最新可降阶的二阶微分方程
7.5 可降阶的二阶微分方程
y(n) f (x) 型的微分方程 y f (x, y)型的微分方程 y f (y, y)型的微分方程
型的 y(n) f (x) 微分方程
y(n) f (x)
dyn1 f x
dx
yn1 f (x)dx C1
例 求微分方程 (1 x2 ) y 2xy 满足初值条件 y x0 1 ，
y x0 3 的特解.
解 设 y p , 则 y dp p ,
dx
dp p
2x 1 x2
dx
p y 3(1 x2 )
p |x0 y x0 3
y 1 x0
，0
t
T
型的 y f (x, y) 微分方程
方程 y f (x, y) 的右端不显含未知函数 y 令 y p , 则 y dp p , dx
p f (x, p)
设通解为 p y (x, C1) ，
y (x, C1)dx C2
两端积分并化简,得 p y C1 y
再分离变量并两端积分，得原方程的通解为 y C2eC1x
例 求微分方程 yy 2( y2 y) 满足初值条件 y |x0 1 ，
y |x0 2 的特解.
解 令 y p ，则 y p dp . 在 y 0 , p 0 时,
1 8
e2x
sin
x
C1 x2
C2 x
C3
C1
C 2
例 质量为 m 的质点受力 F 的作用沿 Ox 轴作直线运动. 设
力 F F t 在开始时刻 t 0 时 F (0) F0 ，随着时间 t 的增
CH可降阶的二阶微分方程
再次积分，得通解为: y f ( x )dx C1 dx C 2 这种类型的方程的解法，可推广到n阶微分方程：
y( n) f ( x )
只要连续积分n次, 就可得到这个方程的含有n个 任意常数的通解.
3
x 例1 求微分方程y e sin 的通解 3 解 对所给方程连续积分两次，得
2x
1 2x x y e 3 cos c1 2 3 1 2x x y e 9 sin c1 x c2 4 3
4
例 求微分方程ye2x－cos x 的通解 解
对所给方程接连积分三次 得
1 y e2x sin x C1 2 1 y e2x cos x C1x C2 4 y 1 e2x sin x 1 C1x 2 C2 x C3 8 2
x x
三、y f ( y , y )型
y p( y ( x )) y p( y ), 解法：把y暂时看作自变量，并作变换：
特点：不显含自变量x.
问题：是否有
y p ？代入原式得 p f ( y, p ) ？
d y y dx y p y pp dp p dy
切线及 x 轴的垂线, 上述两直线与 x 轴围成的三角形面 为曲边的曲边梯形面积 积记为 区间[ 0, x ] 上以 满足的方程 .
解
( 考研 )
在点 P(x, y) 处的切线倾角为 , 于是
1 2 S1 y cot 2
S 2 y (t ) d t
0
x
S2 y P S1 1 y o x x
20
设它的通解为： y p ( y , C1 ),
可降阶的二阶微分方程
第五节 可降阶的二阶微分方程在前面几节中，我们已经介绍了几种可用初等方法求解的一阶方程类型，正确而又敏捷地判定所给方程的类型从而按照所知的方法求解，这是基本的要求。
因为我们所遇到的方程，有时不易直接判定其类型，有时需要适当的运算，或作变量替换才能化为能求解的类型，读者应注意学习解微分方程的各种技巧。
对于一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论几种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可通过积分求得，有的可经过适当的变量替换可以降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量代回，从而求得二阶微分方程的解。
§5.1 22dxy d ＝f(x)型的微分方程这是一种特殊类型的二阶微分方程，本章第一节例2就是这种类型，求解方法也较容易，只需二次积分，就能得它的解 积分一次得dxdy ＝ ∫f(x)dx ＋C 1再积分一次得 y ＝ ∫［∫f(x)dx ＋C 1］dx ＋C ２上式含有两个相互独立的任意常数C 1，C 2，所以这就是方程的通解。
例1. 求方程22dxy d ＝－x sin 12满足y ｜x ＝4π ＝－22ln ，dxdy 4x |π=＝1的特解。
解 积分一次得dxdy ＝ctanx ＋C 1以条件dx dy 4x |π=＝1代入得C 1＝0，即有dxdy ＝ctanx再积分一次得 y ＝ln ｜sinx ｜＋C 2 以条件y ｜ x ＝4π＝－22ln 代入，得－22ln ＝ ln22＋C 2 即C 2＝0于是所求特解是 y ＝ln ｜sinx ｜。
这种类型的方程的解法，可推广到n 阶微分方程n ndxy d ＝f(x)，只要积分n 次，就能求得它的通解。
