最新可降阶的二阶微分方程
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可降阶的二阶微分方
程
第五节可降阶的二阶微分方程
在前面几节中，我们已经介绍了几种可用初等方法求解的一阶方程类型，正确而又敏捷地判定所给方程的类型从而按照所知的方法求解，这是基本的要求。因为我们所遇到的方程，有时不易直接判定其类型，有时需要适当的运算，或作变量替换才能化为能求解的类型，读者应注意学习解微分方程的各种技巧。
对于一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论几种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可通过积分求得，有的可经过适当的变量替换可以降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量代回，从而求得二阶微分方程的解。
§5.1 «Skip Record If...»＝f(x)型的微分方程
这是一种特殊类型的二阶微分方程，本章第一节例2就是这种类型，求解方法也较容易，只需二次积分，就能得它的解
积分一次得«Skip Record If...»＝∫
f(x)dx＋C1
再积分一次得 y＝∫［∫f(x)dx＋C1］dx ＋C２
上式含有两个相互独立的任意常数C1，C2，所以这就是方程的通解。
例1. 求方程«Skip Record If...»＝－«Skip Record If...»满足y｜
x＝«Skip Record If...»＝－«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»＝1的特解。
解积分一次得
«Skip Record If...»＝ctanx＋C1
以条件«Skip Record If...»«Skip Record If...»＝1代入得C1＝0，即有
«Skip Record If...»＝ctanx
再积分一次得
y＝ln｜sinx｜＋C2
以条件y｜x＝«Skip Record If...»＝－
«Skip Record If...»代入，得
－«Skip Record If...»＝ln«Skip Record If...»＋C2即C2＝0
于是所求特解是 y＝ln｜sinx｜。
这种类型的方程的解法，可推广到n阶微分方程
«Skip Record If...»＝f(x)，只要积分n次，就能求得它的通解。
例2. 解微分方程«Skip Record If...»＝lnx＋x
解积分一次得«Skip Record If...»＝xlnx ＋x＋C1
积分二次得«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»x2lnx－«Skip Record If...»＋C1x＋C2
积分三次得 y＝«Skip Record If...»lnx＋
«Skip Record If...»＋«Skip Record If (x2)
C2x＋C3
§5.2 «Skip Record If...»＝f(x,
«Skip Record If...»)型的微分方程这种方程的特点是不明显含有未知函数y，解决的方法是：我们把«Skip Record If...»作为未知函数，而使变换，令
«Skip Record If...»＝p
于是有«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»，这样可将原方程降为如下形式的一阶方程
«Skip Record If...»=f(x,p)
这里p作为未知函数，如能求出其通解
p＝φ(x,C１)
然后根据关系式«Skip Record If...»＝p即可求得原方程的通解
y＝∫φ(x,C1)dx＋C2
例3. 求微分方程(1＋x2) «Skip Record If...»－2x«Skip Record If...»＝0的通解解这是一个不明显含有未知函数y的方程
作变换令«Skip Record If...»＝p，则«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»，于是原方
程降阶为
(1＋x2) «Skip Record If...»－2px＝0
«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»dx
积分得ln｜p｜＝ln(1＋x2)＋ln｜C1｜
即 p＝C1(1＋x2)
从而«Skip Record If...»＝C1(1＋x2)
再积分一次得原方程的通解
y＝C1(x＋«Skip Record If...»)＋C2例4. 设有柔软而无伸缩性的均匀绳索，求其
两端固定且仅受自身重量作用时的形状，即求绳索曲
线的方程(如图6-2)。
解取曲线上最低点N的铅直线作Oy轴，取水平
方向的直线为Ox轴，ON的长暂时不定。取曲线上任
一点M，由于这时绳索处在平衡状态，故可将«Skip
Record If...»这段绳索看作刚体，这段绳索上受到
三个力的作用，在N点处切线方向的张力H，在M点
处切线方向的张力T，以
及本身重量p＝Sμ，其中
S是«Skip Record If...»
的长度，μ是绳索单位长
度的重量。
将力T分解为水平分力及
铅直分力，并应用力的平
图6-2 衡条件，可得知如下两个等式
Tsinα＝Sμ
Tcosα＝H
两式相除得tanα＝«Skip Record If...»S
若y＝y(x)是所求曲线的方程，则
«Skip Record If...»＝kS 其中
k=«Skip Record If...»