等差数列中的最值问题.docx
探究等差数列的两类最值问题
探究等差数列的两类最值问题类型一：等差数列前n 项和的最值【例1】设{a n }是等差数列，a 1＝－10，且a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列．（1）求{a n }的通项公式；（2）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值.【解析】（1）设{a n }的公差为d .因为a 1＝－10，所以a 2＝－10＋d ，a 3＝－10＋2d ，a 4＝－10＋3d .因为a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列，所以（a 3＋8）2＝（a 2＋10）（a 4＋6）.所以（－2＋2d ）2＝d （－4＋3d ），解得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋（n －1）d ＝2n －12.（2）由（1）知，a n ＝2n －12.则当n ≥7时，a n >0；当n ＝6时，a n ＝0，当n <6时，a n <0；所以S n 的最小值为S 5＝S 6＝－30.【规律方法】求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：（1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；（2）利用公差不为零的等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn （A ，B 为常数，A ≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值.【变式训练】等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时n 的值为（ ）A.6B.7C.8D.9【解析】由d >0可得等差数列{a n }是递增数列，又|a 6|＝|a 11|，所以－a 6＝a 11，即－a 1－5d ＝a 1＋10d ，所以a 1＝－15d 2，则a 8＝－d 2<0，a 9＝d 2>0，所以前8项和为前n 项和的最小值.故选C.类型二：等差数列项的最值【例2】S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 2 020<S 2 018，S 2 019<S 2 020，则S n <0时n 的最大值是（ ）A.2 019B.2 020C.4 037D.4 038【解析】因为S 2 020<S 2 018，S 2 019<S 2 020，所以a 2 020＋a 2 019<0，a 2 020>0.所以S 4 038＝4 038（a 1＋a 4 038）2＝2 019（a 2 020＋a 2 019）<0， S 4 039＝4 039（a 1＋a 4 039）2＝4 039a 2 020>0， 可知S n <0时n 的最大值是4 038.答案 D【规律方法】本题借助等差数列的性质求出S n <0中n 的取值范围，从而求出n 的最大值，这种题型要与S n 的最值区别开来.【变式训练】设等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝36，a 4a 6＝275，且a n a n ＋1有最小值，则这个最小值为________.【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＋a 7＝36，所以a 4＋a 6＝36，又a 4a 6＝275，联立，解得⎩⎨⎧a 4＝11，a 6＝25或⎩⎨⎧a 4＝25，a 6＝11，当⎩⎨⎧a 4＝11，a 6＝25时，可得⎩⎨⎧a 1＝－10，d ＝7，此时a n ＝7n －17，a 2＝－3，a 3＝4，易知当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，a n >0，所以a 2a 3＝－12为a n a n ＋1的最小值；当⎩⎨⎧a 4＝25，a 6＝11时，可得⎩⎨⎧a 1＝46，d ＝－7，此时a n ＝－7n ＋53，a 7＝4，a 8＝－3，易知当n ≤7时，a n >0，当n ≥8时，a n <0，所以a 7a 8＝－12为a n a n ＋1的最小值.综上，a n a n ＋1的最小值为－12.。
等差数列中的最值问题
1.等差数列的通项公式： 等差数列的通项公式： 等差数列的通项公式
an=a1+(n-1)d
当d≠0，an=dn+a1-d是n的一次函数 ， 是 的一次函数 2.等差数列的前n项和公式 2.等差数列的前n项和公式： 等差数列的前 项和公式：
n(a1 + an ) Sn= 2
或 Sn=
n( n − 1) na1 + d 2
d 2 d n + (a1 − )n n的二次 当d≠0， Sn= ， 是 的二次 2 2
函数。 函数。
在等差数列{a 中 在等差数列 n}中
a1 > 0, d < 0, Sn有最
an ≥ 0 ) 值(填大或小 an+1 ≤ 0
an ≤ 0 a1 < 0, d > 0, Sn有最 值（填大或小） an+1 ≥ 0
在等差数列｛ 【 问题 2】 在等差数列｛ a n ｝ 中 ， a1 = 26 ， S9 =S18 , 求使 S n ＞０时 n 的最大值
变式训练 是等差数列， 若{an}是等差数列，a1>0,a2003+a2004>0,a2003a2004<0 是等差数列 求使前n项和 最大的自然数n。 项和S ①求使前 项和 n最大的自然数 。 求使前n项和 项和S 成立的最大自然数n。 ②求使前 项和 n>0成立的最大自然数 。 成立的最大自然数
作业
1.等差数列｛an｝的前 项和 n，且Sm=Sn，Sm+n=—— 等差数列｛ 的前n项和 项和S 等差数列 2．设等差数列 n}的前 项和为 n，已知 3=12，S12>0,S13<0. 的前n项和为 ．设等差数列{a 的前 项和为S 已知a ， (1)求公差 的取值范围 求公差d的取值范围 求公差 的取值范围; (2)指出 1，S2，…Sn中哪个值最大，并说明理由。 指出S 中哪个值最大，并说明理由。 指出
等差数列的最值问题
解析（1）设数列{ }的公差为d，则由2009 = 0得20091 +
= 0，
2
1
2009−
即1 + 1004 = 0，则 = −
1 ,所以1 + =
1 ,所以 = (1 +
1004
1004
2
2009−
) = ⋅
1 = 1 ⋅ (2009 − 2 ).因为1 < 0, ∈ ∗ ,所以当 = 1004或
由 S5＝S12 得 5a1＋10d＝12a1＋66d，
d＝－ a1<0.
