第二十四届北京市大学生数学竞赛合集

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2024届北京景山学校初三2月开学考数学试题及答案

2024北京景山学校初三（下）开学考数学2024年2月本试卷共8页，共100分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回．第一部分选择题一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 根据北京市统计局发布的统计数据，2022年首都的各项事业都取得了新进展，其中GDP 总量达到41600亿元，数字41600用科学记数法可表示为（）A. 44.1610⨯B. 441.610⨯C. 54.1610⨯D. 50.41610⨯ 2. 有理数a 在数轴上的对应点的位置如图所示，若有理数b 满足b a <−，则b 的值可能是（）A. 2B. 2−C. 0D. 3−3. 下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是（）A. B. C. D. 4. 若正多边形的内角和是540︒，则该正多边形的一个外角为（）A. 45︒B. 60︒C. 72︒D. 90︒ 5. 关于x 的一元二次方程2(3)210x k x k −+++=根的情况是（）A. 无实根B. 有实根C. 有两个不相等实根D. 有两个相等实根6. 为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某区举办了团课知识竞赛，甲、乙两所中学各派5名学生参加，两队学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是（）A. 22甲乙<S S ，x x =乙甲B. 22S S =甲乙，x x >甲乙 C. 22S S >甲乙，x x =乙甲 D. 22S S =甲乙，x x <甲乙 7. 不透明的袋子中装有两个红球和一个绿球，除颜色外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到红球的概率是（） A. 29 B. 13 C. 49 D. 238. 已知在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上一个动点，过P 作CD 、AD 的平行线分别交正方形ABCD 的边于E 、F 和M 、N ，若BP x =，图中阴影部分的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系图象大致是（）A. B. C. D.二、填空题（本题共16分，每题2分）9. 方程3042x x=+的解是_______． 10. 分解因式：24x 8x 4−+=_______．11. 已知点()11,A m y −，()2,B m y 都在一次函数21y x =−+的图象上，那么1y 与2y 的大小关系是1y _____2y （填“>”，“=”“<”）12. 如图（示意图）所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE 测量建筑物的高度，已知标杆BE 的高为2.4m ，测得 1.8m AB =，13.2m BC =，则建筑物CD 的高为__________m ．13. .如图，在 Rt △ABC 中，∠B ＝90°，以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点 D ，E ，再分别以点 D、E 为圆心，大于DE 为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若 BG＝1，AC＝4，则△ACG 的面积是________.∠的值为__________．14. 如图，ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos ACB=．只需添加一个条件即可证明四15. 如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE DF边形AECF是矩形，这个条件可以是_______（写出一个即可）．16. 一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分．规定正确的画√，错误的画×．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如下表所示，则m的值为__________．第三部分解答题三、解答题（共68分，第17－22题，每题5分，第23－26题，每题6分，第27－28题，每题7分）．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.计算：113tan 304−⎛⎫︒− ⎪⎝⎭．18. 解不等式组：2631213x x x x −<⎧⎪−⎨−+≤⎪⎩． 19. 已知2310x x −−=，求代数式(23)(23)2(1)x x x x +−−−的值．20. 同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，30︒角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明．已知在ABC 中，90,30∠=︒∠=︒C A ，求证：12BC AB =．法一：如图1，在AB 上取一点D ，使得BC BD =，接CD ．法二：如图2，延长BC 到D ，使得BC CD =，连接AD ．图1 图2你选择方法_______证明：21. 如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，BC ，EO 为矩形BECO 对角线，,BC AD AD EO =∥．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）连接DE ，若4,120AC BCD =∠=︒，DE 的值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线121y x =−+与反比例函数()20k y k x=−≠图象的一个交点为点M ．（1）当点M 的坐标为()2,m 时，求k 的值；（2）当1x <−时，对于x 的每一个值，都有12y y >，直接写出k 的取值范围．23. 第二十四届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，北京成为历史上第一座既举办夏奥会又举办冬奥会的城市．北京冬奥会的成功兴办掀起了全民“冬奥热”，某校九年级举行了两次“冬奥知识”竞赛．该校九年级共有学生480人参加了竞赛，从中随机抽取30名学生的两次竞赛成绩，小明对两次数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a ．小明在统计第二次竞赛成绩各分数段人数时，不小心污染了统计表：b ．将竞赛成绩按四舍五入取整后，得出的频数分布折线图如下（数据分组：45x ≤，4546x <≤，4647x <≤，4748x <≤，4849x <≤，4950x <≤）某校抽取30名学生的两次“冬奥知识”竞赛成绩折线统计图c ．两次竞赛成绩的平均数、中位数如下：（1）请补全折线统计图，并标明数据；（2）请完善c 中的统计表，m 的值是．（3）若成绩为46.5分及以上为优秀，根据以上信息估计，第二次竞赛九年级约有名学生成绩达到优秀；（4）通过观察、分析，小明得出这样的结论“在抽取30名学生的第一次竞赛成绩中，众数一定出现在4546x <≤这一组”．请你判断小明的说法．（填“正确”或“错误”），你的理由是． 24. 学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A 和场景B 下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x 分钟时，在场景A ，B 中的剩余质量分别为1y ，2y (单位：克)．下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：记录1y ，2y 与x 的几组对应值如下：（1）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出上表中各组数值所对应的点()()12x y x y ，，，，并画出函数12y y ，的图象；（2）进一步探究发现，场景A 的图象是抛物线的一部分，1y 与x 之间近似满足函数关系210.04+y x bx c =−+．场景B 的图象是直线的一部分，2y 与x 之间近似满足函数关系()20y ax c a =+≠．请分别求出场景A ，B 满足的函数关系式；（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场景A ，B 中发挥作用的时间分别为A B x x ，，则A x B x (填“＞”，“=”或“＜”)． 25. 如图，AB 是O 的直径，C 为AB 延长线上一点．CD 为O 切线，D 为切点，OE BD ⊥于点H ，交CD 于点E ．（1）求证：BDC BOE ∠=∠；（2）若1sin 3C =，4=AD ，求EH 和半径的长． 26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()()12,,,x m x n 在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上，设抛物线的对称轴为x t =．（1）若对于11x =，23x =，有m n =，求t 的值；（2）若对于11t x t −<<，223x <<，存在m n >，求t 的取值范围．27. 如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，连接DE ，EDC B ∠=∠．（1）求证：ED EC =；（2）连接BD ，点F 为BD 的中点，连接AF ，EF ．①依题意补全图形；②若AF EF ⊥，求BAC ∠的大小．28. 在平面直角坐标系xOy 中，将中心为T 的正方形记作正方形T ，对于正方形T 和点P （不与O 重合）给出如下定义：若正方形T 的边上存在点Q ，使得直线OP 与以TQ 为半径的T 相切于点P ，则称点P 为正方形T 的“伴随切点”．（1）如图，正方形T 的顶点分别为点O ，(2,2),(4,0),(2,2)A B C −．①在点123(2,1),(1,1),(1,1)P P P −中，正方形T 的“伴随切点”是_______；②若直线y x b =+上存在正方形T 的“伴随切点”，求b 的取值范围；（2）已知点(,1)T t t +，正方形T 的边长为2．若存在正方形T 的两个“伴随切点”M ，N ，使得OMN 为等边三角形，直接写出t 的取值范围．参考答案第一部分选择题一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】A【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值>10时，n 是正数；当原数的绝对值<1时， n 是负数.【详解】解：41600用科学记数法表示为44.1610⨯；故选：A.【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键要记住科学记数法的表示形式，正确确定a 的值以及n 的值.2. 【答案】D【分析】根据a 的范围确定出b 的范围，进而判断出b 可能的取值．【详解】解：根据数轴上的位置得：23a <<，32a ∴−<−<−，b a <−，3b ∴≤−，故b 的值可能为3−，故选：D ．【点睛】此题考查了数轴，掌握用数轴比较大小是解本题的关键．3. 【答案】C【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可.【详解】解：A ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项A 不符合题意；B ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项B 不符合题意；C ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项C 符合题意；D ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．4. 【答案】C【分析】根据多边形的内角和公式()2180n −•︒求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360︒，依此可以求出多边形的一个外角．【详解】正多边形的内角和是540︒，∴多边形的边数为54018025︒÷︒+＝，多边形的外角和都是360︒，∴多边形的每个外角360572÷︒＝＝．故选C ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．5. 【答案】C【分析】先求出24b ac −，再根据结果判断即可．【详解】根据题意，得222224(3)4(21)698425(1)44b ac k k k k k k k k −=+−+=++−−=−+=−+≥，∴这个方程有两个不相等的实数根．故选：C ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握24b ac −与一元二次方程根之间的关系是解题的关键．即当240b ac −＞时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；当240b ac −=时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根；当240b ac −＜时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．6. 【答案】D【分析】本题主要考查了求平均数和方差，分别求出两所中学5名学生的成绩的平均数和方差，即可求解．【详解】解：根据题意得：甲所中学5名学生的成绩为60，70，70，60，80，乙所中学5名学生的成绩为70，80，80，70，90， ∴()16070706080685x =++++=甲，()17080807090785x =++++=乙， ()()()()()222222160687068706860688068565S ⎡⎤=−+−+−+−+−=⎣⎦甲， ()()()()()222222170788078807870789078565S =⎡⎤−+−+−+−+−=⎣⎦乙， ∴22S S =甲乙，x x <甲乙．故选：D7. 【答案】C【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有4种，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有4种， ∴两次都摸到红球的概率为49，故选：C ．8. 【答案】D【分析】设在正方形ABCD 的边长为a ，首先可证得四边形AMPE 、FCNP 都是矩形，四边形BFPM 、EPND 都是正方形，可求得22BF FP PM BM BP x =====，2EP PN ND DE a x ====−，再由ABCD BFPM EPND S S S S =−−阴影正方形正方形正方形，即可求得则y 与x 之间的函数关系，据此即可判定．【详解】解：设在正方形ABCD 的边长为a ，四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，45MBP FBP ∠=∠=︒，AB CD ∥，BC AD ∥，过P 作CD 、AD 的平行线分别交正方形ABCD 的边于E 、F 和M 、N ，∴四边形AMPE 、FCNP 都是矩形，∴四边形BFPM 、EPND 都是正方形，22BF FP PM BM BP x ∴=====，2EP PN ND DE a x ====−， ABCD BFPM EPND S S S S ∴=−−阴影正方形正方形正方形22222a x a x ⎛⎫⎛⎫=−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22221122a x a x =−−+−2x =−+()20,0y x x y ∴=−+≥≥，∴该函数的图象是开口向下的抛物线，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，求函数解析式，几何问题与二次函数，准确求得函数解析式是解决本题的关键．二、填空题（本题共16分，每题2分）9. 【答案】0x =【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤进行求解，即可．【详解】解：3042x x =+ ∴30x =解得：0x =，经检验，0x =是原方程的解，故答案为：0x =．10. 【答案】()24x 1−．【分析】先提取公因式4后继续应用完全平方公式分解即可．【详解】解： ()()2224x 8x 44x 2x 14x 1−+=−+=−．故答案为：()24x 1−．【点睛】本题考查因式分解，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．11. 【答案】>【分析】根据一次函数解析式得出20k =−<，得出y 随着x 的增大而减小，根据1m m −<，即可求解．【详解】解：∵21y x =−+，20k =−<，∴y 随着x 的增大而减小，∵1m m −<，∴12y y >，故答案为：>．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．12. 【答案】20【分析】根据正切等于对边比邻边，即可得到答案．【详解】解：由题意可得， tan BE DC A AB AC∠==，2.41.8 1.813.2DC =+，解得20DC =，故答案为：20．【点睛】本题考查直角三角形正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切等于对边比邻边．13.【答案】2【分析】先作GH ⊥AC 于H ，由题意可得BG=GH ，再根据面积公式即可得出答案.【详解】作GH ⊥AC 于H根据题意可得AG 是∠BAC 的角平分线∴BG=GH=1 ∴1114222ABC S GH AC =⨯⨯=⨯⨯=故答案为2.【点睛】本题考查的是角平分线，需要熟练掌握角平分线的做法.14. 