简单的对数方程ppt
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4.8-1 简单的对数方程
的方程可通过换元法转化为一元二次方程来求解
(4) 用图象法求近似解或确定解的个数(数形结合法）
导入一
导入二
(1-1) 〔准备与导入一〕 问题：联想指数方程的概念，请你来定义对数方程 的概念如何？
在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程
问题：联想指数方程的常见表现形式，请你概括说明 对数方程的常见类型如何？试试看。 (1) logaf(x)=logag(x) => f(x)=g(x) （变形不等价） （其中a>0,a≠1）, 但要注意验根。 (2) logaf(x)=b <=> f(x)=ab ,(其中a>0,a≠1) (3) A(logax)2+B(logax)+C=0 ,(其中a>0,a≠1)的方程 可通过换元法转化为一元二次方程来求解 (4) 用图象法求近似解或确定解的个数(数形结合法）
2
x 100 x 100 或 x 0.01
(3) lg( x 2 x 2) lg(6 x x 2 ) x 2 2 (4) loga ( x 1) 2 (a 0且a 1) x a 1
〔练习与评价二〕
(1-1)
2.解下列方程:
x 1 2 (2) lg( x 75) lg( x 4) 2 x 95, x 5
探究一
探究二
探究三
探究四
〔探究与深化一〕
(1-1)
例1、如果不考虑空气阻力,火箭的最大速度
M M M ln( 1 ) 4 , 1 e4 , 解:(1)据题意,得 2 ln(1 ) 8, m m m M 综上所述 53.6倍和 所以， ,当燃料的质量分别是火箭质量的 e 4 1 54.6 1 53.6(倍) m M 402.4 倍时 ,火箭的最大速度能达到 8km/s和12km/s. (2) 用同样方法可得 e 6 1 403 .4 1 402 .4 (倍) m
对数的概念课件
在社会科学中的应用
统计学
在统计学中，对数被广泛应用于 概率和统计模型的构建，例如泊
松分布、二项分布等。
经济学
在经济学中，对数被用于描述货 币的交换和增长，例如复利计算
和汇率换算。
计算机科学
在计算机科学中，对数的概念被 用于数据压缩、加密解密等领域 ，例如哈夫曼编码和RSA算法。
04
对数的运算技巧
应用场景
在解决与对数相关的问题时，如比较大小、求解未知数等，可以利用对数的运 算法则简化计算过程。
对数函数的图像和性质
01
对数函数的图像是单调递增的，随着自变量x的增大，函数值y也相应增大。此外 ，对数函数具有一些基本性质，如定义域为正实数集，值域为全体实数等。这些 性质在对数函数的图像和性质中都有所体现。
注意事项
在进行负数对数运算时，需要注意负数的绝对值不能为零，且负数的值必须在合理的范围内（通常为 正数）。同时，对于一些特殊的负数形式，如自然对数的底数e的负次幂，需要特别注意运算的技巧 和准确性。
乘除法运算
乘除法运算
在对数的乘除法运算中，需要注意运算法则和运算顺序。例 如，在进行乘法运算时，需要将底数相乘后再取对数值；在 进行除法运算时，需要将底数取倒数后再取对数值。同时， 需要注意运算的优先级和括号的使用。
注意事项
在进行分数对数运算时，需要注意分母不能为零，且分数的值必须在合理的范围内（通常为正数）。同时，对于 一些特殊的分数形式，如自然对数的底数e的分数次幂，需要特别注意运算的技巧和准确性。
负数对数运算
负数对数运算
在处理负数的对数时，需要注意负数的对数值是复数。因此，在进行负数对数运算时，需要特别注意 运算的规则和技巧。例如，计算以负数为底数的对数时，可以将负数取绝对值后再进行对数运算；计 算以负数为真数的对数时，可以先将负数转换为正数，再取该正数的对数值。
幂函数、指函数与对函数PPT课件
D. b > a > 1 O
思路二:
1b a
x
数形结合
26
题型三：幂函数性质的应用
3.比较下列各组数的大小：
< 1
1
(1)1.32 ____ 1.4 2
解后反思 两个数比较
(2)0.261
_>____
0.271
大小，何时 用幂函数模
(3)(5.2)2 _<____(5.3)2
型，何时用 指数函数模
即 log2 a log2 b 0 log2 1
a b 1 所以答案选C． 25
能力提升
变②：若0 < loga 2 < logb 2,则
C
()
A. 0 < a < b < 1 y
B. 0 < b < a < 1
1
C. a > b > 1
x=2
y= logb x
y= loga x
解析式 y = a x ( a > 0, a≠1)
y
图 象 0<a<1
y a>1
1
（描点）
1
0
x
0
x
y = log a x ( a > 0, a≠1)
y 0<a<1
y a>1
01
x
01
x
定义域
R
(0 , +∞)
值域
(0 , +∞)
R
定点
都过点(0,1)
都过点(1,0)
范围
x<0时,y>1；x>0时,y>10；<x<1时 x>0时 x<0时 y>0
2025年高考数学一轮复习-4.3.1-对数的概念【课件】
5
指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不 变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不 变，写出指数式．
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
(1)43＝64；(2)ln a＝b；(3)12m＝n；(4)lg 1 000＝3. 解：(1)因为 43＝64，所以 log4 64＝3. (2)因为 ln a＝b，所以 eb＝a.