8
1
－ a1
n（n－1）
n（n－1）
1
则 Sn ＝ na1 ＋
d ＝ na1 ＋
· 8 ＝ － a1(n2 － 17n) ＝ －
16
2
2
17
n－
1
2 289
a1
2 ＋
a1，因为 a1>0，n∈N*，所以当 n＝8 或 9 时，Sn 有最大值．
2
1004
2008
1005
= 1005时， 取得最小值，最小值为
1 .
2
1005−
1
1005−
2
（2）由（1）得 =
1 . 由 ≤ , 得
(2009 − ) ≤
1 .
1004
2008
1004
因为 1 < 0, 所以 2 − 2011 + 2010 ≤ 0, 即 ( − 1)( − 2010) ≤ 0 ，解得 1 ≤
≤ 2010 .故所求 的取值集合为 {|1 ≤ ≤ 2010, ∈ ∗ } .
等差数列前n项和的最值问题(精品文档)
等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d =探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,ns pn qn r =++其中:p.q.r 为常数,且p ≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2,n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：6.5≤n ≤7.5,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n=错误!未找到引用源。
等差数列前n项和的最值问题精编版
等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-L 当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d =探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,ns pn qn r =++其中:p.q.r 为常数,且p ≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：6.5≤n ≤7.5,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n=错误!未找到引用源。
等差数列sn最大值问题
等差数列sn最大值问题等差数列Sn最大值问题是数学运算中的一个经典问题，它涉及到数学的极限和理论。
问题的关键在于求出等差数列Sn的最大值。
等差数列Sn是一个有关数学运算的重要概念。
等差数列Sn是一种有关数学运算的数列，它由规律数列中的第n项所组成。
因此，要求出等差数列Sn的最大值，就需要先确定第n 项的具体数值。
通常情况下，第n项的数值可以通过数列中前n-1项的通项公式来求出，即：Sn = an+1 + an + an-1+ ... + a2 + a1。
经过推导可以看出，等差数列Sn的最大值由数列中的最后一项决定，即an+1。
因此，要求出等差数列Sn的最大值，我们就需要计算出an+1的值。
通常来讲，第n+1项的值可以通过数列中前n+1项的通项公式来计算，即：an+1 = an + d，其中d是数列中每项和下一项之差，也就是说，d就是数列的公差。
根据以上计算公式，我们可以得出等差数列Sn的最大值是an+1的值。
另外，在计算等差数列Sn的最大值时，还需要考虑数列的公差d与数列的第一项a1的关系。
一般来讲，当d的值大于等于a1的值时，数列的第n+1项就会大于它的前n项，这时an+1的值就是数列Sn的最大值。
反之，当d的值小于a1的值时，数列的第n+1项就会小于它的前n项，这时数列Sn的最大值是前n项之和。
从上述分析可以看出，要求出等差数列Sn的最大值，我们首先要确定数列中每项与下一项之差d，再根据d与a1的关系来判断数列Sn的最大值来源于哪一项，即an+1还是前n项之和。
总之，等差数列Sn最大值问题是数学运算中的一个有趣的问题，涉及到数学的极限和理论。
要求出等差数列Sn的最大值，我们需要先确定数列中每项与下一项之差d，再根据d与a1的关系来判断数列Sn的最大值来源于哪一项，即an+1还是前n项之和。
只有理解了等差数列Sn最大值问题的数学原理和推导，才能从学术上正确分析和解决这一问题。
等差数列前n项和的最值问题
等差数列前n项和的最值问题数列（二）一、数列的最大与最小项和最值问题1．直接求函数)(n f a n =的最大值或最小值，根据)(n f 的类型，并作出相应的变换，运用配方、重要不等式性质或根据)(n f 本身的性质求出)(n f 的最值。
2．研究数列)(n f a n =的正数与负数项的情况，这是求数列}{n a 的前n 项和n S 的最大值或最小值的一种重要方法.二、数列的求和1．拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后分别求和. 2．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列. 3．裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项. 4．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法. 三、数列其他知识 1．(1) {}{}成等比数列成等差数列na n ba ?{}2n n n a a a n b S A n B n ?=+?=+成等差数列（2）{}{}成等比数列成等比数列kn n a a ? {}{}成等差数列成等比数列n ba n a a n log>2．递推数列：(1)能根据递推公式写出数列的前n 项(2)由n n n n S a a S f ,,0),(求= 解题思路：利用)2(,1≥-=-n S S a n n n 变化（1）已知0),(11=--n n a S f (2)已知0),(1=--n n n S S S f 四、例题解析例1（1）已知n a =，则 n S =___________。
