥，共用时33s ，则这列火车的长度为___m .22俯视图侧视图正视图（第12题图）14.在如图所示的棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，作与平面1ACD 平行的截面，则截得的三角形中面积最大的值是___；截得的平面图形中面积最大的值是___.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（满分13分）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A B C ，，的对边.已知a =π3A =.（Ⅰ）若b =C 的大小；（Ⅱ）若2c =，求边b 的长. 16. （本小题满分13分）某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段75,80),80,85),[85,90),[90,95),[95,100][[（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．17. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．（Ⅰ）若E ，F 分别为PC ，BD 中点，求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：PA ⊥CD ；（Ⅲ）若2PA PD AD ==，AA求证：平面PAB ⊥平面PCD ．18.（本小题满分13分）已知函数e ()xa f x x⋅=（a ∈R ,0a ≠）.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在点()1,(1)f 处切线的方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，若()f x 1≥恒成立，求a 的取值范围. 19.（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l 10mx y ++=与椭圆C 交于,A B 两点，是否存在实数m ，使O A O B O A O B +=-成立？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分13分）已知函数()f x 对任意,x y ∈R 都满足()()()1f x y f x f y +=++，且1()02f =，数列{}n a 满足：()na f n =，*n ∈N .（Ⅰ）求(0)f 及(1)f 的值;（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式; （Ⅲ）若311()()42n naa nb +=-，试问数列{}n b 是否存在最大项和最小项？若存在，求出最大项和最小项；若不存在，请说明理由.北京市朝阳区高三年级第二次综合练习15. （Ⅰ）解：由正弦定理sin sin a b A B =，得=，解得sin 2B =. 由于B 为三角形内角，b a <，则4B π=，所以3412C ππ5π=π--=. ………6分（Ⅱ）依题意，222cos 2b c a A bc+-=，即2141224b b +-=.整理得2280b b --=，又0b >，所以4b =. ………13分另解：由于sin sin a cA C=2sin C =，解得1sin 2C =. 由于a c >,所以π6C =.由π3A =，得π2B =.由勾股定理222b c a =+，解得4b =. …13分 16. 解：（Ⅰ）由题意可知，参加社区服务在时间段[90,95)的学生人数为200.0454⨯⨯=（人），参加社区服务在时间段[95,100]的学生人数为200.0252⨯⨯=（人）．所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 4+26=（人）． ………5分（Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A ．由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段,95)[90的学生有4人，记为,,,a b c d ；参加社区服务在时间段5,100[9]的学生有2人，记为,A B ．从这6人中任意选取2人有,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aA aB bc bd bA bB cd cA cB dA dB AB共15种情况．事件A 包括,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 共7种情况．所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率7()15P A =．………13分 17. 证明：（Ⅰ）如图，连结AC ．因为底面ABCD 是正方形，所以AC 与BD 互相平分又因为F 是BD 中点，所以F 是AC 中点．在△PAC 中，E 是PC 中点，F 是AC 中点，所以EF ∥PA ．又因为EF ⊄平面PAD ，APA ⊂平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ． ………4分（Ⅱ）因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD 平面=ABCD AD ，又CD AD ⊥，所以CD ⊥面PAD ．又因为PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥．即PA ⊥CD ． …9分（Ⅲ）在△PAD 中，因为PA PD AD ==，所以PA PD ⊥．由（Ⅱ）可知PA ⊥CD ，且=CDPD D ，所以PA ⊥平面PCD ．又因为PA ⊂平面PAB ，所以面PAB ⊥平面PCD ． …14分18. （Ⅰ）22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x ⋅--'==,0x ≠.当1a =时，2e (1)()x x f x x -'=.依题意(1)0f '=，即在1x =处切线的斜率为0.把1x =代入e ()xf x x=中，得(1)e f =.则曲线()f x 在1x =处切线的方程为e y =. ………………….4分（Ⅱ）函数()f x 的定义域为{}0x x ≠.由于22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x ⋅--'==.（1）若0a >，当()0f x '>，即1x >时，函数()f x 为增函数；当()0f x '<，即0x <和01x <<时，函数()f x 为减函数.（2）若0a <，当()0f x '>，即0x <和01x <<时，函数()f x 为增函数；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 为减函数.综上所述，0a >时，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞；单调减区间为(),0-∞，()0,1.0a <时, 函数()f x 的单调增区间为(),0-∞，()0,1;单调减区间为()1,+∞.………………….9分（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，要使()f x =e 1xa x⋅≥恒成立，即使e x x a ≥在()0,x ∈+∞时恒成立. 设()e x x g x =，则1()exxg x -'=.可知在01x <<时，()0g x '>，()g x 为增函数； 1x >时，()0g x '<，()g x 为减函数.则max 1()(1)eg x g ==.从而1e a ≥.另解：(1)当0a <时，()e 1a f a =<，所以()f x 1≥不恒成立.(2)当0a >且()0,x ∈+∞时，由（Ⅰ）知，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1.所以函数()f x 的最小值为(1)e f a =，依题意(1)e 1f a =≥，解得1e a ≥. 综上所述，1ea ≥． .13分 19. （Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，半焦距为c .依题意1,21.c e a a c ⎧==⎪⎨⎪-=⎩ 解得1c =，2a =，所以2223b a c =-=.所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=. ………………….4分（Ⅱ）不存在实数m ，使||||OA OB OA OB +=-，证明如下：把1y mx =--代入椭圆C:223412x y +=中，整理得22(34)880m x mx ++-=. 由于直线l 恒过椭圆内定点()0,1-，所以判别式0∆>. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则122843m x x m +=-+,122843x x m -⋅=+. 依题意，若||||OA OB OA OB +=-，平方得0OA OB ⋅=. 即12121212(1)(1)0x x y y x x mx mx +=+--⋅--=, 整理得21212(1)()10m x x m x x ++++=，所以2(1)m +2843m -+2281043m m -+=+, 整理得2512m =-，矛盾．所以不存在实数m ，使||||OA OB OA OB +=-. ………………….14分 20. 解：（Ⅰ）在()()()1f x y f x f y +=++中，取0x y ==，得(0)1f =-，在()()()1f x y f x f y +=++中，取12x y ==，得(1)1f =，…………2分（Ⅱ）在()()()1f x y f x f y +=++中，令x n =，1y =，得(1)()2f n f n +=+，即12n n a a +-=.所以{}n a 是等差数列，公差为2，又首项1(1)1a f ==，所以21n a n =-,*n ∈N . …………6分（Ⅲ）{}n b 存在最大项和最小项令2111()()22na n t -==，则22111()816256nb t t t =-=--，显然102t <≤，又因为N n *∈，所以当12t =，即1n =时，{}n b 的最大项为1316b =. 当132t =，即3n =时，{}n b 的最小项为331024b =-. …………13分。

高宏(08)2014年11月17日§2.1§2.2(纯白)

•第三次作业：第117页：•2.8 —2.11•11月24日交第3次作业2014-11-17 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

尽管这涉及选择每一时点上的c(而非像标准的最大化问题那样，仅选择有限的一组变量)，传统的最大化方法仍可使用。

2014-11-17 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

因此，我们可用目标函数(2.14)和预算约束(2.7)来构造拉格朗日函数：•目标函数：∞[ e -βt c(t)1-θ／(1-θ) ] dt (2.14)•U ≡ B∫t=02014-11-17 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

版权所有4•约束条件：•∫t=0∞e -R(t) c(t) e(n+g)t dt•≤ k(0) + ∫t=0∞e -R(t) w(t) e(n+g)t dt (2.7)•L= B∫t=0∞[e -βt c(t) 1-θ／(1-θ)]dt +λ[ k(0) +•∫t=0∞e -R(t) e(n+g)t w(t)dt -∫t=0∞e -R(t) e(n+g)t c(t)dt ]•(2.15)2014-11-17 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

如何选择，以最大化一生的效用。

•k(t)：状态变量。

•t ：时间变量。

2014-11-17 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

2014GCT模考二(答案)

清华在线2014年模考二答案第一部分语言表达能力测试答案： 01-10：DBCCDCBCAD 11-20：DBBADCDCDC 21-30：DBBBDBAAAA 31-40：ABCDCDDDAD 41-50：CACDCDCABC答案分布统计：10A 10B 14C 16D第二部分数学基础能力测试1. C ，2. A ，3．D ，4．D ，5．B ，6．A ，7．B ，8．A ，9．B ，10．D ，11．C ，12．C ， 13．A ，14．A ，15．B ，16．D ，17．D ，18．B ，19．A ，20．A ，21．C ，22．A ，23．B ， 24．C ，25．D第三部分逻辑推理能力测试解析： 1答案：A 。

显然，“不是不可能”即“可能”。

不要多想。

2如果D 项为真，即事实上，许多在洛杉矶生产的漂亮请贴就是被洛杉矶的聚会所购买的。

而只有很多聚会同时开，主人才发漂亮请贴。

由此得出结论：洛杉矶的聚会一定多。

3[解题分析]答案：A 。

此题考查平均数和离散度的关系。

4答案是A 。

政府的选择是很多的，不仅仅就是题干提出的两条路。

改造现房也是一条路子。

所以，需要补充一个选择。

5 [解题分析]答案：B 。

否定带入，非“只有该总裁的继任者喜欢被批评的感觉，他才会批评继任者”。

即，批评继任者，且在该总裁的继任者不喜欢被批评的感觉的时候。

显然这个命题违背题干的意思。

6 答案：D 。

题干中董事A 从全球范围内烟草业在广告上的收益正好等于其支出，就推出自己公司的烟草广告完全可以不做，犯了“平均数”的逻辑错误。

因为很可能Z 烟草公司烟草业在广告上的收益远远大于其支出。

如果不广告可能不会达到目前的利润水平。

7 [解题分析]答案：D 。

D 选项指出“实体商店”是“网络商店”的必要条件，所以，题干受到了直接的严重削弱。

其它选项都是另有他因的间接削弱，所以不如D 选项。

8 答案：A 。

题目试图论证：“经常吃沙棘果对儿童的智力发育有益。

2014年高考训练二

地质二中高三第一学期第二次文科综合测试12．假定去年某国待售商品价格总额为2000亿元，货币流通次数为4次。

今年该国待售商品价格总额增加了10﹪，而实际纸币发行量为660亿元。

在其他条件不变的情况下，去年售价50元的商品今年的售价应为（）A．40元B．60元C．50元D．70元13．“好事都是从拉手开始的，别的不说了，团购上拉手网，就这么定了”，这是电影明星葛优为当今国内团购网站“拉手网”做的广告。

