黑龙江省大庆铁人中学2020届高三数学上学期期中试题理【含答案】
2020届黑龙江省大庆市铁人中学高三上学期期中数学(理)试题(解析版)
2020届黑龙江省大庆市铁人中学高三上学期期中数学（理）试题一、单选题 1．12i12i+=- A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+【答案】D【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.详解：212(12)341255i i ii ++-+==∴-选D.点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.2．已知集合{}{}2|02,N ,|450,N A y y y B x x x x =≤<∈=--≤∈，则AB =（ ） A ．{}1 B ．{}0,1C ．[)0,2D ．∅【答案】B【解析】集合{}0,1A =，{}0,1,2,3,4,5B =，所以{}0,1AB =.故选择B.3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上， 则cos2θ＝( ) A ．－45B ．－35C ．35D ．45【答案】B【解析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到ta nθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值． 【详解】解：根据题意可知：tanθ＝2，所以cos 2θ22221115cos sin cos tan θθθθ===++， 则cos2θ＝2cos 2θ﹣1＝215⨯-135=-． 故选：B ．【点睛】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．4．曲线1x y xe -=在点(1,1)处切线的斜率为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】根据求导公式求出y ′，由导数的几何意义求出在点（1，1）处的切线的斜率k ． 【详解】解：由题意知，1x y xe -=，则()11x y x e -=+' ，∴在点（1，1）处的切线的斜率k ＝2， 故选：B 【点睛】本题考查求导公式和法则，以及导数的几何意义，属于基础题． 5．下列叙述正确的是（ ）A ．命题“p 且q ”为真，则,p q 恰有一个为真命题B ．命题“已知,a b ∈R ，则“a b >”是“22a b >”的充分不必要条件”C ．命题:0p x ∀>都有e 1x >，则0:0p x ⌝∃>，使得01x e ≤D ．如果函数()y f x =在区间(,)a b 上是连续不断的一条曲线，并且有()0)·(f a f b <，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点 【答案】C【解析】由p 且q 的真值表，可判断正误；由充分必要条件的定义和特值法，可判断正误；由全称命题的否定为特称命题，可判断正误；由函数零点存在定理可判断正误. 【详解】解：对于A ，命题“P 且q 为真，则P ，q 均为真命题”，故错误；对于B ，“a ＞b ”推不出“a 2＞b 2”，比如a ＝1，b ＝﹣1；反之也推不出，比如a ＝﹣2，b ＝0，“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的不充分不必要条件，故错误；对于C ，命题:0p x ∀>都有e 1x >，则0:0p x ⌝∃>，使得01x e ≤，故正确； 对于D ，如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上是连续不断的一条曲线，并且有f （a ）•f （b ）＜0，由零点存在定理可得函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，故错误．其中真命题的个数为1， 故选：C ． 【点睛】本题考查命题的真假判断，考查命题的否定和充分必要条件的判断，以及函数零点存在定理和函数的单调性的判断，考查判断能力和运算能力，属于中档题．6．若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】作出可行域,,比较斜率的大小找到最优解,根据最优解求得最大值. 【详解】作出可行域,如图所示:将目标函数化为斜截式可得:322z y x =-+, 根据图象,比较斜率的大小可知,最优解为点M ,联立220x y y --=⎧⎨=⎩,解得2,0x y ==, 所以(2,0)M ,将2,0x y ==代入目标函数可得z 的最大值为6. 故选:C. 【点睛】本题考查了线性规划求最大值,属于中档题. 7．若1a b >>，01c <<，则（ ） A ．c c a b < B ．c c ab ba < C ．log log b a a c b c < D ．log log a b c c < 【答案】C【解析】【详解】试题分析：用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，11223223⨯>⨯，选项B 错误， 3211log log 22>，选项D 错误，因为lg lg log log lg ()lg (),11lg lg lg lg a bb b ab a a b a b ac b c c c a b b a a b a b a --=⋅-=⋅>>∴<<<lg lg 001lg 0log log lg lg a bb a a bc c a c b c b a-∴><<∴<∴<选项C 正确，故选C ．【考点】指数函数与对数函数的性质 【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.8．在ABC ∆中，0,2,23AB BC AB BC ∙===D 为AC 的中点，则BD DA ∙=( )A ．2B ．-2C ．D ．-【答案】B【解析】∵D 为AC 的中点 ∴1()2BD BA BC =+，11()22DA CA CB BA ==+∵•0,2,23AB BC AB BC === ∴221111()()()(412)22244BD DA BA BC CB BA BA BC ⋅=+⋅+=-=-=- 故选B.9．函数()11xx f x e x -=++的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】当x →-∞时，120,1111xx e x x -→=-→++，所以去掉A,B; 因为21(0)0,(1),(2)3f f e f e ===+，所以(2)(1)(1)(0)f f f f ->-，因此去掉C ，选D.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．10．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为（ ）A B ．8π C ．6πD 【答案】B【解析】几何体如图，球心为O 24=8ππ，选B.点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 11．不等式的解集为,且,则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：即不等式在是上恒成立，即，令，则，列表分析可得时取最小值，从而的取值范围是，选A.【考点】不等式恒成立【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f （x ）≥a 恒成立，只需f （x ）min≥a 即可；f （x ）≤a 恒成立，只需f （x ）max≤a 即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解.12．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导数为()f x '，()0f x >且()1f e =，若()ln ()0xf x x f x '+>对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则不等式1ln ()x f x <的解集为（ ） A ．(0,1) B ．(1,)+∞C ．(,)e +∞D ．(0,)e【答案】C【解析】令g （x ）＝f （x ）lnx ﹣1，g （e ）＝f （e ）lne ﹣1＝0．x ∈（0，+∞）．xg ′（x ）＝xf ′（x ）lnx +f （x ）＞0，在x ∈（0，+∞）上恒成立．可得函数g （x ）在x ∈（0，+∞）上单调性，即可解出．【详解】解：令g （x ）＝f （x ）lnx ﹣1，g （e ）＝f （e ）lne ﹣1＝0，x ∈（0，+∞）． ∵xg ′（x ）＝xf ′（x ）lnx +f （x ）＞0，在x ∈（0，+∞）上恒成立． ∴函数g （x ）在x ∈（0，+∞）上单调递增．由()1f x ＜lnx ，可得()()10f x lnx f x ->，即()()0g x f x > 又()0f x > ∴g （x ）＞0=g （e ）， ∴x ＞e ．即不等式()1f x ＜lnx 的解集为{x |x ＞e }． 故选：C ． 【点睛】本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性解不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．已知向量(1,),(,4)a x b x ==，若a 与b 反向则x =_________ 【答案】2-【解析】利用向量共线的坐标公式即可得到结果. 【详解】∵向量(1,),(,4)a x b x ==， a 与b 反向∴240x a b ⎧=⎨⋅<⎩ ，解得2x =-， 故答案为：2- 【点睛】本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量共线的性质的合理运用．14．函数()cos26sin 1f x x x =++的最大值为_______ 【答案】6【解析】利用二倍角余弦公式，转化为关于t 的一元二次函数，进而可根据二次函数的性质来解决． 【详解】解：y ＝﹣2sin 2x +6sin x +2，设sin x ＝t ，则﹣1≤t ≤1， f （t ）＝﹣2t 2+6t +2，对称轴为x 32=，开口方向向下，在区间[﹣1，1]上单调增， ∴f （t ）max ＝f （1）＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了三角函数的最值问题．解题过程中运用了函数思想和转化与化归思想． 15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,60a b c ABC ABC ︒∠=∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为_________【答案】【解析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可． 【详解】 解：由题意得12ac sin60°12=a sin30°12+c sin30°，＝a +c ，得11a c+=，得4a +c ＝3（4a +c ）（11a c +）453c a a c ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭≥53⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＝， 当且仅当4c aa c=，即c ＝2a 时，取等号，故答案为：． 