广州市高考二模数学试题及答案(文科)
最新广东省广州市高考数学二模(文科)试题及参考答案
图1俯视图侧视图正视图试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2018．4本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式： 锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 等于A ．2-iB ．2iC ．2-D ．2 2．已知集合{}}{20,1,2,3,0A B x x x ==-=，则集合A B I的子集个数为A ．2B ．4C ．6D ．8 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是 A．y =．21y x =-+ C ．cos y x = D ．1y x =+5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．12πB ．6πC ．4πD ．2π7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，公差0d ≠， 若113132,24k S a a =+=，则正整数k 的值为 A ．9 B ．10 C ．11 D ．128．在△ABC 中，60ABC ︒∠=，1AB =，3BC =， 则sin BAC ∠的值为A．14 D．149．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为ABC ．13D ． 1610．将正偶数2,4,6,8,L 按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．不等式()()120x x +-<的解集为 . 12. 已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若2,2DE EC CF FB ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AE AF ⋅u u u r u u u r的值为 .13．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R .(1) 求函数()f x 的最小正周期和值域； （2）若0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()12f θ=，求sin 2θ的值. 17．（本小题满分12分）某校高三年级一次数学考试之后,为了解学生的数学学习情况, 随机抽取n 名学生的数 学成绩, 制成表2所示的频率分布表.H FED C BA(1) 求a ，b ，n 的值;(2) 若从第三, 四, 五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2 名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率.表2 18．（本小题满分14分）如图2，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =H 是BC 的中点. （1）求证：FH ∥平面BDE ； （2）求证：AB ⊥平面BCF ； （3）求五面体ABCDEF 的体积.图2 19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 2(,n pn q p q =++∈R )，且235,,a a a 成等比数列. （1）求,p q 的值；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x x x ax =++，a ∈R .（1）若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围； （2）当1a =时，函数()()1f xg x x x =-+在区间[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，求t 的最大 值.( 参考数值: 自然对数的底数e ≈2.71828) 21．（本小题满分14分）已知点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上，直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与抛物线E相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线2:1l y =-于点,S T . （1）求a 的值；（2）若ST =1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若 不是，说明理由.2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11．()1,2- 12．9 13．4 141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：∵()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴ 函数()f x 的最小正周期为2π. ……………2分∵x ∈R ，[]cos 1,14x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， ……………3分4x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭. ……………4分∴ 函数()f x 的值域为⎡⎣. ……………5分 （2）解法1：∵()12f θ=，142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分∴cos 44πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………7分 ∴ sin 2cos 22πθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭……………9分212cos 4πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ……………11分2124⎛=-⨯ ⎝⎭34=. ……………12分解法2：∵()12f θ=，M OH F E D CB A142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分1cos cos sin sin 442ππθθ⎫-=⎪⎭. ……………7分∴1cos sin 2θθ-=. ……………8分两边平方得221cos 2cos sin sin 4θθθθ-+=. ……………10分∴ 3sin 24θ=. ……………12分17．（本小题满分12分）(1) 解：依题意，得5200.05,0.35,a b n n n===， 解得，100n =，35a =，0.2b =. ……………3分(2) 解：因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生，则第三、四、五组分别抽取306360⨯=名，206260⨯=名，106160⨯=名. …………6分 第三组的3名学生记为123,,a a a ，第四组的2名学生记为12,b b ，第五组的1名学生记为1c ，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}11,a c ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}21,a c ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}31,a c ，{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………8分其中第三组的3名学生123,,a a a 没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………10分故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为310.815-=. ……………12分 18．（本小题满分14分）（1）证明：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，连接,OH EO ， ∵H 是BC 的中点，∴OH ∥AB ，112OH AB ==. ……………1分 ∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD I 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB . ……………2分 ∵1EF =，∴OH ∥EF ，OH EF =.∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，EO =FH . ……………3分∵EO ⊂平面BDE ，FH ⊄平面BDE ， ∴FH ∥平面BDE . ……………4分（2）证法1：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，由（1）知，EF ∥MB ，且EF =MB ， ∴四边形EMBF 是平行四边形.∴EM ∥FB ，EM FB =. ……………5分在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =……………6分 在△AME中，AE =1AM =，EM =OHFE D C B A ∴2223AM EM AE +==.∴AM EM ⊥. ……………7分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分 ∵FB BC B =I ，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………9分 证法2：在Rt △BFC 中，H 为BC 的中点，∴112FH BC ==. 在△AEO中，112AE AO AC EO FH =====, ∴222AO EO AE +=.∴AO EO ⊥. ……………5分 ∵FH ∥EO ,∴AO FH ⊥. ……………6分∵,FH BC BC ⊥⊂平面ABCD , AO ⊂平面ABCD , AO BC C =I ,∴FH ⊥平面ABCD .∵AB ⊂平面ABCD ,∴FH ⊥AB . ……………7分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分∵BC ⊂平面BCF , FH ⊂平面BCF , BC FH H =I ,∴AB ⊥平面BCF . ……………9分（3）解：连接EC ，在Rt△BFC 中，112FH BC ==， ∴1EO FH ==.由（2）知AB ⊥平面BCF ，且EF ∥AB ，∴EF ⊥平面BCF . ……………10分 ∵FH ⊥平面ABCD , EO ∥FH ，∴EO ⊥平面ABCD . ……………11分 ∴四棱锥E ABCD -的体积为113ABCD V EO S =⋅⋅正方形2141233=⨯⨯=. ………12分 ∴三棱锥E BCF -的体积为213BCF V EF S =⋅⋅∆21111323=⨯⨯⨯=. ………13分∴五面体ABCDEF 的体积为1253V V V =+=. ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当1n =时，111a S p q ==++， ……………1分 当2n ≥时，1n n n a S S -=- ……………2分 ()()221121n pn q n p n q n p ⎡⎤=++--+-+=-+⎣⎦. ………3分∵{}n a 是等差数列，∴1211p q p ++=⨯-+，得0q =. ……………4分 又2353,5,9a p a p a p =+=+=+， ……………5分 ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =，即()()()2539p p p +=++， ……………6分解得1p =-. ……………7分 解法2：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭. ……………1分 ∵2n S n pn q =++，∴12d =，12da p -=，0q =. ……………4分∴2d =，11p a =-，0q =.∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =， ……………5分即()()()2111428a a a +=++.解得10a =. ……………6分∴1p =-. ……………7分 （2）解法1：由（1）得22n a n =-. ……………8分∵22log log n n a n b +=，∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++L ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅L ，①……………10分()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅L ，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅L 14414n nn -=-⋅-()13413nn -⋅-=.……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：由（1）得22n a n =-. ……………8分∵22log log n n a n b +=，∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++L ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅L .……………10分由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-L ， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=L ()()12111n n nx n x x +-++-. …………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦L . ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()12f x x a x'=++. ……………2分 ∵ 函数()f x 在()0,+∞上单调递增， ∴ ()0f x '≥, 即120x a x++≥对()0,x ∈+∞都成立. ……………3分 ∴ 12a x x -≤+对()0,x ∈+∞都成立. ……………4分 当0x >时, 12x x +≥=当且仅当12x x=,即2x =时,取等号.……………5分∴a -≤即a ≥-.∴a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分解法2：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()21212x ax f x x a x x++'=++=.……………2分方程2210x ax ++=的判别式28a ∆=-. ……………3分① 当0∆≤,即a -≤≤, 2210x ax ++≥,此时, ()0f x '≥对(0,x ∈+∞都成立,故函数()f x 在定义域()0,+∞上是增函数. ……………4分 ② 当0∆>,即a <-或a >时, 要使函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数, 只需2210x ax ++≥对()0,x ∈+∞都成立.