从2010年开始，团购网站在我国兴起，这为中国网民带来一种新型的网络购物方式，由于它提供的多是服务类型产品而受到消费者的热捧。

网络购物的盛行（）①使货币职能发生了本质性的变化②没有改变商品交换的本质③使商品交换的方式发生了变化④表明纸币已经由电子货币取代A．①②B．②③C．①③D．①④14．据国家统计局发布的数据显示，2011年6月份，全国居民消费价格总水平同比上涨6．4%。

其中，城市上涨6．2%，农村上涨7．0%；食品价格上涨14．4%，非食品价格上涨3．0%；消费品价格上涨7．4%，服务项目价格上涨4．0%。

全国居民消费价格总水平环比上涨0．3%。

在其他条件不变的前提下，CPI指数上升可能会（）①物价上涨，降低居民购买力②促使企业扩大生产规模③人们消费水平会急剧降低④促使企业提高商品的价值量，获得更多利润A．②④B．①④C．①②D．②③15．甲商品的价格（P）与数量（Q）之间存在如图6所示关系。

假设甲商品曲线D3不变，当甲商品曲线从D1移到D2时，市场可能出现的情况有（）①甲商品供不应求，价格上涨②甲商品的替代产品供给增加③甲商品的互补商品需求减少④甲商品的替代商品需求减少A．②③B．③④C．①②D．①④16．2010年1月13日召开的国务院常务会议决定，加快推进电信网、广播电视网和互联网三网融合，并提出了推进三网融合的阶段性目标，探索形成保障三网融合规范有序开展的政策体系和体制机制。

为满足居民对三网融合后产品的需求，新一轮三网融合相关的投资热潮已经暗流涌动，有望成为2010年通信信息领域最大的投资亮点。

北京市朝阳区2014届高三第二次综合练习-理科数学-Word版包含答案

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2014．5（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合{230}A x x =∈-≥R ，集合2{320}B x x x =∈-+<R ，则AB =（A ）32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ （B ）322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭（C ）{}12x x << （D ）322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（A ）33log log a b < （B ）11()()44a b>（C ）11a b< （D ）22a b <（3）执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是（A ）{}1,2,3,4,5 （B ）{}1,2,3,4,5,6 （C ）{}2,3,4,5 （D ）{}2,3,4,5,6（4）已知函数()π()sin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则ϕ=（A ）π6- （B ）6π（C ）π3- （D ）π3（5）已知命题p ：复数1iiz +=在复平面内所对应的点位于第四象限；命题q ：0x ∃>，cos x x =，则下列命题中为真命题的是（A ）()()p q ⌝∧⌝ （B ）()p q ⌝∧ （C ）()p q ∧⌝ （D ）p q ∧（6）若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（A ）(1,2] （B ）[2,)+∞ （C）（D)+∞ （7）某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如下表所示．若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨，电不超过60千度，则可获得的最大纯利润和是（A ）60万元（B ）80万元（C ）90万元（D ）100万元（8）如图放置的边长为1的正△PMN 沿边长为3的正方形ABCD 的各边内侧逆时针方向滚动．当△PMN 沿正方形各边滚动一周后，回到初始位置时，点P 的轨迹长度是（A ）83π （B ）163π（C ）4π （D ）5π第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．（9）已知平面向量a ，b 满足1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为60︒，则2+=a b ____．（10）5(12)x -的展开式中3x 项的系数为___．（用数字表示）（11）如图，AB 为圆O 的直径，2AB =,过圆O 上一点M 作圆O 的切线，交AB 的延BA长线于点C ，过点M 作MD AB ⊥于点D ，若D 是OB 中点，则AC BC ⋅=_____．（12）由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是；表面积是．（13）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24()n n S a n *=-∈N ，则n a = ；数列2{log }n a 的前n 项和为．（14）若存在正实数M ，对于任意(1,)x ∈+∞，都有()f x M ≤，则称函数()f x 在(1,)+∞上是有界函数．下列函数 ①1()1f x x =-； ②2()1x f x x =+； ③ln ()xf x x=； ④()sin f x x x =，其中“在(1,)+∞上是有界函数”的序号为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题满分13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3A 2π=，3b =，△ABC．（Ⅰ）求边a 的长；（Ⅱ）求cos2B 的值．A （第11题图）22俯视图侧视图正视图（第12题图）（16）（本小题满分13分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；（Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．（17）（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为PA ，BD 中点，2PA PD AD ===．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PBC ；（Ⅱ）求二面角E DF A --的余弦值；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点G ，使GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．（18）（本小题满分13分）已知函数21()e1x f x ax +=-+，a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）设32e a <，当[0,1]x ∈时，都有()f x ≥1成立，求实数a 的取值范围．服务时间/小时FABCDP E（19）（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.（20）（本小题满分13分）已知1x ，2x 是函数2()f x x mx t =++的两个零点，其中常数m ，t ∈Z ，设120()nn r rn r T x x n -*==∈∑N ．（Ⅰ）用m ，t 表示1T ，2T ；（Ⅱ）求证：543T mT tT =--；（Ⅲ）求证：对任意的,n n T *∈∈N Z ．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2014．5二、填空题（满分30分）三、解答题（满分80分） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由1sin 2ABC S bc A ∆=得，13sin 23ABC S c ∆2π=⨯⨯=．所以5c =．由2222cos a b c bc A =+-得，22235235cos493a 2π=+-⨯⨯⨯=，所以7a =． ……………7分（Ⅱ）由sin sin a bA B=3sin B =，所以sin B =所以271cos 212sin 98B B =-=． ……………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据题意，参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为2000.060560⨯⨯=（人），参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人．所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为6020802.2002005P +=== ……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为2.5由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．所以00332327(0)()()55125P C ξ==⋅=； 11232354(1)()()55125P C ξ==⋅=； 22132336(2)()()55125P C ξ==⋅=； 3303238(3)()()55125P C ξ==⋅=．随机变量ξ的分布列为因为 ξ~2(3)5B ，，所以355E ξ=⨯=． ……………13分17．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）如图，连结AC ．因为底面ABCD 是正方形，所以AC 与BD 互相平分．又因为F 是BD 中点，所以F 是AC 中点．在△PAC 中，E 是PA 中点，F 是AC 中点，所以EF ∥PC ．又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ． ……………4分（Ⅱ）取AD 中点O ．在△PAD 中，因为PA PD =，所以PO AD ⊥．因为面PAD ⊥底面ABCD ，且面PAD面=ABCD AD ，E P DCBAF所以PO ⊥面ABCD ．因为OF ⊂平面ABCD 所以PO OF ⊥．又因为F 是AC 中点，所以OF AD ⊥．如图，以O 为原点，,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．因为2PA PD AD ===，所以OP =，则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(1,0,0)D -，P，1(2E ，(0,1,0)F ．于是(0,2,0)AB =，3(,0,22DE =，(1,1,0)DF =．因为OP ⊥面ABCD，所以OP =是平面FAD 的一个法向量．设平面EFD 的一个法向量是000=(,,)x y z n ．因为0,0,DF DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以00000,30,2x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩即0000,.y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 令01x =则=(1,1,-n ．所以cos ,OP OP OP ⋅<>===⋅n n n．由图可知，二面角E-DF-A 为锐角，所以二面角E-DF-A …10分（Ⅲ）假设在棱PC 上存在一点G ，使GF ⊥面EDF ．设111(,,)G x y z ，则111=(,1,)FG x y z -．由（Ⅱ）可知平面EDF 的一个法向量是=(1,1,-n ．因为GF ⊥面EDF ，所以=FG λn ．于是，111,1,xy z λλ=-=-=，即111,1,x y z λλ==-=．又因为点G 在棱PC 上，所以GC 与PC 共线．因为(1,2,PC =-，111(+1,2,)CG x y z =-，所以111212x y +--==．所以1112λλ+---==，无解．故在棱PC 上不存在一点G ，使GF ⊥面EDF 成立． ……………14分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）由已知得21()2ex f x a +'=-．因为曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，所以(0)e f '=．所以(0)2e e f a '=-=．所以e a =． ……………3分（Ⅱ）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，21()2ex f x a +'=-．（1）当0a ≤时，()0f x '>成立，所以)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞．（2）当0a >时，令()0f x '>，得11ln 222a x >-，所以()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞；令()0f x '<，得11ln 222a x <-，所以()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-．综上所述，当0a ≤时，)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln,)222a -+∞， ()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-． ……………8分（Ⅲ）当0x =时，(0)e 11f =+≥成立，a ∈R ． “当(0,1]x ∈时，21()e11x f x ax +=-+≥恒成立”等价于“当(0,1]x ∈时，21e x a x+≤恒成立．”设21e ()x g x x+=，只要“当(0,1]x ∈时，min ()a g x ≤成立．”212(21)e ()x x g x x +-'=．令()0g x '<得，12x <且0x ≠，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(0, )2上为减函数；令()0g x '>得，12x >，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(,1]2上为增函数．所以函数()g x 在12x =处取得最小值，且21()2e 2g =．所以22e a ≤．又因为a 32e <，所以实数a 的取值范围22(,e ]-∞． ……………13分（Ⅲ）另解：（1）当0a ≤时，由（Ⅱ）可知， ()f x 在[0,1]上单调递增，所以()(0)e 1f x f ≥=+．所以当0a ≤时，有()1f x ≥成立．（2）当02e a <≤时，可得11ln 0222a -≤．由（Ⅱ）可知当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln,)222a -+∞，所以()f x 在[0,1]上单调递增，又()(0)e 1f x f ≥=+，所以总有()f x ≥1成立．（3）当32e 2e a <<时，可得110ln 1222a <-<．由（Ⅱ）可知，函数()f x 在11[0,ln )222a -上为减函数，在11(ln ,1]222a -为增函数，所以函数()f x 在11ln 222a x =-处取最小值，且ln 211(ln )e ln 1ln 122222222a a a a a a af a -=-++=-+．当[0,1]x ∈时，要使()f x ≥1成立，只需ln 1122a aa -+≥，解得22e a ≤．所以22e 2e a <≤．综上所述，实数a 的取值范围22(,e ]-∞．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，半焦距为c .依题意12c e a ==，由右焦点到右顶点的距离为1，得1a c -=．解得1c =，2a =．所以2223b a c =-=．所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=． ……………4分（Ⅱ）解：存在直线l ，使得22OA OB OA OB +=-成立.理由如下：由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=． 222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，化简得2234k m +>．设1122(,),(,)A x y B x y ，则122834km x x k+=-+，212241234m x x k -=+．若22OA OB OA OB +=-成立，即2222OA OB OA OB +=-，等价于0OA OB ⋅=．所以12120x x y y +=． 1212()()0x x kx m kx m +++=，221212(1)()0k x x km x x m ++++=，222224128(1)03434m km k km m k k -+⋅-⋅+=++, 化简得，2271212m k =+．将227112k m =-代入2234k m +>中，22734(1)12m m +->，解得，234m >．又由227121212m k =+≥，2127m ≥，从而2127m ≥，m ≥m≤ 所以实数m 的取值范围是2(,[21,)7-∞+∞． ……………14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由12x x m +=-，12x x t =．因为120n n r r n r T xx -==∑，所以11112120r r r T x x x x m -===+=-∑． 222222************()r r r T x x x x x x x x x x m t -===++=+-=-∑． …………3分（Ⅱ）由120k k r r k r T x x -==∑，得 545455512112214200r r r r r r T xx x x x x x T x --====+=+∑∑．即55142T x T x =+，同理，44132T x T x =+．所以5241232x T x x T x =+．所以5142412312412343()()T x T x T x x T x x T x x T mT tT =+-=+-=--．……………8分（Ⅲ）用数学归纳法证明．（1）当1,2n =时，由（Ⅰ）问知k T 是整数，结论成立．（2）假设当1,n k =-n k =（2k ≥）时结论成立，即1,k k T T -都是整数．由120k k r r k r T xx -==∑，得111112112200k kk r r k r r k k r r T x x x x x x ++--++====+∑∑．即1112k k k T x T x ++=+．所以112k k k T x T x -=+，121212k k k x T x x T x +-=+．所以11212112121()()k k k k k k T x T x T x x T x x T x x T +--=+-=+-．即11k k k T mT tT +-=--．由1,k k T T -都是整数，且m ，t ∈Z ，所以1k T +也是整数．即1n k =+时，结论也成立．由（1）（2）可知，对于一切n *∈N ，120n n r r r x x -=∑的值都是整数． ………13分。