例2. 解微分方程33dxy d ＝lnx ＋x解 积分一次得22dxy d ＝xlnx ＋x ＋C 1积分二次得dxdy ＝21x 2lnx －4x2＋C 1x ＋C 2积分三次得 y ＝6x3lnx ＋12x3＋2C 1x 2＋C 2x ＋C 3§5.222dxy d ＝f(x,dxdy )型的微分方程这种方程的特点是不明显含有未知函数y ，解决的方法是：我们把dxdy 作为未知函数，而使变换，令dxdy ＝p于是有22dxy d ＝dxdp ，这样可将原方程降为如下形式的一阶方程dxdp =f(x,p)这里p 作为未知函数，如能求出其通解 p ＝φ(x,C １) 然后根据关系式dxdy ＝p 即可求得原方程的通解y ＝∫φ(x,C 1)dx ＋C 2 例3. 求微分方程(1＋x 2) 22dxy d －2xdxdy ＝0的通解解 这是一个不明显含有未知函数y 的方程 作变换 令dxdy ＝p ，则22dxy d ＝dxdp ，于是原方程降阶为 (1＋x 2) dxdp －2px ＝0pdp ＝2x1x 2 dx积分得 ln ｜p ｜＝ln(1＋x 2)＋ln ｜C 1｜ 即 p ＝C 1(1＋x 2) 从而dxdy ＝C 1(1＋x 2)再积分一次得原方程的通解 y ＝C 1(x ＋3x3)＋C 2例4. 设有柔软而无伸缩性的均匀绳索，求其两端固定且仅受自身重量作用时的形状，即求绳索曲线的方程(如图6-2)。
可降阶的二阶微分方程
内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 y′ = p(x) , 令 y′ = p(y) ,
思考与练习
1. 方程 答: 令 如何代换求解 ? 或 均可.
例如, 一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便. (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.
切线及 x 轴的垂线, 上述两直线与 x 轴围成的三角形面 为曲边的曲边梯形面积 积记为 区间[ 0, x ] 上以 满足的方程 . 解:
( 99 考研 )
在点 P(x, y) 处的切线倾角为α , 于是
1 2 S1 = y cotα y P S1 1 y α ox x
(一阶线性齐次方程)
dp dp dy dp 则y′′ = = =p dx dy dx dy
故所求通解为
例５. 一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间 (不计空气阻力). 解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题: k mM d2 y M : 地球质量 m 2 = 2 y dt dt m : 物体质量
积分得
1 2
p2 = 1 e2y + C1 2
利用初始条件, 得C1 = 0, 根据 p y=0 =y′ x=0 =1 > 0, 得 dy = p =e y dx 积分得 e y = x + C2 , 再 y x=0 = 0, 得C2 = 1 由 故所求特解为
1 e y = x
例７.
二阶可导, 且 上任一点 P(x, y) 作该曲线的
高数第4章第4节——可降阶的二阶微分方程
一、 y f ( x) 型的微分方程 二、 y f ( x, y)型的微分方程 三、y f ( y, y) 型的微分方程
四、可降阶二阶微分方程的应用举例
一、y f ( x) 型的微分方程
特点 右端仅含有自变量 x , 只要连续积分 二次即得通解 .
解法
y f ( x)dx C1,
积分后得通解: y2 C1x C2.
例 8 已知曲线 y y( x)满足方 yy 2( y2 y)，其 在(0,1)处的切线为 y 2x 1，求此曲线方程.
解 即求解初值问题：
则 y P dP , dy
代入原方程得
由于y 0, p 0,
y p dP 2( p2 p)
dy
故有
dp 2( p 1)
dy
y
分离变量，得
dp 2 dy p1 y
两边积分，得 ln p 1 ln y2 C1
将 y 1 , P 2 代入 , 得 C1 0 ,
y P y2 1 ,
分离变量，得
dy y2
1
dx
,
两边积分，得 arctan y x C ,
将 x 0 , y 1 代入 , 得 C ,
4
故曲线方程为 y tan( x ) .
4
例9 解令
积分得
代入方程得 即
例10 解初值问题
y e2y 0
y
x0
0
,
y
x0
. 1
解令
代入方程得
积分得
即
利用初始条件,
根据
得
积分得 故所求特解为
五、小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 令
可降阶的二阶微分方程
为曲边的曲边梯形面积
上述两直线与 x 轴围成的三角形面
例７.