第四章 指数函数与对数函数
4.3 对数 4.3.1 对数的概念
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导
核心素养
1.数学抽象：理解对数的概念，掌握对数的基 1.会用对数的定义进行对
本性质，理解常用对数和自然对数的定义形式 数式与指数式的互化．
以及在科学实践中的应用． 2.理解和掌握对数的性质，
1
假设 log－42 存在，设 log－42＝x，则(－4)x＝2，我们知道 42＝ 4＝2，但是 －4 的任何次幂都不可能等于 2，所以这样的 x 是不存在的．
(2)若a＝0，且N≠0，则logaN不存在；若a＝0，N＝0，log00有无数个，不 能确定．为此，规定a≠0，N≠0. (3)若a＝1，且N≠1，则logaN不存在；若a＝1，N＝1，logaN有无数个值, 不能确定．为此，规定a≠1.因此，为了避免对数logaN不存在或不唯一确 定的情况，规定a>0，且a≠1. 2．任何一个指数式都可以化为对数式吗？ 提示：不是，如(－3)2＝9，不能写成log(－3)9＝2.
(2)对数恒等式 alogaN＝N 的应用 ①能直接应用对数恒等式的直接应用即可． ②对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解．
指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不 变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不 变，写出指数式．
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
(1)43＝64；(2)ln a＝b；(3)12m＝n；(4)lg 1 000＝3. 解：(1)因为 43＝64，所以 log4 64＝3. (2)因为 ln a＝b，所以 eb＝a.
第四章 指数函数与对数函数
4.3 对数 4.3.1 对数的概念
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导
核心素养
1.数学抽象：理解对数的概念，掌握对数的基 1.会用对数的定义进行对
本性质，理解常用对数和自然对数的定义形式 数式与指数式的互化．
以及在科学实践中的应用． 2.理解和掌握对数的性质，
1
假设 log－42 存在，设 log－42＝x，则(－4)x＝2，我们知道 42＝ 4＝2，但是 －4 的任何次幂都不可能等于 2，所以这样的 x 是不存在的．
(2)若a＝0，且N≠0，则logaN不存在；若a＝0，N＝0，log00有无数个，不 能确定．为此，规定a≠0，N≠0. (3)若a＝1，且N≠1，则logaN不存在；若a＝1，N＝1，logaN有无数个值, 不能确定．为此，规定a≠1.因此，为了避免对数logaN不存在或不唯一确 定的情况，规定a>0，且a≠1. 2．任何一个指数式都可以化为对数式吗？ 提示：不是，如(－3)2＝9，不能写成log(－3)9＝2.
(2)对数恒等式 alogaN＝N 的应用 ①能直接应用对数恒等式的直接应用即可． ②对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解．
人教A版数学必修第一册期末复习：对数与对数函数课件
技巧点拨
➢ 无论题型如何变化，都是围绕对数函数的单调性
方法
总结
➢ 弄清对数函数的单调性是解题的关键
➢ 注意有时需对底数字母参数进行讨论
过关检测
1．设a，b，c均为正数，且2a＝
的大小关系是 ( A )
A．a＜b＜c
C．c＜a＜b
a＞0
b＞0
c＞0
2a＞1
0＜
1
2
1
>0
2
,
在 , 单调递减
×
×
常考题型
1
例 4 当 0＜x≤2时，4x＜logax，则 a 的取值范围是( B )
题
型
二
对
数
函
数
的
图
象
及
应
用
A. 0，
2
2
B.
C．(1， 2)
2，1源自2D．( 2，2)
易知0＜a＜1
依图知需满足 >
>
＜a＜1
当0＜x＜1时，y＜0
当0＜x＜1时，y＞0
核心考点
1．换底公式的两个重要结论
常
用
结
论
(1)logab＝
1
log
(2)log =
log
其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m≠0，n∈R.
核心考点
2．对数函数的图象与底数大小的比较
常
用
结
论
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应
对数的运算课件
对数的运算
对数的运算性质
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝___lo_g_a_M__＋__lo_g_a_N________， (2)logaMN ＝___lo_g_a_M__－__lo_g_a_N______， (3)logaMn＝____n_lo_g_a_M_____.(n∈R)
运用对数的运算性质应注意的问题 (1)对于一条运算法则，要注意只有当式子中所有的对数 式都有意义时，等式才成立． (2)能用语言准确叙述对数的运算性质． loga(M·N)＝logaM＋logaN―→积的对数等于对数的和． logaMN ＝logaM－logaN―→商的对数等于对数的差． logaMn＝nlogaM(n∈R)―→n次幂的对数等于幂底数的对数 的n倍．
[边听边记] (1)方法一：∵3a＝4b＝36， ∴由对数定义得a＝log336，b＝log436. 由换底公式，得1a＝log363，b1＝log364， ∴2a＋1b＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1. 方法二：对3a＝4b＝36等号两边取以6为底的对数， 得alog63＝blog64＝log636，即alog63＝2blog62＝2， ∴2a＝log63，1b＝log62，∴2a＋1b＝log63＋log62＝log66＝1.