【答案】5【分析】取格点D ，连接BD ，根据勾股定理分别求出BD =，CD =，BC =，即得出222BD CD BC +=，说明BCD △为直角三角形，最后根据余弦的定义求解即可．【详解】解：如图，取格点D ，连接BD ．∴BD ==CD ==221310BC ，∴222BD CD BC +=， ∴BCD △为直角三角形，∴cos5CD ACB BC ∠===．．【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，余弦的定义．正确的连接辅助线是解题关键．15. 【答案】AE BC ⊥（答案不唯一）【分析】根据矩形的判定方法即可求解．【详解】解：菱形ABCD ，BE DF =，∴AD DF BC BE −=−，即CE AF =，且AF CE =，∴四边形AECF 是平行四边形，根据矩形的判定，①四边形AECF 是平行四边形，AE BC ⊥，∴90AEC ∠=︒，平行四边形AECF 是矩形；②四边形AECF 是平行四边形，若CF AD ⊥，∴90AFC ∠=︒，平行四边形AECF 是矩形；故答案为：AE BC ⊥（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查矩形，掌握矩形的判定方法是解题的关键．16. 【答案】30【分析】由乙丙的答案和得分可知第2,5题答案正确，进而判断其余6道题目的答案，再根据正确的答案判断丁的得分即可．【详解】因为乙丙的第2，525分，所以第2，5两题答案正确．又因为甲得30分，且第2，5题错误，可知其余6题答案均正确，可知这8道题目的答案为：×，×，×，√，√，×，√，×，可知丁的第2，8两题错误，所以得分为6530⨯=，则30m =．故答案为：30．【点睛】本题主要考查了推理论证，培养了学生阅读能力和逻辑推理能力，属于基础题型．第三部分解答题三、解答题（共68分，第17－22题，每题5分，第23－26题，每题6分，第27－28题，每题7分）．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 【答案】4−【分析】首先根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算、二次根式的性质、去绝对值符号法则，进行运算，再进行二次根式的混合运算，即可求解．【详解】解：113tan304−⎛⎫︒− ⎪⎝⎭34=−−4=−−4=−【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算、二次根式的性质、去绝对值符号法则、二次根式的混合运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．18. 【答案】562x−<≤【分析】先求解每个不等式的解集，再求它们的公共部分即为不等式组的解集．【详解】解：2631213x xxx−<⎧⎪⎨−−+≤⎪⎩①②，解不等式①，得：6x>−解不等式②，得：52x≤，∴不等式组的解集为：562x−<≤【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法步骤并正确求解是解题关键．19. 【答案】7−【分析】根据2310x x−−=，得出231x x−=，将()()()232321x x x x+−−−化为()2239x x−−，求出结果即可．【详解】解：∵2310x x−−=，∴231x x−=，∴()()()232321x x x x+−−−224922x x x=−−+2629x x=−−()2239x x=−−219=⨯−7=−．【点睛】本题主要考查了化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算．20. 【答案】见解析【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质；法一：在AB 上取一点D ，使得BC CD =，连接CD ，推出BCD △是等边三角形，再利用等角对等边证明AD CD =，据此即可证明12BC AB =；法二：延长BC 到D ，使得BC CD =，连接AD ，推出AC 垂直平分BD ，证明ABD △是等边三角形，据此即可证明12BC AB =．【详解】解：法一：在AB 上取一点D ，使得BC CD =，连接CD ，∵9030，∠=︒∠=︒C A ，=60B ∴∠︒，BCD ∴△是等边三角形，60BDC ∴∠=︒，CD BD =，6030DCA A A ∴∠=︒−∠=︒=∠，AD CD DB BC ∴===，12BC AB =∴; 法二：延长BC 到D ，使得BC CD =，连接AD ，∵90ACB ∠=︒，∴AC 垂直平分BD ，∴AD AB =，∵在ABC 中，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，60B ∴∠=︒，ABD ∴是等边三角形，2AB BD BC ∴==，即12BC AB =．21. 【答案】（1）见解析（2）DE =【分析】（1）由矩形的性质可得OE CB =，90BOC ∠=︒，结合AD EO =可得AD CB =，结合BC AD ∥，可证四边形ABCD 是平行四边形，再根据90BOC ∠=︒可证四边形ABCD 是菱形；（2）先根据已知条件和（1）中结论证明ABC 是等边三角形，进而求出AO ，BO ，再利用勾股定理解Rt DBE 即可．【小问1详解】证明：四边形BECO 是矩形，OE CB ∴=，90BOC ∠=︒，AD EO =，AD CB ∴=，AD BC ∴∥，∴四边形ABCD 是平行四边形．90BOC ∠=︒，∴平行四边形ABCD 是菱形．【小问2详解】解：如图，连接DE ，四边形ABCD 是菱形，∴AB BC CD AD ===，AB CD ∥，AC BD ⊥，∴180BCD ABC ∠+∠=︒，120BCD ∠=︒，∴18060ABC BCD ∠=︒−∠=︒，∴ABC 是等边三角形，AC BD ⊥，4AC =，∴122AO OC AC ===，∴BO ===，∴2BD BO ==，四边形BECO 是矩形，2BE OC ∴==，90OBE ∠=︒，∴DE ===．【点睛】本题考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理解直角三角形等，难度一般，解题的关键是掌握菱形的判定方法．22. 【答案】（1）6k =（2）0k <或03k <≤【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合；（1）把点M 的坐标为()2,m 代入一次函数，可求出m 的值，再代入反比例函数即可求解；（2）根据题意算出一次函数过=1x −时的函数值，再根据当1x <−时，对于x 的每一个值，都有12y y >，分类讨论：①当0k >时；②当0k <时．由此即可求解．【小问1详解】解：∵点M 的坐标为()2,m ，且点M 在直线121y x =−+的图像上，∴221m −⨯+=，即3m =−，∴(2,3)M −，把(2,3)M −代入反比例函数得，2(3)6k xy −==⨯−=−，∴反比例函数解析式为6y x=−， ∴6k =．【小问2详解】解：当=1x −时，1212(1)13y x =−+=−⨯−+=，如图所示，∴当1x <−时，13y >，若当1x <−时，对于x 的每一个值，都有12y y >，∴①当0k <时，反比例函数在第一、三象限，当1x <−时，对于x 的每一个值，都有12y y >； ②当0k >时，反比例函数在第二、四象限，要使12y y >，则当1x <−时，203y <≤，即03k <≤， ∴03k <≤；综上所述，当0k <或03k <≤时，当1x <−时，对于x 的每一个值，都有12y y >．23. 【答案】（1）见解析（2）49.5m =（3）384 （4）错误，成绩 4546x <≤的分数可以是45.5或46这两个分数，虽然这一组人数最多，但也可能出现在45x ≤或4950x <≤这两组中【分析】(1）计算出成绩为4546x <≤的学生人数，补全折线统计图即可；(2）根据平均数和中位数即可得到结论；(3）求出成绩为26.5分及以上的人数占调取的30名学生的百分数x 九年级的总人数即可得到结论； (4）根据众数的定义即可得到结论．【小问1详解】成绩为46分的学生人数为：301821324−−−−−=；补全折线统计图如图【小问2详解】49.5m =；故答案为：49.5．【小问3详解】1321848038430+++⨯=（名）；故答案为：384．【小问4详解】错误，理由：成绩 4546x <≤的分数可以是45.5或46这两个分数，虽然这一组人数最多，但也可能出现在45x ≤或4950x <≤这两组中．【点睛】本题考查了频数（率）分布折线图，平均数，中位数，众数，正确的理解题意是解题的关键． 24. 【答案】（1）见详解（2）210.040.125y x x =−−+，225y x =−+（3）＞【分析】本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意是解答本题的关键．（1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解；（2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可；（3）依据题意，分别求出当4y =时x 的值，即可得出答案．【小问1详解】解：由题意，作图如下．；【小问2详解】解：由题意，场景A 的图象是抛物线的一部分，1y 与x 之间近似满足函数关系210.04y x bx c =−++. 又点()()0251020，，，在函数图象上， ∴250.041021020c b c =⎧⎨−⨯++=⎩．解得：0.125b c =−⎧⎨=⎩． ∴场景A 函数关系式为210.040.125y x x =−−+．对于场景B 的图象是直线的一部分，2y 与x 之间近似满足函数关系2.y ax c =+又()()0251020，，，在函数图象上， ∴251015c a c =⎧⎨+=⎩．解得：251c a =⎧⎨=−⎩． ∴场景B 函数关系式为225y x =−+．【小问3详解】解：由题意，当4y =时，场景A 中，20A x =，场景B 中，425B x =−+，解得：21B x =，∴A B x x <．25. 【答案】（1）见解析（2）1EH =【分析】（1）连接OD ，根据圆周角定理得到90ADB ∠=︒，根据平行线的判定与性质得到BOE ADO ∠=∠，根据切线的性质得到90CDO ∠=︒，通过等量代换即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质及三角形中位线定理，得到122OH AD ==，设OD r =，3OC r =，证明COE CAD ∽，根据相似三角形的性质，可求得OE 的长，即可求得EH 的长；再根据相似三角形的判定，可证得EDH BOH ∽，利用相似三角形的性质及勾股定理，即可求得半径的长．【小问1详解】证明：如图：连OD ，OA OD =，A ADO ∴∠=∠ AB 为直径，90ADB ∴∠=︒，AD BD ∴⊥，ADO ODB 90∠+∠=︒OE BD ⊥OE AD ∴∥，BOE A ∴∠=∠，BOE ADO ∴∠=∠ CD 为O 切线，OD CD ∴⊥，90ODE ∠=︒，90BDC ODB ∴∠+∠=︒，BDC ADO ∴∠=∠，BDC BOE ∴∠=∠；【小问2详解】解：OE BD ⊥，OB OD =，∴点H 是BD 的中点，OE AD ∥∵，点O 是AB 的中点，OH ∴是ABD △的中位线，122OH AD ∴==，BH DH =，1sin 3OD C OC ==，∴设OD r =，则3OC r =，34AC r r r ∴=+=，//OE AD ，COE CAD ∴∽，A CO CA OE D ∴=， 344r OE r ∴=，解得3OE =，321EH OE OH ∴=−=−=，EHD BHO ∠=∠，EDH BOH ∠=∠EDH BOH ∴∽，EH DH BH OH∴=，BH DH EH OH ⋅=⋅， H 为BD 的中点，BH DH ∴=，2122DH EH OH ∴=⋅=⨯=∴在Rt ODH 中，OD ===，O ∴．【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．26. 【答案】（1）2t =（2）t 的取值范围是14t <<【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．（1）根据二次函数的性质求的对称轴即可求解．（2）根据题意可得当x t ≥时，y 随x 的增大而增大；当x t ≤时，y 随x 的增大而减小，设抛物线上的四个点的坐标为()1,A A t m −，(),B B t m ，()2,C C n ，()3,D D n 可得A B m m >，分情况讨论是否存在m n >即可解答．【小问1详解】解：由题意知，93a b c a b c ++=++．4b a ∴=−．22b t a∴=−=．【小问2详解】0a >，∴当x t ≥时，y 随x 的增大而增大；当x t ≤时，y 随x 的增大而减小．设抛物线上的四个点的坐标为()1,A A t m −，(),B B t m ，()2,C C n ，()3,D D n ．∴点A 关于对称轴x t =的对称点为()1,A A t m '+．抛物线开口向上，点B 是抛物线顶点，A B m m ∴>．ⅰ．当1t ≤时，C D n n <．12t ∴+≤．A C m n ∴≤．∴不存在m n >，不符合题意．ⅱ．当12t <≤时，C D n n <．213t ∴<+≤．A C m n ∴>．∴存在m n >，符合题意．ⅲ．当23t <≤时，n ∴的最小值为B m ．A B m m >，∴存在m n >，符合题意．ⅳ．当34t <<时，D C n n <．213t ∴<−<．A D m n ∴>．∴存在m n >，符合题意．ⅴ．当4t ≥时，D C n n <．13t ∴−≥．A D m n ∴≤．∴不存在m n >，不符合题意．综上所述，t 的取值范围是14t <<．27. 【答案】（1）见解析（2）①见解析 ②90BAC ∠=︒【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．（1）根据等边对等角得到B C ∠=∠，进而得到EDC C ∠=∠，再根据等校对等边即可得到结论；（2）①根据题意补图即可；②延长EF 至点G ，使GF EF =，连接,,,AG BG DG AE ，则四边形BEDG 是平行四边形，然后推导ABG ACE ≌，得到ABG ACE ∠=∠，然后得到BAC BED CED ∠=∠=∠，180BED CED ∠+∠=︒即可得到结论．【小问1详解】证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，又∵EDC B ∠=∠，∴EDC C ∠=∠，∴ED EC =；【小问2详解】①如图所示,②延长EF 至点G ，使GF EF =，连接,,,AG BG DG AE ，∵点F 为BD 的中点，∴四边形BEDG 是平行四边形，∴BG DE =，BG DE ，∵,GF EF AF EF =⊥，∴AF 垂直平分EG ，∴AG AE =，由（1）得:DE CE =，又∵BG DE =，∴BG CE =，∴ABG ACE ≌，∴ABG ACE ∠=∠，又∵180ACE ABE BAC ∠+∠+∠=︒，∴180ABG ABE BAC ∠+∠+∠=︒，∴180EBG BAC ∠+∠=︒，∴180EBG BAC ∠+∠=︒，∵BG DE ，∴180EBG BED ∠+∠=︒，又∵180EBG BAC ∠+∠=︒，∴BAC BED ∠=∠，∵180BAC ABC C ∠+∠+∠=︒，180CED EDC C ∠+∠+∠=︒，EDC ABC ∠=∠，∴BAC CED ∠=∠，又∵BAC BED ∠=∠，∴BAC BED CED ∠=∠=∠，∵180BED CED ∠+∠=︒，∴2180BAC ∠=︒，∴90BAC ∠=︒．28. 【答案】（1）①23,P P ；②42b −≤≤−−或02b ≤≤（2）1122t −−−≤≤或1122t −+−≤≤ 【分析】（1）①根据新定义，即可求解；②分0b ≥，0b ≤时，分别讨论，设直线y x b =+与坐标轴分别交于点,D E ，作EF DE ⊥交x 轴于点F ，过点T 作TQ DE ⊥于点Q ，则DEF DQT ∽2TQ ≤≤，即可得出b 的范围；（2）依题意，1TQ ≤≤，进而得出OT ≤≤，即()2221OT t t =++，解一元二次方程，结合图形，即可求解．【小问1详解】解：①正方形T 的顶点分别为点O ，()2,2A ，()4,0B ，()2,2C −∴()2,0T ，则正方形T 的边长为42⨯=42TQ ≤≤，∵23TP TP ===T 到23,OP OP ，而T 到1OP∴在点()12,1P ，()21,1P ，()31,1P −中，正方形T 的“伴随切点”是()21,1P ，()31,1P− 故答案为：23,P P ．2TQ ≤≤，如图所示，当0b ≥时设直线y x b =+与坐标轴分别交于点,D E ，作EF DE ⊥交x 轴于点F ，过点T 作TQ DE ⊥于点Q ∴OE OD b ==，DE EF ===，2DF b =∵EF QT ∥，∴DEF DQT ∽ ∴EF DF QT DT= 当2TQ =时，∴222b b=+解得：2b =或0b =（舍去）当TQ =22b b=+，解得：0b =，2TQ ≤≤∴02b ≤≤当0b ≤时，如图所示，过点O 作OF DE ⊥于点F ，∵OF TQ ∥，∴DTQ DOF ∽ ∴TQ TD OF OD= 当2TQ =时，2b b −−−解得：2b =−当TQ =2b b −−−，解得：4b =−，∴42b −≤≤−；综上所述，42b −≤≤−或02b ≤≤；【小问2详解】解：∵点(),1T t t +，正方形T 的边长为2．∴1TQ ≤≤`∴2MN ≤≤T 在MN 上时取得等于号，∵OMN 为等边三角形，T 为正方形的中心，则TM TN =∴OT MN ⊥∴12TM OM =，则OT ==OT ≤≤∵()2221OT t t =++，即()22316t t ≤++≤∴当()2221t t ++=12t =或12t =当()2221t t ++=，解得：12t =或12t =∴()22316t t ≤++≤的解集为：1122t −−−≤≤或1122t −−≤≤．∴1122t −−≤≤或1122t −−+≤≤．【点睛】本题考查了新定义，相似三角形的性质与判定，切线的性质，正方形的性质，勾股定理，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键．。