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用与三角形的面积公式，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键．16．设()f x 是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当[2,3]x ∈时，()f x x =，则当[2,0]x ∈-时，()f x 的解析式为______________【答案】()3|1|f x x =-+【解析】根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合x ∈[2，3]时，f （x ）＝x ，可得答案．【详解】解：∵f （x ）是定义在R 上的周期为2的偶函数，x ∈[2，3]时，f （x ）＝x ， ∴x ∈[﹣2，﹣1]时， 2+x ∈[0，1]，4+x ∈[2，3]， 此时f （x ）＝f （4+x ）＝4+x ， x ∈[﹣1，0]时，﹣x ∈[0，1]，2﹣x ∈[2，3]，此时f （x ）＝f （﹣x ）＝f （2﹣x ）＝2﹣x ， 综上可得：x ∈[﹣2，0]时，f （x ）＝3﹣|x +1| 故答案为：()3|1|f x x =-+ 【点睛】本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档．三、解答题 17．已知函数()22sin cos 1f x x x x =-++． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及对称中心；（Ⅱ）若63ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，求()f x 的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ) T π=，对称中心(,0),()212k k Z ππ-∈；(Ⅱ)()()1,()()266f x f f x f ππ=-=-==min max .【解析】试题分析：(Ⅰ)先通过三角恒等变换把()f x 化简成一角一名一次式即sin()A ωx φ+y=的形式，由正弦函数的性质求得其最小正周期和对称中心；(Ⅱ) 由63ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求出x ωϕ+的范围，结合图象找出函数的最值点，进而求得()f x 的最值，得解.试题解析：解：（Ⅰ）()2cos 22sin(2)6f x x x x π=+=+∴()f x 的最小正周期为22T ππ==， 令sin(2)06x π+=，则()212k x k Z ππ=-∈，∴()f x 的对称中心为(,0),()212k k Z ππ-∈；（Ⅱ）∵[,]63x ππ∈-∴52666x πππ-≤+≤∴1sin(2)126x π-≤+≤ ∴1()2f x -≤≤ ∴当6x π=-时，()f x 的最小值为1-；当6x π=时，()f x 的最大值为2．【考点】二倍角公式、两角和与差的正弦公式及三角函数的图象与性质.【易错点晴】本题涉及到降幂公式，要注意区分22sin ,cos αα两个公式，同时要注意两个特殊角63ππ，的三角函数值，保证化简过程正确是得分的前提，否则一旦出错将会一错到底，一分不得，不少考生犯这样的低级错误，实在可惜；对于给定区间上的最值问题，在换元的基础上结合三角函数的图象搞清楚其单调性，找准最值点，再求最值，部分考生不考虑单调性，直接代入区间两个端点的值来求最值，说明对函数单调性对函数最值的影响认识肤浅、不到位.18．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若515S =，且1a ，2a ，4a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n a 满足11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）n a n =；（Ⅱ）1nn +. 【解析】（Ⅰ）根据{}n a 是等差数列，设公差为d ，由通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式； （Ⅱ）求得()1111111n n n b a a n n n n +===-⋅++，由裂项相消求和，化简运算可得所求和． 【详解】（Ⅰ）公差d 不为零的等差数列{}n a ，若515S =，且124,,a a a 成等比数列，可得2121451015,a d a a a +==，即21113a d a a d +=+（）（）， 解得111a d ==，． 则n a n =；（Ⅱ）()1111111n n n b a a n n n n +===-⋅++，可得前n 项和1111112231n T n n =-+-++-+. 1111n n n =-=++． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式与等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于基础题．19．如图，直棱柱111ABC A B C -中，D E ，分别是1,AB BB的中点，12AA AC CB ===，AB =（1）证明：1//BC 平面1A CD ； （2）求二面角1D A C E --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】（1）连接AC 1，交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点，连接DF ，则BC 1∥DF ，由此能证明BC 1∥平面A 1C ．（2）以C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间坐标系C ﹣xyz ，利用向量法能求出二面角D ﹣A 1C ﹣E 的正弦值． 【详解】（1）如图，连接1AC 交1A C 于点F ，则点F 为1AC 的中点，连接DF . 因为D 是AB 的中点，所以在1ABC ∆中，DF 是中位线， 所以1//DF BC .因为1BC ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD . （2）因为AC CB AB ==， 所以90ACB ︒∠=，即AC BC ⊥.则以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设12AA AC CB ===，则(0,0,0)C ，(1,1,0)D ，(0,2,1)E ，1(2,0,2)A 则(1,1,0)CD =，(0,2,1)CE =，1(2,0,2)CA =. 设111(,,)m x y z =是平面1DA C 的一个法向量， 则100m CD m CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11110220x y x z +=⎧⎨+=⎩，取11x =，则11y =-，11z =-， 则(1,1,1)m =--.设222(,,)n x y z =是平面1EA C 的一个法向量，则100n CE n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220220y z x z +=⎧⎨+=⎩，取22x =，则21y =，22z =-， 则(2,1,2)n =-.所以cos ,3m n 〈〉==，所以6sin ,3m n 〈〉=，即二面角1D A C E --. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 20．已知在中，角的对边分别为,且.（1）求的值； （2）若,求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求的值，所以可以考虑到根据余弦定理将分别用边表示，再根据正弦定理可以将转化为，于是可以求出的值；（2）首先根据求出角的值，根据第（1）问得到的值，可以运用正弦定理求出外接圆半径，于是可以将转化为，又因为角的值已经得到，所以将转化为关于的正弦型函数表达式，这样就可求出取值范围；另外本问也可以在求出角的值后，应用余弦定理及重要不等式，求出的最大值，当然，此时还要注意到三角形两边之和大于第三边这一条件. 试题解析：（1）由， 应用余弦定理，可得化简得则（2）即所以法一.,则= ==又法二 因为 由余弦定理得， 又因为，当且仅当时“”成立.所以又由三边关系定理可知综上【考点】1.正、余弦定理；2.正弦型函数求值域；3.重要不等式的应用. 21．已知数列{}n a 中，132a =且12n a =()11n a n -++()2n n N *≥∈，． （Ⅰ）求2a ，3a ；并证明{}n a n -是等比数列；（Ⅱ）设2nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（Ⅰ）925,48，证明见解析；（Ⅱ）()1122n n n +-⋅++. 【解析】（Ⅰ）根据递推式逐步代入算出2a 和3a 的值，再根据题意将n a 的递推式代入n a n -进行计算化简最终会得到n a n -和()11n a n ---的关系，最终得证数列{}n a n -是等比数列；（Ⅱ）先根据（Ⅰ）求得n b 的通项公式，得到·21n n b n =+，由n b 通项公式的特点可根据错位相减法得到数列{}n b 的前n 项和n S ． 【详解】（Ⅰ）由题意，可知：()211212a a =++= 13921224⎛⎫⋅++= ⎪⎝⎭，()321312a a =++= 192531248⎛⎫⋅++=⎪⎝⎭． ①当1n =时，1311122a -=-=， ②当2n ≥时，()1112n n a n a n n --=++-= 1111222n a n n -++-=1111222n a n --+= ()1112n a n --+= ()1112n a n --+= ()1112n a n -⎡⎤--⎣⎦． ∴数列{}n a n -是以12为首项，12为公比的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ），可知：12nn a n ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴ 12nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．*n N ∈． ∴ 1222n nnn n b a n ⎡⎤⎛⎫=⋅=⋅+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦122212n n n n n n ⋅+⋅=⋅+．123n n S b b b b ∴=++++()()12121221=⋅++⋅++ ()()332121nn ⋅++⋅+1231222322n n n =⋅+⋅+⋅++⋅+， ③2321222n S =⋅+⋅+()11222nn n n n ++-⋅+⋅+ ④③-④，可得：123121212n S -=⋅+⋅+⋅++11222n n n n n +⋅-⋅+- 1122212n n n n ++-=-⋅-- ()1122n n n +=-⋅--， ()1122n n S n n +∴=-⋅++【点睛】本题第（Ⅰ）题主要考查根据递推公式逐步代值，以及根据递推公式求出通项公式；第（Ⅱ）题主要考查利用错位相减法来求数列的前n 项和．本题属中档题． 22．已知21()(2)(0)2x f x ax ax x e a =-++->． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在3个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）22(2,)(,)e e e +∞【解析】(1)对函数求导，比较导函数的两根大小，进而得到单调性；（2）通过函数表达式可得到函数有一个零点2，要使得()f x 有3个零点，即方程()1022x ax e x -+=≠有2个实数根，即()22,0x e a x x =≠，令()2xe h x x=对函数求导研究函数单调性，结合函数的图像得到参数范围. 