二元关系习题课
关系数据理论练习题及答案(详细完整版)
第一部分：一、求最小依赖集例：设有依赖集：F={AB→C，C→A，BC→D，ACD→B，D→EG，BE→C，CG→BD，CE→AG}，计算与其等价的最小依赖集。
解：1、将依赖右边属性单一化，结果为：F1={AB→C，C→A，BC→D，ACD→B，D→E，D→G，BE→C，CG→B，CG→D，CE→A，CE→G }2、在F1中去掉依赖左部多余的属性。
对于CE→A，由于C →A成立，故E是多余的；对于ACD→B，由于（CD）+=ABCEDG，故A是多余的。
删除依赖左部多余的依赖后：F2={AB→C，C→A，BC→D，CD→B，D→E，D→G，BE→C，CG→B，CG→D，CE→G }3、在F2中去掉多余的依赖。
对于CG→B，由于（CG）+=ABCEDG，故CG→B是多余的。
删除依赖左部多余的依赖后：F3={AB→C，C→A，BC→D，CD→B，D→E，D→G，BE→C，CG→D，CE→G }CG→B与CD→B不能同时存在，但去掉任何一个都可以，说明最小依赖集不唯一。
二、求闭包例：关系模式R（U，F），其中U={A，B，C，D，E，I}，F={A →D，AB→E，BI→E，CD→I，E→C}，计算（AE）+。
解：令X={AE}，X（0）=AE；计算X（1）；逐一扫描F集合中各个函数依赖，在F中找出左边是AE子集的函数依赖，其结果是：A →D，E→C。
于是X（1）=AE∪DC=ACDE；因为X（0）≠X（1），且X（1）≠U，所以在F中找出左边是ACDE子集的函数依赖，其结果是：CD→I。
于是X（2）=ACDE∪I=ACDEI。
虽然X（2）≠X（1），但在F中未用过的函数依赖的左边属性已没有X（2）的子集，所以不必再计算下去，即（AE）+=ACDEI。
三、求候选键例1：关系模式R（U，F），其中U={A，B，C，D}，F={A→B，C→D}，试求此关系的候选键。
解：首先求属性的闭包：（A）+=AB，（B）+ =B，（C）+ =CD，（D）+ =D（AB）+ =AB，（AC）+=ABCD=U，（AD）+ =ABD，（BC）+ =BCD，（BD）+ =BD，（CD）+ =CD（ABD）+ =ABD，（BCD）+ =BCD，因（AC）+=ABCD=U，且（A）+=AB，（C）+ =CD，由闭包的定义，AC→A，AC→B，AC→B，AC→D，由合并规则得AC→ABCD=U；由候选码的定义可得AC 为候选码。
第八、十章习题课(1)
5. 证明：G 是由 a 生成的无限阶循环群，则 G 的生成 元只有 a 和 a-1。
证明：
b G=<a> ， 则
n Z ， 使 b=an 。 故
b=(a-n)-1=(a-1)-n，从而 a-1 也是 G 的生成元。 若 b 是 G 的生成元，则 k，m Z，分别满足 b=ak 和 a=bm。从而 b=(bm)k=bmk。若 km 1，则由消去 律可知 b 的阶是有限的， 这与|G|无限矛盾。 从而 km=1， 即 k=1，m=1 或 k=-1，m=-1。故 b=a 或 b=a-1。 从而 G 只有两个生成元 a 和 a-1。
h1，h2 C，对 g G，有 h1g=gh1，h2g=gh2。
故 (h1h2)g=h1(h2g)=h1(gh2)=(h1g)h2=(gh1)h2 =g(h1h2)，h1-1g=gh1-1。从而 h1h2，h1-1 C。故 C 是 G 的子群。 再证 C 是 G 的不变子群。 即证明对 g G， gC=Cg。 a gC， 则存在 h C 使得 a=gh。 则由 C 的定义且 h C 可知 a=gh=hg Cg， 从而 gC Cg。 同理可证， gC。 Cg 故 C 是 G 的不变子群。
a，b G，因为 G 是可交换群，故
f(a· b)=(a· -1=(b· -1=a-1· -1=f(a)· b) a) b f(b)。故 f 满 足同态方程。从而 f 是 G 上的自同构。
10. 若 群 <G,· 的 子 群 <H,· 满 足 |G|=2|H| ， 则 > > <H,· >一定是群<G,· >的正规子群。
重点和难点
哈工大集合论习题课-第三章 关系习题课(学生)
习 题 课例1设{,,}A a b c =，给出A 上的一个二元关系，使其同时不满足自反性、反自反性、对称性、反对称和传递性的二元关系，并画出R 的关系图。
解：{(,),(,),(,),(,)}R a a b c c b a c =，关系图如图所示。
例2 设X 是一个集合，X ＝n ，求：1.X 上的二元关系有多少？()22n 2. X 上的自反的二元关系有多少？ 3. X 上的反自反的二元关系有多少？解：因为把所有的反自反的二元关系的每个都加上对角线上的序对，就变成了自反的关系，因此，自反的与反自反的个数一样多。
即22nn-4. X 上的对称的二元关系有多少？2222n n n nn -++=，故共有222n n+个对称的关系。
5. X 上的反对称的二元关系有多少？22(32)n n n -∙6. X 上既是自反的也是反自反的二元关系的个数；(0)个7.X 上既不是自反的也不是反自反的二元关系有多少？2(2(22))n nn --解：解：可用容斥原理来计算设B 表示所有自反关系构成的集合，C 表示所有反自反关系构成的集合，则22nnB C -==。