2024年北京市高考数学真题试卷及答案

绝密★本科目考试启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|41}M x x =-<≤，{|13}N x x =-<<，则M N ⋃=（）A.{}43x x -<< B.{}11x x -<≤C.{}0,1,2 D.{}14x x -<<2.已知i 1iz=-，则z =（）．A.1i- B.i - C.1i-- D.13.求圆22260x y x y +-+=的圆心到20x y -+=的距离（）A. B.2C.D.4.(4x -的二项展开式中3x 的系数为（）A.15B.6C.4- D.13-5.已知向量a ，b ，则“()()·0a b a b +-=”是“a b = 或a b =- ”的（）条件．A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知()()sin 0f x x ωω=>，()11f x =-，()21f x =，12min π||2x x -=，则ω=（）A .1B.2C.3D.47.记水的质量为1ln S d n-=，并且d 越大，水质量越好．若S 不变，且1 2.1d =，2 2.2d =，则1n 与2n 的关系为（）A.12n n <B.12n n >C.若1S <，则12n n <；若1S >，则12n n >；D.若1S <，则12n n >；若1S >，则12n n <；8.已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4，4，，，则该四棱锥的高为（）A.22B.32C. D.9.已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =图象上不同的两点，则下列正确的是（）A.12122log 22y y x x ++> B.12122log 22y y x x ++<C.12212log 2y y x x +>+ D.12212log 2y y x x +<+10.若集合(){}2,|(),01,12x y y x t xx t x =+-≤≤≤≤表示的图形中，两点间最大距离为d 、面积为S ，则（）A.3d =，1S <B.3d =，1S >C.d =，1S < D.d =，1S >第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知抛物线216y x =，则焦点坐标为________．12.已知ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且α与β的终边关于原点对称，则cos β的最大值为________．13.已知双曲线2214x y -=，则过()3,0且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为________．14.已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm ，第二、三个圆柱的直径为325mm ，第三个圆柱的高为230mm ，求前两个圆柱的高度分别为________．15.已知{}|k k M k a b ==，n a ，n b 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是______.①n a ，n b 均为等差数列，则M 中最多一个元素；②n a ，n b 均为等比数列，则M 中最多三个元素；③n a 为等差数列，n b 为等比数列，则M 中最多三个元素；④n a 单调递增，n b 单调递减，则M 中最多一个元素.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在△ABC 中，7a =，A 为钝角，sin 2cos 7B b B =．（1）求A ∠；（2）从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积．①7b =；②13cos 14B =；③sin c A =．注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．17.已知四棱锥P -ABCD ，//AD BC ，1AB BC ==，3AD =，2DE PE ==，E 是AD 上一点，PE AD ⊥．（1）若F 是PE 中点，证明：//BF 平面PCD ．（2）若AB ⊥平面PED ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．18.已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元赔偿次数01234单数800100603010在总体中抽样100单，以频率估计概率：（1）求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；（2）（i ）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为X ，估计X 的数学期望；（ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．19.已知椭圆方程C ：()222210x y a b a b+=>>，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过()0,t (t >的直线l 与椭圆交于A ，B ，()0,1C ，连接AC 交椭圆于D ．（1）求椭圆方程和离心率；（2）若直线BD 的斜率为0，求t ．20.已知()()ln 1f x x k x =++在()()(),0t f t t >处切线为l ．（1）若切线l 的斜率1k =-，求()f x 单调区间；（2）证明：切线l 不经过()0,0；（3）已知1k =，()(),A t f t ，()()0,C f t ，()0,0O ，其中0t >，切线l 与y 轴交于点B 时．当215ACO ABO S S =△△，符合条件的A 的个数为？（参考数据：1.09ln31.10<<，1.60ln51.61<<，1.94ln71.95<<）21.设集合(){}{}{}{}(){},,,1,2,3,4,5,6,7,8,2M i j s t i j s t i j s t =∈∈∈∈+++．对于给定有穷数列{}():18n A a n ≤≤，及序列12:,,...,s ωωωΩ，(),,,k k k k k i j s t M ω=∈，定义变换T ：将数列A 的第1111,,,i j s t 项加1，得到数列()1T A ；将数列()1T A 的第2222,,,i j s t 列加1，得到数列()21T T A …；重复上述操作，得到数列()21...s T T T A ，记为()A Ω．（1）给定数列:1,3,2,4,6,3,1,9A 和序列()()():1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7Ω，写出()A Ω；（2）是否存在序列Ω，使得()A Ω为123456782,6,4,2,8,2,4,4a a a a a a a a ++++++++，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；（3）若数列A 的各项均为正整数，且1357a a a a +++为偶数，证明：“存在序列Ω，使得()A Ω为常数列”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．绝密★本科目考试启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|41}M x x =-<≤，{|13}N x x =-<<，则M N ⋃=（）A.{}43x x -<< B.{}11x x -<≤C.{}0,1,2 D.{}14x x -<<【答案】A 【解析】【分析】直接根据并集含义即可得到答案.【详解】由题意得()4,3M N ⋃=-，故选：A.2.已知i 1iz=-，则z =（）．A.1i -B.i- C.1i-- D.1【答案】C 【解析】【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.【详解】由题意得()i i 11i z =-=--，故选：C.3.求圆22260x y x y +-+=的圆心到20x y -+=的距离（）A. B.2C. D.【答案】C 【解析】【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.【详解】由题意得22260x y x y +-+=，即()()221310x y -++=，则其圆心坐标为()1,3-，则圆心到直线20x y -+==，故选：C.4.(4x -的二项展开式中3x 的系数为（）A.15B.6C.4- D.13-【答案】B 【解析】【分析】写出二项展开式，令432r-=，解出r 然后回代入二项展开式系数即可得解.【详解】(4x的二项展开式为(()()442144C C 1,0,1,2,3,4r rrr rr r T xxr --+==-=，令432r-=，解得2r =，故所求即为()224C 16-=.故选：B.5.已知向量a ，b ，则“()()·0a b a b +-=”是“a b = 或a b =- ”的（）条件．A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据向量数量积分析可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b =，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ，可得22a b = ，即a b = ，可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = ，若a b = 或a b =- ，可得a b = ，即()()0a b a b +⋅-=，可知必要性成立；若()()0a b a b +⋅-= ，即a b =，无法得出a b = 或a b =- ，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b = ，但a b ≠ 且a b ≠- ，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选：A.6.已知()()sin 0f x x ωω=>，()11f x =-，()21f x =，12min π||2x x -=，则ω=（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：1x 为()f x 的最小值点，2x 为()f x 的最大值点，则12minπ22T x x -==，即πT =，且0ω>，所以2π2Tω==.故选：B.7.记水的质量为1ln S d n-=，并且d 越大，水质量越好．若S 不变，且1 2.1d =，2 2.2d =，则1n 与2n 的关系为（）A.12n n <B.12n n >C.若1S <，则12n n <；若1S >，则12n n >；D.若1S <，则12n n >；若1S >，则12n n <；【答案】C 【解析】【分析】根据题意分析可得12.1112.22e e S S n n --⎧=⎪⎨⎪=⎩，讨论S 与1的大小关系，结合指数函数单调性分析判断.【详解】由题意可得11221 2.1ln 1 2.2ln S d n S d n -⎧==⎪⎪⎨-⎪==⎪⎩，解得12.1112.22e e S S n n --⎧=⎪⎨⎪=⎩，若1S >，则112.1 2.2S S -->，可得112.1 2.2e e S S -->，即12n n >；若1S =，则1102.12.2S S --==，可得121n n ==；若1S <，则112.1 2.2S S --<，可得112.12.2e e S S --<，即12n n <；结合选项可知C 正确，ABD 错误；故选：C.8.已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4，4，，，则该四棱锥的高为（）A.2B.2C. D.【答案】D 【解析】【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面PEF ⊥平面ABCD ，可知PO ⊥平面ABCD ，利用等体积法求点到面的距离.【详解】如图，底面ABCD 为正方形，当相邻的棱长相等时，不妨设4,PA PB AB PC PD =====，分别取,AB CD 的中点,E F ，连接,,PE PF EF ，则,PE AB EF AB ⊥⊥，且PE EF E ⋂=，,PE EF ⊂平面PEF ，可知AB ⊥平面PEF ，且AB ⊂平面ABCD ，所以平面PEF ⊥平面ABCD ，过P 作EF 的垂线，垂足为O ，即PO EF ⊥，由平面PEF 平面ABCD EF =，PO ⊂平面PEF ，所以PO ⊥平面ABCD ，由题意可得：2,4PE PF EF ===，则222PE PF EF +=，即PE PF ⊥，则1122PE PF PO EF ⋅=⋅，可得PE PF PO EF⋅==，当相对的棱长相等时，不妨设4PA PC ==，PB PD ==因为BD PB PD ==+，此时不能形成三角形PBD ，与题意不符，这样情况不存在.故选：D.9.已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =图象上不同的两点，则下列正确的是（）A.12122log 22y y x x ++> B.12122log 22y y x x ++<C.12212log 2y y x x +>+ D.12212log 2y y x x +<+【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB ；举例判断CD 即可.【详解】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB：可得121222222x x x x ++>=，即12122202x x y y ++>>，根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x +++>=，故A 正确，B 错误；对于选项C ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==，可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故C 错误；对于选项D ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==，可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故D 错误，故选：A.10.若集合(){}2,|(),01,12x y y x t xx t x =+-≤≤≤≤表示的图形中，两点间最大距离为d 、面积为S ，则（）A.3d =，1S <B.3d =，1S >C.d =，1S <D.d =，1S >【答案】C 【解析】【分析】先以t 为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域212y x y x x ⎧≤⎪≥⎨⎪≤≤⎩，结合图形分析求解即可.【详解】对任意给定[]1,2x ∈，则()210x x x x -=-≥，且[]0,1t ∈，可知()222x x t x x x x x x ≤+-≤+-=，即2x y x ≤≤，再结合x 的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域212y x y x x ⎧≤⎪≥⎨⎪≤≤⎩，如图阴影部分所示，其中()()()1,1,2,2,2,4A B C，可知任意两点间距离最大值d AC ==；阴影部分面积11212ABC S S <=⨯⨯=△.故选：C.【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知抛物线216y x =，则焦点坐标为________．【答案】()4,0【解析】【分析】形如()22,0y px p =≠的抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，由此即可得解.【详解】由题意抛物线的标准方程为216y x =，所以其焦点坐标为()4,0.故答案为：()4,0.12.已知ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且α与β的终边关于原点对称，则cos β的最大值为________．【答案】12-##0.5-【解析】【分析】首先得出π2π,Z k k βα=++∈，结合三角函数单调性即可求解最值.【详解】由题意π2π,Z k k βα=++∈，从而()cos cos π2πcos k βαα=++=-，因为ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以cos α的取值范围是13,22⎡⎢⎣⎦，cos β的取值范围是1,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，当且仅当π3α=，即4π2π,Z 3k k β=+∈时，cos β取得最大值，且最大值为12-.故答案为：12-.13.已知双曲线2214x y -=，则过()3,0且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为________．【答案】12±【解析】【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立3x =与2214x y -=，解得52y =±，这表明满足题意的直线斜率一定存在，设所求直线斜率为k ，则过点()3,0且斜率为k 的直线方程为()3y k x =-，联立()22143x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，化简并整理得：()222214243640k x k x k -+--=，由题意得2140k -=或()()()2222Δ244364140k k k =++-=，解得12k =±或无解，即12k =±，经检验，符合题意.故答案为：12±.14.已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm ，第二、三个圆柱的直径为325mm ，第三个圆柱的高为230mm ，求前两个圆柱的高度分别为________．【答案】115mm,23mm 2【解析】【分析】根据体积为公比为10的等比数列可得关于高度的方程组，求出其解后可得前两个圆柱的高度.【详解】设第一个圆柱的高为1h ，第二个圆柱的高为2h ，则2222212325325ππ230221065325ππ22h h h ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故223mm h =，1115mm 2h =，故答案为：115mm,23mm 2.15.已知{}|k k M k a b ==，n a ，n b 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是______.①n a ，n b 均为等差数列，则M 中最多一个元素；②n a ，n b 均为等比数列，则M 中最多三个元素；③n a 为等差数列，n b 为等比数列，则M 中最多三个元素；④n a 单调递增，n b 单调递减，则M 中最多一个元素.【答案】①③④【解析】【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误.【详解】对于①，因为{}{},n n a b 均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，故M 中至多一个元素，故①正确.对于②，取()112,2,n n n n a b --==--则{}{},n n a b 均为等比数列，但当n 为偶数时，有()1122n n n n a b --===--，此时M 中有无穷多个元素，故②错误.对于③，设()0,1n n b Aq Aq q =≠≠±，()0n a kn b k =+≠，若M 中至少四个元素，则关于n 的方程n Aq kn b =+至少有4个不同的正数解，若0,1q q >≠，则由n y Aq =和y kn b =+的散点图可得关于n 的方程n Aq kn b =+至多有两个不同的解，矛盾；若0,1q q <≠±，考虑关于n 的方程n Aq kn b =+奇数解的个数和偶数解的个数，当n Aq kn b =+有偶数解，此方程即为nA q kn b =+，方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时ln 0Ak q >，否则ln 0Ak q <，因,n y A q y kn b ==+单调性相反，方程n A q kn b =+至多一个偶数解，当n Aq kn b =+有奇数解，此方程即为n A q kn b -=+，方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时ln 0Ak q ->即ln 0Ak q <否则ln 0Ak q >，因,n y A q y kn b =-=+单调性相反，方程n A q kn b =+至多一个奇数解，因为ln 0Ak q >，ln 0Ak q <不可能同时成立，故n Aq kn b =+不可能有4个不同的正数解，故③正确.对于④，因为{}n a 为单调递增，{}n b 为递减数列，前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确.故答案为：①③④【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在△ABC 中，7a =，A 为钝角，3sin 2cos 7B b B =．（1）求A ∠；（2）从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积．①7b =；②13cos 14B =；③sin c A =．注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）2π3A =；（2）选择①无解；选择②和③△ABC 面积均为1534.【解析】【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得3B π=，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出33sin 14B =，再代入式子得3b =，再利用两角和的正弦公式即可求出sinC ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c =，再利用正弦定理得到53sin 14C =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin B ，最后利用三角形面积公式即可；【小问1详解】由题意得2sin cos cos 7B B B =，因为A 为钝角，则cos 0B ≠，则2sin 7B b =，则7sin sin sin b a B A A ===，解得sin 2A =，因为A 为钝角，则2π3A =.【小问2详解】选择①7b =，则sin 714142B b ==⨯=，因为2π3A =，则B 为锐角，则3B π=，此时πA B +=，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B =，因为B为三角形内角，则sin 14B ==，则代入32sin 7B b =得3332147b ⨯=，解得3b =，()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭131********⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭,则11sin 7322144ABC S ab C ==⨯⨯⨯= .选择③sin c A =2c ⨯=，解得5c =，则由正弦定理得sin sin a c A C =5sin 32C =，解得sin 14C =，因为C 为三角形内角，则11cos 14C ==，则()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭3111533321421414⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭，则11sin 7522144ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△17.已知四棱锥P -ABCD ，//AD BC ，1AB BC ==，3AD =，2DE PE ==，E 是AD 上一点，PE AD ⊥．（1）若F 是PE 中点，证明：//BF 平面PCD ．（2）若AB ⊥平面PED ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）30【解析】【分析】（1）取PD 的中点为S ，接,SF SC ，可证四边形SFBC 为平行四边形，由线面平行的判定定理可得//BF 平面PCD .（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面APB 和平面PCD 的法向量后可求夹角的余弦值.【小问1详解】取PD 的中点为S ，接,SF SC ，则1//,12SF ED SF ED ==，而//,2ED BC ED BC =，故//,SF BC SF BC =，故四边形SFBC 为平行四边形，故//BF SC ，而BF ⊄平面PCD ，SC ⊂平面PCD ，所以//BF 平面PCD .【小问2详解】因为2ED =，故1AE =，故//,=AE BC AE BC ，故四边形AECB 为平行四边形，故//CE AB ，所以CE ⊥平面PAD ，而,PE ED ⊂平面PAD ，故,CE PE CE ED ⊥⊥，而PE ED ⊥，故建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()0,1,0,1,1,0,1,0,0,0,2,0,0,0,2A B C D P --，则()()()()0,1,2,1,1,2,1,0,2,0,2,2,PA PB PC PD =--=--=-=- 设平面PAB 的法向量为(),,m x y z =，则由00m PA m PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得2020y z x y z --=⎧⎨--=⎩，取()0,2,1m =- ，设平面PCD 的法向量为(),,n a b c = ，则由00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得20220a b b c -=⎧⎨-=⎩，取()2,1,1n = ，故30cos ,30m n ==- ，故平面PAB 与平面PCD夹角的余弦值为3018.已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元赔偿次数01234单数800100603010在总体中抽样100单，以频率估计概率：（1）求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；（2）（i ）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为X ，估计X 的数学期望；（ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．【答案】（1）110（2）(i)0.122万元(ii)0.1252万元【解析】【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率;（2）（ⅰ）设ξ为赔付金额，则ξ可取0,0.8,0.1.6,2.4,3，用频率估计概率后可求ξ的分布列及数学期望，从而可求()E X .（ⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求()E Y .【小问1详解】设A 为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得()603010180010060301010P A ++==++++.【小问2详解】（ⅰ）设ξ为赔付金额，则ξ可取0,0.8,1.6,2.4,3，由题设中的统计数据可得()()800410010,0.810005100010P P ξξ======，603( 1.6)100050P ξ===，303( 2.4)1000100P ξ===，101(3)1000100P ξ===，故()4133100.8 1.6 2.430.27851050100100E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故()0.40.2780.122E X =-=（万元）.（ⅱ）由题设保费的变化为410.496%0.4 1.20.403255⨯⨯+⨯⨯=，故()0.1220.40320.40.1252E Y =+-=（万元）19.已知椭圆方程C ：()222210x y a b a b +=>>，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过()0,t (t >的直线l 与椭圆交于A ，B ，()0,1C ，连接AC 交椭圆于D ．（1）求椭圆方程和离心率；（2）若直线BD 的斜率为0，求t ．【答案】（1）2221,422 x y e+==（2）2t=【解析】【分析】（1）由题意得b c==，进一步得a，由此即可得解；（2）说明直线AB斜率存在，设(:,AB y kx t t=+>，()()1122,,,A x yB x y，联立椭圆方程，由韦达定理有2121222424,1221kt tx x x xk k--+==++，而()121112:y yAD y x x yx x-=-++，令x=，即可得解.【小问1详解】由题意b c===，从而2a==，所以椭圆方程为22142x y+=，离心率为22e=；【小问2详解】显然直线AB斜率存在，否则,B D重合，直线BD斜率不存在与题意不符，同样直线AB斜率不为0，否则直线AB与椭圆无交点，矛盾，从而设(:,AB y kx t t=+>，()()1122,,,A x yB x y，联立22142x yy kx t⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简并整理得()222124240k x ktx t+++-=，由题意()()()222222Δ1682128420k t k t k t=-+-=+->，即,k t应满足22420k t+->，所以2121222424,1221kt tx x x xk k--+==++，若直线BD斜率为0，由椭圆的对称性可设()22,D x y-，所以()121112:y y AD y x x y x x -=-++，在直线AD 方程中令0x =，得()()()()2122112121221121212422214C k t x kx t x kx t kx x t x x x y x y y t x x x x x x kt t -++++++====+==+++-，所以2t =，此时k 应满足222424200k t k k ⎧+-=->⎨≠⎩，即k 应满足22k <-或22k >，综上所述，2t =满足题意，此时22k <-或22k >.20.已知()()ln 1f x x k x =++在()()(),0t f t t >处切线为l ．（1）若切线l 的斜率1k =-，求()f x 单调区间；（2）证明：切线l 不经过()0,0；（3）已知1k =，()(),A t f t ，()()0,C f t ，()0,0O ，其中0t >，切线l 与y 轴交于点B 时．当215ACO ABO S S =△△，符合条件的A 的个数为？（参考数据：1.09ln31.10<<，1.60ln51.61<<，1.94ln71.95<<）【答案】（1）单调递减区间为(1,0)-，单调递增区间为(0,)+∞.（2）证明见解析（3）2【解析】【分析】（1）直接代入1k =-，再利用导数研究其单调性即可；（2）写出切线方程()1()(0)1k y f t x t t t ⎛⎫-=+-> ⎪+⎝⎭，将(0,0)代入再设新函数()ln(1)1t F t t t =+-+，利用导数研究其零点即可；（3）分别写出面积表达式，代入215ACO ABO S S = 得到13ln(1)21501t t t t +--=+，再设新函数15()13ln(1)2(0)1t h t t t t t=+-->+研究其零点即可.【小问1详解】1()ln(1),()1(1)11x f x x x f x x x x '=-+=-=>-++，当()1,0x ∈-时，()0f x '<；当()0,x ∞∈+，()0f x '>；()f x ∴在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.则()f x 的单调递减区间为(1,0)-，单调递增区间为(0,)+∞.【小问2详解】()11k f x x '=++，切线l 的斜率为11k t++，则切线方程为()1()(0)1k y f t x t t t ⎛⎫-=+-> ⎪+⎝⎭，将(0,0)代入则()1,()111k k f t t f t t t t ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即ln(1)1k t k t t t t ++=++，则ln(1)1t t t +=+，ln(1)01t t t +-=+，令()ln(1)1t F t t t=+-+，假设l 过(0,0)，则()F t 在(0,)t ∈+∞存在零点.2211()01(1)(1)t t t F t t t t +-'=-=>+++，()F t ∴在(0,)+∞上单调递增，()(0)0F t F >=，()F t ∴在(0,)+∞无零点，∴与假设矛盾，故直线l 不过(0,0).【小问3详解】1k =时，12()ln(1),()1011x f x x x f x x x+'=++=+=>++.1()2ACO S tf t = ，设l 与y 轴交点B 为(0,)q ，0t >时，若0q <，则此时l 与()f x 必有交点，与切线定义矛盾.由（2）知0q ≠.所以0q >，则切线l 的方程为()()1ln 111y t t x t t ⎛⎫--+=+- ⎪+⎝⎭，令0x =，则ln(1)1t y q y t t ===+-+.215ACO ABO S S = ，则2()15ln(1)1t tf t t t t ⎡⎤=+-⎢⎥+⎣⎦，13ln(1)21501t t t t ∴+--=+，记15()13ln(1)2(0)1t h t t t t t =+-->+，∴满足条件的A 有几个即()h t 有几个零点.()2222221313221151315294(21)(4)()21(1)(1)(1)(1)t t t t t t t h t t t t t t +-++-+--+-=--===+++++'，当10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h t '<，此时()h t 单调递减；当1,42t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h t '>，此时()h t 单调递增；当()4,t ∞∈+时，()0h t '<，此时()h t 单调递减；因为1(0)0,0,(4)13ln 520131.6200.802h h h ⎛⎫==-⨯-=> ⎪⎝⎭，15247272(24)13ln 254826ln 548261.614820.5402555h ⨯=--=--<⨯--=-<，所以由零点存在性定理及()h t 的单调性，()h t 在1,42⎛⎫⎪⎝⎭上必有一个零点，在(4,24)上必有一个零点，综上所述，()h t 有两个零点，即满足215ACO ABO S S =的A 有两个.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题.21.设集合(){}{}{}{}(){},,,1,2,3,4,5,6,7,8,2M i j s t i j s t i j s t =∈∈∈∈+++．对于给定有穷数列{}():18n A a n ≤≤，及序列12:,,...,s ωωωΩ，(),,,k k k k k i j s t M ω=∈，定义变换T ：将数列A 的第1111,,,i j s t 项加1，得到数列()1T A ；将数列()1T A 的第2222,,,i j s t 列加1，得到数列()21T T A …；重复上述操作，得到数列()21...s T T T A ，记为()A Ω．（1）给定数列:1,3,2,4,6,3,1,9A 和序列()()():1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7Ω，写出()A Ω；（2）是否存在序列Ω，使得()A Ω为123456782,6,4,2,8,2,4,4a a a a a a a a ++++++++，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；（3）若数列A 的各项均为正整数，且1357a a a a +++为偶数，证明：“存在序列Ω，使得()A Ω为常数列”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．【答案】（1）():3,4,4,5,8,4,3,10A Ω（2）不存在符合条件的Ω，理由见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接按照()A Ω的定义写出()A Ω即可；（2）利用反证法，假设存在符合条件的Ω，由此列出方程组，进一步说明方程组无解即可；（3）分充分性和必要性两方面论证.【小问1详解】由题意得():3,4,4,5,8,4,3,10A Ω；【小问2详解】假设存在符合条件的Ω，可知()A Ω的第1,2项之和为12a a s ++，第3,4项之和为34a a s ++，则()()()()121234342642a a a a s a a a a s ⎧+++=++⎪⎨+++=++⎪⎩，而该方程组无解，故假设不成立，故不存在符合条件的Ω；【小问3详解】我们设序列()21...k T T T A 为{}(),18k na n ≤≤，特别规定()0,18n n a a n =≤≤.必要性：若存在序列12:,,...,s ωωωΩ，使得()A Ω为常数列.则,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a =======，所以,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+.根据()21...k T T T A 的定义，显然有,21,21,211,2k j k j k j k j a a a a ----+=+，这里1,2,3,4j =，1,2,...k =.所以不断使用该式就得到，12345678a a a a a a a a +=+=+=+，必要性得证.充分性：若12345678a a a a a a a a +=+=+=+.由已知，1357a a a a +++为偶数，而12345678a a a a a a a a +=+=+=+，所以()()24681213574a a a a a a a a a a +++=+-+++也是偶数.我们设()21...s T T T A 是通过合法的序列Ω的变换能得到的所有可能的数列()A Ω中，使得,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-最小的一个.上面已经证明,21,21,211,2k j k j k j k j a a a a ----+=+，这里1,2,3,4j =，1,2,...k =.从而由12345678a a a a a a a a +=+=+=+可得,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+.同时，由于k k k k i j s t +++总是偶数，所以,1,3,5,7k k k k a a a a +++和,2,4,6,8k k k k a a a a +++的奇偶性保持不变，从而,1,3,5,7s s s s a a a a +++和,2,4,6,8s s s s a a a a +++都是偶数.下面证明不存在1,2,3,4j =使得,21,22s j s j a a --≥.假设存在，根据对称性，不妨设1j =，,21,22s j s j a a --≥，即,1,22s s a a -≥.情况1：若,3,4,5,6,7,80s s s s s s a a a a a a -+-+-=，则由,1,3,5,7s s s s a a a a +++和,2,4,6,8s s s s a a a a +++都是偶数，知,1,24s s a a -≥.对该数列连续作四次变换()()()()2,3,5,8,2,4,6,8,2,3,6,7,2,4,5,7后，新的4,14,24,34,44,54,64,74,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-相比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-减少4，这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾；情况2：若,3,4,5,6,7,80s s s s s s a a a a a a -+-+->，不妨设,3,40s s a a ->.情况2-1：如果,3,41s s a a -≥，则对该数列连续作两次变换()()2,4,5,7,2,4,6,8后，新的2,12,22,32,42,52,62,72,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-相比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-至少减少2，这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾；情况2-2：如果,4,31s s a a -≥，则对该数列连续作两次变换()()2,3,5,8,2,3,6,7后，新的2,12,22,32,42,52,62,72,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-相比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-至少减少2，这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾.这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的1,2,3,4j =都有,21,21s j s j a a --≤.假设存在1,2,3,4j =使得,21,21s j s j a a --=，则,21,2s j s j a a -+是奇数，所以,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+都是奇数，设为21N +.则此时对任意1,2,3,4j =，由,21,21s j s j a a --≤可知必有{}{},21,2,,1s j s j a a N N -=+.而,1,3,5,7s s s s a a a a +++和,2,4,6,8s s s s a a a a +++都是偶数，故集合{},s m m a N =中的四个元素,,,i j s t 之和为偶数，对该数列进行一次变换(),,,i j s t ，则该数列成为常数列，新的1,11,21,31,41,51,61,71,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-等于零，比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-更小，这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾.综上，只可能(),21,201,2,3,4s j s j a a j --==，而,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+，故{}(),s na A =Ω是常数列，充分性得证.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键在于对新定义的理解，以及对其本质的分析.。