北京市朝阳区2014年高三第二次综合练习-含答案

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习理科综合试卷2014．5 本试卷共16页，共300分。

考试时长150分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

以下数据可供解题时参考：可能用到的相对原子质量：第一部分（选择题共120分）本部分共20小题，每小题6分，共120分。

在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

13．下列四种现象中与光的干涉有关的是 A ．雨后空中出现彩虹 B ．肥皂泡的表面呈现彩色C ．一束白光通过三棱镜后形成彩色光带D ．一束白光通过很窄的单缝后在光屏上形成彩色光带14．图为氢原子的能级示意图。

现有大量的氢原子处于n =4的激发态，当这些氢原子向低能级跃迁时 A ．能发出3种不同频率的光 B ．能发出4种不同频率的光 C ．能发出5种不同频率的光 D ．能发出6种不同频率的光15．如图所示，一理想变压器原、副线圈的匝数比n 1:n 2=4:1，电阻R =55Ω。

原线圈两端接一正弦式交变电流，其电压的有效值为220V 。

则原线圈中电流的大小为 A ．0.25A B ．1.0A C ．4.0A D ．16A16．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为π8sin 2x t (cm)，则A ．质点的振幅为16cmB ．质点的振动周期为2sC ．在0~1s 内，质点的速度逐渐减小D ．在1~2s 内，质点的动能逐渐减小 17．如图1所示，矩形线圈位于一变化的匀强磁场内，磁场方向垂直线圈所在的平面（纸面）向里，磁感应强度B 随时间t 的变化规律如图2所示。

用I 表示线圈中的感应电流，取顺时针方向的电流为正。

则图3中的I -t 图像正确的是18．2013年12月2日1时30分，嫦娥三号探测器由长征三号乙运载火箭从西昌卫星发射中心发射，首次实现月球软着陆和月面巡视勘察。

