青岛二中2020-2021学年高二上学期数学周考六(文AB理B)
山东省青岛市第二高级中学2019-2020学年高二数学理期末试题含解析
山东省青岛市第二高级中学2019-2020学年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列四个命题①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行；其中错误的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个参考答案：B【考点】直线与平面垂直的性质；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】综合题．【分析】对选项①④可利用正方体为载体进行分析，举出反例即可判定结果，对选项②③根据线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理进行判定即可．【解答】解：①垂直于同一条直线的两条直线相互平行，不正确，如正方体的一个顶角的三个边就不成立②垂直于同一个平面的两条直线相互平行，根据线面垂直的性质定理可知正确；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行，根据面面平行的判定定理可知正确；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行，不正确，如正方体相邻的三个面就不成立；故选B【点评】此种题型解答的关键是熟练掌握空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直和平行的判定及性质．2. 对于函数，下列结论正确的一个是A. 有极小值，且极小值点B. 有极大值，且极大值点C. 有极小值，且极小值点D. 有极大值，且极大值点参考答案：C略3. 方程有两个不等实根，则k的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：D4. 设，若直线与线段AB没有公共点，则的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：C略5. 过抛物线的焦点所作直线中，被抛物线截得弦长为8的直线有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 不确定参考答案：B6. 一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A. B. 4 C. D.参考答案：D【分析】由三视图还原几何体可知该四棱锥为正四棱锥，底面ABCD为边长为2的正方形，由几何体的表面积公式计算即可得到答案．【详解】由三视图可知该几何体为为正四棱锥：底面为边长为2的正方形，四个侧面为边长为2的等边三角形．故．故选：D．【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查几何体的表面积的计算方法，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题.7. 已知函数若对任意，恒成立，则实数的取值范围（）A. B. C. D.参考答案：B8. 定义运算=ad﹣bc，则（i是虚数单位）为（）A． 3 B．﹣3 C．i2﹣1 D．i2+2参考答案：B略9. 已知，则函数的零点的个数为（）个.（A）3（B）4 （C）5（D）6参考答案：C略10. 如图所示为一平面图形的斜二测画法的直观图，则此平面图形可能是下图中的（）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为．参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，对应的直角坐标方程为：y ﹣x=1，点A的极坐标为A（2，），它的直角坐标为（2，﹣2）．点A到直线l的距离为： =．故答案为：．12. 某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种（用数字作答）。
2020-2021学年山东省青岛市胶州市、黄岛区高二(上)期中数学试卷+答案解析(附后)
2020-2021学年山东省青岛市胶州市、黄岛区高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )A. B. C. D.2.已知向量，且，则实数( )A. 1B.C.D.3.若直线：与直线：平行，则实数( )A. 1B.C. 0D.4.已知三棱柱，点P为线段的中点，则( )A. B.C. D.5.已知二面角的大小为，A，B为棱l上不同两点，C，D分别在半平面，内，AC，BD均垂直于棱l，，则异面直线CD与AB所成角的余弦值为( )A. B. C. D.6.若过原点的直线l与圆有两个交点，则l的倾斜角的取值范围为( )A. B. C. D.7.已知椭圆C：上两点A，B，若AB的中点为D，直线OD的斜率等于1，则直线AB的斜率等于( )A. B. 1 C. D.8.已知圆O：与直线交于A，B两点，且，则圆O与函数的图象交点个数为个( )A. 2B. 1C. 0D. 3二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知直线l：，则下述正确的是( )A. 直线l的斜率可以等于0B. 直线l的斜率有可能不存在C. 直线l可能过点D. 若直线l的横纵截距相等，则10.已知椭圆C：，关于椭圆C下述正确的是( )A. 椭圆C的长轴长为10B. 椭圆C的两个焦点分别为和C. 椭圆C的离心率等于D. 若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q，则11.已知点，，动点P到直线的距离为d，，则( )A. 点P的轨迹是椭圆B. 点P的轨迹曲线的离心率等于C. 点P的轨迹方程为D. 的周长为定值12.已知四面体ABCD的所有棱长均为2，则下列结论正确的是( )A. 异面直线AC与BD所成角为B. 点A到平面BCD的距离为C. 四面体ABCD的外接球体积为D. 动点P在平面BCD上，且AP与AC所成角为，则点P的轨迹是椭圆三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
青岛二中2020-2021学年高二上学期数学周考五(文AB理B)
2020届高二上学期数学第五次周考试卷命题人： 审题人：一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、一个简单几何体的主视图、左视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆．其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②2、设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β 3、已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于( )A ．2 2 B.223C.423D.4334、如图是一个几何体的三视图．若它的体积是33，则a ＝( )A ．2 3 B. 6 C. 3D ．2 65、过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积是球的表面积的( )A.316B.916C.38D.586、已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中主视图、左视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是( )A ．2π B.43π C.53πD ．3π7、正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8、在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )A.83B.38C.43D.34二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上) 9、已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是________． 10、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________． 11、如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的点，PA 垂直于⊙O 所在的平面，AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F ，因此，________⊥平面PBC.(填图中的一条直线)．12、已知三棱锥P ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，则这个三棱锥的体积为________．第10题 第11题 第12题 三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13、（本小题满分10分)如图，圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD ＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝2，P为SB的中点．(1)求证：SA∥平面PCD；(2)求异面直线SA与PD所成角的正切值．14、(本小题满分10分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB的中点．(1)求证：EF∥平面ABC1D1；(2)求证：EF⊥B1C；(3)求三棱锥B1EFC的体积．2020届高二上学期数学第五次周考试卷命题人： 审题人：一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、一个简单几何体的主视图、左视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆．其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②解析：选B2、设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( ) A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β B ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β 选B 3、已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于( )A ．2 2 B.223C.423D.433 选D4、如图是一个几何体的三视图．若它的体积是33，则a ＝( )A ．2 3 B. 6C. 3D ．2 6 选C.5、过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积是球的表面积的( )A.316B.916C.38D.58 选A6、已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中主视图、左视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是( )A ．2π B.43πC.53πD ．3π 选C7、正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 选C8、在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )A.83B.38C.43D.34 选C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上) 9、已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是________．答案：4 310、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________． 答案：3611、如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的点，PA 垂直于⊙O 所在的平面，AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F ，因此，________⊥平面PBC.(填图中的一条直线)．答案：AF12、已知三棱锥P ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，则这个三棱锥的体积为________． 答案：132S 1S 2S 3第10题第11题第12题三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13、（本小题满分10分)如图，圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD ＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝2，P为SB的中点．(1)求证：SA∥平面PCD；(2)求异面直线SA与PD所成角的正切值．解：(1)证明：连接PO，因为P，O分别为SB，AB的中点，所以PO∥SA.因为PO平面PCD，SA平面PCD，所以SA∥平面PCD.(2)因为PO∥SA，所以∠DPO为异面直线SA与PD所成的角．因为AB⊥CD，SO⊥CD，AB∩SO＝O，所以CD⊥平面SOB.因为PO平面SOB，所以OD⊥PO.在Rt△DOP中，OD＝2，OP＝12SA＝12SB＝2，所以tan∠DPO＝ODOP＝22＝2，所以异面直线SA与PD所成角的正切值为 2.14、(本小题满分10分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB的中点．(1)求证：EF ∥平面ABC 1D 1； (2)求证：EF ⊥B 1C ；(3)求三棱锥B 1EFC 的体积．解：(1)证明：连接BD 1，在△DD 1B 中，E ，F 分别为D 1D ，DB 的中点，则EF ∥D 1B. 因为EF ∥D 1B ，D 1B 平面ABC 1D 1，EF 平面ABC 1D 1，所以EF ∥平面ABC 1D 1.(2)证明：因为B 1C ⊥AB ，B 1C ⊥BC 1，AB ，BC 1平面ABC 1D 1，AB ∩BC 1＝B ， 所以B 1C ⊥平面ABC 1D 1.又BD 1平面ABC 1D 1， 所以B 1C ⊥BD 1.又因为EF ∥BD 1，所以EF ⊥B 1C.(3)因为CF ⊥平面BDD 1B 1，所以CF ⊥平面EFB 1且CF ＝BF ＝2， 因为EF ＝12BD 1＝3，B 1F ＝BF 2＋BB 21＝（2）2＋22＝6，B 1E ＝B 1D 21＋D 1E 2＝（22）2＋12＝3， 所以EF 2＋B 1F 2＝B 1E 2，即∠EFB 1＝90°， 所以VB 1EFC ＝VC B 1EF ＝13·S △B 1EF ·CF ＝13×12·EF ·B 1F ·CF ＝13×12×3×6×2＝1.。
山东省青岛市第二中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题
3．A
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定是全称命题的知识选出正确选项.
【详解】
原命题为特称命题，其否定是全称命题，注意到要否定结论，所以A选项正确.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查特称命题的否定是全称命题，属于基础题.
20．已知命题：“ ，使方程 有解”是真命题.
（1）求实数 的取值集合 ；
（2）设不等式 的解集为集合 ，若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
21．设 ， 分别是椭圆 的左，右焦点，若 是该椭圆上的一个动点， 的最大值为1.求椭圆 的方程.
22．已知平面直角坐标系中两个不同的定点 ， ，过点 的直线 与过点 的直线 相交于点 ，若直线 与直线 的斜率之积为 ，求动点 的轨迹方程，并说明此轨迹是何种曲线.
A． B． C． D． 或
10．已知双曲线 的左，右焦点分别为 ， ， 为右支上一点，且 ，则 内切圆的面积为（）
A． B． C． D．
二、多选题
11．（多选题）下列命题中，是真命题的是（）
A．若 ，则 B．正数 ，若 ，则
C． ，使 D．正数 ，则 是 的充要条件
12．（多选题）已知双曲线 与双曲线 的渐近线将第三象限三等分，则双曲线 的离心率可能为（）
椭圆的标准方程为 ，由于椭圆焦点为 ，故焦点在 轴上，且 .所以 ，解得 .
故选：B
【点睛】
本小题主要考查根据椭圆的焦点坐标求参数的值，属于基础题.
2．A
【分析】
写出双曲线的标准方程，根据渐近线方程即可得解.
【详解】
双曲线 的一条渐近线的方程为 ，
青岛二中2020-2021学年高二上学期数学周考三(文AB理B)
信丰中学2018-2019学年高二上学期数学周考三 命题人： 审题人：一、选择题（每题5分,共40分）1.如图，O ′A ′B ′C ′为四边形OABC 的斜二测直观图，则原平面图形OABC 是（ ）A ．直角梯形B ．等腰梯形C ．非直角且非等腰的梯形D ．不可能是梯形2.已知点A(2,－3)、B(－3,－2),直线l 过点P(1,1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值k 范围是 （ ）A 、k ≥43或k ≤－4B 、k ≥43或k ≤－41C 、－4≤k ≤43D 、43≤k ≤43.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，且它的正视图如图所示，则该四棱锥侧视图的面积是 （ ）A ．42B ．4C ． 22D ． 24.若直线01=--y x 被圆心坐标为（2，-1）的圆截得的弦长为22，则这个 圆的方程是 ( )A ．()()41222=++-y xB ．()()41222=-++y xC ．()()21222=-++y xD ．()()21222=++-y x 5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.3πB. 4πC. 2π+4D. 3π+46.过点P(3,1)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝07.已知某简单几何体的三视图如图所示，若主视图的面积为1，则该几何体最长的棱的长度为（ ）AB ．8.若圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R)与圆C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R)恰有三条公切线，则a ＋b 的最大值为( )． A ．－32 B ．－3 C ．3 D ．32二、填空题（每题5分,共20分）9.如果直线230ax y a ++=与直线3(1)7x a y a +-=-平行，则a = .10.过原点O 且斜率为3的直线被圆x 2+y 2-4y=0所截得的弦长为___________.11.已知圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y ﹣20=0，直线l ：4x ﹣3y+15=0与圆C 相交于A 、B 两点，D 为圆C 上异于A ，B 两点的任一点，则△ABD 面积的最大值为 ．12.已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2cm ，高为5cm ，则一质点自点A 出发，沿第三棱柱的侧面绕行一周到达点1A 的最短路线的长为__________cm ．三、 解答题（每题10分，共20分）13.已知圆M ：x 2+y 2﹣2x+a=0．（1）若a=﹣8，过点P （4，5）作圆M 的切线，求该切线方程；（2）若AB 为圆M 的任意一条直径，且•=﹣6（其中O 为坐标原点），求圆M 的半径．14. 已知以点1,2A 为圆心的圆与直线1:220l x y 相切，过点2,0B 的直线l 与圆A 相交于,M N 两点，Q 是MN 的中点，4MN .(1)求圆A 的标准方程；(2)求直线l 的方程.信丰中学2018-2019学年高二上学期数学周考三参考答案1-4 B A C D 5-8 C D D A 9. 3 10. 23 11．13. 解：（1）若a=﹣8，圆M ：x 2+y 2﹣2x+a=0即（x ﹣1）2+y 2=9，圆心（1，0），半径为3， 斜率不存在时，x=4，满足题意；斜率存在时，切线l 的斜率为 k ，则 l ：y ﹣5=k （x ﹣4），即l ：kx ﹣y ﹣4k+5=0 由=3，解得k=，∴l ：8x ﹣15y+43=0，综上所述切线方程为x=4或8x ﹣15y+43=0；（2）•=（+）•（+）=1﹣（1﹣a ）=﹣6，∴a=﹣6， ∴圆M 的半径==． 14．(1)设圆A 的半径为R ，因为圆A 与直线1:220l x y 相切， ∴14255R ，∴圆A 的方程为22125x y .(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知2x 符合题意； ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线的方程为2y k x ，即20kx y k ，连接AQ ，则AQ MN ，∵4MN ，∴541AQ， 则由2211k AQ k 得34k ，∴直线l 为：3460x y ， 故直线l 的方程为2x或3460x y .。