北京市高等数学竞赛真题（第十二届至第二十一届）

北京市高等数学竞赛真题（第十二届至第二十一届）第十二届（2000年）北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题（有改动）班级：学号：姓名：一、填空题（每题4分，满分40分）1、若2tan (1cos )limln(12)(1)x x a x b x x c e -→+--+-= _________ .2、若20zx y ?=??，且当0x =时，sin z y =；0y =时，sin z x =，则z= ____ .3、积分2()110tx ttdt edx =__________________.4、设数列{}n x 满足：11sin (2)sin 11n n x n n n <<+++，则11lim 1n k x k x n →∞==+∑ .5、设()f x 在点0x =可导，且()0cos 1lim11f x x x e →-=-，则(0)f '= .6、设()f x 满足10()()sin f tx dt f x x x=+?，(0)0f =且有一阶导数，则当0x ≠时，()f x '=_________________________ .7、极限22lim[lim(cos cos cos)]222nn x x xxπ→∞→=________________________.8、设由曲线2x y =和1x =则sin D xydxd y x =??___________.9、设()sincos 22xf x x =+，则(2012)()f π=____________________________. 10、极限12lim 1nn x dx x →∞=+?________________.二、(8分)设()f x 是(0,)+∞上递减的连续函数，且在()0f x >,证明数列{}n a 收敛，其中11()()nnn k a f k f x dx==-∑?。

三、（8分）设)(1lim)(2212Nnxbxaxxxfnnn∈+++=-∞→，试确定a、b的值，使与)(lim1xfx→)(lim1xfx-→都存在。

北京市2020-2024年高考真题汇编(数学)PDF版含答案

北京市2020-2024年普通高等学校招生全国统一考试真题汇编数学目录北京市2020年普通高等学校招生全国统一考试数学北京市2021年普通高等学校招生全国统一考试数学北京市2022年普通高等学校招生全国统一考试数学北京市2023年普通高等学校招生全国统一考试数学北京市2024年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案说明：本套资源为北京市2020-2024年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷的汇编，即北京市2020-2024年数学高考真题的汇编，含2020年，2021年，2022年，2023年，2024年数学高考真题各一套，共五套，附有参考答案，可供北京市高三学生总复习时参考。

