医学统计学：04 抽样误差与区间估计
统计学中的抽样误差和误差估计
统计学中的抽样误差和误差估计在统计学中，抽样误差和误差估计是两个重要的概念。
抽样误差是指由于从一个总体中选取样本而引起的误差，而误差估计则是通过对样本进行统计推断来估计总体参数的误差。
本文将对这两个概念进行详细的探讨。
一、抽样误差抽样误差是由于样本选择不完全代表总体而导致的误差。
在实际研究中，我们很难对整个总体进行研究，通常只能通过选取样本来进行研究和推论。
然而，由于样本的选取可能带来一定的偏差，这就引入了抽样误差。
抽样误差可以分为两种类型：随机抽样误差和非随机抽样误差。
随机抽样误差是指由于样本本身的随机性导致的误差，而非随机抽样误差则是由于样本选择过程中的偏好或错误引起的误差。
为了减小抽样误差，我们可以采用一些抽样技术和方法，如简单随机抽样、分层抽样和整群抽样等。
这些方法可以使得样本更好地代表总体，从而减小抽样误差的影响。
二、误差估计误差估计是通过对样本的统计推断来对总体参数进行估计的过程。
由于我们无法对总体进行直接观察，所以只能通过样本来对总体进行估计。
然而，由于样本只是总体的一部分，所以估计值往往与总体参数存在差异，即误差。
误差估计是通过样本统计量来估计总体参数，并给出一个区间估计或点估计。
常见的误差估计方法有置信区间估计和均方误差估计。
置信区间估计通过构建一个区间来估计总体参数的真值范围，而均方误差估计则是通过计算样本估计值与总体参数的差异平方和来估计误差的大小。
误差估计可以帮助我们评估样本估计的可靠性和准确性，并提供对总体参数的一定程度的推断。
通过对误差的估计，我们可以对统计结果的可信度进行评估，并对决策或结论的合理性进行判断。
总结：在统计学中，抽样误差和误差估计是两个非常重要的概念。
抽样误差是由于样本选择不完全代表总体而引起的误差，而误差估计则是通过对样本进行统计推断来估计总体参数的误差。
通过减小抽样误差和进行误差估计，我们可以提高统计结果的准确性和可靠性，从而做出更为科学和合理的结论或决策。
概率与统计中的抽样误差与置信区间
概率与统计中的抽样误差与置信区间在概率与统计学中，抽样误差和置信区间是两个重要的概念。
抽样误差是指由于采样过程中的随机性所导致的估计值与真实值之间的差异。
而置信区间则是用于估计参数真值的一种统计区间。
一、抽样误差在统计学中，我们往往无法对总体所有个体进行观察和测量，而是通过从总体中抽取样本来进行研究。
抽样误差是由于所选样本的随机性而引起的估计误差。
当我们从总体中抽取不同的样本时，得到的样本统计量（如样本均值、样本比例）会有所不同，这种差异就是抽样误差。
抽样误差是概率性的，它会导致估计值偏离真实值。
为了评估估计值的精确性，我们需要考虑抽样误差的大小。
通常，抽样误差的大小与样本容量相关，样本容量越大，抽样误差越小，估计值越接近真实值。
二、置信区间抽样误差与置信区间密切相关。
在统计推断中，当我们根据样本统计量对总体参数（如总体均值、总体比例）进行估计时，往往需要给出一个估计值的范围，这个范围就是置信区间。
置信区间提供了一个估计值的范围，表示我们对真实参数值的信心程度。
一般来说，置信区间具有两个边界，下界和上界。
置信区间的计算需要考虑样本容量、抽样误差和置信水平等因素。
置信水平表示我们对估计值落在置信区间内的程度的信心。
常用的置信水平有95%和99%。
以估计总体均值为例，假设我们从总体中抽取了一个样本，计算得到样本均值为x，样本标准差为s，样本容量为n。
若假设总体服从正态分布或样本容量较大（满足中心极限定理），那么我们可以使用正态分布来计算置信区间。
根据置信水平和抽样误差，我们可以通过公式计算出置信区间的下界和上界。
三、示例假设我们想要估计某城市成年人的平均身高。
我们从该城市中随机抽取了100个成年人进行测量，得到样本均值为170cm，样本标准差为5cm。
我们希望以95%的置信水平估计该城市成年人的平均身高。
根据样本数据和公式，可以计算出置信区间的下界和上界：下界 = 样本均值 - 抽样误差上界 = 样本均值 + 抽样误差首先，计算抽样误差：抽样误差 = 1.96 * （样本标准差/ √样本容量）然后，代入样本数据计算下界和上界：下界 = 170 - 1.96 * （5 / √100）上界 = 170 + 1.96 * （5 / √100）计算结果为：下界≈ 168.04cm上界≈ 171.96cm因此，我们可以以95%的置信水平得出结论，该城市成年人的平均身高的置信区间为（168.04cm，171.96cm）。
医学统计学名词解释简答
●【抽样误差】由抽样引起的样本统计量与总体参数间的差别。
原因：个体变异＋抽样 表现：样本统计量与总体参数间的差别、不同样本统计量间的差别。
抽样误差是有规律的 ●【可信区间CI 】区间估计是按一定的概率或者可信度1-α，用一个区间估计总体参数所在的范围CI ，这个范围成为可信度为1-α的可信区间，置信区间。