嫦娥三号的部分飞行轨道示意图如图所示。

假设嫦娥三号在圆轨道和椭圆轨道上运动时，只受到月球的万有引力。

2014年高考数学(文)二轮配套教案：第一部分专题复习篇专题一第二讲

第二讲数形结合思想1．数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确．2．数形结合思想的实质、关键及运用时应注意的问题：其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化，在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参，合理用参，建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．3．实现数形结合，常与以下内容有关：(1)实数与数轴上的点的对应关系；(2)函数与图象的对应关系；(3)以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；(4)所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．如等式(x－2)2＋(y－1)2＝4，表示坐标平面内以(2,1)为圆心，以2为半径的圆．1． (2013·重庆)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为() A．52－4 B.17－1C．6－2 2 D.17答案 A解析设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1′(2，－3)，那么|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2.而|PM|＝|PC1|－1，|PN|＝|PC2|－3，∴|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥52－4.2．(2011·大纲全国)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是()A．1 B．2 C. 2 D.2 2答案 C解析如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a －c ，CB →＝ b －c .由题意知CA →⊥CB →，∴O 、A 、C 、B 四点共圆．∴当OC 为圆的直径时，|c |最大，此时，|OC →|＝ 2.3． (2013·山东)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12答案 C解析如图，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0得A (3，－1)．此时直线OM 的斜率最小，且为－13.4． (2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ， x ≤0，ln (x ＋1)， x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]答案 D解析函数y ＝|f (x )|的图象如图． ①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立． ②当a >0时，只需在x >0时， ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度．显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立．即a ≥x －2成立，∴a ≥－2.综上所述：－2≤a ≤0.故选D.5． (2012·天津)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．答案 (0,1)∪(1,4)解析根据绝对值的意义， y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(x >1或x <－1)，－x －1(－1≤x <1).在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点．题型一数形结合解决方程的根的个数问题例1 (2012·福建)对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x－1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．审题破题本题以新定义为背景，要先写出f (x )的解析式，然后将方程f (x )＝m 根的个数转化为函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝m 的交点个数．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1－316，0解析由定义可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)x ，x ≤0，－(x －1)x ，x >0.作出函数f (x )的图象，如图所示．由图可知，当0<m <14时，f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3. 不妨设x 1<x 2<x 3，易知x 2>0，且x 2＋x 3＝2×12＝1，∴x 2x 3<14.令⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)x ＝14，x <0，解得x ＝1－34.∴1－34<x 1<0，∴1－316<x 1x 2x 3<0.反思归纳研究方程的根的个数、根的范围等问题时，经常采用数形结合的方法．一般地，方程f (x )＝0的根，就是函数f (x )的零点，方程f (x )＝g (x )的根，就是函数f (x )和g (x )的图象的交点的横坐标．变式训练1 已知：函数f (x )满足下面关系：①f (x ＋1)＝f (x －1)；②当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则方程f (x )＝lg x 解的个数是( )A ．5B ．7C ．9D ．10答案 C解析由题意可知，f (x )是以2为周期，值域为[0,1]的函数．又f (x )＝lg x ，则x ∈(0,10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．由图象可知共9个交点．题型二数形结合解不等式问题例2 设有函数f (x )＝a ＋－x 2－4x 和g (x )＝43x ＋1，已知x ∈[－4,0]时恒有f (x )≤g (x )，求实数a 的取值范围．审题破题 x ∈[－4,0]时恒有f (x )≤g (x )，可以转化为x ∈[－4,0]时，函数f (x )的图象都在函数g (x )的图象下方或者两图象有交点．解 f (x )≤g (x )，即a ＋－x 2－4x ≤43x ＋1，变形得－x 2－4x ≤43x ＋1－a ，令y ＝－x 2－4x ， ① y ＝43x ＋1－a .②①变形得(x ＋2)2＋y 2＝4(y ≥0)，即表示以(－2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆；②表示斜率为43，纵截距为1－a 的平行直线系．设与圆相切的直线为AT ，AT 的直线方程为： y ＝43x ＋b (b ＞0)，则圆心(－2,0)到AT 的距离为d ＝|－8＋3b |5，由|－8＋3b |5＝2得，b ＝6或－23(舍去)．∴当1－a ≥6即a ≤－5时，f (x )≤g (x )．反思归纳解决含参数的不等式和不等式恒成立问题，可以将题目中的某些条件用图象表现出来，利用图象间的关系以形助数，求方程的解集或其中参数的范围．变式训练2 已知不等式x 2＋ax －2a 2<0的解集为P ，不等式|x ＋1|<3的解集为Q ，若P ⊆Q ，求实数a 的取值范围．解 x 2＋ax －2a 2＝(x ＋2a )(x －a )<0. |x ＋1|<3⇒Q ＝{x |－4<x <2}．当－2a <a ，即a >0时，P ＝{x |－2a <x <a }．∵P ⊆Q ，∴⎩⎨⎧－2a ≥－4，a ≤2，a >0.解得0<a ≤2.当－2a ＝a ，即a ＝0时，P ＝∅，P ⊆Q . 当－2a >a ，即a <0时，P ＝{x |a <x <－2a }，∵P ⊆Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－4，－2a ≤2，a <0，解得－1≤a <0，综上可得－1≤a ≤2.题型三数形结合解决有明显几何意义的式子(概念)问题例3 已知函数f (x )＝ax 2＋bx －1(a ，b ∈R 且a >0)有两个零点，其中一个零点在区间(1,2)内，则b a ＋1的取值范围为 ( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．(－2,1]D ．(－2,1)审题破题先根据图象确定a ，b 满足的条件，然后利用ba ＋1的几何意义——两点(a ，b )，(－1,0)连线斜率求范围．答案 D解析因为a >0，所以二次函数f (x )的图象开口向上．又f (0)＝－1，所以要使函数f (x )的一个零点在区间(1,2)内，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋b －1<0，4a ＋2b －1>0.如图所示的阴影部分是上述不等式组所确定的平面区域，式子b a ＋1表示平面区域内的点 P (a ，b )与点Q (－1,0)连线的斜率．而直线QA 的斜率k ＝1－00－(－1)＝1，直线4a ＋2b －1＝0的斜率为－2，显然不等式组所表示的平面区域不包括边界，所以 P ，Q 连线的斜率的取值范围为(－2,1)．故选D.反思归纳如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有： (1)b －na －m ↔(a ，b )、(m ，n )连线的斜率； (2)(a －m )2＋(b －n )2↔(a ，b )、(m ，n )之间的距离； (3)a 2＋b 2＝c 2↔a 、b 、c 为直角三角形的三边；(4)f (a －x )＝f (b ＋x )↔f (x )图象的对称轴为x ＝a ＋b2.只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法．变式训练3 已知点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则x 2＋y 2－6x ＋9的取值范围是 ( )A ．[2,4]B ．[2,16]C ．[4,10]D ．[4,16]答案 B解析画出可行域如图，所求的x 2＋y 2－6x ＋9＝(x －3)2＋y 2是点 Q (3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q 到射线x －y －1＝0(x ≥0)的距离d 的平方，最大值为|QA |2＝16. ∵d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|3－0－1|12＋(－1)22＝(2)2＝2. ∴取值范围是[2,16]．题型四数形结合解几何问题例4 已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A ．(14，－1)B ．(14，1)C ．(1,2)D ．(1，－2)审题破题本题可以结合图形将抛物线上的点P 到焦点的距离转化为到准线的距离，再探求最值．答案 A解析定点Q(2，－1)在抛物线内部，由抛物线的定义知，动点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，问题转化为当点P到点Q的距离和点P到抛物线的准线距离之和最小时，求点P的坐标，显然点P是直线y＝－1和抛物线y2＝4x的交点时，两距离之和取最小值，解得这个点的坐标是(14，－1)．反思归纳在几何中的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值．变式训练4已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，P A、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形P ACB面积的最小值．解从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形P AC的面积S Rt△P AC＝12|P A|·|AC|＝12|P A|越来越大，从而S四边形P ACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形P ACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线l时，S四边形P ACB 应有唯一的最小值，此时|PC|＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|P A|＝|PC|2－|AC|2＝2 2.∴(S四边形P ACB)min＝2×12×|P A|×|AC|＝2 2.典例(14分)已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．规范解答解(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－a或x>a，由f′(x)<0，解得－a<x<a，∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)；单调减区间为(－a，a)．[6分](2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，∴a ＝1. [8分]∴f (x )＝x 3－3x －1， f ′(x )＝3x 2－3，由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1.由(1)中f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合如图所示f (x )的图象可知： m 的取值范围是(－3,1)．[14分]评分细则 (1)求出f ′(x )给1分，不写出单调区间扣1分；(2)只画图象没有说明极值扣2分；(3)没有结论扣1分，结论中范围写成不等式形式不扣分．阅卷老师提醒 (1)解答本题的关键是数形结合，根据函数的性质勾画函数的大致图象； (2)解答中一定要将函数图象的特点交待清楚，单调性和极值是勾画函数的前提，然后结合图象找出实数m 的取值范围．1．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f (13)<f (2)<f (12)B ．f (12)<f (2)<f (13)C ．f (12)<f (13)<f (2)D ．f (2)<f (12)<f (13)答案 C解析由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，∴f (12)<f (13)<f (2)．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ， x ≤0，2， x >0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则函数y ＝g (x )＝f (x )－x 的零点个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析由f (－4)＝f (0) 得16－4b ＋c ＝c .由f (－2)＝－2，得4－2b ＋c ＝－2. 联立两方程解得：b ＝4，c ＝2.于是，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2， x ≤0，2， x >0.在同一直角坐标系内，作出函数y ＝f (x )与函数y ＝x 的图象，知它们有3个交点，进而函数亦有3个零点．3．若方程x ＋k ＝1－x 2有且只有一个解，则k 的取值范围是( )A ．[－1,1)B ．k ＝±2C ．[－1,1]D ．k ＝2或k ∈[－1,1)答案 D解析令y ＝x ＋k ，令y ＝1－x 2，则x 2＋y 2＝1(y ≥0)．作出图象如图：而y ＝x ＋k 中，k 是直线的纵截距，由图知：方程有一个解⇔直线与上述半圆只有一个公共点⇔k ＝2或－1≤k <1.4．设a ，b ，c 是单位向量，且a·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( )A ．－2 B.2－2 C ．－1D ．1－ 2答案 D解析由于(a －c )·(b －c )＝－(a ＋b )·c ＋1，因此等价于求(a ＋b )·c 的最大值，这个最大值只有当向量a ＋b 与向量c 同向共线时取得．由于a ·b ＝0，故a ⊥b ，如图所示，|a ＋b |＝2，|c |＝1，当θ＝0时，(a ＋b )·c 取最大值2，故所求的最小值为1－ 2. 5．当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)答案 B解析由0<x ≤12，且log a x >4x >0，可得0<a <1，由4 ＝log a 12可得a ＝22.令f (x )＝4x ，g (x )＝log a x ，若4x <log a x ，12则说明当0<x ≤12时，f (x )的图象恒在g (x )图象的下方(如图所示)，此时需a >22.综上可得a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1.6．已知P 为抛物线y ＝14x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是(2,0)，则|P A |＋|PM |的最小值是________．答案5－1解析如图，抛物线y ＝14x 2，即x 2＝4y 的焦点F (0,1)，记点P 在抛物线的准线l ：y ＝－1上的射影为P ′，根据抛物线的定义知， |PP ′|＝|PF |，则|PP ′|＋|PA |＝|PF |＋|P A |≥|AF |＝22＋12＝ 5.所以(|P A |＋|PM |)min ＝(|P A |＋|PP ′|－1)min ＝5－1.专题限时规范训练一、选择题1．已知f (x )是定义在(－3,3)上的奇函数，当0<x <3时，f (x )的图象如图所示，那么不等式f (x )·cosx <0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－3，－π2∪(0,1)∪⎝⎛⎭⎫π2，3 B.⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪(0,1)∪⎝⎛⎭⎫π2，3 C ．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3)D.⎝⎛⎭⎫－3，－π2∪(0,1)∪(1,3) 答案 B解析根据对称性画出f (x )在(－3，0)上的图象如图，结合y ＝cos x 在(－3,0)，(0,3)上函数值的正负，易知不等式f (x )cos x <0的解集是⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪(0,1)∪⎝⎛⎭⎫π2，3.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a 、b 、c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是 ( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)答案 C解析 a ，b ，c 互不相等，不妨设a <b <c ，∵f (a )＝f (b )＝f (c )，由图象可知，0<a <1,1<b <10,10<c <12. ∵f (a )＝f (b )，∴|lg a |＝|lg b |，即lg a ＝lg 1b ，a ＝1b .则ab ＝1，所以abc ＝c ∈(10,12)．3．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x } (x ≥0)，则f (x )的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 C解析画出y ＝2x ，y ＝x ＋2，y ＝10－x 的图象，如图所示，观察图象，可知当0≤x ≤2，f (x )＝2x ，当2<x ≤4时，f (x )＝x ＋2，当x >4时，f (x )＝10－x ，f (x )的最大值在x ＝4时取得，为6.4．函数f (x )＝(12)x －sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析函数f (x )＝(12)x －sin x 在区间[0,2π]上的零点个数即为方程(12)x －sin x ＝0在区间[0,2π]上解的个数．因此可以转化为两函数y ＝(12)x 与y ＝sin x 交点的个数．根据图象可得交点个数为2，即零点个数为2.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)答案 C解析 ∵渐近线y ＝bax 与过焦点F 的直线l 平行，或渐近线从该位置绕原点按逆时针旋转时，直线l 与双曲线的右支有一个交点，∴ba≥3，即c 2＝a 2＋b 2≥4a 2，∴e ≥2.6．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c答案 D解析 a ＝sin5π7＝sin ⎝⎛⎭⎫π－2π7 ＝sin 2π7，又π4<2π7<π2，可通过单位圆中的三角函数线进行比较：如图所示，cos 2π7＝OA ，sin 2π7＝AB ，tan 2π7＝MN ，∴cos 2π7<sin 2π7<tan 2π7，即b <a <c .7．不等式x 2－log a x <0在x ∈(0，12)时恒成立，则a 的取值范围是( )A ．0<a <1 B.116≤a <1C ．a >1D ．0<a ≤116答案 B解析不等式x 2－log a x <0转化为x 2<log a x ，由图形知0<a <1且 (12)2≤log a 12， ∴a ≥116，故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫116，1. 8．函数y ＝11－x的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 D解析令1－x ＝t ，则x ＝1－t .由－2≤x ≤4，知－2≤1－t ≤4，所以－3≤t ≤3. 又y ＝2sin πx ＝2sin π(1－t )＝2sin πt .在同一坐标系下作出y ＝1t 和y ＝2sin πt 的图象．由图可知两函数图象在[－3,3]上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称．因此这8个交点的横坐标的和为0，即t 1＋t 2＋…＋t 8 ＝0.也就是1－x 1＋1－x 2＋…＋1－x 8＝0，因此x 1＋x 2＋…＋x 8＝8. 二、填空题9．若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，则yx的最小值是________．答案 2解析可行域如图所示．又yx 的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k . 由图知，过点A 的直线OA 的斜率最小．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得A (1,2)，∴k OA ＝2－01－0＝2.∴y x 的最小值为2.10．设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是__________．答案 m ≥2－1解析集合A 是一个圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是一个不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有|m ＋1|2＝1，又m >0，∴m ＝2－1，故m 的取值范围是m ≥2－1.11．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 a ＞1解析设函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)和函数y ＝x ＋a .则函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点．由图象可知，当0＜a ＜1时，两函数只有一个交点，不符合；当a ＞1时，因为函数y ＝a x (a ＞1)的图象过点(0,1)，而直线y ＝x ＋a 的图象与y 轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a 的取值范围是a ＞1.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥0－2x ，x <0，则关于x 的方程f [f (x )]＋k ＝0，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有1个实根； ②存在实数k ，使得方程恰有2个不相等的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根；④存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根．其中正确命题的序号是________．(把所有满足要求的命题序号都填上) 答案 ①②解析依题意知函数f (x )>0，又f [f (x )]＝依据y ＝f [f (x )]的大致图象(如图)知，存在实数k ，使得方程f [f (x )]＋k ＝0恰有1个实根；存在实数k ，使得方程f [f (x )]＋k ＝0恰有2个不相等的实根；不存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根；不存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根．综上所述，其中正确命题的序号是①②. 三、解答题13．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx .(1)若函数y ＝f (x )在x ＝2处有极值－6，求y ＝f (x )的单调递减区间；(2)若y ＝f (x )的导数f ′(x )对x ∈[－1,1]都有f ′(x )≤2，求ba －1的范围．解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝－6.即⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a ＋b ＝0，8＋4a ＋2b ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－5x －2.由f ′(x )＜0，得－13＜x ＜2.∴y ＝f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－13，2. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝3－2a ＋b ≤2，f ′(1)＝3＋2a ＋b ≤2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －1≥0，2a ＋b ＋1≤0.不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b －1＝0，2a ＋b ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.∴Q 点的坐标为(0，－1)．设z ＝ba －1，则z 表示平面区域内的点(a ，b )与点P (1,0)连线的斜率．∵k PQ ＝1，由图可知z ≥1或z ＜－2，即ba－1∈(－∞，－2)∪[1，＋∞)．14．设关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.(1)求实数a的取值范围；(2)求α＋β的值．解方法一(1)设x＝cos θ，y＝sin θ，则由题设知，直线l：3x＋y＋a＝0与圆x2＋y2＝1有两个不同的交点A(cos α，sin α)和B(cos β，sin β)．所以原点O到直线l的距离小于半径1，即d＝||0＋0＋a(3)2＋12＝|a|2＜1，∴－2＜a＜2.又∵α、β∈(0,2π)，且α≠β.∴直线l不过点(1,0)，即3＋a≠0.∴a≠－3，即a∈(－2，－3)∪(－3，2)．(2)如图，不妨设∠xOA ＝α，∠xOB ＝－β，作OH ⊥AB ，垂足为 H ，则∠BOH ＝α－β2.∵OH ⊥AB ，∴kAB ·k OH ＝－1. ∴tan α＋β2＝33.又∵α＋β2∈(0,2π)，∴α＋β＝π3或α＋β＝7π3.方法二 (1)原方程可化为sin (θ＋π3)＝－a 2，作出函数y ＝sin (x ＋π3)(x ∈(0,2π))的图象．由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是⎩⎨⎧－1＜－a2＜1－a 2≠32，即－2＜a ＜－3或－3＜a ＜2.(2)由图知：当－3＜a ＜2，即－a 2∈⎝⎛⎭⎫－1，32时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin(x ＋π3)的图象交于C 、D 两点，它们中点的横坐标为7π6，∴α＋β2＝7π6，∴α＋β＝7π3.当－2＜a ＜－3，即－a 2∈⎝⎛⎭⎫32，1时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin(x ＋π3)的图象有两交点A 、B ，由对称性知，α＋β2＝π6，∴α＋β＝π3，综上所述，α＋β＝π3或α＋β＝7π3.。

