中考复习--解直角三角形

除直角外的5个元素中，
任意给两个条件（至少一条边）， 此直角三角形可解.
二、典型例题
例1.如图，在△ABC中，∠B=45°，AC= 6 ，AB=2，求BC的长．
分析：过点A作AD⊥BC于点D.
A
6
2
C
45° B
例1.如图，在△ABC中，∠B=45°，AC= 6 ，AB=2，求BC的长．
分析：过点A作AD⊥BC于点D.
A
三角函数（特殊角）
勾股定理
D
C
F
2
2
30°
B
E
D
C
F
2
B
30° E
例3.
3
15
5
2
A O
C
DF
B
E
例3. 分析：
∠BAC=90° C
A
？O
DF
B
E
例3. 分析：
A
21
O
C
DF
B
E
例3.
证明：
∵AB是
， ∵∠C=
，
∴∠ADB=90°. ∴∠C=
.
∴∠B+∠BAD=90°. ∴∠B+∠C =90°. C
·三个角是直角的四边形是矩形；
·对角线相等的平行四边形是矩形.A
B
E
例2. 如图，在□ABCD中，∠ABD=90°，延长AB至点E，使BE=AB， 连接CE．
（1）求证：四边形BECD是矩形；
回顾
矩形的判定方法：
D
C
·有一个角是直角的平行四边形是矩形；
·三个角是直角的四边形是矩形；
·对角线相等的平行四边形是矩形.A
B
E
例2. 如图，在□ABCD中，∠ABD=90°，延长AB至点E，使BE=AB， 连接CE．
（1）求证：四边形BECD是矩形；
分析：□ABCD
DC//AB ，DC=AB BE=AB
D
C
□ BECD ∠EBD=90°
A
B
E
四边形BECD是矩形
例2. 如图，在□ABCD中，∠ABD=90°，延长AB至点E，使BE=AB， 连接CE．
6
8-x x DF
BC
E
A
21
O
35
D
x4 FN
B
2
3
E
sinB= 5
10
三角函数
勾股定理
3
相似三角形的对应M 边成比例
sin B 3， 5
8 x2 42 x2
方程思想
例3反思：
解题关键：识图或作辅助线构造直角三角形
（切线的性质，直径所对的圆周角，作垂线）
知识要素：圆的有关性质
圆的切线的判定定理 相似三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质
15 2
∴DB=8，AB=10.
∴△AHF≌△ADF. ∴FH=FD，AH=AD.
∴HB=4.
C
设FH=DF=x，则FB=8-x，
在Rt△CDA中，
cosC= 3 ，AC= 15 ，
5
∴AD=6，CD=
9 2
2
.
在Rt△FHB中，8-x2 42 x2 .
解得：x=3. ∴BF=5.
A
21
6
O
6
x4
=2 7
FH Rt△FHB中 AH =2 3 3 3 3
例2. （2）
D
C
解：过点F作FH⊥AE于点H.
∵四边形ABCD是平行四边形，
F
2
2
∴AD//BC.
A
30°
B
E
∴∠CBE=∠DAB=30°. ∵四边形BECD是矩形， ∴∠CEB=90°，BF 1 BC.
2
∴BF=2 ，AB=BE= 2 3 . 在Rt△BHF中，可得FH=1，BH= 3 .
D
CA
2
30°
B
F 2
识图 解直角三角形
A
B
H 30° E
F 2
A
30° E
A
A
C
D
B
OH
识图
4
解直角三角形
C
DF
B
A H
E
F
B
A
H
C
F
B
A F
A
识图 解直角三角形
2 1 10O
6
B
C
8-x x
DF
B
E
10
A
21
O
A
识图
M
3
M
35
解直角三角形
C
D
x4 FN
B
2
3
E
sinB= 5
D FN
B
E
作业：
D x F 8-x B
E
例3.
3
15
5
2
分析：cos C 3 BC 25 , AB 10, AD 6, BD 8 A
5
2
6
方法3.