换底公式的应用技巧
(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的 对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来 运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式 进行互化，统一成一种形式．
对数运算的综合应用
(1)一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过
对数的运算性质
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝___lo_g_a_M__＋__lo_g_a_N________， (2)logaMN ＝___lo_g_a_M__－__lo_g_a_N______， (3)logaMn＝____n_lo_g_a_M_____.(n∈R)
运用对数的运算性质应注意的问题 (1)对于一条运算法则，要注意只有当式子中所有的对数 式都有意义时，等式才成立． (2)能用语言准确叙述对数的运算性质． loga(M·N)＝logaM＋logaN―→积的对数等于对数的和． logaMN ＝logaM－logaN―→商的对数等于对数的差． logaMn＝nlogaM(n∈R)―→n次幂的对数等于幂底数的对数 的n倍．
[边听边记] (1)方法一：∵3a＝4b＝36， ∴由对数定义得a＝log336，b＝log436. 由换底公式，得1a＝log363，b1＝log364， ∴2a＋1b＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1. 方法二：对3a＝4b＝36等号两边取以6为底的对数， 得alog63＝blog64＝log636，即alog63＝2blog62＝2， ∴2a＝log63，1b＝log62，∴2a＋1b＝log63＋log62＝log66＝1.
换底公式的应用技巧
(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的 对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来 运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式 进行互化，统一成一种形式．
对数运算的综合应用
(1)一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过
对数的概念课件
实际应用题
题目5
例子1
例子2
例子3
在实际生活中，对数有许多 应用。请举出三个例子，并 解释它们是如何应用对数的 。
在物理学中，声速与频率的 对数之间的关系可以用对数 来描述。例如，在声音传播 的实验中，我们可以通过测 量声速和频率来计算对数值 ，进而研究声音在不同介质 中的传播特性。
在化学中，对数可以用来描 述化学反应速率与反应物浓 度的关系。例如，当我们研 究一种化学反应的速率时， 可以通过测量反应物浓度的 变化来计算对数值，进而分 析反应速率与浓度的关系。
三角函数和对数都可以用来表示复数的 幂次，例如：log(z)表示z的实部和虚 部都大于0的对数，而ln(z)表示z的实
部大于0，虚部等于0的对数。
在解决一些数学问题时，需要将三角函 数和对数结合起来使用。
对数与微积分的关系
对数在微积分中有着广泛的应用，例如在求解微分方程时，常常需要用到对数的性 质和运算规则。
对数在现代科技中的应用
01
在物理学中，对数被广 泛应用于测量和计算声 音、光、电等物理量。
02
在工程学中，对数被用 于信号处理、图像处理 、频谱分析等领域。
03
在经济学中，对数被用 于分析复利、人口增长 、股票价格等数据。
04
在天文学和气象学中， 对数被用于计算天体轨 道、预测天气等。
05
练习和思考题
在生物学中，对数可以用来 描述生物种群的增长。例如 ，当我们研究一个种群的增 长时，可以通过观察种群数 量的变化来计算对数值，进 而分析种群的增长趋势和规 律。
THANKS
感谢观看
基础练习题
题目1： 计算下列各题的对数值 $log_2(4)$
$log_3(9)$
教学课件第1课时对数的定义与性质
[例 4] 对数式 loga－2(5－a)＝b 中，实数 a 的取值范围是
()
A．(－∞，5)
B．(2,5)
C．(2，＋∞)
D．(2,3)∪(3,5)
[错解] A
由题意，得 5－a>0，∴a<5.
[错因分析] 该解法忽视了对数的底数和真数都有范围
限制，只考虑了真数而忽视了底数．
[正解]
5－a>0， D 由题意，得a－2>0，
请同学们结合本节课的学习，说出你有什么收获？ 1．对数的定义
一般地,如果a(a>0,且a≠1)的 x 次幂等于N, 即ax=N, 那么数x叫做以a为底N的对数, 记作
logaN=x (式中的a叫做对数的底数,N叫做真数). 2．掌握指数式与对数式的互化
loga N x ax N (a>0,且a≠1)
3．掌握对数的性质.
③∵log1
2
8＝－3，∴(12)－3＝8.
④∵log3217＝－3，∴3－3＝217.
[点评] 互化时，首先指数式与对数式的底数相同，其次 将对数式的对数换为指数式的指数(或将指数式的指数换为对 数式的对数)．
探究二 对数与指数的关系
ab N 叫做指数式, loga N b 叫做对数式.
当 a 0, a 1, N 0 时，
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
第二章
2．2 对 数 函 数
第二章
2.2.1 对数与对数运算
第二章
第 1 课时 对数的定义与性质
1.理解对数的概念；（重点） 2.能够说明对数与指数的关系； 3.掌握对数式与指数式的相互转化．（难点） 4.掌握对数的性质.(重点）
温故知新 1．在指数 ab＝N 中，a 称为 底数，b 称为 指数 ，N 称为 幂值，在引入了分数指数幂与无理数指数幂之后，b 的取值范 围由初中时的限定为整数扩充到了实数 ． 2．若 a>0 且 a≠1，则 a0＝ 1 ；a1＝ a ；对于任意 x∈R， ax>0.
指数函数和对数函数ppt课件
解法 2：a－b＝ln22－ln33＝3ln2－6 2ln3 ＝16(ln8－ln9)<0. ∴a<b.同理可得 c<a，∴c<a<b.故选 C.
[答案]C
4．考查函数的定义域 函数的定义域是历年高考中均考查的知识点，其难度 不大，属中低档题，但在求解时易漏掉部分约束条件造成错 解，因而也是易错题． [例 4] 函数 f(x)＝ 31x－2 x＋lg(3x＋1)的定义域是
[例 1] (1)化简
3 ÷(1－2
ba)×3 ab；
(2)求值：12lg3429－43lg 8＋lg 245.