2014年高三二模数学（文）北京市朝阳区试题Word版带解析

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类）2014．5（考试时间120分钟满分150分)本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）若全集{},,,U a b c d =，{},A a b =，{}B c =，则集合{}d 等于（）．（A ）()UA B （B ）A B （C ）A B （D ）()UA B解析：根据集合的运算性质，验证选项，答案为A. 考点：集合与常用逻辑用语-----集合的运算难度系数：2（2）下列函数中，既是奇函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为（）．（A ）sin y x =（B ）ln y x =（C ）3y x =（D ）2x y =解析：A,C 是奇函数，A 不是一致单调函数；B,D 非奇非偶。

所以答案C 。

考点：函数与导数------------函数-----------函数的单调性；函数与导数------------函数-----------函数的奇偶性难度系数：2（3）已知抛物线22x y =,则它的焦点坐标是（）．（A ）1,04⎛⎫⎪⎝⎭（B ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（C ）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）1,02⎛⎫⎪⎝⎭解析：根据抛物线的性质，抛物线是开口向上的，交点，答案B 。

考点：解析几何-----------圆锥曲线----------抛物线难度系数：2（4）执行如图所示的程序框图．若输入3a =,则输出i 的值是（）．（A ）2 （B )3 （C )4 （D )5解析：第一次循环a=9，i=1；第二次循环a=21，i=2；第三次循环a=45，i=3；第四次循环 A=93，i=4，输出结果，答案为C.考点：算法与框图---------算法和程序框图难度系数：3（5）由直线10x y -+=，50x y +-=和10x -=所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为（）．10,2⎛⎫⎪⎝⎭（A ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩（B ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩（C ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩（D ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩解析：做出平面区域，带入特殊点验证，答案为A.考点：不等式------线性规划------二元一次不等【组】表示的平面区域难度系数：3（6）在区间ππ[-,]上随机取一个实数x ，则事件：“cos 0x ≥”的概率为（）．（A ）14（B )34（C ）23（D ）12解析：该题考察解概率模型，画出余弦函数，结合函数图像答案为D. 考点：概率与统计---------概率--------几何概率难度系数：3（7）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ．若11a d ==，则8n nS a +的最小值为（）．（A ）10（B ）92（C ）72（D）12+解析：11(1)(1)888(1)81922(1)222n nn n n n a n d S n a a n d n n +++++++===+≥=+-，答案为B 。

2014年高考数学(文)二轮配套教案：第一部分专题复习篇专题二第四讲

第四讲函数与方程、函数的应用1．二次函数（1)求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好数形结合，特别是含参数的两种类型：“定轴动区间,定区间动轴”的问题，抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点,一轴指的是对称轴．（2）注意三个“二次”的相互转化解题(3)二次方程实根分布问题，抓住四点：“开口方向、判别式Δ、对称轴位置、区间端点函数值正负．”2．函数与方程(1）函数的零点对于函数f(x）,我们把使f(x）＝0的实数x叫做函数f（x）的零点．（2）零点存在性定理如果函数y＝f（x）在区间［a,b］上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a）·f（b)〈0，那么函数y＝f（x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈（a，b）使得f（c)＝0。

注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．3．函数模型解决函数模型的实际应用题,首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是：(1）阅读理解,审清题意:分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2）数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；（3)解函数模型:利用数学方法得出函数模型的数学结果；（4）实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答．1．(2012·全国）已知x＝ln π,y＝log52，z＝e－错误!，则（)A．x<y〈z B．z<x<y C．z<y<x D．y<z<x答案D解析∵x＝ln π>ln e，∴x>1。

∵y＝log52<log55,∴0<y〈错误!.－错误!∵z＝e ＝错误!>错误!＝错误!，∴错误!<z<1.综上可得，y<z〈x。

2．（2013·重庆)若a<b<c，则函数f（x）＝(x－a）（x－b)＋（x －b)（x－c）＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )A．(a，b）和（b，c）内B．（－∞，a）和（a，b）内C．(b,c）和（c，＋∞）内D．（－∞,a）和（c，＋∞)内答案A解析由于a<b<c，所以f(a）＝0＋(a－b）(a－c）＋0>0，f(b）＝（b－c）(b－a）<0，f(c)＝（c－a）(c－b)>0。