山东省青岛市开发区第二中学2020-2021学年高二数学理联考试题含解析
山东省青岛市开发区第二中学2020-2021学年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数在区间上递减且有最小值1，则ω的值为（）A．2 B． C．3 D．参考答案：B略2. 函数的单调递减区间是A． B． C． D．参考答案：A试题分析：由函数导数可得得，所以减区间为考点：函数导数与单调性3. 在△ABC中，三内角分别是A、B、C，若，则此三角形一定是（）A．直角三角形 B．正三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形参考答案：C4. 已知平面与两条直线，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要参考答案：C根据线面垂直的性质定理可知，为充要条件，故选C.5. 命题“对任意，总有”的否定是A. “对任意，总有”B. “对任意，总有”C. “存在，使得”D. “存在，使得”参考答案：D6. 命题“?x∈R，2x＞0”的否定是（）A．?x0∈R，2＞0 B．?x0∈R，2≤0C．?x∈R，2x＜0 D．?x∈R，2x≤0参考答案：B【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“?x∈R，2x＞0”的否定是?x0∈R，2≤0．故选：B7. 将甲,乙,丙,丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲,乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数有（）A.18B.24C.30D.36参考答案：C8. 函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象如图所示，则函数的一个表达式为（）A．y=﹣4sin（x+）B．y=4sin（x﹣）C．y=﹣4sin（x﹣）D．y=4sin（x+）参考答案：A【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】观察函数的图象可得A，由图可得周期T=16，代入周期公式T=可求ω，再把函数图象上的最值点代入结合已知φ的范围可得φ的值，即可得解．【解答】解：由函数的图象可得最大值为4，且在一周期内先出现最小值，所以A=﹣4，观察图象可得函数的周期T=16，ω==，又函数的图象过（2，﹣4）代入可得sin（+φ）=1，∴φ+=2kπ+，∵|φ|＜，∴φ=，∴函数的表达式y=﹣4sin（x+）．故选：A．9. 函数在点处的导数是(A) (B) (C) ( D)参考答案：D10. 曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标为（）A．x2+（y+2）2=4 B．x2+（y﹣2）2=4 C．（x﹣2）2+y2=4 D．（x+2）2+y2=4参考答案：B【考点】极坐标系和平面直角坐标系的区别；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】曲线的极坐标方称即ρ2=4ρsinθ，即 x2+y2=4y，化简可得结论．【解答】解：曲线的极坐标方程ρ=4sinθ即ρ2=4ρsinθ，即 x2+y2=4y，化简为x2+（y﹣2）2=4，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若过点P（5，﹣2）的双曲线的两条渐近线方程为x﹣2y=0和x+2y=0，则该双曲线的实轴长为．参考答案：6【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用共渐近线双曲线系方程设为x2﹣4y2=λ（λ≠0），求得λ，再求2a．【解答】解：设所求的双曲线方程为x2﹣4y2=λ（λ≠0），将P（5，﹣2）代入，得λ=9，∴x2﹣4y2=9，∴a=3，实轴长2a=6，故答案为：6．【点评】利用共渐近线双曲线系方程可为解题避免分类讨论．12. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程.模糊看不清，请你推断出该数据的值为.参考答案：73略13. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.参考答案：14. 如图所示，函数的图象在点处的切线方程是，则_____.参考答案：15. 已知实数满足，则=；=。
山东省青岛市第二高级中学2020-2021学年高二数学文模拟试卷含解析
山东省青岛市第二高级中学2020-2021学年高二数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 数列的前n项和为S n，且满足a1=1，a n=a n﹣1+n，（n≥2），则S n等于（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】8E：数列的求和．【分析】由a n=a n﹣1+n（n≥2）得a n﹣a n﹣1=n，利用累加法求出a n，代入化简后，由等差数列的前n项和公式求出则数列的前n项和为S n．【解答】解：由题意得，a n=a n﹣1+n（n≥2），则a n﹣a n﹣1=n，所以a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，…，a n﹣a n﹣1=n，以上（n﹣1）个式子相加得，a n﹣a1=2+3+…+n，又a1=1，则a n=1+2+3+…+n=，所以=，则数列的前n项和为S n= = =，故选：B．2. 命题是命题的条件（）A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要参考答案：B3. 设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，5}，则A∩（?U B）等于（）A．{2}B．{2，3}C．{3}D．{1，3}参考答案：D【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出集合B在全集中的补集，然后与集合A取交集．【解答】解：因为集合U={1，2，3，4，5}，B={2，5}，所以C U B={1，3，4}，又A={1，3，5}，所以A∩（C U B）={1，3，5}∩{1，3，4}={1，3}．故选D．4. 已知α、β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，下列命题中正确命题是（）A．若α⊥β，l⊥β，则l∥αB．若l上有两个点到α的距离相等，则l∥αC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】阅读型．【分析】由线面平行的判定方法，我们可以判断A的真假；根据直线与平面位置关系的定义及几何特征，我们可以判断B的真假；根据线面垂直的判定定理，我们可以判断C的真假；根据空间平面与平面位置关系的定义及几何特征，我们可以判断D的真假．进而得到答案．【解答】解：A中，若α⊥β，l⊥β，则l∥α或l?α，故A错误；B中，若l上有两个点到α的距离相等，则l与α平行或相交，故B错误；C中，若l⊥α，l∥β，则存在直线a?β，使a∥l，则a⊥α，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故C正确；D中，若α⊥β，α⊥γ，则γ与β可能平行也可能相交，故D错误；故选C【点评】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟练掌握空间直线与平面，平面与平面位置关系的定义及判定方法，是解答本题的关键．5. 某几何体的三视图如右图所示，它的体积为( )A.B.C.D.参考答案：A略6. 袋中有大小完全相同的2个白球和3个黄球，逐个不放回地摸出两球，设“第一次摸得白球”为事件，“摸得的两球同色”为事件，则为（）A．B．C．D．参考答案：C7. 函数的最小值为A．2 B． C．4D．6参考答案：A略8. 如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出（）A．性别与喜欢理科无关B．女生中喜欢理科的比为80%C．男生比女生喜欢理科的可能性大些D．男生不喜欢理科的比为60%参考答案：C本题考查学生的识图能力，从图中可以分析，男生喜欢理科的可能性比女生大一些．9. 给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．【分析】根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是?p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．【解答】解：∵?p是q的必要而不充分条件，∴q是?p的充分不必要条件，即q??p，但?p不能?q，其逆否命题为p??q，但?q不能?p，则p是?q的充分不必要条件．故选A．10. 设是将函数向左平移个单位得到的，则等于A. B. C. D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某汽车交易市场最近成交了一批新款轿车，共有辆国产车和辆进口车，国产车的交易价格为每辆万元，进口车的交易价格为每辆万元．我们把叫交易向量，叫价格向量，则的实际意义是参考答案：.该批轿车的交易总金额12. 我们知道：在长方形ABCD 中，如果设AB=a ，BC=b，那么长方形ABCD的外接圆的半径R满足：4R2=a2+b2，类比上述结论回答：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果设AB=a，AD=b，AA1=c，那么长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的半径R满足的关系式是________．参考答案：4R2=a2+b2+c2【考点】类比推理【解析】【解答】解：从平面图形类比空间图形，模型不变．可得如下结论：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果设AB=a，AD=b，AA1=c，那么长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的半径R满足的关系式是4R2=a2+b2+c2，故答案为：4R2=a2+b2+c2．【分析】从平面图形类比空间图形，从二维类比到三维模型不变．13. 若直线l的倾斜角是直线2x﹣y+4=0的倾斜角的两倍，则直线l的斜率为．参考答案：【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线y=2x+4倾斜角为θ，则tanθ=2，直线l的倾斜角是2θ，利用斜率计算公式、倍角公式即可得出．【解答】解：设直线y=2x+4倾斜角为θ，则tanθ=2，直线l的倾斜角是2θ，则直线l的斜率=tan2θ===，故答案为：．14. 朝露润物新苗壮，四中学子读书忙.天蒙蒙亮，值日老师站在边长为100米的正方形运动场正中间，环顾四周.但老师视力不好，只能看清周围10米内的同学.郑鲁力同学随机站在运动场上朗读.郑鲁力同学被该老师看清的概率为 .参考答案：15. 设函数的导函数为，若，则＝▲．参考答案：105结合导数的运算法则可得：，则，导函数的解析式为：，据此可得：.16. 若直线⊥平面，直线，有下面四个命题：①; ②; ③; ④，其中正确的命题是参考答案：①③17. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=,b=1，则c=________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
山东省青岛市青岛第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题(含答案解析)
山东省青岛市青岛第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题二、多选题三、填空题四、解答题17．已知ABC 的三个顶点的坐标为(1)求ABC 的面积；(2)求ABC 的外接圆的标准方程18．已知直线40x my --=和圆(1)当m 为何值时，截得的弦长为(2)若0OA OB ⋅≤，求m 的取值范围19．已知O 为坐标原点，(1,0A 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)直线l 经过点()0,2-，与E 为4，求PQ .20．已知动圆C 过定点(2,0D (1)求动圆圆心的轨迹T 的方程；(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为直线AM，BM分别交椭圆于两点（i）证明：点B在以PQ为直径的圆内；（ii）求四边形APBQ面积的最大值22．已知点(2,3)在双曲线C(1)双曲线上动点Q处的切线交AOB的面积S是定值；(2)已知点1(,1)2P，过点P作动直线取异于点M､N的点H，满足参考答案：9．BCD【分析】根据方程的形式，结合圆，椭圆和双曲线的形式，即可求解【详解】对于A ，当方程C 可表示圆时，16k k +=对于B ，当9k >时，2222169169x y x y k k k k -=+=+-+-圆，故B 正确；;对于C ，当169k -<<时，160k +>，90k ->，表示焦点在对于D ，当方程C 表示双曲线时()()1690k k +->22216925c a b k k =+=++-=，焦距为10，当方程C 表示椭圆时，()22:1R 169x y C k k k +=∈+-，()22216925c a b k k =-=+--=，焦距为10，所以焦距均为故选：BCD11．ABC【分析】对于A ：利用余弦定理及双曲线的定义求出于B ：设222y x λ-=，与直线联立，发现12,x x y +PM NQ =；对于C ：求出12PA PA k k ⋅为定值，进而可得方程和双曲线方程联立，通过判别式可得结果.【详解】在双曲线2212y x -=中，()()121,2,3,1,0,1,0,a b c A A ===-()13,0,F F -对于A ：在双曲线的焦点三角形12PF F △中，2对于B ，不妨设222y x λ-=设直线:l y kx m =+，其与x 联立222y x y kx m λ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，可得(2k 应满足220k -≠且0∆>.由韦达定理可知1222km x x +=-所以线段PQ 的中点与线段MN 由,PT QT NT MT ==可知对于C ，设()00,P x y ，且x 12000200011PA PA y y y k k x x x ⋅=⋅=+--所以若1PA 的斜率范围为[8,-对于D ，联立2221012x y y x --=⎧⎪⎨-=⎪⎩所以不存在中点，D 错误.故选：ABC.12．ABD【分析】根据给定条件，求出点标，再逐项计算判断即得.对于A，直线MQ斜率22 MQk=对于B，由12,2P Qx x==，得PF对于C，显然2(2,),2FM FQ =-对于D，点O到直线PQ的距离15．2212521y x +=【分析】设动圆C 的圆心(),C x y ，半径为心的轨迹为椭圆，根据椭圆定义可得轨迹方程【详解】设动圆C 的圆心(),C x y ，半径为22:430C x y y +++=得:C x设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线PQ 2y kx =-与2214y x -=联立得：(由()22163240k k ∆=+->且4-由韦达定理得122448k x x k x x ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=，）如图，设动圆圆心()1,O x y ，设圆1O 截y 轴上时，过1O 作1O H MN ⊥交()222x y =-+，化简得2y 轴上时，动圆1O 过定点()2,0D（2）（i ）易知(2,0),(2,0)A B -，根据题意可知直线,AM BM 斜率均存在，且所以直线AM 的方程为6ty =联立直线AM 和椭圆方程24y x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩由韦达定理可得24227p t x --=+联立直线BM 和椭圆方程24y x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩由韦达定理可得2241223q t x t -=+则222542182,2727t t BP t t ⎛⎫-=-= ⎪++⎝⎭ 2222662,33t t BQ t t ⎛⎫-⎛=--= ⎪ ++⎝⎝⎭所以22412273t BP BQ t -⎛⋅=⨯- ++⎝ 即可知PBQ ∠为钝角，所以点（ii ）易知四边形APBQ 的面积为1182227p q S AB y y ⎛=⨯⨯-= +⎝设()()1122,,,M x y N x y ，则1x x +设点H 的坐标为(),H H x y ，则由PM MH PN HN =得，121212x x x x -=-变形得到(1212122H x x x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭将22121222124,3k k k k x x x x k k --+==--将832H k x k -=-代入112y k x ⎛-=- ⎝则(24318123232232H H k k x y k k -+-=---故点H 恒在一条定直线32x y --【点睛】方法点睛：过圆()x a -()()()()00x a x a y b y b --+--=过圆()()222x a y b r -+-=外一点()()()()00x a x a y b y b --+--=过椭圆22221x y a b+=上一点(0,P x y 过双曲线22221x y a b-=上一点(P x。
