平面力系的平衡方程
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平面平行力系平衡方程文本.
平面平行力系的平衡方程
如图所示，若多个力作用于同一平面，且各力作用线相互平行，则该力系称为平面平行力系。
平面平行力系平衡的充要条件为：力系中各力在与力的作用线平行的轴上投影的代数和等于零，且各力对平面内任一点之矩的代数和也等于零。
即
∑F y=0
∑M A（F ）=0
与平面任意力系相同，平面平行力系的平衡方程也有二力矩式，即
∑M A（F i）=0
∑M B（F i）=0
附加条件：各力作用线与A、B两点连线不得平行。
由于两种形式独立方程的数目都是两个，因此利用任一式求解平面平行力系的平衡问题都最多可求两个未知量。
建筑力学-第4章 平面力系的简化与平衡方程.
平面固定端约束
=
=
≠
=
3、 平面任意力系的简化结果分析
=
FR 0 M O 0
合力
合力作用线过简化中心
FR 0 M O 0
合力
合力作用线距简化中心M O
FR
其中
MO d FR
M o FRd
M o ( FR ) M O M O ( Fi )
FR FR FR
q 20 kN
求： 固定端A处约束力.
, l 1m; F 400kN, m
解： 取T型刚架，画受力图. 1 其中 F1 q 3l 30kN 2 Fx 0 FAx F1 F sin 600 0 解得 FAx 316.4kN
F Ay P F cos 60 0 Fy 0 解得 FAy 300kN
A
M
解得
0
12 FBy 10 P 6 P 1 4P 2 2 P 5F 0
FBy 77.5kN
iy
F
解得
0 FAy FBy 2 P P 1P 2 0
FAy 72.5kN
取吊车梁,画受力图.
M
解得
D
0
8FE' 4P 1 2P 2 0
Fx 0
Fy 0
FAx FB 0
FAy P 1P 2 0
M
解得
A
0
FB 5 1.5 P 1 3.5 P 2 0
FAy 50kN
FB 31kN
FAx 31kN
例4-4 已知： P, q, a, M pa; 求： 支座A、B处的约束力. 解：取AB梁，画受力图.
建筑力学第三章 平面力系的平衡方程
刚体等效于只有一个力偶的作用，（因为力偶可以在刚 体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。）
③ FR≠' 0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR'。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
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建筑力学
④ FR' ≠0,MO ≠0,为最任意的情况。此种情况还可以继续
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建筑力学
[例] 已知：Q=7.5kN, P=1.2kN , l=2.5m , a=2m , =30o , 求：
BC杆拉力和铰A处的支座反力？
解：（1）选AB梁为研究对象。
C
（2）画受力图
FAy
FBC
A
FAx
l/2 P
B Q
a
Байду номын сангаас
l
A
l/2 P
B Q
a
l
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建筑力学
（3）列平衡方程，求未知量。
静不定问题在材料力学,结构力学,弹性力学中 用变形协调条件来求解。
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建筑力学
物系平衡问题的特点： ①物体系统平衡，物系中每个单体也是平衡的。 ②每个单体可列3个（平面任意力系）平衡方程，整个系统
可列3n个方程（设物系中有n个物体）。
解物系问题的一般方法：
机构问题： 个体 个体
个体
“各个击破”
力系中各力对于同一点之矩的代数和。
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建筑力学
3.2平面力系的平衡方程及应用
FR=0， MO =0，力系平衡
FR =0 为力平衡
MO =0 为力偶也平衡 平面力系平衡的充要条件为：
③ FR≠' 0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR'。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
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④ FR' ≠0,MO ≠0,为最任意的情况。此种情况还可以继续
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建筑力学
[例] 已知：Q=7.5kN, P=1.2kN , l=2.5m , a=2m , =30o , 求：
BC杆拉力和铰A处的支座反力？
解：（1）选AB梁为研究对象。
C
（2）画受力图
FAy
FBC
A
FAx
l/2 P
B Q
a
Байду номын сангаас
l
A
l/2 P
B Q
a
l
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建筑力学