而B C φ=，故B C B C =+，从而CC B C S B C S B C =-=--2222222222222(22)n n n n n n n n n n n ----=--=-=-于是，既不是自反的，也不是反自反关系共有22(22)n nn --个。
8.自反的且对称的关系有多少？[此结果与“反自反的且对称的关系有多少？”是一样多]即有222n n -（对角线上全去掉）9.自反的或对称的关系有多少？解：设B 表示自反关系的集合，C 表示对称关系的集合，则自反或对称关系的集合为：22222222n n n n nnB C B C B C +--=+-=+-。
10.X 上既是反自反的也是反对称的二元关系的个数为：223n n -；11.X 上既是对称的也是反对称的关系个数；解：X 上既是对称的也是反对称的关系X R I ⊆，故有2n 。
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{6,15,90}上确界：90
二元关系习题课答案课件
下确界：3 第6页
四、证实题
⒈ 设R是集合A上关系。证实：R是偏序关系，iff R-1∩R=IA且Ｒ=rt(Ｒ)。 ⒉ 设R是集合A上关系。证实：R是拟序关系，iff R-1∩R=Φ且Ｒ=t(Ｒ)。
二元关系习题课答案课件
① 线序 ② 等价 ③ 偏序 ④ 拟序 ⑤ 良序 ( 2,4) 8. {1,2,3,4,5}上全序关系一定是 关系。
①等价 ②偏序 ③拟序 ④良序 (1,4,5)9. {1,2,3,4,5}上良序关系一定是
① 自反 ② 反自反 ③ 对称 ④ 反对称 ⑤ 传递
(1,2,3,4)10. 设Ｒ和Ｓ都是Ａ到Ｂ关系，以下关系式中正确有：
第7页
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第3页
( 2 )⒌ 若R和S是集合A上等价关系，则以下关系中一定是等价关 系有
① R∪S ② R∩S ③ R－S ④ R⊕S (1,2,4)⒍ 若R是集合A上等价关系，则
① R2＝R ② t(R)＝R ③ ＩA R ④ R-1＝R ( 1,2,3,4,5)⒎ 空集上空关系是 关系。
( 1,2,3 )⒊ 设R={<1,2>}是Ａ＝{1,2,3}上关系，则
① rst(R)是等价关系 ② Ｒ10＝Φ ③ r(R)是偏序 ④ tr(R)是良序
( 5 )⒋ 设R和S分别是A到B和B到C关系，且R·S=Φ，那么
① R是空关系 ② S是空关系 ③ R和S都是空关系
④ R和S中最少有一个是空关系 ⑤ 以上答案都不对
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二、多项选择题
离散数学第四章课件
无对称的偶对。
表示关系矩阵的主对角线两侧各有一个1且 对称，即有一个对称的偶对。
C1
n(n＋1) 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
表示关系矩阵的主对角线两侧全为1，
C1 ＋ n(n＋ ＋…＋ 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
于是
C0 n(n＋1) 2 ＝
2
n(n＋1) 2
四、反对称性 ⒈ 定义： 若xy(x∈A∧y∈A∧xRy∧yRx→x=y)， 称R是反对称的。 例：设A={ a , b , c , d } R={ < a , b > , < a , c > , < b , b > , <b,d>,<c,c>,<c,d>, < d , d >}
⒉自反关系的关系矩阵的特征
R的关系矩阵的主对角线上的元素均为
1 ，则该关系就不具有自反性；
主对角线上有一个元素不为1，则该关
系就不具有自反性。
⒊ 自反关系的图的特征 自反关系的关系图中，每个顶点都有 自回路，则该关系具有自反性。
二、反自反性 ⒈ 定义：若x（x∈A xRx）则该关系是 反自反的。 ⒉ 具有反自反性的关系的关系矩阵的主对角
2 t1× t2 × … ×tn
五、关系的表示法-----通常有三种表示方法
⒈ 集合表示法： 因为关系也是集合，所以也可以用集合 的表示方法
例：A={ 2, 3,4,6 ,9,12 }上的整除关系
用特征描述法表示为
R＝{ < x , y > | x∈A ∧ y∈A ∧ x|y }
用穷举法表示为
R={ < 2 , 2 > , < 2 , 4 > , < 2 , 6 > ,
第02章关系数据库(习题课)
课程名
教师姓名
办公室
SC表
学号
课程号
成绩
(1) π2,6,7(籍贯＝‘上海’(S ⊳⊲SC)) (2) π2,6,7(S ⊳⊲ SC ⊳⊲ 课程名＝‘操作系统’(C)) (3) π2,4(S ⊳⊲ (π1,2 (SC) ÷π1 (C) )
15
6.设有3个关系运算是S、C和SC，试用关系代数表达式表 示下列查询语句： SC表 Sname Sage Sex S表 Sno
等价的关系表达式是_______.