【详解】（1）()()()()21x x xf x ax a e x e x e a =-+++-=--'因为0a >，由()0f x '=，得11x =或2ln x a =．（i ）当0a e <<时，1ln a >， 在(),ln a -∞和()1,+∞上，()0f x '>，()f x 单调递增； 在()ln ,1a 上，()0f x '<，()f x 单调递减，（ii ）当a e =时，1ln a =，在(),-∞+∞上，()0f x '≥，()f x 单调递增， （iii ）当a e >时，ln 1a >，在(),1-∞和()ln ,a +∞上，()0f x '>，()f x 单调递增； 在()1,ln a 上，()0f x '<，()f x 单调递减， （2）()()()2112222x x f x ax ax x e x ax e ⎛⎫=-++-=--+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 有一个零点2x =．要使得()f x 有3个零点，即方程()1022x ax e x -+=≠有2个实数根，又方程()()12022,02x xe ax e x a x x -+=≠⇔=≠，令()()22,0x e h x x x=≠，即函数y a =与()y h x =图像有两个交点，令()()2221220xx x e x xe e h x x x-='-==，得1x = ()h x 的单调性如表：当0x <时，()0h x <，又()22h e =，()h x 的大致图像如图，所以，要使得()f x 有3个零点，则实数a 的取值范围为()()222,,e e e ⋃+∞【点睛】本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题， （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.。
【数学】黑龙江省大庆铁人中学2020届高三上学期开学考试 数学(理)
2020届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期开学考试数学试题（理）试题说明： 1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
第Ⅰ卷 选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。
） 1．已知集合，，则( )A ．B ．C ．D ．2．与函数相同的函数是( )A B ．)10(log ≠>=a a a y x a 且 C ．D ．3.原命题：“设a ，b ，c ∈R ，若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”，在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2D. 44．幂函数在上单调递增，则的值为( )A ． 2B ． 3C ． 4D ． 2或45. 已知97log c ,)97(b ,)97(a ,22)x (f 23121xx===-=--则()()(),,f a f b f c 的大小顺序为( )A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f b f c f a <<6.已知函数1x )(23=++=在bx ax x x f 处有极值10，则等于( )A. 1B. 2C.D.7.函数)32(log )(221--=x x x f 的单调递减区间是（ ）A.B.C.D.8．下列四个命题中真命题的个数是( ) ①若是奇函数，则的图像关于轴对称；②若，则；③若函数对任意满足，则是函数的一个周期；④命题“存在”的否定是“任意”A ．B ．C ．D ． 9.函数xx x y 2)(3-=的图象大致是( )10.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()30f x f x -+=,且当3,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时, ()()2log 27f x x =+,则()2017f =( )A. 2log 5-B. 2C. 2-D. 2log 511．设定义域为R 的函数f()=.1,01||,1|lg |⎩⎨⎧=≠-x x x ，则关于的方程f 2()+bf()+c=0有7个不同实数解的充要条件是 ( )A ．b<0且c>0B ．b>0且c<0C ．b<0且c=0D ．b ≥0且c=012．已知()(),ln xf x eg x x ==，若()()f t g s =，则当s t -取得最小值时， ()f t 所在区间是（ ）A.()ln2,1 B ． 1,ln22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ． 11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ． 11,2e ⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷二、填空(每小题5分,共20分)13.设函数 ，则f [f （2）]=______．14.若函数y =f （）的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则函数y =f （log 2）的定义域为______．15．已知⎩⎨⎧≥<--=)1(log )1()3()(x x x a x a x f a 是(-∞,+∞)上的增函数，那么实数a 的取值范围是___________．16．已知函数()()4log 3(0),{130,4xx x x f x x x +->=⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭若()f x 的两个零点分别为12,x x ，则12x x -=__________．三、解答题(17题10分,其它各题每题12分,共70分.) 17.已知函数（1）当∈[2,4]，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求m 的取值范围．18.已知a R ∈，命题:p “[0,2],240x x x a ∀∈-+≤均成立”， 命题:q “函数2()ln(2)f x x ax =++定义域为R ”．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题""p q ∨为真命题，命题""p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．()()()()()()(].2,02.213.1923的范围上是减函数，求在若函数的值的极值点，求实数是函数若函数a x f e x g a x f y x x ax x f x ⋅===-=20.已知函数y =a （a ＞0且a ≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a 的值；（2）证明f （）+f （1-）=1；（3）求)20192018()20193()20192(20191f f f f ++++ΛΛ）（的值．21、已知函数)(ln 2)12(21)(2R a x x a ax x f ∈++-=（1）若曲线)(x f y =在1=x 和3=x 处的切线互相平行，求a 的值； （2）求)(x f 的单调区间；22.已知函数()2ln f x x ax =+， ()1g x x b x =++，且直线12y =-是函数()f x 的一条切线． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）对任意的1e x ⎡∈⎣，都存在[]21,4x ∈,使得()()12f x g x =，求b 的取值范围；（Ⅲ）已知方程()f x cx =有两个根12,x x （12x x <），若()1220g x x c ++=，求证： 0b <．铁人中学2017级高三学年上学期开学验收考试数学试题（理）答案第Ⅰ卷选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。
铁人中学级高三学年上学期期中考试数学试题答案
大庆铁人中学高三学年上学期期中考试数学试题答案一、选择题13、14、15、12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦16、12nn-⋅三、解答题17.解：(1)因为在点M(1，M(1))处的切线方程为9M+3M−10=0，所以切线斜率是M=−3，且9×1+3M(1)−10=0，求得M(1)=13，即点M(1， 13)，又函数M(M)=13M3−MM+M，则M′(M)=M2−M，所以依题意得，解得{M=4M=4；(2)由(1)知M(M)=13M3−4M+4，所以M′(M)=M2−4=(M+2)(M−2)，令M′(M)=0，解得M=2或M=−2当M′(M)>0⇒M>2或M<−2；当M′(M)<0⇒−2<M<2，所以函数M(M)的单调递增区间是(−∞，−2)，(2，+∞)单调递减区间是(−2，2)，又M∈[0，3]，所以当x变化时，M(M)和M′(M)变化情况如下表：所以当M∈[0，3]时，M(M)MMM=M(0)=4，．M(M)MMM=M(2)=−43要练说，得练听。
听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。
我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。
当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。
平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。
19.解：函数M (M )=4sin (M −M3)cos M +√3．化简可得：M (M )=2sin M cos M −2√3cos 2M +√3=sin 2M −2√3(12+12cos 2M )+√3=sin 2M −√3cos 2M =2sin (2M −M3)(1)函数的最小正周期M =2M 2=M ，由2MM −M 2≤2M −M 3≤2MM +M 2时单调递增，解得：MM −M12≤M ≤MM +5M 12∴函数的单调递增区间为[：MM −M12，MM +5M 12]，M ∈M ．(2)函数M (M )=M (M )−M 所在[0，M2]匀上有两个不同的零点M 1′，M 2′，转化为函数M (M )与函数M =M 有两个交点，令M =2M −M3，∵M ∈[0，M2]，∴M ∈[−M3，2M 3]可得M (M )=2sin (M )的图象(如图)．从图可知：m 在[√3，2)，函数M (M )与函数M =M 有两个交点，其横坐标分别为M 1′，M 2′. 故得实数m 的取值范围是M ∈[√3，2)“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
黑龙江省大庆市大庆中学2020届高三数学上学期期中试题 理(含解析)
【答案】C
【解析】
【分析】
根据椭圆与双曲线的定义可以求得 与 的关系，再表达出 求最值即可。
【详解】由题得 ，又因为 ,故 ,
即 ,所以
,当且仅当 即 时等号成立.
故选：C
【点睛】本题主要考查共焦点的椭圆与双曲线的问题，需要根据椭圆与抛物线的定义，同时结合垂直找到 的关系再进行求解,属于中等题型.
A。 B。 C. D.