二阶可导, 且
上任一点 P(x, y) 作该曲线的
切线及 x 轴的垂线,
区间[ 0, x ] 上以
解:
于是
在点 P(x, y) 处的切线倾角为 ,
满足的方程 .
积记为
( 99 考研 )
锗考溶倦肮评令赡算亢镰锨诽狈牛风月奈禁修践鄂群自柬秀渭禹育朝全狐可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程
思考与练习
1. 方程
如何代换求解 ?
答: 令
或
一般说, 用前者方便些.
均可.
有时用后者方便 .
例如,
2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?
答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.
(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.
金啄辜八落底斋幢业齐趋妊腿意彤校隅菠疾践糠晤股源肉茅娄秩雇暑谰炭可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程
再利用 y (0) = 1 得
利用
得
两边对 x 求导, 得
定解条件为
方程化为
利用定解条件得
得
故所求曲线方程为
佐古拖蕾氯官保站拆言痉已掐护杯角逾格蘑傲磐沉杯湛葛汐郁告充宴纺评可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程
内容小结
可降阶微分方程的解法
—— 降阶法
逐次积分
令
令
诧塘些啸邢磅堆蒙秉巡蕉宁锰想坊弹早撼镭墨辩黄泳钦蛊硕排梆间颐饥矣可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程
提示: 设 t 时刻 B 位于 ( x, y ), 如图所示, 则有
去分母后两边对 x 求导, 得
又由于
设物体 A 从点( 0, 1 )出发, 以大小为常数 v
经济数学-可降阶的二阶微分方程
dy ( y , C1 ) x + C 2 .
例 4 求方程 yy y 2 0 的通解.
dp , 解一 设 y p( y ), 则 y p dy
dp dp 2 代入原方程得 y p p 0, 即 p( y p) 0, dy dy
写为
y d1 x 4 + d 2 x 2 + d 3 x + d 4 .
其中 d i ( i 1,2,3,4) 为任意常数.
ห้องสมุดไป่ตู้
二、 y f ( x , y) 型
特点： 右端不显含未知函数y. 解法： 设 y p
dp y p, dx
方程变为 p f（x，p） .
关于x, p的一 阶微分方程，设其通解为 p ( x, C1 )
dy p ( x , C1 ) 关于y, x一阶微分方程 dx
即
故方程的 通解为： y ( x , C1 )dx + C 2
例3 求微分方程 (1 + x ) y 2 xy 满足初 始条件 y x 0 1, y x 0 3 的特解.
上式为可分离变量的一阶微分方程, 解得
2 p y Cy + 1, dy dx , 由初始条件 y(0) 1, 再分离变量, 得 2 Cy + 1 y(0) 2 定出 C 1, 从而得
dy 2 dx , 1+ y
再两边积分, 得 由 y(0) 1 定出 C1 arctan 1 ,
练习题答案
一 1. y ln cos(x + C1 ) + C2 2. y arcsin( C 2 e x ) + C1 ； 1 3. y 1 . C1 x + C 2 x
第五节可降阶的二阶微分方程
第五节 可降阶的二阶微分方程对一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论三种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可以通过积分求得，有的经过适当的变量替换可降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量回代，从而求得所给二阶微分方程的解.内容分布图示★ ())(x f y n =型★ 例1★ 例2 ★ 例3★ ),(y x f y '=''型★ 例4 ★ 例5★ 例6 ★ 例7 ★ ),(y y f y '=''型★ 例8★ 例9 ★ 内容小结★ 课堂练习 ★ 习题12—5★ 返回内容要点：一、 )(x f y =''型在方程)(x f y =''两端积分，得1)(C dx x f y +='⎰ 再次积分，得[]21)(C dx C dx x f y ++=⎰⎰注：这种类型的方程的解法，可推广到n 阶微分方程)()(x f y n =，只要连续积分n 次, 就可得这个方程的含有n 个任意常数的通解.二、),(y x f y '=''型这种方程的特点是不显含未知函数y ，求解的方法是：令),(x p y =' 则)(x p y '=''，原方程化为以)(x p 为未知函数的一阶微分方程，).,(p x f p ='设其通解为),,(1C x p ϕ=然后再根据关系式,p y =' 又得到一个一阶微分方程).,(1C x dxdy ϕ= 对它进行积分，即可得到原方程的通解.),(21⎰+=C dx C x y ϕ三、),(y y f y '=''型这种方程的特点是不显含自变量x . 