（2）从盛满a 升酒精的容器里倒出b 升，然后再用水加满，再倒出b 升，再用水加满；这样倒了n 次，则容器中有纯酒精_________升。
（3）3571013{}3224n a a a a a a ++++=在等差数列中，（）（），则此数列的前13项之和等于_______。
等差数列前n项和最值问题
等差数列前n项和最值问题Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗如果是,它的首项与公差分别是什么 解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d = 探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,n s pn qn r =++≠0,那么这个数列一定是等差数列吗如果是,它的首项和公差分别是什么结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：≤n ≤,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n==5时，数列a n 前5项和取得最大值．二、转化为求二次函数求最值例2、在等差数列{n a }中, 4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值 分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。
等差数列前n项和的最值问题及拓展 Word版含解析
姓名，年级：时间：求等差数列前n项和S n最值的两种方法(1)函数法：等差数列前n项和的函数表达式S n＝an2＋bn＝a错误!2－错误!，求“二次函数”最值． (2）邻项变号法①当a1＞0，d＜0时，满足错误!的项数m使得S n取得最大值为S m②当a1＜0,d＞0时,满足错误!的项数m使得S n取得最小值为S m.例题：1。
等差数列{a n｝中，已知a6＋a11＝0，且公差d〉0，则其前n项和取最小值时的n的值为( )A．6 B．7 C．8 D．9解析解法一：因为a6＋a11＝0,所以a1＋5d＋a1＋10d＝0，解得a1＝－152 d，所以S n＝na1＋错误!d＝错误!·n＋错误!d＝错误!（n2－16n)＝错误![（n－8）2－64]．因为d>0，所以当n＝8时,其前n项和取最小值．解法二：由等差数列的性质可得a8＋a9＝a6＋a11＝0.由公差d〉0得等差数列｛a n｝是递增数列，所以a8<0，a9〉0,故当1≤n≤8时，a n〈0；n≥9时,a n>0,所以当n＝8时,其前n项和取最小值．2.在等差数列{a n}中，a1＝29,S10＝S20，则数列｛a n}的前n项和S n的最大值为( ）A．S15 B．S16 C．S15或S16 D．S17解法一:∵a1＝29，S10＝S20，∴10a1＋错误!d＝20a1＋错误!d，解得d＝－2,∴S n＝29n＋错误!×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15）2＋225.∴当n＝15时,S n取得最大值．解法二：S10=S20,∴a11+a12+⋯a20=0a11+a20×10=0，即a11+a20=0,∴a15+a16=02又因为a1=29，可知等差数列｛a n}为递减数列，则a15> 0,a16<0∴当n＝15时，S n取得最大值．拓展：(2016·全国卷Ⅰ）设等比数列｛a n}满足a1＋a3＝10,a2＋a4＝5，则a1a2…a n的最大值为________．解析：解法一：等比数列｛a n}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，可得q（a1＋a3)＝5，解得q＝错误!。
等差数列前n项和最值问题
等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122n a n =-,其中:132a =,2d = 探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,ns pn qn r =++≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值例1：等差数列{}n a 中，1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为49 6.52n +==， 而n N *∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
1. 已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值. 解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2d=-2,n a =13-2(n-1),n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：6.5≤n ≤7.5,所以n=7时,n S 取最大值. 2. 已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n==5时，数列a n 前5项和取得最大值．二、转化为求二次函数求最值例2、在等差数列{n a }中,4a ＝－14,公差d ＝3,求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。
等差数列中的最值问题