（3）列平衡方程，求未知量。
静不定问题在材料力学,结构力学,弹性力学中 用变形协调条件来求解。
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建筑力学
物系平衡问题的特点： ①物体系统平衡，物系中每个单体也是平衡的。 ②每个单体可列3个（平面任意力系）平衡方程，整个系统
可列3n个方程（设物系中有n个物体）。
解物系问题的一般方法：
机构问题： 个体 个体
个体
“各个击破”
力系中各力对于同一点之矩的代数和。
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建筑力学
3.2平面力系的平衡方程及应用
FR=0， MO =0，力系平衡
FR =0 为力平衡
MO =0 为力偶也平衡 平面力系平衡的充要条件为：
平面力系的平衡方程及应用
Fy 0
FAy FC sin 450 F 0
M A 0 FC cos 450 l F 2l 0
G
解得
FC 28.28kN
FAx 20kN
FAx FAy
45o
FC
FAy 10kN
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
例2-19 已知G1=10kN，G2=40kN，尺 寸如图。求轴承A、B处的约束力。
例2-16 AB是吊车梁，BC是钢索，A端支承可简化为铰链支座。
设已知电葫芦和提升重物共重G= 5kN, q = 25º，a=2m，l = 2.5m。
吊车梁的自重略去不计，求钢索BC和铰A的约束力。
C
q
A
D
B
a
l
G
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
解：选择吊车梁（含电动葫芦和重物）为研究对象，根据
FBx 12.025kN
FAx Fr FBx F 1 cos 45o F2 cos 30o 0
FAx 1.405kN
FAy Fa 0
FAx Fa 0.5kN
三力平衡汇交定理，可画出梁的受力图，取坐标系Oxy
l
a
FA
O FTB
q
A
D
B
FTB
q
y
FA
x G
G
由平面汇交力系 的平衡方程求解
Fx 0, FA cos FTB cosq 0
Fy 0, G FA sin FTB sinq 0
tan
OD AD
BD tanq
AD
(l
a) a
tanq
FA 8.63kN
解：取起重机，画受力图。
MA 0 Fx 0 Fy 0
平面任意力系多少个方程
平面任意力系多少个方程
在平面力学中，一个物体受到多个力的作用时，通常需要使用多个方程来描述这些力对物体的影响。
具体来说，一个平面任意力系通常需要使用三个方程来描述，这三个方程分别是：
1. 平衡方程，描述物体在平衡状态下受到的所有力的合成效果为零。
这个方程通常是根据牛顿第一定律得出的，可以表示为
ΣF_x=0和ΣF_y=0，其中ΣF_x和ΣF_y分别表示物体受到的所有水平和垂直方向的力的合力。
2. 运动方程，描述物体在受到外力作用时的运动状态。
根据牛顿第二定律，可以表示为F=ma，其中F为物体受到的合力，m为物体的质量，a为物体的加速度。
3. 约束方程，描述受约束的物体受到的力的关系。
当物体受到多个力的作用时，通常会受到一些约束条件的限制，这些约束条件可以通过方程来表示。
通过以上三个方程，我们可以描述一个平面任意力系对物体的影响，从而对物体的运动状态和受力情况进行分析和计算。
平面一般力系的平衡和应用
由 mA (Fi ) 0
P2aNB 3a0,
N B
2P 3
X 0 XA 0
解除约束
Y 0 YB NB P0,
YA
P 3
衡第 三
静节 定 和物 超体 静系 定的
平
三铰拱ABC的支承及荷载情况如图所示.已知
P =20kN,均布荷载q = 4kN/m.求铰链支座A和
B的约束反力.
P
1m
q
C
2m
A
2m
为载荷集度(单位为牛顿/米)，其左端的集度为零，右端集度为 q 。载荷的长度为 l，载荷的方向垂直向下。求支承处对梁的约束 力。
首先在 O 点建立坐标系
y
第二步作受力分析
q
Foy
q
• 主动力为分布载荷（忽略重
力），且为一平行力系
O Fox
• 约束反力：
x
dx
l
x
Aq
FA
O 为固定铰支座，A 为活动铰 支座。
和 物 RC = 7.07 kN
B XB
YB
2m
Q
C
RC
2m
超 体 整体分析
P
静系
Q
定的 平
A
XA
mA
YA 2m
B
C
RC
2m
2m 2m
衡第
P = 30kN, Q = 20kN, = 45o
三 静节 定
Xi = 0 Yi = 0
XA - 20 cos45o = 0 XA = 14.14 kN YA - 30 - 20 sin45o + RC = 0 YA = 37.07 kN
的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意
平面任意力系的平衡资料
' FDx FE cos 45 2 F
MB o
' FDx a F 2a 0
得
' FDx 2F
对ADB杆受力图
MA 0
FBx 2a FDx a 0
得
FBx F
例311 如图所示，静定多跨梁由梁AB和梁BC用中间铰B连 接而成。已知P＝20kN，q＝5kN/m，α＝450，求支座A、C处 的约束反力和中间铰B处两梁之间的相互作用力。
O1 B O2 A
三矩式平衡方程为：
相比较二矩式最简单
M M M
O1 O2 C