设()221h x x ax =++, 则()010,0,4h a ⎧=>⎪⎨-<⎪⎩得0a >.故a >……………5分综合①②得a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分（2）解：当1a =时, ()()2ln ln 111f x x x x xg x x x x x x ++=-=-=+++. ()()211ln 1x x g x x +-'=+. ……………7分 ∵ 函数()g x 在[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，∴ 方程()0g x '=在[),t +∞(t ∈N *)上有解,即方程11ln 0x x +-=在[),t +∞(t ∈N *)上有解. ……………8分 令()11ln x x x ϕ=+-()0x >, 由于0x >, 则()2110x x xϕ'=--<,∴函数()x ϕ在()0,+∞上单调递减. ……………9分∵()413ln 3ln33ϕ=-=4e 2741 2.5ln 0327>>, ……………10分 ()514ln 4ln44ϕ=-=5e 256513ln 04256<<, ……………11分 ∴函数()x ϕ的零点()03,4x ∈. ……………12分∵方程()0x ϕ=在[),t +∞(t ∈ N *)上有解, t ∈N *∴3t ≤. ……………13分∵t ∈N *，∴t 的最大值为3. ……………14分 21．（本小题满分14分） （1）解：∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上， ∴4a =. ……………1分第（2）、（3）问提供以下两种解法：解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4x y x y ==，由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,2422k x k ±==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………3分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………4分同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………6分∵ST =，∴12x x -=. 由()221212124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，解得2k =, 或2k =-, …………… 7分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. ……………9分 （3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -， 则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………10分而2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x kkk+-+-==， ……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. 展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………12分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ……………2分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-.∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………3分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………4分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………5分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………6分精品文档精品文档 ()12121222222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……………7分∵ST =， ∴()12122k k k k -=.∴()()2212125k k k k -=.由()()()2221212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+，得()225124k k k +=+，解得2k =±. ……………8分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+.…………… 9分 （3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=u u r u u r ，……………10分 得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，……………11分 整理得，()224410x x y k +-++=.……………12分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分 ∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分。
广州市二模文科数学习题及答案
奥密★启用前型：A试卷类2021年广州市一般高中毕业班综合测试〔二〕文科数学2021．4本试卷共5页，23小题，总分值150分。
考试用时120分钟。
本卷须知：1．答卷前，考生务势必自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡的相应地点填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案。
写在本试卷上无效。
3．作答填空题和解答题时，一定用黑色笔迹的钢笔或署名笔作答，答案一定写在答题卡各题目指定地区内的相应地点上；如需变动，先划掉本来的答案，而后再写上新的答案；禁止使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生一定保持答题卡的整齐。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．会合 M 1,0,1,2，N xx 0或x 1，那么MIN中的元素个数为A．1B．2C．3D．42．假定a为实数，且(1ai)(a i)=2，那么a开始A．1B．0输入C．1D．2否是3x的值为3．履行如图的程序框图，假定输出y，那么输入2A．log231或2B．1log23或2C．1log23D．2x2y24．假定双曲线C:1a0,b0的一条渐近线方a2b2程为y 2x，那么C的离心率为A．6B．565 C．D．225．依据以下列图给出的2000年至2021年我国实质利用外资状况，以下结论正确的选项是实质利用外资规模实质利用外资同比增速A．2000年以来我国实质利用外资规模与年份负有关B．2021年以来我国实质利用外资规模逐年增大C．2021年我国实质利用外资同比增速最大D．2021年我国实质利用外资同比增速最大6．命题p:x R,x2x 1 0；命题q:x R，2x3x，那么以下命题中为真命题的是A．D．p q B．p q C．p qp q7．设x,y知足拘束条件1≤x≤1,3xy的取值范围是1≤x那么zy≤3,A．1,3B．1,3C．7,1D．7,3 8．假定函数 f x sin x的局部图象以下列图，那么 f x的单一递加区间是A．k,k(k Z)63B．k,k 5k Z)(36C．2k,2k(k Z)63D．2k,2k 5Z)(k369．设a n是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，假定a32a42a72a82，S721，那么a10A．8B．9C．10D．1210．某几何体由长方体和半圆柱体组合而成，如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是该几何体的三视图，那么该几何体的表面积是．18B．182C．16D．16211．直线l与曲线y x3x1有三个不一样交点Ax,y，Bx,y,Cx,y，112233且AB AC，那么3x i y i i1A．0B．1C．2D．312．体积为3的三棱锥PABC的极点都在球O的球面上，PA平面ABC，PA2，ABC120，那么球O的体积的最小值为A．77B．287 33C．1919D．761933二、填空：本共4小，每小5分，共20分．13．向量a与b的角，a2,b2，a b.414．函数fx e x x2的象在点1,f1的切点0,a，a.15．古希腊有名的达哥拉斯学派把1,3,6,10,⋯的数称“三角形数〞，而把1,4,9,16,⋯的数称“正方形数〞．如，能够任何一个大于1的“正方形数〞都能够看作两个相“三角形数〞之和，以低等式：①361521；②491831；③642836；④813645中切合一律的等式是．〔填写全部正确的号〕⋯⋯16．点P是抛物x24y上的点，点P到x的距离d，点P1是22d PP Px2y11上的点，当最小，点的坐．1三、解答：共70分．解答写出文字明、明程和演算步．第17～21必考，每个考生都必做答．第22、23考，考生依据要求做答．〔一〕必考：共60分．17．〔本小分12分〕△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsin2A asinB.〔1〕求A；〔2〕假定a2，△ABC的面积为3，求△ABC的周长.18．〔本小题总分值12分〕A药店方案从甲，乙两家药厂选择一家购买100件某种中药材，为此A药店从这两家药厂供给的100件该种中药材中随机各抽取10件，以抽取的10件中药材的质量A药店依据中药材的质〔单位：克〕作为样本，样本数据的茎叶图以下列图．量〔单位：克〕的稳固性选择药厂．1〕依据样本数据，A药店应选择哪家药厂购买中药材？(不用说明原因)2〕假定将抽取的样本散布近似看作整体散布，药店与所选药厂约定中药材的购买价钱以下表：每件中药材的质量n〔单位：克〕购买价钱〔单位：元/件〕n155015≤n≤20an20100〔ⅰ〕预计A药店所购买的100件中药材的总质量；〔ⅱ〕假定A药店所购买的100件中药材的总花费不超出7000元，求a的最大值．19．〔本小题总分值12分〕如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，M,N分别是AB1和BC的中点．（1〕证明：MN∥平面AACC；12〕假定AA12,ABAC1，BAC90，求棱锥C1AMN的高．20．〔本小题总分值12分〕椭圆C的中心为坐标原点O，右焦点为F2,0，短轴长为4.〔1〕求椭圆C的方程；2l:y=kx+32与椭圆C订交于不一样的两点M,N，点P为线段MN〔〕假定直线的中点，OP∥FM，求直线l的方程.21．〔本小题总分值12分〕函数 f x ax 1lnx.〔1〕假定函数f x 的极小值不大于k 对随意a 0恒成立，求k 的取值范围；〔2〕证明：n N *，11 1 21 3 L1 ne 2．222 232n〔此中e 为自然对数的底数〕〔二〕选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，假如多做，那么按所做的第一题计分．22．〔本小题总分值 10分〕选修4－4：坐标系与参数方程x1t,1在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为2 (t 为参数).以坐标原点为y3t,2极点，以x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为212sin 2aa0．〔1〕求l 的一般方程和C 的直角坐标方程；〔2〕假定l 与C 订交于A ，B 两点，且 AB23，求a 的值．523．〔本小题总分值 10分〕选修4－5：不等式选讲函数 f x 2x 1 2x 1，不等式 f x ≤2的解集为M .〔1〕求M ；〔2〕证明：当a,b M时，a b a b≤1．。
2020-2021学年广东省高三第二次高考模拟数学(文)试题及答案解析
绝密★启用前广东省高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(文科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知复数2(1)z i i =-(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则z z +=（A ）4i（B ）4i - （C ）4（D ）4-（2）已知集合2{|{|ln(2)}A x y B x y x x ====-，则A B =I（A ）(2,)+∞ （B ）[1,2) （C ）(0,2)（D ）[1,2]（3）已知向量(0,1),(a b c k ==-=r r r，若（2a b -r r ）与c r 互相垂直，则k的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3（4）已知命题:,cos sin p x R x x ∃∈>，命题1:(0,),sin 2sin q x x xπ∀∈+>，则下列判断正确的是（A ）命题p q ∨是假命题 （B ）命题p q ∧是真命题 （C ）命题()p q ∨⌝是假命题 （D ）命题()p q ∧⌝是真命题（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两条渐近线的夹角为60o，则该双曲线的离心率为（A（B ）43（C或2 （D ）4 （6）已知函数2,(1)()(1),(1)x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，则2(log 9)f 的值为（A ）9 （B ）92 （C ）94（D ）98（7）已知等差数列{}n a 的公差不为0，11a =，且124111,,a a a 成等比数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =（A ）2(1)4n + （B ）(3)4n n +（C ）(1)2n n + （D ）212n + （8）函数log ||()||a x x f x x =（01a <<）图象的大致形状是（9）若直线2y x =上存在点(,)x y 满足条件30,230,.x y x y x m +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为（A ）2-（B ）1- （C ）1（D ）3（10）圆柱形容器内盛有高度为6cm 的水，若放入3个相同的铁球球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为 （A ）1 cm（B ）2cm （C ）3cm（D ）4cm（11）某组合体的三视图如图2示，则该组合体的表面积为(A)(622)12π++ (B) 8(1)π+ (C)4(21)π+(D)(122)π+（12）已知P 是直线40(0)kx y k ++=>上一动点，PA 、PB 是圆C ：2220x y y +-=的两条切线，切点分别为A 、B ，若四边形PACB 的最小面积为2，则k 的值为 图2 （A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）12第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）某高级中学共有学生3200人，其中高二级与高三级各有学生1000人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为160的样本，则应抽取的高一级学生人数为 ___________．