【2014昌平二模】北京市昌平区2014届高三第二次统练数学理试题-Word版含答案

昌平区2014年高三年级第二次统一练习数学试卷（理科） 2014.4考生须知：1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

2．答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

3．答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。

请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。

保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。

不得在答题卡上做任何标记。

5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

2221122(()(())(())(()))n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-++-L第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）(1) 已知集合{213}=+<A x x ,2{4}=≤B x x , 则A B =U(A) {21}-≤<x x (B ) {2}≤x x (C) {21}-<<x x (D) {2}<x x (2) “1,1a b >>”是“1ab >”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件(3) 设0.10.134,log 0.1,0.5a b c ===，则（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）a c b >> （D ）b c a >>(4) 62)的展开式中2x 的系数是（A ）120- （B ）120 （C ）60- （D ）60(5) 在ABC ∆中，2BC AC ==，ABC S ∆=C ∠等于（A ）4π （B ）3π （C ）4π或34π （D ）3π或23π(6) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A ）12 （B ）36 （C ）24 （D ）72(7) 如图，AB 是半圆O 的直径，,C D 是弧AB 的三等分点，,M N 是线段AB 的三等分点，若6OA =，则MD NC ⋅uuu r uuu r的值是（A ）2 （B ）10 （C ）26 （D ）28（8）已知11, 1,()ln , 01⎧-≥⎪=⎨⎪<<⎩x f x x x x ，若函数()()g x f x kx k =-+只有一个零点，则k 的取值范围是（A ）(,1)(1,)-∞-+∞U （B ）(1,1)- （C ）[0,1] （D ）(,1][0,1]-∞-U第二卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）(9) 若数列{}n a 满足：1111,()2n n a a a n +==∈N*，则4a =_______ .(10)圆C ：2sin ρθ=的圆心到直线:sin 2l ρθ=-的距离为_________ .左视图4俯视图主视图36主视图左视图俯视图(11)如图，已知e O 中，弦23=BC ,BD 为e O 直径. 过点C 作e O 的切线，交BD 的延长线于点A ，30∠=︒ABC .则AD =____ .（12）已知抛物线22(0)=>y px p 的焦点为(2,0)F ，则=p ________，过点(3,2)A 向其准线作垂线，记与抛物线的交点为E ，则=EF _____.（13）选派5名学生参加四项环保志愿活动，要求每项活动至少有一人参加，则不同的选派方法共有_____种 . (14) 已知正方体1111-ABCD A B C D 的棱长为2，在四边形11ABC D 内随机取一点M ,则90AMB ︒∠≥的概率为_______ ，135AMB ︒∠≥的概率为_______.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）(15)(本小题满分13分)已知函数()f x 2cos sin 1,()x x x =+-∈R .（Ⅰ）求7()6f π的值；（Ⅱ）当2[,]63∈-x ππ时，求()f x 的取值范围.(16)(本小题满分13分)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按照题目要求独立完成.规定:至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成,2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23,且每题正确完成与否互不影响.(Ⅰ) 分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列,并计算其数学期望； (Ⅱ)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？(17)(本小题满分14分)已知正四棱柱1111-ABCD A B C D 中，12,4==AB AA . （Ⅰ）求证：1BD A C ⊥；（Ⅱ）求二面角11--A A C D 的余弦值；（Ⅲ）在线段1CC 上是否存在点P ，使得平面11A CD ⊥平面PBD ，若存在，求出1CPPC 的值；若不存在，请说明理由.(18)(本小题满分13分)已知函数()ln f x ax x =,(0)a ≠. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0<a 时，若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()31f x ax <+成立，求a 的取值范围.(19)(本小题满分13分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点(0,3)B 为短轴的一个端点，260OF B ∠=︒. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，过右焦点2F ，且斜率为(0)≠k k 的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线,AE AF 分别交直线3=x 于点,M N ，线段MN 的中点为P ，记直线2PF 的斜率为'k . 求证: '⋅k k 为定值.(20)(本小题满分14分)已知数列{}n a 的各项均为正数，记12()n A n a a a =+++L ,231()n B n a a a +=+++L ,342(),1,2,n C n a a a n +=+++=L L .（Ⅰ）若121,5a a ==，且对任意n ∈*N ，三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列，求数列{}n a 的通项公式.（Ⅱ）证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈*N ，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.昌平区2014年高三年级第二次统一练习数学试卷（理科）参考答案及评分标准 2014.4一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）（9）18（10）3（11）2 （12）4； 52（13）240 （14）16；16- （第一空2分，第二空3分）三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）(15)(本小题满分13分)解：（Ⅰ）因为2()cos sin 1f x x x =+-21sin sin 1x x =-+- ………1分 2sin sin x x =-+ 211(sin )24x =--+， ………3分所以2277111113()(sin )()66242244f ππ=--+=---+=- . ………6分（或2713()(1624f π=--=- ………3分）（Ⅱ）因为2[,]63x ππ∈-所以1sin [,1]2x ∈-. ………8分所以11sin [1,]22x -∈-.所以21(sin )[0,1]2x -∈. ………10分所以21(sin )[1,0]2x --∈-.所以21131(sin )[,]2444x --+∈-. ………12分所以()f x 的取值范围为31[,]44-. ………13分(16)(本小题满分13分)解:(Ⅰ)设甲正确完成面试的题数为ξ, 则ξ的取值分别为1,2,3. ………1分1242361(1)5C C P C ξ===； 2142363(2)5C C P C ξ===；3042361(3)5C C P C ξ===； ………3分考生甲正确完成题数ξ的分布列为1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=. ………………4分设乙正确完成面试的题数为η，则η取值分别为0,1,2,3. ………………5分(0)P η==03311()327C =； 1123216(1)()()3327P C η===, 2232112(2)()()3327P C η===, 33328(3)()327P C η===. ………………7分考生乙正确完成题数η的分布列为:161280123227272727E η=⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………8分 (Ⅱ)因为2221312(12)(22)(32)5555D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=, ……………10分2222161282(02)(12)(22)(32)272727273D η=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=. ……12分（或23D npq η==）.所以D D ξη<. (或：因为31(2)0.855P ξ≥=+=,128(2)0.742727P η≥=+≈, 所以(2)(2)P P ξη≥>≥. )综上所述，从做对题数的数学期望考查,两人水平相当；从做对题数的方差考查,甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查,甲获得面试通过的可能性大. ……………13分（说明:只根据数学期望与方差得出结论,也给分.）(17)(本小题满分14分)证明：(Ⅰ)因为1111ABCD A B C D -为正四棱柱，所以1AA ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形. ………1分因为BD ⊂平面ABCD ，所以1,BD AA BD AC ⊥⊥. ………2分因为1AA AC A =I ,所以BD ⊥平面1A AC . ………3分因为1AC ⊂平面1A AC , 所以1BD A C ⊥. ………4分 (Ⅱ) 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系-D xyz .则11(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,4),(2,2,4),D A B C A B11(0,2,4),(0,0,4)C D ………5分所以111(2,0,0),(0,2,4)D A DC ==-uuuu r uuu r. 设平面11A D C 的法向量111(,,)x y z =n .所以 1110,D A D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuuu ruuu r n n .即1110,240x y z =⎧⎨-=⎩……6分令11z =，则12y =. 所以(0,2,1)=n .由（Ⅰ）可知平面1AA C的法向量为(2,2,0)DB =uu u r. ……7分所以cos ,5DB <>==uu u rn . ……8分因为二面角11--A A C D 为钝二面角，所以二面角11--A A C D的余弦值为. ………9分 (Ⅲ)设222(,,)P x y z 为线段1CC 上一点,且1(01)CP PC λλ=≤≤uu r uuu r. 因为2221222(,2,),(,2,4)CP x y z PC x y z =-=---uu r uuu r.所以222222(,2,)(,2,4)x y z x y z λ-=---. ………10分即22240,2,1x y z λλ===+. 所以4(0,2,)1P λλ+. ………11分设平面PBD 的法向量333(,,)x y z =m .因为4(0,2,),(2,2,0)1DP DB λλ==+uu u r uu u r ，所以 0,0DP DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r uu u r m m .即3333420,1220y z x y λλ⎧+=⎪+⎨⎪+=⎩. ………12分令31y =，则3311,2x z λλ+=-=-. 所以1(1,1,)2λλ+=--m . ………13分若平面11A CD ⊥平面PBD ，则0⋅=m n . 即1202λλ+-=，解得13λ=.所以当113CP PC =时，平面11A CD ⊥平面PBD . ………14分(18)(本小题满分13分)解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞. …………… 1分因为'()ln (ln 1)f x a x a a x =+=+， …………… 2分令'()0f x =，解得1x e=. …………… 3分 ①当0a >时，随着x 变化时，()f x 和'()f x 的变化情况如下：即函数()f x 在(0,)e 上单调递减，在(,)e+∞上单调递增. …………… 5分 ②当0a <时，随着x 变化时，()f x 和'()f x 的变化情况如下：即函数()f x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e+∞上单调递减. …………… 7分（Ⅱ）当0<a 时，对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()31f x ax <+成立，即ln 31ax x ax <+.所以ln 310ax x ax --<.设()ln 31g x ax x ax =--.因为'()ln 3g x a x a a =+-(ln 2)a x =-, …………… 8分令'()0g x =，解得2x e =. …………… 9分因为0<a ，所以随着x 变化时，()g x 和'()g x 的变化情况如下：即函数()g x 在2(0,)e 上单调递增，在2(,)e +∞上单调递减. …………… 10分所以22222max ()()ln 311g x g e ae e ae ae ==--=--. …………… 11分所以210ae --<.所以21a e>-. …………… 12分所以a 的取值范围为21(,0)e-. ………13分法二：当0<a 时，对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()31f x ax <+成立，即ln 31ax x ax <+. 所以(ln 3)1a x x x -<. 即1ln 3x x x a<-. …………… 8分设()ln 3g x x x x =-. 因为'()ln 2g x x =-,令'()0g x =，解得2x e =. …………… 9分所以随着x 变化时，()g x 和'()g x 的变化情况如下：即函数()g x 在2(0,)e 上单调递减，在2(,)e +∞上单调递增. …………… 10分所以22222min ()()ln 3g x g e e e e e ==-=-. …………… 11分所以21e a<-. 所以21a e>-. …………… 12分所以a 的取值范围为21(,0)e-. ………13分(19)(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由条件可知2,a b ==， …………2分故所求椭圆方程为13422=+y x . …………4分（Ⅱ）设过点2(1,0)F 的直线l 方程为：)1(-=x k y . …………5分由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：01248)34(2222=-+-+k x k x k …………6分因为点2(1,0)F 在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，即0>∆恒成立. 设点1122(,),(,)E x y F x y ，则34124,34822212221+-=+=+k k x x k k x x . …………8分因为直线AE 的方程为：)2(211--=x x y y ，直线AF 的方程为：)2(222--=x x y y ， ………9分令3x =，可得)2,3(11-x y M ，)2,3(22-x y N ，所以点P 的坐标12121(3,())222y y x x +--. ………10分直线2PF 的斜率为12121()0222'31y y x x k +---=-12121()422y y x x =+-- 122112121212()42()4x y x y y y x x x x +-+=⋅-++ 1212121223()4142()4kx x k x x k x x x x -++=⋅-++ …………12分 2222222241282341434341284244343k k k k k k k k k k k -⋅-⋅+++=⋅--⋅+++ 34k =- 所以k k '⋅为定值43-. …………13分(20)(本小题满分14分)解: (Ⅰ) 因为对任意n *∈N ，三个数(),(),()A n B n C n 是等差数列，所以()()()()B n A n C n B n -=-. ………1分所以1122n n a a a a ++-=-, ………2分即21214n n a a a a ++-=-=. ………3分所以数列{}n a 是首项为１，公差为４的等差数列. ………4分所以1(1)443n a n n =+-⨯=-. ………5分（Ⅱ）（１）充分性：若对于任意n *∈N ，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列，则()(),()()B n qA n C n qB n ==. ………6分所以[]()()()(),C n B n q B n A n -=-得2211(),n n a a q a a ++-=-即2121n n a qa a qa ++-=-. ………7分因为当1n =时，由(1)(1),B qA =可得21a qa =， ………8分所以210n n a qa ++-=. 因为0n a >，所以2211n n a a q a a ++==. 即数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列， ………9分（２）必要性：若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则对任意n *∈N ，有1n n a a q +=. ………10分因为0n a >，所以(),(),()A n B n C n 均大于0.于是12)2311212(......(),()......n n n nq a a a a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++ ………11分231)342231231(......(),()......n n n n q a a a a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++ ………12分即()()B n A n ＝()()C n B n ＝q ，所以三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列. ………13分综上所述，数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N ﹡，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列. ………14分【各题若有其它解法，请酌情给分】。