北京市2020年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分（选择题共40分）一、选择题：10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B = （）．A.{1,0,1}- B.{0,1}C.{1,1,2}- D.{1,2}2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（）．A.12i+ B.2i-+ C.12i- D.2i--3.在52)-的展开式中，2x 的系数为（）．A.5-B.5C.10- D.104.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．A.6B.6+C.12+D.12+5.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A.4B.5C.6D.76.已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）．A.(1,1)-B.(,1)(1,)-∞-+∞C.(0,1)D.(,0)(1,)-∞⋃+∞7.设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）．A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP8.在等差数列{}n a 中，19a =-，31a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （）．A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项9.已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．A.30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B.30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C.60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D.60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11.函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．12.已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．13.已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+ ，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．14.若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．（Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；（Ⅱ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．17.在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-；条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明）19.已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．20.已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．21.已知{}n a 是无穷数列，给出两个性质：①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2i m ja a a =；②对于{}n a 中任意项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2k n la a a =．(Ⅰ)若(1,2,)n a n n == ，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若12(1,2,)n n a n -== ，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列.北京市2021年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B = （）A.()1,2- B.(1,2]- C.[0,1) D.[0,1]2.在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（）A.2i +B.2i -C.1i -D.1i +3.已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A.332+ B.4C.3D.25.双曲线2222:1x y C a b -=过点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）A.2213x y -= B.2213y x -=C.2213x -=D.2213y -=6.{}n a 和{}n b 是两个等差数列，其中()15kka kb ≤≤为常值，1288a =，596=a ，1192b =，则3b =（）A.64B.128C.256D.5127.函数()cos cos 2f x x x =-，试判断函数的奇偶性及最大值（）A.奇函数，最大值为2 B.偶函数，最大值为2C.奇函数，最大值为98D.偶函数，最大值为988.定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm ）来判断降雨程度．其中小雨（10mm <），中雨（10mm 25mm -），大雨（25mm 50mm -），暴雨（50mm 100mm -），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨9.已知圆22:4C x y +=，直线:l y kx m =+，当k 变化时，l 截得圆C 弦长的最小值为2，则m =（）A.2±B.C.D.10.数列{}n a 是递增的整数数列，且13a ≥，12100n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（）A.9B.10C.11D.12第二部分（非选择题共110分）二、填空题：5小题，每小题5分，共25分．11.341(x x-展开式中常数项为__________．12.已知抛物线2:4C y x =，焦点为F ，点M 为抛物线C 上的点，且6FM =，则M 的横坐标是_______；作MN x ⊥轴于N ，则FMN S = _______．13.(2,1)a = ，(2,1)b =-，(0,1)c = ，则()a b c +⋅= _______；a b ⋅=_______．14.若点(cos ,sin )P θθ与点(cos(),sin())66Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___．15.已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论：①若0k =，则()f x 有两个零点；②0k ∃<，使得()f x 有一个零点；③0k ∃<，使得()f x 有三个零点；④0k ∃>，使得()f x 有三个零点．以上正确结论得序号是_______．三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B 的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，并求出BC 边上的中线的长度．①c =；②周长为4+；③面积为4ABC S ∆=；17.已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 为11A D 中点，直线11B C 交平面CDE 于点F．（1）证明：点F 为11B C 的中点；（2）若点M 为棱11A B 上一点，且二面角M CF E --的余弦值为53，求111A M A B 的值．18.为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k 合1检测法”，即将k 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X 为总检测次数，求检测次数X 的分布列和数学期望E (X )；（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y 的期望为E (Y )，试比较E (X )和E (Y )的大小(直接写出结果)．19.已知函数()232xf x x a-=+．（1）若0a =，求()y f x =在()()1,1f 处切线方程；（2）若函数()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及最大值和最小值．20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点(0,2)A -，以四个顶点围成的四边形面积为（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 交y =-3于点M 、N ，直线AC 交y =-3于点N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围．21.定义p R 数列{}n a ：对实数p ，满足：①10a p +≥，20a p +=；②414,n n n N a a *-∀∈<；③{},1m n m n m n a a a p a a p +∈+++++，,m n N *∈．（1）对于前4项2，-2，0，1的数列，可以是2R 数列吗？说明理由；（2）若{}n a 是0R 数列，求5a 的值；（3）是否存在p ，使得存在p R 数列{}n a ，对10,n n N S S *∀∈≥？若存在，求出所有这样的p ；若不存在，说明理由．北京市2022年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则U A =ð（）A.(2,1]-B.(3,2)[1,3)--C.[2,1)- D.(3,2](1,3)-- 2.若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（）A.1B.5C.7D.253.若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （）A.12B.12-C.1D.1-4.已知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（）A.()()0f x f x -+= B.()()0f x f x --=C.()()1f x f x -+= D.1()()3f x f x --=5.已知函数22()cos sin f x x x =-，则（）A.()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 B.()f x 在,412ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增C.()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D.()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增6.设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar ．下列结论中正确的是（）A.当220T =，1026P =时，二氧化碳处于液态B.当270T =，128P =时，二氧化碳处于气态C.当300T =，9987P =时，二氧化碳处于超临界状态D.当360T =，729P =时，二氧化碳处于超临界状态8.若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（）A.40B.41C.40-D.41-9.已知正三棱锥P ABC -的六条棱长均为6，S 是ABC 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈≤，则T 表示的区域的面积为（）A.34π B.πC.2πD.3π10.在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A.[5,3]- B.[3,5]- C.[6,4]- D.[4,6]-第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11.函数1()1f x x x=+-的定义域是_________．12.已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为33y x =±，则m =__________．13.若函数()sin 3cos f x A x x =-的一个零点为3π，则A =________；12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________．14.设函数()()21,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为________；a 的最大值为___________．15.己知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅== ．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于3；②{}n a 为等比数列；③{}n a 为递减数列；④{}n a 中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题：共6小愿，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在ABC中，sin 2C C =．（1）求C ∠；（2）若6b =，且ABC的面积为ABC 的周长．17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC的中点．（1）求证：MN ∥平面11BCC B ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值．条件①：AB MN ⊥；条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m ．以上（含950m ．）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m ）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E （X ）；（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）19.已知椭圆：2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)A ，焦距为（1）求椭圆E 的方程；（2）过点(2,1)P -作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当||2MN =时，求k 的值．20.已知函数()e ln(1)x f x x =+．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性；（3）证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．21.已知12:,,,k Q a a a 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈ ，在Q 中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥ ，使得12i i i i j a a a a n +++++++= ，则称Q 为m -连续可表数列．（1）判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；（2）若12:,,,k Q a a a 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；（3）若12:,,,k Q a a a 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++< ，求证：7k ≥．北京市2023年普通高等学校招生全国统一考试数学一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{20},{10}M x x N x x =+≥=-<∣∣，则M N ⋂=（）A.{21}xx -≤<∣ B.{21}xx -<≤∣C.{2}x x ≥-∣D.{1}xx <∣2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（）A.1+B.1-C.1-+D.1-3.已知向量a b ，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- ，则22||||a b -= （）A.2- B.1- C.0 D.14.下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A.()ln f x x =- B.1()2xf x =C.1()f x x=-D.|1|()3x f x -=5.512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为（）．A.80- B.40- C.40 D.806.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线3x =-的距离为5，则||MF =（）A.7B.6C.5D.47.在ABC 中，()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，则C ∠=（）A.π6B.π3C.2π3D.5π68.若0xy ≠，则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若25m,10m AB BC AD ===，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为5，则该五面体的所有棱长之和为（）A.102mB.112mC.117mD.125m10.已知数列{}n a 满足()31166(1,2,3,)4n n a a n +=-+= ，则（）A.当13a =时，{}n a 为递减数列，且存在常数0M ≤，使得n a M >恒成立B.当15a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数6M ≤，使得n a M <恒成立C.当17a =时，{}n a 为递减数列，且存在常数6M >，使得n a M >恒成立D.当19a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数0M >，使得n a M <恒成立二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知函数2()4log xf x x =+，则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭____________．12.已知双曲线C 的焦点为(2,0)-和(2,0)2，则C 的方程为____________．13.已知命题:p 若,αβ为第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>．能说明p 为假命题的一组,αβ的值为α=__________，β=_________．14.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{}n a ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且1591,12,192a a a ===，则7a =___________；数列{}n a 所有项的和为____________．15.设0a >，函数222,,(),,1,.x x a f x a x a x a x x a +<-⎧=--≤≤>⎪⎩，给出下列四个结论：①()f x 在区间(1,)a -+∞上单调递减；②当1a ≥时，()f x 存在最大值；③设()()()()()()111222,,,M x f x xa N x f x x a ≤>，则||1MN >；④设()()()()()()333444,,,P x f x xa Q x f x x a <-≥-．若||PQ 存在最小值，则a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．其中所有正确结论的序号是____________．三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，1PA AB BC PC ====，（1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）求二面角A PC B --的大小．17.设函数π()sin cos cos sin 0,||2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭．（1）若(0)2f =-，求ϕ的值．（2）已知()f x 在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求,ωϕ的值．条件①：π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭；条件②：π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；条件③：()f x 在区间ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18.为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．时段价格变化第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+第21天到第40天++---++++---+-+用频率估计概率．（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为53，A 、C 分别是E 的上、下顶点，B ，D 分别是E 的左、右顶点，||4AC =．（1）求E 的方程；（2）设P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线2y =-交于点N ．求证：//MN CD ．20.设函数3()e ax b f x x x +=-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-+．（1）求,a b 的值；（2）设函数()()g x f x '=，求()g x 的单调区间；（3）求()f x 的极值点个数．21.已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >，且,{1,2,,},n n a b m ∈ {}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ，并规定000A B ==．对于{}0,1,2,,k m ∈ ，定义{}max ,{0,1,2,,}k i k r i B A i m =≤∈∣ ，其中，max M 表示数集M 中最大的数.（1）若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======，求0123,,,r r r r 的值；（2）若11a b ≥，且112,1,2,,1,j j j r r r j m +-≤+=- ，求n r ；（3）证明：存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈ ，满足,,p q s t >>使得t p s q A B A B +=+．北京市2024年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|41}M x x =-<≤，{|13}N x x =-<<，则M N ⋃=（）A.{}43x x -<< B.{}11x x -<≤C.{}0,1,2 D.{}14x x -<<2.已知i 1iz=-，则z =（）．A.1i- B.i- C.1i-- D.13.求圆22260x y x y +-+=的圆心到20x y -+=的距离（）A. B.2C. D.4.(4x -的二项展开式中3x 的系数为（）A.15B.6C.4- D.13-5.已知向量a ，b ，则“()()·0a b a b +-= ”是“a b = 或a b =- ”的（）条件．A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知()()sin 0f x x ωω=>，()11f x =-，()21f x =，12min π||2x x -=，则ω=（）A.1B.2C.3D.47.记水的质量为1ln S d n-=，并且d 越大，水质量越好．若S 不变，且1 2.1d =，2 2.2d =，则1n 与2n 的关系为（）A.12n n <B.12n n >C.若1S <，则12n n <；若1S >，则12n n >；D.若1S <，则12n n >；若1S >，则12n n <；8.已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4，4，，，则该四棱锥的高为（）A.2B.2C. D.9.已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =图象上不同的两点，则下列正确的是（）A.12122log 22y y x x ++> B.12122log 22y y x x ++<C.12212log 2y y x x +>+ D.12212log 2y y x x +<+10.若集合(){}2,|(),01,12x y y x t xx t x =+-≤≤≤≤表示的图形中，两点间最大距离为d 、面积为S ，则（）A.3d =，1S <B.3d =，1S >C.d =，1S < D.d =，1S >第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11.已知抛物线216y x =，则焦点坐标为________．12.已知ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且α与β的终边关于原点对称，则cos β的最大值为________．13.已知双曲线2214x y -=，则过()3,0且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为________．14.已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm ，第二、三个圆柱的直径为325mm ，第三个圆柱的高为230mm ，求前两个圆柱的高度分别为________．15.已知{}|k k M k a b ==，n a ，n b 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是______.①n a ，n b 均为等差数列，则M 中最多一个元素；②n a ，n b 均为等比数列，则M 中最多三个元素；③n a 为等差数列，n b 为等比数列，则M 中最多三个元素；④n a 单调递增，n b 单调递减，则M 中最多一个元素.三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在△ABC 中，7a =，A 为钝角，3sin 2cos 7B b B =．（1）求A ∠；（2）从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积．①7b =；②13cos 14B =；③sin c A =注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．17.已知四棱锥P -ABCD ，//AD BC ，1AB BC ==，3AD =，2DE PE ==，E 是AD 上一点，PE AD ⊥．（1）若F 是PE 中点，证明：//BF 平面PCD ．（2）若AB ⊥平面PED ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．18.已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元赔偿次数01234单数800100603010在总体中抽样100单，以频率估计概率：（1）求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；（2）（i ）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为X ，估计X 的数学期望；（ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．19.已知椭圆方程C ：()222210x y a b a b+=>>，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过()0,t (t >的直线l 与椭圆交于A ，B ，()0,1C ，连接AC 交椭圆于D ．（1）求椭圆方程和离心率；（2）若直线BD 的斜率为0，求t ．20.已知()()ln 1f x x k x =++在()()(),0t f t t >处切线为l ．（1）若切线l 的斜率1k =-，求()f x 单调区间；（2）证明：切线l 不经过()0,0；（3）已知1k =，()(),A t f t ，()()0,C f t ，()0,0O ，其中0t >，切线l 与y 轴交于点B时．当215ACO ABO S S =△△，符合条件的A 的个数为？（参考数据：1.09ln31.10<<，1.60ln51.61<<，1.94ln71.95<<）21.设集合(){}{}{}{}(){},,,1,2,3,4,5,6,7,8,2M i j s t i j s t i j s t =∈∈∈∈+++．对于给定有穷数列{}():18n A a n ≤≤，及序列12:,,...,s ωωωΩ，(),,,k k k k k i j s t M ω=∈，定义变换T ：将数列A 的第1111,,,i j s t 项加1，得到数列()1T A ；将数列()1T A 的第2222,,,i j s t 列加1，得到数列()21T T A …；重复上述操作，得到数列()21...s T T T A ，记为()A Ω．若1357a a a a +++为偶数，证明：“存在序列Ω，使得()A Ω为常数列”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．参考答案北京市2020年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案一、选择题【答案】1.D 【解析】【详解】{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=I I ，故选：D.【答案】2.B 【解析】【详解】由题意得12z i =+，2iz i ∴=-.故选：B.【答案】3.C 【解析】【详解】)52-展开式的通项公式为：()()55215522r rrrr r r T CC x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11522510C -=-⨯=-.故选：C.【答案】4.D 【解析】【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：()1322222sin 60122S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭.故选：D.【答案】5.A 【解析】【详解】设圆心(),C x y ，则1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥22345=+=，所以||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.【答案】6.D 【解析】【详解】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D.【答案】7.B 【解析】【详解】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.【答案】8.B 【解析】【详解】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--，则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-，注意到123456701a a a a a a a <<<<<<=<< ，且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈，由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项，由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=，故数列{}n T 中的正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=.故数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T .故选：B.【答案】9.C 【解析】【详解】(1)当存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12kk k m απβ=+-=或()()121kk k m απβ=+-=+，亦即存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-．所以，“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选：C.【答案】10.A 【解析】【详解】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360606n n︒︒=⨯，每条边长为302sinn︒，所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sin n n︒，单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tann ︒，其周长为3012tan n n︒，303012sin12tan 303026sin tan 2n n n n n n n π︒︒+︒︒⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，则30303sin tan n n n π︒︒⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：A.二、填空题【答案】11.(0,)+∞【解析】【详解】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞【答案】12.()3,0【解析】【详解】在双曲线C中，a =，b =，则3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为22y x =±，即0x ±=，所以，双曲线C=.故答案为：()3,0.【答案】；1-【解析】【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =- ，因此，PD == ()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.；1-.【答案】14.2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【解析】【详解】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=.故答案为：2π（2,2k k Z ππ+∈均可）.【答案】15.①②③【解析】【详解】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③三、解答题【答案】16.（Ⅰ）如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B 且11AB A B =，1111//A B C D 且1111A B C D =，11//AB C D ∴且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ，1BC ⊄ 平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，1//BC ∴平面1AD E ；（Ⅱ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()12,0,2D 、()0,2,1E ，()12,0,2AD =，()0,2,1AE = ，设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z = ，由100n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令2z =-，则2x =，1y =，则()2,1,2n =-.11142cos ,323n AA n AA n AA ⋅<>==-=-⨯⋅.因此，直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23.【答案】17.选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==- ，11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅- 8a ∴=（Ⅱ）213cos (0,)sin 1cos 77A A A A π=-∈∴=-=，由正弦定理得：873sin sin sin sin 2437a c C A C C===113sin (118)83222S ba C ==-⨯⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈，3757sin 816A B ∴===由正弦定理得：6sin sin 3757816a b a A B ==（Ⅱ）3795717sin sin()sin cos sin cos 8161684C A B A B B A =+=+=⨯+⨯=117157sin (116)62244S ba C ==-⨯⨯=【答案】18.（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为2001200+4003=，该校女生支持方案一的概率为3003300+1004=；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：2121311313()(1()(13433436C -+-=;（Ⅲ）01p p <【答案】19.（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11，由点斜式可得切线方程为：()1121y x -=--，即2130x y +-=.（Ⅱ）显然0t ≠，因为()y f x =在点()2,12t t-处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t +=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)，则()423241441144(24)44t t S t t t t t++==++，所以()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t +-+-=222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t-+-++==，由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<，所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增，所以2t =时，()S t 取得极小值，也是最小值为()16162328S ⨯==.【答案】20.（Ⅰ）设椭圆方程为：()222210x y a b a b +=>>，由题意可得：224112ab a b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩，故椭圆方程为：22182x y +=.（Ⅱ）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为：()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得：()222448x k x ++=，即：()()222241326480k x k x k +++-=，则：2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++.直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++，令4x =-可得：()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++，同理可得：()()222142Q k x y x -++=+.很明显0P Q y y <，且：PQPB y PQy =，注意到：()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯⎪++++⎝⎭，而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+，故0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB y PQy ==.【答案】21.【详解】（Ⅰ）{}2323292,3,2n a a a a Z a ===∉∴Q 不具有性质①；（Ⅱ）{}22*(2)1*2,,,2,2i j i i i j n j ja a i j N i j i j N a a a a ---∀∈>=-∈∴=∴Q 具有性质①；{}2*(2)11,3,1,2,22,k l n k n n la n N n k n l a n a a ---∀∈≥∃=-=-===∴Q 具有性质②；（Ⅲ）【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然()0*n a n N ≠∉，假设数列中存在负项，设{}0max |0n N n a =<，第一种情况：若01N =，即01230a a a a <<<<< ，由①可知：存在1m ，满足12210m a a a =<，存在2m ，满足22310m a a a =<，由01N =可知223211a a a a =，从而23a a =，与数列的单调性矛盾，假设不成立.第二种情况：若02N ≥，由①知存在实数m ，满足0210Nm a a a =<，由0N 的定义可知：0m N ≤，另一方面，000221NNm N N a a a a a a =>=，由数列的单调性可知：0m N >，这与0N 的定义矛盾，假设不成立.同理可证得数列中的项数恒为负数.综上可得，数列中的项数同号.其次，证明2231a a a =：利用性质②：取3n =，此时()23k la a k l a =>，由数列的单调性可知0k l a a >>，而3kk k la a a a a =⋅>，故3k <，此时必有2,1k l ==，即2231a a a =，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列{}n a 的前()3k k ≥项成等比数列，不妨设()111s s a a q s k -=≤≤，其中10,1a q >>，（10,01a q <<<的情况类似）由①可得：存在整数m ，满足211k k m k k a a a q a a -==>，且11k m k a a q a +=≥（*）由②得：存在s t >，满足：21s sk ss t ta a a a a a a +==⋅>，由数列的单调性可知：1t s k <≤+，由()111s s a a qs k -=≤≤可得：2211111s t k s k k ta a a q a a q a ---+==>=（**）由（**）和（*）式可得：211111ks t k a q a q a q ---≥>，结合数列的单调性有：211k s t k ≥-->-，注意到,,s t k 均为整数，故21k s t =--，。

北京市大学生数学竞赛试题

北京市大学生数学竞赛试题一、选择题1. 设函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1。

则 f(2) 的值为：A) 1 B) 3 C) 5 D) 72. 已知集合 A = {2, 4, 6, 8}，集合 B = {4, 6, 9, 12}，则A ∩ B 的值为：A) {2, 4, 6, 8} B) {4, 6} C) {9} D) {4, 6, 9, 12}3. 若正方形 ABCD 的边长为 a，则其对角线 BD 的长度为：A) a B) a√2 C) a√3 D) a/2二、填空题1. 若 x + y = 8，x - y = 2，则 x 的值为________。

2. 一元二次方程 3x^2 - 2x - 1 = 0 的两个根分别为_______。

3. 在直角三角形 ABC 中，∠B = 90°，边 AC = 5 cm，BC = 4 cm，则边 AB 的长度为_______。

三、解答题1. 某商场举办促销活动，原价为 800 元的商品，打八折出售。

经过一段时间后，商场决定再打七五折。

请问最终售价是多少？2. 小明在一次研究中发现了一个数学规律：令整数 x 的各位数字之和为 S，若 S^2 = x，则 x 被称为一个幸运数。

例如，19 是一个幸运数，因为 1 + 9 = 10，而 10^2 = 100。

请问在 1000 以内，有多少个幸运数？四、解析题1. 解释什么是函数的性质，以及函数图像的基本特点。

2. 证明勾股定理：在直角三角形 ABC 中，设∠C = 90°，边 AC = a，边 BC = b，边 AB = c，则有 a^2 + b^2 = c^2。

五、应用题1. 在一个三角形 ABC 中，已知边 AC = 12 cm，∠A = 30°，∠C = 120°。

求边 BC 和边 AB 的长度。

2. 某公司生产电视机，根据市场需求，每年的销售量都在递增。

北京大学2024年优秀中学生寒假学堂数学试题

北京大学2024年优秀中学生寒假学堂数学试题一、解答题1．钝角ABC V4AB =，1AC =，求AB AC ⋅uu u r uu u r 的值2．四面体ABCD 体积为6，AB BC ⊥，BC CD ⊥，AB BC CD ===AD 与BC 的夹角3．在正方形ABCD 所在的平面内找一点P ，使得PAB V ，PBC V ，PCD V ，PDA V 均为等腰三角形，求P 的个数4．设()1002199200011992001x x a a x a x a x +-=++++L ，求012345198199222a a a a a a a a --+--++--L 200a 的值5．A ，B ，C 为ABC V 内角，x ，y ，z 为实数,求以下三式中恒成立的个数.2222sin 2sin 2cos 0x y z yz A zx B xy C ++--+≥2222sin 2sin 2cos 0x y z yz A zx B xy C ++-+-≥2222sin 2sin 2cos 0x y z yz A zx B xy C ++++-≥6．ABC V 中，求3sin 4sin 18sin A B C ++的最大值7．在平面直角坐标系xOy 中，方程()()2222123m x y y x y +++=-+表示椭圆，求m 的取值范围.8．ABC V 中，3AB =，4BC =，5AC =分别在AC ，BC 上各取一点D ，E ，使DE 平分ABC V 的面积，求DE 长度的最小值9．,,a b c 为正实数，满足1a b c ++=，求a10．等差数列{}()1n a n ≥中，10a >，公差0d <，31301a a <-，求最大的正整数n ，使0n S >. 11．首项是整数的等差数列，公差4d =，前n 项和2024n S =，求所有n 值的和 12．复平面41z z +=与1z =交点个数13． ,,,R a b c d ∈，10a b c d +++=，求min .二、填空题14．整数列{}n U ，0n ≥，01U =，对1n ∀≥有11n n n U U kU +-=，k 为固定正整数，求使20242024U =成立的k 的个数15．使102024n x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦恰有2个整数解的正整数n 的值为． 16．设(1n n a b c d =+,,,Z n n n n a b c d +∈，则3lim n n n n n a b c d ∞→+=三、解答题17．用6种不同颜色染正方体的6个面，不同面颜色不同，正方体旋转后颜色相同认为是同种染色，则染色的种数有多少四、填空题18．x ∈R ，()[][][][]2468f x x x x x =+++，则不超过2024的正整数中可以作为()f x 函数值的个数为五、解答题19．从1，2，⋯，2024中任取两数a b ，(可以相同)，则37a b +个位为8的概率。