0 :N B 2a W cos a W sin b 0 0 : N A 2a W cos a W sin b 0 0 : T b N Aa N B a 0
二矩式平衡方程为：
X 0 : T W sin 0 M 0 :N 2a W cos a W sin b 0 M 0 : N 2a W cos a W sin b 0
O1 B O2 A
解得：
T W sin 5kN W cos a W sin b NA 3.33kN 2a W cos a W sin b NB 5.33kN 2a
解得
FAy q 2a P FB 0
P 3 FAy qa 4 2
已知：P 100kN, M 20kN m,
q 20 kN
求： 固定端A处约束力。 解：取T型刚架，画受力图。
1 其中 F1 q 3l 30kN 2
m
,
工程力学-平面任意力系平衡方程
大小与简化中心的选择无关。
4）FR=0 Ｍ0=0 力系处于平衡状态。
例3-1 图示物体平面A、B、C三点构成一等边三角形，三点分别作
用F力，试简化该力系。
解：1.求力系的主矢
F x F F cos60o F cos60o 0
Fy 0 F sin 60o F sin 60o 0
y
C
F M0 F
上作用F力，集中力偶M0=Fa，=45°，试求杆件AB的约束力。
A
M0=Fa
C
B
F
解：1.取AB杆为研究对象画受力图
2.列平衡方程求约束力
Da a
FAx
A
M0=Fa
C
FAy FC
B F
aa
M A (F ) 0 : FC sin 45 a F 2a M 0 0
FC
2Fa a
Fa 2/2
MC (F) 0:
FAx
2
3a 3
F
a
M0
0
FAy 0 FAx 3F
C aa
一 矩
MA(F) 0: Fx 0 :
二 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
三 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
2 3a
式 Fy 0 :
式 Fx 0 :
式 M C (F8) 0 :
3
本课节小结
A F
B x
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
2.选A点为简化中心，求力系的主矩
M0
M A (F)
F
sin 60
AB
F
AB 2
简化结果表明该力系是一平面力偶系。
4
二、平面任意力系的平衡方程
4）FR=0 Ｍ0=0 力系处于平衡状态。
例3-1 图示物体平面A、B、C三点构成一等边三角形，三点分别作
用F力，试简化该力系。
解：1.求力系的主矢
F x F F cos60o F cos60o 0
Fy 0 F sin 60o F sin 60o 0
y
C
F M0 F
上作用F力，集中力偶M0=Fa，=45°，试求杆件AB的约束力。
A
M0=Fa
C
B
F
解：1.取AB杆为研究对象画受力图
2.列平衡方程求约束力
Da a
FAx
A
M0=Fa
C
FAy FC
B F
aa
M A (F ) 0 : FC sin 45 a F 2a M 0 0
FC
2Fa a
Fa 2/2
MC (F) 0:
FAx
2
3a 3
F
a
M0
0
FAy 0 FAx 3F
C aa
一 矩
MA(F) 0: Fx 0 :
二 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
三 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
2 3a
式 Fy 0 :
式 Fx 0 :
式 M C (F8) 0 :
3
本课节小结
A F
B x
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
2.选A点为简化中心，求力系的主矩
M0
M A (F)
F
sin 60
AB
F
AB 2
简化结果表明该力系是一平面力偶系。
4
二、平面任意力系的平衡方程
平面平行力系的平衡方程-推荐精选PPT
§4-6 平面平行力系的平衡方程
平面平行力系：各力的作用线相互平行 的平面力系 。
平面平行力系的平衡方程
若取y轴与诸力作用线平行，必恒有 X 0
Y
0
或
mo(F) 0
mA(F) mB(F)
0 0
AB连线不能平
行于各力作用线。
平面平行力系有2个独立的平衡方程，可以 求解2个未知数。
[例] 已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力。
求平：面① 平保行证力满系载的和平空衡载方时程不致翻倒，平衡块Q=？ ②当Q=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？ [求例：] ①已保知证：满P=载20和kN空, 载m时=1不6k致N·翻m,倒q，=2平0k衡N/块mQ, a==？0. ②当Q=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？ [若例取] y已轴知与：诸P力, a作, 用求线：平A行、，B两必点恒的有支座反力。
a 平§面4-6平行平力面系平的行平力衡系方的程平衡方程 m (F ) 0 , R a q a m P 2 a 0 A B 平§面4-6平行平力面系平：行各力力系的作平用衡线方相程互平行的平面力系 。
[例] 已知：P,=a20, kN求,：mA=、16BkN两·m点,的q=支2座0k反N/力m,。a=0.
