初中数学竞赛辅导-二次根式

学科：奥数

教学内容：二次根式

f

【内容综述】

一般地，式子叫做二次根式。在解决有关根式的化简与求值问题时，需要同学们熟练地掌握根式的性质、运算法则等知识。另外，特别要掌握好如下的二个重要性质：（1）。

（2）

【要点讲解】

在这一部分中，通过例题的解答，介绍有关二次根式的化简、求值、分母有理化等方面的知识，同学们要认真体会其中的解题方法和技巧。

★★例1、化简.

思路通过分类讨论去掉根号。

解原式

例2、化简

思路用待定系数法把11-6表示成一个完全平方式。

解设11-6（

则

所以

解得或

说明本题还可用配方法来化简，请读者自己来试一试。

★★★例3、分母有理化。

★★★例4 化简

思路对分子进行重新的分解组合，使之与分母有公共的因式。

解法1 原式=

＝

解法2 原式

说明对于这种分式型的根式问题的化简，常用的思路就是对于分子进行巧妙地分解、组合，使之出现分母中的形式，达到化简的目的。

★★★例5 若。

思路先化简已知条件的复合二次根式，和所求化数式，然后再求值。

说明本题通过变形已知条件得到，然后利用这个条件进行整体代换，大大简化了运算过程。这种解题策略在条件求值问题中经常运用。

★★★例6 设的整数部分为a，小数部分为b，求a-b（2b+1）的值。

★★★★例7 化简

由

当时,

当n<-2（除n= -2,因它使分母为零）时,

= -,

,

∴

=

=

★★★★例8 设

且,

求的值。

解：设显然k≠0，则

由已知得

即

∴

由已知得

∴

说明：当题目中的变量较多时，常常引入一个参数，使得每个变量都用这个参数表示出来，这样便于化简。

★★★★例9

设。则与S最接近的整数是多少？

思路：所求式的各项的特征都相同，故可先研究每项的一般形式的结构，即所谓“通项的结构”。

解：当n为整数时，有

=

=

=

∴

故与X最接近的整数是1999。

说明：如果所求式子各项的特征相同时，一般要先研究清楚通项的特点，然后再具体到每一项，这是从一般到特殊的思维方法。

A级

★★1、___________

★★★2、若则_____________

★★★3、若0

★★★4、设，求的值。

B级

★★★5、若[a]表示实数a的整数部分，则=

★★★6、分母有理化，___________

★★★7、自然数满足。则 _________ ★★★8、已知化简

参考答案

A 级

1、-2

提示：原式=

=

2、7

提示：

∴

∴

3、

提示：原式=

，∴，∴原式=

4、1152

提示：由条件知所以从而，原式=

=

=

5、2

提示：

=

6、

提示：原式=

=

=

7、10或14

提示：已知条件的两边平方得，又由题设知是自然数，且或

当时，这时当时，，

这时。

8、或

由得. 所以

因为所以

若a>0>b, 原式= -ab；

若a<0