解决的方法是：把y 暂时看作自变量，并作变换),(y p y =' 于是，由复合函数的求导法则有.dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅=='' 这样就将原方程就化为 ).,(p y f dydp p = 这是一个关于变量y 、p 的一阶微分方程. 设它的通解为),,(1C y p y ϕ=='这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的通解.),(21C x C y dy +=⎰ϕ例题选讲：)(x f y =''型例1（讲义例1）求方程x ey x cos 2-=''满足1)0(,0)0(='=y y 的特解. 例2（讲义例2）求方程0)3()4(=-y xy 的通解.例 3 质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动. 设力F 仅是时间t 的函数: ).(t F F = 在开始时刻0=t 时,)0(0F F = 随着时间t 的增大, 此力F 均匀的减少, 直到T t =时, .0)(=T F 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律.),(y x f y '=''型例4（讲义例3）求方程02)1(222=-+dx dy x dxy d x 的通解. 例5 求微分方程初值问题. ,2)1(2y x y x '=''+ ,10==x y 30='=x y的特解.例6 求微分方程12='+''y y x 满足),1(2)1(y y '= 且当0→x 时，y 有界的特解.例7（讲义例4）设有一均匀、柔软的而无伸缩性的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂. 求绳索曲线在平衡状态时的方程.),(y y f y '=''型例8（讲义例5）求方程02='-''y y y 的通解.例9 求微分方程)(22y y y y '-'=''满足初始条件,1)0(=y 2)0(='y 的特解.课堂练习1. 求方程x y ln ='''的通解.2.求微分方程223y y =''满足初始条件1|,1|00='===x x y y 的特解. 3.一质量为m 的物体, 在粘性液体中由静止自由下落, 假设液体阻力与运动速度成正比, 试求物体的运动规律.。
二阶微分方程(PPT课件)
积分，得
例2
dy 2 f ( y )dy C1
x C2 .
求单摆运动微分方程
d 2 g sin 0 2 dt l
的通解.
解
g f ( ) sin l
代入上面的公式，得
6
5.3 二阶微分方程（92）
积分得
d g C1 2 sin d l d g C1 2 cos l
C1e x C2 x 2 3.
5.3 二阶微分方程（92） 19
课堂练习题
一、求下列各微分方程的通解:
2 x 1、 y xe ；
1 x y y x e 2、 ； x
3、 y ( y ) y ；
3
2 2 y 0. 4、 y 1 y
与地球中心的距离为 l ( R),
5.3 二阶微分方程（92）
dy 设物体的位置函数 y y( t ) ，速度 v ( t ) dt
根据万有引力定律，得 微分方程：
d2 y kmM d2 y kM m 2 2 , 即 2 . 2 dt y dt y
M为地球的质量， k为引力常数 .初始条件为 y |t 0 l , y |t 0 0.
dy p g( x , C1 ) dx
求其反函数，得 积分，得
y g( x, C1 )dx C2 .
5.3 二阶微分方程（92） 8
若 ( p) x C1 的反函数不易求出，两边对 y 求导得:
dp 1 ( p ) , dy p 分离变量并求积分，得
y p ( p)dp C2 .
y T M H A
gs
dp 1 1 p2 , dx a dp x 1 p2 a C1 ,
4-2可降阶的二阶微分方程
微积分
例5、悬链线方程
如下图所示 张力大小为 , 绳索仅受重力作用
4.5
微分方程
, 其线密度为 , A 处 .
H , 沿水平方向 . 试建立悬链线方程
y
T A
a
M ( x, y)
Hox来自返回微积分例6、目标追踪问题
如图 , A 点有一目标沿平行于 从 O 点发射一导弹 若要击中目标 时的位置 .
返回
微积分
四、应用
4.5
微分方程
例4、交通事故勘察
如图 : 若在事故现场测得拖痕 刹车前的车速 长度为 10 m , 试判定
.( 车轮与地面摩擦系数为
)
10 m O
若 1 . 02 , g 9 . 81 m / s
2
x
则 v 0 14 . 15 m / s 50 . 9 km / h
4.5
微分方程
y 轴方向以速度
v 0 前进 ,
, 始终以对准目标
5 v 0 速度飞行 . 目标被击中
, 求导弹运行曲线方程及
y
y y( x )
P( x, y)
Q (1 , v 0 t )
o
y 5 8
4
A (1 ,0 )
x
5 24
返回
(1 x )
5
5 12
6
(1 x )
5
.
问题： 若 y ( n ) f ( x ), 怎么解 ?
返回
微积分
二、 y f ( x , y ) 型 特点：不显含 y . 解法： （1）换元
令 y p ( x ), 则 y dp dx .