山东省青岛第二中学高二数学上学期期中模块考试试卷 理
数学试题(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线2x y =的准线方程是（ ） A ．014=+xB ．014=+yC ．012=+xD ．012=+y2．已知命题p ：1x ∃>，210x ->，那么p ⌝是（ ） A ．1x ∀>，210x -> B ．1≤∀x ，210x -≤ C ．1>∀x ，210x -≤ D ．1x ∃≤，210x -≤3．右图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间20[，)30内的概率为（ ）A ．2.0B ．4.0C ．5.0D ．6.04．已知命题p ：若y x >，则y x -<-；命题q ：若y x <，则22y x >． 在命题：①q p ∧；②q p ∨；③)(q p ⌝∧；④q p ∨⌝)(中，真命题是（ ） A ．①③ B．①④ C．②③ D．②④5．已知抛物线)0(22>=p px y 的准线与圆05422=--+x y x 相切，则p 的值为（ ） A ．10 B ．6 C ．4 D ．2 6．“21≠≠b a 或”是“3≠+b a ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．若双曲线0122=--y tx 的一条渐近线与直线012=++y x 垂直，则该双曲线的离心率为（ ）1 2 3 8 90 2 3 7 9 0 1 3A ．5B ．25 C ．23 D ．38．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93．下列说法一定正确的是（ ） A ．这种抽样方法是一种分层抽样 B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 9．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为a x b yˆˆˆ+=．若某同学根据上表中前两组数据1(，)0和2(，)2求得的直线方程为a x b y '+'=，则以下结论正确的是（ ）A ．a a b b'>'>ˆˆ， B ．a a b b '<'>ˆˆ， C ．a a b b '>'<ˆˆ， D ．a a b b '<'<ˆˆ， 10．已知点P 是椭圆)00(181622≠≠=+y x y x ，上的动点，21F F 、为椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是12F PF ∠平分线上一点，且10F M MP ⋅=u u u u r u u u r ，则OM u u u u r的取值范围是（ ）A ．0(，)3B ．0(，)22C ．22(，)3D ．0(，)4第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．11．圆0222=-+x y x 与圆0422=++y y x 的公切线有_________条． 12．已知实数0[∈x ，]8，随机输入x ，执行如右图所示的程序框图，则输出的x 不小于55的概率为__________．13．若命题p 的逆命题是q ，命题r 是命题q 的否命题，则p 是r 的________命题．14．过抛物线24y x =焦点的直线l 的倾斜角为3π，且l 与抛物线相交于A B 、两点，O 为原点，那么AOB ∆的面积为 ．15．设椭圆12222=+b y a x 与双曲线22221(0)x y a b a b-=>>其中的离心率分别为1e ，2e ，有下列结论：①121<e e ；②22221=+e e ；③121>e e ；④121=e e ；⑤221<+e e ． 其中正确的是 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分) 已知：0>a ，02082>--x x p ：，01222>-+-a x x q ：，且p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．17．(本小题满分12分) 袋中有大小相同的红球和白球各1个，每次任取1个，有放回地摸三次．（Ⅰ）写出所有基本事件；（Ⅱ）求三次摸到的球恰有两次颜色相同的概率； （Ⅲ）求三次摸到的球至少有1个白球的概率．18．(本小题满分12分) 某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取n 份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在50[，)60的学生人数为6． （Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）试估计所抽取的数学成绩的平均数；（Ⅲ）试根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩70≥”的概率．19．(本小题满分12分)已知点2(-P ，)3-，圆C ：9)2()4(22=-+-y x ，过P 点作圆C 的两条切线，切点分别为A 、B ．（Ⅰ）求过P 、A 、C 三点的圆的方程； （Ⅱ）求直线AB 的方程．20．(本小题满分13分) 已知抛物线2:4C y x =与直线24y x =-交于A ，B 两点．（Ⅰ）求弦AB 的长度；（Ⅱ）若点P 在抛物线C 上，且ABP ∆的面积为12，求点P 的坐标．21．(本小题满分14分) 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于12，它的一x个顶点恰好是抛物线2x =的焦点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点P 2(，)3， Q 2(，)3-在椭圆上，A 、B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点． ①若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值； ②当A 、B 运动时，满足于BPQ APQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由． 附加题：本题满分10分．已知21A A 、是平面内两个定点，且()02||21>=c c A A ，若动点M 与21A A 、连线的斜率之积等于常数)0(≠m m ，求点M 的轨迹方程，并讨论轨迹形状与m 值的关系．青岛二中2014—2015学年第一学段模块考试高二数学（理科）参考答案一、选择题：三、解答题：16. 30≤<a ；17．3．（I ）（红，红，红），（红，红，白），（红，白，白），（白，红，红），（白，红，白），（红，白，红），（白，白，红），（白，白，白）；（Ⅱ）43；（Ⅲ）87． 【解析】试题解析：（I ）所有基本事件：（红，红，红），（红，红，白），（红，白，白），（白，红，红），（白，红，白），（红，白，红），（白，白，红），（白，白，白）共8种．（Ⅱ）记“三次摸到的球恰有两次颜色相同”为事件A ：则Ａ所包含的基本事件为（红，红，白），（红，白，白），（白，红，红），（白，红，白），（红，白，红），（白，白，红），共６种，所以P(A)＝4386=； （Ⅲ）记“三次摸到的球至少有1个白球”为事件Ｂ：则Ｂ所包含的基本事件为（红，红，白），（红，白，白），（白，红，红），（白，红，白），（红，白，红），（白，白，红），（白，白，白），共７种，所以P(Ｂ)＝87． 考点：列举法计算基本事件及事件发生的概率． 18．（1）03.0；（2）4.76；（3）7.0；19. 【答案】（1）()46121122=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-y x ；（2）02556=-+y x【解析】试题分析：(Ⅰ)设A （x 1,y 1)、B(x 2,y 2),由2244y x y x=-⎧⎨=⎩得x 2-5x+4=0,Δ>0． 法一：又由韦达定理有x 1+x 2=5,x 1x 2=4,21212|x x +-22121212()45251635,x x x x ++-=-= 法二：解方程得：x=1或4，∴A、B 两点的坐标为（1,-2)、（4,4） 22(41)(42)35,-++=(Ⅱ)设点2(,)4o o y P y ,设点P 到AB 的距离为d,则2425o o y y d --=,∴S △PAB =21·53·2425o o y y --=12，∴2482o o y y --=． ∴2482o o y y --=±，解得6o y =或4o y =- ∴P 点为（9，6）或（4，-4）． 考点：直线与椭圆的位置关系点评：直线与圆锥曲线相交，联立方程利用韦达定理是常用的思路21．（Ⅰ）2211612x y +=;（Ⅱ）①max 123S =；②21． 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆中的相关定义和方程，可知b =2221,2c a c b a ==+，即可求出求解a ，b ，进而求得标准方程．（Ⅱ）设直线方程，将直线方程和椭圆方程联立，通过消元，转化为一元二次方程去解决．①设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为t x y +=21，代入2211612x y +=，得01222=-++t tx x 由0∆>，解得44<<-t ，由韦达定理得12,22121-=-=+t x x t x x ． 四边形APBQ 的面积2213483621t x x S -=-⨯⨯=，可知当0=t ，max S ．②当APQ BPQ ∠=∠，则PA 、PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为k -，PA 的直线方程为3(2)y k x -=-，将其与椭圆方程联立整理得222(34)8(32)4(32)480k x k kx k ++-+--= ，可得2143)32(82k kk x +-=+同理PB 的直线方程为)2(3--=-x k y ，可得228(23)234k k x k++=+，2121222161248,3434k k x x x x k k --+=-=++，12121212()4ABy y k x x kk x x x x -+-==--，化简即可求得AB 的斜率为定值．试题解析：解：(1）设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，则b =．由2221,2c a c b a ==+，得4a = ∴椭圆C 的方程为2211612x y +=．（2）①解：设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为t x y +=21， 代入2211612x y +=，得01222=-++t tx x 由0∆>，解得44<<-t由韦达定理得12,22121-=-=+t x x t x x ． 四边形APBQ的面积2213483621t x x S -=-⨯⨯=∴当0=t，max S =． ②解：当APQ BPQ ∠=∠，则PA 、PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k则PB 的斜率为k -，PA 的直线方程为3(2)y k x -=- 由223(2)(1)1(2)1612y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩L L L L L。
山东省青岛市开发区第二中学2020-2021学年高二数学文联考试卷含解析
山东省青岛市开发区第二中学2020-2021学年高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，则（）A. B. C.D．参考答案：C2. 函数的定义域为（）A．B．C．D．（﹣∞，2）参考答案：B【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】题目给出的函数既有分式又有对数式，函数的定义域是保证分式、根式及对数式都有意义的自变量x的取值范围．【解答】解：要使原函数有意义，则需，解得：，所以原函数的定义域为（，2）．故选B．【点评】本题考查了函数定义域的求法，解答此题的关键是使构成函数的各个部分都有意义，属基础题．3. 双曲线x2﹣y2=﹣2的离心率为（）A．B．C．2 D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的标准方程，求出a，c的值即可得到结论．【解答】解：双曲线的标准方程是，则a2=2，b2=2，则c2=2+2=4，即a=，c=2，则离心率e==，故选：A【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出a，c的值是解决本题的关键．比较基础．4. 在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案：C【考点】异面直线及其所成的角．【专题】常规题型．【分析】连接C1B，D1A，AC，D1C，将MN平移到D1A，根据异面直线所成角的定义可知∠D1AC为异面直线AC和MN所成的角，而三角形D1AC为等边三角形，即可求出此角．【解答】解：连接C1B，D1A，AC，D1C，MN∥C1B∥D1A∴∠D1AC为异面直线AC和MN所成的角而三角形D1AC为等边三角形∴∠D1AC=60°故选C．【点评】本小题主要考查异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．5. 偶函数满足=，且在时，，则关于的方程，在上解的个数是( )A.1B.2C.3D.4参考答案：D6. 阅读如图所示的程序框图，若输入的a、b、c分别是1、2、7，则输出的a、b、c分别是（）A．7、2、1 B．1、2、7 C．2、1、7 D．7、1、2参考答案：D【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是按顺序交换变量a，b，c的值．模拟程序的执行过程，易得答案．【解答】解：由流程图知，a赋给x，x赋给b，所以a的值赋给b，即输出b为1，c的值赋给a，即输出a为7．b的值赋给c，即输出c为2．故输出的a，b，c的值为7，1，2故选：D．7. 下列命题错误的是A、命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为“若方程无实数根，则”B、“”是“”的充分不必要条件C、对于命题,使得，则，均有D、若为假命题，则均为假命题参考答案：D8. 如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c, 点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则等于 ( )参考答案：B9. （5分）（2014秋?郑州期末）已知点（2，1）和（﹣1，3）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．﹣4＜a＜9 B．﹣9＜a＜4 C． a＜﹣4或a＞9 D． a＜﹣9或a＞4参考答案：A【考点】：直线的斜率．【专题】：直线与圆．【分析】：由点（2，1）和（﹣1，3）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，把两点的坐标代入3x ﹣2y+a所得的值异号，由此列不等式求得a的范围．解：∵点（2，1）和（﹣1，3）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，∴（3×2﹣2×1+a）（﹣1×3﹣2×3+a）＜0，即（a+4）（a﹣9）＜0．解得﹣4＜a＜9．故选：A．【点评】：本题考查了简单的线性规划，考查了二元一次不等式所表示的平面区域，是基础题．10. 设S n=1﹣3+5﹣7+…+（﹣1）n﹣1（2n﹣1）（n∈N*），则S n等于( )A．n B．﹣n C．（﹣1）n n D．（﹣1）n﹣1n参考答案：D【考点】数列的求和．【专题】计算题；函数思想；等差数列与等比数列．【分析】利用n=1，2，3验证即可得到选项．【解答】解：当n=1时，选项BC不成立；当n=2时，选项A不成立，故选：D．【点评】本题考查数列求和，选择题的解题，灵活应用解题方法，是解题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 过双曲线(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)作圆的切线，切点为E，若切线FE交轴于点，则双曲线的离心率为 __参考答案：12. 若两个非零向量,满足,则与的夹角为▲．参考答案：【知识点】向量加法与减法运算的几何意义【答案解析】解析：解：因为，所以以向量为邻边的平行四边形为矩形，且构成对应的角为30°的直角三角形，则则与的夹角为60°.【思路点拨】求向量的夹角可以用向量的夹角公式计算，也可利用向量运算的几何意义直接判断.13. 若向量，，，满足条件，则．参考答案：．14. 在 (x－1)11的展开式中，系数最小的项的系数为 ________(结果用数值表示)。
山东省青岛第二中学2024-2025学年高二上学期期中考试 数学试题(含解析)