解： ① 首先考虑满载 时，起重机不向右翻倒 的最小Q。
mB(F)0,
Q ( 6 2 ) P 2 W ( 1 2 ) 2 N A ( 2 2 ) 0
限制条件为 NA0
解得 Q75kN
再考虑空载时，W=0
mA(F)0,
Q (6 2 ) P 2 N B (2 2 ) 0
限制条件为 NB 0
受力如图。 [例] 已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力。
平面平行力系：各力的作用线相互平行 的平面力系 。
平面平行力系的平衡方程
若取y轴与诸力作用线平行，必恒有 X 0
Y
0
或
mo(F) 0
mA(F) mB(F)
0 0
AB连线不能平
行于各力作用线。
平面平行力系有2个独立的平衡方程，可以 求解2个未知数。
[例] 已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力。
求平：面① 平保行证力满系载的和平空衡载方时程不致翻倒，平衡块Q=？ ②当Q=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？ [求例：] ①已保知证：满P=载20和kN空, 载m时=1不6k致N·翻m,倒q，=2平0k衡N/块mQ, a==？0. ②当Q=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？ [若例取] y已轴知与：诸P力, a作, 用求线：平A行、，B两必点恒的有支座反力。
a 平§面4-6平行平力面系平的行平力衡系方的程平衡方程 m (F ) 0 , R a q a m P 2 a 0 A B 平§面4-6平行平力面系平：行各力力系的作平用衡线方相程互平行的平面力系 。
[例] 已知：P,=a20, kN求,：mA=、16BkN两·m点,的q=支2座0k反N/力m,。a=0.
解： ① 首先考虑满载 时，起重机不向右翻倒 的最小Q。
mB(F)0,
Q ( 6 2 ) P 2 W ( 1 2 ) 2 N A ( 2 2 ) 0
限制条件为 NA0
解得 Q75kN
再考虑空载时，W=0
mA(F)0,
Q (6 2 ) P 2 N B (2 2 ) 0
限制条件为 NB 0
受力如图。 [例] 已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力。
5-2 平面一般力系的平衡
FL
11
答案：
m
FA y
A
F Ax
A
AB梁:
Q 1 qL 2
Fx 0
B
F Ax 0
Fy 0
F Ay Q 0
1 F Ay 2 qL
mA 0
mA
Q
L 3
0
mA
qL2 6
12
其他例题
P92-94例5-2，例5-3，例5-5 。
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梁的自重不计
求：A、B支座反力。 解：取简支梁AB为研究对象
Q
1 2
qc
L 2
3kN
AD 2 L L 2m 32 3
yQ F
F L/3 L
x
αF
mA 0
F B cos 300 L m Q AD 0
F B 1.54kN （ ）
FX 0
α
F Ax F B sin 300 0
e G1
由(4)、(5)式 得：
G3
G1(b a
e)
6
A
B
FN A
b
FN B
由式(3)和(6)可得，起重机满载和空载均不致
翻倒时，平衡重的重量G3所应满足的条件为：
G2L G1e ab
G3
G1(b a
e)
8
例4.匀质刚杆ABC
θ
FA
P
θ θ
θ 2P
已知: BC=2AB=2L
mA 0
求：当刚杆ABC平衡时 BC与水平面的倾角θ? 解：取刚杆ABC为研究
2P
L
cos
L
cos(900
)
P
L 2
cos(900
平面力系的平衡方程及应用
研究方法：几何法，解析法。
各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。
正文
力在直角坐标轴上的投影
1
Fx=F·cosa ; Fy=F·sina = F ·cosb
说明： （1）力在坐标轴上的投影为代数量； （2）力的指向与坐标轴的正向一致时，力的投影为正值，否则为负。
正文
合力投影定理
推论1：力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关；
推论2：只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。
M
M
M
力偶表示方法
正文
思考：
力偶与力的异同
共同点：单位统一，符号规定统一。 差异点：1.力矩随矩心位置不同而变化；力 偶矩对物体作用效果与矩心选取无关。 2.力偶矩可以完全描述一个力偶；力对点之矩不能完全描述一个力。