(14)执行如图3所示的程序框图，则输出的k 值为 . (15)已知函数2()f x x ax =-的图象在点A (1,(1))f 处的切线l 与直线310x y +-=垂直，记数列1{}()f n 的前n 项和为n S ，则2016S 的值为 .(16) 已知梯形ABCD 中，AD//BC ，90ABC ∠=o,AD=2，BC=1，P 是腰AB 上的动点，则||PC PD +u u u r u u u r的最小值为 .图3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.bkg0.0.ABCD （17）（本小题满分12分）已知如图4，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，120BAC ∠=o，且152AB AC ⋅=-u u u r u u u r.(Ⅰ)求△ABC 的面积；(Ⅱ)若5AB =，求AD 的长. 图4（18）（本小题满分12分）某人租用一块土地种植一种瓜类作物，根据以往的年产 量数据，得到年产量频率分布直方图如图5示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为 图5年产量低于450 kg 时，单位售价为12元/ kg ，当年产量不低于 450 kg 时，单位售价为10元/ kg. （Ⅰ）求图中a 、b 的值；（Ⅱ）估计年销售额大于3600元小于6000元的概率.（19）（本小题满分12分）如图6，已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为菱形，且60ABC ∠=o，AB=PC=2，2.（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求点D 到平面APC 的距离.图6（20）（本小题满分12分）已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b+=>>与抛物线22:1C x y =+有公共弦AB （A 在B左边），AB=2，2C 的顶点是1C 的一个焦点，过点B 且斜率为k (0)k ≠的直线l 与1C 、2C 分别交于点M 、N （均异于点A 、B ）．（Ⅰ）求1C 的方程；（Ⅱ）若点A 在以线段MN 为直径的圆外，求k 的取值范围．（21）（本小题满分12分）已知函数ln(1)()2x f x x -=-（2x >）．(Ⅰ) 判断函数()f x 的单调性；(Ⅱ)若存在实数a ，使得()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，求a 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．(22)(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲OP‘AB D CE图75如图7所示，⊙O 和⊙P 相交于,A B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E ．(Ⅰ) 若BC=2，BD=4，求AB 的长； (Ⅱ) 若AC=3，求AE 的长．(23)(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程已知椭圆C 的普通方程为：22194x y +=． (Ⅰ) 设2y t =，求椭圆C 以t 为参数的参数方程；(Ⅱ) 设C 与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴的交点分别为A 、B ，点P 是C 上位于第一象限的动点，求四边形AOBP 面积的最大值．（其中O 为坐标原点）(24)(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知()|2|||(,0)f x x x a a R a =+--∈>， (Ⅰ) 若()f x 的最小值是3-，求a 的值； (Ⅱ)求|()|2f x ≤的解集．数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：解析：（7）由142a a a =，得公差d=1，n a n =；故选C.（10）设球的半径为r ，依题意得3243(66)33r r r r ππ⨯=-⇒=. （11）该组合体下面为半圆柱，上面为半圆锥，故其表面积为：211112222242422222πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯2484(612πππ=++++=++.(12)PACB S PA AC PA =⋅=四边形=，可知当||CP 最小时，即CP l ⊥ 2=得min ||CP =由点到直线的距离公式得：min ||CP ==0k >，所以2k =.二、填空题：解析：（15）依题意知函数()f x x ax =-的图象在点A (1,(1))f 处的切线斜率'(1)231k f a a ==-=⇒=-，故1111()(1)1f n n n n n ==-++，AB CDE201611111122320162017S =-+-++-L 12016120172017=-=． （16）如图以PC 、PD 为邻边作平行四边形PCQD ，则PC PD PQ +=u u u r u u u r u u u r 2PE =u u u r，要||PQ uuu r 取最小值，只需||PE u u u r取最小值，因E 为CD 的中点，故当PE AB ⊥时，||PE u u u r取最小值，这时PE 为梯形的 中位线，即min 13||(||||)22PE BC AD =+=u u u r ,故min ||3PQ =u u u r.三、解答题：（17）解：(Ⅰ)∵152AB AC ⋅=-u u u r u u u r ，∴115cos 22AB AC BAC AB AC ⋅⋅∠=-⋅=-,----2分即15AB AC ⋅=，----------------------------------------------------3分∴315311sin 1522ABC S AB AC BAC ∆=⋅∠=⨯=.-------5分(Ⅱ)解法1：由5AB =得3AC =，延长AD 到E ，使AD=DE ，连结BE ，---------------6分 ∵BD=DC,∴四边形ABEC 为平行四边形，∴60ABE ∠=o,且3BE AC ==-----------8分设AD x =，则2AE x =，在△ABE 中，由余弦定理得：222(2)2cos 2591519x AB BE AB BE ABE =+-⋅∠=+-=,-----------------------10分解得192x =，即AD 的长为192.--------------------------------------12分【解法2：由5AB =得3AC =， 在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=,得7BC =，----------------------------------------------------------------------------------------------7分 由正弦定理得：sin sin BC ABBAC ACD=∠∠，得5sin 2sin 7AB BACACD BC⨯∠∠===----------------------------------------9分∵090ACD <∠<oo∴11cos 14ACD ∠==，--------------10分在△ADC 中，22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，解得AD =.------------------------------------------------------12分】【解法3：由5AB =得3AC =， 在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=,得7BC =，--------------------------------------------------------------------------------------7分在△ABC 中，2229492511cos 223714AC BC AB ACB AC BC +-+-∠===⋅⨯⨯,------------9分 在△ADC 中，由22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，解得AD =.-------------------------------------------------------12分】 （18）解：（Ⅰ）由100(0.00150.004)1a b +++=，得100()0.45a b +=，-------------------------------------------------2分由3001004000.45001006000.15455a b ⨯+⨯+⨯+⨯=，得300500 2.05a b +=，-----------------------------------------------4分解得0.0010a =，0.0035b =；----------------------------------------6分（Ⅱ）由（Ⅰ）结合直方图知，当年产量为300kg 时，其年销售额为3600元，当年产量为400kg 时，其年销售额为4800元，当年产量为500kg 时，其年销售额为5000元，当年产量为600kg 时，其年销售额为6000元，-------------------------8分 因为年产量为400kg 的频率为0.4，即年销售额为4800元的频率为0.4，-----------9分而年产量为500kg 的频率为0.35，即年销售额为5000元的频率为0.35，-----------10分故估计年销售额大于3600元小于6000元的概率为：0.35+0.4=0.75, -----------12分(19)解：(Ⅰ)取AB 得中点O ，连结PO 、CO ，----1分由2，AB=2知△PAB 为等腰直角三角形，∴PO ⊥AB ，PO=1，------------------------------------------------------------------2分又AB=BC=2，60ABC ∠=o 知△ABC 为等边三角形，∴3CO =分又由2PC =得222PO CO PC +=, ∴PO ⊥CO ，-----------4分 ∴PO ⊥平面ABC ，-------------------------------------------5分又∵PO ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD -----------------------6分 （Ⅱ）设点D 到平面APC 的距离为h ，由(Ⅰ)知△ADC 是边长为2的等边三角形，△PAC 为等腰三角形，由D PAC P ADC V V --=得1133PAC ADC S h S PO ∆∆⋅=⋅---------------------------------------------8分 ∵23234ADC S ∆==，22117()22PAC S PA PC PA ∆=-=,---------------------10分 ∴ADC PAC S PO h S ∆∆⋅=3221772==，即点D 到平面APC 的距离为221.-------12分 （20）解：（Ⅰ）∵抛物线21y x =-的顶点为(0,1)-，即椭圆的下焦点为(0,1)-，∴1c =，----------------------------------------------------------------------------------------1分由AB=2知1B x =，代入抛物线得(1,0)B ，得1b =，----------------------2分∴222a b c =+=2，1C 的方程为2212y x +=；---------------------------4分 （Ⅱ）依题意知直线l 的方程为(1)y k x =-，-------------------------------5分 联立2212y x +=消去y 得：2222(2)220k x k x k +-+-=， 则2222M B k x x k -⋅=+，得2222M k x k -=+，242M k y k -=+，-------------------------7分由{2(1)1y k x x y =-=+，得210x kx k -+-=， 由224(1)(2)0k k k ∆=--=->，得2k ≠，则1N B x x k ⋅=-，得1N x k =-，(2)N y k k =-，----------------------------9分∵点A 在以MN 为直径的圆外，即,AM AN <>u u u u r u u u r [0,)2π∈，----------------------10分∴0AM AN ⋅>u u u u r u u u r ，又(1,0)A -，∴(1,)(1,)M M N N AM AN x y x y ⋅=+⋅+u u u u r u u u r 22224(2)222k k k k k k --=⋅+++222(4)02k k k -=>+， 解得4k <，综上知(,0)(0,2)(2,4)k ∈-∞U U .-----------------------------12分（21）解：(Ⅰ) 解法1：22ln(1)1'()(2)x x x f x x ----=-2(2)(1)ln(1)(1)(2)x x x x x ----=--， -----------2分记()(2)(1)ln(1)g x x x x =----（2x >），'()ln(1)0g x x =--<，----------3分即()g x 在(2,)+∞上单调递减，∴()(2)0g x g <=从而'()0f x <，∴函数()f x 在(2,)+∞上的单调递减.----------------------------5分【解法2：依题意得22ln(1)1'()(2)x x x f x x ----=-， --------------------------------------------2分 记2()ln(1)1x g x x x -=---（2x ≥） 则211'()(1)1g x x x =---22(1)xx -=-，---------------------------------------------------------3分∵2x > ∴'()0g x <，即函数()g x 在(2,)+∞上单调递减，∴()(2)0g x g <=，从而得'()0f x <，∴函数()f x 在(2,)+∞上的单调递减.--------------------------------------------------5分】(Ⅱ) 解法1：()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，等价于ln(1)(2)x a x -<-对(2,)x ∀∈+∞均成立，-------------------------------------6分由ln(1)y x =-得1'1y x =-，由此可得函数ln(1)y x =-的图象在点（2,0）处的切线为y=x-2，-----------------------------------------------------------------------------------------7分（1）当1a <时，在(2,)+∞上，直线(2)y a x =-与函数ln(1)y x =-的图象相交，不合题意；---9分（2）当1a ≥时，在(2,)+∞上，直线(2)y a x =-在函数ln(1)y x =-的图象的上方，符合题意---------------11分综上得：要使()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，[1,)a ∈+∞.