15
2
6
O
4
BF BH , C BA BD
即 x 4. 10 8
DFx B
25
BC= 2
E
例3.
3
15
5
2
分析：cos C 3 BC 25 , AB 10, AD 6, BD 8 A
5
DF
B
E
△AHF≌△ADF （AAS）
例3.
3
15
5
2
解法一：过点F作FH⊥AB于点H.
A
∵∠1=∠2 ,
∠AHF=∠ADF=90°, AF=AF,
∴sinB=
3 5
，AB=10.
在Rt△ADB中，可得AD=6.
15 2
21
6
O
∴△AHF≌△ADF.
∴AH=AD=6.
∴AH=AD.
∴HB=10-6=4.
A
15 21
2
O
BC 25 , AB 10, sin B 3
2
5
C
DF
B
E
AD 6, BD 8
例3.
3
15
5
2
分析：cos C 3 sin B 3 , AB 10, AD 6, BD 8 A
5
5
过点F作FH⊥AB于点H
15
21
O
2
6
√sin B 3，BH ? 或FH ? C
5
6
x4
D x F 8-x B
△AHF≌△ADF
△AHF≌△ADF （AAS）
FH= FD =x
E
8 x2 42 x2
例3.
3
15
5
2
解法二：过点F作FH⊥AB于点H. ∴AH=AD=6.
∵∠1=∠2 ,
∵ Rt△CAB中,AD⊥BC，
∠AFA=HAFF=,∠ADF=90°,∴△BAD∽△ACD.
·三角函数
·双垂直图形（识图） ·相似三角形
·求线段长
·等面积 ……
B
辅助线
解直角三角形
例3反思：
方法1.
·求线段长→解直角三角形
方法2.
方法3. 方法4.
方法5.
方法6.
A
A
A
OH
4
15
2
6
6O
x4
6
15
O
2
6
4
C
DF
BC
D x F 8-x B C
D F x BC
E
25
E
BC= 2
E
A
2 1 10O
1. 例3第（2）问的多种解法中，完成至少两种方法的解答.
2.请同学们通过今天的学习，结合以往的经验，总结 将求线段长问题转化为解直角三角形的解题方法.
AF=？ △FBA中，∠ABF=150° ，FB=2，AB= 2 3
例2. （2）
D
C
分析：过点F作FH⊥AE于点H.
F
2
∠DAB=30°
□ ABCD
∠CBE=30°
A
2
1
30°
23
B3
E
∠CBE=30°，CE=2 Rt△BEC中，BC=4，BE= 2 3
AF=？
Rt△ FHA中，AF FH 2 AH 2
∴AH= 3 3.
在Rt△CEB中，可得BC=4，BE= 2 3 . ∴AF FH 2 AH 2 2 7.
例2反思：
D
C
A
F
2
A 30°
B
E
A
D
C
F
2
2
30°
B
E
D
C
F
2
B
30° E
例2反思：
解题关键：作辅助线构造直角三角形
（作垂线）
A
知识要素：平行四边形的判定及性质 矩形的判定及性质
解直角三角形
D
C
A
B
E
例2. 如图，在□ABCD中，∠ABD=90°，延长AB至点E，使BE=AB． （2）连接DE交BC于点F，连接AF，若CE=2，∠DAB=30°， 求AF的长．
D
C
F
A
B
E
例2. 如图，在□ABCD中，∠ABD=90°，延长AB至点E，使BE=AB． （2）连接DE交BC于点F，连接AF，若CE=2，∠DAB=30°， 求AF的长．
A
BC=BD+CD 2 2
C
6
2
2
45° B
2
2
例1反思： A
6
2
转化
C
45° B
A
62
C B135°
∠B=135°
转化
6
C
A
2
45° B
A
62
C
135° 45°
B
例1反思：
6
C
A
2
45° B
D
A
C
E
B
A
C
B
O
D
例2. 如图，在□ABCD中，∠ABD=90°，延长AB至点E，使BE=AB， 连接CE．
C
DF
B
在Rt△CAB中， cosC= 3 ，AC= 15 ，
在Rt△FHB中，sinB= 3 ，HB=4，
5
∴BF=5.