[何樟勇]高宏-配套练习及答案

第二讲配套习题及答案1.若效用函数现为：γγ-=1),(l c l c u （10<<γ）其他条件与实例中给出的相同，试分别求分散经济与计划经济的最优解。

计划者目标函数为：}{max 1,γγ-l c lc ..t s αα--==10)(l h zk y c 代约束条件进目标函数，可以得到无约束的最大化问题：{}γγαα---110])([max l l h zk l一阶条件为：)(l FOC γγααγγγγααγγγγα-------=--l l h k z l l h k z )1()()()1()1(011)1(0求解可得：αγγ--=*1)1(h l αγαγ--=*1)1(h n 代*n 进生产函数可得：αααγαγ-**⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==101)1(h zk y c企业利润函数为：wn k r n zk -+-=-)1(1ααπ企业利润最大化的一阶条件为：0)1(11=+-=∂∂--r n k z kαααπ 0)1(=--=∂∂-w n k z nαααπ 利用这两个一阶条件可以取得均衡的价格解，为：αααγαγ-*⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1)1(0h zk w11)1(110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--*αααγαγαh k z r2.假设行为人的效用函数如下：)ln()ln(l c U +=，其中c 是行为人的消费，l 是行为人每天用于闲暇的时间。

行为人每天的时间除了用于闲暇，就是用于工作，但他既可以为自己工作也可以为别人工作。

他为自己工作时的产出函数为5.0)(4s n y =，其中s n 为用于自己工作的时间。

如果他为别人工作，每小时得到的报酬是工资，记为w （当然是用消费品衡量的）。

试写出该行为人的最优化问题，并求解之。

)ln(){ln(max ,,l c sn l c + ..t s w n l n c s s )24()(45.0--+=代约束条件进目标函数，分别对l 和s n 两个变量求一阶导数，并令其为零，有：)(l FOC lw n l n w s s 1)24()(45.0=--+ )(n FOC 0)24()(4)(25.05.0=--+--wn l n w n s s s 求解上述联立方程，可得：w n s 4=*2212w l +=* 421285.0--+=*w w wc 3.考虑一个具有如下代表性行为人的模型。

【全程复习方略】(广东专用)2014年高考数学第二章第一节函数及其表示课时作业理新人教A版

【全程复习方略】（广东专用）2014年高考数学第二章第一节函数及其表示课时作业理新人教A版一、选择题1.(2012·江西高考)若函数f(x)=则f(f(10))= ( )(A)lg101 (B)2 (C)1 (D)02.(2013·中山模拟)下列各组函数中表示同一个函数的是( )(A)f(x)=,g(x)=(B)f(x)=·,g(x)=(C)f(x)=,g(x)=x0(D)f(x)=,g(x)=x-13.(2013·广州模拟)函数y=的定义域为( )(A)(,1) (B)(,+∞)(C)(1,+∞) (D)(,1)∪(1,+∞)4.设f(x)=则f(5)的值为( )(A)10 (B)11 (C)12 (D)135.函数f(x)=+lg的定义域是( )(A)(2,4) (B)(3,4)(C)(2,3)∪(3,4] (D)[2,3)∪(3,4)6.如果f()=,则当x≠0且x≠1时,f(x)= ( )(A) (B) (C) (D)-17.(2013·惠州模拟)已知函数f(x)=若f(a)=2,则a= ( )(A)4 (B)2 (C)1 (D)-18.函数f(x)=(x≠-)满足f(f(x))=x,则常数c等于( )(A)3 (B)-3(C)3或-3 (D)5或-39.已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域是( )(A)[0,] (B)[-1,4](C)[-5,5] (D)[-3,7]10.(能力挑战题)已知函数y=f(x)的图象关于直线x=-1对称,且当x∈(0,+∞)时,有f(x)=,则当x∈(-∞,-2)时,f(x)的解析式为( )(A)f(x)=- (B)f(x)=-(C)f(x)= (D)f(x)=-二、填空题11.已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其函数对应关系如下表:则方程g(f(x))=x的解集为.12.(2013·石家庄模拟)已知函数f(x)=若f(f(0))=4a,则实数a= .13.二次函数的图象经过三点A(,),B(-1,3),C(2,3),则这个二次函数的解析式为.14.函数y=lg(ax2-2ax+2)的定义域为R,则a的取值范围是.三、解答题15.(能力挑战题)如果对任意实数x,y,都有f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=2,(1)求f(2),f(3),f(4)的值.(2)求+++…+++的值.答案解析1.【解析】选B.∵f(10)=lg10=1,∴f(f(10))=f(1)=12+1=2.2.【解析】选C.对于A,f(x)的值域大于等于0,而g(x)的值域为R,所以A不对;对于B,f(x)的定义域为{x|x≥1};而函数g(x)的定义域为{x|x≥1或x≤-1},所以B不对; 对于C,因为f(x)==1(x≠0),g(x)=x0=1(x≠0),所以两个函数是同一个函数,所以C对;对于D,f(x)的定义域为{x|x≠-1};而函数g(x)的定义域为R,所以D不对.3.【解析】选A.要使函数有意义,则即∴<x<1,∴函数的定义域为(,1).4.【解析】选B.f(5)=f(f(11))=f(9)=f(f(15))=f(13)=11.【方法技巧】求函数值的四种类型及解法(1)f(g(x))型:遵循先内后外的原则.(2)分段函数型:根据自变量值所在区间对应求值,不确定时要分类讨论.(3)已知函数性质型:对具有奇偶性、周期性、对称性的函数求值,要用好其函数性质,将待求值调节到已知区间上求解.(4)抽象函数型:对于抽象函数求函数值,要用好抽象的函数关系,适当赋值,从而求得待求函数值.5.【解析】选D.要使函数有意义,必须所以函数的定义域为[2,3)∪(3,4).6.【解析】选B.令=t,t≠0且t≠1,则x=,∵f()=,∴f(t)=,化简得:f(t)=,即f(x)=(x≠0且x≠1).7.【解析】选A.当a>0时,由log2a=2得a=4;当a≤0时,由a+1=2得a=1,不合题意,舍去,故a=4.8.【解析】选B.f(f(x))==x,∴f(x)==,得c=-3.9.【解析】选A.由-2≤x≤3,得-1≤x+1≤4,由-1≤2x-1≤4,得0≤x≤,故函数y=f(2x-1)的定义域为[0,].10.【思路点拨】函数y=f(x)的图象关于直线x=-1对称,则有f(x)=f(-x-2).【解析】选D.设x<-2,则-x-2>0,由函数y=f(x)的图象关于x=-1对称,得f(x)=f(-x-2)=,所以f(x)=-.11.【解析】当x=1时,f(x)=2,g(f(x))=2,不合题意;当x=2时,f(x)=3,g(f(x))=1,不合题意;当x=3时,f(x)=1,g(f(x))=3,符合要求,故方程g(f(x))=x的解集为{3}.答案:{3}12.【解析】∵f(0)=20+1=2,∴f(f(0))=f(2)=4+2a=4a,∴a=2.答案:213.【解析】方法一:设y-3=a(x+1)(x-2),把A(,)代入得a=1,∴二次函数的解析式为y=x2-x+1.方法二:设二次函数解析式为y=ax2+bx+c,则有解得∴二次函数的解析式为y=x2-x+1.答案:y=x2-x+114.【解析】当a=0时,函数为y=lg2,定义域为R满足题意.当a≠0时,要使函数y=lg(ax2-2ax+2)的定义域为R,必须即解得0<a<2.故a的取值范围为[0,2).答案:[0,2)15.【思路点拨】(1)根据等式中变量的任意性,可采用赋值法求函数值.(2)根据(1)的函数值相邻两项的规律求出比值,然后求解.【解析】(1)∵对任意实数x,y,都有f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=2,∴f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)=22=4,f(3)=f(2+1)=f(2)·f(1)=23=8,f(4)=f(3+1)=f(3)·f(1)=24=16.(2)由(1)知=2,=2,=2,…,=2.故原式=2×1007=2014.【变式备选】已知a,b为常数,若f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24,求5a-b的值.【解析】f(ax+b)=(ax+b)2+4(ax+b)+3=x2+10x+24,a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3=x2+10x+24,∴得或∴5a-b=2.。