影响：可信度、个体差异、样本含量 两要素：可信度1-α、可靠性；精确性可信度为95%的CI 涵义：每100个样本计算95%的CI ，平均有95%的CI 包含了总体参数。
95%，指方法本身，而非某个区间。
该区间包含总体参数，可信度为95%●【总体和样本】根据研究目的确定的同质的所有观察单位的某种变量值的集合。
样本是指在研究总体中随机抽出一部分个体进行观察或测量，这些个体的测量值构成的集 ●【参数和统计量】描述总体特征的指标，不变的，固定的，未知的统计量：描述样本特征的指标，变化的，已知的，有误差的●【概率和小概率原理】描述某随机事件发生可能性大小的度量，记做P ，取值0＜P ＜1 小概率原理：P ≤0.05，该事件发生的可能性很小，进而认为在一次抽样中不可能发生 ●【随机】机会均等、随机抽样、随机分组、实验顺序随机●【变异系数CV 】离散系数，标准差S 、均数之比。
用来衡量单位不同的多组资料的变异度、比较均数相差悬殊的多组资料的变异度●【相关系数】两个有直线关系的变量间相关关系的密切程度与相关方向的指标，记做r ，-1≤r ≤1，正、负相关，其绝对值越大表示关系越密切，越接近于0相关越不密切 ●【回归系数】b 回归直线的斜率,自变量增加一个单位，应变量的平均改变量●【标准误】样本统计量的标准差，衡量抽样误差的大小 ●【偏倚】实验中某些非实验因素的干扰所形成的系统误差，歪曲了处理因素的真实效应 ●【一类错误、二类错误】【检验效能】1－β 就是对真实的H 1作出肯定结论之概率●【假设检验中的P 值】从 H0 总体中随机获得等于或大于现有统计量值的概率。
第四章抽样误差与区间估计.ppt
Z X
Z变换
标准正态分布
N（0，12）
均数 X
N(, 2 n)
Z X n
标准正态分布
N（0，12）
Student t分布
t X X ,
S n SX
v n 1 自由度：n-1
2020-11-9
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10
f(t)
ν─>∞(标准正态曲线)
ν=5
ν=1
f (t) ( 1) 2 (1 t 2 / )( 1) 2
0.1580
250
200
150
100
50
0 3.71 3.92 4.12 4.33 4.54 4.74 4.95 5.15 5.36 5.57 5.77 5.98 6.19
均数
n 30; SX 0.0920
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频数
450 400 350 300 250 200 150 100
50 0 3.71 3.92 4.12 4.33 4.54 4.74 4.95 5.15 5.36 5.57 5.77 5.98 6.19 均数
第四章 抽样误差与区间估计
2020-11-9
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1
第一节 均数的抽样误差与标准误
例如，从总体均数 =4.83×1012/L、标准差 =0.52×1012/L 的正态分布总体
N(4.83, 0.522)中，随机抽取 10 人为一个样本（n=10），并计算该样本的均数、标
准差。如此重复抽取 100 次（ g =100），可得到 100 份样本，可得到 100 对均数
( 2)
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
抽样误差与区间估计
ν =10的t分布图
f ( t)
t 界值表
（P406，附表2）
举例：
t
1.812
-2.228
2.228
① 10，单 =0.05，t , t0.05,10 1.812 ，则有
P(t 1.812) 0.05 或 P(t 1.812) 0.05
② 10，双 =0.05，t
标准误(standard error, SE)
即样本均数的标准差，可用于衡量抽样误差的大 小。
总体标准误
X
总体标准差
因通常σ 未知，计算标准误采用下式： 样本标准差 抽样误差的 S 估计：（抽 S X 样误） 通过增加样本 n
样误差。
n
含量n来降低抽
表4-1计算了100个样本的标准差S，由此可 计算每一样本的抽样误差大小。
6190 3556
0.20
0.42 11.54
30 ① 26 ① 410 ①
466 ①
②
814 24764 ①
②
甲矿工人尘肺患病标准率=814/24764=3.29% 乙矿工人尘肺患病标准率=466/24764=1.88%
第四章 抽样误差与区间估计
第一节 均数的抽样误差与标准误
两个样本均数（或率）之间的差别有 两种可能： 一是由抽样误差引起的，即，两 个样本来自同一个总体，但是组成样本 的个体不同。由于个体差异引起样本均 数（或率）不同。 二是由处理因素引起的，即， 两个样本来自不同两个总体，由于处理 因素不同引起样本均数（或率）不同。
