圆与相似的结合

1．如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．

(1)求证：直线DE是⊙O的切线；

(2)当AB＝5，AC＝8时，求cosE的值．

2．已知：如图，AC⊙O是的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，∠PBA=∠C．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）若OP∥BC，且OP=8，BC=2．求⊙O的半径．

3．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.

（1）求证：∠BCA=∠BAD；

（2）求DE的长；

（3）求证:BE是⊙O的切线。

4．如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．

（1）求证：BC平分∠PDB；

（2）求证：BC2=AB•BD；

（3）若PA=6，PC=62，求BD的长．

5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O直径，作∠CAD=∠B，且点D在BC的延长线上，CE⊥AD于点E．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为8，CE=2，求CD的长．

6．如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．

（1）求证：点F是AD的中点；

（2）求cos∠AED的值；

（3）如果BD=10，求半径CD的长．

7．如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．

参考答案

1．（1）证OD ⊥DE 即可。（2）cosE=2425

【解析】

试题分析：如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，以AB 为直径的⊙O 与AC 交于点D ，过D 作DF ⊥BC ， 交AB 的延长线于E ，垂足为F ．

连结OD 。易知OA=OD=r ，且AB ＝BC ，∴∠OAD=∠ODA=∠C

所以OD ∥CB 。所以∠ODE=∠BFE=90°。所以OD ⊥DE ，垂足为D 。

所以直线DE 是⊙O 的切线。

(2)当AB ＝5，AC ＝8时，求cosE 的值．

解：连结BD 。由（1）知OD ⊥DE ，又因为∠ADB=90°（直径所对圆周角）

所以∠ADO+∠ODB=∠ODB+∠BDE 。因为OD ∥CB ，则∠ODB=∠DBO=∠DBF

所以Rt △ADB ∽Rt △DFB 。则

BD BF AB BD =，已知AB=BC ，BD ⊥AC 。所以AD=12

AC=4. 所以在Rt △ADB 中，BD=3.故3×3=5×BF ，解得BF=95

。易知Rt △EDO ∽Rt △EFB 则()BE BF 9.5BE=BE 2.5BE+OB OD 5=⨯+，即2，解得BE=457 所以在Rt △EFB 中，cosE ＝22

45975EF 2445BE 25

7

⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭== 考点：圆及相似三角形等

点评：本题难度较大，主要考查学生对圆的切线问题与三角形相似判定与性质的掌握。为中考常考题型要牢固掌握。

2．解：（1）证明：连接OB ，

∵AC是⊙O直径，∴∠ABC=90°。

∵OC=OB，∴∠OBC=∠ACB。

∵∠PBA=∠ACB，∴∠PBA=∠OBC。

∴∠PBA+∠OBA=∠OBC+∠ABO=∠ABC=90°。

∴OB⊥PB。

∵OB为半径，∴PB是⊙O的切线。

（2）设⊙O的半径为r，则AC=2r，OB=R，

∵OP∥BC，∠OBC=∠OCB，∴∠POB=∠OBC=∠OCB。∵∠PBO=∠ABC=90°，∴△PBO∽△ABC。

∴OP OB

AC BC

=，即

8r

2r2

=，解得r22

=。

∴⊙O的半径为22。

【解析】

试题分析：（1）连接OB，求出∠ABC=90°，∠PBA=∠OBC=∠OCB，推出∠PBO=90°，根据切线的判定推出即可。

（2）证△PBO和△ABC相似，得出比例式，代入求出即可。

3．解：（1）证明：∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD。

∵∠BCA=∠BDA（圆周角定理），

∴∠BCA=∠BAD。

（2）∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理），∠BED=∠CBA=90°，

∴△BED∽△CBA，∴BD DE AC AB

=。

∵BD=BA =12，BC=5，∴根据勾股定理得：AC=13。

∴12DE

1312

=，解得：

144

DE

13

=。

（3）证明：连接OB，OD，

在△ABO和△DBO中，∵

AB DB BO BO OA OD

=

⎧

⎪

=

⎨

⎪=

⎩

，

∴△ABO≌△DBO（SSS）。

∴∠DBO=∠ABO。

∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC。∴OB∥ED。

∵BE⊥ED，∴EB⊥BO。∴OB⊥BE。

∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线。

【解析】

试题分析：（1）根据BD=BA得出∠BDA=∠BAD，再由圆周角定理∠BCA=∠BDA即可得出结论。（2）判断△BED∽△CBA，利用对应边成比例的性质可求出DE的长度。

（3）连接OB，OD，证明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，继而判断OB⊥DE，可得出结论。4．解：（1）证明：连接OC，

∵PD为圆O的切线，∴OC⊥PD。

∵BD⊥PD，∴OC∥BD。∴∠OCB=∠CBD。

∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC。

∴∠CBD=∠OBC，即BC平分∠PBD。

（2）证明：连接AC，

∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°。

∵∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，∴△ABC∽△CBD。

∴AB BC

CB BD

=，即BC2=AB•BD。

（3）∵PC为圆O的切线，PAB为割线，∴PC2=PA•PB，即72=6PB，解得：PB=12。∴AB=PB－PA=12－6=6。∴OC=3，PO=PA+AO=9。

∵△OCP∽△BDP，∴OC OP

BD BP

=，即

39

BD12

=。

∴BD=4。

【解析】（1）连接OC，由PD为圆O的切线，由切线的性质得到OC垂直于PD，由BD垂直于PD，得到OC与BD平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，再由OC=OB，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证。

（2）连接AC，由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到△ABC为直角三角形，根据一对直角相等，以及（1）的结论得到一对角相等，确定出△ABC与△BCD相似，由相似得比例，变形即可得证。

（3）由切割线定理列出关系式，将PA，PC的长代入求出PB的长，由PB﹣PA求出AB的长，确定出圆的半径，由OC与BD平行得到△PCO与△DPB相似，由相似得比例，将OC，OP，以及PB的长代入即可求出BD的长。

5．解：（1）证明：连接OA ，