因为扇形的半径为１,所以|O Pң|＝１．又O PʅO B,故O Pң O Bң＝０．因为øA O B＝２π３,所以øA O P＝π６,于是P Mң P Nң＝(P Oң＋O Mң) (P Oң＋O Nң)＝P Oң２＋P Oң O Nң＋O Mң P Oң＋O Mң O Nң＝１＋０＋|O M|c o s５π６＋|O M| |O N|c o s２π３ɤ１＋０ˑ(－３２)＋０ˑ(－１２)＝１．综上,P Mң P Nң的最大值为１．如果两个向量的夹角是钝角,那么它们的数量积是负值,所以本例中要使P Mң P Nң值最大,只需M,N两点与O重合．２ ３㊀数量积定值问题例５㊀已知线段A B是半径为r(r＞０)的圆O的一条弦,且A B＝２,试问A Oң A Bң是定值(与r的大小无关)吗?请探究．先将问题特殊化:容易求得,当弦A B为直径时,有A Oң A Bң＝２;当әA O B为正三角形时,也有A Oң A Bң＝２,于是可以大胆猜想A Oң A Bң为定值２,那么这个论断正确吗?下面加以严格证明．如图５所示,过点O作O HʅA B于点H,则A Oң A Bң＝|A Oң||A Bң|c o søO A B＝(|O Aң| c o søO A B) |A Bң|＝|AHң||A Bң|＝１２|A Bң|２＝２．图５对于动中有定问题,通常可以从特殊值或运动的特殊位置入手,先找到 疑似定值 ,然后讨论一般情形并证明．解答本题还需注意向量的投影在圆中的运用,即A Oң A Bң的大小仅取决于弦A B的长短．从以上五个例题可以看出,无论是静态还是动态问题,平面向量数量积问题都离不开数量积定义式的应用,同时要注意图形特征,善于将欲求向量转化为已知向量．这类问题虽然背景比较新颖,但除去背景的 外包装 ,其实就是极为普通的平面向量数量积运算问题．(作者单位:甘肃省张掖市实验中学)Җ㊀山东㊀袁海艳㊀㊀在等差数列中,经常会碰到有关最值的问题,主要是等差数列前n项和的最值问题．通过题目中给出的相关信息,结合数列的相关性质,确定前n项和中的最值问题,是函数性质的一种特殊表现．１㊀邻项变号法(不等式法)等差数列中求前n项和S n的最大(小)值,其思路是找出某一项,使这项及它前面的项皆取正(负)值或零,而它后面的各项皆取负(正)值,则从第１项起到该项的各项的和为最大(小)．例１㊀若等差数列{a n}满足a７＋a８＋a９＞０,a７＋a１０＜０,则当n＝时,{a n}的前n项和最大．根据等差数列的性质有a７＋a８＋a９＝３a８＞０,可得a８＞０．又a７＋a１０＝a８＋a９＜０,则a９＜０,所以当n＝８时,等差数列{a n}的前n项和最大．本题根据等差数列的相关性质,利用邻项变号法,结合题意的相关知识和对应的要求加以分析求解等差数列的前n项和的最值．２㊀配方法把等差数列前n项和S n表示成关于n的二次函数,利用配方法,运用二次函数的知识求解等差数列前n项和的最值问题,要注意项数n的取值为正整数．例２㊀数列{a n}的前n项和S n＝３３n－n２,问n为何值时,S n有最大值?由于S n＝３３n－n２＝－(n－３３２)２＋１０８９４,所以当n＝１６或n＝１７时,S n有最大值２７２．本题直接进行配方,利用二次函数的知识求解等差数列前n项和的最值,要注意项数n的取值为正整数．３㊀图象法根据等差数列的性质,往往把等差数列前n项和６１S n 表示成关于n 的二次函数,利用二次函数所对应的图象与性质确定相应的最值．例３㊀设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a １＞０,S １２＞０,S １３＜０,指出S １,S ２, ,S １２中哪一个值最大,并说明理由．如图１所示,因为{a n }是等差数列,所以S n ＝d ２n ２＋(a １－d２)n ,因为S １２＞０,S １３＜０,所以a １３＝S １３－S １２＜０,因为a １＞０,a １３＜０,所以d ＜０,所以点(n ,S n )分布在开口方向向下的抛物线y ＝d ２x２＋(a １－d２)x 的图象上．设二次函数y ＝d ２x ２＋(a １－d２)x 的对称轴为x ＝n ０,则２n ０是二次函数的一个零点,因为S １２＞０,S １３＜０,所以１２＜２n ０＜１３,所以６＜n ０＜６ ５．易知n ＝６对应的点A (６,S ６)到对称轴的距离比n ＝７对应的点B (７,S ７)到对称轴的距离更小,所以点A 为最高点,S ６最大．图１本题通过把求和公式转化为相应的二次函数的解析式,利用二次函数的图象与性质来确定S n 的最值．４㊀数列性质法等差数列的单调性㊁首末两项等距的相加性等性质在解决等差数列的最值问题中经常采用,体现了函数思维㊁整体代换思维的应用．数列性质法能简化运算,优化解题过程．例４㊀在等差数列{a n }中,已知a １＝２０,前n 项和为S n ,且S １０＝S １５,求当n 取何值时,S n 取得最大值,并求出它的最大值．由于a １＝２０,S １０＝S １５,则１０ˑ２０＋１０ˑ９２d ＝１５ˑ２０＋１５ˑ１４２d ,解得d ＝－５３,由S １０＝S １５,可得a １１＋a １２＋a １３＋a １４＋a １５＝０,结合等差数列的性质可得５a １３＝０,即a １３＝０．综上,当n ＝１２或１３时,S n 有最大值,且最大值为S １２＝S １３＝１２ˑ２０＋１２ˑ１１２ˑ(－５３)＝１３０．求解此类问题方法众多,可以采用邻项变号法㊁配方法等,而结合题目条件,利用等差数列的性质法来处理显得更为简单巧妙．利用数列性质法来求解最值问题时,要注意题目中的条件与数列性质的转化．５㊀转化法在解决一些特别数列的最值问题时,往往通过转化,把问题转化为有关等差数列的单调性㊁相关项的正负或大小关系问题,进而根据求和问题加以判断与应用．例５㊀若数列{a n }是等差数列,数列{b n }满足b n ＝a n a n ＋１ a n ＋２(n ɪN ∗),{b n }的前n 项和为S n ,若{a n }中满足３a ５＝８a １２＞０,试问n 为何值时,S n 取得最大值?证明你的结论．