2024年北京市朝阳区高考数学二模试卷+答案解析

2024年北京市朝阳区高考数学二模试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则()A. B. C. D.2.下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是()A. B. C. D.3.设等差数列的前n项和为，若，，则()A.60B.80C.90D.1004.已知抛物线C：的焦点为F，点P为C上一点.若，则点P的横坐标为()A.5B.6C.7D.85.已知函数存在最小值，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.6.已知，是两个互相垂直的平面，l，m是两条直线，，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.在平面直角坐标系xOy中，锐角以O为顶点，Ox为始边.将的终边绕O逆时针旋转后与单位圆交于点，若，则()A. B. C. D.8.假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力f满足公式，其中是空气密度，S是该飞行器的迎风面积，v是该飞行器相对于空气的速度，C是空气阻力系数其大小取决于多种其他因素，反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率当，S不变，v比原来提高时，下列说法正确的是()A.若C不变，则P比原来提高不超过B.若C不变，则P比原来提高超过C.为使P不变，则C比原来降低不超过D.为使P不变，则C比原来降低超过9.已知双曲线的右焦点为F，c是双曲线C的半焦距，点A是圆上一点，线段FA与双曲线C的右支交于点若，，则双曲线C的离心率为()A. B. C. D.10.北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有ab 个小球，第二层有个小球，第三层有个小球⋯⋯依此类推，最底层有cd 个小球，共有n 层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为()A.1B.2C.3D.4二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

第五届全国大学生数学竞赛预赛暨第二十四届北京市大学生数学竞赛试题及参考答案_非数学类2013

第五届全国大学生数学竞赛预赛暨第二十四届北京市大学生数学竞赛试题及参考答案
（非数学类，2013）
一、解答下列各题（每小题 6 分共 24 分，要求写出重要步骤） 1.求极限 lim 1 sin 1 4n 2
n

.
n
解 :因为 sin 1 4n sin
2

1 4n 2 2n sin
又 y
2 x 2 xy 2 y 2 y 2 x 2 x x 2 y 4 yy 2 x
2y
2
x2
2
y
x 0, y 1, y 0

0 0 2 2 0 0 1 0, y x 2, y 1, y 0 1 0 ， 2 2 0
六、（满分 14 分）设 Ia r 取正向。求极限 lim I a r
r
C

x
ydx xdy
2
y
2 a

，其中 a 为常数，曲线 C 为椭圆 x xy y r ，
x 解作变换 y
2 u v 2 （观察发现或用线性代数里正交变换化二次型的方法），曲线 C 2 u v 2 3 2 1 2 ，也是取正向（2 分） u v r 2 （实现了简化积分曲线） 2 2
x 0 1 级数 f 收敛。 n n 1
f x 证明： 0。 x
解由于 f x 在 x 0 处可导必连续，由 lim
x 0
f x 0得 x
f x f 0 lim f x lim x 0 x 0 x 0 x f 0 lim

2024年北京大学强基计划数学试卷

2024年北京大学强基计划数学试卷一、以下为理科数学试题，共20题。

1．求模7的余数．2．求sin36°﹣sin3114°+sin3126°．3．求1，2，...，8的排列的个数，使得排列中没有出现连续的12，23， (78)4．已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，求第2024项模5的余数．5．求四元组（a1，a2，a3，a4）的个数，使得a i∈{1，2，3}，且10＜a1a2a3a4＜20．6．求（0，2π]上方程2cos x＝sin x的解的个数．7．求R上方程的解的个数．8．求R上方程x2﹣13[x]+11＝0的解的个数．9．在体积为1的正方体内取一个点，过这个点作三个平行于正方体面的平面，将正方体分为8个长方体，求这些小长方体中体积不大于的长方体个数的最小值．10．在离心率为的椭圆中，F1，F2是两个焦点，P是椭圆上一点，且，求．11．用S（n）表示正整数n的数码和，求满足S（n+1）与S（n）均为5的倍数的n的最小值．12．称正整数n为好数，当它各位数字均不相同，且对于所有正整数m满足，都有，求最大的好数的范围．（选项为（0，1000），（1000，2000），（2000，3000）．）13．在△ABC中，求cos A cos B cos C的最小值．14．在△ABC中，若BC边上的高为，求的范围．15．在△ABC中，若，D在BC上，比较AD2与2DC×DB的大小．16．在△ABC中，若O为形外一点，满足∠BOC＝2∠BAC，线段OC与线段OB交于D，且OB＝OC＝3，OD＝2，求BD×AD．17．在△ABC中，若D在BC上，AD平分∠BAC，△ADC的内心与△ABC的外心重合，求∠C．18．在△ABC中，若D在BC上，AD平分∠BAC，AB＝AD＝3，CD＝2，求△ABC的周长．19．在△ABC中，求2sin A+sin B+sin C的最小值．20．a1＝，a n+1＝，求．。

第届北京市大学生数学竞赛全部试题解答

八、设 f (x) 在闭区间[a, b] 有连续的二阶导数，且 f (a) = f (b) = 0 ，当 x ∈ (a, b) 时， f (x) ≠ 0 ，证明：
∫b f ′′(x) dx ≥ 4 .
a f (x)
b−a
九、设 f (x) = an xn + + a1x + a0 是实系数多项式， n ≥ 2 ，且某个 ak = 0(1 ≤ k ≤ n −1) 及当 i ≠ k 时，
1 ，则 lim
n +1
n→∞
1 n +1
n k =1
xk
=
.
8．设
f
(x)
在点
x
=
0
可导，且 lim x→0
cos x −1 e f (x) −1
= 1 ，则
f
′(0)
=
.
1
∫ 9．设 f (x) 满足 f (tx)dt = f (x) + x sin x, f (0) = 0 且有一阶导数，则当 x ≠ 0 时，f ′(x) =
+
∂2u ∂y 2
+
∂2u ∂z 2
=
0
，试求
f
(r)
的表达式.
五、设 u = f (x, y, z) ， f 是可微函数，若 fx′ = f y′ = fz′ ，证明 u 仅为 r 的函数，其中 r = x2 + y2 + z2 . xyz
六、设函数 f (x) 在 (−∞, +∞) 上有定义，在 x = 0 的某个邻域内有一阶连续导数，且 lim f (x) = a > 0 ， x→0 x
.
3．设

北京市大学生数学竞赛试题

y 0
| y| x2 y2
2,
三、 (10分 ) 设 f ( x ) 在区间 [ 1, 1] 上三次可微 , 证明存在实数 ( 1,1), 使得 f ( ) f (1) f ( 1) f (0) . 6 2
证 f (0) f (1 ) , 2! 3! f (0) f ( 2 ) f (1) f (0) f (0) , 2! 3! 1 f (1) f (1) 2 f (0) [ f (1 ) f ( 2 )]. 6 f (1) f (0) f (0)
第十八届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答
（2007 年 10 月 14 日下午 2：30--5：00）
注意：本考卷共九题. 甲组九题全做, 乙组只做前七题
一、填空题（每小题 2 分，共 20 分） m 1. 设当 x 1时, 1 是 x 1的等价无穷小 , 则 m ______ . 1 x x m 1 解 m 3.
, B g , 根据题意知 A 0. 于是有 1 AB 1 AB arctan(
分离变量得
dv dt , 积分得 Av 2 B
代入初始条件 t 0, v v 0 , 得 C t 1 AB arctan( 1 AB A v0 ) B arctan( 1 AB

0

五、 (10分) 计算

D 2π

( sin 2 sin cos ) d π,
L : x 2 y 2 1, 正向.
z2 1( y 1), 取外侧. 4

x 2 dydz y 2 dzdx z 2 dxdy , 其中 : ( x 1) 2 ( y 1) 2

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛加试(A卷)试题(含答案)

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）给定正整数r ．求最大的实数C ，使得存在一个公比为r 的实数等比数列1{}n n a ，满足n a C 对所有正整数n 成立．（x 表示实数x 到与它最近整数的距离．）解：情形1：r 为奇数．对任意实数x ，显然有12x ，故满足要求的C 不超过12．又取{}n a 的首项112a ，注意到对任意正整数n ，均有1n r 为奇数，因此1122n n r a ．这意味着12C 满足要求．从而满足要求的C 的最大值为12． …………10分情形2：r 为偶数．设*2()r m m N ．对任意实数，我们证明1a 与2a 中必有一数不超过21m m ，从而21m C m ．事实上，设1a k ，其中k 是与1a 最近的整数（之一），且102．注意到，对任意实数x 及任意整数k ，均有x k x ，以及x x ．若021m m ，则121m a k m ．若1212m m ，则22221m m m m ，即21m m r m m ，此时 2121m a a r kr r r m ． …………30分另一方面，取121m a m ，则对任意正整数n ，有1(2)21n n m a m m ，由二项式展开可知11(211)(1)2121n n n m m a m K m m ，其中K 为整数，故21n m a m ．这意味着21m C m 满足要求．从而满足要求的C 的最大值为212(1)m r m r ．综上，当r 为奇数时，所求C 的最大值为12；当r 为偶数时，所求C 的最大值为2(1)r r ． …………40分二．（本题满分40分）如图，在凸四边形ABCD 中，AC 平分BAD ，点,E F 分别在边,BC CD 上，满足||EF BD ．分别延长,FA EA 至点,P Q ，使得过点,,A B P 的圆1 及过点,,A D Q 的圆2 均与直线AC 相切．证明：,,,B P Q D 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：由圆1 与AC 相切知180BPA BAC CAD CAF PAC ，故,BP CA 的延长线相交，记交点为L ．由||EF BD 知CE CF CB CD．在线段AC 上取点K ，使得CK CE CF CA CB CD ，则||,||KE AB KF AD ． …………10分由ABL PAL KAF ，180180BAL BAC CAD AKF ，可知ABL KAF ∽，所以KF AB AL KA． …………20分同理，记,DQ CA 的延长线交于点L ，则KE AD AL KA．又由||,||KE AB KF AD 知KE CK KF AB CA AD，即KE AD KF AB ．所以AL AL ，即L 与L 重合．由切割线定理知2LP LB LA LQ LD ，所以,,,B P Q D 四点共圆．…………40分三．（本题满分50分）给定正整数n .在一个3n ×的方格表上，由一些方格构成的集合S 称为“连通的”，如果对S 中任意两个不同的小方格,A B ，存在整数2l ≥及S 中l 个方格12,,,lA C C CB ==，满足iC 与1i C +有公共边(1,2,,1i l −).求具有下述性质的最大整数K ：若将该方格表的每个小方格任意染为黑色或白色，总存在一个连通的集合S ，使得S 中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K .解：所求最大的K n =.对一个由小方格构成的集合S ，记b S 是S 中的黑格个数，w S 是S 中的白格个数. 用[,]i j 表示第i 行第j 列处的方格，这里13i ≤≤,1j n ≤≤.对于两个方格[,]A i j =，[,]B i j ′′=, 定义它们之间的距离为(,)||||d A B i i j j ′′=−+−.首先，如果将方格表按国际象棋棋盘一样黑白间隔染色，我们证明对任意连通的集合S ，均有||b w S S n −≤，这表明K n ≤.设[1,1]是黑格，并记{0,1}ε∈，满足(mod 2)n ε≡.先证b w S S n −≤.可不妨设S 包含所有黑格，这是因为若S 不包含所有黑格，取不属于S 的黑格A 满足(,)d A S 最小，这里(,)min (,)B Sd A S d A B ∈=.易知(,)1d A S =或2.若(,)1d A S =，取{}S S A ′=，则S 仍是连通的，且b w S S ′′−更大. 若(,)2d A S =，则存在与A 相邻的白格C ，而C 与S 中某个方格B 相邻，取{,}S S A B ′= ，则S 仍是连通的，且bw S S ′′−不变. 因而可逐步扩充S ，使得S 包含所有黑格，保持S 的连通性，且b w S S −不减.考虑白格集合{[,]|}k W i j i j k =+=，3,5,,1k n ε++，每个k W 中至少有一个方格属于S ，否则不存在从黑格[1,1]A S =∈到黑格[3,1]B n ε=−+的S 中路径.故1()2w S n ε≥+，而1(3)2b S n ε=+，故b w S S n −≤. …………10分类似可证w b S S n −≤.同上，可不妨设S 包含所有白格, 从而1(3)2w S n ε=−. 再考虑黑格集合{[,]|}k B i j i j k =+=, 4,6,,2k n ε+−，每个k B 中至少有一个黑格属于S ，否则不存在从白格[1,2]A =到白格[3,]B n ε=−的S 中路径. 从而1()2b S n ε≥−，故w b S S n −≤. …………20分下面证明K n =具有题述性质，即对任意的染色方案，总存在连通的集合S ，使得b w S S n −≥.设表格中共有X 个黑格和Y 个白格，在第二行中有x 个黑格和y 个白格. 于是3X Y n +=, x y n +=.故()()()()2X y Y x X Y x y n −+−=+−+=.由平均值原理可知max{,}X y Y x n −−≥.不妨设X y n −≥.取S 为第二行中的y 个白格以及所有X 个黑格.由于S 包含第二行中所有方格，因而S 是连通的. 而b S X =，w S y =，b w S S X y n −=−≥.综上所述，max K n =. …………50分四．（本题满分50分）设,A B 为正整数，S 是一些正整数构成的一个集合，具有下述性质：(1) 对任意非负整数k ，有k A S ；(2) 若正整数n S ，则n 的每个正约数均属于S ；(3) 若,m n S ，且,m n 互素，则mn S ；(4) 若n S ，则An B S ．证明：与B 互素的所有正整数均属于S ．证明：先证明下述引理．引理：若n S ，则n B S ．引理的证明：对n S ，设1n 是n 的与A 互素的最大约数，并设12n n n ，则2n 的素因子均整除A ，从而12(,)1n n ．由条件(1)及(2)知，对任意素数|p A 及任意正整数k ，有k p S ．因此，将11k A n 作标准分解，并利用(3)知11k A n S ．又2|n n ，而n S ，故由(2)知2n S ．因112(,)1k A n n ，故由(3)知112k A n n S ，即1k A n S ．再由(4)知k A n B S （对任意正整数k ）． ① …………10分设n B C D ，这里正整数C 的所有素因子均整除A ，正整数D 与A 互素，从而(,)1C D ．由(1)及(2)知C S （见上面1k A n S 的证明）．另一方面，因(,)1D A ，故由欧拉定理知()1D D A ．因此()()(1)()0(mod )D D A n B A n n B D ，但由①知()D A n B S ，故由(2)知D S ．结合C S 及(,)1C D 知CD S ，即n B S ．引理证毕． …………40分回到原问题．由(1)，取0k 知1S ，故反复用引理知对任意正整数y ，有1By S ．对任意*,(,)1n n B N ，存在正整数,x y 使得1nx By ，因此nx S ，因|n nx ，故n S ．证毕． …………50分。

北京数学竞赛试题及答案

北京数学竞赛试题及答案试题一：代数问题题目：已知 \( a, b, c \) 为实数，且满足 \( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \)。

求证：\( (a + b + c)^2 \leq 3 \)。

解答：根据题目条件，我们有 \( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \)。

展开\( (a + b + c)^2 \) 得到：\[ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) \]由于 \( a^2 + b^2 \geq 2ab \)，\( b^2 + c^2 \geq 2bc \)，\( c^2 + a^2 \geq 2ca \)（根据算术平均数-几何平均数不等式），我们可以得到：\[ 2(ab + ac + bc) \leq 2(a^2 + b^2 + c^2) = 2 \]将上述不等式代入 \( (a + b + c)^2 \) 的展开式中，得到：\[ (a + b + c)^2 \leq 1 + 2 = 3 \]证明完毕。