′
F
M
单 手 攻 丝
正文
平面任意力系的简化
1
平面一般力系向平面内一点简化
F3
F1
F2
O
O
O
F
R′
MO
F
1′
M1
F1 =F1
′ M1=MO(F1)
F
2′
M2
F
3′
M3
F2 =F2
′ M2=MO(F2)
F3 =F3
′ M3=MO(F3)
简化中心
O
FR=F1+F2+F3= F1+F2+F3 MO=M1+M2+M3=MO(F1)+ MO(F2) + MO(F3)
正文
平面力偶系的合成与平衡
各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。
正文
力在直角坐标轴上的投影
1
Fx=F·cosa ; Fy=F·sina = F ·cosb
说明： （1）力在坐标轴上的投影为代数量； （2）力的指向与坐标轴的正向一致时，力的投影为正值，否则为负。
正文
合力投影定理
推论1：力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关；
推论2：只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。
M
M
M
力偶表示方法
正文
思考：
力偶与力的异同
共同点：单位统一，符号规定统一。 差异点：1.力矩随矩心位置不同而变化；力 偶矩对物体作用效果与矩心选取无关。 2.力偶矩可以完全描述一个力偶；力对点之矩不能完全描述一个力。
′
F
M
单 手 攻 丝
正文
平面任意力系的简化
1
平面一般力系向平面内一点简化
F3
F1
F2
O
O
O
F
R′
MO
F
1′
M1
F1 =F1
′ M1=MO(F1)
F
2′
M2
F
3′
M3
F2 =F2
′ M2=MO(F2)
F3 =F3
′ M3=MO(F3)
简化中心
O
FR=F1+F2+F3= F1+F2+F3 MO=M1+M2+M3=MO(F1)+ MO(F2) + MO(F3)
正文
平面力偶系的合成与平衡
平面力系的平衡方程
FBy 77.5kN
iy
F
解得
0 FAy FBy 2 P P 1P 2 0
FAy 72.5kN
解：取吊车梁,画受力图.
M
解得
D
0
8FE' 4P 1 2P 2 0
FE' 12.5kN
取右边刚架,画受力图. M C 0 6FBy 10FBx 4P FE 0 解得
M
A
0 MA M F 1 l F cos 60 l F sin 60 3l 0
解得： FAx 316.4kN FAy 300kN
MA 1188kN m
已知： P kN, P2 200kN, 尺寸如图； 1 700 求：（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3；
解得
FDB
3 2 ( 拉) P 8
求:
力偶矩M 的大小，轴承O处 的约束力，连杆AB受力，冲 头给导轨的侧压力。 取冲头B,画受力图. Fiy 0 F FB cos 0
解:
F
ix
0 FN FB sin 0
FN F tan FR l 2 R2
F Fl 解得： FB cos l 2 R2
三矩式
A, B, C
三个取矩点，不得共线
§3-2
平面平行力系的平衡方程
0 0 0 0 Fx 0 反例力偶 F F F 0 F 0 1 2 3 y Fx 0 F1 cos F2 cos F3 cos 0
取轮,画受力图：
F
ix
0
Fox FA sin 0
Fox
3.8 平面一般力系的平衡条件和平衡方程
F B A C
小结：平面一般力系的平衡条件和平衡方程
平面一般力系的平衡条件
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平衡方程
Fxi 0
Fyi 0
MO (Fi ) 0
物体的受力分析
分析问题思路 列平衡方程
解方程组的连线与x轴不垂直。
F B A
x
平面一般力系的平衡方程（形式三） 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献 教育（店铺）
对于共面力刚体的平衡条件可以写三个独立的矩方程
M A(Fi ) 0
MB (Fi ) 0
MC (Fi ) 0
点A、B、C非平面上的共线点。
F 0, MO 0
平面一般力系的平衡方程（形式一）
F 0
F Fx2 Fy2 ( Fxi )2 ( Fyi )2 0
两个独立的力的方程：
一个矩方程：
MO 0
MO (Fi ) 0
两个力方程 一个力矩方程
平面一般力系的平衡方程（形式二）
两个独立的矩方程，一个力的方程
M A(Fi ) 0
两个力方程一个力矩方程xiyi平面一般力系的平衡方程形式二对于共面力刚体的平衡条件可以写三个独立的矩方程平面一般力系的平衡方程形式三小结