(2)解法一 12lg3429－43lg 8＋lg 245 ＝lg472－lg4＋lg7 5 ＝lg(472×14×7 5) ＝lg 10＝12lg10＝12.
解法二 原式＝12(5lg2－2lg7)－43·32lg2＋12(2lg7＋lg5) ＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5 ＝12lg2＋12lg5 ＝12(lg2＋lg5) ＝12lg10＝12.
[例7]求不等式x－1<log6(x＋3)的所有整数解． [解析]设y1＝x－1，y2＝log6(x＋3)，在同一坐标系中作
出它们的图像如图所示，两图像有两个交点，一交点的横坐标
显然在－3和－2之间，另一个交点设为P.
因为x＝1时，log6(1＋3)－(1－1)>0，x＝2时， log6(2＋3)－(2－1)<0，所以1<xP<2.
2．指数函数的概念与性质 (1)指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫作指数函数． (2)y＝ax(a>0，a≠1)的图像
0<a<1
a>1
高三数学一轮 第二章 第六节 对数、对数函数课件 理
与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步 骤为：
(1)确定定义域；
(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成 的，将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)， u＝g(x)；
(3)分别确定这两个函数的单调区间；
(4)若这两个函数同增或同减，则y＝f[g(x)]为 增函数，若一增一减，则y＝f[g(x)]为减函数， 即“同增异减”．
【解析】 (1)由题设，3－ax>0 对一切 x∈[0,2]恒成立，a>0 且 a≠1， ∵a>0，∴g(x)＝3－ax 在[0,2]上为减函 数，
从而 g(2)＝3－2a>0，∴a<32， ∴a 的取值范围为(0,1)∪1，32.
(2)假设存在这样的实数 a，由题设知 f(1) ＝1，
即 loga(3－a)＝1，∴a＝32， 此时 f(x)＝log323－32x， 当 x＝2 时，f(x)没有意义，故这样的实 数不存在．
【答案】 A
4．已知 loga(3a－1)有意义，那么实数 a 的取值范围是________．
a＞0
【解析】 由a≠1 3a－1＞0
，可得 a＞31且
a≠1.
【答案】 a＞13且 a≠1
5．函数 y＝ log1(3x－2)的定义域是________．
2
【解析】 要使 y＝ log1(3x－2)有意义
(3)令 u(x)＝xx＋ －bb，则函数 u(x)＝1＋x2－bb 在(－∞，－b)和(b，＋∞)上分别为减函 数，所以当 0<a<1 时，f(x)在(－∞，－ b)和(b，＋∞)上分别为增函数；当 a>1 时，f(x)在(－∞，－b)和(b，＋∞)上分 别为减函数．
(4)解关于 x 的方程 y＝logaxx＋ －bb，得 x＝ b(ay＋1)
2.2.1对数与对数运算(必修一优秀课件)
(D)(2) (3) (4)
课 堂 互 动 探 究
【解析】选B.由对数定义可知(1)(2)(4)均正确，而(3)中
对数的底数不等于1.
基 础 自 主 演 练 课 后 巩 固 作 业
课 前 新 知 初 探
2.(2011·海口高一检测)设a>0,a≠1,x∈R,下列结论错误的 是( ) (B)logax2=2logax (D)logaa=1
2
(3)lg 0.01 2
1 4 解：(1)( ) 16 2
(4)ln10 2.303
(2)27 128
(3)10 0.01
2
(4)e2.303 10
求下列各式的值 （1）log0.5 1 （4） log3 243 （5） lg 4 64 （6）log
2
log （2） 9 81
是2010年的2倍？
a 1 8%
x=
x
2a
x 2 即 1.08
小结：
这是已知底数和幂的值，求指数的问题。 即指数式ab=N中，已知a 和N，求b的问题。
这里( a 0且a 1 ）
你能看得出来吗？怎样求呢？
对数的定义
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对
特的方法构造出对数方法。1614年6月在爱丁堡出版的
第一本对数专著》《奇妙的对数表的描述》中阐明了 对数原理，后人称为纳皮尔对数。
假设2010年我国的国民生产总值为a亿元，如果每年 平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值
是2010年的2倍？
假设2010年我国的国民生产总值为a亿元，如果每年
平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值
（3）log25 625 解： （1）log0.5 1
课 堂 互 动 探 究
【解析】选B.由对数定义可知(1)(2)(4)均正确，而(3)中
对数的底数不等于1.
基 础 自 主 演 练 课 后 巩 固 作 业
课 前 新 知 初 探
2.(2011·海口高一检测)设a>0,a≠1,x∈R,下列结论错误的 是( ) (B)logax2=2logax (D)logaa=1
2
(3)lg 0.01 2
1 4 解：(1)( ) 16 2
(4)ln10 2.303
(2)27 128
(3)10 0.01
2
(4)e2.303 10
求下列各式的值 （1）log0.5 1 （4） log3 243 （5） lg 4 64 （6）log
2
log （2） 9 81
是2010年的2倍？
a 1 8%
x=
x
2a
x 2 即 1.08
小结：
这是已知底数和幂的值，求指数的问题。 即指数式ab=N中，已知a 和N，求b的问题。
这里( a 0且a 1 ）
你能看得出来吗？怎样求呢？
对数的定义
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对
特的方法构造出对数方法。1614年6月在爱丁堡出版的
第一本对数专著》《奇妙的对数表的描述》中阐明了 对数原理，后人称为纳皮尔对数。
假设2010年我国的国民生产总值为a亿元，如果每年 平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值
是2010年的2倍？
假设2010年我国的国民生产总值为a亿元，如果每年
平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值
（3）log25 625 解： （1）log0.5 1
高考数学对数与对数函数复习课件
B
(3)log3×log49+lg +2lg 2= .