由于３a ５＝８a １２＞０,则３a ５＝８(a ５＋７d )＞０,解得a ５＝－５６５d ＞０,即d ＜０,而a ５＝－５６５d ＝a １＋４d ＞０,所以a １＝－７６５d ＞０,即数列{a n }是首项为正数的递减数列．由a n ȡ０,a n ＋１ɤ０,{得－７６５d ＋(n －１)d ȡ０,－７６５d ＋n d ɤ０,ìîíïïïï解得１５１５ɤn ɤ１６１５,故n ＝１６,即a １６＞０,a １７＜０,此时a １＞a ２＞ ＞a １６＞０＞a １７＞a １８＞ ,根据b n ＝a n a n ＋１ a n ＋２(n ɪN ∗),可得b １＞b ２＞ ＞b １４＞０＞b １７＞b １８＞ ,而b １５＝a １５ a １６ a １７＜０,b １６＝a １６ a １７a １８＞０,所以S １４＞S １３＞ ＞S １,S １４＞S １５＜S １６,又a １５＝a １＋１４d ＝－６５d ＞０,a １８＝a １＋１７d ＝９５d ＜０,所以a １５＜|a １８|,即|b １５|＜b １６,也即b １５＋b １６＞０,所以S １６＞S １４,即n ＝１６时,S n 取得最大值．转化与化归思想在解决数列的最值问题中经常碰到,往往是通过数列的项㊁求和公式㊁数列性质等的转化,把比较繁杂的问题转化为比较常见且方便求解分析的问题．在研究等差数列的最值问题中,以上五种方法可以灵活应用,当然有时对于同一个题目,五种方法都适用,关键是根据题目条件选择最适当的方法加以分析．通过不同方法的比较与渗透,能提高学生的知识应用能力与问题解决能力．(作者单位:山东省青岛市城阳第一高级中学)７１。
等差数列中的最值问题（精选五篇）
等差数列中的最值问题（精选五篇）第一篇：等差数列中的最值问题等差数列及其前n项和（2）——等差数列中的最值问题数学组一、教学目标1、掌握等差数列的通项公式和前n项和公式的形式和应用。
2、掌握常见题型的解法及常用思想方法。
3、掌握等差数列求最值问题的多种不同方法，并能对最值问题进行归纳总结。
二、教学重点和难点重点：等差数列求最值问题的常用解法。
难点：通过例题的讲解引导学生对等差数列的最值问题进行归纳和总结，并理解何种形式会有最大值，何种形式会有最小值。
三、教学过程1、复习旧知，回顾等差数列的常用公式：（1）通项公式an=a1+(n-1)dn(n-1)n(a1+an)d=（2）前n项和公式Sn=na1+22（3）等差中项概念A=1 2(a+b)（4）等差数列的判定方法定义法：an+1-an=常数（n∈N*）⇔{an}为等差数列；中项公式法：2an+1=an+an+2（n∈N*）⇔{an}为等差数列；通项公式法：an=kn+b（n∈N*）⇔{an}为等差数列；前n项求和法：Sn=pn2+qn （n∈N*）⇔{an}为等差数列（复习时主要以口述为主，必要的公式进行板书，主要让学生进行回顾，强调等差数列的通项公式和前n项和公式的形式，即通项公式是关于n的一次函数，前n项和公式是关于n的二次函数，且常数项为0，为后面课程的讲述埋好伏笔。
）2、教授新课：复习用书《高考总复习学案与测评》第87页，题型四：等差数列中的最值问题例4、在等差数列{an}中，已知a1=20，前n项和为Sn，且S10=S15，求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值。
分析：要求n为何值时，Sn有最大值，可从Sn的形式入手思考，Sn是关于n的二次函数，可以从函数的角度求出Sn的最大值。
解：（方法一）因为a1=20，且S10=S15可得510⨯915⨯14d=15a1+d 解得d=-322n(n-1)51255253125d=-n2+n=-(n-)2+所以Sn=na1+ 266622410a1+又因为n∈N，所以比较n=12时，S12=130 n=13时，S13=130 因此，n=12或者n=13时，Sn的最大值为130.思考：在用Sn是关于n的二次函数求最值时，如何避免复杂的计算，比如本题中的配方？引导学生讨论得到只要取离对称轴最近的整数处的和，即可得到最值，而对称轴可以由二次函数中的公式得到，这样可以避免复杂的计算，以便提高计算的准确度。
等差数列前n项和的最值问题
0
解得6
nห้องสมุดไป่ตู้
7，所以第六项和第七项取得最大值
S6 S7 7a4 42
典例分析
例1、{an}是等差数列，a2 10, S5 40,求 Sn 的最大值。
方法二 Q S5 5a3 40,a3 8，又Q a2 10,d 2, a1 12
Sn
12n
n(n 1) 2
由Sn的定义可知：
Sn a1 a2 ...... an ,
使得an
0的
n
的最大值使得S
取得最大值。
n
方法一
满足 aann1 00的n使得Sn有最大值。
解决方法
设{an}是等差数列，公差为d, a1 0, d 0
Sn An2 Bn (d 2 A)
方法二 离对称轴最近的正整数n使得Sn取得最大值。
典例分析
例1、{an}是等差数列，a2 10, S5 40,求 Sn 的最大值。 方法一
Q S5 5a3 40,a3 8，又Q a2 10,d 2 an a2 (n 2)d 10 (n 2)(2) 2n 14
an 0 an1
6
m 2
6.5, 所以{an}前六项和最大。
谢谢
等差数列前n项和的最值问题
问题类型
设{an}是等差数列，公差为d.
1、a1 0, d 0 2、a1 0, d 0 3、a1 0, d 0 4、a1 0, d 0
S1为Sn的最小值
S1为Sn的最大值
S
有最大值
n
S
有最小值
n
等差数列前n项和Sn的最值问题
方法总结
1．已知等差数列{an}，a1＞0，d＜0， Sn 存在最大值，
方法一：若 am 使 Sn 取得最大值，则 am 满足： aamm≥ ＋1≤0，0．
方法二：Sn＝n×a1＋n(n2-1)×d＝d2n2＋(a1－d2)n，
分析对称轴，离对称轴最近的整数使 Sn 取得最大值．
2．已知等差数列{an}，a1＜0，d＞0， Sn 存在最小值，
由
aann1
0
0
得 13 n 15
2
2
∴当n=7时,Sn取最大值49.