3.8 平面一般力系的平衡条件和平衡方程
平面一般力系的平衡条件和平衡方程
F'
F3
F2 F3
F2
O F4
F1
M3 O M4
M2 F1 M1
MO
O
F4
主矢 主矩
O
平面力系平衡的必要与充分条件：力系的主矢量和力系对简化中心的主矩同 时都为零。
小结：平面一般力系的平衡条件和平衡方程
平面一般力系的平衡条件
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平衡方程
Fxi 0
Fyi 0
MO (Fi ) 0
物体的受力分析
分析问题思路 列平衡方程
解方程组的连线与x轴不垂直。
F B A
x
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对于共面力刚体的平衡条件可以写三个独立的矩方程
M A(Fi ) 0
MB (Fi ) 0
MC (Fi ) 0
点A、B、C非平面上的共线点。
F 0, MO 0
平面一般力系的平衡方程（形式一）
F 0
F Fx2 Fy2 ( Fxi )2 ( Fyi )2 0
两个独立的力的方程：
一个矩方程：
MO 0
MO (Fi ) 0
两个力方程 一个力矩方程
平面一般力系的平衡方程（形式二）
两个独立的矩方程，一个力的方程
M A(Fi ) 0
两个力方程一个力矩方程xiyi平面一般力系的平衡方程形式二对于共面力刚体的平衡条件可以写三个独立的矩方程平面一般力系的平衡方程形式三小结
3.8 平面一般力系的平衡条件和平衡方程
平面一般力系的平衡条件和平衡方程
F'
F3
F2 F3
F2
O F4
F1
M3 O M4
M2 F1 M1
MO
O
F4
主矢 主矩
O
平面力系平衡的必要与充分条件：力系的主矢量和力系对简化中心的主矩同 时都为零。
4.2第4-2章平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可； （3）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直； （4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。
例 题 1 已知：M=Pa
求：A、B处约束反力。
PC
2a M D
a
解法1: (1) 取刚架为研究对象
(2) 画受力图
A FAx
B
(3) 建立坐标系,列方程求解
解得:
P2
Pe a
P1l b
P2
a
l
（2）空载时，其限制条件是：FNB≥0
e
P
P1
M A 0, P2a FNBb P(e b) 0
解得:
P2
P(e b) a
A
B
FNA
b
FNB
因此，P2必须满足：
Pe P1l ab
P2
P(e b) a
解：取图示部分为研究对象
M B 0 P 3 FA .4 0
A
E
D
B
C
r
a
a
FA 9kN
Fx 0 FA FBx 0
FBx FA 9kN
Fy 0 FBy P 0
FBy P 12kN
A
FA
E
C
P
D r
P
B
FBx FBy
例 题6
FAx
Fy 0
FTE A
FAy
FB
D 45°
r
B
P
FAy P FB sin 45o 0 FBy 6kN
例 题7
已知：如图，
理论力学平面任意力系的平衡条件及方程
理论力学平面任意力系的平衡条件及方程一、平面任意力系的平衡条件平面任意力系平衡的必要和充分条件为：力系的主矢和对任一点的主矩M O 都等于零，F R'=M O =∑M O (F i )二、平面任意力系的平衡方程∑F ix =0∑F iy =0∑M (F )=0O i ⎧⎪⎨⎪⎩⎧∑F x =0⎨∑M A (F )=0⎩∑M B (F )=0条件：x AB⎪⎪⎧∑M A (F )=0⎨∑M B (F )=0⎩∑M C(F )=0条件：A ，B ，C 点⎪⎪上式只有 个独立方程，只能求出 个未知数。
[例]求图示刚架的约束力。
解：以刚架为研究对象，受力如图。
q∑F x =0:F Ax -qb =0∑F y =0:F Ay -F =0∑M A (F )=0:M -Fa -1qb 2=02=qb A解 ：F Ax F Ay =F 212A M =Fa +qbq[例]求图示梁的支座约束力。
解：以梁为研究对象，受力如图。
∑F x =0:F Ax +F cos θ=0∑F y =0:F Ay +F B -F sin θ=0∑M A (F )=0:F B a -F sin θ⋅(a +b )-M =0解 ：=-F cos θF Ax =M +F sin θ(a +b )aB F =-M +Fb sin θAyFa[例] 外伸梁的尺寸及载荷如图所示，F 1=2 kN ，F 2=1.5 kN ，M =1.2 kN·m ， l 1=1.5 m ，l 2=2.5 m ，试求铰支座A 及支座B 的约束力。