山东省青岛第二中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线方程为tan 6030x y ︒--=，则该直线的倾斜角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒2.下列四个命题，其中真命题是（）A.若向量a 与向量,b c 共面，则存在实数x ，y ，使a xb yc=+B.若直线l 的方向向量1,0,32n ⎛⎫=⎪⎝⎭，平面α的法向量为12,0,3m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，则直线//l αC.若1(1,2,2),,0,12AB AC ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则点B 到直线AC 的距离为2D.若直线a 的方向向量为(1,0,1)a =- ，平面α的法向量为(1,1,1)m =，则a α⊥3.设A ，B 为两个随机事件，以下命题正确的为（）A.若,A B 是对立事件，则()1P AB =B.若A ，B 是互斥事件，11(),()32P A P B ==，则1()6P A B +=C.若,A B 是独立事件，12(),()33P A P B ==，则1()9P AB =D.若11(,()32P A P B ==，且1()3P AB =，则,A B 是独立事件4.若圆2221:(1)(2)(0)C x y r r ++-=>上恰有2个点到直线:34150l x y ++=的距离为1，则实数r 的取值范围为（）A.(3,)+∞ B.(5,)+∞ C.(3,5)D.[3，5]5.为了了解某班学生数学成绩，利用分层随机抽样抽取了一个10人的样本，统计如下表：则可估计全班学生数学的平均分和方差分别为（）学生数平均分方差男生6804女生4752A.77.5，9.2B.77.5，11C.78，9.2D.78，116.已知P 是直线:10l x y +-=上一点，M ，N 分别是圆22l C :(1)(8)1x y -+-=和222:(5)(5)4C x y -+-=上的动点，则||||PM PN +的最小值是（）A.7B.8C.9D.107.已知椭圆22221(0)x y a c b a b+=>>>的左焦点F 和下顶点A ，直线:40l y -+=交椭圆于,M N 两点，若F 恰好为AMN 的重心，则椭圆的离心率为（）A.23B.32C.33D.638.已知直线(0)y kx m km =+≠与x 轴和y 轴分别交于A ，B 两点，且||AB =动点C 满足CA CB ⊥，则当k ，m 变化时，点C 到点(2,2)D 的距离的最大值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分．有选错的得0分．9.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字x 表示第一次抛掷骰子的点数，数字y 表示第二次抛掷骰子的点数，用(,)x y 表示一次试验的结果．记事件7A x y =+=“”，事件3B x =≤“”，事件mod51C xy =≡“”，[注：余数运算mod (0)a b c b ≡≠表示整数a 除以整数b 所得余数为c ．则（）A.7()36P C =B.A 与C 为对立事件C.A 与B 相互独立D.B 与C 相互独立10.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知11,AB AD AA ===11A AD A AB ∠=∠BAD =∠60︒=，E 为棱1CC 上一点，且12C E EC =，则（）A.1BD =B.直线1BD 与AC 所成角的余弦值为6C.直线1BD 与平面11ACC A 所成角为π4D.1A E ⊥平面11BDD B 11.圆221:(2)25C x y -+=，圆222:(2)1C x y ++=，动圆M 与圆1C 内切于点E ，与圆2C 外切于点F ，圆心M 的轨迹为曲线C ，则（）A.圆心M 的轨迹方程为221(3)95x y x +=≠- B.cos EMF ∠的最大值为18C.12EM MC FM MC ⋅+⋅的最大值为2D.曲线C 在点M 处的切线与线段EF 垂直三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.圆221:450C x y x +--=与圆222:230C x y y +--=相交于A B 、两点，则||AB =______.13.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，P 是平面11ADD A 上一动点，E 是棱CD 上一点，若APB DPE ∠=∠，且APB 的面积是DPE 面积的4倍，则三棱锥P ABE -体积的最大值是______.14.设O 为坐标原点，12F F 、为粗圆2212x y +=的左、右焦点，P 为椭圆第二象限上的一点.若1F M OP ⊥，交线段2F P 于点M ，则22MF PF 的取值范围为______四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了n 位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分（百分制）按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图.已知调查评分在[70,80)中的市民有200人.心理测评评价标准如下表：调查评分[0,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[80,90)心理等级EDCBA（1）求n 的值及频率分布直方图中t 的值；（2）在抽取的心理等级为D 的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在[40;50)的市民的心理等级转为B 的概率为15，调查评分在[50;60)的市民的心理等级转为B 的概率为13，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B 的概率．16.（本题满分15分）已知圆C 的圆心在y 轴上，且经过点(2,0),(1,3)A B （1）求圆C 的标准方程；（2）若圆C 上存在一点P 满足ABP 的面积为5，求直线AP 的方程.17.（本题满分15分）如图所示正四棱锥2S ABCD SA SB SC SD AB -=====，，，P 为侧棱SD上的点，且3SP PD =.（1）求证：SD AC ⊥；（2）求平面SBC 与平面A CP 所成角的正弦值；（3）侧棱SA 上是否存在一点E ，使得//BE 平面PAC ，若存在，求SEEA的值；若不存在，试说明理由.18.（本题满分17分）已知过点(0,1)A 且焦距为2的椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，过点10,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率存在的直线交椭圆E 于P ，Q 两点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）直线AP ，AQ 的斜率之积是否为值？若是，求出定值；若不是，请说明理由；（3）过点（1，0）作直线l 与椭圆E 交于C ，D 两点（点C 在x 轴上方），椭圆E 的左顶点为1A ，右顶点为2A ，求证：直线1A D 与直线2A C 的交点G 在一条定直线上.山东省青岛第二中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题答案1.【答案】A ，【详解】3tan 6030303x y x y x ︒--=⇒--=⇒=-，由此可知该直线的斜率为33，所以直线的倾斜角为30︒2.【答案】C ，【分析】对于A ，举反例排除即可；对于BC ，利用空间向量判断线面关系即可；对于D ，根据空间中点到直线的距离公式求解判断即可.【详解】对于A ，若a为非零向量，且与b 不共线，而b 与c 共线，则不存在实数x ，y ，使a xb yc =+成立，故A 错误；对于B ，由于1010a m ⋅=+-= ，则a m ⊥ ，所以//a α或a α⊂，故B 错误；对于C ，因为1(1,2,2),,0,12AB AC ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以25525(1,2,2),,0,555||AC a AB u AC AC ⎛⎫==-===- ⎪ ⎪⎝⎭，所以29,055a a u =⋅=-+-=，所以点B 到直线AC2=，故C 正确.对于D ，由于1010n m ⋅=-++=，则n m ⊥，所以//l α或l α⊂，故D 错误；故选：C ．3.【答案】D ，【分析】根据对立事件的概念判断A ，根据互斥事件的概率加法公式判断B ，根据独立事件的定义及概率公式判断C 、D.【详解】对于A ，若A ，B 是对立事件，则()0,A P AB =错误；对于B ，若A ，B 是互斥事件，11(),()32P A P B ==，则5()()(),6P A B P A P B B +=+=错误；对于C ，若A ，B 是独立事件，则A B 是独立事件，而12(),()33P A P B ==，则2()(()[1()][1()]C9P AB P A P B P A P B ==-⋅-=错误；对于D ，11(,()32P A P B ==，则21()1(),()1()32P A P A P B P B =-==-=，又1()()()3P AB P A P B ==⋅，则A ，B 是独立事件，D 正确.故选：Ｄ4.【答案】C ，【详解】如图所示设与直线l 行且与直线l 之间的距离为1的直线方程为430x y c -+=，22|10|14(3)=+-，解得5c =-或15c =-，圆心1(1,2)C -到直线4350x y --=的距离为122|465|34(3)d ==+-，圆1(1,2)C -到直线43150x y --=的距离为222|4615|54(3)d ==+-，由图可知，圆1C 与直线4350x y --=相交，与直线43150x y --=相离，所以12d r d <<，即35r <<.故选：C5.C ，【分析】由均值和方差公式直接计算.【详解】可估计全班学生数学的平均分为3280757855⨯+⨯=，方差为22324(8078)2(7578)9.255⎡⎤⎡⎤+-++-=⎣⎦⎣⎦.故选：C.6.【答案】D ，【详解】圆221:(1)(8)1C x y -+-=，则圆心1(1,8),1C r =，圆222:(5)(5)4C x y -+-=，则圆心2(5,5),2C R =，两圆心在直线l 的同侧.又圆心1(1,8)C 到直线l 的距离1212d ==>，圆心2(5,5)C 到直线l 的距离292222d ==>，则两圆在直线l 的同侧且与直线相离，如图所示，圆心1(1,8)C 关于直线:10l x y +-=的对称点为(7,0)E -，所以221222||(75)(05)13PC PC PE PC EC +=+≥=--+-，当且仅当2 C P E 、、三点共线时等号成立；即||||PM PN +的最小值为2132110EC R r --=--=．故选：D.7.【答案】D ，【详解】E 为MN 的中点，即22OE MNb k k a =-22OE b k a=-，所以222,(,0),(0,)2OMk F c A b a =-，由F 恰好为AMN 的重心，则32,,22c b AF FE E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以22223b a c-=-，则22a =，平方后得()4222224224299,9920a b c a c c c a c a ==--+=，即()()42229e 9e 203e 13e 20-+=⇔--=，解得：3e=3或6e 3=，由条件c b >，所以6e 3=.故选：D8.【答案】B ，【解答过程】由(0)y kx m km =+≠，得,0,(0,)m A B m k ⎛⎫-⎪⎝⎭，由||AB =228m m k ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，由CA CB ⊥，得0AC BC ⋅= ，设(,)C x y ，则,(,)0m x y x y m k ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭，即2222224m m m x y k k ⎛⎫⎛⎫++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭224m =，因此点C 的轨迹为一动圆，设该动圆圆心为(),x y ''，即有,22m m x y k ''=-=，则m k =2,2x m y ''-=代入228m m k ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，整理得：222x y ''+=，即C 轨迹的圆心在圆222x y ''+=上（除此圆与坐标轴的交点外），点(2,2)D 与圆222x y ''+=上点(1,1)--连线的距离加上圆C 的半径即为点C 到点(1,1)D的距离的最大值，所以最大值为=.故选：B.9.AC ，【分析】用列举法列出所有可能结果，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率公式计算可得.【详解】依题意依次拋郑两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为6636⨯=个；其中事件A =“7x y +=”包含的样本点有：(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)共6个；事件3B x =≤“”，包含的样本点有：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2)，(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)共18个，事件mod51C xy =≡“”，包含的样本点有：(1,1),(1,6),(2,3),(3,2),(4,4),(6,1)，(6,6)，共7个，对于7,()36A P C =，故A 正确；对于,B A C ⋃包含的样本点(1,6)，所以A 与C 不为对立事件，故B 错误；对于C ，事件AB 包含的样本点有(1,6),(2,5),(3,4)共3个，所以6118131(),(),()3663623612P A P B P AB ======，所以()()()P A P B P AB =，所以A 与B 相互独立，故C 正确；对于D ，事件BC 包含的样本点有：(1,1),(1,6),(2,3),(3,2)共4个，而7141(),(),()362369P C P B P BC ====，从而17()()()972P BC P B P C =≠=，所以B 与C 不相互独立，故D 错误．故选：AC.10.【答案】ABC ，【分析】通过建立空间的一组基底{,,}a b c，将相关直线的方向向量用基向量表示，利用向量数量积的运算律求模长判断A 项；利用空间向量的夹角公式计算判断B 项；利用向量的数量积是否为0判断C 项；通过求平面的法向量和空间向量的夹角判断D 项.【详解】不妨设1,,AB a AD b AA c === ，则1||||||1,2a b c a b b c a c ===⋅=⋅=⋅= .对于A ，因11BD BD DD b a c =+=-+ ，故2222211()||||||2()3222BD b a c a b c a b b c a c ⎛⎫=-+=+++-⋅+⋅-⋅=+⨯-= ⎪⎝⎭ ，故1BD =故A 正确；对于B ，因1 BD a b c AC a b =-++=+，，则||AC == 1AC BD ⋅= ()()a b a b c +⋅-++ 2211||||11122a ab ac a b b b c =-+⋅+⋅-⋅++⋅=-+++=，设直线1BD 与AC 所成角为θ，则116cos 6||AC BD AC BD θ⋅===⋅ ，故B 正确；对于C ；对于D ，因1111A E AC C E =+ 2,3a b c =+-1,DD c = 1123A E DD a b c c ⎛⎫⋅=+-⋅ ⎪⎝⎭22||3a c b c c =⋅+⋅- 112102233=+-=≠，即1A E 与1DD 不垂直，故1A E 不与平面11BDD B 垂直，故D 错误故选：ABC.11.【答案】ACD ，【详解】对于A ：设动圆M 的半径为r ，由条件得125,1MC r MC r =-=+，则121264MC MC C C +=>=，去掉E ，F ，M 重合的点），则圆心M 的轨迹方程为221(3)95x y x +=≠-，故A 正确；对于B ：由图可知EMF ∠与12C MC ∠互补，当M 点为椭圆短轴端点时，12C MC ∠最大，EMF ∠最小，即cos EMF ∠的最大，1299161cos cos 2*3*39EMF C MC +-∠=-∠=-=-故B 错误；对于C.，2122(5)(1)2(2)222r r EM MC FM MC r r r r r r +-⎛⎫⋅+⋅=--+=-≤⨯= ⎪⎝⎭当且仅当1r =时等号成立，故C 正确；对于D ：设点()()()00112212,,F ,,E ,,C (2,0),C (2,0)M x y x y x y -，当切线斜率不存在时，垂直；当切线斜率存在时，则过点()00,M x y 的椭圆的切线方程为00195x x y y +=，切线斜率为0059xy -，又11||||,5EM r FM r EC FC ==，所以12,5r ME EC MF rFC =-= ，则()()()()202022101011,2,,,2,5rx x y y x y x x y y r x y --=-----=---，解得0021002152251,551x r x r x x r r y y y y r r -⎧-⎧==⎪⎪⎪⎪-+⎨⎨⎪⎪==⎪⎪-+⎩⎩，所以021*******MN y y y k x x x r -==-+-，又2021111313r MC x =-====+-，因为033x -<≤，所以0223r x =+，所以0095EF y k x =，所以000059195x yy x -⨯=-，即曲线C 在点M 处的切线与线段EF 垂直，故D 正确.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.【答案】4，【详解】由圆221450C x y x +--=：与圆222:230C x y y +--=，两圆相减得公共弦AB 所在直线方程为：210x y -+=，有圆221:(2)9C x y -+=，可得圆心1(2,0)C ，半径13r =，所以圆心1C 到直线AB的距离d ==||4AB ==13.【答案】3，【详解】由条件先证明APB EPD ∽，结合面积关系可得2AP DP =，在平面11ADD A 上建立平面直角坐标系，确定点P 的轨迹方程，结合体积公式求三棱锥P ABE -体积的最大值.【详解】由已知AB ⊥平面11,ADD A AP ⊂平面11ADD A ，所以AB AP ⊥，因为DE ⊥平面11,ADD A DP ⊂平面11ADD A ，所以DE DP ⊥，所以90BAP EDP ︒∠=∠=，又APB DPE ∠=∠，所以APB DPE ∽，又APB 的面积是DPE 面积的4倍，可得2AP DP =．14.【答案】(0,22)-【详解】设点22(,),0,0,F M P m n m n y F P<<=，由题，122(1,0),(1,0),(1,)F F F P m n -=-，设()()2,,1,M M M M M x y F M x y =- ，则22F M yF P =，可得((1)1,)M y m ny -+，则1((1)2,)F M y m ny =-+ ，由10F M OP ⋅=，可得：2222(1)20,mmy m m n y y m m n --++==-+，又P 在椭圆上，则2212m n =-，所以244,(2,0),2222my m y m m m m -=∈=-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，且2m m+在(2,0)单调递减，所以422y m m =⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，在(2,0)-单调递减，0m →时，0,2y m →=时，222y =，故(0,22)y ∈-，故答案为：(0,22)-.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）1000,0.002n t ==；（2）2945．【分析】（1）由题意，根据调查评分在[70,80)中的市民人数以及频率，列出等式即可求出n 的值，根据频率之和为1，列出等式即可求出t 的值；（2）根据频率分布直方图所给信息以及分层抽样的定义得到调查评分在[40,50)和[50,60)所抽取的人数，结合相互独立事件的概率公式以及对立事件的概率进行求解即可．【详解】（1）易知调查评分在[70,80)中的市民有200人，而评分在[70,80)中的频率为100.0200.2⨯=，所以20010000.2n ==，而10(0.00470.0200.0350.025)1t t +++++=，解得0.002t =.（2）因为评分在[40,50)中的人数是评分在[50,60)中人数的一半，若通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导，此时评分在[40,50)内的有1人，在[50,60)内的有2人，记“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B ”为事件A ，因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，所以42216()53345P A =⨯⨯=，故1629()1()14545P A P A =-=-=则在抽取的3人中，经心理疏导后至少一人的心理等级转为B 的概率为2945.16.【详解】（1）由题意，设圆C 的标准方程为222()x y a r +-=，代入点(2,0),(1,3)A B ，解之得1,a r ==，故圆C 的标准方程为22(1)5x y +-=.