试题二：几何问题题目：在直角三角形 ABC 中，∠A = 90°，AB = 3，AC = 4。

求三角形 ABC 的外接圆半径。

解答：直角三角形 ABC 的外接圆半径 R 可以通过以下公式求得：\[ R = \frac{a + b + c}{2} \]其中，a 和 b 是直角边，c 是斜边。

在本题中，a = 3，b = 4，c = 5（根据勾股定理）。

代入公式得到：\[ R = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6 \]所以，三角形 ABC 的外接圆半径为 6。

试题三：组合问题题目：有 5 个不同的球和 3 个不同的盒子，将这些球放入盒子中，每个盒子至少有一个球。

求不同的放法总数。

解答：首先，我们需要将 5 个球分成 3 组，每组至少有一个球。

这可以通过组合数学中的“插板法”来解决。

我们有 4 个板子来分割 5 个球，形成 3 组。

作品竞赛校级评审作品公示

18
中国特色的空中楼阁的忧虑——城市住宅建设用地土地使用权续期的探讨
本科生
19
北京市西城区白塔寺地区腾退政策分析
本科生
20
“全成本付费”新政分析——污水处理成本核算及排污决策模型构建
本科生
21
网络文学到网络剧的文本选择、改编策略及分类别营销策略分析
硕士
22
我国GDP增长的重要影响因素和内在机本科生理分析
12
中国最高领导人新媒介形象对公民政治认同的影响
本科生
13
企业高管流动性对企业绩效的影响
本科生
14
“互联网＋”思维构建志愿服务生态圈－－以“志愿树”微信平台为例
硕士
15
中国中老年人群迁移行为的研究：迁移模式和作用机制
本科生
16
C2C评级系统运行机制有效性和改进策本科生略研究——以淘宝网为例
软件与微电子学院信息科学技术学院软件与微电子学院软件与微电子学院软件与微电子学院软件与微电子学院软件与微电子学院软件与微电子学院软件与微电子学院软件与微电子学院软件与微电子学院软件与微电子学院软件与微电子学院软件与微电子学院软件与微电子学院软件与微电子学院软件与微电子学院软件与微电子学院社会学系经济学院社会学系社会学系光华管理学院新闻与传播学院光华管理学院社会学系光华管理学院经济学院光华管理学院光华管理学院地空学院物理学院地空学院物理学院软件与微电子学院第九临床医学院经济学院财政系光华管理学院软件与微电子学院软件与微电子学院软件与微电子学院软件与微电子学院软件与微电子学院软件与微电子学院新闻与传播学院
1
气候政治背景下的绿色贸易壁垒影响研究——对于农业、纺织业、钢铁产业和光伏产业的要素分析

北京朝阳区2024届十校联考最后数学试题含解析

北京朝阳区2024届十校联考最后数学试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图，A 、B 为⊙O 上两点，D 为弧AB 的中点，C 在弧AD 上，且∠ACB=120°，DE ⊥BC 于E ，若AC=DE ，则BE CE 的值为（）A ．3B ．3C ．333+D ．31+2．下列各数中，最小的数是（）A ．0B ．2C ．1D ．π-3．如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为4的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“能接触到的部分”的面积是（）A ．4π-B ．πC ．12π+D ．π154+ 4．根据《天津市北大港湿地自然保护总体规划（2017﹣2025）》，2018年将建立养殖业退出补偿机制，生态补水78000000m 1．将78000000用科学记数法表示应为（）A ．780×105B ．78×106C ．7.8×107D ．0.78×1085．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（）A ．对重庆市初中学生每天阅读时间的调查B ．对端午节期间市场上粽子质量情况的调查C ．对某批次手机的防水功能的调查D ．对某校九年级3班学生肺活量情况的调查6．若关于x 的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数m的值为（）A．1，2，3 B．1，2 C．1，3 D．2，37．如图，为了测量河对岸l1上两棵古树A、B之间的距离，某数学兴趣小组在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠ACD＝45°，若l1、l2之间的距离为50m，则A、B之间的距离为（）A．50m B．25m C．（50﹣5033）m D．（50﹣253）m8．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转，使点D落在射线CA上，DE的延长线交BC于F，则∠CFD的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．120°9．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：计费项目里程费时长费远途费单价 1.8元/公里0.3元/分钟0.8元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元.小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（）A．10分钟B．13分钟C．15分钟D．19分钟10．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设有x人，物品价值y元，则所列方程组正确的是( )A．8374y xy x+=⎧⎨-=⎩B．8374x yx y+=⎧⎨-=⎩C．8374x yx y-=⎧⎨+=⎩D．8374y xy x-=⎧⎨+=⎩二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，ABCDE是正五边形，已知AG=1，则FG+JH+CD=_____．12．计算：31-22的结果是_____．13．如图，AC、BD为圆O的两条垂直的直径，动点P从圆心O出发，沿线段线段DO的路线作匀速运动．设运动时间为t秒，∠APB的度数为y度，则下列图象中表示y与t的函数关系最恰当的是（）A．B．C．D．14．一个圆锥的侧面展开图是半径为8 cm、圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为________．15．如图，BC＝6，点A为平面上一动点，且∠BAC＝60°，点O为△ABC的外心，分别以AB、AC为腰向形外作等腰直角三角形△ABD与△ACE，连接BE、CD交于点P，则OP的最小值是_____16．若3，a ，4，5的众数是4，则这组数据的平均数是_____．17．分解因式：24xy x =____三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，四边形AOBC 是正方形，点C 的坐标是（42，0）．正方形AOBC 的边长为，点A 的坐标是．将正方形AOBC 绕点O 顺时针旋转45°，点A ，B ，C 旋转后的对应点为A′，B′，C′，求点A′的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；动点P 从点O 出发，沿折线OACB 方向以1个单位/秒的速度匀速运动，同时，另一动点Q 从点O 出发，沿折线OBCA 方向以2个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为t 秒，当它们相遇时同时停止运动，当△OPQ 为等腰三角形时，求出t 的值（直接写出结果即可）．19．（5分）为了保护视力，学校开展了全校性的视力保健活动，活动前，随机抽取部分学生，检查他们的视力，结果如图所示（数据包括左端点不包括右端点，精确到0.1）；活动后，再次检查这部分学生的视力，结果如表所示分组频数 4.0≤x ＜4.22 4.2≤x ＜4.43 4.4≤x ＜4.65 4.6≤x ＜4.88 4.8≤x ＜5.017 5.0≤x ＜5.2 5（1）求活动所抽取的学生人数；（2）若视力达到4.8及以上为达标，计算活动前该校学生的视力达标率；（3）请选择适当的统计量，从两个不同的角度评价视力保健活动的效果．20．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB，DC的延长线交于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若BE=3，CE=33，求图中阴影部分的面积．21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2，9），与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，5）．（Ⅰ）求二次函数的解析式及点A，B的坐标；（Ⅱ）设点Q在第一象限的抛物线上，若其关于原点的对称点Q′也在抛物线上，求点Q的坐标；（Ⅲ）若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，且AC 为其一边，求点M，N的坐标．22．（10分）如图，直线y＝﹣x+2与反比例函数kyx（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D．求a，b的值及反比例函数的解析式；若点P在直线y＝﹣x+2上，且S△ACP＝S△BDP，请求出此时点P的坐标；在x轴正半轴上是否存在点M，使得△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由．23．（12分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝mx的图象在第一象限的交点为C，CD⊥x轴于D，若OB＝1，OD＝6，△AOB的面积为1．求一次函数与反比例函数的表达式；当x＞0时，比较kx+b与mx的大小．24．（14分）某农场要建一个长方形ABCD的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长25m）另外三边用木栏围成，木栏长40m．（1）若养鸡场面积为168m2，求鸡场垂直于墙的一边AB的长．（2）请问应怎样围才能使养鸡场面积最大？最大的面积是多少？参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、C【解题分析】连接,,CD BD D 为弧AB 的中点，根据弧，弦的关系可知，AD=BD,根据圆周角定理可得：120,ACB ADB ∠=∠=,CAD CBD ∠=∠在BC 上截取BF AC =,连接DF,则ACD ≌BFD △,根据全等三角形的性质可得：,CD FD = ,ADC BDF ∠=∠ ,ADC ADF BDF ADF ∠+∠=∠+∠ 即120,CDF ADB ∠=∠= ,DE BC ⊥根据等腰三角形的性质可得：,CE EF = 30,DCF DFC ∠=∠= 设,DE x = 则,BF AC x == 3,tan 30DE CE EF x ===即可求出BE CE的值. 【题目详解】如图：连接,,CD BDD 为弧AB 的中点，根据弧，弦的关系可知，AD=BD,根据圆周角定理可得：120,ACB ADB ∠=∠=,CAD CBD ∠=∠在BC 上截取BF AC =,连接DF,,AC BF CAD FBD AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩则ACD ≌BFD △,,CD FD ∴= ,ADC BDF ∠=∠,ADC ADF BDF ADF ∠+∠=∠+∠即120,CDF ADB ∠=∠=,DE BC ⊥根据等腰三角形的性质可得：,CE EF = 30,DCF DFC ∠=∠=设,DE x = 则,BF AC x == 3,tan 30DE CE EF x === 333.33BE BF EF x x CE CE x+++=== 故选C.【题目点拨】考查弧，弦之间的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等，综合性比较强，关键是构造全等三角形.2、D【解题分析】根据实数大小比较法则判断即可．【题目详解】π-＜0＜1＜2，故选D ．【题目点拨】本题考查了实数的大小比较的应用，掌握正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小是解题的关键．3、C【解题分析】这张圆形纸片减去“不能接触到的部分”的面积是就是这张圆形纸片“能接触到的部分”的面积．【题目详解】解：如图：∵正方形的面积是：4×4=16；扇形BAO 的面积是：229013603604n r πππ⨯⨯==， ∴则这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是4×1-4×4π=4-π，∴这张圆形纸片“能接触到的部分”的面积是16-（4-π）=12+π，故选C ．【题目点拨】本题主要考查了正方形和扇形的面积的计算公式，正确记忆公式是解题的关键．4、C【解题分析】科学记数法记数时，主要是准确把握标准形式a×10n 即可. 【题目详解】解：78000000= 7.8×107. 故选C.【题目点拨】科学记数法的形式是a×10n ，其中1≤｜a ｜<10，n 是整数，若这个数是大于10的数，则n 比这个数的整数位数少1. 5、D【解题分析】A 、对重庆市初中学生每天阅读时间的调查，调查范围广适合抽样调查，故A 错误；B 、对端午节期间市场上粽子质量情况的调查，调查具有破坏性，适合抽样调查，故B 错误；C 、对某批次手机的防水功能的调查，调查具有破坏性，适合抽样调查，故C 错误；D 、对某校九年级3班学生肺活量情况的调查，人数较少，适合普查，故D 正确；故选D ．6、C【解题分析】试题分析：解分式方程得：等式的两边都乘以（x ﹣2），得x=2（x ﹣2）+m ，解得x=4﹣m ，且x=4﹣m≠2，已知关于x 的分式方的解为正数，得m=1，m=3，故选C ．考点：分式方程的解．7、C【解题分析】如图，过点A 作AM ⊥DC 于点M ，过点B 作BN ⊥DC 于点N ．则AM =BN ．通过解直角△ACM 和△BCN 分别求得CM、CN的长度，则易得AB =MN=CM﹣CN，即可得到结论．【题目详解】如图，过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N．则AB=MN，AM=BN．在直角△ACM中，∵∠ACM=45°，AM=50m，∴CM=AM=50m．在直角△BCN中，∵∠BCN=∠ACB+∠ACD=60°，BN=50m，∴CN=50503tan6033BN==︒（m），∴MN=CM﹣CN=50﹣5033（m）．则AB=MN=（50﹣5033）m．故选C．【题目点拨】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．8、B【解题分析】根据旋转的性质得出全等，推出∠B=∠D，求出∠B+∠BEF=∠D+∠AED=90°，根据三角形外角性质得出∠CFD=∠B+∠BEF，代入求出即可．【题目详解】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，∴△ABC≌△ADE，∴∠B=∠D，∵∠CAB=∠BAD=90°，∠BEF=∠AED，∠B+∠BEF+∠BFE=180°，∠D+∠BAD+∠AED=180°，∴∠B+∠BEF=∠D+∠AED=180°﹣90°=90°，∴∠CFD=∠B+∠BEF=90°，【题目点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角性质的应用，掌握旋转变换的性质是解题的关键．9、D【解题分析】设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，根据计价规则计算出小王的车费和小张的车费，建立方程求解.【题目详解】设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，依题可得：1.8×6+0.3x=1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5-7）,10.8+0.3x=16.5+0.3y,0.3（x-y）=5.7,x-y=19,故答案为D.【题目点拨】本题考查列方程解应用题，读懂表格中的计价规则是解题的关键.10、C【解题分析】根据题意相等关系：①8×人数-3=物品价值，②7×人数+4=物品价值，可列方程组：8374x yx y-=⎧⎨+=⎩，故选C.点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系.二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11【解题分析】根据对称性可知：GJ∥BH，GB∥JH，∴四边形JHBG是平行四边形，∴JH=BG，同理可证：四边形CDFB是平行四边形，∴FG+JH+CD=FG+BG+FB=2BF，设FG=x，∵∠AFG=∠AFB，∠FAG=∠ABF=36°，∴△AFG∽△BFA，∴AF2=FG•BF，∵AF=AG=BG=1，∴x（x+1）=1，∴x=512-（负根已经舍弃），∴BF=512-+1=512+，∴FG+JH+CD=5+1．故答案为5+1．12、2【解题分析】试题分析：先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可，3132222222-=-=考点：二次根式的加减13、C.【解题分析】分析：根据动点P在OC上运动时，∠APB逐渐减小，当P在上运动时，∠APB不变，当P在DO上运动时，∠APB 逐渐增大，即可得出答案．解答：解：当动点P在OC上运动时，∠APB逐渐减小；当P在上运动时，∠APB不变；当P在DO上运动时，∠APB逐渐增大．故选C．14、cm试题分析：把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=，r=cm．考点：圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系-15、33【解题分析】试题分析：如图，∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，∵AD=AB，∠DAC=∠BAE，AC=AE，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴∠ADC=∠ABE，∴∠PDB+∠PBD=90°，∴∠DPB=90°，∴点P在以BC为-．故答直径的圆上，∵外心为O，∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，又BC=6，∴OH=3，所以OP的最小值是33 -．案为33考点：1．三角形的外接圆与外心；2．全等三角形的判定与性质．16、4【解题分析】试题分析：先根据众数的定义求出a的值，再根据平均数的定义列出算式，再进行计算即可．试题解析：∵3，a，4，5的众数是4，∴a=4，∴这组数据的平均数是（3+4+4+5）÷4=4.考点：1.算术平均数；2.众数．17、x(y+2)(y-2)【解题分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．【题目详解】原式=x（y2-4）=x（y+2）（y-2），故答案为x（y+2）（y-2）.【题目点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）4，()22,22；（2）旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积为16216-；（3）83t =. 【解题分析】（1）连接AB ，根据△OCA 为等腰三角形可得AD=OD 的长，从而得出点A 的坐标，则得出正方形AOBC 的面积；（2）根据旋转的性质可得OA′的长，从而得出A′C ，A′E ，再求出面积即可；（3）根据P 、Q 点在不同的线段上运动情况，可分为三种列式①当点P 、Q 分别在OA 、OB 时，②当点P 在OA 上，点Q 在BC 上时，③当点P 、Q 在AC 上时，可方程得出t ．【题目详解】解：（1）连接AB ，与OC 交于点D ，四边形AOBC 是正方形，∴△OCA 为等腰Rt △，∴AD=OD=12OC=22， ∴点A 的坐标为()22,22.4，(22,22.（2）如图∵ 四边形AOBC 是正方形，∴ AOB 90∠=，AOC 45∠=.∵ 将正方形AOBC 绕点O 顺时针旋转45，∴ 点A '落在x 轴上.∴OA OA 4'==.∴ 点A '的坐标为()4,0.∵ OC 42=∴ A C OC OA 424=-='-'. ∵ 四边形OACB ，OA C B '''是正方形，∴ OA C 90∠''=，ACB 90∠=.∴ CA E 90∠'=，OCB 45∠=.∴ A EC OCB 45∠∠=='.∴ A E A C 424=='-'.∵2ΔOBC AOBC 11S S 4822==⨯=正方形， ()2ΔA EC 11S A C A E 4242416222'=⋅=-=-''， ∴ΔOBC ΔA EC OA EBS S S ''=-=四边形 ()82416216216--=-. ∴旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积为16216-.（3）设t 秒后两点相遇，3t=16，∴t=163①当点P 、Q 分别在OA 、OB 时，∵POQ 90∠=,OP=t ，OQ=2t∴ΔOPQ 不能为等腰三角形②当点P 在OA 上，点Q 在BC 上时如图2，当OQ=QP ，QM 为OP 的垂直平分线，OP=2OM=2BQ ，OP=t ，BQ=2t-4，t=2（2t-4），解得：t=83． ③当点P 、Q 在AC 上时，ΔOPQ 不能为等腰三角形综上所述，当8t3=时ΔOPQ是等腰三角形【题目点拨】此题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定以及旋转的性质，是中考压轴题，综合性较强，难度较大．19、（1）所抽取的学生人数为40人（2）37.5%（3）①视力x＜4.4之间活动前有9人，活动后只有5人，人数明显减少．②活动前合格率37.5%，活动后合格率55%，说明视力保健活动的效果比较好【解题分析】【分析】（1）求出频数之和即可；（2）根据合格率=合格人数÷总人数×100%即可得解；（3）从两个不同的角度分析即可，答案不唯一.【题目详解】（1）∵频数之和=3+6+7+9+10+5=40，∴所抽取的学生人数为40人；（2）活动前该校学生的视力达标率=1540×100%=37.5%；（3）①视力x＜4.4之间活动前有9人，活动后只有5人，人数明显减少；②活动前合格率37.5%，活动后合格率55%，说明视力保健活动的效果比较好．【题目点拨】本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体等知识，熟知频数、合格率等相关概念是解题的关键.20、（1）证明见解析；（232π-【解题分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得CO⊥CD，则AD∥CO，所以∠DAC=∠ACO，加上∠ACO=∠CAO，从而得到∠DAC=∠CAO；（2）设⊙O半径为r，利用勾股定理得到r2+27=（r+3）2，解得r=3，再利用锐角三角函数的定义计算出∠COE=60°，然后根据扇形的面积公式，利用S阴影=S△COE﹣S扇形COB进行计算即可．【题目详解】解：（1）连接OC，如图，∵CD与⊙O相切于点E，∴CO⊥CD，∵AD⊥CD，∴AD∥CO，∴∠DAC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO，∴∠DAC=∠CAO，即AC平分∠DAB；（2）设⊙O半径为r，在Rt△OEC中，∵OE2+EC2=OC2，∴r2+27=（r+3）2，解得r=3，∴OC=3，OE=6，∴cos∠COE=12 OCOE=，∴∠COE=60°，∴S阴影=S△COE﹣S扇形COB=12•3•33﹣260?·393336022ππ=-．【题目点拨】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．21、（1）y=﹣x2+4x+5，A（﹣1，0），B（5，0）；（2）Q55；（3）M（1，8），N（2，13）或M′（3，8），N′（2，3）．【解题分析】(1)设顶点式，再代入C点坐标即可求解解析式，再令y=0可求解A和B点坐标；(2)设点Q（m，﹣m2+4m+5），则其关于原点的对称点Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5），再将Q′坐标代入抛物线解析式即可求解m的值，同时注意题干条件“Q在第一象限的抛物线上”；(3)利用平移AC的思路，作MK⊥对称轴x=2于K，使MK=OC，分M点在对称轴左边和右边两种情况分类讨论即可.【题目详解】（Ⅰ）设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+9，把C（0，5）代入得到a=﹣1，∴y=﹣（x﹣2）2+9，即y=﹣x2+4x+5，令y=0，得到：x2﹣4x﹣5=0，解得x=﹣1或5，∴A（﹣1，0），B（5，0）．（Ⅱ）设点Q（m，﹣m2+4m+5），则Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5）．把点Q′坐标代入y=﹣x2+4x+5，得到：m2﹣4m﹣5=﹣m2﹣4m+5，∴m=5或5-（舍弃），∴Q（5，45）．（Ⅲ）如图，作MK⊥对称轴x=2于K．①当MK=OA，NK=OC=5时，四边形ACNM是平行四边形．∵此时点M的横坐标为1，∴y=8，∴M（1，8），N（2，13），②当M′K=OA=1，KN′=OC=5时，四边形ACM′N′是平行四边形，此时M′的横坐标为3，可得M′（3，8），N′（2，3）．【题目点拨】本题主要考查了二次函数的应用，第3问中理解通过平移AC可应用“一组对边平行且相等”得到平行四边形.22、（1）y＝3x-；（2）P（0，2）或（－3，5）；（3）M（123-+，0）或（331+，0）．【解题分析】（1）利用点在直线上，将点的坐标代入直线解析式中求解即可求出a，b，最后用待定系数法求出反比例函数解析式；（2）设出点P坐标，用三角形的面积公式求出S△ACP＝12×3×|n＋1|，S△BDP＝12×1×|3−n|，进而建立方程求解即可得出结论；（3）设出点M坐标，表示出MA2＝（m＋1）2＋9，MB2＝（m−3）2＋1，AB2＝32，再三种情况建立方程求解即可得出结论．【题目详解】（1）∵直线y＝－x＋2与反比例函数y＝kx（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，∴－a＋2＝3，－3＋2＝b，∴a＝－1，b＝－1，∴A（－1，3），B（3，－1），∵点A（－1，3）在反比例函数y＝kx上，∴k＝－1×3＝－3，∴反比例函数解析式为y＝3x ；（2）设点P（n，－n＋2），∵A（－1，3），∴C（－1，0），∵B（3，－1），∴D（3，0），∴S△ACP＝12AC×|x P−x A|＝12×3×|n＋1|，S△BDP＝12BD×|x B−x P|＝12×1×|3−n|，∵S△ACP＝S△BDP，∴12×3×|n＋1|＝12×1×|3−n|，∴n＝0或n＝−3，∴P（0，2）或（−3，5）；（3）设M（m，0）（m＞0），∵A（−1，3），B（3，−1），∴MA2＝（m＋1）2＋9，MB2＝（m−3）2＋1，AB2＝（3＋1）2＋（−1−3）2＝32，∵△MAB是等腰三角形，∴①当MA＝MB时，∴（m＋1）2＋9＝（m−3）2＋1，∴m＝0，（舍）②当MA＝AB时，∴（m＋1）2＋9＝32，∴m＝−1m＝，∴M（−10）③当MB＝AB时，（m−3）2＋1＝32，∴m＝3m＝，∴M（30）即：满足条件的M（−10）或（30）．【题目点拨】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积的求法，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．23、(1)223y x=-,12yx=;(2) 当0＜x＜6时，kx+b＜mx,当x＞6时，kx+b＞mx【解题分析】（1）根据点A和点B的坐标求出一次函数的解析式，再求出C的坐标6，2），利用待定系数法求解即可求出解析式（2）由C（6，2）分析图形可知，当0＜x＜6时，kx+b＜mx,当x＞6时，kx+b＞mx【题目详解】（1）S△AOB＝12OA•OB＝1，∴OA＝2，∴点A的坐标是（0，﹣2），∵B（1，0）∴2 30 bk b=-⎧⎨+=⎩∴232 kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴y＝23x﹣2．当x＝6时，y＝23×6﹣2＝2，∴C（6，2）∴m＝2×6＝3．∴y＝12x．（2）由C（6，2），观察图象可知：当0＜x＜6时，kx+b＜mx,当x＞6时，kx+b＞mx．【题目点拨】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于求出C的坐标24、（1）鸡场垂直于墙的一边AB的长为2米；（1）鸡场垂直于墙的一边AB的长为10米时，围成养鸡场面积最大，最大值100米1．【解题分析】试题分析：（1）首先设鸡场垂直于墙的一边AB的长为x米，然后根据题意可得方程x（40-1x）=168，即可求得x的值，又由墙长15m，可得x=2，则问题得解；（1）设围成养鸡场面积为S，由题意可得S与x的函数关系式，由二次函数最大值的求解方法即可求得答案；解：（1）设鸡场垂直于墙的一边AB的长为x米，则x（40﹣1x）=168，整理得：x1﹣10x+84=0，解得：x1=2，x1=6，∵墙长15m，∴0≤BC≤15，即0≤40﹣1x≤15，解得：7.5≤x≤10，∴x=2．答：鸡场垂直于墙的一边AB的长为2米．（1）围成养鸡场面积为S米1，则S=x（40﹣1x）=﹣1x1+40x=﹣1（x1﹣10x）=﹣1（x1﹣10x+101）+1×101=﹣1（x﹣10）1+100，∵﹣1（x﹣10）1≤0，∴当x=10时，S有最大值100．即鸡场垂直于墙的一边AB的长为10米时，围成养鸡场面积最大，最大值100米1．点睛：此题考查了一元二次方程与二次函数的实际应用．解题的关键是理解题意，并根据题意列出一元二次方程与二次函数解析式．。