A.π3,4(R⊳⊲S) C.π3,4(R ⊳⊲S).
1=1
B. π2,3(R 1=3 ⊳⊲S) D.π3,4(1=1( R×S))
14
5.设有3个关系运算是S、C和SC，将下列关系代数表达式 用汉字表示出来，并求其结果。 S表
学号 姓名 年龄 性别 籍贯
C表
课程号
课程号
课程名
教师姓名
办公室
学号
课程号
成绩
(1) π2,6,7(籍贯＝‘上海’(S ⊳⊲SC)) 查询籍贯是上海的学生姓名和选修课程的课号及成绩
26
练习
5.设有3个关系运算是S、C和SC，将下列关系代数表达式 用汉字表示出来，并求其结果。 S表 C表 SC表
学号 姓名 年龄 性别 籍贯
课程号
课程名
1 2 3 李强 刘丽 张友 Cname C语言 数据库系统 编译原理 23 22 21 男 女 男 Teacher 王华 程军 程军 Sno Cno Gread
1
2 5 2
K1
K1 K1 K1
83
85 92 90
C表
Sdept AO(1) .
P.李勇
(完整版)《数据库原理及应用》课后习题参考答案解析
《数据库原理与应用》课后习题参考答案第一章作业参考答案1. 单选题 C C D B C2. 判断题对错错错对3填空题网状模型用户商业智能数据挖掘系统设计4简答题1）数据模型是指描述事物对象的数据组成、数据关系、数据约束的抽象结构及其说明。
数据模型是指描述事物对象的数据组成、数据关系、数据约束的抽象结构及其说明。
数据模型是指描述事物对象的数据组成、数据关系、数据约束的抽象结构及其说明。
3）数据约束：用于描述数据结构中数据之间的语义联系、数据之间的制约和依存关系，以及数据动态变化的规则。
主流数据库采用关系图模型。
数据库典型数据模型：层次数据模型网状数据模型关系数据模型其它数据模型（如对象数据模型、键值对数据模型、列式数据模型。
）2）数据库——是一种依照特定数据模型组织、存储和管理数据的文件，数据库文件一般存放在辅助存储器以便长久保存。
数据库具有如下特点：数据不重复存放；提供给多种应用程序访问；数据结构独立于使用它的应用程序；对数据增、删、改、检索由统一软件进行管理和控制。
3）数据库(Database)是一种依照特定模型组织、存储和管理数据的数据结构。
在数据库中，不仅存放了数据，而且还存放了数据与数据之间的关系。
数据库内部元素：用户表：用户在数据库中创建的数据库表；系统表：数据库中系统自带的数据库表；视图：数据库中用于对数据进行查询的虚拟表；索引：数据库中用于加快数据查询的索引项；约束：数据库中对数据、数据关系施加的规则；存储过程：数据库内部完成特定功能处理的程序；触发器：数据库内部因数据变化自动执行的一类存储过程等等4）数据库系统包括：用户、数据库应用程序、数据库管理系统和数据库四个组成要素。
5）数据库管理系统（Database Manage System，DBMS ）——是一种专门用来创建数据库、管理数据库、维护数据库，并提供对数据库访问的系统软件。
数据库管理系统（DBMS）主要功能：创建数据库和表; 创建支持结构,如索引等; 读取数据库数据 ; 修改数据库数据; 维护数据库结构; 执行规则; 并发控制; 提供安全性;执行备份和恢复等等第二章作业参考答案1 单选题 C B D A A2. 判断题对对错对错3填空题全外连接数据约束候选键用户定义完整性4简答题外码键1）在关系模型中，使用“关系”来存储“实体”中的数据。
二元关系 (3)
150-3
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
例6.4.2
设A={a,b}，试计算A上所有具有自反性的关系R的 个数。 解 因为A2={<a,a>,<b,b>,<a,b>,<b,a>}，所以A上 具有自反性的关系R的个数为：
C(2,0) + C(2,1) + C(2,2) = 4。
2020/1/12
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150-5
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
例6.4.2
设A={1,2,3,4}， 定义A上的关系R,S,T和V如下： （1）R={<1,1>,<1,3>,<3,1>,<4,4>}； （2）S={<1,1>,<1,3>,<1,4>,<2,4>}； （3）T={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<3,1>,<1,4>}； （4）V={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>}。 试判定它们是否具有对称性和反对称性
(a)
a
b
c
(b)
a
b
c
(c)
a
b
c
(d)
a
b
c
(e)
(f)
(g)
(h)
2020/1/12
150-15
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