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0 1,0 aK 1,0 a H 1

1
K t sY t K K t
H t B aK K t aH H t A t L t

1
H H t ， 0, 0, 1
yi t Yi t / Ai t Li t ， ki t Ki t / Ai t Li t ，i=N, S
如同索洛模型一样， Ki t sYi t Ki t ， Li t nLi t ，假定两国具有相同的储蓄率和人口增长率，最后 AN t gAN t ， AS t AN t 。 i. 证明两国平衡增长路径上的 k 值是相同的。 ii. 引入资本是否改变 a)问的答案，并作出解释（继续假定 g=3%）。答： a)
L t nL t ， A t gA t
aK 和 aH 分别为实物资本和人力资本存量中用于教育部门的比例
a) 定义 k K / AL ， h H / AL ，推导 k 和 h 方程。 b) 求使得 k 0 的 k 和 h 组合所构成的方程，在(h, K)空间中画出它，对 h 亦如此。 c) 该经济是否有一平衡增长路径？如果有，它是否唯一？它是否稳定？平衡增长路径上人均产量、人均实物资本、人均人力资本的增长率是多少？ d) 假定最初经济处于平衡增长路径上，此时 s 有一个永久性增加，这如何影响人均产量随时间变动的路径？答： a) k 动态学： y(t ) [(1 aK )k (t )] [(1 aH )h(t )]1
i. ii.
B gP

， B
g P (t ) (1 ) g K (t ) ， gC (t )
B (1 ) g K (t )

C (t ) ag K (t ) ， gC (t ) g K (t ) (2) C (t )
B(1 g ) K t ()
3.9 假定有两种生产要素：资本和土地。资本被用于两个部门，而土地仅被用于生产消费品。具体而言，生产函数为 C (t ) KC (t ) R1 ，K (t ) BK K (t ) ，其中 K C 和 K K 分别为两个部门中利用的资本量 ( KC (t ) K K (t ) K (t ) )。R=1，0 1 ， B 0 。 a) 令 PK (t ) 为 t 时资本品对消费品的相对价格。在两部门中，以消费品单位表示的资本收入应相等。用这一事实推导一个将 PK t ，KC t 和参数 , B 联系起来的条件。如果 K C 以速率 g K t 增长，那么 PK 的增长率 g P t 是多少？
答： a) 每单位资本生产的消费品：
C (t ) [ KC (t )] 1 KC (t )
每单位资本生产的资本品：
K (t ) B K K (t )
由于资本是可以自由流动的。所以两部门每单位资本生产的价值相同即：
[ KC (t )] 1 BPK (t )
PK (t )
利用你在 a）问的结论，用 g K t 表示 gC t 。给定消费品生产函数， K C 必须以什么速率增长才能使 C 以速率 gC t 增长？
iii. c)
求以各参数表示的 g K t 和 gC t 。
假定投资收入被征税，从而家庭面临的真实利率为 1 B g P t 。税率如何影响消费的均衡增长率？
由(1)(2)可得： yN (t ) yS (t ) AN (t ) AN (t )
10
b)
e0.03t e0.03(t )
76.8
a) 证明：北部和南部的差别在于南部技术落后北部。由于索洛模型，则有：
ki (t ) sf [ki (t )] (n Ai (t ) Ai (t ) )[ki (t )], i N , S
结果和 a)中一样，单位有效劳动的产量相同，但每工人平均产量不同所以索洛模型中，经济长期增长只来源于技术进步。
3.15
5
2014 年高级宏观经济学第 2 次习题课
考虑对我们的具有实物资本和人力资本的模型的如下形式变化：
Y t 1 aK K t 1 aH H t
aL 接近于 0 得到 yN (t ) AN (t ) (1)
4
2014 年高级宏观经济学第 2 次习题课
北部技术增长率为： g N (t ) aN LN
yN (t ) yN (t ) g N (t ) 3%
AN (t ) e0.03t AN (0)
yS (t ) AS (t ) AN (t ) (2)
g A (t ) BK (t ) A(t ) ， g K (t ) sK (t ) 1 A(t )1
BK (t ) A(t ) sK (t ) 1 A(t )1 K (t ) / A(t ) s / B
所以 g K (t ) g A (t ) s B1
A(t ) BY (t ) BK (t ) A(t )1
g A (t ) A(t ) A(t ) BK (t ) A(t ) g K (t ) K (t ) K (t ) sK (t ) 1 A(t )1
b)
(1) ((2)
g A (t ) g A (t ) g K (t ) g A (t ) g A (t ) 0 g K (t ) g A (t ) g K (t ) 0 g K (t ) g A (t )
2014 年高级宏观经济学第 2 次习题课
3.7 干中学。假定产量由方程 (3.22) 决定： Y (t ) K (t ) [ A(t ) L(t )]1 ，L 为常数且等于 1， K (t ) sY (t ) ， A(t ) BY (t ) 。 a) 用 A t ， K t 和各参数表示 g A t 和 g K t 。 b) 在 g A , g K 空间中画出 g A 0 和 g K 0 曲线。 c) 该经济是否收敛于一平衡增长路径？若是这样，该经济中 K、A 和 Y 的增长率是多少？ d) s 的增加如何影响长期增长？答： a)
k (t ) k (t ) K (t ) K (t ) A(t ) A(t ) L(t ) L(t )
k (t ) sy (t ) [ K n g ]k (t )
k (t ) s[(1 aK )k (t )] [(1 aH )h(t )]1 ( K n g )k (t )
所以，消费的均衡增长率随税率的上升而下降。
3.11 知识向穷国传播的延迟。 a) 假定世界由北部和南部两个地区构成。北部由 YN (t ) AN (t )(1 aL ) LN 和南部不进行研究和开发，但是其技术会比北部延迟 AN (t ) aN LN AN (t ) 描述。年。YS (t ) AS (t ) LS ， AS (t ) AN (t ) 。如果北部每工人平均产量的增长率为 3%，且 aL 接近于 0，要使北部每工人平均产量为南部的 10 倍，为多少？ b) 假定南北两地区均由索洛模型描述。 yi t f ki t ，其中：
(1 )( B g P (t ))

g K (t )
(1 ) B (1 ) B ， gC (t ) g K (t ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
gC (t ) 2 B (1 ) 0 [ (1 )(1 )]2
c)
在 45 度线上，点点都处于平衡增长路径。在 D 点 g K (t ) 0, g A (t ) 0 则受到向右下方的合力；在 F 点 g K (t ) 0, g A (t ) 0 2 次习题课
一旦达到平衡增长路径则： g K (t ) g A (t ) 0 ， g K (t ) g A (t ) 但具体哪个点要看初始的情况。
* k* (t ) kS (t ) N
两国平衡增长路径上的 k 值是相同的。 b) yN
YN Y yN AN ， yS S yS AS LN LS
* * y* AN ， yS yS AS 在 BGP 上 y* N N
10 yN yS AN AS e0.03 76.8

g K (t )
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2014 年高级宏观经济学第 2 次习题课
g K (t )
B (1 ) B (B ) gC (t ) g K (t ) (1 ) ， (1 )
g K (t )
iii. c)
真实利率为 (1 )( B g P (t )) ，所以 gC (t ) 将(1)、(2)代入得到：
令 cK s(1 aK ) (1 aH )1
k (t ) cK k (t ) h(t )1 ( K n g )k (t ) (1)
h 动态学：
h(t ) h(t ) H (t ) H (t ) A(t ) A(t ) L(t ) L(t )

B
[ KC (t )] 1
K C 以速率 g K t 增长，所以 g P (t )
K (t ) PK (t ) ( 1) C (1 ) g K (t ) PK (t ) KC (t )
g P (t ) (1 ) g K (t ) (1)
b)
gC