北京市第二中学2024届第二次高考模拟高三数学试题试卷

北京市第二中学2024届第二次高考模拟高三数学试题试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()()'10x f x x f x -⋅+⋅>，若3(2)y f x e =+-是奇函数，则不等式1()20x x f x e +⋅-<的解集是（）A ．(),2-∞B ．(),1-∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞ 2．复数21i z i +=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是 A ．5z =B ．z 的共轭复数为31+22iC ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为θ，且5cos 5θ=，则该双曲线的离心率为（） A ．5 B ．52 C ．2 D ．44．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（）A ．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B ．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C ．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D ．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是1035．已知正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为4，E 、F 、G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点.若O 在三棱锥A BCD -内，且三棱锥A BCD -的体积是三棱锥O BCD -体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积的比值为（）A ．63πB ．83πC ．3πD ．3π6．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 7．231+=-i i （） A ．15i 22-+ B ．1522i -- C ．5522i + D ．5122i - 8．ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =，CA b =，2a =，1b =，则CD =（） A ．2133a b + B ．1233a b + C ．3455a b + D ．4355a b + 9．已知i 是虚数单位，则(2)i i +=（）A ．12i +B ．12i -+C ．12i --D ．12i -10．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱．下图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形．若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（）A ．37B ．47C ．57D ．6711．已知()21,+=-∈a i bi a b R ，其中i 是虚数单位，则z a bi =-对应的点的坐标为（）A ．()12,-B ．()21,-C ．()1,2D ．()2,112．已知实数,x y 满足,10,1,x y x y y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（）A ．2B ．32C ．1D ．0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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2
2
……………(7分)
于是
f (x ) F (x ) 1cos 2x sin2 x
2 x sin 2x 1 x sin 2x 1
2
2
……………(10分)
第 3 页（共 3 页）
2013 10 26
9:00 11:30
(
10
3
30 )
1.
f (x) = ex2, f [ϕ(x)] = 1 − x ϕ(x) 0 ϕ(x) =
1
f (x) dx0
1 x
0
4. 若 f (x) 在[0,1]上连续，则 f (x) 的值域为【】.
(A) 闭区间 (C) 无穷区间
(B) 开区间 (D) 以上情况都有可能
5. 若 f (x) 在[0,1]上可积，则 f (x) 在[0,1]上【】.
(A) 连续 (C) 可导
(B) 有界 (D) 连续可导
f
( x)
在
,
内连续，且
F
(x)
xx 2t 0
f t dt
，证明：
（1）若 f (x) 为偶函数，则 F (x) 也为偶函数；
（2）若 f (x) 为单调减少函数，则 F (x) 为单调增加函数.
第 4 页（共 5 页）
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（2）因为 f (x) 连续，所以 F(x)可导 ……………(6分)
而
F( x)
x
xf 0
t dt
x
2t 0
f
tdt
xf
x0x f
tdt
2 x
f
x
x
f 0
t dt
x
f
x0x f
t f
x dt
……………(8分)
由于 f (x) 为减函数，当 x 0 时，故 F (x) 0x f t f x dt 0 ，
t1 t2
……………(7分)
根据介值定理，存在c , d a ,b 使得 f () t1 f (c) t2 f d ，即
t1 t2
t1 t2
t1 f (c) t2 f d t1 t2 f ……………(10分)
七、（本题10分）
证明：（1）因 F(x) xx 2t f t dt ，则 F(x) x x 2t f tdt
解：设
y
表示1秒钟内通过某定点的汽车的数目，则 y
v 18 v v2
32
……………(4分)
因为
18 v2
y
32
18
v
v 2 32
2
(24 v)(24 v)
32 18
v
v 2 32
2
，可得唯一驻点
v =24
……………(8分)
在v =24左侧 y0，在v =24右侧 y0 ，所以v =24时汽车流量最大.
0
0
……………(2分)
令 t z ，则
F(
x)
x x 0
2
z
f
z ( dz)
x x 0
2
z
f z
dz
因为
f
( x)
为偶函数，所以
F ( x)
xx 0
2
z
f
zdz
F( x)
即 F(x)为偶函数. ……………(5分)
第 2 页（共 3 页）
第二十四届北京市大学生数学竞赛暨高职高专类第四届竞赛试卷
ex − 1,
2.
f (x) = x + a,
x<0 0 x<1
1 + b sin(x − 1), x 1
a+b=
x = 0, x = 1
ab
3. f (x) = ex2 sin x4
f (2013)(0) =
4.
f (x) = ex
[0, x] (x > 0)
lim θ =
x→0
ex − 1 = xeθx (0 < θ < 1)
1，
lim
x 0
f
(x)
lim x0+
1 101 x 2 101 x
1 2
所以 lim f (x) 不存在， f (x) 在 x 0不连续. x 0
……………(6分)
因为 lim f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x ) 1 ， f ( 0 ) 1
x 0
x 0
x 0
2
2
所以 f x 在 x 0连续.
因为 f (x) 为正的可积函数，则 S t 为 a ,b 上连续函数，……………(5分)
由于 S a 0, S b S , 由介值定理，存在a ,b 使得 S 1 S ，即
2 直线 x 将由直线 x a , x b, y 0 和曲线 y f (x)围成的曲边梯形分割为两个
面积相等的小曲边梯形. ……………(10分)
所以 un 单调减少有下界，根据单调有界性定理，un 收敛。
……………(8分)
设 lnimun
a
，则
a
1 2
a
p a
，解得
a
p ，而 a
p 不合题意，
所以 lnimun p
……………(10分)
姓名
院系
学校
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第二十四届北京市大学生数学竞赛暨高职高专类第四届竞赛试卷
五、（本题10分）
六、（本题10分）
……………(10分)
证明：由题意易知 f (x) 在c , d 上连续，因此 f (x) 在c, d 上取最小值m和最大
值M,
……………(3分)
且因为
t1
0 ,t2
0 ，所以 0
t1
t1 t2
1， 0 t2 t1 t2
1
于是
m t1 f (c) t2 f d M
t1 t2
当 x 0 时， F (x) 0xf t f xdt 0x f t f x dt 0
从而 F(x)为单调增加函数. ……………(10分)
八、（本题10分）
证明：设曲边梯形的面积为 S (S 0),任取 t a , b ，直线 x t 将曲边梯形分割为
两个小曲边梯形，记左边的小曲边梯形的面积为
S t t f xdx ， ……………(2分) a
5. 设
f x x e t2 dt
，则
1
f (x) dx
1
0
. . . .
三、（本题10分）
设
1 101 x 2 101 x
,
x
0
f (x)
，
讨论 f (x) 及 f
x
在 x 0 的连续性.
1 ,
x=0
2
第 2 页（共 5 页）
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- -- - -- - -- -- - -- - -- -- -装 - -- - -- - -- -订 - -- - -- -- - -线 -- - -- - -- -- 内 -- - -- -- - -- 请 -- -- - -- - -- 勿- - -- -- - -- - 答- -- - -- - -- -题 - -- - -- -- - -- - -- -- - -- -
- -- - -- - -- -- - -- - -- -- -装 - -- - -- - -- -订 - -- - -- -- - -线 -- - -- - -- -- 内 -- - -- -- - -- 请 -- -- - -- - -- 勿- - -- -- - -- - 答- -- - -- - -- -题 - -- - -- -- - -- - -- -- - -- -
Байду номын сангаас
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院系
学校
第二十四届北京市大学生数学竞赛暨高职高专类第四届竞赛试卷
二、（本题共15分，每小题 3分）填空题
1.
lim
cos
x
sin
x
1 x
.
x0
2.
lnim 1 212
1 312
1 n12
3. 若 y x4 ，则 y (10) = 1 x
4. 1 1x 2 ln x 1x 2 dx 1
5.
f (x)
π 2
−π
1
cos x + f (x) dx
=
2
f (x)f (−x) = 1, x ∈ (−∞, +∞)
6.
I=
(4 − 5 sin x + 3y)dxdy =
x2+y2 a2
+∞ sin
√ n2 + 1 − n
π
7.
n=1
nx
x
8.
Φ(x, y, z) = 0
∂x ∂y
·
∂y ∂z

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