例6.4.9
设R={<1,1>,<2,2>}，试判断R在集合A和B上具备的 特殊性质，其中A={1,2}，B={1,2,3}。 解 当R是定义在集合A上的关系时，R是自反、对称、 反对称和传递的； 当R是定义在集合B上的关系时，R是对称、反对称 和传递的。 注意：绝对不能脱离基集（即定义关系的集合）来 谈论关系的性质。
离散数学第4章-二元关系
4.6 等价关系与划分
• 三 性质 • 定理4.13 设R是A上的等价关系，则 （1）对任一a∈A，有a∈[a]； （2）对a, b∈A，如果aRb，则[a]=[b]; （3）对a, b∈A，如果(a, b)∉R，则[a]∩[b]=∅; （4）∪a∈A[a]=A。
4.6 等价关系与划分
• 定理4.14 集合A上的任一划分可以确定A上 的一个等价关系R。 • 定理4.15 设R1和R2是A上的等价关系， R1=R2⇔ A/R1=A/R2 。 • 定理4.16 设R1和R2是A上的等价关系，则 R1∩R2是A上的等价关系。
4 .3 关系的运算
• 一 逆运算 • 定义4.7（逆关系） 设R是从A到B的二元关系， 则从B到A的二元关系记为R-1，定义为R-1 ={(b,a)|(a,b)∈R}，称为R的逆关系。 • 定理2.1 （1）(R-1)-1=R; （2）(R1∪R2)-1= R1-1∪ R2-1; （3）(R1∩R2)-1= R1-1 ∩R2-1; （4） (A×B)-1= B×A；
4 .5 关系的闭包
•
• (1) (2) (3) • (1) (2) (3)
二 基本性质
定理4.5 设R是A上的二元关系，则 R是自反的 ⇔ r( R )=R； R是对称的 ⇔ s( R )=R； R是传递的 ⇔ t( R )=R； 定理4.6 设R1和R2是A上的二元关系，若R1⊆R2则 r(R1)⊆ r(R2)； s(R1)⊆ s(R2)； t(R1)⊆ t(R2)。
第四章 关系
4.1 二元关系 4.2 关系的性质 4 .3 关系的运算 4 .5 关系的闭包 4.6 等价关系与划分
4.1 二元关系
• 一 定义4.1（二元关系）
设A和B是任意两个集合，A×B的子集R称为从A到 B的二元关系。当A=B时，称R为A上的二元关系。若 (a, b)∈R，则称a与b有关系R，记为aRb。 (a, b)∉R：a与b没有关系R R=∅：空关系 R=A×B：全关系
离散数学2二元关系
(4)笛卡儿积运算对并和交运算满足分配律，即
A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) (B∪C)×A=(B×A)∪(C×A) A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C) (B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)
(5)AC ∧ BD A×B C×D
A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)的证明
任取 <x,y> <x,y>∈A×(B∪C) x∈A ∧ y∈B∪C x∈A ∧ (y∈B∨y∈C) (x∈A∧y∈B) ∨ (x∈A∧y∈C) <x,y>∈A×B ∨ <x,y>∈A×C <x,y>∈(A×B)∪(A×C) 所以 A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)
关于AC∧BD A×BC×D的讨论
该性质的逆命题不成立，可分以下情况讨论。 （1）当A=B=时，显然有AC 和 BD 成立。 （2）当A≠且B≠时，也有AC和BD成立，证明如下：
任取x∈A，由于B≠,必存在y∈B,因此有 x∈A∧y∈B
<x,y>∈A×B <x,y>∈C×D x∈C∧y∈D x∈C 从而证明了 AC。 同理可证 BD。
关于AC∧BD A×BC×D的讨论
该性质的逆命题不成立，可分以下情况讨论。 （3）当A＝而B≠时，有AC成立，但不一定有BD成立。
反例：令A＝,B＝{1},C＝{3},D＝{4}。 （4）当A≠而B＝时，有BD成立，但不一定有AC成立。
反例略。
例7.2
例7.2 设A={1,2},求P(A)×A。
解答 P(A)×A ＝ {,{1},{2},{1,2}}×{1,2} ＝ {<,1>,<,2>, <{1},1>,<{1},2>, <{2},1>,<{2},2>, <{1,2},1>,<{1,2},2>}
集合论-第三四章习题
例7 是否存在一个偏序关系≤，使得(X,≤)中有唯一 的极大元素，但没有最大元素？若有请给出一个具体 例子；若没有，请证明之。 例8 设R是X上的偏序关系，证明：
R是X上的全序关系X×X=R∪R-1。
例9设(A,≤)是偏序集,a∈A,f(a)={x|x∈A,x≤a},
证明：f:A→2A是一个单射，且当a≤b时，有