（2）解法一：由(2,0),(1,3)A B 可得斜率为30312k -==--，故直线AB的方程为360,||x y AB +-==，由5ABP S = 得点P 到直线AB的距离d ==，设()00,P x y，则()220015x y =⎪+-=⎩022x y =-⎧⎨=⎩或0011x y =-⎧⎨=-⎩，即(2,2)P -或(1,1)P --，解法二：因为直线AB 的斜率30312AB k -==--，所以直线AB 的方程为36y x =-+，即360x y +-=，||AB ==P 到直线AB 的距离为d ，则由5ABP S =得d ==，则将直线AB 沿着与AB个单位即可，此时该平行线与圆的交点即为点P ，设该平行线的方程为30x y C ++=，=4C =或16C =-，当4C =，联立22(1)5340x y x y ⎧+-=⎨++=⎩，解得11x y =-⎧⎨=-⎩或22x y =-⎧⎨=⎩，即(2,2)P -或(1,1)P --解法三：同解法一得到直线AB 的方程为360x y +-=，点P 到直线AB的距离d ==，设,1)P θθ+，其中[0,2π)θ∈，则有=，联立22cos sin 1θθ+=，解得5cos 525sin 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或25cos 55sin 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即(2,2)P -或(1,1)P --当(1,1)P --时，直线AP 的方程为320x y --=，当(2,2)P -时，直线AP 的方程为220x y +-=17.【答案】（1）证明见解析（2）277（3）2【分析】（1）利用正四棱锥的定义可得SO ⊥面ABCD ，即SO AC ⊥，从而利用线面垂直的判定定理可得AC ⊥面SBD ，由此得AC SD ⊥；（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，利用题设中的条件与平面几何的知识求得各线段的长度，从而得到各点的坐标，再求出SC 与平面ACP 的一个法向量为n，利用向量的数量积运算即可求得直线SC 与平面ACP 所成角的正弦值；（3）假设存在，且EC SC λ= ，由此求得(1,1)BE λ=--，再由//BE 平面PAC 得0BE n ⋅= ，从而求得λ，由此可得SE EC的值.【详解】（1）连结BD AC O ⋂=，连结SO ，如图，因为四棱锥S ABCD -是正四棱锥，所以SO ⊥面ABCD ，又AC ⊂面ABCD ，所以SO AC ⊥，在正方形ABC D 中，BD AC ⊥，又,SO BD O SO BD ⋂=⊂、面SBD ，所以AC ⊥面SBD ，因为SD ⊂面SBD ，所以AC SD ⊥.（2）由（1）知BD ，AC ，SO 两两垂直，以O 为坐标原点，以OB ，OC ，OS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则由平面几何知识易知，112OA OB OC OD BD =====，SO =，所以(0,(1,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(1,0,0)S B C A D --，则(0,2,0)AC =，(0,1,SC =，因为3SP PD =，所以1113(1,0,,0,4444PD SD ⎛⎫==-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，故13,0,(1,1,0),1,4444PC PD DC ⎛⎫⎛⎫=+=--+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，设平面ACP 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则00AC n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2033044y x y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令1x =，则0,y z ==，故(1,n = ，同理面SBC 的法向量31,1,3m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设面SBC 与平面ACP 所成角为θ，则27sin 7θ==，所以面SBC 与平面ACP所成角的正弦值为7.（3）假设SA 上存在点E 满足题意，不妨设，EA SA λ=，(1,1,0)(1,1)BE BA AE λλ=+=---=---则，因为//BE 平面PAC ，所以0BE n ⋅= ，即1030λ-++=，故13λ=，所以13EA SA = ，则，所以2SEEA=18.【答案】（1）2212x y +=；（2）定值，32-；（3）2x =【详解】（1）根据题意可得，1b =，又22c =，则22a =，所以椭圆方程为2212x y +=（2）设过点A 的直线为()()11221,,,,,(0,1)2y kx P x y Q x y A =-，联立221212y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 整理得()22212430k x kx +--=，易得0∆>，则()12122223,12212k x x x x k k +==-++，所以1212121211111122AP AQkx kx y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⋅=⨯=()()212122221239332421222k x x k x x k k k x x -++==+-+=-.所以直线BM 与直线BN 的斜率之积为定值32-.（3）由题意可知：直线l 的斜率不为0，设直线CD 的方程为1 x my E =+，与的方程联立得22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 可得()222210m y my ++-=，设()()1122,,,C x y D x y ，则12222my y m +=-+，12212y y m =+，即()12122my y y y =-+，直线2:A C y x =-，直线1:A D y x =+，联立上述两方程消去yx x -=+，整理得((((12211221y x y x x x x ⎡⎤+--=++-⎣⎦，因为1x my =+即可得x =，由()12122my y y y =-+，得，2x +++=综上所述，动点G 在定直线2x =上.19.【答案】（1）313，（2）（i ）定点14,05⎛⎫⎪⎝⎭证明见详解；（ii ）26125【详解】（1）由椭圆定义可知12122,2AF AF a BF BF a +=+=，所以2ABF 的周长为4a =，所以a =，又因为椭圆离心率为22，所以22c a =，所以椭圆的方程：22184x y +=，所以椭圆的焦点为12(2,0),(2,0)F F -，当点A 为椭圆E 的上顶点时，(0,2)A ，所以直线l 的方程为：2y x =+，联立22184x y +=解得82,33B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由对称性知82,33C ⎛⎫-⎪⎝⎭，以O 为坐标原点，折叠后原y 轴负半轴，原x 轴，原y 轴的正半轴所在直线为x ，y ，z 轴建立如图空间直角坐标系，则28282828(0,0,2),,,0,,,0,,,2,,,233333333A B C A B A C '''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,设直线A C '与A B '所成角为θ，则3cos cos ,13A C AB θ''=<>= ，直线A B '与A C '所成角的余弦值为313.（2）（i ）设点()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，则直线2AF 的方程为11(2)2y y x x =--，则1122x x y y -=+，联立22184x y +=得()()2112211242240x x y y y y ⎡⎤--++-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以()()()22221111132222211111112144441243222282y y y y y y x x x x y x x y ----=====----+-+-+，故1313y y x =-，又，131383x x x -=-，同理22442238,33y x y x x x -==--，同理，由三点共线，1,,A F B 得，121222y y x x =++所以21121222x y x y y y -=-直线CD 的方程为431114313833y y y x y x x x x x ⎛⎫---=- ⎪---⎝⎭由对称性可知，如果直线CD 过定点，则该定点在x 轴上，令0y =得，145x =，故直线CD 过定点.14,05Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭（ii ）由题意知点2(0,2),(2,0)P F -，点H 的轨迹为以2F Q 为直径的圆（除2,F Q 外），圆心为12,05M ⎛⎫⎪⎝⎭，半径为25，故22612||55PH PM ++=。
2024届山东省青岛市二中高二上学期12月月考试题数学及答案
青岛二中2023-2024学年第一学期12月份阶段练习高二试题（数学）时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若直线1l ：210x my ++=与直线2l：2102m x y -+=垂直，则实数m 的值为（ ）A. 0B. 12-或0 C. 0或12D.122. 与椭圆C ：221156x y +=共焦点且过点(P 的双曲线的标准方程为（ ）A. 221167x y -=B. 22163x y -=C. 22136x y -= D. 221916x y -=3. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，且2a ，3a ，42a -成等差数列，则5S =（ ）A. 7B. 12C. 15D. 314. 求圆心在直线210x y +-=上，且与直线20x y ++=相切于点(0,2)-的圆的方程是（ ）A. ()()22112x y -++= B. ()2212x y +-=C. ()()22114x y -++= D. ()2214x y +-=5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34132160a a a ++=，则1165S a -=（ ）A. 240B. 180C. 120D. 606. 若数列{}n a 满足()()()1112n n n a n a n --=+≥，12a =，则满足不等式930n a <的最大正整数n 为（ ）A. 28B. 29C. 30D. 317. 细心的观众发现，2023亚运会开幕式运动员出场的地屏展示的是8副团扇，分别是梅兰竹菊松柳荷桂．“梅兰竹菊，迎八方君子；松柳荷桂，展大国风范“．团扇是中国传统文化中的一个重要组成部分，象征着团结友善．花瓣型团扇，造型别致，扇作十二葵瓣形，即有12个相同形状的弧形花瓣组成，花瓣的圆心角为120︒，花瓣端点也在同一圆上，12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，圆心记为O ，若其中一片花瓣所在圆圆心记为C ，两个花瓣端点记为A 、B ，切点记为D ，则不正确的是（ ）A. ,,O C D 在同一直线上B. 12个弧形所在圆的圆心落在同一圆上C. 30AOB ∠=︒D. 弧形所在圆的半径BC 变化时，存在OC BC=8. 双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过2F 且与双曲线C 左支交于点P ，原点O 到直线l 的距离为a ，且122F PO S a =△，则双曲线C 的离心率为（ ）AB.C. 2D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知首项为正数等比数列{}n a 的公比为q ，曲线:n C 2211++=n n x y a a ，则下列叙述正确的有（ ）A. 若n C 为圆，则1q =B. 若1q =-，则n C 离心率为2C. 01,n q C <<D. 0,n q C <是双曲线且其渐近线方程为y =10. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足101a <<，202320242a a +<，()()20232024110a a --<，则（）A. 01q << B. 202320251a a >C. 对任意的正整数n ，有4047n T T ≥ D. 使得1n T >的最小正整数n 为404711. 欧拉函数()()*n n ϕ∈N的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互质的正整数的个数（公约数只有1.的的两个正整数称为互质整数），例如：()32ϕ=，()42ϕ=，则（ ）A. ()()()4610ϕϕϕ⋅= B. 当n 奇数时，()1n n ϕ=-C. 数列(){}2nϕ为等比数列D. 数列()()23nn ϕϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和小于3212. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过F 的一条直线与C 交于A ，B 两点，若点M 在l 上运动，则（ ）A. 当AM AF =时，AM l⊥B. 当AM AF MF ==时，2AF BF =C. 当M A M B ⊥时，,,A M B 三点的纵坐标成等差数列D 当M A M B ⊥时，2AM BM AF BF⋅⋅≥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 在数列{}n a 中，若12a =，11n n a a n +=++，则{}n a 的通项公式为______．14. 已知圆C ：()()221225x y ++-=，直线()():311420l m x m y m +++--=，直线l 与圆C 交于,A B 两点，最短弦长AB =______________.15. 英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列.已知音M 的频率为m ，音分值为k ，音N 的频率为n ，音分值为l .若m =，则k l -=_________16. 已知1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，过点1F 且斜率存在的直线l 与双曲线C 的渐近线相交于,A B 两点，且点A 、B 在x 轴的上方，A 、B 两个点到x 轴的距离之和为85c，若22AF BF =，则双曲线的渐近线方程是_____________________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知ABC 顶点()3,3A ，边AC 上的高BH 所在直线方程为60x y -+=，边AB 上的中线CM 所在的直线方程为53140x y --=.为.（1）求直线AC 的方程：（2）求ABC 的面积.18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，490S =-，1015a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值，并指出n 取何时n S 取得最小值.19. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，1323n n S n +=+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）()()*2N 2n n n a c n -=∈，求数列{}n c 的前n 项和n T .20. 已知抛物线()2:20C y px p =>上的一点()2,M a 到抛物线的焦点F 的距离是3.（1）求抛物线C 的方程；（2）已知过点F 直线与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线与C 的准线l 交于点D ，且线段AB 的中点为NAB λ，求实数λ的取值范围.21. 已知数列{}n a 中，15a =，且122n n a a +=+.（1）求证：数列{}2n a -是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设()223m b m λ=-+，12433n n n a c n λ--⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中0λ>，若对任意*,m n ∈N ，总有73m n b c ->成立，求λ的取值范围.22. 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点()0,2K ，左焦点()12,0F -，右焦点()22,0F ，左、右顶点分别为1A 、2A .的（1）求椭圆方程；（2）已知点P 是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线2A P 交y 轴于点Q ，若1A PQ △的面积是22A F P △面积的(2倍，求直线2A P 的方程；（3）如图过椭圆的上顶点K 作动圆1F 的切线分别交椭圆于M 、N 两点，是否存在圆1F 使得KMN △为直角三角形?若存在，求出圆1F 的半径r ；若不存在，请说明理由.青岛二中2023-2024学年第一学期12月份阶段练习高二试题（数学）时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若直线1l ：210x my ++=与直线2l：2102m x y -+=垂直，则实数m 的值为（ ）A. 0B. 12-或0 C. 0或12D.12【答案】C 【解析】【分析】根据直线垂直列方程，从而求得m 的值.【详解】由于12l l ⊥，所以()()22212210m m m m m m ⨯+⨯-=-=-=，解得0m =或12m =.故选：C2. 与椭圆C ：221156x y +=共焦点且过点(P 的双曲线的标准方程为（ ）A. 221167x y -=B. 22163x y -=C. 22136x y -= D. 221916x y -=【答案】C 【解析】【分析】首先设出双曲线方程，求出c 的值即焦点坐标，然后根据双曲线的定义、平方关系求出,a b 的值即可求解.【详解】由题意不妨设所求双曲线的标准方程为22221x y a b-=，则3c ==，即椭圆与所求双曲线的公共焦点为()()12,,,0330F F -，由双曲线的定义可知12226a c F F==<==，所以3,a c b ====，所以所求双曲线的标准方程为22136x y -=.故选：C.3. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，且2a ，3a ，42a -成等差数列，则5S =（ ）A. 7 B. 12C. 15D. 31【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列，等差中项等知识求得等比数列{}n a 的首项和公比，从而求得5S .【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，0q ≠，依题意2324222a a a a =⎧⎨=+-⎩，则123111222a q a q a q a q =⎧⎨=+-⎩，()()211122a q q a q a q q ⋅=+⋅-，224222,240q q q q ⋅=+⋅--=，解得2q =，则11a =，所以()551123112S ⨯-==-.故选：D4. 