------------------------------12分【解法2： ()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，等价于ln(1)(2)x a x -<-对(2,)x ∀∈+∞均成立---------------------------------------5分记()ln(1)(2)h x x a x =---，则1'()1h x a x =--11a ax x +-=-1()1a a x x a-+=---------6分 (2)0h =，令'()0h x =得1a x a +=， 1201a a a +>⇔<<， （1）当0a ≤时，对(2,)x ∀∈+∞，'()0h x >，即函数()h x 在(2,)+∞单调递增，故()(2)0h x h >=，即ln(1)(2)0x a x --->，不符合题意；---------------------------8分（2）当01a <<时，对1(2,)a x a +∀∈，'()0h x >， 此时函数()h x 在1(2,)a a+上为增函数，即ln(1)(2)0x a x --->，不符合题意；-----10分（3）当1a ≥时，对(2,)x ∀∈+∞，有'()0h x <，函数()h x 在(2,)+∞单调递减，因此ln(1)(2)(2)0x a x h ---<=，符合题意；综上得：要使()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，[1,)a ∈+∞．------------------------12分】选做题：（22）解：（Ⅰ）由弦切角定理得BAC BDA ∠=∠，---------1分BAD BCA ∠=∠，----------------------------------------------------2分所以BAC ∆∽BDA ∆，------------------------------------------------------------------3分 得AB BC BD AB =，----------------------------------------------------------------------------4分28AB BC BD =⋅=，AB =---------------------------------5分 （Ⅱ）连接EC ，∵AEC AEB BEC ∠=∠+∠，-----------------------------------------6分ACE ABE BAD ADB ∠=∠=∠+∠-------------------------------------------------7分∵AEB BAD ∠=∠，BAC BDA ∠=∠=BEC ∠,----------------------8分 ∴AEC ACE ∠=∠------------------------------------------------9分 ∴AE=AC=3.--------------------------------------------------------------------------------10分（23）解：(Ⅰ)将2y t =代入椭圆的普通方程得22249(1)9(1)4t x t =-=-，------------1分于是得x =±，-----------------------------------------------------------------------------2分∴椭圆C的参数方程为2.x y t ⎧⎪=⎨=⎪⎩（t为参数）和2.x y t ⎧⎪=-⎨=⎪⎩（t 为参数）---4分(Ⅱ)依题意知点A(3,0)，B(0,2)，--------------------------------------------------------------------5分 设点P 的坐标为(3cos ,2sin )θθ，(0)2πθ<<---------------------------------------------6分则BPO OPA AOBP S S S ∆∆=+四边形1123cos 32sin 22θθ=⨯⨯+⨯⨯---------------------------8分3sin 3cos )4πθθθ=+=+，(0)2πθ<<----------------9分 当sin()14πθ+=，即4πθ=时，四边形AOBP 面积取得最大值，其值为分（24）解：（Ⅰ）解法1：∵0a >， ∴(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，--------------2分当2x a -≤<时，2()2a f x a --≤<+，∴当x R ∈时，2()2a f x a --≤≤+，---4分∴min ()(2)3f x a =-+=-，∴a=1；--------------------------------------------------5分【解法2：∵||2|||||(2)()|2x x a x x a a +--≤+--=+，----------------------2分∴|()|2f x a ≤+，min ()(2)f x a =-+，---------------------------------------------3分又已知min ()3f x =-，∴a=1；----------------------------------------------------------5分】（Ⅱ）由（Ⅰ）知(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，（0a >）当2x <-时，()(2)2f x a =-+<-，|()|2f x >，不等式|()|2f x ≤解集为空集----6分当x a ≥时，()22f x a =+>，不等式|()|2f x ≤解集也为空集；----------------7分当2x a -≤<时，|()|2f x ≤，即2222x a -≤+-≤⇒222a a x -<< ∵222a ->-，2a a <，∴当2x a -≤<时，|()|2f x ≤的解为222a a x -<<-----9分 综上得所求不等式的解集为{|2}22a a x x -<<----------------------------10分。
广州市高三二模数学试题及答案(文科).doc
试卷类型：A2010年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学（文科）2010．4 本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}2,3,4A =，{}2,5B =，则()U BA ð=A.{}5B. {}125，，C. {}12345，，，，D.∅2. 已知i 为虚数单位，若复数()()211a a -++i 为实数，则实数a A ．1- B ．0 C ．13. 在长为3m 的线段AB 上任取一点P , 则点P 与线段两 端点A 、B 的距离都大于1m 的概率是A.14 B.13 C. 12 D.234. 如图1的算法流程图, 若()()32,xf xg x x ==,则()2h 的值为(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←” 或“：=”)A. 9B. 8C. 6D. 4 图15. 命题“若,x y 都是偶数，则x y +也是偶数”的逆否命题是A ．若x y +是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x y +是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x y +不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x y +不是偶数，则x 与y 都不是偶数6. 设变量,x y 满足约束条件2,, 2.x y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则目标函数2z x y =+的最小值为A. 6B. 4C. 3D. 2 7. 若0x <且1xxa b >>, 则下列不等式成立的是A. 01b a <<<B. 01a b <<<C. 1b a <<D. 1a b << 8. 函数()cos sin 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12-是 A. 最小正周期为2π的偶函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为π的奇函数9. 高8m 和4m 的两根旗杆笔直地竖在水平地面上, 且相距10m , 则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线 10. 已知函数()sin f x x x =-,若12,,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且()()120f x f x +>,则下列不等式中 正确的是A. 12x x >B. 12x x <C. 120x x +>D. 120x x +< 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．已知向量a ,b 满足1=a ,b =2, a b 1=, 则a 与b 的夹角大小是 .12. 已知双曲线C :()2222100x y a ,b a b-=>>的离心率2e =, 且它的一个顶点到相应焦点的距离为1, 则双曲线C 的方程为 . 13.图2是一个有n 层()2n ≥的六边形点阵.它的中心是一个点,算作第一层, 第2层每边有2个点,第3层每边有3个点 ,…,第n 层每边有n 个点,则这个点阵的点数共有 个图3（二）选做题（14~ 15题，考生只能从中选做一题） 14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的参数方程为1,42.x t y t =+⎧⎨=-⎩(参数t ∈R ),圆C 的参数方程为2cos 2,2sin .x y θθ=+⎧⎨=⎩(参数[]0,2θπ∈),则直线l 被圆C 所截得的弦长为 .15.(几何证明选讲选做题)如图3, 半径为5的圆O 的两条弦 AD 和BC 相交于点P , ,OD BC P ⊥为AD 的中点, 6BC =, 则弦AD 的长度为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，16. （本小题满分12分）已知1sin 0,,tan 523⎛⎫=∈= ⎪⎝⎭πααβ. (1) 求tan α的值; (2) 求()tan 2+αβ的值.某学校课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（满分100分）如下表所示：若单科成绩85分以上（含85分），则该科成绩为优秀． （1）根据上表完成下面的2×2列联表(单位:人)：关系？（3）若从这20个人中抽出1人来了解有关情况，求抽到的学生数学成绩与物理成绩至少有一门 不优秀的概率. 参考数据:① 假设有两个分类变量X 和Y ,它们的值域分别为{}12,x x 和{}12,y y ,其样本频数列联表(称 为22⨯列联表)为:则随机变量()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++为样本容量；②独立检验随机变量2K 的临界值参考表：NMB 1C 1D 1A 1DCBA在长方体1111ABCD A B C D -中, 11,2AB BC AA ===, 点M 是BC 的中点,点N 是1AA 的中点. (1) 求证: //MN 平面1A CD ;(2) 过,,N C D 三点的平面把长方体1111ABCD A B C D -截成 两部分几何体, 求所截成的两部分几何体的体积的比值.19. （本小题满分14分）我国是水资源比较贫乏的国家之一,各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的.某市用水收费标准是：水费=基本费+超额费+定额损耗费,且有如下三条规定：①若每月用水量不超过最低限量m立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a元；②若每月用水量超过m立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付n元的超额费；③每户每月的定额损耗费a不超过5元.(1) 求每户每月水费y（元）与月用水量x（立方米）的函数关系；(2) 该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求m,n,a的值.20. （本小题满分14分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点2F 与抛物线22:4C y x =的焦点重合，椭圆1C 与抛物线2C 在第一象限的交点为P ，25||3PF =.圆3C 的圆心T 是抛物线2C 上的动点, 圆3C 与y 轴交于,M N 两点，且||4MN =. （1）求椭圆1C 的方程；（2）证明:无论点T 运动到何处,圆3C 恒经过椭圆1C 上一定点.21. （本小题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足11a b =,且对任意n ∈N *都有1n n a b +=,121n n n na ba a +=-. (1) 判断数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是否为等差数列, 并说明理由; (2) 证明: ()111n nn n a b ++>.2010年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如 果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数． 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半； 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分， 满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11．3π12. 2213y x -=13. 2331n n -+ 14.15.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）(本小题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的正切等知识, 考查化归与转化的数学思想方法 和运算求解能力) (1) 解:∵sin 0,,52⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭παα ∴ cos ===α. …2分 ∴sin 1tan cos 25===ααα. …4分(2)解法1:∵1tan 3=β, ∴22tan tan 21tan βββ=- …6分2123113⨯=⎛⎫- ⎪⎝⎭34=. …8分 ∴()tan tan 2tan 21tan tan 2++=-αβαβαβ…10分132413124+=-⨯ 2=. …12分 解法2: ∵1tan 3=β, ∴()tan tan tan 1tan tan ++=-αβαβαβ…6分112311123+=-⨯1=. …8分 ∴()()()tan tan tan 21tan tan +++=-+αββαβαββ …10分1131113+=-⨯2=. …12分P NMB 1C 1D 1A 1DCBA17．