【答案】B
【解析】
质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次,因此质点P 移动5次后位于点 的概率为 。
7。圆 与圆 的公切线有几条（)
A。 1条B。 2条C。 3条D。 4条
【答案】C
【解析】
分析】
首先求两圆的圆心距,然后判断圆心距与半径和或差的大小关系,最后判断公切线的条数。
A。 B。 10C。 D。
【答案】B
【解析】
【分析】
根据指数与对数的运算法则求解即可.
【详解】 。
故选：B
【点睛】本题主要考查了指数的基本运算，属于基础题型.
3.已知 ，则下列说法正确的是（ )
A。 若 ，则 B。 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ,则
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质可推得D正确，利用特殊值举例可说明A,B,C错误.
4.已知 ,且 ，则 （ ）
A. 4B。 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量共线的坐标形式可求 ，求出 的坐标后可求 .
【详解】因为 ，故 ，所以 ，
故 ，故 。
故选C。
【点睛】如果 ，那么：(1）若 ，则 ；（2）若 ，则 .
黑龙江大庆铁人中学高三数学上学期期中试题 理(含解析)
数学本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为为主导，在注重考查运算能力和分析问题解决问题的能力，知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、导数，数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、数列，圆锥曲线等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷. 【题文】一.选择题（每小题5分，共60分）【题文】1.设集合A ＝{x |y ＝3x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x，x >1}，则A ∩B 为( )A ．[0,3]B ．(2,3]C ．[3，＋∞) D．[1,3] 【知识点】集合及其运算A1 【答案】B【解析】A ＝{x |0≤x 3≤},B={y |y >2}则A ∩B=(2,3] 【思路点拨】先分别求出A ，B 再求交集。
【题文】2.命题“∃x ∈R,2x ＋x 2≤1”的否定是( )A ．∀x ∈R,2x ＋x 2>1，假命题 B ．∀x ∈R,2x ＋x 2>1，真命题 C ．∃x ∈R,2x ＋x 2>1，假命题 D ．∃x ∈R,2x ＋x 2>1，真命题【知识点】命题及其关系A2 【答案】A【解析】∵原命的否定为∀x ∈R ，2x +x 2＞1，∴取x=0，则20+02=1，故它是假命题.【思路点拨】易得其否定为∀x ∈R ，2x +x 2＞1，直接推断其真假有困难，这不防反过来思考，是否所有的∀x ∈R ，都满足2x+x 2＞1，如取x=0则不满足. 【题文】3. 已知△ABC 中，tanA ＝－512，则cosA ＝( )A.1213 B.513 C ．－513 D ．－1213【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2【答案】D【题文】4. 若奇函数f (x )(x ∈R)满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2等于( )A ．0B ．1 C.12 D ．－12【知识点】函数的奇偶性B4 【答案】C【题文】5. 已知函数f (x )＝sin(2x －4)，若存在α∈(0，π)使得f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，则α等于( )A.π6 B.π3 C.π4 D.π2【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案】D【题文】6.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与曲线x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.12 D.14【知识点】抛物线及其几何性质H7【答案】A【解析】整理圆方程得（x-3）2+y 2=16∴圆心坐标为（3，0），半径r=4 ∵圆与抛物线的准线相切∴圆心到抛物线准线的距离为半径切推断圆心到抛物线的准线的距离为半径，进而求得P ．【题文】7.圆心在直线y ＝x 上，经过原点，且在x 轴上截得弦长为2的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2或(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝或(x ＋1)2＋(y －1)2＝2【知识点】直线与圆H4【答案】C【解析】由于圆心在y=x上，所以可设圆的方程为（x-a）2+（y-a）2=r2，将y=0代入得：x2-2ax+2a2=r2∴x1+x2=a，x1•x2=2a2-r2，∴弦长=|x1-x2代入可得：7a2-4r2+4=0 ①再将点（0，0）代入方程（x-a）2+（y-a）2=r2，得2a2=r2=0…②，联立①②即可解出a=1、r2=2，或a=-1，r2=2(x－1)2＋(y－1)2＝2或(x＋1)2＋(y＋1)2＝2【思路点拨】根据直线与圆的位置关系根与系数的关系求出方程。
2020-2021学年大庆市铁人中学高三上学期期中数学试卷(理科)(含解析)
2020-2021学年大庆市铁人中学高三上学期期中数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则()A. 4B. 5C. 6D. 72.“m≤1”是“直线x−my+2=0的倾斜角θ∈[π4,π)”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件3.若向量a⃗，b⃗ 是不共线的两个向量，2a⃗−3b⃗ 与λa⃗+μb⃗ 共线，当λ>0时，2λ−3μ的最小值为()A. 4B. 2C. 3√22D. 2√324.某人朝正东方走xkm后，向左转150°，然后朝新方向走3km，结果它离出发点恰好√3km，那么x等于()A. √3B. 2√3C. √3或2√3D. 35.设函数y=f(x)，x∈R的导函数f′(x)，且f(−x)=f(x)，f′(x)<f(x)，则下列不等式成立的是()A. f(0)<e−1f(1)<e2f(2)B. e2f(2)<f(0)<e−1f(1)C. e2f(2)<e−1f(1)<f(0)D. e−1f(1)<f(0)<e2f(2)6.已知定义在R上的函数是奇函数且满足，数列满足且(其中为的前项和)，则()A. 3B. 2C.D.7.在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，三边a、b、c成等差数列，且B=π4，则cosA−cosC 的值为()A. ±√2B. √2C. 42D. ±428.函数y=cos x2的最小正周期是()A. π2B. πC. 2πD. 4π9.下列函数中既是偶函数，又在区间(0,+∞)上单调递增的是()A. y =−|x|B. y =−x 2+1C. y =x 3D. y =−1|x| 10. 已知f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0)同时满足以下条件：①当|f(x 1)−f(x 2)|=4时，|x 1−x 2|最小值为π2；②f(π12+x)=f(7π12−x)；③f(0)>f(π4). 若f(x)=a 在[0,π]有2个不同实根m ，n ，且|m −n|≥π3，则实数a 的取值范围为( ) A. [−√3,√3] B. [0,1) C. (1,√3] D. [−1,1)11. 设函数f(x)=g(x)+x +lnx ，曲线y =g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y =2x +1，则曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为( )A. y =4xB. y =4x −8C. y =2x +2D. y =−12x +1 12. 已知定义在R 上的函数y =f(x)对任意的x 满足f(x +1)=−f(x)，当−1≤x <1时，f(x)=x 2，函数g(x)={|log a x|,x >0,−1x,x <0,若函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在[−6,+∞)上有4个零点，则实数a 的取值范围是( )A. (14,13]∪[3,4)B. [15,13)∪(3,5]C. (16,15]∪[5,6)D. [17,15)∪(5,7] 二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. ∫(212x +1)dx =______．14. 已知sinx −siny =−23，cosx −cosy =23且x ，y 为锐角，则tan(x −y)= ______ ．15. 设集合A ={(x,y)|y =f(x)}，若对于任意的(x 1,y 1)∈A ，总存在(x 2,y 2)∈A ，使得x 1x 2+y 1y 2=0，则称集合A 具有性质P.给定下列4个集合：①A 1={(x,y)|y =2x }②A 2={(x,y)|y =1+sinx}③A 3={(x,y)|y =(x −1) 13}④A 4═{(x,y)|y =ln|x|}．其中具有性质P 的为______(填对应的序号)16.已知符号函数sgn(x)={1,x>00,x=0−1,x<0，若函数f(x)=x|x|−1⋅sgn(x)，则不等式f(x)>0的解集为．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(b−a)sinB+asinA=csinC，c=2．(Ⅰ)求△ABC的外接圆半径R；(Ⅱ)求△ABC面积的最大值．18.选做题(考生注意：请在22、23、24题中，任选做一题作答，若多做，则按所做的第一题评分)22.(本小题满分10分)(1)计算：(2)求，的最大值23(本小题满分10分)(1)化简：(2)中，若，且为锐角，求角．24(本小题满分10分)(1)已知，，．，求的值(2)已知为锐角，且，求．19. 如图，过点的两直线与抛物线相切于A、B两点，AD、BC垂直于直线，垂足分别为D、C．(1)若，求矩形ABCD面积；(2)若，求矩形ABCD面积的最大值．20. 在△ABC中，c=2，C=30°.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求：(Ⅰ)a的值；(Ⅱ)△ABC的面积．条件①：2b=√3a；条件②：A=45°；条件③：b=2√3．21. 已知函数(为常数)是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数．(1)求的值；(2)若在及所在取值范围上恒成立，求的取值范围；(3)若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．22. 已知函数f(x)=ax3+bx+c在x=2处取得极值为c−16．(1)求a、b的值；(2)若c=12，求f(x)在[−3,3]上的最大及最小值．。