课堂考点探究
[解析] log3×log49+lg +2lg 2=-×+lg +lg 4=-1+lg=-1+1=0.
0
例2 (1)若0<a<1,则函数g(x)=loga(|x|-1)的图像可能是( )
课堂考点探究
探究点二 对数函数的图像及应用
1
3. [教材改编] 设a=,b=log9,c=log8,则a,b,c的大小关系是 .
[解析] a==log9=log9<log8=c,a=log9>log9=b,所以c>a>b.
题组二 常错题
索引:忽略真数大于零致错;不能充分运用对数函数的性质致错;忽略对底数的讨论致错.4.已知lg x+lg y=2lg(x-2y),则= .
课堂考点探究
[思路点拨]先求函数的定义域,利用奇偶性的定义确定奇偶性,再分析某一区间上函数的单调性,从而对选项进行判断;
A B C D
图2-11-1
[思路点拨] 根据函数的定义域和函数的奇偶性,结合图像变换和对数函数的单调性,即可求解;
D
课堂考点探究
[解析] 函数g(x)=loga(|x|-1)满足|x|-1>0,解得x<-1或x>1,即函数g(x)=loga(|x|-1)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),排除A,B;因为g(-x)=loga(|-x|-1)=loga(|x|-1)=g(x),所以函数g(x)为偶函数,所以函数g(x)的图像关于y轴对称,当x>1时,函数g(x)= loga(|x|-1)的图像是由函数y=logax的图像向右平移一个单位长度得到的,又0<a<1,所以g(x)在(1,+∞)上单调递减.故选D.
(3)log3×log49+lg +2lg 2= .
课堂考点探究
[解析] log3×log49+lg +2lg 2=-×+lg +lg 4=-1+lg=-1+1=0.
0
例2 (1)若0<a<1,则函数g(x)=loga(|x|-1)的图像可能是( )
课堂考点探究
探究点二 对数函数的图像及应用
1
3. [教材改编] 设a=,b=log9,c=log8,则a,b,c的大小关系是 .
[解析] a==log9=log9<log8=c,a=log9>log9=b,所以c>a>b.
题组二 常错题
索引:忽略真数大于零致错;不能充分运用对数函数的性质致错;忽略对底数的讨论致错.4.已知lg x+lg y=2lg(x-2y),则= .
课堂考点探究
[思路点拨]先求函数的定义域,利用奇偶性的定义确定奇偶性,再分析某一区间上函数的单调性,从而对选项进行判断;
A B C D
图2-11-1
[思路点拨] 根据函数的定义域和函数的奇偶性,结合图像变换和对数函数的单调性,即可求解;
D
课堂考点探究
[解析] 函数g(x)=loga(|x|-1)满足|x|-1>0,解得x<-1或x>1,即函数g(x)=loga(|x|-1)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),排除A,B;因为g(-x)=loga(|-x|-1)=loga(|x|-1)=g(x),所以函数g(x)为偶函数,所以函数g(x)的图像关于y轴对称,当x>1时,函数g(x)= loga(|x|-1)的图像是由函数y=logax的图像向右平移一个单位长度得到的,又0<a<1,所以g(x)在(1,+∞)上单调递减.故选D.
人教版高中数学必修第一册4.3对数的概念 第2课时 对数的运算【课件】
初探新知
【活动1】 探究对数运算性质
【问题1】我们学过的对数的性质有哪些？
【问题2】我们知道了对数和指数间的关系，你打算怎么研究对数运算性质？
【问题3】计算log24,log216,log264的值，你有什么发现？
【问题4】对于logaM,logaN,loga(MN),你有何猜想？
【问题5】上述猜想是否具有一般性？如何证明？
【解】
(1) 原式＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3＝log3(22×32×2－5×23)－3＝log332－3＝ 2－3＝－1.
(2)
原式＝12
lg
25 72
－43
3
lg 2 2 ＋ lg 5 72
1 2
＝1
2
×(5lg 2－2lg 7)－43
×32
lg 2＋12
(lg 5＋
那么1a
＋1b
＝1 log 2 10
1 log5 10
＝lg 2＋lg 5＝1.
【方法规律】 当底数不同时，考虑使用换底公式将不同底的对数化成 同底，然后使用同底对数的运算性质解决问题．在数学 运算中，常将底数转换为以e为底的自然对数或以10为底 的常用对数，方便计算．
【变式训练2】
(1) 设 lg 2＝a，lg 3＝b，则 log512 等于( C )
学科核心素养
运用类比和联想的方法,根据对 数的定义推导出对数的基本性质 和运算性质
在运用对数的定义推导对数的基 本性质的过程中,培养数学抽象素 养
能根据对数的运算性质推导出换 底公式,并理解对数的运算性质 与换底公式
在根据对数的运算性质推导对数 的换底公式的过程中,培养逻辑推 理素养
学会运用对数的基本性质、运算 性质和换底公式进行对数式的恒 等变形
高考数学复习知识点讲义课件27---对数的运算
()
A．11%
B．22%
C．33%
D．100%
解析：由题意得NS比较大时，公式的真数中的 1 可以忽略不计．所以 C1＝Wlog21 000＝Wlog2103＝3Wlog210， C2＝Wlog210 000＝Wlog2104＝4Wlog210，所以CC21＝43WWlloogg221100＝43≈1.33，所以 C 大约增加了 33%.