30 25 20
频数
15 10 5 0 4.2~ 4.3~ 4.4~ 4.5~ 4.6~ 4.7~ 4.8~ 4.9~ 5.0~ 5.1~ 5.2~ 红细胞数（×1012 /L）
四章抽样误差与区间估计
420220500 150 100 50 0
频数
3.71 3.92 4.12 4.33 4.54 4.74 4.95 5.15 5.36 5.57 5.77 5.98 6.19
均数
均数
3.71 3.92 4.12 4.33 4.54 4.74 4.95 5.15 5.36 5.57 5.77 5.98 6.19
随机变量X N（，2）
Z X
Z变换
标准正态分布
N（0，12）
均数 X
N(,2 n)
Z X n
标准正态分布
N（0，12）
Student t分布
tXX,
S n SX
vn1自由度：n-1
f(t)
ν─>∞(标准正态曲线)
ν=5
ν=1
f(t) ( (1 )2 2 )(1t2/) ( 1 )2
-5.0
3个抽样实验结果图示
抽样实验小结
均数的均数围绕总体均数上下波动。 均数的标准差即标准误 X 与总体标
准差 相差一个常数的倍数，即 / n X 样本均数的标准误（Standard Error) =样本标准差/ 样本含＝量 S n 从正态总体N(,2)中抽取样本，获得
均数的分布仍近似呈正态分布N(,2/n) 。
106 .63
57.15
卡方界值见 P407附表3
第五节 率的抽样误差与可信区间
一、率的抽样误差与标准误 二、总体率的可信区间
一、 率的抽样误差与标准误
样本率(p)和总体率(π)的差异称为率的抽 样误差(sampling error of rate) ，用率的标 准误（standard error of rate）度量。
本 例 n = 8 0 ，S 2 = 2 2 5 , 若 求 总 体 方 差 9 5 ％ 可 信 区 间 ， 0.05，
医学统计学抽样误差均数估计
前者称为理论标准误，后者称为样本标准误。
医学统计学抽样误差均数估计
•与样本含量的关系
n 越大，均数的均数就越接近总体均数； n 越大，变异越小，分布越窄； 对称分布接近正态分布的速度，大于非对称
分布。分布越偏，接近正态分布所需样本含 量就越大。
医学统计学抽样误差均数估计
医学统计学抽样误差均数估计
• 4 1 N 5 . 0 0 0 . 5 0
2
1 1
n = 1 0
）
（据数的本样机随个
中体总）
，
（
、表
医学统计学抽样误差均数估计
医学统计学抽样误差均数估计
医学统计学抽样误差均数估计
结论 1
n 各样本均数未必等于总体均数； n 样本均数间存在差异；
医学统计学抽样误差均数估计
➢ 样本统计量与总体参数间的差别 ➢ 不同样本统计量间的差别
抽样误差是不可避免的！ 抽样误差是有规律的！
医学统计学抽样误差均数估计
•均数的模拟试验
假设一个已知总体，从该总体中抽样，对每 个样本计算样本统计量(均数、方差等)，观察 样本统计量的分布规律－－抽样分布规律。
正态分布总体 偏三角分布总体 均匀分布总体 指数Ｆ分布总体 双峰分布总体
■样本均数的均数为 μ;
பைடு நூலகம்
■样本均数的标准差为
。
医学统计学抽样误差均数估计
3.标准误
standard error
抽样误差 中心极限定理 标准误 分布 参数估计
医学统计学抽样误差均数估计
•标准误(standard error)
样本统计量的标准差称为标准误。样本均数的标准 差称为均数的标准误。
04抽样误差和可信区间---经典--易懂
标准误的计算
X 计算公式为 n
其中，σ为总体标准差，n为抽样的样
本例数 在研究工作时，由于总体标准差常常 未知，可以利用样本标准差近似估计
s sX n
标准误的意义
反映了样本统计量（样本均数，样本率）分布的 离散程度，体现了抽样误差的大小。 标准误越大，说明样本统计量（样本均数，样本 率）的离散程度越大，即用样本统计量来直接估 计总体参数越不可靠。反之亦然。 标准误的大小与标准差有关，在例数n一定时， 从标准差大的总体中抽样，标准误较大；而当总 体一定时，样本例数越多，标准误越小。说明我 们可以通过增加样本含量来减少抽样误差的大小。
σ= 4.38cm
x ＝123.23cm
s= 3.25cm
X 120.81cm s =4.33cm
三次抽样得到了不同的结果，原因何在？
不同男童的 身高不同 每次抽到的 人几乎不同
个体变异
随机抽样
抽样误差
抽样误抽样 研究中产生样本统计量和总体参数之 间的差异，称为抽样误差（sampling error）。
Medical statistics
医学统计学
抽样误差和可信区间
Sampling Error & Confidence Intervals