二、性质 定理1 设A,B,C是三个任意的集合，则 (1)若A⊆B，则|A|≤|B| ； (2)若|A|≤|B|，|B|≤|C|，则|A|≤|C| ； 推论：设A是无穷集合，则|N|≤|A|。 前面介绍了要证明两个集合基数相等必须在两个集 合之间建立起一个一一对应，但这往往是比较困难的。 下面介绍证明两个集合基数相等的一个比较简单的方 法，表示成下面的两个定理形式，这两个定理的证明 是冗长和复杂的，故略去。 定理2 (Zermelo)设A,B是两个任意集合，则|A|=|B|, |A|>|B|, |A|<|B|,三者中恰有一个成立。 这种性质称为三歧性，故这个定理称为三歧性定理。
习题课（2）
例1 设R是A上的二元关系，下面的结论是否正确？并 证明你的结论. （1）R是自反的，则R· R也是自反的 （2）R是对称的，则R· R也是对称的。 （3）R是反自反和传递的，则R是反对称的。 （正确\正确\正确） 例2 设R是集合A上的反对称关系，则t(R)一定是反对 称的吗？ 例3 是否可以定义二元关系的反自反闭包与二元关系 的反对称闭包？为什么？ 例4 是否存在X(|X|=n)上的一个二元关系R，使得 R1,R2,…,Rn两两不相等。 例5 证明：如果R是对称的，则R＋也是对称的。
例3 设集合A={a,b,c,d,e}上关系R定义如下： R={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,b),(b,c),(b,e), (c,c),(c,e),(d,d),(d,e),(e,e)}。 1.写出R的关系矩阵； 2.验证(A,R)是偏序集; 3.画出Hasse图; 4.若A上的关系如下： R={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,b),(b,c),(b,e), (c,c), (c,d),(c,e),(d,d),(d,e),(e,e)}，则有如何？ 例4 证明：每个由n2+1个实数组成的数列中必有一个 长至少为n+1的不减子序列，或有一个长至少为n+1 的不增子序列。
高等数学课件习题课8
(2)找 两 种 不 同 趋 近 方 式 ， 使 lim f(x,y)存 在 ， 但
x x0 y y0
两 者 不 相 等 ， 此 时 也 可 断 言 f(x,y)在 点 P0(x0,y0) 处 极 限 不 存 在 ．
二元函数的连续性
定义
设n元函数f(P)的定义域为点集D, P0是其聚 点且P0D，如果limf(P)f(P0)则称n元
u x
zv wy
特殊地 zf(u ,x,y) 其中 u(x,y)
x z u f u x fx, yzu f u yfy.
隐函数的求导法则
1 . F (x ,y)0
dy dx
Fx Fy
.
2 . F (x ,y ,z) 0
z yFy Fz源自,z yFy Fz
.
3.
F(x, y,u,v)0 G(x, y,u,v)0
连续偏导数，则对于每一点P(x, y)D，都
可定出一个向量f x
i
f y
j
，这向量称为函
数z f(x, y)在点P(x, y)的梯度，记为
grfa(xd ,y) fxi fyj. 三元函数的梯度
grf(a x ,y ,d z) f xi f yj f zk.
多元函数的极值
极 大 值 、 极 小 值 统 称 为 极 值 . 使 函 数 取 得 极 值 的 点 称 为 极 值 点 .
设 P 0 是 函 数 f(P )的 定 义 域 的 聚 点 ， 如 果 f(P )在 点 P 0 处 不 连 续 ， 则 称 P 0 是 函 数 f(P )的 间 断 点 . 注意：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能
在曲线上的所有点处均间断。
在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”： lim f(P)f(P 0) (P 0 定义)区域
离散数学课件第四章二元关系习题
闭包的定义基于关系的传递 性，即如果关系R满足传递性， 那么对于任何元素x，如果存 在元素y和z，使得xRy和yRz， 那么一定存在一个元素z'，使 得xRz'。闭包就是由给定关系 和所有满足闭包定义的新元 素构成的关系集合。
闭包具有一些重要的性质， 这些性质决定了闭包在数学 和计算机科学中的广泛应用 。
同余关系的应用
应用1
在密码学中，同余关系可用于生成加 密密钥。例如，通过选择两个同余的 数作为密钥，可以确保加密和解密操 作的一致性。
应用2
在计算机科学中，同余关系可用于实 现数据校验。例如，通过将数据与一 个已知的校验值进行同余运算，可以 检测数据是否在传输过程中被篡改。
THANKS
感谢观看
反对称性
如果对于关系中的每一对 元素，如果元素x与元素y 有关系，且元素y与元素x 也有关系，但元素x与元 素y的关系不等于元素y与 元素x的关系，则称该关 系具有反对称性。
习题解析
习题1
判断给定的关系是否具有自反性、反自反性、对称性和反对称性。通过举例和推理，分析 给定的关系是否满足这些性质。