(一)对数运算性质 如果 a＞0，且 a≠1，M＞0，N＞0，那么： (1)loga(MN)＝ logaM＋logaN ； (2)logaMN＝ logaM－logaN； (3)logaMn＝ nlogaM(n∈R) ． 恒等式：logamMn＝mn logaM(n∈R ，m≠0)
(1)若 M，N 同号，则 loga(MN)＝logaM＋logaN 以及 logaMN＝logaM－logaN 还成立吗？这一点对初学者来说容易出错，事实上 loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2) ＋loga(－3)是不成立的，但是 loga[(－2)×(－3)]＝loga6 是成立的．
3＋2－2lg 1－lg 5
5＝2＋1a－－b2b.
答案：C
2．计算(log32＋log23)2－lloogg3223－lloogg2332的值是
A．log26
B．log36
C．2
D．1
()
解析：原式＝(log32)2＋2log32·log23＋(log23)2－(log32)2－(log23)2＝2.
答案：C
典例] 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度 v(单位：m/s)和燃料 的质量 M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量 m(单位：kg)满足 ev＝1＋Mm2 000(e 为自然对数的底数)．当燃料质量 M 为火箭(除燃料外)质量 m 的两倍时，求火 箭的最大速度(单位：m/s)．(ln 3≈1.099)
高考数学复习知识点讲义课件26---对数的概念
(1)对数与指数的关系示意图．
b
(2)指数式 ab＝N，根式 N＝a 和对数式 logaN＝b(N＞0，a＞0，且 a≠1)是
同一种数量关系的三种不同表达形式．具体对应如下：
表达形式 a
b
ab＝N 底数 指数
b
N＝a
方根 根指数
logaN＝b 底数 对数
N 幂 被开方数 真数
对应的运算 乘方，由 a，b 求 N 开方，由 N，b 求 a 对数，由 N，a 求 b
(2)对数logaN只有在a＞0，且a≠1，N＞0时才有意义．理由如下： ①若a＜0，且N为某些数值时，b不存在．例如，因为式子(－2)x＝3没有实数 根，所以log(－2)3不存在，为此，规定a不能小于0. ②若a＝0，且N≠0，则logaN不存在；若a＝0，N＝0，则b有无数个值，不能 确定，为此，规定a≠0，且N≠0.
实数轴R(箭头向右)上[x]是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时[x]就是x. 这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．求 [lg 1]＋[lg 2]＋[lg 3]＋…＋[lg 10]＋[lg 11]＋[lg 12]＋…＋[lg 2 019]的值． 解：根据定义，[lg 1]＝[lg 2]＝[lg 3]＝…[lg 9]＝0； [lg 10]＝[lg 11]＝[lg 12]＝…[lg 99]＝1； [lg 100]＝[lg 101]＝[lg 102]＝…＝[lg 999]＝2， [lg 1 000]＝[lg 1 001]＝[lg 1 002]＝…[lg 2 019]＝3. 所以[lg 1]＋[lg 2]＋[lg 3]＋…＋[lg 10]＋[lg 11]＋[lg 12]＋…＋[lg 2 019]＝ 1×(99－9)＋2×(999－99)＋3×(2 019－999)＝90＋2×900＋3×1 020＝4 950.
第6讲 对数与对数函数 课件(共82张PPT)
解析 由 alog34＝2 可得 log34a＝2，所以 4a＝9，所以 4－a＝19，故选 B．
解析 答案
2．已知 a>0，a≠1，函数 y＝ax 与 y＝loga(－x)的图象可能是( )
解析 若 a>1，则 y＝ax 是增函数，y＝loga(－x)是减函数；若 0<a<1， 则 y＝ax 是减函数，y＝loga(－x)是增函数，故选 B．
且 a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 10 ___y_＝__x___对称．
1．对数的性质(a＞0 且 a≠1) (1)loga1＝0；(2)logaa＝1；(3)alogaN＝N. 2．换底公式及其推论 (1)logab＝llooggccba(a，c 均大于 0 且不等于 1，b＞0)； (2)logab·logba＝1，即 logab＝log1ba(a，b 均大于 0 且不等于 1)； (3)logambn＝mn logab； (4)logab·logbc·logcd＝logad.
增区间．
∵当 x∈(4，＋∞)时，函数 t＝x2－2x－8 为增函数，
∴函数 f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选 D．
解析 答案
6．计算：log23×log34＋( 3)log34＝________. 答案 4 解析 log23×log34＋( 3)log34 ＝llgg 32×2llgg32＋3 log34＝2＋3log32＝2＋2＝4.