4.5
可降阶的二阶微分方程
两端积分得
再次积分得
y′=∫f(x)dx+C1
y=∫∫f(x)dxdx+C1x +C2. 以此类推，对于n阶微分方程，连续积分n次，便得含有n个
任意常数的通解.
一、形如y″=f(x)的微分方程
【例15】
解方程y″=ex+6x. 解 连续二次积分，得
y′=ex+3x2+C1， y=ex+x3+C1x+C2.
【例18】
求微分方程yy″－y′2－y′=0的通解.
谢谢聆听
可降阶的二பைடு நூலகம்微 分方程
可降阶的二阶微分方程
下面仅讨论几种特殊类型的二阶微分方程， 我们可以通过代换将它们化成一阶的方程来解， 即对于二阶微分方程
y″=f(x,y,y′) 设法作代换把它由二阶降至一阶，再利用前 面所学的方法来求解即可.
一、形如y″=f(x)的微分方程
对于微分方程
y″=f(x)
其右端仅含自变量x，如果以y′为未知数，就是一阶微分方程，
【例16】
解方程xy″=y′lny′.
二、形如y″=f(x,y′)的微分方程
【例17】
三、形如y″=f(y,y′)的微分方程
方程
y″=f(y,y′)
(12-14)
中不显含自变量x.为了求出它的解，我们令y′=p，并利用
复合函数的求导法则把y″化为对y的导数，即
三、形如y″=f(y,y′)的微分方程
二、形如y″=f(x,y′)的微分方程
方程
y″=f(x,y′)
(12-13)
的右端不显含y.
令y′=p(x)，则
代入方程(12-13)中，得
=f(x,p)
可降阶二阶微分方程
1 e y x.
四、小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 y p( x ) , 令 y p( y ) ,
思考:
1. 方程 答: 令 如何代换求解 ? 或
均可.
一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如： 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.
故原方程通解为
y C 2e
c1 x
.
2 例 1 求方程 yy y 0 的通解.
解2
1 两端同乘 2 , y
yy y 2 d y ( ) 0, 2 dx y y
故 y C1 y,
从而通解为 y C 2e C1 x .
解3
y y , 原方程变为 y y
o
T t
对方程两边积分, 得
d x F0 t (t ) C1 dt m 2T
2
d x F0 t2 (t ) C1 dt m 2T
利用初始条件
2
得 C1 0, 于是
d x F0 t (t ) dt m 2T F0 t 2 t 3 ) C2 两边再积分得 x ( m 2 6T
dy dx , 2 y 1
dy dx , 2 y 1
可得 arctan y x C ,
将 x 0 , y 1 代入 , 得 C
4 4
,
故曲线方程为 y tan( x ) .
例
求方程 y e 2 y 0 的通解. dp 解 令 y p ( y ), 则 y p , 代入方程得 dy
关于 p(x) 的一阶方程
可降阶的二阶微分方程
可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程是指在求解过程中可以通过一些变换将其降为一阶微分方程的形式。
这种方程在物理学、工程学等领域中经常出现，因此掌握其求解方法对于理工科学生来说非常重要。
我们来看一个典型的可降阶的二阶微分方程：$$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$$其中，$p(x)$和$q(x)$是已知函数，$f(x)$是已知的非齐次项函数，$y$是未知函数。
我们可以通过一些变换将其降为一阶微分方程的形式。
我们令$y'=z$，则原方程可以写成：$$z'+p(x)z+q(x)y=f(x)$$接下来，我们再令$u(x)=\int p(x)dx$，则上式可以写成：$$\frac{d}{dx}(e^{u(x)}z)+e^{u(x)}q(x)y=e^{u(x)}f(x)$$这是一个一阶线性微分方程，我们可以通过求解它来得到原方程的解。
具体来说，我们可以先求解其齐次方程：$$\frac{d}{dx}(e^{u(x)}z)+e^{u(x)}q(x)y=0$$这个方程的通解可以表示为：$$z=c_1e^{-u(x)}-\int e^{-u(x)}q(x)ydx$$其中，$c_1$是常数。
接下来，我们可以利用常数变易法来求解非齐次方程的特解。
假设特解为$z=u(x)v(x)$，则代入原方程得到： $$\frac{d}{dx}(e^{u(x)}u'(x)v(x))+e^{u(x)}q(x)y=f(x)$$化简后得到：$$u'(x)e^{u(x)}v(x)=\frac{1}{e^{u(x)}}\int e^{u(x)}f(x)dx$$因此，特解可以表示为：$$z=u(x)v(x)=\int e^{-u(x)}\left(c_2+\int e^{u(x)}f(x)dx\right)dx$$将特解和通解相加，即可得到原方程的通解：$$y=c_1\int e^{-u(x)}dx+\int e^{-u(x)}\left(c_2+\int e^{u(x)}f(x)dx\right)dx$$这就是可降阶的二阶微分方程的求解方法。
微积分：二阶微分方程
若有两个相等的实根 ( 0)
特征根为
r1
r2
b, 2
一特解为 y1 e r1x ,
设另一特解为 y2 u( x)er1x ,
将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简，
u (2r1 b)u (r12 br1 c)u 0,
知 u 0, 取 u( x) x, 则 y2 xer1x ,
y ex (C1 cos x C2 sin x)
例6求初值问题
y
y 2 y x0 4, y
y x0
0 2
解 特征方程
r 2 2r 1 0 r1 r2 1
y (C1 C2 x)ex .