主要内容(Content)
抽样误差及其规律性 标准误
抽样分布与t分布
统计推断与参数估计 总结
一．均数的抽样误差(sampling error) 与标准误(standard error, SE)
各种参数都有抽样误差，这里我们以均数为 研究对象
抽样误差的表现
抽 样 误 差 的 表 现
样本均数和 总体均数间 的差别 X
医学统计学：04 抽样误差与区间估计
若 X ~ N(μ,σ2) , 则
X ~ N (0,1)。
因 X ~ N(, X 2 ),
则
u X ~ N (0,1)
。
X
19 魏永越
t 分布的概念
实际工作中，总体方差未知。所以，用样本
方差代替总体方差， 且当样本含量较小时
X 的分布如何？
s X
20 魏永越
t分布起源
魏永越
http://www.economics.soton.ac. uk/staff/aldrich/fisherguide/raffra21 me.htm
x = 118.4cm
S =4.41cm
3
魏永越
μ＝119.41cm σ= 4.38cm
X 118.21cm s=4.45cm
X 120.18cm s=4.90cm
X 117.78cm s=3.98cm
X 120.81cm s=4.33cm
X 119.87m s=5.15cm
4
导致总体均数与样本均数、样本均数之间有 差别的可能原因是？
27 魏永越
从连续性变量X中反复随机抽样，随样本含量n增
大，x 将趋于（ ）
s x
A X的原始分布
B 正态分布
C 均数的抽样分布
D 标准正态分布
28 魏永越
下面关于标准误的四种说法中，哪一种最不 正确（ ）
A 标准误是样本统计量的标准差 B 标准误反映了样本统计量的变异 C 标准误反映了总体参数的变异 D 标准误反映了抽样误差的大小
Sampling Distribution of sample means
Sampling Distribution
of sample means 14
数据的抽样误差与置信区间估计
数据的抽样误差与置信区间估计在统计学中，数据的抽样误差是指由于从总体中抽取样本，而使得样本估计值与总体真实值之间存在差异的问题。
为了解决这个问题，统计学家们引入了置信区间估计的概念，用于对总体参数进行估计，并给出一个具有一定置信水平的区间。
一、抽样误差的产生原因抽样误差是由于从总体中随机抽取样本导致的。
在理想情况下，如果我们能够对总体中每一个个体进行测量，那么得到的结果将是总体参数的准确值。
然而，由于时间、成本和其他限制因素的存在，我们通常只能从总体中选取一部分样本进行研究。
这样一来，样本的结果就可能与总体的真实情况存在差异，这就是抽样误差的产生原因。
二、置信区间估计的概念为了解决数据的抽样误差问题，统计学家们引入了置信区间估计的方法。
置信区间是对总体参数进行估计的一种方法，其中包含了总体参数的真实值可能位于其内的一定区间。
这个区间称为置信区间。
置信区间估计的核心思想是通过对样本数据的分析，构建一个区间，该区间有一定的置信水平包含了总体参数的真实值。
例如，我们可以说我们对于总体平均值有95%的置信水平，它位于构建的置信区间内。
置信水平通常使用95%或者99%。
三、置信区间估计的计算方法置信区间估计的计算方法主要有两种：参数估计法和非参数估计法。
参数估计法是在假设总体分布形式已知或者对其做出某种特定假设的前提下，通过对样本数据进行参数估计，建立置信区间。
常见的参数估计法有Z检验和T检验。
非参数估计法则是在对总体分布形式不做任何假设的情况下，通过样本数据的排序、秩次和分布特征等进行推断，建立置信区间。
四、置信区间估计的应用置信区间估计在实际应用中非常广泛。
它可以用于估计总体参数的范围，帮助我们对样本结果进行合理解释，并提供决策依据。
在市场调研中，我们可以利用置信区间估计来估计消费者对某个产品的满意度范围，并据此调整和改进产品。
在医学研究中，置信区间估计可以帮助我们估计某种药物的有效性，并进行相应的临床试验和改良。
医学统计学：第四章 抽样误差与参数估计
15
中心极限定理和正态分布推理
中心极限定理：也称大数定理，从正态分布 N (, 2 )
总体中以固定 n 抽样时，样本均数 X 的分布仍服从正态
分布 N(, 2 ) 。 X
X
~
N
,
2
n
正态分布推理：当样本含量 n 足够大时，即使从偏态分
布总体中以固定 n 抽样，其样本均数的分布也近似服从
在实际工作中，可通过适当增加样本含量和 减少观察值的离散程度（选择同质性较好的 样本）来减少抽样误差。
18
§2 t 分布和总体均数的估计
一、t分布的概念
为了应用方便，常将正态变量进行变换，即，
u X
可将一般的正态分布变换为标准正态分布。
根据中心极限定理，在正态分布总体N (, 2 ) 中以固定
样本个数