（本小题满分12分）(本小题主要考查独立性检验的基本思想、方法及其简单应用和概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法， 以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) （1）解：2×2列联表为(单位:人):…4分 （2）解：提出假设0H ：学生数学成绩与物理成绩之间没有关系.根据列联表可以求得22121214720(5)8.8027.879136K ⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=≈>. …6分当0H 成立时，2(7.879)0.005P K >=.所以我们有99.5%的把握认为：学生的数学成绩与物理成绩之间有关系. …8分 （3）解：由(1)可知数学成绩与物理成绩都优秀的学生的人数为5人，则数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的学生人数为15人. …10分 故从20名学生中抽出1名,抽到的学生数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的概率为153204=. …12分 18. （本小题满分14分）(本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法， 以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) （1）证法1：设点P 为AD 的中点，连接,MP NP .∵ 点M 是BC 的中点, ∴ //MP CD .∵ CD ⊂平面1A CD ,MP ⊄平面1A CD , ∴ //MP 平面1A CD . …2分 ∵ 点N 是1AA 的中点, ∴ 1//NP A D .∵ 1A D ⊂平面1A CD ,NP ⊄平面1A CD ,∴ //NP 平面1A CD . …4分PNMB 1C 1D 1A 1DCBAQN MB 1C 1D 1A 1DCB A∵ MP NP P =,MP ⊂平面MNP ,NP ⊂平面MNP ,∴ 平面//MNP 平面1A CD . ∵ MN ⊂平面MNP ,∴//MN 平面1A CD . …6分 证法2: 连接AM 并延长AM 与DC 的延长线交于点P , 连接1A P , ∵ 点M 是BC 的中点, ∴ BM MC =.∵ BMA CMP ∠=∠, 90MBA MCP ︒∠=∠=, ∴ Rt MBA ≅Rt MCP . …2分∴ AM MP =. ∵ 点N 是1AA 的中点,∴ 1MN //A P . …4分∵ 1A P ⊂平面1A CD ,MN ⊄平面1A CD ,∴ //MN 平面1A CD . …6分(2) 解: 取1BB 的中点Q , 连接NQ ,CQ , ∵ 点N 是1AA 的中点, ∴ //NQ AB . ∵ //AB CD , ∴ //NQ CD .∴ 过,,N C D 三点的平面NQCD 把长方体1111ABCD A B C D -截成两部分几何体,其中一部分几何体为直三棱柱QBC -NAD , 另一部分几何体为直四棱柱1111B QCC A NDD -. …8分 ∴ 11111222QBC S QB BC ∆==⨯⨯=, ∴ 直三棱柱QBC -NAD 的体积112QBC V S AB ∆==, …10分 ∵ 长方体1111ABCD A B C D -的体积112V =⨯⨯2=, ∴直四棱柱1111B QCC A NDD -体积2132V V V =-=. …12分∴ 12V V =1232=13.∴ 所截成的两部分几何体的体积的比值为13. …14分(说明:213V V =也给分) 19．（本小题满分14分）(本小题主要考查函数和方程、分段函数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象 概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) （1）解：依题意，得()()()909a,x m,y n x m a,x m.+<≤*⎧⎪=⎨+-+>**⎪⎩ 其中05a <≤. …2分 （2）解：∵05a <≤，∴9914a <+≤.由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m 立方米. …4分 将417x ,y =⎧⎨=⎩和523x ,y =⎧⎨=⎩分别代入()**，得()()1794,2395.n m a n m a =+-+⎧⎪⎨=+-+⎪⎩…6分两式相减, 得6n =.代入()1794n m a,=+-+得616a m =-. …8分 又三月份用水量为2.5立方米，若25m .<，将2511x .,y =⎧⎨=⎩代入()**，得613a m =-，这与616a m =-矛盾. …10分 ∴25m .≥，即该家庭三月份用水量2.5立方米没有超最低限量.将 2.5,11x y =⎧⎨=⎩代入()*，得119a =+，由616119a m ,a.=-⎧⎨=+⎩ 解得23a ,m .=⎧⎨=⎩ …13分答：该家庭今年一、二月份用水超过最低限量，三月份用水没有超过最低限量，且362m ,n ,a ===. …14分 20．（本小题满分14分）(本小题主要考查直线、圆、抛物线、椭圆等知识, 考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、函数 与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解法1：∵抛物线22:4C y x =的焦点坐标为(1,0)， …1分∴点2F 的坐标为(1,0).∴椭圆1C 的左焦点1F 的坐标为1(1,0)F -，抛物线2C 的准线方程为1x =-. 设点P 的坐标为11(,)x y ，由抛物线的定义可知211PF x =+,∵253PF =, ∴1513x +=，解得123x =.由211843y x ==，且10y >,得1y =∴点P 的坐标为23,⎛⎝. …3分 在椭圆1C :22221(0)x y a b a b+=>>中，1c =.122||||4a PF PF =+=+=.∴2,a b === ∴椭圆1C 的方程为22143x y +=. …6分 解法2：∵抛物线22:4C y x =的焦点坐标为(1,0)， …1分∴点2F 的坐标为(1,0).∴ 抛物线2C 的准线方程为1x =-.设点P 的坐标为11(,)x y ，由抛物线的定义可知211PF x =+, ∵253PF =,∴1513x +=，解得123x =. 由211843y x ==，且10y >得1y = ∴点P的坐标为2(3. …3分在椭圆1C :22221(0)x y a b a b+=>>中，1c =.由222221424199c ,a b c ,.ab ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪+=⎩解得2,a b == ∴椭圆1C 的方程为22143x y +=. …6分 （2）证法1: 设点T 的坐标为00(,)x y ,圆3C 的半径为r ， ∵ 圆3C 与y 轴交于,M N 两点，且||4MN =, ∴||4MN ==.∴r =∴圆3C 的方程为222000()()4x x y y x -+-=+. ()* …8分∵ 点T 是抛物线22:4C y x =上的动点, ∴ 2004y x =(00x ≥).∴20014x y =. 把20014x y =代入()* 消去0x 整理得:22200(1)2()024x y yy x y +---+=.()** …10分方程()**对任意实数0y 恒成立，∴2210,220,40.xy x y ⎧-=⎪⎪-=⎨⎪+-=⎪⎩解得2,0.x y =⎧⎨=⎩ …12分∵点(2,0)在椭圆1C :22143x y +=上, ∴无论点T 运动到何处,圆3C 恒经过椭圆1C 上一定点()2,0. …14分 证法2: 设点T 的坐标为00(,)x y ,圆3C 的半径为r ，∵ 点T 是抛物线22:4C y x =上的动点,∴ 2004y x =(00x ≥). …7分∵ 圆3C 与y 轴交于,M N 两点，且||4MN =, ∴||4MN ==. ∴r =∴ 圆3C 的方程为222000()()4x x y y x -+-=+.()*** …9分令00x =,则2004y x =0=,得00y =.此时圆3C 的方程为224x y +=. …10分由22224,1,43x y x y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得2,0.x y =±⎧⎨=⎩ ∴圆3C :224x y +=与椭圆1C 的两个交点为()2,0、()2,0-. …12分分别把点()2,0、()2,0-代入方程()***进行检验，可知点()2,0恒符合方程()***，点()2,0-不恒符合方程()***.∴无论点T 运动到何处,圆3C 恒经过椭圆1C 上一定点()2,0. …14分 21．（本小题满分14分）(本小题主要考查导数及其应用、数列、不等式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1) 解: 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列. …1分理由如下:∵对任意n ∈N *都有1n n a b +=,121n n n na ba a +=-, ∴12211111n n n n n n na b a a a a a +-===--+. ∴1111n na a +=+,即1111n n a a +-=. …3分 ∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ,公差为1的等差数列. …4分 (2) 证明: ∵11a b =, 且111a b +=, ∴11a b =12=. 由(1)知()1211nn n a =+-=+. ∴ 11n a n =+, 11n n n b a n =-=+. …6分 所证不等式()111n nn n a b ++>,即111111n nn n n +⎛⎫⎛⎫+> ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭, 也即证明111111n nn n +⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭. 令()()ln 11xf x x x =>-, 则()'21ln (1)x xx f x x --=-. 再令()1ln x g x x x-=-, 则()'211g x x x =-21x x-=. …8分当1x >时, ()'0g x <,∴函数()g x 在[)1,+∞上单调递减. ∴当1x >时,()()10g x g <=,即1ln 0x x x--<.∴当1x >时, ()'21ln (1)x xx f x x --=-0<.∴函数()ln 1xf x x =-在()1,+∞上单调递减. …10分 ∵111111n n<+<++,∴11111f f n n ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭. ∴11ln 1ln 111111111n n n n⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭>+-+-+. …12分∴111ln 1ln 11n nn n +⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭.∴111111n nn n +⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭. ∴()111n n n n a b ++>成立. …14分。
2020年广东省广州市天河区高考数学二模试卷(文科)(有解析)
2020年广东省广州市天河区高考数学二模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2<1}，B={x|x2+3x<0}，则A∪B=()A. (−1,0)B. (0,1)C. (−3,1)D. (−∞,1)2.设复数z满足|z−i|=1，z在复平面内对应的点为(x,y)，则x，y满足的关系是()A. (x+1)2+y2=1B. (x−1)2+y2=1C. x2+(y−1)2=1D. x2+(y+1)2=13.若sin(π+α)=23，则cos2α的值为()A. 19B. 29C. 13D. −134.若等比数列{a n}满足2a4=a6−a5，则公比为()A. 1B. 1或−2C. −1或2D. −1或−25.某学校随机抽取100名学生，调查其平均一周使用互联网的时间(单位：小时)，根据调查结果制成了如图所示的频率分布直方图，其中使用时间的范围是[0,16]，样本数据分组区间为[0,4)，[4,8)，[8,12)，[12,16].根据直方图，这100名学生中平均一周使用互联网的时间不少于12小时的人数为()A. 5B. 10C. 20D. 806.设a=log123.b=ln4，c=(13)0.2，则()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a7.在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.其意思是，用一组平行平面截两个几何体，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两个几何体的体积必然相等．根据祖暅原理，“两几何体A、B的体积不相等”是“A、B在等高处的截面面积不恒相等”的()条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要8. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 满足BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF 与AC 交于点G ，设AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λGC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=( )A. 97B. 74C. 72D. 929. 已知正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面边长和侧棱长相等，D 为A 1A 的中点，则直线BD 与B 1C 所成的角为( )A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘10. 已知函数f (x )=2sin x2(cos x2−√3sin x2)+√3，先将y =f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再沿x 轴向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到函数y =g(x)，若g(x)的图象关于直线x =3π4对称，则θ的最小值为( )A. π6B. π4C. π3D. 2π311. 已知以双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点F 为圆心，以a 为半径的圆与直线y =ba x 交于A,B 两点，若|AB |=√2a ，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. √3C. √2D. √6212. 已知点A(a,b)在y =−x 2+3lnx 的图象上，点B(m,n)在y =x +2的图象上，则(a −m)2+(b −n)2的最小值为( )A. √2B. 2C. 2√2D. 8二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)={2x −5(x ⩾2)f(x +2)(x <2)，则f(−2)=_________________．14. 抛物线y 2=4x 上横坐标为3的点P 到焦点F 的距离为___________．