将y x0 4代入， 得C1 4，
y (4 C2 x)ex , y (4 C2 x C2 )ex .
2、不含自变量x： y=f （y，y） 这时应把y视为新变量。
令y=P，
y dp dp dy p dp dx dy dx dy
方程化为 p dp f ( y, p). dx
例 求方程 yy y2 0的通解.
解 设 y p( y), 则 y p dP , dy
代入原方程得 y P dP P 2 0, 即 P( y dP P) 0,
将y x0 2代入， 得C2 2，
y (4 2x)ex .
3.二阶常系数线性非齐次微分方程
y+by+cy=f(x) 现在讨论f(x)为： Pm(x) ; Pm(x)ex ; Pm(x)excosx 或Pm(x)exsinx 等 特殊情况。以上可合并为
f (x)=Pm(x)e ( + i) x
得齐次方程的通解为 y (C1 C2 x)er1x ;
例4 解方程y 6 y 9 y 0. 解 特征方程 r 2 6r 9 0 (r 3)2 0
可降阶的二阶微分方程
且初速度为0 , 求质点的运动规律. 解 据题意有
F0 (1 t ) mT
F0
F
F
F0 (1
t T
)
o Tt
对方程两边积分, 得
dx dt
F0 m
(t
t2 2T
)
C1
dx dt
F0 m
(t
t2 2T
)
C1
利用初始条件
得C1 0, 于是
dx F0 ( t t 2 ) d t m 2T
解法 y f ( x)dx C1, y ( f ( x)dx)dx C1x C2.
例 1 求方程 y xe x cos x 的通解.
解 y ( xe x cos x)dx xex ex sin x C1, y ( xe x e x sin x C1)dx
p C1 y, 即
故原方程通解为 y C2ec1x .
例 1 求方程 yy y2 0 的通解.
解2
两端同乘
1 y2
,
yy y2
y2
d( dx
y) y
0,
故 y C1 y, 从而通解为 y C2eC1x .
解3
原方程变为
y y
y y
,
两边积分,得 ln y ln y ln C1， 即 y C1 y，
p f ( x, p). 关于 p(x) 的一阶方程 设其通解为 p ( x,C1), 即 y ( x,C1) ,
再次积分, 得原方程的通解 y ( x,C1)dx C2.