4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500
0
149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161
样本均数(cm) 从正态总体N(1554,53)中以n=30抽样10000次
样本均数的分布
从正态总体N(155.4,5.3)中以样本量n=30抽样10000次样本均数 X 的描述结果
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
图 6 从正态总体 N（，2）中 n=10 抽样时的 t 分布
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
-6.5
-6
医学统计学重点总结
样本统计量的标准差称为标准误。
2
都表示变异的大小；
3
样本含量一定时，标准差越大，标准误越大。
1
联系：
标准误与标准差（1）
标准差
01
含义：
02
一组变量值离散程度；
03
标准差越小，均数的代表性越好；
04
应用： 估计参考值范围；
05
与n的关系：样本含量越大，标准差越稳定，n 很大时，标准差趋向于总体标准差。
7. X±2.58s包括变量值的 A. 68.3% B. 90.0% C. 95.0% D. 99.0% 8. 均数与标准差之间的关系是 A.标准差越小，均数代表性越好 B. 标准差越小，均数代表性越差 C. 均数越大，标准差越小 D. 均数越大，标准差越大 9.分析定性资料时，最常用的显著性检验方法是 A.t检验 B.正态检验 C.U检验 D.χ2检验 10.四格表如有一个实际数为0 A.就不能做χ2检验； B.就不能用校正χ2检验； C.还不能决定是否可做χ2检验； D.肯定可做校正χ2检验。
43
10
53
40
16
56
83
26
109
40.36
12.64
42.64
11.36
T11=53× 83/109=40.36 T12=53× 26/109=12.64 T21=56× 83/109=42.64 T22=56× 26/109=13.36
既非呈连续分布的定量资料，也非仅按性质归属于独立的若干类的定性资料；
线性相关
01
列联相关
03
等级相关
02
线性回归
04
相关与回归
1 ≤ r ≤ 1
r＜0为负相关
区间估计和误差计算
（二）区间估计区间估计是指用样本指标、抽样误差和概率所构造的区间以估计总体指标存在的可能范围。
在进行区间估计的时候，根据所给定的条件不同，总体平均数和总体成数的估计有两条模式可供选择： 第一套：给定置信度要求，去推算抽样误差的可能范围。
第二套：根据已给定的抽样误差范围，求出概率保证程度。
1. 总体平均数的区间估计按照第一套模式，根据置信度F t ()的要求，估计极限抽样误差的可能范围)(∆∆∆或p x ，并指出估计区间（置信区间）。
具体步骤是：（1）抽取样本，并根据调查所得的样本单位标志值，计算样本平均数x ；计算样本标准差；在大样本下用以代替总体标准差推算抽样平均误差μ。
（2）根据给定的置信度F t ()的要求，查《正态分布概率表》，求得概率度t 值。
（3）根据概率度t 和抽样平均误差μx 计算极限抽样误差的可能范围μxx t =∆，并据以计算置信区间的上下限。
例14 麦当劳餐馆在7周内抽查49位顾客的消费额（元）如下，求在概率95%的保证下，顾客平均消费额的置信区间。
15 24 38 26 30 42 1830 25 26 34 44 20 3524 26 34 48 18 28 4619 30 36 42 24 32 4536 21 47 26 28 31 4245 36 24 28 27 32 3647 35 22 24 32 46 26第一步：根据样本计算样本平均数和标准差：x x n ==∑32 （元） S n x x ==-∑2945().（元），用样本标准差代替总体标准差σ=945.（元） 样本平均误差 x n μσ===94549135..（元）第二步：根据给定的置信度F t ()=95%，查概率表得t =196. 第三步：根据概率度t 和抽样平均误差推算抽样极限误差的可能范围。
65.235.196.1=⨯==∆μxx t （元） 将μxx ,的值代入区间估计公式 )(65.34)(35.2965.23265.232元元≤≤+≤≤-+≤≤-∆∆X X x X x xx计算结果表明，以95%的概率保证，麦当劳餐馆顾客消费额在29.35~34.65元之间。
医学统计学课件-总体率的区间估计ppt课件
按二项分布原理估计总体率的可信区间。因其
计算相当复杂，统计学家已经编制了总体率可
信区间估计用表，读者可根据样本含量n和阳
性数x查阅统计学专著中的附表。
.
4
后面内容直接删除就行 资料可以编辑修改使用 资料可以编辑修改使用
资料仅供参考，实际情况实际分析
.