60解：1、 梁为研究对象，受力分 如图2、 平衡方程3、解方程∑MA(F )=0F B l 2-M -F 1l 1-F 2(l 1+l 2)sin60=Fx=0F Ax -F 2cos ∑60=0=0∑FyF Ay +F B -F 1-F 2sin 60=0=0.75kN F =3.56kN=-0.261kNF Ax B F Ay[例]悬臂吊车如图所示。
平面一般力系的平衡方程共有三组九个方程
平面一般力系的平衡方程共有三组九个方程平面一般力系的平衡方程是力学中的基本概念之一，用来描述物体在平面上处于力学平衡的条件。
这些方程由牛顿第二定律和力的合成原理推导得到，主要包括平衡条件和力的平衡条件。
首先，平面一般力系的平衡条件是指物体在平面上的合力和合力矩都为零，即物体不发生任何平动和转动的情况下，处于力学平衡状态。
合力为零表示物体受到的所有力在平面内互相抵消；合力矩为零表示物体受到的力矩合力为零，即物体不会发生转动。
其次，力的平衡条件是指物体受到的所有力在平面内满足力的平衡方程，可以分为三组方程：水平方向的平衡方程、竖直方向的平衡方程和力矩平衡方程。
水平方向的平衡方程描述了物体在水平方向上受到的力的平衡条件。
对于一个平面一般力系，物体在水平方向上受到的合力为零，可以表示为∑Fx = 0。
其中，∑Fx表示所有作用在物体上的力在水平方向上的分量的代数和。
竖直方向的平衡方程描述了物体在竖直方向上受到的力的平衡条件。
对于一个平面一般力系，物体在竖直方向上受到的合力为零，可以表示为∑Fy = 0。
其中，∑Fy表示所有作用在物体上的力在竖直方向上的分量的代数和。
力矩平衡方程描述了物体受到的所有力矩合力为零的平衡条件。
对于一个平面一般力系，物体受到的合力矩为零，可以表示为∑M = 0。
其中，∑M表示所有作用在物体上的力对物体某一点产生的力矩的代数和。
平面一般力系的平衡方程共有三组九个方程，即水平方向的平衡方程、竖直方向的平衡方程和力矩平衡方程。
这些方程可以精确地描述物体处于力学平衡的条件，并可以用于求解各个力的大小和方向。
在实际应用中，平面一般力系的平衡方程被广泛应用于工程领域，如结构力学、力学设计和力学分析等。
通过求解平衡方程，可以确定结构物体的静力特性，设计稳定性良好的工程结构，并可以预测结构物体在受力过程中的应力和变形情况。
总之，平面一般力系的平衡方程是力学中的基本概念之一，提供了描述物体在平面上力学平衡的数学工具。
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题问衡平与化简系力
第5章
例3
半径为 R的半球形碗内搁一均匀的筷子 AB。 筷子长2l, 设 2R ? l ? ? R, 且为光滑接触。求
?
筷子平衡时的倾角 a。
B
l
a
A
例3
解法一
第5章 解：确定筷子为对象，作受力分析。
题问衡平与化简系力
因为? ADE是直角，所以 E一定在圆周上，
A E? 2R
? ? OAD ? ? OD ? l cosa ? AF ? 2R cos 2a
a1
?
? 4
a2
?
1 2
arcsin
9 16
a3
?
?
2
?
1 2
arcsin
9 16
题问衡平与化简系力
第5章
例4
解法二： 两矩式
y
NA
a
CA
a
P
O
NB
x aB
D
a
P
aa a a a mA ? NBacos ? P(l ? asin )sin ? P[(l ? acos )cos ? a]? 0 a a a a a [ mB ? ? NAa sin ? P (l ? a sin ) sin ? a]? P(l ? a cos ) cos ? 0
题问衡平与化简系力
第5章
刚体平衡问题的解题步骤
? 正确选取研究对象，取分离体，画受力图 ? 作直角坐标系，建立力系平衡方程。 力矩
轴应和尽量多的未知力相交或平行 ? 对于平面一般力系的刚体平衡问题，除了
一矩式外，应学会灵活应用其它两种形式。 对于空间一般力系的刚体平衡问题，一般 应用三个力的投影式及三个力矩式。 ? 解平衡方程式，最好先用文字符号表示求 解结果，并用量纲校核后，再代入数据求 出数值解。
a
?
? arccos?
l
?
??
l
2
? ?
?
1
? ?
??8R ?8R ? 2 ??
E
B
O
D
RlC
9?0? Q
aF
A?Βιβλιοθήκη ?WN例3 第5章 用虚位移原理求解
解法二
题问衡平与化简系力
V ? ?W CD sin a
CD ? 2R cosa ? l
? ?W ?2R cosasina ? l sina? ? W ?l sina ? R sin 2a?
a a Rx ? NB sin ? NA cos ? 0 能否用Ry = 0 ?