求圆心在直线210x y +-=上，且与直线20x y ++=相切于点(0,2)-的圆的方程是（ ）A. ()()22112x y -++= B. ()2212x y +-=C. ()()22114x y -++= D. ()2214x y +-=【答案】A 【解析】【分析】首先由题意可知圆心也在直线20x y --=上，联立即可得圆心坐标，进而得半径，从而即可得解.【详解】由题意圆心也在过点(0,2)-且与直线20x y ++=垂直的直线上，而该直线方程为()()020x y ----=⎡⎤⎣⎦，即20x y --=，联立20210x yx y--=⎧⎨+-=⎩，解得1,1x y==-，即圆心坐标为()1,1-，半径为点(0,2)-与圆心()1,1-的距离=，故所求圆的方程为()()22112x y-++=.故选：A.5. 已知等差数列{}n a的前n项和为n S，34132160a a a++=，则1165S a-=（）A. 240B. 180C. 120D. 60【答案】A【解析】【分析】根据等差数列通项公式以及前n项和公式的基本量计算来求得正确答案.【详解】设等差数列{}n a的公差为d，311143422160,540a a a da d a++=+==+，()()1161111511555563065640240S a a d a d a d a d-=+-+=+=+=⨯=.故选：A6. 若数列{}n a满足()()()1112n nn a n a n--=+≥，12a=，则满足不等式930na<的最大正整数n为（）A. 28B. 29C. 30D. 31【答案】B【解析】【分析】利用累乘法求得n a，由此解不等式930na<,求得正确答案.【详解】依题意，数列{}n a满足()()()1112n nn a n a n--=+≥，12a=，()1121nna nna n-+=≥-，所以3211213451212321nnna aa n na aa a a n n-+=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯--()1n n=+，1a也符合，所以()1na n n=+，{}n a是单调递增数列，由()()()930,301310na nn n n<+-=<+，解得3130n-<<，所以n的最大值为29.故选：B7. 细心的观众发现，2023亚运会开幕式运动员出场的地屏展示的是8副团扇，分别是梅兰竹菊松柳荷桂．“梅兰竹菊，迎八方君子；松柳荷桂，展大国风范“．团扇是中国传统文化中的一个重要组成部分，象征着团结友善．花瓣型团扇，造型别致，扇作十二葵瓣形，即有12个相同形状的弧形花瓣组成，花瓣的圆心角为120︒，花瓣端点也在同一圆上，12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，圆心记为O ，若其中一片花瓣所在圆圆心记为C ，两个花瓣端点记为A 、B ，切点记为D ，则不正确的是（ ）A. ,,O C D 在同一直线上B. 12个弧形所在圆的圆心落在同一圆上C. 30AOB ∠=︒D. 弧形所在圆的半径BC 变化时，存在OC BC=【答案】D 【解析】【分析】根据两个圆的位置关系逐个判断即可.【详解】已知外圈两个圆的圆心都为O ，令最外面圆半径为R ，花瓣所在圆半径为r ，对于A ：因为大圆与小圆内切且切点为D ，所以切点与两个圆心共线，即,,O C D 在同一条直线上，A 正确；对于B ：由两圆内切可知OC R r =-为定值，所以12个弧形的圆心在同一圆上，B 正确；对于C ：因为12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，所以3603012AOB ︒∠==︒，C 正确；对于D ：由CA CB OC OC OA OB =⎧⎪=⎨⎪=⎩得OAC OAB ≅△△，所以130152COB ∠=⨯︒=︒，又120ACB ∠=︒，所以()13601201202OCB ∠=︒-︒=︒，所以45OBC COB ∠=︒≠∠，所以OC BC ≠恒成立，D 错误，故选：D8. 双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过2F 且与双曲线C左支交于点P ，原点O 到直线l 的距离为a ，且122F PO S a =△，则双曲线C 的离心率为（ ）A.B.C. 2D.【答案】D 【解析】【分析】由题意首先根据对称性得出2122F PO F PO S S a ==△△，又OA a =，所以可依次求得12,PF PF ，又2OF c =，再由平方关系可得2AF b =，又122FF c =，所以结合直角三角形中锐角三角函数的定义以及余弦定理可得方程()()()222422242a c a b a cc+-=⨯⨯，结合平方关系离心率公式运算即可求解.【详解】如图所示：2OA PF ⊥，垂足为点A ，由题意OA a =，又2OF c =，所以2AF b ==，21cos b PF F c∠=，又因为原点O 是12F F 的中点，所以212221222F PO F PO aPF OA PF S S a ⋅====△△，解得2124,2422PF a PF PF a a a a ==-=-=，又122FF c =，所以由余弦定理()()()22221422cos 242a c a b PF F a cc+-∠==⨯⨯，整理得2234a c ab +=，又222c a b =+，所以22440a b ab +-=，即2440b b a a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得2b a =，从而所求离心率为e ==故选：D【点睛】关键点睛：本题的关键是画出图形，通过数学结合、双曲线的定义以及解三角形知识即可顺利求解，综合性比较强.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知首项为正数的等比数列{}n a 的公比为q ，曲线:n C 2211++=n n x y a a ，则下列叙述正确的有（ ）A. 若n C 为圆，则1q =B. 若1q =-，则n C 离心率为2C. 01,n q C <<D. 0,n q C <是双曲线且其渐近线方程为y =【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，若n C 为圆，则11n n a a a +==，求出q 得出结果；对于B ，n C 为等轴双曲线，求其离心率即可；对于C ，当01q <<时，曲线n C 是焦点在x 轴上的椭圆，求其离心率即可；对于D ，故曲线n C 为双曲线，求其渐近线方程.【详解】对于A ，首项为正数的等比数列{}n a 的公比为q ，曲线221:1n n n x y C a a ++=，若n C 为圆，则11n n a a a +==，所以221:0n C x y a +=>，所以1q =，即曲线n C 为圆心为()0,0A 正确；对于B ，当1q =-时，11(1)n n a a -=-，所以n a 与1n a +互为相反数且不为0，故221:1n n n x y C a a ++=为等轴双曲线，故曲线n C，故B 错误；对于C ，01q <<，数列为递减数列，10n n a a +<<，所以曲线221:1n n n x y C a a ++=焦点在x 轴上的椭圆，.=，故C 正确；对于D ，当0q <时，n a 与1n a +异号，故曲线221:1n n n x y C a a ++=为双曲线，其渐近线为2210n n x y a a ++=，即=y ，故D 错误.故选：AC .10. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足101a <<，202320242a a +<，()()20232024110a a --<，则（）A. 01q << B. 202320251a a >C. 对任意的正整数n ，有4047n T T ≥ D. 使得1n T >的最小正整数n 为4047【答案】BD 【解析】【分析】根据等比数列的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，10,0,01n a q a >><<，由于()()20232024110a a --<，所以20232024011a a <<⎧⎨>⎩或20242023011a a <<⎧⎨>⎩.若20242023011a a <<⎧⎨>⎩，则01q <<，则202212023011a qa <<⇒<矛盾，所以20232024011a a <<⎧⎨>⎩，则1q >，所以A 选项错误.()20232025220241a a a =>，B 选项正确.由于20232024011a a <<⎧⎨>⎩，所以n T 的最小值为2023T ，即2023n T T ≥，所以C 选项错误.()()()()40474047140472404620232025202420241T a a a a a a a a =⨯⋅⨯⋅⋅⨯⋅=> ，由于202320242a a +<，所以202320242a a +>>，所以202320241a a <⋅，所以()()20232023404614046202320241T a a a a =⨯=⨯<，由于1q >，且20232024011a a <<⎧⎨>⎩，所以当4046n ≤时，40461n T T ≤<，综上所述，使得1n T >的最小正整数n 为4047，所以D 选项正确.故选：BD11. 欧拉函数()()*n n ϕ∈N的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：()32ϕ=，()42ϕ=，则（ ）A. ()()()4610ϕϕϕ⋅= B. 当n 为奇数时，()1n n ϕ=-C. 数列(){}2nϕ为等比数列D. 数列()()23nnϕϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和小于32【答案】ACD 【解析】【分析】根据“欧拉函数()()*n n ϕ∈N ”的定义对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】n不超过正整数n ，且与n 互质的正整数()n ϕ21131,2241,3251,2,3,4461,5271,2,3,4,5,6681,3,5,7491,2,4,5,7,86101,3,7,94161,3,5,7,9,11,13,158271,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,25,2618A 选项，()()()4622410ϕϕϕ⋅=⨯==，A 选项正确.B 选项，()9691ϕ=≠-，B 选项错误.C 选项，由列表分析可知，对于2n ，“不超过正整数2n ，且与2n 互质的正整数”为：不超过2n的奇数，则()12222n nn ϕ-==，则()112222n n n ϕ++==，()()1222n nϕϕ+=，所以(){}2nϕ 是等比数列，所以C 选项正确.D 选项，有列表分析可知，对于3n ，“不超过正整数2n ，且与2n 互质的正整数”为：从1到3n中，除掉3的倍数，则()1333233nn nn ϕ-=-=⨯，则()()111221223233n n n n n ϕϕ---⎛⎫==⨯ ⎪⨯⎝⎭，12312231223nn -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫⨯⎪⎭= ⎝，所以()()23n n ϕϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是等比数列，前n 项和为112123332323222323213nn n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-⨯=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以D 选项正确.故选：ACD12. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过F 的一条直线与C 交于A ，B 两点，若点M 在l 上运动，则（ ）A. 当AM AF =时，AM l⊥B. 当AM AF MF ==时，2AF BF =C. 当M A M B ⊥时，,,A M B 三点的纵坐标成等差数列D. 当M A M B ⊥时，2AM BM AF BF⋅⋅≥【答案】ACD 【解析】【分析】由抛物线的定义可判断A 项，联立直线AB 方程与抛物线方程求得1y 、2y ，进而可求得12AF y BFy =可判断B 项，由直角三角形性质及抛物线的定义可判断C 项，设出点M 坐标，计算可得1MF AB k k ⨯=-，可得MF AB ⊥，运用等面积法、直角三角形性质及基本不等式可判断D 项.【详解】对于选项A ：如图所示，由抛物线定义可知，若AM AF =，则AM l ⊥，故选项A 正确；对于选项B ：如图所示，当AM AF MF ==时，AMF 为正三角形，所以直线AB 的倾斜角为π3，设直线AB的方程为()()1122,,,,2p y x A x y B x y ⎫=-⎪⎭，由222p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩可得220y y p --=，12,y y ==，所以123AF yBF y ==，故选项B 错误；对于选项C ：过点,A B 作直线垂直于l ，垂足分别为,A B ''，作AB 的中点N ，如图所示，由选项B 可知12,,,22p p A y B y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭'，又因为M A M B ⊥，所以12MN AB =，由抛物线定义可知AB AF BF AA BB '=++'=，所以()12MN AA BB =+''，所以M 为A B ''的中点，所以,,A M B 三点的纵坐标成等差数列，故选项C 正确；对于选项D ：如图所示，设0,2p M y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线MF 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k ，则00122y yk p p p ==---，由B 项可知1212222121212222y y y y pk y y x x y y p p--===-+-，由选项C 可知1202y y y +=，所以21202p pk y y y ==+，所以01201y pk k p y =-⋅=-，所以MF AB ⊥，又因M A M B ⊥，所以AM BM MF AB ⋅=⋅，且2||MF AF BF =⋅，由基本不等式可得()2AM BM MF AB AF BF AF BF ⋅=⋅=+⋅⋅，当且仅当||||AF BF =时等号成立.故选项D 正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 在数列{}n a 中，若12a =，11n n a a n +=++，则{}n a 的通项公式为______．【答案】222n n n a ++=【解析】【分析】将11n n a a n +=++变为11n n a a n +-=+，利用累加法即可求得答案.【详解】由题意可知数列{}n a 中，12a =，11n n a a n +=++，故11n n a a n +-=+，所以()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++- 2(1)(222)22322n n n n n -+=++=+=++++ ，为故答案为：222n n n a ++=14. 已知圆C ：()()221225x y ++-=，直线()():311420l m x m y m +++--=，直线l 与圆C 交于,A B 两点，最短弦长AB =______________.【答案】【解析】【分析】先求得直线l 所过定点，然后根据圆的几何性质求得最短弦长.【详解】直线()():311420l m x m y m +++--=，即()3420x y m x y +-++-=，由34020x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得1x y ==，设()1,1D ，由于()()221112525++-=<，所以D 在圆C 内，圆()()22:1225C x y ++-=的圆心为()1,2C -，半径=5r ，当CD AB ⊥时，AB 最短，CD ==，所以AB 的最小值为=.故答案为：15. 英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列.已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若m=，则k l-=_________【答案】400【解析】【分析】根据等比数列的通项即可由指数运算求解.【详解】由题意可知，1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列，设第一个音频率为1a，所以(11nna a-=，故((1111,k lm a n a--==，因为m=，所以(31120022kk llmn--====，所以112003k l -=，解得400k l -=.故答案为：400.16. 已知1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，过点1F 且斜率存在的直线l 与双曲线C 的渐近线相交于,A B 两点，且点A 、B 在x 轴的上方，A 、B 两个点到x 轴的距离之和为85c，若22AF BF =，则双曲线的渐近线方程是_____________________.【答案】y x =【解析】【分析】设()0,Mx y 是AB 的中点，先求得M 点的坐标，然后利用点差法求得b a，进而求得正确答案.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，依题意120,0y y >>，设AB 的中点为()000,,0M x y y >，由于22AF BF =，所以2⊥MF AB ，所以1212OM F F c ==，22OM c =，由于12y y +=，所以120425y y c y +==，所以035c x ==，所以34,55c c M ⎛⎫ ⎪⎝⎭或34,55c c M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于()()1122,,,A x y B x y 在双曲线的渐近线上，所以22112222222200x y a bx y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减并化简得22012122121201AB OM MFy y y y y b k k a x x x x x k ⎛⎫+-=⋅=⋅=⋅- ⎪ ⎪+-⎝⎭，()2,0F c ，若34,55c c M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则224184330535b c a cc ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪=-⋅-=- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭不符合题意，舍去.若34,55c c M ⎛⎫⎪⎝⎭，则224124330535b c a cc ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⋅-= ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，所以b a =，所以渐近线方程为y x =.故答案为：y x =±【点睛】本题解题的关键点有两个，一个是22AF BF =，则2F 在线段AB 的垂直平分线上，由此可以构建中点和斜率的关系式；另一个关键点是点差法，利用点差法可以减少运算量，可以快速求得问题的答案.