5
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• 总体率（π）99%的可信区间： p2.58Sp
• 例: 中父亲饮酒与否的高中生饮酒率95%可信区间为： 父亲不饮酒组：13.95﹪±1.96×2.16﹪=9.7164﹪～18.1836﹪ 父亲饮酒组： 35.34﹪±1.96×2.50﹪=30.44﹪～40.24﹪
.
3
2、查表法（略）
•
当n较小，如n≤50，特别是p接近0或1时，
.
7
Байду номын сангаас
S p 2
0 .02 2 5 .0% 0 5 365
.
2
二、总体率的区间估计 • 1、正态近似法 • 当样本含量n足够大，样本率p或1-p均不太小时（如np和n（1-
p）均大于5），样本率的分布近似正态分布，总体率的可信区 间的估计由下列公式估计：
• 总体率（π）95%的可信区间： p1.96Sp
• 例10-4中父亲不饮酒者
• 父亲不饮酒者
•
n1 25;8 x1 36
p1 362580.1395
•
n2 365 x2 129 p2 1239650.3534
0 .13 1 9 0 .1 53 95
S p
0 .02 2 1 .1% 6 6 258
0 .35 1 3 0 .3 45 34
2021临床医学 临床医学-预防医学-医学统计方法-分类变量资料的统计分析 -率的抽样误差及区间估计
本例 ： n=200 ｐ=825%=0825
Sp
p(1 p) n
0.825(1 0.825) 2.69% 200
四、总体率的区间估计
1、正态近似法：当样本含量n足够大（n>50），且样本率p和 （1-p）均不太小，如np与n1-p均≥5时 总体率的95%可信区间为：p± 总体率的99%可信区间为：p± 2、查表法：当样本含量较小时，特别是当样本率 非常接近0或1 时。可以以样本含量为行，样本阳性结局观察例数为列查附表6 百分率的可信区间表，得到总体率的可信区间。
率的抽样误差及区间估计
作者 孙怡
单位 山东医专
一、率的抽样误差
由随机抽样造成的样本率和总体率的差异，以及各 样本率之间的差异，称为率的抽样误差。
二、率的标准误
概念：反映率的抽样误差大小的指标 计算公式：
1
p
n
σp: 为率的标准误 Sp: 为率的标准误的估计值，
p1 p
Sp
n
三、率的标准误的意义
例：为观察某药治疗冠心病的疗效，对200名患者治疗的效果进 行调查，结果为165人有效，有效率为825%。计算该药治疗冠心 病的有效率95%的可信区间。
95%可信区间为：p± = 825%±196×269% 即：7723%~8777%
请复习：率的标准误的意义及计算 谢谢！
率的标准误是描述率的抽样误差大小的指标。率的标准误小，说明抽 样误差小，表示样本率与总体率接近，用样本率代表总体率的可靠性 大；反之，率的标准误大，说明抽样误差大，表示样本率ห้องสมุดไป่ตู้总体率相 距较远，用样本率代表总体率的可靠性小。
例 为观察某药治疗冠心病患者的疗效，对200名患者治疗 的效果进行调查，结果为165人有效，有效率为825%。计 算该药治疗冠心病的有效率的标准误。
医学统计学课件-总体率的区间估计
当n较小，如n≤50，特别是p接近0或1时，
按二项分布原理估计总体率的可信区间。因其
计算相当复杂，统计学家ห้องสมุดไป่ตู้经编制了总体率可
信区间估计用表，读者可根据样本含量n和阳
性数x查阅统计学专著中的附表。
4
• 例10-4中父亲不饮酒者
• 父亲不饮酒者
•
n1 258; x1 36
p1
36 258
0.1395
•
n2 365
x2 129
p2
129 365
0.3534
Sp
0.1395 1 0.1395 0.0216 2.16%
258
0.3534 1 0.3534
•
S p
p 1 p n
样本阳性率
1
• 例: 某研究组欲研究高中生饮酒（每周饮酒一次以上）
与父亲饮酒之间的关系。在某地随机抽取了一个街区家 中有高中学生的父亲进行调查，258个父亲不饮酒，其子 饮酒的有36人；365个父亲饮酒，其子饮酒的有129人， 计算父亲饮酒与否的高中生饮酒率及其标准误。
率的抽样误差与标准误从一个总体种随机抽出观察数相等的多个样本样本率与总体率各样本率p之间往往会有差异这种差异被称做率的抽样误差
一、 率的抽样误差与标准误
从一个总体种随机抽出观察数相等的多个样本，样本率与 总体率(π)、各样本率(p)之间往往会有差异，这种差异被称做 率的抽样误差。率的抽样误差用率的标准误表示，计算公式如 下：
• 总体率（π）99%的可信区间： p 2.58 S p
• 例: 中父亲饮酒与否的高中生饮酒率95%可信区间为： 父亲不饮酒组：13.95﹪±1.96×2.16﹪=9.7164﹪～18.1836﹪ 父亲饮酒组： 35.34﹪±1.96×2.50﹪=30.44﹪～40.24﹪
抽样误差区间估计