例2.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法4 由S3=S11得
a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
∴a7+a8=0 又d=－2<0,a1=13>0
解法1 由S3=S11得
Байду номын сангаас
313 1 3 2 d 1113 1 1110 d
2
2
∴ d=－2
1 Sn 13n 2 n(n 1) (2)
n2 14n (n 7)2 49
∴当n=7时,Sn取最大值49.
例2.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
d
将等差数列的通项公式和前n项和公式进
行整理得：
an nd (a1 d )
Sn
d 2
n2
(a1
d )n 2
对称 轴 n 1 a1 2d
等差数列求最值
为“数学王子”。
”数学王子“的聪明才智 为我们学习等差数列也做出了 不少贡献。他为我们计算等差 数列的前n项和指引了一条道
路——倒序相加。
基础知识
已知等差数列 {an} ，首项为 a1 ，公差为 d ，前 n 项和为 S n ，
通过倒序相加总结出等差数列前 n 项和 S n 的公式：
公式一：
将等差数列的通项公式 an a1 (n 1)d 代入上述公式中， 可以整理出 S n 的另一种表达式：
公式二：
新知探索
问：已知等差数列 5， 4 ， 3 ，……的前 n 项和为 S n ，求使得 S n 最大的序号 n 的 值以及相对应的 S n 的值.
Sn
n
课堂小结
这次课我们主要讲的内容是通过配方法和数形结合的方法 解决等差数列的前 n 项和的最值问题。
思考： 首项为负，公差为正的等差数列的前 n 项和有没有最值？如果有最值， 那是最小值还是最大值呢？
公式一： S n
2 7
4 7
n(a1 a n) ， 2
公式二： S n n a1
n(n 1) d 2
图像展示
通过 S n 的函数图象来验证我们的结论：
22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
0 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 /2 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
等差数列前n项和的最值问题
当 ， 时，n为使 成立的最大的自然数时， 最大，这是因为：当 时， ，即 递增；已知等差数列{an}，a1＞0，d＜0，Sn存在最大值，
若am使Sn取得最大值，则am满足：成立的最大自然数n时， 最大
当 时， ，即 递减。类似地，当 ， 时，若am使Sn取得最小值，则am满足：成立的最大自然数n时， 最小。
解：在等差数列{an}中，因为a1＋a12＞0，
所以a6＋a7＞0,又因为a1＜0且a6a7＜0，所以所以当Sn最小时的n为6
例题2：已知等差数列{an}的通项公式an＝3n－20，当n取何值时，Sn取得最小值，并求此最小值.
我们分析数列为：
－17，－14，－11，－8，－5，－2，1，4，…
问题1：从数列中可以发现，数列在第几项时，Sn取得最小值？
问题2：使数列Sn取得最小值的项具备什么特征呢？
结论：若am使Sn取得最小值，则am满足：
解法一：若am使Sn取得最小值，则am满足：
即
解得≤n≤，因为n∈N*，所以n＝6．
所以当n取6时，Sn取得最小值，最小值为－57.
解法二：Sn＝n×（—17）＋×3＝n2－n，
其对称轴为n＝，所以离对称轴最近的整数为6．
所以当n取6时，Sn取得最小值，最小值为－57.
练习：
1、已知等差数列 的通项为 ，则使得 最大的 的值是？
又 ，∴ 的前10项或前11项的和最小。
说明：此处虽说是用图像法，但不一定要画出图像，而是利用图像的性质去解题。
练习1：等差数列 中， ， ，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。
速解： 抛物线对称轴方程为 ，则可设 ，
由
等差数列的前n项和Sn的最值问题
等差数列的前n项和S的最值问题数列是一种特殊的函数，因此高考题中常常会出现研究数列的单调性、最值等问题．其例题：设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝24，S11＝0.(1)求a n；(2)求数列{a n}的前n项和S n；(3)当n为何值时，S n最大，并求S n的最大值．变式1等差数列{a n}的前n项和为S n，且公差d<0，若S9＝S23，则数列{a n}的前多少项的和最大？变式2等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差d<0，若S 10＝S 23，则数列{a n }的前多少项的和最大？串讲1已知数列{a n }的通项公式a n ＝40－5n7，记T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋6，当|T n |取最小值时，n 的值为多少？串讲2已知数列{a n }的通项公式a n ＝40－5n7，记T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋5，当|T n |取最小值时，n 的值为多少？(2018·全国Ⅱ卷改编)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.求S n ，并求S n 的最小值．(2018·苏州第一学期期初调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)．若对任意的n ∈N *，总有S n ≤S k ，求正整数k 的值．答案：k ＝7.