第五节可降阶的二阶微分方程
第五节 可降阶的二阶微分方程对一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论三种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可以通过积分求得，有的经过适当的变量替换可降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量回代，从而求得所给二阶微分方程的解.内容分布图示★ ())(x f y n =型★ 例1★ 例2 ★ 例3 ★ ),(y x f y '=''型★ 例4 ★ 例5★ 例6 ★ 例7 ★ ),(y y f y '=''型★ 例8★ 例9 ★ 内容小结★ 课堂练习 ★ 习题12—5★ 返回内容要点：一、 )(x f y =''型在方程)(x f y =''两端积分，得1)(C dx x f y +='⎰ 再次积分，得[]21)(C dx C dx x f y ++=⎰⎰注：这种类型的方程的解法，可推广到n 阶微分方程)()(x f y n =，只要连续积分n 次, 就可得这个方程的含有n 个任意常数的通解.二、),(y x f y '=''型这种方程的特点是不显含未知函数y ，求解的方法是：令),(x p y =' 则)(x p y '=''，原方程化为以)(x p 为未知函数的一阶微分方程，).,(p x f p ='设其通解为),,(1C x p ϕ=然后再根据关系式,p y =' 又得到一个一阶微分方程).,(1C x dxdy ϕ= 对它进行积分，即可得到原方程的通解.),(21⎰+=C dx C x y ϕ三、),(y y f y '=''型这种方程的特点是不显含自变量x . 解决的方法是：把y 暂时看作自变量，并作变换),(y p y =' 于是，由复合函数的求导法则有.dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅=='' 这样就将原方程就化为 ).,(p y f dydp p = 这是一个关于变量y 、p 的一阶微分方程. 设它的通解为),,(1C y p y ϕ=='这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的通解.),(21C x C y dy +=⎰ϕ例题选讲：)(x f y =''型例1（讲义例1）求方程x ey x cos 2-=''满足1)0(,0)0(='=y y 的特解. 例2（讲义例2）求方程0)3()4(=-y xy 的通解.例 3 质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动. 设力F 仅是时间t 的函数: ).(t F F = 在开始时刻0=t 时,)0(0F F = 随着时间t 的增大, 此力F 均匀的减少, 直到T t =时, .0)(=T F 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律.),(y x f y '=''型例4（讲义例3）求方程02)1(222=-+dx dy x dxy d x 的通解. 例5 求微分方程初值问题. ,2)1(2y x y x '=''+ ,10==x y 30='=x y的特解.例6 求微分方程12='+''y y x 满足),1(2)1(y y '= 且当0→x 时，y 有界的特解.例7（讲义例4）设有一均匀、柔软的而无伸缩性的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂. 求绳索曲线在平衡状态时的方程.),(y y f y '=''型例8（讲义例5）求方程02='-''y y y 的通解.例9 求微分方程)(22y y y y '-'=''满足初始条件,1)0(=y 2)0(='y 的特解.课堂练习1. 求方程x y ln ='''的通解.2.求微分方程223y y =''满足初始条件1|,1|00='===x x y y 的特解. 3.一质量为m 的物体, 在粘性液体中由静止自由下落, 假设液体阻力与运动速度成正比, 试求物体的运动规律.。
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可降阶的二阶微分方程第五节可降阶的二阶微分方程在前面几节中，我们已经介绍了几种可用初等方法求解的一阶方程类型，正确而又敏捷地判定所给方程的类型从而按照所知的方法求解，这是基本的要求。
因为我们所遇到的方程，有时不易直接判定其类型，有时需要适当的运算，或作变量替换才能化为能求解的类型，读者应注意学习解微分方程的各种技巧。
对于一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论几种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可通过积分求得，有的可经过适当的变量替换可以降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量代回，从而求得二阶微分方程的解。
§5.1 «Skip Record If...»＝f(x)型的微分方程这是一种特殊类型的二阶微分方程，本章第一节例2就是这种类型，求解方法也较容易，只需二次积分，就能得它的解积分一次得«Skip Record If...»＝∫f(x)dx＋C1再积分一次得 y＝∫［∫f(x)dx＋C1］dx ＋C２上式含有两个相互独立的任意常数C1，C2，所以这就是方程的通解。
例1. 求方程«Skip Record If...»＝－«Skip Record If...»满足y｜x＝«Skip Record If...»＝－«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»＝1的特解。
解积分一次得«Skip Record If...»＝ctanx＋C1以条件«Skip Record If...»«Skip Record If...»＝1代入得C1＝0，即有«Skip Record If...»＝ctanx再积分一次得y＝ln｜sinx｜＋C2以条件y｜x＝«Skip Record If...»＝－«Skip Record If...»代入，得－«Skip Record If...»＝ln«Skip Record If...»＋C2即C2＝0于是所求特解是 y＝ln｜sinx｜。
这种类型的方程的解法，可推广到n阶微分方程«Skip Record If...»＝f(x)，只要积分n次，就能求得它的通解。