2020届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期开学考试数学(理)试题及答案
绝密★启用前黑龙江省大庆铁人中学2020届高三上学期开学考试数学（理）试题试题说明： 1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
第Ⅰ卷 选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。
） 1．已知集合，，则( )A ．B ．C ．D ．2．与函数相同的函数是( )A B ．)10(log ≠>=a a a y x a 且 C ．D ．3.原命题：“设a ，b ，c ∈R ，若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”，在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2D. 44．幂函数在上单调递增,则的值为( )A ． 2B ． 3C ． 4D ． 2或45. 已知97log c ,)97(b ,)97(a ,22)x (f 23121xx===-=--则()()(),,f a f b f c 的大小顺序为( )A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f b f c f a <<6.已知函数1x )(23=++=在bx ax x x f 处有极值10,则等于( )A. 1B. 2C.D.7.函数)32(log )(221--=x x x f 的单调递减区间是（ ）A.B.C.D.8．下列四个命题中真命题的个数是( ) ①若是奇函数,则的图像关于轴对称；②若,则；③若函数对任意满足,则是函数的一个周期；④命题“存在”的否定是“任意”A ．B ．C ．D ． 9.函数xx x y 2)(3-=的图象大致是( )10.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()30f x f x -+=,且当3,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时, ()()2log 27f x x =+,则()2017f =( )A. 2log 5-B. 2C. 2-D. 2log 511．设定义域为R 的函数f(x)=.1,01||,1|lg |⎩⎨⎧=≠-x x x ,则关于x 的方程f 2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是 ( )A ．b<0且c>0B ．b>0且c<0C ．b<0且c=0D ．b ≥0且c=012．已知()(),ln xf x eg x x ==,若()()f t g s =,则当s t -取得最小值时, ()f t 所在区间是（ ）。
黑龙江省大庆市铁人中学2020届高三数学上学期期中试题文(含解析)
黑龙江省大庆市铁人中学2020届高三数学上学期期中试题 文（含解析）一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）1.已知集合223{()|}Ax y x y x N y Z ≤∈∈＝，＋，，，则A 中元素的个数为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6【答案】D 【解析】 【分析】根据223x y ≤＋知这个是一个圆,再根据x N y Z ∈∈，找到圆内满足条件的点即可.【详解】解：223{()|}Ax y x y x N y Z Q ≤∈∈＝，＋，，, 223x y ≤＋表示平面内圆心为(0,0),半径3r =的圆,又因为x N y Z ∈∈，,依题意画图,可得集合A 中元素的个数为6． 故选：D【点睛】本题考查集合元素的个数,要知道集合是一个点集. 2.若a,b∈R，则a ＞b ＞0是a 2＞b 2的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】根据不等式的性质， 由a ＞b ＞0可推出a 2＞b 2；但，由a 2＞b 2无法推出a ＞b ＞0，如a=-2,b=1， 即a ＞b ＞0是a 2＞b 2的充分不必要条件， 故选A. 3.设121iz i i-=++（i 是虚数单位），则z =（ ）A. 0B.12C. 1【答案】C 【解析】 【分析】先进行复数的商的运算,再进行加法运算,最后用求模公式求解.【详解】解：复数()()()21122111i iz i i i i i --=+=+++- 2222ii i i i -=+=-+=1z ==故选:C【点睛】本题考查复数的模的求法,考查计算能力.4.在平面直角坐标系中，向量(1,2)a =r ，(2,1)a b r r-=，(,)c x y =r ，若()2a b c r r r P +，()a cb r r r +⊥，则x y +＝（ ） A.12B.32C. 32-D. 12-【答案】C 【解析】 【分析】先求出向量b r 的坐标表示,再求出2a b +r r ,a c r r+的坐标表示,再根据向量平行、垂直运算性质进行运算求出,x y 即可.【详解】解：(1,2)a =r ,(2,1)a b r r-=,(,)c x y =r()(1,1)b a a b r r r r∴=--=-2(1,5)a b r r ∴+=,(1,2)a c x y r r+=++又因为()2a b c r r r P +,()a cb r r r+⊥,则50(1)(1)(2)10x y x y -=⎧⎨+⨯-++⨯=⎩解得：1454x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩153442x y ∴+=--=-故选：C【点睛】本题考查向量平行、垂直的坐标运算,属于基础题.5.已知数列{}n a 满足： *11(2)n n n a a a n n N +≥∈－＝－，， 1212a a ＝，＝，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2019S =（ ）A. 3B. 4.C. 1D. 0【答案】B 【解析】 【分析】根据递推公式*11(2)n n n a a a n n N ≥∈＋－＝－，列举出3a 到7a ,得出数列{}n a 的周期为6,所以可以求出2019S .【详解】解：1212a a Q ＝，＝,*11(2)n n n a a a n n N ≥∈＋－＝－， 根据递推公式有：321211a a a =-=＝－432121a a a =-=-＝－ 543112a a a =--=-＝－ 6542(1)1a a a =---=-＝－ 7651(2)1a a a =---=＝－所以数列{}n a 的周期为6.2019123456123336()S a a a a a a a a a =++++++++336(121121)1214=⨯++---+++=故20194S =. 故选：B【点睛】本题考查数列递推公式的应用以及周期数列的前n 项和. 6.为了得到函数2sin(2)3y x π=-的图像,可以将函数2sin 2y x =的图像（ ）A. 向右平移6π个单位长度 B. 向右平移3π个单位长度C. 向左平移6π个单位长度D. 向左平移3π个单位长度【答案】A 【解析】试题分析：根据题意，令，解得， 由图像平移知，需要将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像；故答案为A.考点：函数图像平移法则的应用. 7.函数sin(2)3y x π=-在区间[,]2ππ-的简图是A. B. C.D.【答案】A 【解析】 【详解】将6x π=代入到函数解析式中得0y =，可排除C ，D;将x=π代入到函数解析式中求出函数值为3负数，可排除B ，故选A ． 8.已知函数()22f x ax x a =-+，对[]1,2x ∀∈都有()0f x ≤成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. (],0-∞ B. 4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. (],1-∞D. []1,0-【答案】B 【解析】 【分析】由题意函数对[]1,2x ∀∈都有()0f x ≤, 可以分离出函数中的参数,转化为 ()212xa x ≤+,只需()2min21x a x ⎡⎤⎢⎥≤⎢⎥⎣⎦+即可,所以转化为导数的极值来解题. 【详解】解：函数()22f x ax x a =-+,对[]1,2x ∀∈都有()0f x ≤, 当[]1,2x ∈时,()0f x ≤即220ax x a -+≤, 即为()221a x x +≤ 可化为()212x a x ≤+令()22()1xg x x +=,则()()22'22221)22((12(212))x x x x g x x x -++-++==当[]1,2x ∈时,'()0g x <,单调递减.因此()min 2224()(2)152g x g ⨯==+=所以min 4()5a g x ≤=故实数a 的取值范围是4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故选：B【点睛】对于不等式恒成立问题中求参数的取值范围,先分离出参数,转化为求函数的导数,用导数判断出最值,求出最大值与最小值即可求出参数的范围. 9.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A. ()f x 的最小正周期为π，最大值为3B. ()f x 的最小正周期为π，最大值为4C. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项. 【详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 且最大值()max 35422f x =+=，故选B. 【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果. 10.已知函数()f x x =，若对x R ∀∈都有()()1f x f x kx +-≥成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. ()2,1-B. []2,1-C. []1,1-D.(][),21,-∞-+∞U【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得,x R ∀∈都有()()1f x f x +-的图象在y kx =的上方,将题目转化为函数图象来解决.【详解】解：因为()f x x =,x R ∀∈都有()()1f x f x kx +-≥, 则可x R ∀∈都有()()1f x f x +-的图象在y kx =的上方.()()11x f x x f x +-=+-()()21,011,0121,1x x f x f x x x x -+<⎧⎪+-=≤<⎨⎪-≥⎩依题意画图要使()()1f x f x +-的图象恒在y kx =的上方, 则斜率1OA k k ≤=,或者2k ≥-, 实数k 的取值范围是[]2,1-. 