解法1因为a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)，所以⎩⎨⎧a 2－S 2＝－13，a 3－S 3＝－24，也即⎩⎨⎧a 1＝13，a 1＋a 2＝24， 解得a 1＝13，a 2＝11，所以d ＝a 2－a 1＝－2，故a n ＝－2n ＋15，5分令⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1<0，得⎩⎨⎧－2n ＋15≥0，－2n ＋13<0，所以132<n ≤152，9分又n ∈N *，所以n ＝7，即数列{a n }的前7项和为S 7最大，所以k ＝7.14分解法2因为a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)，所以⎩⎨⎧a 2－S 2＝13，a 3－S 3＝－24，也即⎩⎨⎧a 1＝13，a 1＋a 2＝24，解得a 1＝13，a 2＝11，7分所以d ＝a 2－a 1＝－2，故a n ＝－2n ＋15，9分S n ＝13n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，12分所以数列{a n }的前7项和为S 7最大，故k ＝7.14分说明：通过以上两种解法的比较，可以发现“解法1”采用了“邻项变号法”，解题思路、过程比较简洁方便，这是因为这种解法紧紧抓住了等差数列的项a n 对和S n 的影响规律，因而过程相对简洁精炼．例题答案：(1)a n ＝48－8n ；(2)S n ＝－4n 2＋44n ；(3)n ＝5或6时，S n 最大，S n ＝120. 解析：(1)因为a 3＝24，S 11＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝24，11a 1＋11×102d ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝40，d ＝－8，所以a n ＝48－8n.(2)由(1)知，a 1＝40，a n ＝48－8n ，所以S n ＝（a 1＋a n ）n 2＝（40＋48－8n ）n 2＝－4n 2＋44n.(3)解法1：由(2)有，S n ＝－4n 2＋44n ＝－4(n －112)2＋121，故当n ＝5或n ＝6时，S n 最大，且S n 的最大值为120.解法2 ：由a n ＝48－8n ，⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧48－8n≥0，48－8（n ＋1）<0，得5<n≤6，又n∈N *，所以n ＝6，即该数列前5项都是正数，第6项为0，所以前5项和、前6项的和同为最大值，最大值为120.说明：等差数列的前n 项和S n 最值问题的研究有两种主要思路：其一，利用S n ＝an 2＋bn 具有的二次函数的性质，结合单调性或抛物线图象来研究；其二，是利用“邻项变号法”研究，即由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，求得S n 取得最大值时n的条件，同样由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1>0，求得S n 取得最小值时n 的条件．变式联想变式1 答案：16. 解析：由S 9＝S 23，得a 10＋a 11＋…＋a 23＝0，即a 16＋a 17＝0，又因为d<0，所以a 16>0，a 17<0，所以，数列{a n }的前16项的和最大．变式2答案：16或17.解析：由S 10＝S 23，得a 11＋a 12＋…＋a 23＝0，即a 17＝0，又因为d<0，所以a 16>0，a 18<0，所以，数列{a n }的前16项或17的和最大．说明：上述两个“变式”题的不同之处在于，“变式1”中不含为0的项，因此前n 项和S n 取得最值时，n 的值只有一解，“变式2”中含有数值为0的项，因此前n 项和S n 取得最值时，n 的值有两解！请同学们仔细体会其中的差别．串讲激活串讲1答案：n ＝5. 解析：由a n ＝40－5n7，知{a n }递减且a 8＝0，又T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋6＝7a n ＋3，考虑到|T n |≥0，且由n ＋3＝8，得n ＝5，即满足|T n |取得最小值的正整数n ＝5.串讲2答案：n ＝5或6.解析：由a n ＝40－5n7，知{a n }递减且a 8＝0，又T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋5，式子右边有6项，结合等差数列的对称性知，当下标n ＋(n ＋5)＝2×8±1，即就是n ＝5或6时，|T n |取得最小值．新题在线答案：－16. 解析：设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15.由a 1＝－7得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9.所以S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16.所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.。
等差数列的有关极值问题
( m n)(m n 1) ( m n) 2 S m n (m n) a1 d 2 mn m n 24 n m
m n 1 mn a1 d , 2 mn
S n 为等差数列来解决 解法二: 利用数列 n
总结：
在解决数列的相关问题时，通常用以下思路：
1.运用函数观点来分析、解决，因为数列本质上就 特殊的函数。 2.运用方程的思想来解决的有关计算; 3.能自觉地运用等差数列的特性来简化计算.
当n 7时，S 7 最大.
解法四：由于数列 an 为等差数列，所以设它的前n项和 S n an2 bn. f (n) 由题意可知
S3 f (3) f (11) S11
可知 又由题意可知数列 an 为首项为正数公差小于0的， 所以数列 an 为递减数列，故 a
(3)由（2）知，在 S1 , S 2 , S3 ,S n , 中
a1 3d 84 10 9 解：（1）由 10 a d 0 , 解得 56 1 2 11 10 11 a d 0 1 2
d 42
56 d 42, 630 S5 700,
Sn
an 0）成立的最大的n即可。 3.通项法：求使 an 0 或（ S n S n1 , 即递增，当 an 0 时， 这是因为：当an 0 时， S n S n1 ,即递减
a4 84, 前n项和为 S n ，且 2.等差数列 an 中，公差为d，
S10 0, S11 0.