例2. 解微分方程«Skip Record If...»＝lnx＋x解积分一次得«Skip Record If...»＝xlnx ＋x＋C1积分二次得«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»x2lnx－«Skip Record If...»＋C1x＋C2积分三次得 y＝«Skip Record If...»lnx＋«Skip Record If...»＋«Skip Record If (x2)C2x＋C3§5.2 «Skip Record If...»＝f(x,«Skip Record If...»)型的微分方程这种方程的特点是不明显含有未知函数y，解决的方法是：我们把«Skip Record If...»作为未知函数，而使变换，令«Skip Record If...»＝p于是有«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»，这样可将原方程降为如下形式的一阶方程«Skip Record If...»=f(x,p)这里p作为未知函数，如能求出其通解p＝φ(x,C１)然后根据关系式«Skip Record If...»＝p即可求得原方程的通解y＝∫φ(x,C1)dx＋C2例3. 求微分方程(1＋x2) «Skip Record If...»－2x«Skip Record If...»＝0的通解解这是一个不明显含有未知函数y的方程作变换令«Skip Record If...»＝p，则«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»，于是原方程降阶为(1＋x2) «Skip Record If...»－2px＝0«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»dx积分得ln｜p｜＝ln(1＋x2)＋ln｜C1｜即 p＝C1(1＋x2)从而«Skip Record If...»＝C1(1＋x2)再积分一次得原方程的通解y＝C1(x＋«Skip Record If...»)＋C2例4. 设有柔软而无伸缩性的均匀绳索，求其两端固定且仅受自身重量作用时的形状，即求绳索曲线的方程(如图6-2)。
解取曲线上最低点N的铅直线作Oy轴，取水平方向的直线为Ox轴，ON的长暂时不定。
取曲线上任一点M，由于这时绳索处在平衡状态，故可将«SkipRecord If...»这段绳索看作刚体，这段绳索上受到三个力的作用，在N点处切线方向的张力H，在M点处切线方向的张力T，以及本身重量p＝Sμ，其中S是«Skip Record If...»的长度，μ是绳索单位长度的重量。
将力T分解为水平分力及铅直分力，并应用力的平图6-2 衡条件，可得知如下两个等式Tsinα＝SμTcosα＝H两式相除得tanα＝«Skip Record If...»S若y＝y(x)是所求曲线的方程，则«Skip Record If...»＝kS 其中k=«Skip Record If...»为消去变量S，将上式两边对x求导，得得«Skip Record If...»＝k«Skip Record If...»＝k«Skip Record If...»这就是绳索曲线所满足的微分方程，也即绳索曲线的数学模型，此方程不明显含未知函数y，设«Skip Record If...»＝p，则«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»，代入方程中得«Skip Record If...»＝k«Skip Record If...»即«Skip Record If...»＝kdx两边积分得ln(p＋«Skip Record If...»)＝kx＋C1由于在点N处x＝0，且有«Skip Record If...»＝p＝0，(因N是曲线最低点)代入上式得C1＝0，于是有p＋«Skip Record If...»＝e kx为求p，用p－«Skip Record If...»乘上式两边，整理得p－«Skip Record If...»＝－e－kx 上述两式相加，得p＝«Skip Record If...» (e kx－e－k)即«Skip Record If...»＝«Skip RecordIf...» (e kx－e－kx)积分得 y＝«Skip Record If...» (e kx＋e－kx)＋C2现在取｜ON｜＝«Skip Record If...»＝a 即得y｜x＝0＝a，得C2＝0，则所求曲线方程为y＝«Skip Record If...» (e«Skip Record If...»＋e«Skip Record If...»)此曲线为悬链线。
§5.3 «Skip Record If...»＝f(y，«Skip Record If...»)型的微分方程这种方程的特点是，不明显含自变量x，解决的方法是，可把y暂时作为这种类型方程的自变量，作变换，令«Skip Record If...»＝p于是«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»«Skip Record If...»＝p«Skip Record If...»这样可将原方程降一阶而成为关于p与y的一阶微分方程，将«Skip Record If...»，«Skip Record If...»代入原方程得p«Skip Record If...»＝f(y，p)若其通解为 p＝φ(y,C1)换回原来的变量，便有«Skip Record If...»＝φ(y,C1)这是可分离变量的一阶微分方程，对其积分得通解∫«Skip Record If...»dy＝x＋C２例5. 解方程(«Skip Record If...»）2－y«Skip Record If...»＝0解这方程不明显含有x，令«Skip Record If...»＝p，于是«Skip Record If...»＝p«Skip Record If...»，代入方程得p2－yp«Skip Record If...»＝0即 p(p－y«Skip Record If...»)＝0由此有 p＝0，或p－y«Skip Record If...»＝0其中由 p＝0，即«Skip Record If...»＝0，得y＝常数而 p－y«Skip Record If...»＝0，可化为«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»积分得ln｜p｜＝ln｜y｜＋ln｜C1｜即 p＝C1y即有«Skip Record If...»＝C1y即«Skip Record If...»dy＝C1dx两边积分得ln｜y｜＝C1x＋ln｜C２｜故 y＝C2e«Skip Record If...»在上式中令C1＝0得y＝常数，因此当p＝0时的解y＝常数已包含在y＝C2e«Skip Record If...»所以，y＝C2e«Skip Record If...»即为所求方程的通解。