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知ABC 顶点()3,3A ，边AC 上的高BH 所在直线方程为60x y -+=，边AB 上的中线CM 所在的直线方程为53140x y --=.（1）求直线AC 方程：（2）求ABC 的面积.【答案】（1）60x y +-= （2）20【解析】【分析】（1）利用点斜式求得直线AC 的方程.（2）先求得,C B 两点的坐标，结合点到直线的距离公式、两点间的距离公式求得三角形ABC 的面积.【小问1详解】边AC 上的高BH 所在直线方程为60x y -+=，的直线60x y -+=的斜率为1，所以直线AC 的斜率为1-，所以直线AC 的方程为()33,60y x x y -=--+-=.【小问2详解】边AB 上中线CM 所在的直线方程为53140x y --=，由6053140x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得42x y =⎧⎨=⎩，即()4,2C .设(),B a b ，则33,22a b M ++⎛⎫⎪⎝⎭，所以60335314022a b a b -+=⎧⎪⎨++⨯-⨯-=⎪⎩，解得2026a b =⎧⎨=⎩，即()20,26B.AC ==B 到60x y +-==，所以三角形ABC的面积为1202=.的18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，490S =-，1015a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值，并指出n 取何时n S 取得最小值.【答案】（1）535n a n =-（2）n S 的最小值为105-，对应6n =或7【解析】【分析】（1）根据已知条件求得等差数列{}n a 的首项和公差，从而求得n a .（2）利用0n a ≤，求得n S 取得最小值时对应n 的值，进而求得n S 的最小值.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意，4109015S a =-⎧⎨=⎩，114690915a d a d +=-⎧⎨+=⎩，解得130,5a d =-=，所以()3015535n a n n =-+-⨯=-.【小问2详解】由5350n a n =-≤，解得*17,≤≤∈n n N ，所以当6n =或7n =时n S 取得最小值，且n S 的最小值为6161518075105S a d =+=-+=-.19. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，1323n n S n +=+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）()()*2N 2n n n a c n -=∈，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）()*22N ,3nn a n ⋅∈=+（2）()*6333,44N n n n T n =+∈-⋅【解析】【分析】（1）由题意直接由11a S =以及*2,N n n ≥∈时，1n n n a S S -=-即可求解.（2）发现数列{}n c 是“差比数列之积”的形式，所以直接选择用错位相减法、等边数列求和公式法运算即可求解.【小问1详解】由题意111132138a S +==+⨯-=，当*2,N n n ≥∈时，()()11323322523n n n n n n a S S n n +-=+-+-=-=⋅+-，当1n =时，也有118322a ⨯=+=成立，综上所述，数列{}n a 的通项公式为()*22N,3nn a n ⋅∈=+.【小问2详解】由（1）可知()*22N,3nn a n ⋅∈=+，所以由题意()()*23N 2n n nn a cn n -==⋅∈，所以1213233nn T n =⨯+⨯++⨯ ，231313233n n T n +=⨯+⨯++⨯ ，两式相减得()121131323333313n n n n n T n n ++⨯--=+++-⋅=-⋅- ，所以数列{}n c 的前n 项和为()*6333,44N n n n T n =+∈-⋅.20. 已知抛物线()2:20C y px p =>上的一点()2,M a 到抛物线的焦点F 的距离是3.（1）求抛物线C 的方程；（2）已知过点F 的直线与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线与C 的准线l 交于点D ，且线段AB 的中点为N ，设DN AB λ=，求实数λ的取值范围.【答案】（1）24y x = （2）12λ≥【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义求得p ，进而求得抛物线的方程.（2）设出直线AB 的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，求得直线DN 的方程并与准线方程求得D ，根据两点间的距离公式、弦长公式、对钩函数等知识来求得实数λ的取值范围.【小问1详解】根据抛物线的定义有23,22pMF p =+==，所以抛物线C 的方程为24y x =.【小问2详解】()1,0F ，抛物线准线为=1x -，依题意可知直线AB 与x 轴不重合，设直线AB 的方程为1x my =+，由214x my y x=+⎧⎨=⎩消去x 并化简得2440y my --=，216160m ∆=+>，设()()1122,,,A x y B x y ，则()2121212124,4,242y y m y y x x m y y m +==-+=++=+，()21212116y y x x ==，所以()221,2N m m +，由于DN 垂直平分AB ，所以直线DN 的方程为()23221,230y m m x m mx y m m -=---+--=，令=1x -得33230,24m y m m y m m -+--==+，则()31,24D m m -+，DN AB λ=，()()()22223222122222m m m DN x x p ABλ+++==++()()()()()()22222322222222222414144161m m m m m m m m ++++++==++()22111114444m m =+=+≥，所以12λ≥.21. 已知数列{}n a 中，15a =，且122n n a a +=+.（1）求证：数列{}2n a -是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设()223m b m λ=-+，12433n n n a c n λ--⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中0λ>，若对任意*,m n ∈N ，总有的73m n b c ->成立，求λ的取值范围.【答案】（1）证明详见解析，11232n n a -⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭（2）7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用构造法，结合等比数列的定义证得数列{}2n a -是等比数列，先求得2n a -，进而求得n a .（2）利用二次函数的性质求得m b 的最小值，利用商比较法求得n c 的最大值，从而列不等式来求得λ的取值范围.【小问1详解】依题意，15a =，且122n n a a +=+，所以1112n n a a +=+，则()11121222n n n a a a +-=-=-，所以12122n n a a +-=-，所以数列{}2n a -是首项为123a -=，公比为12的等比数列，所以111123,2322n n n n a a --⎛⎫⎛⎫-=⨯=+⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】1111244331323323n n n n n n a c n n n λλλ-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⨯ ⎪⎛⎫⎝⎭⨯= ⎪⎝⎭，依题意，0λ>，且对任意*,m n ∈N ，总有73m n b c ->成立，所以()()min max 73m n b c ->，()()222min ,3m m b m b λλ-+==，当3m =时取得最小值.12344,,33c c c λλλ===，当2n ≥时，()11223223121332n n n n c n n n n c n n n λλ---⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭==⨯=-+-，当2n =时，2143c c =，当3n ≥时，11n n c c -≤，所以()max 43n c λ=，则24733λλ->，解得73λ>或1λ<-（舍去），综上所述，λ的取值范围是7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭.【点睛】本题的关键点在于“转化”，将不等式恒成立问题，转化为()()min max 73m n b c ->来进行求解.要求数列的最大值，可以根据数列的单调性、函数的性质、商比较法等知识来进行求解.根据递推关系式求数列的通项公式，可考虑利用构造法来进行求解.22. 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点()0,2K ，左焦点()12,0F -，右焦点()22,0F ，左、右顶点分别为1A 、2A .（1）求椭圆方程；（2）已知点P 是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线2A P 交y 轴于点Q ，若1A PQ △的面积是22A F P △面积的(2倍，求直线2A P 的方程；（3）如图过椭圆的上顶点K 作动圆1F 的切线分别交椭圆于M 、N 两点，是否存在圆1F 使得KMN △为直角三角形?若存在，求出圆1F 的半径r ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22184x y +=（2）0x y +-=（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意求,,a b c ，进而可得方程；（2）由题意结合面积关系分析可知：22=A P PQ ，设()()0,0Q m m >，可得23m P ⎫⎪⎪⎭，代入椭圆方程运算求解即可；（3）分别设切线方程求点,M N 的坐标，进而根据垂直关系整理可得21211⋅-=k k k ，结合直线与圆的位置关系可得121k k ⋅=，解方程分析判断即可.【小问1详解】设椭圆的半焦距为0c >，由题意可得：2c b ==，则a ==，所以椭圆方程为22184x y +=.【小问2详解】由题意可知：1222==-A A F ，可知点12,A F 到直线2A P 的距离之比122221=A A A h F h ，由题意可知：2211122222212212⋅===⋅△A PQ A F Ph PQ S A A PQ S A F A P h A P △，可得22=A P PQ ，设()()0,0Q m m >，且()2A，则23m P ⎫⎪⎪⎭，可得28499184m +=，解得m =(0,Q ，所以直线2A P1+=，即0x y +-=.【小问3详解】由题意可知切线KM KN ,的斜率存在且均不为0，且MKN ∠不是直角，设切线1:2=+KM y k x ，联立方程1222184y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()22111280k x k x ++=，解得0x =或121812=-+k x k ，当121812=-+k x k 时，2111221182421212⎛⎫-=-+= ⎪++⎝⎭k k y k k k ，即2112211824,1212⎛⎫-- ⎪++⎝⎭k k M k k ，同理可设切线2:2=+KN y k x ，可得2222222824,1212⎛⎫-- ⎪++⎝⎭k k N k k ，则直线MN 的斜率2212221212121222122424121288121212---+++==-⋅-+++MNk k k k k k k k k k k k k ，不妨设MN PM ⊥，则121112112+⋅=⋅=--⋅MN k k k k k k k ，整理得21211⋅-=k k k ，设圆()()2221:20++=>F x y r r ，若过K 的直线20kx y -+=与圆1F2r ，整理得()2224840r k k r -++-=，可知12,k k 即为方程()2224840r k k r -++-=的两根，则121k k ⋅=，可得2111-=k ，即10k =，与题意相矛盾，所以不存在.【点睛】方法点睛：存在性问题求解的思路及策略（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在；（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．。
2020-2021学年山东省青岛市第二高级中学高二数学理下学期期末试卷含解析
2020-2021学年山东省青岛市第二高级中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 的内角所对的边满足，且C=60°，则的值为（）A． B． C． 1 D．参考答案：A略2. 如图，四边形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，现有4种不同颜色将它染色,使相邻三角形均不同色,求使△AOB与△COD同色且△BOC与△AOD也同色的概率（）A B C D参考答案：C3. 若复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A. 的虚部为B.C. 为纯虚数D. z的共轭复数为参考答案：C【分析】先得到复数的代数形式，然后根据复数的有关概念对给出的四个结论分别进行分析、判断后可得正确的结论．【详解】由题意得．对于A，由得复数的虚部为，所以A不正确．对于B，，所以B不正确．对于C，由于，所以为纯虚数，所以C正确．对于D，的共轭复数为，所以D不正确．故选C．【点睛】本题考查复数的有关概念，解题的关键是得到复数的代数形式和熟悉复数的相关概念，属于基础题．4. 已知两条直线l1：（a﹣1）x+2y+1=0，l2：x+ay+3=0平行，则a=（）A．﹣1 B．2 C．0或﹣2 D．﹣1或2参考答案：D【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由两直线平行，且直线的斜率存在，所以，他们的斜率相等，解方程求a．【解答】解：因为直线l1：（a﹣1）x+2y+1=0的斜率存在，又∵l1∥l2，∴，∴a=﹣1或a=2，两条直线在y轴是的截距不相等，所以a=﹣1或a=2满足两条直线平行．故选D．5. 曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（）A． B． C．和 D．和参考答案：C略6. 如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：C【考点】直线的一般式方程．【分析】先把Ax+By+C=0化为y=﹣，再由AC＜0，BC＜0得到﹣，﹣，数形结合即可获取答案【解答】解：∵直线Ax+By+C=0可化为，又AC＜0，BC＜0∴AB＞0，∴，∴直线过一、二、四象限，不过第三象限．故答案选C．7. 已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A．B．3 C．D．参考答案：D【考点】椭圆的应用．【专题】计算题．【分析】设椭圆短轴的一个端点为M．根据椭圆方程求得c，进而判断出∠F1MF2＜90°，即∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°．令x=±，进而可得点P到x轴的距离．【解答】解：设椭圆短轴的一个端点为M．由于a=4，b=3，∴c=＜b ∴∠F1MF2＜90°，∴只能∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°．令x=±得y2=9=，∴|y|=．即P到x轴的距离为．【点评】本题主要考查了椭圆的基本应用．考查了学生推理和实际运算能力．8. 设，，，则a,b,c之间的大小关系是（）A. c<b<aB. c<a<bC. a<b<cD. b<a<c参考答案：B略9. 命题“?x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤5参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】本题先要找出命题为真命题的充要条件{a|a≥4}，从集合的角度充分不必要条件应为{a|a≥4}的真子集，由选择项不难得出答案．【解答】解：命题“?x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，可化为?x∈[1，2]，a≥x2，恒成立即只需a≥（x2）max=4，即“?x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．故选C【点评】本题为找命题一个充分不必要条件，还涉及恒成立问题，属基础题．10. 已知数列{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d=2，则a5=（）A．6 B．9 C．25 D．31参考答案：B【考点】等差数列的通项公式．【分析】直接利用等差数列的通项公式得答案．【解答】解：在等差数列{a n }中，由首项a 1=1，公差d=2， 得a 5=a 1+4d=1+4×2=9． 故选：B ．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在曲线处的切线方程为。
山东省青岛市崂山区青岛第二中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题
由 可得 ，
即有 为直角三角形，且 ，
因为 的面积为 ，
所以
又因为 ，
所以 ，
由双曲线定义可得 ，
可得 ，
，
∴双曲线 的离心率为 ，故选A．
【点睛】
本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出 ，从而求出 ;②构造 的齐次式，求出 ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．
A．“ ”是“ ”的充要条件
B．“ ”是“ ”的充分条件
C．“ ”是“ ”的必要条件
D．“ 是无理数”是“ 是无理数”的充要条件
12．已知椭圆 的左，右焦点是 是椭圆上一点，若 ，则椭圆的离心率可以是（）
A． B． C． D．
三、填空题
13．当复数 （ 为虚数单位）的实部与虚部的差最小时， ________.
若 ，可取 ，则 ， 中至少有一个数不小于1不成立，
所以“ ， 中至少有一个数不小于1”是“ ”成立的既不充分又不必要条件.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，同时考查了不等式的性质，属于基础题.
6．B
【分析】
根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.
14．已知抛物线 的焦点 和准线 ，过点 的直线交 于点 ，与抛物线的一个交点为 ，且 ，则 ________.
15．《九章算术》第五卷中涉及到一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈.深三尺，末广八尺，袤七尺.该羡除是一个多面体 ，如图，四边形 ， 均为等腰梯形， ，平面 平面 ，梯形 ， 的高分别为 ， ，且 ， ， ，则 ________.