15. △ABC 中，A =120°，AB =4，点M 是边BC 上一点，且CM =4MB ，AM =8√35，则BC 的长为______．16.四棱锥P−ABCD的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥ABCD，PA=√2，则该球的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}的各项都是正数，前n项和为S n，且a3=4，S4=S2+12，求：(1)首项a1及公比q的值；(2)若b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．18.在如图所示的多面体ABCDE中，AB//DE，AB⊥AD，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB=2，BC=√5，F是CD的中点．(Ⅰ)求证AF//平面BCE；(Ⅱ)求多面体ABCDE的体积．19.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y =bx +a ；(附：b ̂=ni=1i −x)(y i −y)∑(n x −x)2=∑x i ni=1y i −nxy ∑x i2n i=1−nx2)20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为√22，P 是C 上的一个动点．当P 是C 的上顶点时，△F 1PF 2的面积为1． (1)求C 的方程；(2)设斜率存在的直线PF 2与C 的另一个交点为Q.若存在点T(t,0)，使得|TP|=|TQ|，求t 的取值范围．21.已知函数f(x)=xe x−ae x−1，且f′(1)=e．(1)求a的值及f(x)的单调区间；(2)若关于x的方程f(x)=kx2−2(k>2)存在两个不相等的正实数根x1，x2，证明：|x1−x2|>ln4．e22.选修4−4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，)，将直线l1绕极点O x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为θ=α(0<α<π2个单位得到直线l2．逆时针旋转π3(1)求C和l2的极坐标方程；(2)设直线l1和曲线C交于O,A两点，直线l2和曲线C交于O,B两点，求|OA|+|OB|的最大值．23.已知函数f(x)=|x+1|，(1)解不等式f(x)≥2x+1；(2)∃x∈R，使不等式f(x−2)−f(x+6)<m成立，求m的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查并集及其运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．化简集合A，B，进而利用并集的定义即可求得结果．解：因为A={x|−1<x<1},B={x|−3<x<0},所以A∪B={x|−3<x<1}，故选C．2.答案：C解析：本题主要考查复数的模与四则运算，属于一般题．解析：解：设z=a+bi则|a+(b−1)i|=1，则√a2+(b−1)2=1则x，y满足的关系是.x2+(y−1)2=1故选C．3.答案：A解析：本题主要考查诱导公式，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．利用诱导公式求得sinα，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α的值．解：若sin(π+α)=23=−sinα，∴sinα=−23，则cos2α=1−2sin2α=1−2×49=19，故选：A．4.答案：C解析：本题考查等比数列的公比的求法，由已知条件利用等比数列的通项公式推导出q2−q−2=0，由此能求出q=−1或q=2.是基础题．解：∵等比数列{a n}满足2a4=a6−a5，∴2a1q3=a1q5−a1q4，整理，得：q2−q−2=0，解得q=−1或q=2．故选C．5.答案：C解析：本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．根据已知中的频率分布直方图，先计算出平均一周使用互联网的时间不少于12小时的频率，进而可得使用互联网的时间不少于12小时的频数．解：一周使用互联网的时间不少于12小时的频率为：0.05×4=0.2，故一周使用互联网的时间不少于12小时的频数为：0.2×100=20．故选C．6.答案：B解析：解：∵a=log123<0，b=ln4>1，c=(13)0.2∈(0,1)．∴a<c<b．故选：B．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：A解析：本题考查了阅读能力、原命题与其逆否命题的真假及充分必要条件，属中档题．先阅读题意，再由原命题与其逆否命题的真假及充分必要条件可得解．解：由已知有”在任意等高处的截面面积都对应相等”是“两个几何体的体积必然相等“的充分不必要条件，结合原命题与其逆否命题的真假可得：“两几何体A 、B 的体积不相等”是“A 、B 在等高处的截面面积不恒相等”的充分不必要条件， 故选：A ．8.答案：C解析：本题考查了平面向量的线性运算，及三点共线的充要条件，属于中档题． 根据向量的加减的几何意义和三点共线即可求出答案．解：∵BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =32BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD⃗⃗⃗⃗⃗ =32CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由向量加法的平行四边形法则可知，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =32CF ⃗⃗⃗⃗⃗ −32BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λGC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得， GC⃗⃗⃗⃗⃗ =11+λAC⃗⃗⃗⃗⃗ =32(1+λ)(BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −CF⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =GC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF⃗⃗⃗⃗⃗ =32(1+λ)(BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −CF ⃗⃗⃗⃗⃗ )+CF⃗⃗⃗⃗⃗ =32(1+λ)BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +2λ−12(1+λ)CF⃗⃗⃗⃗⃗ ， GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =GC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE⃗⃗⃗⃗⃗ =11+λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =32(1+λ)(BE⃗⃗⃗⃗⃗ −CF ⃗⃗⃗⃗⃗ )−12BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−λ−22(1+λ)BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −32(1+λ)CF⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由E ，F ，G 三点共线， 可得−λ−22(1+λ)32(1+λ)=−32(1+λ)2λ−12(1+λ)，解得λ=7或−1(舍去)．2故选C．9.答案：D解析：本题主要考查了异面直线所成的角，属于基础题.设各棱长为2，取BB1的中点E，BC的中点F，连结EF，A1E，A1F，则EF//B1C，A1E//DB，则∠A1EF(或其补角)即为异面直线BD与B1C所成的角，计算出对应线段的长，可得结论；解：设各棱长为2，取BB1的中点E，BC的中点F，如图所示：，连结EF，A1E，A1F，则EF//B1C，A1E//DB，则∠A1EF(或其补角)即为异面直线BD与B1C所成的角，B1C=2√2，EF=√2，A1E=√5，AF=√22+(√3)2=√7，1故A1E2+EF2=A1F2，故A1E⊥EF，故异面直线BD与B1C所成的角为90∘．故选D．10.答案：A解析：本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及函数图象变换，同时考查辅助角公式，属于一般题．将f(x)化简，利用平移法则求出变换以后的函数解析式，然后由正弦函数的性质求解即可．解：因为，所以将y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)得到函数的图象，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ个单位长度，得到函数的图象，又得到的图象关于直线x=3π4对称，所以，即，又θ>0，所以当k=1时，θ的最小值为π6．故选A．11.答案：D解析：本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直线和圆相交的弦长公式建立方程关系是解决本题的关键．根据直线和圆相交时的弦长公式结合双曲线离心率的公式进行转化求解即可．解：∵双曲线的一个焦点为F(c,0)，双曲线的一条渐近线为y=bax，即bx−ay=0，∴焦点到渐近线的距离d=√a2+b2=bcc=b，∵|AF|=|BF|=a，∴|AD|=√AF2−DF2=√a2−b2，则|AB|=2|AD|=2√a2−b2=√2a，平方得2(a2−b2)=a2，a2=2b2，即a2=2(c2−a2)则2c2=3a2，所以e2=c2a2=32，所以e=√62．故选D．12.答案：D解析：解：∵点A(a,b)在y=−x2+3lnx 的图象上，点B(m,n)在y=x+2的图象上，又∵(a−m)2+(b−n)2的几何意义是点A(a,b)与点B(m,n)两点间距离的平方；∴(a−m)2+(b−n)2的几何意义是y=−x2+3lnx的图象上的点与y=x+2的图象上的点的距离的平方；∵y=−x2+3lnx，∴y′=−2x+31x =3−2x2x，(x>0)故y max=−32+32ln32<0，故y=−x2+3lnx的图象始终在y=x+2的图象的下方，令y′=−2x+31x=1得，x=1；此时y=−1+0=−1，故切线方程为y=x−2；y=x−2与y=x+2的距离为4√2=2√2；故(a−m)2+(b−n)2的最小值为(2√2)2=8，故选D．(a−m)2+(b−n)2的几何意义是y=−x2+3lnx的图象上的点与y=x+2的图象上的点的距离的平方；从而求导，求出切线，求平行线间的距离即可．本题考查了导数的综合应用及转化的思想应用，属于中档题．13.答案：−1解析：本题主要考查分段函数求值，属于基础题．解：f(−2)=f(0)=f(2)=2×2−5=−1，故答案为−1．14.答案：4解析：本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．先求出焦点坐标和对应点的坐标，再求出两点间的距离即可．解：抛物线的焦点坐标为(1,0)，横坐标为3的对应点坐标为(3,±√12)，∴PF=√(3−1)2+(±√12)2=4，故答案为4．15.答案：4√7解析：解：过点B作BD//AC，交AM的延长线于点D，如图所示：则△BDM∽△CAM，可得AM=4MD=8√35，即有AD=2√35+8√35=2√3，由∠ABD=180°−120°=60°，可得AD2=AB2+BD2−2AB⋅BD⋅cos∠ABD=16+BD2−2×4BD×12=12，解得BD=2，由AB2=AD2+BD2，可得∠ADB=90°，∠BAD=30°，在三角形MAB中，可得MB2=AM2+AB2−2AB⋅AM⋅cos∠BAM=19225+16−2×4×8√35×√32=4√75，则BC=5BM=4√7．故答案为：4√7．过点B作BD//AC，交AM的延长线于点D，可得△BDM∽△CAM，求得AD，分别在三角形ABD和三角形ABM中，运用余弦定理可得BM，BC．本题考查三角形的余弦定理的运用，运用三角形的相似和性质是解题的关键，属于中档题．16.答案：4π3解析：本题考查棱锥的外接球，几何体的扩展，确定四棱锥与扩展的长方体的外接球是同一个，以及正方体的体对角线就是球的直径是解好本题的前提．由题意四棱锥P−ABCD，扩展为长方体，长方体的对角线的长就是外接球的直径，求出对角线长，则球的体积可得．解：四棱锥P−ABCD，扩展为长方体，长方体的对角线的长就是外接球的直径，所以R=12√12+12+(√2)2=1，所以球的体积为：4π3×13=4π3．故答案为4π3．17.答案：解：(1)∵a3=4，S4=S2+12，∴a1q2=4，a1q2(q+1)=12，解得a1=1，q=2．(2)由(1)可得：a n=2n−1．∴b n=na n=n⋅2n−1．∴数列{b n}的前n项和T n=1+2×2+3×22+⋯+n⋅2n−1，2T n=2+22+⋯+(n−1)⋅2n−1+n⋅2n，∴−T n=1+2+22+⋯+2n−1−n⋅2n=2n−12−1−n⋅2n，化为：T n=(n−1)⋅2n+1．解析：(1)a3=4，S4=S2+12，可得a1q2=4，a1q2(q+1)=12，解出即可得出．(2)由(1)可得：a n=2n−1.b n=na n=n⋅2n−1.利用错位相减法即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：(Ⅰ)证明：取CE中点P，连接FP、BP，∵F为CD的中点，∴FP//DE，且FP=12DE．又AB//DE，且AB=12DE．∴AB//FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF//BP．又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，∴AF//平面BCE；(II)解：∵直角梯形ABED的面积为1+22×2=3，C到平面ABED的距离为√32×2=√3，∴四棱锥C−ABED的体积为V=13×3×√3=√3．即多面体ABCDE的体积为√3．解析：(Ⅰ)取CE中点P，连接FP、BP，证明ABPF为平行四边形，可得AF//BP，利用线面平行的判定，可以证明AF//平面BCE；(Ⅱ)求出直角梯形ABED的面积和C到平面ABED的距离，则多面体ABCDE的体积可求．本题考查线面平行，考查几何体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.答案：解：(1)由题意知本题是一个古典概型，设抽到相邻两个月的数据为事件A试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C62=15种情况，每种情况都是等可能出现的其中，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种∴P(A)=P(A)=515=13(2)由数据求得x=11,y=24，由公式求得b=187，再由a=y−b x求得a=−307∴y关于x的线性回归方程为y^=187x−307解析：(1)本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C62种情况，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，根据古典概型的概率公式得到结果．(2)根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程．