习题2
表示方法
总结词
掌握二元关系的表示方法是解题的关键。
详细描述
在数学中，我们通常使用笛卡尔积来表示二元关系。例如，如果A和B是两个集合， 那么A和B的笛卡尔积可以表示为A×B，它包含了所有形如(a, b)的元素，其中a属于 A，b属于B。
习题解析
总结词
通过解析具体习题，可以加深对二元关系定义和表示方法的理解。
有着广泛的应用。
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习题五：关系的同余
同余关系的定义与性质
定义
反身性
对称性
传递性
如果对于任意元素$x$， 都有$f(x) = g(x)$，则 称$f$和$g$是同余的。
函数依赖习题（精品）
1.设有关系模式W(C,P,S,G,T,R),其中各属性的含义是：C课程,P教师,S学生,G成绩,T时间,R 教室，根据定义有如下数据依赖集D={C→G，(S,C)→G,(T,R)→C,(T,P)→R,(T,S)→R}关系模式W的一个关键字是__，W的规范化程度最高达到__（）。
A、(S,C),1NFB、(T,R),3NFC、(T,P),4NFD、(T,S),2NF2.对于关系R，第三范式是R中的每个非主属性应满足（）A、与主关键字存在单值依赖关系B、与主关键字存在多值依赖关系C、函数传递依赖主关键字D、非函数传递依赖主关键字3.在一个关系R中，若每个数据项都是不可分割的，那么关系R一定属于（）A、BCNFB、1NFC、2NFD、3NF4.根据关系数据库规范化理论，关系数据库中的关系要满足第一范式，下面“部门”关系中，因哪个属性而使它不满足第一范式（）部门（部门号，部门名，部门成员，部门总经理）A、部门总经理B、部门成员C、部门名D、部门号5.下列关于规范化理论各项中正确的是（）A、对于一个关系模式来说，规范化越深越好B、满足二级范式的关系模式一定满足一级范式C、一级范式要求一非主码属性完全函数依赖关键字D、规范化一般是通过分解各个关系模式实现的，但有时也有合并6.规范化理论是关系数据库进行逻辑设计的理论依据。
根据这个理论，关系数据库中的关系必须满足其每一属性都是（）A、互不相关的B、不可分解的C、长度可变的D、互相关联的7.在关系模式R(U，F)中，如果F是最小函数依赖集，则（）A、R∈2NFB、R∈3NFC、R∈BCNFD、R的规范化程度与F是否最小函数依赖集无关8.在关系模式R(U，F)中，R中任何非主属性对键完全函数依赖是R∈3NF的（）A、充分必要条件B、必要条件C、充分条件D、既不充分也不必要条件9在二元关系模式R(U，F)中，X，Y都是单一属性，如果X→Y，则R最高可以达到（）A、2NF B、3NF C、BCNF D、4NF10.设有关系模式R(A，B，C，D)，F是R上成立的FD集，F={B→C，D→C}，属性集AB 的闭包(AB)+为（）A、ABCDB、ABCC、CDD、BCD11.设有关系模式R(A，B，C，D)，F是R上成立的FD集，F={A→D，C→D}，则相对于F，关系模式R的主键为（）A、ACB、ACDC、ABCD、ABCD12.在关系模式R(U，F)中，如果X→Y，存在X的真子集X1，使X1→Y，称函数依赖X→Y为（）A、平凡函数依赖B、部分函数依赖C、完全函数依赖D、传递函数依赖13.在关系模式R(U)中，如果X→Y和X→Z成立，那么X→YZ也成立。
18复习课12-31
四、图的基本概念 1、图的定义：一个无向图是一个有序的二元组 < V，E >，记作G，其中 (1) V ≠ ø 称为顶点集，其元素称为顶点或结点． (2) E称为边集，它是无序积V＆V的多重子集，其元素称为无向边，简称为边 定义2 一个有向图是一个有序的二元组<V，E>，记作D，其中 (1) V ≠ ø 称为顶点集，其元素称为顶点或结点． (2)E为边集，它是笛卡儿积 VⅹV的有穷多重子集，其元素称为有向边(弧)． 2、有关图的术语 1）用G表示无向图，D表示有向图有时用V(G)，E(G)分别表示G的顶点集和边集 2）用 ｜V(G)｜ ，｜E(G)｜分别表示G的顶点数和边数(有向图类似） 若｜V(G)｜ ＝n，则称G为n阶图。对有向图可做类似规定 3）在图G中，若边集E(G)＝ø，则称G为零图 若G为n阶图，则称G为n阶零图，记作Nn，特别是称N1为平凡图 4) 常用ek表示无向边(vi，vj)( 或有向边<vi，vj> ) 设G＝<V，E> 为无向图，ek = (vi，vj)∈E， 则称vj，vj为ek的端点， ek与vi、vj是彼此相关联的． 起终点相同的边称为环 不与任何边关联的结点称为孤立点（包括有向向图)
4、结点的度 1）定义4 设G＝<V，E>为无向图，∀ v ∈V，称v作为边的端点次数之和为v 的度数，简记为度记作d G(v)， 简记为dG(v)即为：结点v 所关联的边的总条数 关于有向图D＝<V，E> 有： ∀v ∈V，称v 作为边的始点的次数之和为v的出度，记作d- (v)， 称v作为边的终点的次数之和为v的入度，记作d+ (v)， 称d+(v) + d-( v)为 v的度数，记作dD (v) 2) 称度数为1的顶点为悬挂顶点，与它关联的边称为悬挂边