2021年高二上学期周考(12.20)考试数学试题 含答案
2021年高二上学期周考（12.20）考试数学试题含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则的值为（）A． B． C． D．2. 等于（）A． B．2 C． D．3.若函数有极值，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．4.设，若函数，，有大于零的极值点，则（）A． B． C． D．5.已知是R上的单调增函数，则b的取值范围是（）A．或 B．或 C． D．A．-3 B．-12 C．-9 D．-68.由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（）A．1 B． C． D．39.下列推理过程属于演绎推理的为（）A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验B．由，，得出C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线（四面体每一个定点与对面重心的连线）交于一点D ．通项公式形如的数列为等比数列，则数列为等比数列10.k 棱柱有个对角面，则棱柱的对角面个数为（ ）A ．B ．C ．D ．11.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水平垂直）均匀地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图象大致为（ ）12.函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.过抛物线上一点的切线的倾斜角为，则 .14.设，若，则展开式中常数项为 .15.设函数，观察：，，，，……根据以上事实，由归纳推理可得：当且时， .16.观察下列等式：，，2333141511112223234242⨯+⨯+⨯=-⨯⨯⨯⨯，……，由以上等式推测到一个一般的结论：对于， .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知函数，.（1）求函数的极值；（2）函数在上单调递减，求实数a 的取值范围；（3）若在区间上存在实数，使得不等式能成立，求实数a 的取值范围.18.已知曲线，点在该曲线上移动，在P 点处的切线设为.（1）求证：此函数在R 上单调递增；（2）求的斜率的范围.19.已知函数，其中.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上，恒成立，求a的取值范围.20.在各项为正数的数列中，数列的前n项和满足.（1）求；（2）由（1）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.21.已知，，其中e是自然常数，.（1）当时，求的单调区间和极值；（2）是否存在实数a，使的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.22.（本小题满分14分）已知函数，，其中.（1）求的单调区间；（2）若的最小值为1，求a的取值范围.参考答案 1-12 CDDCD CBCDA AA 13.1 14.15 15. 16.【解析】：由已知中的等式：，2333141511112223234242⨯+⨯+⨯=-⨯⨯⨯⨯，……， 所以对于，231412*********(1)2(1)2n n n n n n +⨯+⨯++⨯=-⨯⨯⨯++⨯. 17.解：，令，得或，，，（1）当时，，当x 变化时，，的变化情况如下表：∴当时，在处，函数有极大值；在处，函数有极小值.（2）在上单调递减，∴，即.（3）依题意得3333min 14()441812a f x a a a a ≥⇒≥-+⇒≥⇒≥. 18.（1）证明：'2223663(21)33(1)30y x x x x x =++=+++=++>，∴此函数在R 上递增，（2）由（1）知：，∴的斜率的范围是.19.（1）当时，，；，，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2），令，解得或.以下分两种情况讨论：若，则，当x变化时，的变化情况如下表：当时，等价于，即，解不等式组得，因此.若，则，当x变化时，的变化情况如下表：当时，等价于，即，解不等式组得或，因此.综合（1）和（2），可知a的取值范围为.20. ，，，证明：（1）时，成立，（2）假设成立，即（略）21.（1）∵，，（2）假设存在实数a，使有最小值3，①当时，在上单调递减，，（舍去）所以，此时无最小值.②时，在上单调递减，在上单调递增，，，满足条件.③当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.综上，存在实数，使得当时，有最小值3.22.（1）的单调减区间为，单调增区间为；（2）（1）求导函数，可得，由于分母恒正，故由分子的正负，确定函数的单调区间；（2）根据（1）的讨论，分别可求得的最小值，根据的最小值为1，可确定a的取值范围. 试题解析：（1），∵，∴，①当时，在区间上，，∴的单调增区间为.②当时，由，解得，由，解得，∴的单调减区间为，单调增区间为.（2）当，由（1）①知，的最小值为；当时，由（1）②知，在处取得最小值，综上可知，若的最小值为1，则a 的取值范围是. 27501 6B6D 歭B36262 8DA6 趦22059 562B 嘫25184 6260 扠32413 7E9D 纝-34030 84EE 蓮V26077 65DD 旝7)35454 8A7E 詾31435 7ACB 立。
青岛二中2020-2021学年高二上学期数学周末巩固训练三(A)
信丰中学2018-2019学年上学期高二年级巩固三数学试卷（Ａ）命题人： 审题人：一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ C ．若//,//l ααβ，则l β⊂ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥2．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是( ) A ．10 B.11 C.12 D.16 3．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x(万元) 4 2 3 5 销售额y(万元)4926395810万元时销售额为( )A ．112.1万元B ．113.1万元C ．111.9万元D ．113.9万元 4．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）A ．45B ．35C ．25D ．155．在区间[0,]π上随机取一个数x,则事件“≥sinx cosx ”发生的概率为（ ）A ．14 B. 12 C. 34D.16．程序框图如图所示：如果上述程序运行的结果1320=S ，那么判断框中应填入（ ） A ．10<K B ．10≤K C ．9<K D ．11≤K 7．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）A ．110 B ．15 C ．310 D ．258．已知圆C ：x 2＋y 2＝1，点A(－2,0)及点B(2，a)，从A 点观察B 点，要使视线不被圆C 挡住，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(－1，＋∞)B ．(－∞，－433)∪(433，＋∞) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)9．设满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤--0,02063y x y x y x ，若目标函数的最大值是12，则 的最小值是（ ） A ．B ．C ．D ．10．设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是 ( )A ．[1－3，1＋3]B ．(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞) 11．如图所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，已知AB ＝2，AE ＝BE ＝3，且当规定主(正)视图方向垂直平面ABCD 时，该几何体的左(侧)视图的面积为22.若M 、N 分别是线段DE 、CE 上的动点，则AM ＋MN ＋NB 的最小值为( )A.1B.2C.3D.412．已知,x y 满足10,0,3,x y x y x --≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则)4(168123222++++++=y x y x xy y x z 的最小值是 （ ）A.223B.203C.283D.6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2022-2023学年山东省青岛二中分校高二(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年山东省青岛二中分校高二（上）期中数学试卷一、选择题。
（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．圆x 2+y 2+2x ﹣4y ﹣6＝0的圆心和半径分别是（ ） A ．（﹣1，﹣2），11 B ．（﹣1，2），11 C ．（﹣1，﹣2），√11 D ．（﹣1，2），√112．直线x +√3y +1＝0的倾斜角是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．点P （2，0）关于直线l ：x +y +1＝0的对称点Q 的坐标为（ ） A ．（﹣1，﹣3）B ．（﹣1，﹣4）C ．（4，1）D ．（2，3）4．已知a →=(2，−2，−3)，b →=(2，0，4)，则cos〈a →，b →〉=（ ） A ．4√8585B ．−4√8585C ．0D ．15．已知两点A （﹣3，2），B （2，1），过点P （0，﹣1）的直线与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（ ） A ．[π4，3π4]B ．[0，π4]∪[π2，3π4]C ．[0，π2]∪[3π4，π] D ．[π4，π2）∪（π2，3π4]6．已知直线l ：x ﹣y +4＝0与圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2，则C 上各点到l 距离的最小值为（ ） A ．√2−1B ．√2+1C ．√2D ．2√27．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29+y 24=1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|•|MF 2|的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．68．若实数x ，y 满足x 2+y 2+2x ＝0，则y x−1的最大值为（ ）A ．12B ．√33C ．√3D ．2二、多选题。
（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9．下列说法正确的是（ ）A ．a →=(2，−1)是直线x +2y ﹣3＝0的一个方向向量 B ．点（0，2）关于直线y ＝x +1的对称点为（1，1）C ．过（x 1，y 1），（x 2，y 2）两点的直线方程为y−y 1y 2−y 1=x−x 1x 2−x 1D ．“ab ＝4”是“直线2x +ay ﹣1＝0与直线bx +2y ﹣2＝0平行”的充要条件10．已知C ：x 2+y 2﹣6x ＝0，则下述正确的是（ ） A ．圆C 的半径r ＝3B ．点（1，2√2）在圆C 的内部 C ．直线l ：x +√3y +3＝0与圆C 相切D ．圆C ′：（x +1）2+y 2＝4与圆C 相交11．已知空间中三点A （0，1，0），B （2，2，0），C （﹣1，3，1），则下列说法正确的是（ ） A ．AB →与AC →是共线向量 B ．与AB →同向的单位向量是（2√55，√55，0）C ．AB →和BC →夹角的余弦值是√5511D ．平面ABC 的一个法向量是（1，﹣2，5）12．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别为BC 、CC 1、BB 1的中点，则下列选项正确的是（ ）A ．D 1D ⊥AFB ．直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为√1010C ．三棱锥G ﹣AEF 的体积为13D ．存在实数λ、μ使得A 1G →=λAF →+μAE →三、填空题。
山东省青岛市平度第二中学2021年高二数学理测试题含解析
山东省青岛市平度第二中学2021年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A B C D参考答案：2. 已知条件p：<2，条件q：-5x-6<0，则p是q的A、充分必要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分又不必要条件参考答案：B3. 函数的图像可由函数的图像（）A．向左平移个单位得到 B. 向右平移个单位得到C. 向左平移个单位得到D.向左平移个单位得到参考答案：A4. 若是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（）A．或B． C．或 D．参考答案：C略5. 已知双曲线的离心率为，且抛物线的焦点为，则的值为（A）（B）（C）2 （D）4参考答案：D6. 设斜率为2的直线过抛物线的焦点，且和轴交于点,若(为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ).A. B. C.D.参考答案：B7. 在中,,则此三角形解的情况是（）A.一解B.两解C.一解或两解D.无解参考答案：B8. 若将函数f（x）=x6表示为f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…a6（1+x）6，其中a0，a1，a2，…，a6为实数，则a3等于（）A．20 B．15 C．﹣15 D．﹣20参考答案：D【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；二项式定理．【分析】把函数f（x）=x6 =[﹣1+（1+x）]6按照二项式定理展开，结合已知条件，求得a3的值．【解答】解：∵函数f（x）=x6 =[﹣1+（1+x）]6=1﹣?（1+x）+?（1+x）2﹣?（1+x）3+…+?（1+x）6，又f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…a6（1+x）6，其中a0，a1，a2，…，a6为实数，则a3=﹣=﹣20，故选：D．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．9. 若复数是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为( )A．-3 B．3 C．-6 D．6参考答案：B10. 一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的体积为( )A．B．C．πD．参考答案：A考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可判断这个几何体为圆柱体，根据题意可知底面半径以及高，易求体积．解答：解：由三视图可知这个几何体是圆柱体，且底面圆的半径，高为1，那么圆柱体的体积是：π×（）2×1=，故选A．点评：本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的图象不过第Ⅱ象限，则的取值范围是参考答案：（- ∞ ，-10]12. 在三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AA1⊥面ABC，AA1=2，BC=，，此三棱柱各个顶点都在同一个球面上，则球体积为_________________.参考答案：取边中点M，取边中点N，连接MN，取MN中点O，13. 已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在的直线方程为_ ▲．参考答案：x－2y－1＝014. 曲线x2+y2=2（|x|+|y|）围成的图形面积是．参考答案：8+4π【考点】曲线与方程．【分析】根据题意，作出如图的图象．由图象知，此曲线所围的力图形由一个边长为2的正方形与四个半径为的半圆组成，由此其面积易求．【解答】解：由题意，作出如图的图形，由曲线关于原点对称，当x≥0，y≥0时，解析式为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，故可得此曲线所围的力图形由一个边长为2的正方形与四个半径为的半圆组成，所围成的面积是2×2+4××π×（）2=8+4π故答案为：8+4π．15. 设, 则的最大值是____________.参考答案：略16. 根据《环境空气质量指数AQI技术规定》，AQI共分为六级：（0，50]为优，（50，100]为良，（100，150] 为轻度污染，（150，200]为中度污染，（200，300]为重度污染，300以上为严重污染．右图是根据盐城市2013年12月份中20天的AQI统计数据绘制的频率分布直方图．由图中的信息可以得出这20天中盐城市环境空气质量优或良的总天数为 .参考答案：5略17. 函数f（x）=ax3+bx2+cx的图象如图所示，且f（x）在x=x0与x=－1处取得极值，给出下列判断：①f（1）+f（－1）=0；②f（－2）>0；③函数y=f'（x）在区间（－∞，0）上是增函数. 其中正确的判断是_________. （写出所有正确判断的序号）参考答案：②③三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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信丰中学2017级高二上学期数学周考六（文AB 理B ）
命题人： 审题人：
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1.某研究性学习课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）
A. 6
B.8
C.10
D.12
2．某容量为180的样本的频率分布直方图共有n(n>1)个小矩形,若第一个小矩形的面
积等于其余(n-1)个小矩形的面积之和的15，则第一个小矩形对应的频数是（ ） A.20 B.25 C.30
D.35
3．如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分
数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为12a a 、，则一定有( )
A ．1
2a a B ．21a a C ．21a a D ．12,a a 的大小与m 的值有关
4.如图所示，O 为正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 的中心，
则下列直线中与B 1O 垂直的是( )
A ．A 1D
B ．AA 1
C ．A 1
D 1 D ．A 1C 1
5.从某高中随机选取5名高二男生，其身高和体重的数据如下表所示：
由表可得回归直线方程
，据此模型预报身高为的男生的体重大约（ ）
A.70.12kg
B.70.09kg
C.70.55kg
D.71.05kg
6.由小到大排列的一组数据:12345,,,,x x x x x ,其中每个数据都小于2,则样本123452,,,,,x x x x x 的中位数可以表示为（ )
A.232x x +
B.212x x -
C.225x +
D.2
43x x - 7.阅读右面的程序框图，则输出的S =（ ）
A.14 B ．20 C.30 D.55
8.在ABC ∆中，,120,20=∠==ABC BC AB 若ABC ∆绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的表面积为（ ）
A.3(6
) B.π23 C.(623) D.(63)
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
9.已知某商场新进3 000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取
150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为________．
10.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则=a .
11.已知半径为1的球与正三棱柱的各个面都相切，则三棱柱的体积
为 .
12.如图所示，在直角梯形ABCD 中，BC ⊥DC ，AE ⊥DC ，M ，N 分别是AD ，BE 的中点，将三角形ADE 沿AE 折起，下列说法正确的是________(填上所有正确的序号)． ①不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)都有MN ∥平面DEC ；
②不论D 折至何位置都有MN ⊥AE ；
③不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)都有MN ∥AB.
三．解答题:本大题共2小题,每小题10分,共20分
13.某城市100户居民的月平均用电量(单位:千瓦时),以[160,180),[180,200),
[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.
(1)求直方图中x 的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数.
14.如图，在三棱锥S - ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为边长为2的等边三角形，∠BAC=90°，O为BC中点.
(1)证明: AC⊥SO;
(2)求点C到平面SAB的距离.
信丰中学2017级高二上学期数学周考六(文AB 理B)参考答案 1-4 B C B D 5-8 A C C C 9.1211 10.1 11.63 12.①②
13.(1)由(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x +0.005+0.002 5)×20=1,得x =0.007 5, 所以直方图中x 的值是0.007 5.
(2)月平均用电量的众数是220
2402302
因为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,
所以月平均用电量的中位数在[220,240)内,设中位数为a ,
由(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(a -220)=0.5,得a =224,
所以月平均用电量的中位数是224.
14. 证明: (1)连接OA ，
由题设AB AC SB ==2SC SA ===，ABC ∆为等腰直角三角形，
所以2OA OB OC ===，且AO BC ⊥，
又SBC ∆为等腰三角形，故SO BC ⊥，且2SO =，
从而222OA SO SA +=.所以SO AO ⊥.
又AO ∩BC=O.
SO ⊥平面ABC
又AC ABC 平面,
AC SO ⊥.
(2)设C 到平面SAB 的距离为d ，则由(1)知:三棱
锥S ABC C SAB V V --=
即1133
ABC SAB S SO S d ∆∆⋅=⋅ SAB ∴∆的面积为2122
SAB S ∆=⨯⨯sin 603= ABC ∆面积为2ABC S ∆=，26223,3
d d ∴== C ∴到平面SAB 的距离为
26.。