X s
值的
分布(n=4)
X
.35
均数为 0.05696
标准差为 1.55827
.3
.25
Fraction
.2
.15
.1
.05
0
-8 -6 -4 -2
0
2
4
6
8
t
29
t 分布的概念
用样本方差代替总体方差，此时
X
s X
不服从正态分布。
30
t 分布的概念
1908 年 ， W.S.Gosset (1876-1937) 以 笔 名 Student发表了著名的t分布，证明了：
15
2.中心极限定理
central limit theorem
抽样误差 中心极限定理 标准误 抽样分布 参数估计
.15
样本均数服从正态分布
.1
.05
0
正态总体分布
80.0
90.0
100.0
110.0
120.0
Sample Mean
从N(100,62)中随机抽样，样本含量为4的 1000个样本均数的频率分布图
23
标准误的意义
s sx n
反映了样本统计量分布的离散程度，体现了抽样 误差的大小。
标准误越大，说明样本统计量的离散程度越大， 即用样本统计量来直接估计总体参数越不精确。 反之亦然。
标准误的大小与标准差有关，在例数n一定时，从 标准差大的总体中抽样，标准误较大；而当总体 一定时，样本例数越多，标准误越小。说明我们 可以通过增加样本含量来减少抽样误差的大小。
42
F分布
设 从 两 个 方 差 相 等 的 正 态 分 布 N(1,2) 和
第四章抽样误差与区间估计
标准误（standard error, SE）：样本统计量的标准差。 均数的标准误（SEM ， X ） ： 即样本均数的标准差。
样本观测值的标准差与样本均数的标准误的比较： 1.标准差与标准误都反映数据的离散性； 2.标准差的大小反映各个个体的观测值X之间的变异
程度（离散程度），标准误的大小反映各个样本均 数X间的变异程度（离散程度），也反映了样本均 数代表总体均数的可靠性。
2.两者的计算公式有差别：可信区间用了标准误，参考值 范围用了标准差。
补充题 152例麻疹患儿病后血清抗体滴度倒数的分布如下，试 作总体几何均数的点值估计和95%区间估计。
152例麻疹患儿病后血清抗体滴度倒数的分布
滴度倒数 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 合计
人 数 0 0 1 7 10 31 33 42 24 3
的大小有关。自由度越小，则t值越分散，曲 线越低平；自由度逐渐增大时，t分布逐渐逼 近u分布；当= 时，t分布即为u分布。 t分布曲线下总的面积等于1，即t值落入区间 （- ， ）内的概率为1。t值落入任一区间 （t1，t2）内的概率等于该区间内曲线和横坐 标轴所夹的面积。
附表2 t界值表通式： 单侧：P（t -t ,)= , 或P（t t ,)= 双侧: P（t -t /2,) + P（t t /2,)= 图中非阴影部分面积的概率为: P（ -t /2, < t < t /2,)= 1-
第三节 总体均数的估计
参数估计是指用样本指标值估计总体指标值。 包括点估计和区间估计。
点估计： 就是用样本统计量直接作为总体参数的估计值。
区间估计： 即按预先给定的概率（1-）确定包含未知总体 参数的可能范围。该范围称为参数的可信区间或 置信区间 ，预先给定的概率称为可信度或置信 度，常取95%或99%。 可信区间的确切含义指的是：有1- 的可能认 为计算出的可信区间包含了总体参数。
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Sampling Distribution of sample means
Sampling Distribution
of sample means 14
与样本含量的关系
n 越大，均数的均数就越接近总体均数； n 越大，变异越小，分布越窄；
对称分布接近正态分布的速度，大于非对称 分布。分布越偏，接近正态分布所需样本含 量就越大。
x = 118.4cm
S =4.41cm
3
魏永越
μ＝119.41cm σ= 4.38cm
X 118.21cm s=4.45cm
X 120.18cm s=4.90cm
X 117.78cm s=3.98cm
X 120.81cm s=4.33cm
X 119.87m s=5.15cm
4
导致总体均数与样本均数、样本均数之间有 差别的可能原因是？
抽样误差 与区间估计
从一个例子来谈抽样误差
假如事先知道某地七岁男童的平均身高为 119.41cm。研究者从所有符合要求的七岁男 童中每次抽取100人，共计抽取了五次。
2 魏永越
μ=119.4cm σ = 4.38cm
魏永越
119.4 u
122.7 121.0 118.1 108.3 124.5 121.1 115.8 120.9 117.9 ……
5 魏永越
抽样误差的定义
五次抽样得到了不同的结果，原因何在？
不同男童的 身高不同
每次抽到的 人几乎不同
