第二十四届北京市大学生数学竞赛合集

第二十四届北京市大学生数学竞赛暨高职高专类第四届竞赛试卷
八、（本题10分）设 f (x) 在 a ,b 上是正的可积函数，证明存在a,b ，使得
直线 x 将由直线 x a , x b, y 0 和曲线 y f (x) 围成的曲边梯形分割为两个 面积相等的小曲边梯形.
九、（本题10分）设 F(x)是 f (x) 的一个原函数，当 x 0 时有 f (x) F (x) sin2 x ， 并且 F (0) 1， F (x) 0 ，求 f (x) .
1
f (x) dx0
1 x
0
4. 若 f (x) 在[0,1]上连续，则 f (x) 的值域为【 】.
(A) 闭区间 (C) 无穷区间
(B) 开区间 (D) 以上情况都有可能
5. 若 f (x) 在[0,1]上可积，则 f (x) 在[0,1]上【 】.
(A) 连续 (C) 可导
(B) 有界 (D) 连续可导
2
2
……………(7分)
于是
f (x ) F (x ) 1cos 2x sin2 x
2 x sin 2x 1 x sin 2x 1
2
2
……………(10分)
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2013 10 26
9:00 11:30
(
10
3
30 )
1.
f (x) = ex2, f [ϕ(x)] = 1 − x ϕ(x) 0 ϕ(x) =
第二十四届北京市大学生数学竞赛暨高职高专类第四届竞赛试卷
四、（本题10分）设 p 0 ，常用下面的简便方法求 p 的算术平方根的近似值：任
取u1
0
，令 un1
1 2
un
p un
(n
1, 2,)
，证明
un
收敛于
p.
五、（本题10分） 汽车在某个只能通过一辆车的单行路上行驶，前后两车之间的
安全距离 s （米）与车的平均速 v （米/秒）的之间关系为 s 18 v v 2 ，求
- -- - -- - -- -- - -- - -- -- -装 - -- - -- - -- -订 - -- - -- -- - -线 -- - -- - -- -- 内 -- - -- -- - -- 请 -- -- - -- - -- 勿- - -- -- - -- - 答- -- - -- - -- -题 - -- - -- -- - -- - -- -- - -- -
h 0
h
(C)
f lim
h 0
x0 h2 f x0
h2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(D)
lim
h 0
f
x0 h3 f x0
h3
3. 以下各项正确的是【 】.
(A)
2
cos x cos3 xdx 0
2
(B)
0
1
x 2 cos2 x
dx
0
(C) 1 1 dx 0
(D)
若 f (x) 在[0,1]上非负可积且不恒为零，则
(A) 以0.1为边长的正方形面积
(B) 以2为半径的圆弧长
(C) 以 4为长，0.1为宽的长方形面积
(D) 内圆半径是2，外圆半径是2.01的圆环面积
2. 若以下几个极限都存在， h 0 ，则极限为 f x0 的是【 】.
(A) lim f x0 hf x0 h
h0
h
(B) lim f x0 h2 f x0
九 、（本题10分）
解：因 F(x)是 f (x) 的一个原函数，所以 f (x) F (x)dx 1 F 2 (x) C
2 ……………(3分)
又
f (x)F
(x )dx
sin2
xdx
x 2
sin 2 4
x
C
于是得 F 2 (x) x sin 2x C 2
由 F(0) 1得 F 2 (x) x sin 2x 1，而 F(x) 0 ，所以 F( x) x sin 2x 1
·
∂z ∂x
=
x = x(y, z), y = y(x, z), z = z(x, y)
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院系
学校
第二十四届北京市大学生数学竞赛暨高职高专类第四届竞赛试卷
二、（本题共15分，每小题 3分）填空题
1.
lim
cos
x
sin
x
1 x
.
x0
2.
lnim 1 212
1 312
1 n12
3. 若 y x4 ，则 y (10) = 1 x
4. 1 1x 2 ln x 1x 2 dx 1
因为 f (x) 为正的可积函数，则 S t 为 a ,b 上连续函数，……………(5分)
由于 S a 0, S b S , 由介值定理，存在a ,b 使得 S 1 S ，即
2 直线 x 将由直线 x a , x b, y 0 和曲线 y f (x)围成的曲边梯形分割为两个
面积相等的小曲边梯形. ……………(10分)
1，
lim
x 0
f
(x)
lim x0+
1 101 x 2 101 x
1 2
所以 lim f (x) 不存在， f (x) 在 x 0不连续. x 0
……………(6分)
因为 lim f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x ) 1 ， f ( 0 ) 1
x 0
x 0
x 0
2
2
所以 f x 在 x 0连续.
所以 un 单调减少有下界，根据单调有界性定理，un 收敛。
……………(8分)
设 lnimun
a
，则
a
1 2
a
p a
，解得
a
p ，而 a
p 不合题意，
所以 lnimun p
……………(10分)
姓名
院系
学校
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第二 十四届北京市大学生数学竞赛暨高职高专类第四届竞赛试卷
五 、（本题10分）
第二十四届北京市大学生数学竞赛暨高职高专类第四届竞赛试卷
考试时间：2013 年 10 月 26 日上午 9:00-11:30
准考证号
姓名
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 分数 评阅 审核
一、(本题共15分，每小题 3分)单项选择题(将正确答案的字母填在题后的括号内)
1. 半径为2的圆当半径增加0.1时,面积的微分是【 】.