故选：B【点睛】本题考查函数不等式恒成立问题,可转化为转化为一个图像恒在另一个图像的上方而转为为斜率问题来求解,这类题型考查学生数形结合能力. 11.已知函数()()121,11,1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，如果对任意的n ∈N *，定义()()()11n n f x f f x +=，那么()20202019f =（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 2020【答案】C 【解析】 【分析】利用分段函数的性质,先代入()12019f ,然后得出数值之后代入()22019f ,得出规律,则可求出()20202019f . 【详解】解：()()121,11,1x x f x x x Q ⎧-≤=⎨->⎩,()()()11n n f x f f x +=()12019201912018f ∴=-= ()22019(2018)2017f f == ()32019(2017)2016f f ==M()20172019(3)2f f == ()20182019(2)1f f ==()2019(1)20192(11)0f f ==-= ()2020(0)20192(10)2f f ==-=故选：C【点睛】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要注意分段函数的性质和函数值的规律.12.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0]2，上是增函数，则 A. (25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<【答案】D 【解析】 【分析】由()()4f x f x -=-，得到函数的周期是8，然后利用函数的奇偶性和单调性之间的关系进行判断大小.【详解】因为()f x 满足()()4f x f x -=-，所以()()8f x f x -=， 所以函数()f x 是以8为周期的周期函数，则()()()()()()251,800,113f f f f f f -=-==. 由()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()4f x f x -=-，得()()()()11311f f f f ==--=.因为()f x 在区间[]02，上是增函数，()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以()f x 在区间[]22-，上是增函数， 所以()()()101f f f -<<，即()()()258011f f f -<<.【点睛】在比较()1f x ，()2f x ，L ，()n f x 的大小时，首先应该根据函数()f x 的奇偶性与周期性将()1f x ，()2f x ，L ，()n f x 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．二、填空题（每小题5分，共20分） 13.若4cos 5α=-，且α为第三象限角，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_______.【答案】10- 【解析】试题分析：根据同角三角函数的关系算出35sin α==﹣，再利用两角和的正弦公式，即可算出sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；4cos ,5α=-Q α是第三象限的角，35sin α∴==﹣，34sin()()()44455sin coscos sinπππααα+=+=-+-=. 考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系14.220{100x y x y y --≤-+≥≤，则32z x y =+的最大值为________．【答案】6 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,结合数形结合进行求解即可. 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域,如图：（阴影部分ABC ∆） 由32z x y =+得3122y x z =-+, 平移直线3122y x z =-+经过点C 时, 直线3122y x z =-+的截距最大, 此时z 最大.由2200x y y --=⎧⎨=⎩,解得20x y ==⎧⎨⎩,即(2,0)C将C 的坐标带入目标函数32z x y =+, 得32206z =⨯+⨯=, 即32z x y =+的最大值为6. 故答案为：6【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法.15.函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________. 【答案】2 【解析】求函数f(x)＝3x －7＋lnx 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln2，由于ln2<ln e ＝1，所以f(2)<0，f(3)＝2＋ln3，由于ln3>1，所以f(3)>0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2．16.已知命题0:p x R ∃∈，使05sinx ；命题q x R ∀∈：，都有210x x ++>.给出下列结论：①命题p q ∧“”是真命题；②命题“”()p q ∧⌝是假命题；③命题“(”)p q ∨﹁是真命题；④命题()”)(“p q ∨﹁﹁是假命题，其中正确的是________(把所有正确结论的序号都填上)．【答案】②③ 【解析】 【分析】先判断命题p 和命题q 的真假,再判断p ⌝,q ⌝的真假,最后根据真值表可得出结论. 【详解】解： 051sinx Q =>,所以p 是假命题. 又22310412x x x ⎛⎫++⎪⎝⎭+=+> ,所以q 是真命题.p ⌝是真命题,q ⌝是假命题,故根据真值表可得②③正确.故答案为：②③【点睛】本题考查含简单逻辑连接词的命题的真假性的判断问题.步骤为：①判断p 和q 的真假,②根据真值表判断复合命题的真假. 三、解答题（17小题10分，18--22小题每小题12分，共70分）17.已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是首项为2且单调递增的等比数列，其前n 项和为n T ，2312b b +=，3412b a a =-，()81111112b S T =+. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)设()153n n c a =+，2log n np b =，求数列11n n c p ⎧⎫⨯⎨⎬⎩⎭的前n 项和n G ． 【答案】（1）32n a n =-，2nn b =；（2）1n nG n =+ 【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q ,将条件带入通项公式,解方程即可求出.（2）将{}n a 、{}n b 的通项公式代入()153n n c a =+、2log n n p b =中,得到11n n c p ⎧⎫⨯⎨⎬⎩⎭的通项公式为11111n n c p n n⨯=⨯+,用裂项相消求和. 【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为()1q q >,由已知得2312b b ＋＝,得211()2b q q ＋＝,而12b =,所以260q q +-= 又因为()1q >,解得2q =,所以2nn b =由3412b a a =-,可得138d a -=, 由()81111112b S T =+,可得1516a d += 解得11,3a d ==,由此可得32n a n =-所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-,数列{}n b 的通项公式为2nn b =（2）由（1）得1n c n =+,n p n =,所以11111111n n c p n n n n ⨯=⨯=-++ 所以111111111122334111n n G n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 【点睛】本题考查求等差等比数列的通项公式,设首项和公差、公比,代入已知条件中即可求解.还考查用裂项相消求数列前n 项和,需要熟记公式,灵活求解.18.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()2sin sin sin sin 2Ba C A C A +=. (1)求角B ；(2)若6a c +=，ABC ∆的面积S =求b .【答案】（1）3B π=；（2）b =【解析】 【分析】(1)根据正弦定理的边化角公式和三角形内角和等于π,将已知条件化简为：2sin sin sin sin sin 2BA CBC A =,约分之后再用降幂公式即可求出B 的值. （2）由三角形面积公式可求得ac ,带入余弦定理即可求得b . 【详解】（1）因为A B C π++=,0,,A B C π<<,由已知()2sin sin sin sin 2Ba C A C A += 和正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===得：2sin sin sin sin sin 2BA CBC A =,又因为sin ,sin ,sin 02BA C ≠,所以2sin 2B B =,22sin cos 222B B B =cos 22B B =,tan 2B =3B π=（2）由面积公式1sin 24S ac B ac ===8ac =,由余弦定理()22222cos 312b a c ac B a c ac =+-=+-=,得b =【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积计算公式、和差公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.19.已知四面体ABCD 中AB ⊥面BCD ，BC DC ⊥， BE AD ⊥垂足为E ，E ，F 为,AD CD 中点，2AB BD ==,1CD =（1）求证： AC P 面BEF ； （2）求点B 到面ACD 的距离． 【答案】（1）见解析；（2）2217【解析】 【分析】（1）证明线面平行,需先证明线线平行,可从三角形的中位线定理证明线线平行,从而再证线面平行.（2）求点到面的距离用等体积法,由A BCD B ACD V V --=,分别算出∆BCD S 、ACD S ∆,建立体积等式关系即可求B 到面ACD 的距离． 【详解】、（1）因为BE AD ⊥,AB BD =所以E 为AD 中点,又因为F 是CD 中点,所以AC EF P , 而AC ⊄面BEF ,EF ⊂面BEF ,所以AC P 面BEF . （2）由已知得3BC =,22AD =7AC =, 所以三角形ACD 为直角三角形其面积7ACD S ∆=三角形BCD 的面积3BCD S ∆=设点B 到面ACD 的距离为h ,因为A BCD B ACD V V --=,即11233BCD ACD SS h ∆∆⨯=⨯ 解得2217h =, 所以点B 到面ACD 的距离为2217. 【点睛】（1）线面平行的判定定理是：若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行,即a b a a b P P ααα⎫⎪∉⇒⎬⎪∈⎭.（2）用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想,先用简单的方法求出四面体的体积,然后计算出底面三角形的面积,再根据四面体体积公式V=-Sh 求出点到平面的距离h . 20.某班随机抽查了20名学生的数学成绩，分数制成如图的茎叶图，其中A 组学生每天学习数学时间不足1个小时，B 组学生每天学习数学时间达到一个小时。