本题考查线性回归方程的求法，考查等可能事件的概率，考查线性分析的应用，考查解决实际问题的能力，是一个综合题目，这种题目可以作为解答题出现在高考卷中20.答案：解：(1)∵椭圆的离心率为√22，当P为C的上顶点时，△F1PF2的面积为1．由题意得{ca=√22,12×b×2c=1, b2+c2=a2,∴{a=√2 b=1 c=1,故椭圆C的方程为x22+y2=1．(2)设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，线段PQ的中点为N(x0,y0)，设直线PQ的方程为y=k(x−1)，当k=0时，t=0符合题意，当k≠0时，y=k(x−1)代入x22+y2=1，得(1+2k2)x2−4k2x+2k2−2=0．则x1+x2=4k21+2k2，∴x0=x1+x22=2k21+2k2，y0=k(x0−1)=−k1+2k2．即N(2k21+2k2,−k1+2k2).∵|TP|=|TQ|，∴直线TN为线段PQ的垂直平分线，∴TN⊥PQ，则k TN·k PQ=−1．所以−k1+2k22k21+2k2−t×k=−1,t=k21+2k2=12+1k2∈(0,12).综上，t的取值范围为[0,12).解析：本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．(1)利用椭圆的离心率，三角形的面积的值列出方程，解方程即可求出椭圆方程．(2)设直线PQ的方程为y=k(x−1).联立{x22+y2=1 y=kx−k,得(1+2k2)x2−4k2x+2k2−2=0.设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，利用韦达定理求出PQ的中点N(x0,y0)，由|TP|=|TQ|，可得直线TN是线段PQ的垂直平分线，由k TN·k QP=−1，建立关于t的函数即可．21.答案：解：(1)解：f′(x)=(1+x)e x−ae x−1，∴f′(1)=2e−a=e，解得：a=e，故f(x)=xe x−e x，f′(x)=xe x，令f′(x)>0，解得：x>0，令f′(x)<0，解得：x<0，∴f(x)在(−∞,0)递减，在(0,+∞)递增；(2)证明：方程f(x)=kx2−2，即为(x−1)e x−kx2+2=0，设g(x)=(x−1)e x−kx2+2，g′(x)=x(e x−2k)，令g′(x)>0，解得：x>ln(2k)，令g′(x)<0，解得：0<x<ln(2k)，∴g(x)在(0,ln(2k))递减，在(ln(2k),+∞)递增，由k>2，得ln(2k)>ln4>1，∵g(1)=−k+2<0，∴g(ln(2k))<0，不妨设x1<x2，(其中x1，x2为f(x)的两个不相等的正实数根)，∵g(x)在(0,ln(2k))递减，且g(0)=1>0，g(1)=−k+2<0∴0<x1<1，同理根据函数g(x)在(ln(2k),+∞)上递增，且g(ln(2k))<0，得：x2>ln(2k)>ln4，∴|x1−x2|=x2−x1>ln4−1=ln4e，即：|x1−x2|>ln4e．解析：(1)求出函数的导数，根据f′(1)=e，求出a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)问题转化为求函数g(x)=(x−1)e x−kx2+2的单调性，得到x1，x2的范围，从而证出结论．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．22.答案：解：(1)将C的参数方程化为普通方程得(x−1)2+(y−√3)2=4，将代入，并化简得C的极坐标方程为．l2的极坐标方程为θ=α+π3(ρ∈R)．(2)依题意可得，即，，即，，因为0<α<π2，所以π3<α+π3<5π6，当α+π3=π2，即时，|OA|+|OB|取得最大值4√3.解析：本题考查了参数方程化为普通方程、直角坐标方程化为极坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)先将参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程可得C的极坐标方程，由旋转的性质可得l2的极坐标方程；(2)利用极坐标的几何意义，得出A，B坐标，利用三角函数求出最值．23.答案：解：(1)当x+1≥0即x≥−1时，x+1≥2x+1，∴−1≤x≤0；当x+1<0即x<−1时，−x−1≥2x+1，∴x<−1，∴不等式的解集为{x|x≤0}；(2)∵f(x−2)=|x−1|，f(x+6)=|x+7|，∴|x−1|−|x+7|<m，∵∃x∈R，使不等式|x−1|−|x+7|<m成立，∴m>(|x−1|−|x+7|)min，∵|x−1|−|x+7|≥|x−1−x−7|=−8，∴m>−8．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道基础题．(1)通过讨论x的范围，去掉绝对值，求出不等式的解集即可；(2)得到|x−1|−|x+7|<m，问题转化为求m>(|x−1|−|x+7|)min，求出m的范围即可．。
2020年广东省广州市高考数学二模试卷(文科) (含答案解析)
2020年广东省广州市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−1≤x ≤1}，B ={x|x 2−2x ≤0}，则A ∩B =( )A. [0,1]B. [−1,2]C. [−1,0]D. (−∞,1]∪[2,+∞)2. 已知i 为虚数单位，若z ·(1+i)=2i ，则|z|=( )A. 2B. √2C. 1D. √223. 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sinα,3)，则cosα=( )A. 12B. −12C. √32 D. −√324. 若x,y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1,−9≤3x +y ≤3,则z =x +y 的最小值为( )A. 1B. −3C. −5D. −65. 已知函数f(x)=x 3+x +1(x ∈R)，若f(a)=2，则f(−a)的值为( )A. 3B. 0C. −1D. −26. 设函数f(x)=sin(2x −π4)，则下列结论正确的是( )A. 函数y =f(x)的递减区间为[−π8,3π8]B. 函数y =f(x)的图象可由y =sin2x 的图象向左平移π8得到 C. 函数y =f(x)的图象的一条对称轴方程为x =π8D. 若x ∈[7π24,π2]，则y =f(x)的取值范围是[√22,1]． 7. 《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”.我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r ，正方形的边长为a(0<a <r)，若在圆内随机取点，得到点自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的值为( )A. a 2(1−p)r 2B. a 2(1+p)r 2C. a(1−p)rD. a(1+p)r8. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E 是棱AB 的中点，动点F 是侧面ACC 1A 1(包括边界)上一点，若EF//平面BCC 1B 1，则动点F 的轨迹是( )A. 线段B. 圆弧C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分9. 不等式log 2(x −1)<−1的解集是( )A. {x|x >1}B. {x|x <32}C. {x|1<x <32}D. {x|0<x <32}10. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c =√3+1,b =2,A =π3，则B =( )A. 3π4B. π6C. π4D. π4或3π411. 函数f(x)=x 2−7x −4lnx 的最小值为( )A. 3ln3−12B. −4ln2−10C. −8ln2−12D. −8ln2−1612. 已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，过F 作双曲线C 渐近线的垂线，垂足为A ，且交y 轴于B ，若BA⃗⃗⃗⃗⃗ =3AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率为( ) A. √63B. √32C. 2√33D. √62二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(−1,0)，若向量k a ⃗ +b 与向量c ⃗ =(2,1)共线，则实数k 等于________． 14. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1=1，S 3=3，则S n =______；15. 斜率为√33的直线l 过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点，若直线l 与圆(x −2)2+y 2=4相切，则p =________．16. 正四棱锥P −ABCD 的底面边长为2，侧棱长为2√2，过点A 作一个与侧棱PC 垂直的平面α，则平面α被此正四棱锥所截的截面面积为________，平面α将此正四棱锥分成的两部分体积的比值为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，a n+1=2+S n (n ∈N ∗).(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AC=AB1，B1C∩BC1=O．(1)求证：B1C⊥AB；(2)若∠CBB1=60°，AC=BC，三棱锥A−BB1C的体积为1，且点A在侧面BB1C1C上的投影为点O，求三棱锥A−BB1C的表面积．19.全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平，倡导全民做到每天参加一次以上的健身活动，学会两种以上健身方法，每年进行一次体质测定．为响应全民健身号召，某单位在职工体测后就某项健康指数(百分制)随机抽取了30名职工的体测数据作为样本进行调查，具体数据如茎叶图所示，其中有1名女职工的健康指数的数据模糊不清(用x表示)，已知这30名职工的健康指数的平均数为76.2．(1)根据茎叶图，求样本中男职工健康指数的众数和中位数；(2)根据茎叶图，按男女用分层抽样从这30名职工中随机抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求抽取的2人都是男职工的概率；(3)经计算，样本中男职工健康指数的平均数为81，女职工现有数据(即剔除x)健康指数的平均数为69，方差为190，求样本中所有女职工的健康指数的平均数和方差(结果精确到0.1)．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，且离心率为12．(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点(18,0)，求k的取值范围．21.已知函数f(x)=lnx−sinx，记f(x)的导函数为fˈ(x)．−f′(x)是(0,+∞)上的单调递增函数，求实数a的取值范围；(1)若ℎ(x)=ax+1x(2)若x∈(0,2π)，试判断函数f(x)的极值点个数，并说明理由．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=cosα,(α为参数).以坐标原点O为极点，y=2+sinαx轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=4．1+3sin2θ(1)写出曲线C1和C2的直角坐标方程；(2)已知P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的切线，切点为A，求|PA|的最大值．23.已知函数f(x)=x2−x+1，且a，b，c∈R．(Ⅰ)若a+b+c=1，求f(a)+f(b)+f(c)的最小值；(Ⅱ)若|x−a|<1，求证：|f(x)−f(a)|<2(|a|+1)．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：B={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，则A∩B={x|0≤x≤1}=[0,1]，故选：A求出集合B，根据交集定义进行求解．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：B解析：本题考查复数的模的求法，考查计算能力，是基础题．直接利用复数的模的运算法则化简求解即可．解：i为虚数单位，复数z满足z·(1+i)=2i，∴|z|=|2i||i+1|=√2=√2，故选B．3.答案：A解析：本题考查任意角的三角函数的定义，利用任意角的定义是解题的关键，属于基础题．根据题意任意角三角函数的定义即可求出．解：由三角函数定义得tanα=32sinα，即sinαcosα=32sinα，得3cosα=2sin2α=2(1−cos2α)，解得cosα=12或cosα=−2(舍去)．4.答案：C解析：【试题解析】解：作出x ，y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1−9≤3x +y ≤3，表示的平面区域，如图所示的阴影部分：由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，{1=x −y−9=3x +y ，解得A(−2,−3)，当y =−x +z 经过点A 时，z 最小， 由A(−2,−3)，此时z =x +y =−5． 故选：C ．作出不等式组表示的平面区域，由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，结合图象可求z 的最小值．本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z 的几何意义．5.答案：B解析：解：∵f(a)=2∴f(a)=a 3+a +1=2，a 3+a =1，则f(−a)=(−a)3+(−a)+1=−(a 3+a)+1=−1+1=0． 故选：B ．把α和−α分别代入函数式，可得出答案． 本题主要考查函数奇偶性的运用．属基础题．6.答案：D解析：解：对于函数f(x)=sin(2x −π4)， 令2kπ+π2≤2x −π4≤2kπ+3π2(k ∈Z)，解得kπ+3π8≤x ≤kπ+7π8(k ∈Z)，所以函数y =f(x)的递减区间为[kπ+3π8,kπ+7π8](k ∈Z)，故选项A 错误；由于sin(2x −π4)=sin[2(x −π8)]，所以函数y =f(x)的图象是由y =sin2x 的图象向右平移π8得到的，故选项B 错误；。
(全优试卷)广东省广州市高考数学二模试卷(文科)Word版含解析