六 、（本题10分）
……………(10分)
证明：由题意易知 f (x) 在c , d 上连续，因此 f (x) 在c, d 上取最小值m和最大
值M,
……………(3分)
且因为
t1
0 ,t2
0 ，所以 0
t1
t1 t2
1， 0 t2 t1 t2
1
于是
m t1 f (c) t2 f d M
t1 t2
……………(10分)
四 、（本题10分）
证：因
p
0 ， u1
0 ， un1
1 2
un
p un
(n
1, 2 ,) ，所以un
0
(n 1, 2,)
……………(2分)
由平均值不等式，当
n
2
时，
un 1
1 2
un
p un
p
……………(5分)
又 un 1
un
1 2
p u n
un
12
p p 0 ，
t1 t2
……………(7分)
根据介值定理，存在c , d a ,b 使得 f () t1 f (c) t2 f d ，即
t1 t2
t1 t2
t1 f (c) t2 f d t1 t2 f ……………(10分)
七 、（本题10分）
证明：（1）因 F(x) xx 2t f t dt ，则 F(x) x x 2t f tdt
ex − 1,
2.
f (x) = x + a,
x<0 0 x<1
1 + b sin(x − 1), x 1
a+b=
x = 0, x = 1
ab
3. f (x) = ex2 sin x4
f (2013)(0) =
4.
f (x) = ex
[0, x] (x > 0)
lim θ =
x→0
ex − 1 = xeθx (0 < θ < 1)
f
( x)
在
,
内连续，且
F
(x)
xx 2t 0
f t dt
，证明：
（1）若 f (x) 为偶函数，则 F (x) 也为偶函数；
（2）若 f (x) 为单调减少函数，则 F (x) 为单调增加函数.
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5. 设
f x x e t2 dt
，则
1
f (x) dx
1
0
. . . .
三、（本题10分）
设
1 101 x 2 101 x
,
x
0
f (x)
，
讨论 f (x) 及 f
x
在 x 0 的连续性.
1 ,
x=0
2
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0
0
……………(2分)
令 t z ，则
F(
x)
x x 0
2
z
f
z ( dz)
x x 0
2
z
f z
dz
因为
f
( x)
为偶函数，所以
F ( x)
xx 0
2
z
f
zdz
F( x)
即 F(x)为偶函数. ……………(5分)
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第二十四届北京市大学生数学竞赛暨高职高专类第四届竞赛试卷
当 x 0 时， F (x) 0xf t f xdt 0x f t f x dt 0
从而 F(x)为单调增加函数. ……………(10分)
八 、（本题10分）
证明：设曲边梯形的面积为 S (S 0),任取 t a , b ，直线 x t 将曲边梯形分割为
两个小曲边梯形，记左边的小曲边梯形的面积为
S t t f xdx ， ……………(2分) a
（2）因为 f (x) 连续，所以 F(x)可导 ……………(6分)
而
F( x)
x
xf 0
t dt
x
2t 0
f
tdt
xf
x0x f
tdt
2 x
f
x
x
f 0
t dt
x
f
x0x f
t f
x dt
……………(8分)
由于 f (x) 为减函数，当 x 0 时，故 F (x) 0x f t f x dt 0 ，
32
平均速度为多少时交通流量最大.
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第二十四届北京市大学生数学竞赛暨高职高专类第四届竞赛试卷
六、（本题10分）设 f (x) 在 a ,b 上连续，c , da,b ,t1 0,t2 0, 证明存在 a ,b ，使得 t1 f (c) t2 f d t1 t2 f .
七、（本题10分） 设
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准考证号
第二十四届北京市大学生数学竞赛暨高职高专类第四届竞赛试卷 参考答案
一、1．C； 2. D ； 3. B； 4. A； 5. B
二、1. e； 2. 1/2； 3.
10！
； 4.
； 5.
e1 1
1 x 11
2
2
三 、（本题10分）
解：因为
lim
x 0
f
(x)
lim x0
1 2
101 101
x x
5.
f (x)
π 2
−π
1
cos x + f (x) dx
=
2
f (x)f (−x) = 1, x ∈ (−∞, +∞)
6.
I=
(4 − 5 sin x + 3y)dxdy =
x2+y2 a2
+∞ sin
√ n2 + 1 − n
π
7.
n=1
nx
x
8.
Φ(x, y, z) = 0
∂x ∂y
·
∂y ∂z
解：设
y
表示1秒钟内通过某定点的汽车的数目，则 y
v 18 v v2
32
……………(4分)
因为
18 v2
y
32
18
v
v 2 32
2
(24 v)(24 v)
32 18
v
v 2 32
2
，可得唯一驻点
v =24
……………(8分)
在v =24左侧 y0，在v =24右侧 y0 ，所以v =24时汽车流量最大.