黑龙江大庆铁人中学高三数学上学期期中试题 理(含解析)
数学本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为为主导，在注重考查运算能力和分析问题解决问题的能力，知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、导数，数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、数列，圆锥曲线等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷. 【题文】一.选择题（每小题5分，共60分）【题文】1.设集合A ＝{x |y ＝3x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x，x >1}，则A ∩B 为( )A ．[0,3]B ．(2,3]C ．[3，＋∞) D．[1,3] 【知识点】集合及其运算A1 【答案】B【解析】A ＝{x |0≤x 3≤},B={y |y >2}则A ∩B=(2,3] 【思路点拨】先分别求出A ，B 再求交集。
【题文】2.命题“∃x ∈R,2x ＋x 2≤1”的否定是( )A ．∀x ∈R,2x ＋x 2>1，假命题 B ．∀x ∈R,2x ＋x 2>1，真命题 C ．∃x ∈R,2x ＋x 2>1，假命题 D ．∃x ∈R,2x ＋x 2>1，真命题【知识点】命题及其关系A2 【答案】A【解析】∵原命的否定为∀x ∈R ，2x +x 2＞1，∴取x=0，则20+02=1，故它是假命题.【思路点拨】易得其否定为∀x ∈R ，2x +x 2＞1，直接推断其真假有困难，这不防反过来思考，是否所有的∀x ∈R ，都满足2x+x 2＞1，如取x=0则不满足. 【题文】3. 已知△ABC 中，tanA ＝－512，则cosA ＝( )A.1213 B.513 C ．－513 D ．－1213【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2【答案】D【题文】4. 若奇函数f (x )(x ∈R)满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2等于( )A ．0B ．1 C.12 D ．－12【知识点】函数的奇偶性B4 【答案】C【题文】5. 已知函数f (x )＝sin(2x －4)，若存在α∈(0，π)使得f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，则α等于( )A.π6 B.π3 C.π4 D.π2【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案】D【题文】6.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与曲线x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.12 D.14【知识点】抛物线及其几何性质H7【答案】A【解析】整理圆方程得（x-3）2+y 2=16∴圆心坐标为（3，0），半径r=4 ∵圆与抛物线的准线相切∴圆心到抛物线准线的距离为半径切推断圆心到抛物线的准线的距离为半径，进而求得P ．【题文】7.圆心在直线y ＝x 上，经过原点，且在x 轴上截得弦长为2的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2或(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝或(x ＋1)2＋(y －1)2＝2【知识点】直线与圆H4【答案】C【解析】由于圆心在y=x上，所以可设圆的方程为（x-a）2+（y-a）2=r2，将y=0代入得：x2-2ax+2a2=r2∴x1+x2=a，x1•x2=2a2-r2，∴弦长=|x1-x2代入可得：7a2-4r2+4=0 ①再将点（0，0）代入方程（x-a）2+（y-a）2=r2，得2a2=r2=0…②，联立①②即可解出a=1、r2=2，或a=-1，r2=2(x－1)2＋(y－1)2＝2或(x＋1)2＋(y＋1)2＝2【思路点拨】根据直线与圆的位置关系根与系数的关系求出方程。
黑龙江省大庆铁人中学高三数学上学期期中考试 理 新人教A版
黑龙江省大庆铁人中学高三数学上学期期中考试 理 新人教A 版【会员独享】第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若全集U =Ｒ，集合A =｛2|430x x x ++>｝，B =｛3|log (2)1x x -≤｝，则()()U U C A C B = A ．｛x |1-<x 或2>x ｝ B ．｛x |1-<x 或2≥x ｝C ．｛x |1-≤x 或2>x ｝D ．｛x |1-≤x 或2≥x ｝ 2.已知 4cos 5α=-,且(,)2παπ∈,则tan()4πα-等于 A ．17- B ．7- C ．71 D ．73.设a ＞1,且m =log a (a 2+1)，n =log a (a -1)，p =log a (2a )，则m ,n ,p 的大小关系为A. n ＞m ＞pB. m ＞p ＞nC. m ＞n ＞pD. p ＞m ＞n4．定义在R 上的偶函数f （x ）在[)∞+,0上递增，0)31(=f ，则满足)(log 81x f ＞0的x的取值范围是A ．()∞+,0B ．()∞+⎪⎭⎫⎝⎛,221,0 C ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2181,0 D ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 5.已知{}n a 为等差数列，若9843=++a a a ，则9S = A.24B. 27C. 15D. 546．实数x 满足3log 1sin x θ=+，则|1||9|x x -+-的值为 A ．8 B ．-8 C ．0 D ．10 7.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4),AB =(1,3),AC BD ==则A.(2,4）B.(3,5）C.(—3,—5）D.(—2,—4） 8.定义运算：12142334a a a a a a a a =-，将函数sin 3()cos 1xf x x -=向左平移m 个单位(0)m >，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是A .6π B .3πC .56πD .23π9.若1()1(1)f x f x +=+，当[0x ∈，1]时，()f x x =，若在区间(1-,1] 内()()g x f x mx m =--有两个零点，则实数m 的取值范围是A .[0，1)2B .1[2，)+∞C .[0，1)3D .(0，1]210.已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且3100(12)S x dx =+⎰，2017S =，则30S 为A ．15B ．20C ．25D ．3011.设函数122log (0)()()()log ()(0)xx f x f m f m x x >⎧⎪=<-⎨⎪-<⎩,若， 则实数m 的取值范围是A ．(1,0)(1,0)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(1,)-+∞ D ．(,1)(0,1)-∞-12.设函数()f x 在R 上满足(2)(2),f x f x -=+(7)(7)f x f x -=+ 且在闭区间[0，7]上，只有(1)(3)0f f ==，则方程()0f x =在 闭区间[—2005，2005]上的根的个数为A ．802B ．803C ．804D ．805第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测的刹车后t 秒内列车前进的距离为2270.45S t t =-米，则列车刹车后 秒车停下来，期间列车前进了 米．14．已知y x y x 222log log )(log +=+,则y x +的取值范围是 15.如图，在△ABC 中，AN =31NC , P 是BN 上的一点，若AP =m AB +112AC ， 则实数m 的值为___________.16. 等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项的积为n T ，并且满足1200920101,10,a a a >->20092010(1)(1)0,a a --<给出下列结论 ①01q <<； ②200920111a a <； ③2010T 是n T 中最大的；④使得n T >1成立的最大的自然数n 是4018. 其中正确结论的序号为 .三、解答题:本大题共6小题，满分70分. 17. (本小题满分10分)已知不等式a x x 2|4||3|2<-+-． （Ⅰ）若1=a ，求不等式的解集；（Ⅱ）若已知不等式的解集不是空集，求a 的取值范围． 18.（本小题满分12分）已知正项数列}{n a 为等比数列,256,151==a a ;n S 为等差数列}{n b 的前n 项和，,21=b 8525S S =.(1)求}{n a 和}{n b 的通项公式； (2)设n T n n b a b a b a ++=2211,求n T . 19. (本小题满分12分) 已知向量(sin mx ,1),向量(3cos n x ,1)2,函数.()()f x m n m .(Ⅰ)求()f x 的最小正周期T ； (Ⅱ)已知a ,b ,c 分别为ABC 内角A ,B ,C 的对边,A 为锐角,23a,4c,且()f A 恰是()f x 在[0，]2上的最大值，求A ,b 和ABC 的面积S .20．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x.(1)若f (x )在区间[1,＋∞)上是增函数,求实数a 的取值范围； (2)若x ＝－13是f (x )的极值点,求f (x )在[1,a ]上的最大值；(3)在(2)的条件下,是否存在实数b ,使得函数g (x )＝bx 的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点？若存在，请求出实数b 的取值范围；若不存在，试说明理由． 21．（本小题满分12分）已知向量 a=（cos α,sin α）,b =（cos β，sin β），|b a -｜＝5．