《离散数学(第三版)》期末复习知识点总结含例题(呕心沥血整理).doc
6、理解函数概念：函数、函 数相等、复介畅数和反畅数。
7、理解单射、满射、双射等 概念，学握其判别方法。 ［木章重点习题］
P25,1；P32〜33, 4, 8, 10；P43,2, 3, 5；
2、考核试卷题量分配
试卷题量在各部分的分 配是：集合论约i'40% ,数理 逻辑约占40%,
设R是篥合A上的二元 关系，如果关系R同时 具有性.对称性
和性，则称R是
等价关系。
命题公式G=（PaQ）->R,则G共冇个
不同的解释；把G在其 所有解释下所取真值列 成一个表，称为G的;解
释（「P, Q, ->R）或（0,
（al9a2）e R. \a2,a3）e R,,则（R。如若（a,b）w R,R ,
则有,且（b,b）w R。
R=心）血2）伽）‘（3,4），（4,4啊織劇命题与联
念的基础上，主要掌握闭包的 求法。关键是熟记三个定理的 结论：定理2 ,
=R5a；定理3,s（R）=R o R '；定理4,
n
推论/（/?） =Ijx。
1 , 0）使G的真值 为，
设G二（P, L）是图.如 果G是连通的，并 口,则G
是树。如果根树T的每 个点V最多有两棵子树, 则称T
为O
［单项选择题］（选择一个正确 答案的代号，填入括号中）
1.由集合运算定义，下列 各式正确的冇
()O
A.XcXuY
B.XoXuY
C.XcXnY
D.YcXnY
2.设Rp R?是集合A={a, b, c, d)±的两个关系，其中Ri={ (a. a) , (b, b) , (b, c) , (d, d)), R2={ (a, a) , (b, b),
离散数学之3—二元关系
R10={(1,1)}
既对称, 也反对称。 R9={(1,2), (2,1), (1,4)} 既不是对称, 也不是反对称。
5。如果(x, y) R (y, z) R (x, z) R, 就说 R是A上的一个传递关系。 例：设A={a, b, c}， S1 ={ (a, c), (a, b), (b, b), (c, b), (c, c) }, S2 ={ (a, a), (b, a), (b, c), (c, b), (c, c) }, S3 ={ (a, c), (a, b) }, 则 S1, S3 都是传递的, 而 S2 不是传递的。
(a, c) (R T) (S T)。
⑵ (a, c) (R S) T
( b)[ bA (a, b) R S (b, c) T ] ( b)[ bA ( (a, b) R (a, b)S ) (b, c)T ] ( b)[ bA (a, b) R ( b, c)T ) ] ( b)[ bA
R = { (a, a), (a, c), (b, a), (b, b), (c, b), (c, c) }, S = { (a, a), (a, c), (b, a), (b, c), (c, b), (c, c) }, 则 R S ={ (a, a), (a, c), (b, a), (b, c), (b, b), (c, b), (c, c) },
那么，详细写出即是 R={(2, 4), (5, 25), (2, 1), (5, 4)}。
例 2：设A={2，3，4，5，6，8}，定义A到自身的一 个
二元关系为 MOD3={(a, b)a, bA (a b(mod 3))}，
那么，MOD3={(2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (8, 8),
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一.关系的概念,表示方法,三个特殊关系.
4.三个特殊关系
例如A={1,2,3}, 则IA ={<1,1>,<2,2>,<3,3>} A上的Φ、完全关系A×A及IA的关系图及矩阵如下：
1。
2。 。3
Φ
000 MΦ= 0 0 0
0 0 0 3×3
1。
2。 。3
A×A
111 MA×A= 1 1 1
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一.关系的概念,表示方法,三个特殊关系.
3.关系的表示方法 （2）关系矩阵表示法(实际上就是图论中的
邻接矩阵)
设A={a1, a2, , am}，B={b1, b2, , bn}是个有限集， RA×B，定义R的m×n阶矩阵
MR=(rij)m×n，其中
rij=
1 若<ai,bj>∈R 0 若<ai,bj>∈R
有xRz,则称R为A中传递关系。 即R在A上传递
xyz((xAyAzAxRyyRz)xRz)
这些性质要求会判断,会证明. 这里特别要注意的是, 这些定义都是条件式, 所以当条件 式当前件为假时 ,此条件式为真,即此性质成立!!