8 5
＜lg152·lg
3＋lg 2
82＝
lg
3＋lg 2lg 5
82＝llgg
22452＜1，∴a＜b.由
b＝log85，得
8b＝5，由
55＜84，得
85b
＜84，∴5b＜4，可得 b＜45.由 c＝log138，得 13c＝8，由 134＜85，得 134＜135c，
对数的概念和性质PPT课件
ln e 1
（5）从（4）中你发现有什么规律？
1的对数等于0， 底的.对数等于1
5
(5)如果把式子 ab N 中的b用 bloga N 代换，
把式子 loga N b 中的N用 N a b 代换，
会得到什么样的式子？
从而得到： aloga N N, loga ab b
这两个式子，我们叫对数恒等式
对数恒等式
aloga N N,
loga ab b
.
11
2 （3） log64 x 3
解：因为
log 64
x
2 3
所以
2
x643
(43)23
421
16
（4） logx 8 6
解: 因为 logx 8 6 所以
x6 8
1
1
1
又因 x 0 所以 x86 (23)622 2
.
12
例3计算： （5） lg100 x
引例:
2004年我国的国民生产总值为a亿元，
如果按平均每年增长8%估算，那么经过多
少年国民经济生产总值是2004年的2倍？
假设经过x年国民经济生产总值是2004
年的2倍，依题意得，1.08xa=2a
即1.08x=2
指数x取何值时满足这个等式呢？
这就是本节课要学习的对数问题：
已知底数和幂的值，求指数的问题。
.
6
对数的基本性质：
（1） 零和负数没有对数
（2） 1的对数等于0，即
loga 1 0.
（3） 底的对数等于1，即 （4） 对数恒等式
loga a 1.
aloga N N, loga ab b
说明：（1）在对数式 lo g a N 中，要注意各量的取值范围
对数函数及其性质 课件
μ＝g(x) 增函数 减函数 增函数 减函数
y＝f[g(x)] 增函数 减函数 减函数 增函数
对数型复合函数的值域
求下列函数的值域： (1)y＝log2(x2＋4)； (2)y＝log1 (3＋2x－x2)．
2
[解析] (1)y＝log2(x2＋4)的定义域为 R. ∵x2＋4≥4，∴log2(x2＋4)≥log24＝2. ∴y＝log2(x2＋4)的值域为{y|y≥2}．
当
a＞1
时，函数
y＝logax
在定义域内是增函数，所以
2 loga5
＜logaa 总成立；
当
0＜a＜1
时，函数
y＝logax
在定义域内是减函数，由
2 loga5
＜logaa，得 a＜25，故 0＜a＜25.
故 a 的取值范围为 0＜a＜52或 a＞1.
对数型复合函数的单调性
讨论函数 f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性. [思路分析] 求复合函数的单调性时，必须首先考虑函数 的定义域，单调区间必须是定义域的子集．
[解析] 由 3x2－2x－1>0，得函数的定义域为{x|x>1 或 x< －13}．
当 a>1 时，若 x>1，∵u＝3x2－2x－1 为增函数， ∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数． 若 x<－13，∵u＝3x2－2x－1 为减函数， ∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数． 当 0<a<1 时，若 x>1，则 f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数， 若 x<－13，则 f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．
[规律总结] 1.求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别求y＝f(u)，u ＝φ(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性．
高中数学第4章对数运算与对数函数2.1对数的运算性质课件北师大版
件,导致出现增根x=0.
正解:原方程可化为log2(9x-5)=log2[4(3x-2)],
- > ①,
于是 - > ②,
- = · -③.
由③得32x-4·3x+3=0,即(3x-3)(3x-1)=0,
解得x=1,或x=0.
将x=1与x=0分别代入①②中检验,知x=1是原方程的根,x=0是
4.设 3a=2,3b=5,则 log3√=
.
解析:由 3a=2,得 a=log32,由 3b=5,得 b=log35,
所以
log3√=log33
=
log
3(3×5×2)
=(log33+log35+log32)=(1+b+a)
= a+ b+ .
增根,舍去.
故原方程的解为x=1.
求解对数问题时,经常需要将对数符号“脱掉”,此时很容易忽
略原式中对数的真数大于0这一“隐性”限制条件,从而导致错
误,因此在解此类题时,一定要首先考虑这一条件.
1.log35-log315=(
)
A.-1
3(-10)
解析:log35-log315=log3=-1.
B.lg 25
C.1
D.lg 32
(2)2log525+3log264=
.
解析:(1)lg 2+lg 5=lg(2×5)=lg 10=1.
(2)原式=2log552+3log226=4+18=22.
答案:(1)C (2)22
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错
正解:原方程可化为log2(9x-5)=log2[4(3x-2)],
- > ①,
于是 - > ②,
- = · -③.
由③得32x-4·3x+3=0,即(3x-3)(3x-1)=0,
解得x=1,或x=0.
将x=1与x=0分别代入①②中检验,知x=1是原方程的根,x=0是
4.设 3a=2,3b=5,则 log3√=
.
解析:由 3a=2,得 a=log32,由 3b=5,得 b=log35,
所以
log3√=log33
=
log
3(3×5×2)
=(log33+log35+log32)=(1+b+a)
= a+ b+ .
增根,舍去.
故原方程的解为x=1.
求解对数问题时,经常需要将对数符号“脱掉”,此时很容易忽
略原式中对数的真数大于0这一“隐性”限制条件,从而导致错
误,因此在解此类题时,一定要首先考虑这一条件.
1.log35-log315=(
)
A.-1
3(-10)
解析:log35-log315=log3=-1.
B.lg 25
C.1
D.lg 32
(2)2log525+3log264=
.
解析:(1)lg 2+lg 5=lg(2×5)=lg 10=1.