(1)求cos （α－β）的值； (2)若０＜α＜2π，－2π＜β＜０,且sin β＝－513，求sin α的值．[来源:Z,xx,] 22.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝a x－x ln a ，其中a ∈(1，e ]．(1)讨论f (x )的单调性；(2)对∀x 1，x 2∈[－1,1]，求|f (x 1)－f (x 2)|的最大值.参考答案一、选择题：DDBBB ACADA CC 二、填空题：13.30;405 14.[4,+∞）； 15.11316. ①②④ 三、解答题:本大题共6小题，满分70分. 17.解：（Ⅰ）2|4||3|2<-+-x x ， ① 若4≥x ，则2103<-x ，4<x ，∴舍去． ② 若43<<x ，则22<-x ，43<<∴x ． ③ 若3≤x ，则2310<-x ，338≤<∴x ．综上，不等式的解集为}438|{<<x x ． ……………5分 （Ⅱ）设|4||3|2)(-+-=x x x f ，则⎪⎩⎪⎨⎧≤-<<-≥-=3,31043,24,103)(x x x x x x x f ，1)(≥∴x f12>∴a ，21>a ．…………………………10 18. 解 1)设}{n a 的公比为q ,由451a a q =,得 4.q =所以14.n n a -=设}{n b 的公差为d ，由8525S S =得3223231=⨯==a d , 所以()113 1.n b b n d n =-=- （2）n T ()1124548431n n -=⨯+⨯+⨯+-① ()244245431n n T n =⨯+⨯++-②②-①得：()()()2132344...44312324.n n n n T n n -=--++++-=+-⋅所以224.33n n T n ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭19.解:（1）21()()sin 1cos 2f x m n m x x x =+⋅=++…2分1cos 2112222x x -=+++12cos 2222x x =-+ sin(2)26x π=-+…………5分因为2ω=，所以22T ππ==…………6分(Ⅱ) 由(Ⅰ)知：()sin(2)26f A A π=-+[0,]2x π∈时,52666x πππ-≤-≤由正弦函数图象可知,当262x ππ-=时()f x 取得最大值3所以262A ππ-=,3A π=…………8分由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-∴211216242b b =+-⨯⨯∴2b =………10分 从而11sin 24sin 602322S bc A ==⨯⨯=12分 20.解: (1)f′(x)＝3x 2－2ax －3.∵f(x)在[1，＋∞)是增函数，∴f′(x)在[1，＋∞)上恒有f′(x)≥0，即3x 2－2ax －3≥0在[1，＋∞)上恒成立，则必有a3≤1且f′(1)＝－2a≥0.∴a≤0. ………4分(2)依题意，f′(－13)＝0，即13＋23a －3＝0.∴a ＝4，∴f(x)＝x 3－4x 2－3x.令f′(x)＝3x 2－8x －3＝0，得x 1＝－13，x 2＝3.则当x 变化时，f′(x )与f(x)变化情况如下表∴f(x)(3)函数g(x)＝bx 的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，即方程x 3－4x 2－3x ＝bx 恰有3个不等实根．∴x3－4x2－3x －bx ＝0， ∴x ＝0是其中一个根，∴方程x 2－4x －3－b ＝0有两个非零不等实根．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16＋4(3＋b)＞0－3－b≠0∴b ＞－7且b≠－3.∴存在满足条件的b 值，b 的取值范围是b>－7且b≠－3.…12分 21. 解：（Ⅰ）()()cos sin cos sin a b ααββ==，，，，()cos cos sin sin a b αβαβ∴-=--，． -------------1分255a b -=，=． -------2分 即 ()422cos 5αβ--=． ()3cos 5αβ∴-=．--------5分 （Ⅱ）∵0,022ππαβ<<-<<， ∴0.αβπ<-<-----6分∵ ()3cos 5αβ-=，∴ ()4sin .5αβ-= ------8分 ∵ 5sin 13β=-，∴ 12cos .13β= ----------9分∴()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ=-+=-+-⎡⎤⎣⎦412353351351365⎛⎫=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭． -----------------12分 22. 解:(1)∵f (x )＝a x－x ln a∴f ′(x )＝a xln a －ln a a ∈(1，e ] 由f ′(x )>0可得x >0 由f ′(x )＝0可得x ＝0 由f ′(x )<0可得x <0∴f (x )在(－∞,0)上单调递减,在(0,＋∞)上单调递增．----4分 (2)由(1)知f (x )在[－1,0]单调递减，在[0,1]在单调递增 ∴当x ＝0时f (x )取得最小值f (x )min ＝f (0)＝1f (x )的最大值为f (1)与f (－1)中的较大值． ----6分又f (1)＝a －ln a ，f (－1)＝1a＋ln af (1)－f (－1)＝a －1a－2ln a设g (a )＝a －1a－2ln a ，a ∈[1，e ]∵g ′(a )＝1＋1a 2－2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －12>0∴g (a )在[1，e ]上单调递增． 又g (1)＝0，∴g (a )>0，a ∈(1，e ] ∴f (1)－f (－1)>0，∴f (1)>f (－1)∴在[－1,1]上，f (x )的最大值为f (1)＝a －ln a . ----9分 ∴对∀x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤f (1)－f (0) 又f (1)－f (0)＝a －ln a －1即对∀x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤a －ln a －1. 设h (a )＝a －ln a －1，a ∈[1，e ]则h ′(a )＝1－1a>0，∴h (a )在(1，e ]上单调递增，∴h (a )max ＝h (e )＝e －2， ∴a －ln a －1≤e －2，综上所述，对∀x 1，x 2∈[－1,1], |f (x 1)－f (x 2)| max ＝e －2--12分。
大庆市铁人中学2020届高三数学(理)上学期期中试卷附答案解析
大庆市铁人中学2020届高三上学期期中数学（理）试卷试题满分150分，答题时间120分钟。
第Ⅰ卷选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。
）1、1+212i i =-（）A．4355i --B．4355i -+C．3455i --D．3455i -+2、已知集合2{|}{|02450}A y y y N B x x x x N =≤∈=≤∈＜，，﹣﹣，，则A B ⋂=(){}1A ．}1{0B ．，02[C ．，）D ∅．3、已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=A 45-B 35-C 35D 454、曲线1x y xe -=在点(1,1)处切线的斜率为（）A 1B 2C 3D45、下列叙述正确的是（）A 命题“p q 且”为真，则,p q 恰有一个为真命题B 命题“已知,a b R ∈，则“a b >”是“22a b >”的充分不必要条件”C 命题:0p x ∀>都有1x e >，则0:0,p x ⌝∃>使得01x e ≤D 如果函数()y f x =在区间(,)a b 上是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b <g ，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点6、若x y ，满足约束条件220+100x y x y y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =＋的最大值为（）A 4B 5C 6D 77、若101a b c >><<，，则（）（A）c c a b <（B）c c ab ba <（C）log log b a a c b c <（D）log log a b c c<8、在ABC ∆中，0,2,23,AB BC AB BC →→→→===g D 为AC 的中点，则BD DA →→=g ()A 2B 2-C 23D 23-9、函数1()1x x f x e x -=++的部分图像大致是（）10、《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”，的外接球表面积为（）A 833πB 8πC 6πD 433π11、不等式x e x ax ->的解集为P ，且[0,2]P ⊆，则实数a 的取值范围是（）A (,1)e -∞-B (1,)e -+∞C (,1)e -∞+D (1,)e ++∞12、已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导数为()f x '，()0f x >且()1f e =，若()ln ()0xf x x f x '+>对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则不等式1ln ()x f x <的解集为（）A (0,1)B (1,)+∞C (,)e +∞D (0,)e 二.填空题（本大题共4小题,每小题5分，满分20分）13、已知向量(1,),(,4),a x b x →→==若a b →→与反向则________x =14、函数()cos 26sin 1f x x x =++的最大值为_______15、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 060ABC ∠=ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为_________16、设)(x f 是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当]3,2[∈x 时，x x f =)(，则当]0,2[-∈x 时，)(x f 的解析式为______________三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内）17、(10分)已知函数2()2sin 23sin cos 1f x x x x =-++（1）求()f x 的最小正周期及对称中心（2）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的最大值和最小值。