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二.关系的性质
性质判定: 从关系的有向图 自反性 每个结点都有环
1 1 1 3×3
1。
2。
。 3
IA
100
MIA =
010 001
3×3
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二.关系的性质 熟练掌握性质的判断及证明
1.自反性 定义:设R是集合A中的关系，如果对于任意x∈A都有
<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中自反关系。即 R是A中自反的x(xAxRx) 2.反自反性 定义：设R是集合A中的关系，如果对于任意的x∈A都有 <x,x>R ，则称R为A中的反自反关系。即 R是A中反自反的x(xA<x,x>R)
2).完全关系(全域关系) ： A×B(或A×A)本身是一个从A到B(或A上)的完全关系. 即含有全部序偶的关系。它的矩阵中全是1。
3). 恒等关系IA： IAA×A,且IA ={<x,x>|x∈A}称之为A 上的恒等关系。 例如A={1,2,3}, 则IA ={<1,1>,<2,2>,<3,3>}
二元关系习题课
信息科学与工程学院
王新红
二元关系 内容：
1.关系的概念及表示方法 2.关系的性质 3.关系的运算:关系的复合, 求逆关系, 关系的闭包. 4.三种关系: 等价关系
18371123@
二元关系
要求： 1.关系的概念，表示方法。 2.二元关系的性质的定义，熟练掌握性质的
判断及证明。 3.掌握关系的复合，求逆及闭包运算(计算方
(1≤i≤m,1≤j≤n)
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一.关系的概念,表示方法,三个特殊关系.
3.关系的表示方法 （2）关系图表示法
A
B
1。 R1 : 2。
3。 4。
。a 。b 。c
1。
。2
R2 :
4。
。3
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一.关系的概念,表示方法,三个特殊关系.
4.三个特殊关系
1).空关系Φ： ΦA×B，(或ΦA×A)，即无任何元素的关系. 它的关系图中只有结点,无任何边；它的矩阵中全是0。
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一.关系的概念,表示方法,三个特殊关系. 3.关系的表示方法 （1）集合表示法
1). 枚举法: 即将关系中所有序偶一一列举出，写在大括号内. 例如:R={<1,2>,<3,4>,<4,2>}
2).(描述法)谓词公式法： 即用谓词公式描述序偶中元素的关系。 例如:R={<x,y>|x<y}
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二.关系的性质 关系性质的证明方法归纳
1.证明R的自反性： 方法1 用自反定义证：任取 x∈A,证出<x,x>∈R. 方法2 用恒等关系IA证：证出IA R. (见教材P119(2)) 方法3 用自反闭包证：证出r(R)=R, 即R∪IA=R. (见教材 P120定理3-8.1)
yRx,就有x=y,则称R为A中反对称关系 。 R是A上反对称的xy((xAyAxRyyRx) x=y)
xy((xAyAxy<x,y>∈R)<y,x>R)
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二.关系的性质 熟练掌握性质的判断及证明
5. 传递性 定义:R是A中关系，对任何x,y,z∈A,如果有xRy,和yRz,就
完 全 覆 盖
*偏序关系
全 序
哈
重元
斯
要素
图
计算方法
运算性质
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一.关系的概念,表示方法,三个特殊关系. 1.集合的笛卡尔积 。 A×B={<x,y>|x∈A∧y∈B} |A|=m,|B|=n |A× B|=mn
设A={0,1}，B={a,b}，求AB 。 AB={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>}
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一.关系的概念,表示方法,三个特殊关系. 2.二元关系的概念 定义1:任何序偶的集合，都称之为一个二元
关系。 定义2:设A、Ｂ是集合,如果ＲA×B,则称R
是一个从A到B的二元关系。如果RA×A, 则称R是A上的二元关系. 如果|A|=m |B|=n 则可以确定2mn个从A到B的 不同关系.
从关系的矩阵 主对角线全是1
反自反性 每个结点都无环
主对角线全是0
对称性 反对称性
传递性
不同结点间如果有边, 则有方向相反的两条 边.
不同结点间,最多有一 条边.
如果有边<a,b>,<b,c>, 则也有边<a,c>. 或者使得前件为假.
是以对角线为对称 的矩阵
以主对角线为对称 的位置不会同时为1
如果aij=1,且ajk=1, 则aik=1
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二.关系的性质
熟练掌握性质的判断及证明
3.对称性 定义:R是集合A中关系,若对任何x, y∈A,如果有xRy,必有
yRx,则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的xy((xAyAxRy) yRx)
4.反对称性 定义:设R为集合A中关系,若对任何x, y∈A,如果有xRy,和
法及有关性质)。 4.掌握等价关系的判断、证明，求等价类和
商集。
注意本章证明题的证明过程的思路
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二元关系小结
概念及表示方法
自反
对称
性
二 质 传递
*
元
关
反对逆
闭包
集合 关系矩阵 关系图
*等价关系
等 价 类
商划 集分
相容关系
简 化
图
相 容 类
容 类
最 大 相