(2)原式=2log552+3log226=4+18=22.
答案:(1)C (2)22
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错
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log2
x
4
1 3
x
根的个数，并说明理由。
4、解下列方程（1） 4x 2x1 80 （2） lg2x 2 lg15 x 1 lg3
5、已知, 是 lg2 x lg x 2 0 的两根，求 log log 的值
6、解不等式： log2x2 1 3x2 2x 1 1
（1） lg2 x lg3 x lg12 （2） lg x2 75 lg x 4 2
（3） log3 log4 x 0
（4） log2 x 2 log4 x log8 x 7
回家作业（完成在练习册上）
1、解下列方程
（1） log3 x 2 1
（2） log2 x2 3x 2
解对数方程
ห้องสมุดไป่ตู้
logaaxx==bb
❖ 化成对指数式 ✓ 指数和对数的关系
❖ 化成同底指对数 ✓ aloαg=aaMβ=loαg=aNβ M=N>0 ❖ 等式两边同时取对指数 ✓ Mα==βN>0aα=loagβ aM=logaN
log5 x2 2
log2log3log4 x 0
xlg x 1000 x2
你还能举出这些数学思想的具体应用吗？ ❖ 如何求解指、对数不等式？
1、解下列方程
练习（Page 24 练习 4.8 1，2）
（1） lg x2 4
（2） lg2 x 4
（3） lg x2 x 2 lg 6 x x2 （4） loga x 1 2a 0, a 1
2、解下列方程
7、 若关于x的方程2m 3 x1 32 x1 2m 1 0有实数根, 求实数m的取值范围
8、当实数 a 分别取何值时，
方程 lg x 1 lg3 x lg1 ax
有一个实数解，两个实数解或没有实数解？
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已知关于 x 的不等式 k 4x 2x1 6k 0
（1）若不等式的解集为x |1 x log2 3 ，求实数 k 的值
（2）若不等式的解集为x |1 x log2 3 的子集，求实数 k 的取值范围
（3）若不等式对于一切 x x |1 x log2 3都成立，求实数 k 的取值范围
回家作业（共8题） 1、动物尸体内14C 的含量每年衰减 0.012%，
4.7 简单的 对数方程
Simple logarithmic Equations
复习：指数方程的解法和原理
ax=b
❖ 化成对数式 ✓ 指数和对数的关系
❖ 化成同底指数 ✓ aα=aβ α=β ❖ 等式两边同时取对数 ✓ M=N>0 logaM=logaN
❖ 换元法
例如a2x+ax-2=0
的方程叫做对数方程？
a’=a*e-kx
测的湖南长沙马王堆汉墓女尸中14C的残留量约占原始含量的 76.7%，试推算马王堆古墓的年代（精确到100年）
若不考虑空气阻力，火箭的最大速度v（km/s）和燃料的质量 M（kg）、火箭（除燃料外）的质量m（kg）之间的关系是
v=2ln（1+M/m）
当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度能达到 （1）8km/s （2） 12km/s (精确到0.1倍)
设动物死亡的时刻 t=0 时， 14 C 含量 100%。
（1）写出 14 C 含量 y 关于时间 t 的函数解析式
（2） 14 C 含量减少到 50%需多少时间？
2、如果光线每通过一块玻璃要减少 10%，求至少需要多少块这样的玻璃重叠起来， 才能使通过它们的光线强度为原来的强度的 1/3 以下？
3、求方程
2
2
3、解方程：（1） xlog2 x 32x4
（2） log3 1 23x 2x 1
指、对数方程
综合应用
例1、实际应用
要测定古物的年代，常用碳的放射性同位素14C的衰减来测定： 在动植物的体内都含有微量的14C，动植物死亡后，停止了新 陈代谢，14C不再产生，且原有的14C含量的衰变经过5570年 （14C的半衰期），它的残留量只有原始量的一半，若14C的原 始含量为a，则经过x年后残留量a’与a之间满足
例2、利用图像与性质求 （1）方程解的个数
lg x x2 18 x 80
例2、利用图像与性质求 （2）下列方程的解
3x 4x 5x
log2
x
2 x
2
例3、解指、对数不等式
已知关于x的方程x2-5xlog2a+6(log2a)2=0有实 根，其中有且仅有一个较小的根在区间（1，2） 内，求实数a的取值范围
例4、一元二次方程与指对数方程的联系 （1）根和系数的关系
若, 是lg2 x lg 2 lg 3lg x lg 2lg 3 0
的两根，则
若lg 2 x lg x2 2 0有两个根，， 则log log
例4、一元二次方程与指对数方程的联系 （2）本质关系：换元法（复合函数）
P24练习4.8
❖ 换元法
对数方程 要验根！
例(lo例ga如x)a2+2xl+oagxa-x2-=20=0
lg 2 x lg x5 6
2 log x 25 3log25 x 1
log x1 x2 x 1 0
log2 2x 1 log2 2x1 2 2
反思与提高:
❖ 对数方程大致分几类？ ❖ 求解对数方程的一般步骤是什么？ ❖ 在求解对数方程过程中应用了那些数学思想，
（3） log2 log5 x 1
2、解下列方程
（4） log5 x 1 log1 x 3 1
5
（1） log22 x 3log2 x 2 0
（2） logx x2 x logx 2
（3） log1 9x1 5 log1 3x1 2 2 （4） lg x2 lg x2 3