（1）求d的取值范围; （2）求使得
（3）设集合
S1 , S 2 , S3 ,, S n , 中，元素的最大值为M，
等差数列中的最值问题
编写：黄文清 第 1 页 第三章 数列 等差数列中的最值问题高考要求：1、掌握等差数列的通项公式及前n 项和公式；2、能用公式求等差数列的前n 项和的最值及相关数列的前n 项和。
复习引入：1、等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+或n a2、等差数列的前n 项和：2)(1n n a a n S +=，21na S n += n )2d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式3、等差数列的单调性： 当d>0时，数列{n a }单调递增；当d<0时，数列{n a }单调递减。
4、对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1）利用n a :当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值；当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值。
（2）利用n S ：由n )2d a (n 2d S 12n -+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值 例题解析： 例1、数列{}n a 中，135a =，数列112n n a a -=-(2,)n n N ≥∈，数列{}n b 满足1()1n n b n N a +=∈-。
（1）求证：数列{}n b 为等差数列；（2）求数列{}n a 中的最大值和最小值 ，并说明理由。
例2、等差数列{}n a 中，117925,a S S ==，问此数列前多少项和最大，并求此最大值。
编写：黄文清 第 2 页 第三章 数列 变式1、等差数列{}n a 中，11780,a S S <=，问此数列前多少项和最小。
变式2、等差数列{}n a 中，3100,d a a >=，问此数列前多少项和最小。
变式3、等差数列{}n a 中，13110,a a a >=，问此数列前多少项和最大。
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等差数列及其前n 项和（2）
——等差数列中的最值问题
数学组
一、教学目标
1、掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式的形式和应用。
2、掌握常见题型的解法及常用思想方法。
3、掌握等差数列求最值问题的多种不同方法，并能对最值问题进行归纳总结。
二、教学重点和难点
重点：等差数列求最值问题的常用解法。
难点：通过例题的讲解引导学生对等差数列的最值问题进行归纳和总结，并理解何种形式会有最大值，何种形式会有最小值。
三、教学过程
1、复习旧知，回顾等差数列的常用公式：
（1）通项公式
a n a1n 1 d
（2）前n项和公式S n na1n n 1 d n a1 a n
22
（3）等差中项概念A21 (a b)
（4）等差数列的判定方法
定义法：
a n 1a n常数（n N * ）
中项公式法：2a n 1a n a n 2（n N *通项公式法：a n kn b （n N * ）
a n为等差数列；
）a n为等差数列；
a n为等差数列；
前 n 项求和法： S n pn 2qn （n N * ）a n为等差数列
（复习时主要以口述为主，必要的公式进行板书，主要让学生进行回顾，强调等差数列的通项公式和前 n 项和公式的形式，即通项公式是关于n 的一次函数，前 n 项和公式是关于 n 的二次函数，且常数项为0，为后面课程的讲述埋好伏笔。
）
2、教授新课：
复习用书《高考总复习学案与测评》第87 页，题型四：等差数列中的最值问题
例 4、在等差数列a n中，已知 a120 ，前 n 项和为 S n，且 S10 S15，求当 n 取何值时， S n有最大值，并求出它的最大值。
分析：要求 n 为何值时，S n有最大值，可从 S n的形式入手思考，S n是关于 n 的二次函数，可以从函数的角度求出S n的最大值。
解：（方法一）因为 a120 ，且 S10S15可得
10 9
d 15a 1
15 14
d 解得 d
5
10a 1
2
2 3
n( n 1) 5
125
5 25
3125
所以
S n
na 1 d
n 2 n
( n ) 2
2 6 6 6 2 24
又因为 n
N
，所以比较 n 12时， S 12
130
n 13时， S 13 130
因此， n
12或者 n 13时， S n 的最大值为 130.
思考：在用 S n 是关于 n 的二次函数求最值时，如何避免复杂的计算，比如本题中的配方
引导学生讨论得到只要取离对称轴最近的整数处的和， 即可得到最值， 而对称轴可以由二
次函数中的公式得到，这样可以避免复杂的计算，以便提高计算的准确度。
3、小组合作讨论
思考：为什么等差数列会存在最值，是不是所有的等差数列都有最值呢什么样的等差数
列存在最大值，什么样的等差数列又存在最小值
通过观察数列、归纳特点并讨论可得两类数列存在最值，
（ 1） 若 a 1
0,d 0 ，数列有最大值
（ 2） 若 a 1 0,d
，数列有最小值 思考：那有没有更简单的方法来得到等差数列何时取到最值呢
由数列的增减情况可以得到只要找出何时出现正负转折项， 在该项处即得到等差数列前 n 项和的最值。
以 a 1
0,d
0 的数列为例，若前
7 项为正，第
8 项开始为负，则前
7 项和为最大值。
练习：（方法二）学生用此方法求出例
4 中的最值，并与前一种方法进行比较。
4、归纳等差数列最值问题的求法
方法一、利用
S n
pn 2
qn 是关于 n 的二次函数，在离对称轴最近的整数处取得最值。
方法二、利用等差数列的单调性，求出正负转折项。
思考：本题还有没有什么特点能够使得我们很快得出哪一项开始出现正负转折引导学生观察得出 （方法三）
因为 S 10 S 15 ，所以 a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 0
由等差数列的性质可以得出 a 13 0
所以 a 12 0, a 14 0
所以， n
12或者 n 13时， S n 的最大值为
130.
5、课内训练
复习用书《高考总复习学案与测评》第85 页例 4 的举一反三题
已知数列a n的前n 项和S n n 224n( n N ) ，（1）求a n的通项公式；（ 2）当n 为何值时， S n达到最大最大值是多少
6、小结
等差数列前 n 项和的两种常用解法，并能在具体题目中选择合适的方法进行求解。