E
5
2
例3.
3
15
5
2
分析：cos C 3 sin B 3 , AB 10, AD 6, BD 8 A
5
5
过点F作FH⊥AB于点H
15
21
6
O
方法1.
方法2.
2
√sin B 3，BH ? 或FH ? C
D
C
F
2
A 30°
B
E
例2. （2） 分析：
∠DAB=30°
□ ABCD
∠CBE=30°
A 30°
D
C
42
F
30°
B
23
E
∠CBE=30°，CE=2 Rt△BEC中，BC=4，BE= 2 3
AF=？
例2. （2）
D
C
分析：
F
2源自文库
∠DAB=30°
□ ABCD
∠CBE=30°
A
2
30°
23
B
E
∠CBE=30°，CE=2 Rt△BEC中，BC=4，BE= 2 3
∵E是 BD 的中点， ∴ ∠CAB=90°.
∴ BE = DE .
又∵
∴
∠1. ∴AC是⊙O切线.
A
21
O
DF
B
E
例3.
A
·角等
·勾股定理
·三角函数 C
D
·相似三角形
·等面积 ……
A O
BC
DF
B
E
例3.
3
15
分析：cos C 3
5
5
2
Rt△CAD中.......
cos C AC 3 BC 5
A
OH
4
C
DF
B
解直角三角形： 两锐角互余
E
勾股定理
三角函数（非特殊角）
三、归纳小结
A cb B aC
两锐角间关系：A B 90
（直角三角形的两锐角互余）
三边间关系： a2 +b2 = c2（勾股定理）
边角间关系： sin A a cos A b
c
c
（锐角三角函数）
tan A a b
F
（1）求证：四边形BECD是矩形； （2）连接DE交BC于点F，连接AF，若CE=2，∠DAB=30°，
求AF的长．
D
C
A
B
E
例2. 如图，在□ABCD中，∠ABD=90°，延长AB至点E，使BE=AB， 连接CE．
（1）求证：四边形BECD是矩形；
回顾
矩形的判定方法：
D
C
·有一个角是直角的平行四边形是矩形；
解直角三角形
一、知识概要
一、知识概要
A cb B aC
两锐角间关系：A B 90
（直角三角形的两锐角互余）
三边间关系： a2 +b2 = c2（勾股定理）
边角间关系： sin A a cos A b
c
c
（锐角三角函数）
tan A a b
一、知识概要
A
直角三角形可解的条件：
cb B aC
6 8x
例3（2） 分析： A
21
O
5
C
D FN
E
方法6.
连接OE交CB于点N. E是弧BD的中点?
B
例3（2） 分析：
C
方法6.
A
连接OE交CB于点N.
21
O
35
D
x4 FN
B
2
3
E
sinB= 5
E是弧BD的中点? BN+NF
4
x 2
4x 6
NF x 1
例3反思：
A O
C
DF
E
·角等
·勾股定理
（1）求证：四边形BECD是矩形；
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，DC//AB．
又∵BE=AB，
D
C
∴BE=DC ，BE //DC．
∴四边形BECD是平行四边形．
∵ ∠ABD=90°，
A
B
E
∴ ∠EBD=90° ．
∴四边形BECD是矩形．
例2. 如图，在□ABCD中，∠ABD=90°，延长AB至点E，使BE=AB． （2）连接DE交BC于点F，连接AF，若CE=2，∠DAB=30°， 求AF的长．
5
2
6
方法3. 方法4.
15
2
6
O
4
HF//AC
C
DFx B
BF BC
BH BA
,
即
x 25
4. 10
25
BC= 2
E
2
例3（2） A
分析：
2 1 10O
6
C
8-x x DF
E
方法5. 过点B作BM⊥FB交AF的延长线于点M. Rt△FBM ∽ Rt△FDA
B
10
3
BM=BA=10
M
BM BF DA DF 即 10 x