个体变异
随机抽样
抽样误差
6 魏永越
抽样误差的表现
抽 样 误 差 的 表 现
魏永越
样本均数和 总体均数间 的差别 Xi
样本均数和 样本均数间 的差别 Xi X j
7
抽样误差
★★★★★
定义：
V(x2)=S22，则x1+x2的方差为？
11 魏永越
中心极限定理(central limit theorem)
Case 1:
从正态分布总体N(μ,σ) 中随机抽样(每个样 本的含量为n[如10])，可得无限多个样本[如 1000次]，每个样本计算样本均数，则样本 均数也服从正态分布。
样本均数的均数为 μ;
若 X ~ N(μ,σ2) , 则
X ~ N (0,1)。
因 X ~ N(, X 2 ),
则
u X ~ N (0,1)
。
X
19 魏永越
t 分布的概念
实际工作中，总体方差未知。所以，用样本
方差代替总体方差， 且当样本含量较小时
X 的分布如何？
s X
20 魏永越
t分布起源
魏永越
http://www.economics.soton.ac. uk/staff/aldrich/fisherguide/raffra21 me.htm
15 魏永越
抽样误差的规律性(1)
均数的抽样误差规律：
在样本含量足够大时，无论总体分布如何，其均 数的分布趋于正态分布
16 魏永越
如果样本含量较小时均数的抽样分布
f(t)
(标准正态曲线)
=3
0.3
？
0.2
0.1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
17
魏永越
t 分布
18 魏永越
正态分布的标准化变化
样本均数的标准差为
x
n
。
12 魏永越
中心极限定理(central limit theorem)
Case 2:
从非正态分布总体(均数为μ，方差为σ)中随 机抽样(每个样本的含量为n)，可得无限多个 样本，每个样本计算样本均数，则只要抽样 次数足够大(n>50),样本均数也近似服从正态 分布。
样本均数的均数为 μ;
样本统计量的抽样分布规律是统计推 断(statistical inference)的理论基础。
只 有 了 解 抽 样 分 布 规 律 ， 才 能 深 刻 理 解统计推断的内涵。
24 魏永越
x 表示总体均数的标准误。( )
sx 表示样本均数的标准误。( )
同一批数值变量资料的标准差不会比标准误大。( ) 即使变量X偏离正态分布，只要每次抽样的样本数足
9 魏永越
标准误(standard error)
样本统计量的标准差称为标准误。
样本均数的标准差称为均数的标准误。
均数的标准误表示样本均数的变异度。
这个公式是怎 么来的？
x
n
sx
s n
前者称为理论标准误，后者称为样本标准误。
10 魏永越
已知变量x的方差V(x)=S2，则2x的方差为？ 已知变量x1的方差V(x1)=S12，变量x2的方差
由于个体变异的存在,由抽样引起的样本统计量与总 体参数间的差别。
原因：个体变异＋抽样
表现：
不同样本统计量间的差别
样本统计量与总体参数间的差别
抽样误差是不可避免的！ 抽样误差是有规律的！
8 魏永越
均数的抽样误差之特点
各样本均数未必等于总体均数； 样本均数间存在差异； 样本均数的分布很有规律；
27 魏永越
从连续性变量X中反复随机抽样，随样本含量n增
大，x 将趋于（ ）
s x
A X的原始分布
B 正态分布
C 均数的抽样分布
D 标准正态分布
28 魏永越
下面关于标准误的四种说法中，哪一种最不 正确（ ）
A 标准误是样本统计量的标准差 B 标准误反映了样本统计量的变异 C 标准误反映了总体参数的变异 D 标准误反映了抽样误差的大小
样本均数的标准差为
x
。
n
13 魏永越
样本均数的抽样分布
n=2 n=4 n=10
X Population C
n=25
魏永越
Sampling Distribution of sample means
X Population B
Population A
X
X
Population DXX XXSampling Distribution of sample means
t 分布的概念
用样本方差代替总体方差，此时
X
s X
不服从正态分布。而服从 t 分布。记为：
X
t s
~ t(n1)
X
22 魏永越
自由度分别为1、5、 ∞时的 t 分布
f(t) =∞(标准正态曲线)
=5 =1
0.3
0.2
0.1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
23
魏永越
研究抽样分布的目的
够大，样本均数也近似服从正态分布。( )
25 魏永越
x 表示（ ）
A 总体标准差 B 样本标准差 C 抽样分布均数的理论标准差 D 抽样分布均数的估计标准差
26 魏永越
sx 表示 （ ）
A 总体均数的离散程度 B 总体标准差的离散程度 C 样本均数的离散程度 D 样本标准差的离散程度