从这三个方程可以解出 NA，NB和a 。
题问衡平与化简系力
例4 第5章
解法三： 三矩式
y
NA
a
CA
a
P
O
NB
x aB
D
a
P
mAN? Ba cosa? P(l ? asina) sina? P[(l ? a cos)a cosa??a] 0 mB ? ? NAa sina? P[(l ? asina) sina??a]P (l ? a cos)a cosa? 0 mo ? ? NAa sina? NBa cosa? Pl sina? Pl cosa? 0
cosa)
?
2P（a cos2 a ?
sin 2 a）
? P(sina ? cosa)[l ? 2(a sina ? cosa)]
?0
a1
?
?,
4
a2
?
a*
?
1 2
arcsin
9, 16
a3
?
?
2
a ? *
R?0
a a NB ? 2P cos , N A ? 2P sin
题问衡平与化简系力
第5章
例5
?V
?a
?
W
?l
cosa?
2R
cosa??
0
E B
cosa ?
l ?
??
l
2
? ?
?
1
8R ?8R ? 2
O
D
Rl C
9?0? Q
aF
A
?
?
W
N
第5章
例4
如图所示的直角尺两边长均为 2l，AB = 0.4l,
求平衡时 NA，NB和a。
题问衡平与化简系力
NA
aA
C
a
P
O
NB
aB
D
a
P
题问衡平与化简系力
从这三个方程可以解出 NA，NB和a 。
题问衡平与化简系力
第5章
例4
解法四 ：虚位移原理
V ? ? P(l ? a sin a) cosa ? P(l ? a cosa) sina ? ? Pl(cosa ? sina) ? 2Pa sinacosa
y
NA
a
CA
a
P
O
NB
x aB
D
a
P
?V
?a
?
Pl(sina ?
已知起重机重 P，可绕铅直轴 AB转动，起 吊重量为 Q的物体。起重机尺寸如图示。 求止推轴承 A和轴承B处约束反力。
sin
??
?
j?sin?
?
1 2
cos j
O
?
NB
?
B
tanj ? cot2?
j ? 90? ? 2?
NA
jP
A
如何求NA和NB ？
?
题问衡平与化简系力
第5章
例1
解法二
用虚位移原理求解
V
?
PyC
?
Pl[cos?
?
j) s(
i?n
?
1s 2
ijn ]
?V
?j
?
Pl????
sin??
?
j?sin?
?
1 2
第4节
平面力系的平衡方程
题问衡平与化简系力
平面力系平衡方程的各种形式 第5章
? 一矩式 (标准形式)
Rx ? 0 Ry ? 0 M O ? 0
? 二矩式 (AB连线不与x轴垂直)
Rx ? 0 M A ? 0 M B ? 0
? 三矩式 (A、B、C三点不共线 )
MA ? 0 MB ? 0 MC ? 0
cosj???
?
0
O
?
NB
?
B
NA
C
jP
A
?
题问衡平与化简系力
第5章
例2
AB是吊车梁， BC是钢索， A端支承可简化为 铰链支座。设已知电葫芦和提升重物共重 P=
5kN, ? ? 25o，a=2m，l = 2.5m。吊车梁的自
重略去不计，求钢索 BC和铰A的约束力。
C
?
A
D
B
P
题问衡平与化简系力
第5章
例1
长为 l的均质细杆放置在两互相垂直的光滑斜
面上，其中一个斜面的倾角为 ?，求平衡时细 杆的倾角j 。
题问衡平与化简系力
B
j
A
?
题问衡平与化简系力
第5章
例1
解法一
以杆为研究对象，画出受力图。杆受三个 力的作用，必相交于一点。
OA sin ?
?
l 2
cos j
OA ? l si ??n? j?
第5章
例4
解法一： 一矩式
y
NA
a
CA
a
P
a a Rx ? N B sin ? N A cos ? 0
O
NB
x aB
D
a
P
a a Ry ? N B cos ? N A sin ? 2P ? 0
a a aa mo ? ? NAa sin ? NBa cos ? Pl sin ? Pl cos ? 0
a a NB ? 2P cos , N A ? 2P sin
第5章
例2
解
选择吊车梁为研究对象，取坐标系 Oxy
l a
RA
j
TB O
?
y TB
?
A
D
B
P
P
RA cosj? TB cos? ? 0
j ? ? P ? RA sin ? TB sin ? 0
tan j?
OD AD
?
BD tan?
AD
?
(l
? a) a
tan?
RA
j x
RA ? 8.63kN TB ? 9.46kN