广东省广州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，0，1，2，3，4，5}，B={b|b=n2﹣1，n∈Z}，则A∩B=（）A．{﹣1，3}B．{0，3}C．{﹣1，0，3}D．{﹣1，0，3，5}2．若复数z满足（3﹣4i+z）i=2+i，则z=（）A．4+6i B．4+2i C．﹣4﹣2i D．﹣2+2i．3．已知命题p：∀x∈R，x2+ax+a2≥0（a∈R），命题q：，，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（¬p）∨q D．（¬p）∧（¬q）4．执行如图所示的程序图，则输出的S值为（）A．4 B．3 C．﹣2 D．﹣35．函数f（x）=ln（|x|﹣1）+x的大致图象是（）A．B．C．D．6．在区间[﹣1，5]上随机地取一个实数a，则方程x2﹣2ax+4a﹣3=0有两个正根的概率为（）A．B．C．D．7．已知三条直线2x﹣3y+1=0，4x+3y+5=0，mx﹣y﹣1=0不能构成三角形，则实数m的取值集合为（）A．{﹣， } B．{，﹣ } C．{﹣，， } D．{﹣，﹣， } 8．已知两点A（﹣1，1），B（3，5），点C在曲线y=2x2上运动，则的最小值为（）A．2 B．C．﹣2 D．9．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为（）A．B．C．D．10．数列{a n}满足a2=2，a n+（﹣1）n+1a n=1+（﹣1）n（n∈N*），S n为数列{a n}+2前n项和，S100=（）A．5100 B．2550 C．2500 D．245011．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（）A．[，）B．[，）C．[，）D．[4π，6π）12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．16二、填空题已知双曲线（a＞0）的离心率为2，则a的值为．14．在各项都为正数的等比数列{a n}中，已知a1=2，，则数列{a n}的通项公式a n=．15．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷：“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二，问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目，3个3个数，剩2个，5个5个数，剩3个，7个7个数，剩2个，问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有个．16．已知函数，若f（3a﹣1）≥8f（a），则实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+bsinC=a．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若BC边上的高等于，求cosA的值．18．（12分）某中学为了解高中入学新生的身高情况，从高一年级学生中按分层抽样共抽取了50名学生的身高数据，分组统计后得到了这50名学生身高的频数分布表：身高（cm）分组[145，155）[155，165）[165，175）[175，185]男生频数15124女生频数71542（Ⅰ）在答题卡上作出这50名学生身高的频率分布直方图；（Ⅱ）估计这50名学生身高的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）现从身高在[175，185]这6名学生中随机抽取3名，求至少抽到1名女生的概率．19．（12分）如图，ABCD是边长为a的正方形，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，．（Ⅰ）求证：EF⊥AC；（Ⅱ）求三棱锥E﹣FAC的体积．20．（12分）已知定点F（0，1），定直线l：y=﹣1，动圆M过点F，且与直线l相切．（Ⅰ）求动圆M的圆心轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，分别过点A，B作曲线C的切线l1，l2，两条切线相交于点P，求△PAB外接圆面积的最小值．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+4x存在极小值点x0，且，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中．已知直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0，曲线C的参数方程为（θ为参数），设直线l与曲线C交于A，B 两点．（1）求线段AB的长（2）已知点P在曲线C上运动．当△PAB的面积最大时，求点P的坐标及△PAB 的最大面积．[选修4-5：不等式选讲]23．（I）已知a+b+c=1，证明（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；（Ⅱ）若对任总实数x，不等式|x﹣a|+|2x﹣1|≥2恒成立，求实数a的取值范围．广东省广州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，0，1，2，3，4，5}，B={b|b=n2﹣1，n∈Z}，则A∩B=（）A．{﹣1，3}B．{0，3}C．{﹣1，0，3}D．{﹣1，0，3，5}【考点】1E：交集及其运算．【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={﹣1，0，1，2，3，4，5}，B={b|b=n2﹣1，n∈Z}={﹣1，0，3，8，15，…，}，∴A∩B={﹣1，0，3}．故选：C．【点评】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题．2．若复数z满足（3﹣4i+z）i=2+i，则z=（）A．4+6i B．4+2i C．﹣4﹣2i D．﹣2+2i．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：（3﹣4i+z）i=2+i，则3﹣4i+z===﹣2i+1．∴z=﹣2+2i．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知命题p：∀x∈R，x2+ax+a2≥0（a∈R），命题q：，，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（¬p）∨q D．（¬p）∧（¬q）【考点】2E：复合命题的真假．【分析】利用不等式的解法化简命题p，q，再利用复合命题的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：∵△=a2﹣4a2=﹣3a2≤0，因此∀x∈R，x2+ax+a2≥0（a∈R），是真命题．命题q：由2x2﹣1≤0，解得≤x，因此不存在x0∈N*，使得，是假命题．则下列命题中为真命题的是p∨q．故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．执行如图所示的程序图，则输出的S值为（）A．4 B．3 C．﹣2 D．﹣3【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：s=0，i=2，s=2，i=3，s=﹣1．i=4，s=3，i=5，s=﹣2，i=6，s=4，i=7＞6，结束循环，输出s=4，故选：A．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．5．函数f（x）=ln（|x|﹣1）+x的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】化简f（x），利用导数判断f（x）的单调性即可得出正确答案．【解答】解：f（x）的定义域为{x|x＜﹣1或x＞1}．f（x）=，∴f′（x）=，∴当x＞1时，f′（x）＞0，当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．故选A．【点评】本题考查了函数图象的判断，函数单调性的判断，属于中档题．6．在区间[﹣1，5]上随机地取一个实数a，则方程x2﹣2ax+4a﹣3=0有两个正根的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】根据根与系数之间的关系，求出a的取值范围，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：若方程x2﹣2ax+4a﹣3=0有两个正根，则满足，即，得＜a≤1或a≥3，∵﹣1≤a≤5则对应的概率P=+=+=，故选：C【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据根与系数之间的关系求出a 的取值范围是解决本题的关键．7．已知三条直线2x﹣3y+1=0，4x+3y+5=0，mx﹣y﹣1=0不能构成三角形，则实数m的取值集合为（）A．{﹣， } B．{，﹣ } C．{﹣，， } D．{﹣，﹣， }【考点】IG：直线的一般式方程．【分析】三条直线若两两相交围成一个三角形，则斜率必不相同；否则，只要有两条直线平行，或三点共线时不能构成三角形．【解答】解：∵三条直线不能围成一个三角形，∴（1）l1∥l3，此时m=；l2∥l3，此时m=﹣；（2）三点共线时也不能围成一个三角形2x﹣3y+1=0与4x+3y+5=0交点是（﹣1，﹣）代入mx﹣y﹣1=0，则m=．故选：C．【点评】本题考查两直线平行的条件，当斜率相等且截距不相等时两直线平行．属于基础题．8．已知两点A（﹣1，1），B（3，5），点C在曲线y=2x2上运动，则的最小值为（）A．2 B．C．﹣2 D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】设C（x，2x2），得出关于x的函数，根据函数性质求出最小值．【解答】解：设C（x，2x2），则=（4，4），=（x+1，2x2﹣1），∴=4（x+1）+4（2x2﹣1）=8x2+4x=8（x+）2﹣．∴当x=﹣时取得最小值﹣．故选D．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，函数最值得计算，属于中档题．9．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为（）A．B．C．D．【考点】LA ：平行投影及平行投影作图法．【分析】由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，取AA 1的中点N ，可知截面为等腰梯形，利用题中数据可求．【解答】解：取AA 1的中点N ，连接MN ，NB ，MC 1，BC 1， 由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，且MN=BC 1=，MC 1=BN ，=，∴梯形的高为，∴梯形的面积为（）×=，故选C ．【点评】本题的考点是棱柱的结构特征，主要考查几何体的截面问题，关键利用正方体图形特征，从而确定截面为梯形．10．数列{a n }满足a 2=2，a n +2+（﹣1）n +1a n =1+（﹣1）n （n ∈N *），S n 为数列{a n }前n 项和，S 100=（ ） A ．5100B ．2550C ．2500D ．2450【考点】8H ：数列递推式．【分析】数列{a n }满足a 2=2，a n +2+（﹣1）n +1a n =1+（﹣1）n （n ∈N *），n=2k （k ∈N *）时，a 2k +2﹣a 2k =2，因此数列{a 2k }为等差数列，首项为2，公差为2．n=2k ﹣1（k ∈N *）时，a 2k +1+a 2k ﹣1=0．通过分组求和，利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：数列{a n }满足a 2=2，a n +2+（﹣1）n +1a n =1+（﹣1）n （n ∈N *），n=2k （k ∈N *）时，a 2k +2﹣a 2k =2，因此数列{a 2k }为等差数列，首项为2，公差为2．n=2k ﹣1（k ∈N *）时，a 2k +1+a 2k ﹣1=0．∴S 100=（a 1+a 3+…+a 97+a 99）+（a 2+a 4+…+a 100）=0+2×50+=2550．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、分类讨论方法、分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（）A．[，）B．[，）C．[，）D．[4π，6π）【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】根据区间[0，1]上，求出ωx+的范围，由于在区间[0，1]上恰有3个最高点，建立不等式关系，求解即可．【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），∵x∈[0，1]上，∴ωx+∈[，]，图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，∴+，解得：．故选C．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．16【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知三棱锥倒立放置，从而得出棱锥的高，根据俯视图找出三棱锥的底面，得出底面积，从而可求出棱锥的体积．【解答】解：由主视图和侧视图可知三棱锥倒立放置，棱锥的底面水平放置，故三棱锥的高为h=4，∵主视图为直角三角形，∴棱锥的一个侧面与底面垂直，=4，结合俯视图可知三棱锥的底面为俯视图中的左上三角形，∴S底=∴V==．故选：B．【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算，根据三视图的特征找出棱锥的底面是关键，属于中档题．二、填空题（2017•广州二模）已知双曲线（a＞0）的离心率为2，则a的值为．【考点】KB：双曲线的标准方程．【分析】求得双曲线的b2=2，由c=和e=，解关于a的方程，即可得到所求值．【解答】解：由双曲线（a＞0）得到b2=2，则c=，所以=2，解得a=．故答案是：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，注意运用离心率公式和基本量a，b，c 的关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．14．在各项都为正数的等比数列{a n}中，已知a1=2，，则数列{a n}的通项公式a n=．【考点】8H：数列递推式．【分析】设等比数列{a n}的公比为q＞0，由a1=2，，可得+=4，化简解出q，再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1=2，，∴+=4，化为：q4﹣4q2+4=0，解得q2=2，q＞0，解得q=．则数列{a n}的通项公式a n==．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷：“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二，问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目，3个3个数，剩2个，5个5个数，剩3个，7个7个数，剩2个，问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有23个．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案．【解答】解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233．最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105×2=23，或者105k+23（k为正整数）．∴这堆物品至少有23，故答案为：23．【点评】本题考查的是带余数的除法，简单的合情推理的应用，根据题意下求出15、21、70这三个数是解答此题的关键，属于中档题．16．已知函数，若f（3a﹣1）≥8f（a），则实数a的取值范围为．【考点】5B：分段函数的应用．【分析】根据条件判断函数f（x）的奇偶性和单调性即可．【解答】解：∵，∴f（﹣x）=f（x），即函数f（x）是偶函数，在[0，+∞）上为增函数，则不等式f（3a﹣1）≥8f（a），等价为f（|3a﹣1|）≥f（2|a|），∴|3a﹣1|≥2|a|，解得a∈．故答案为．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．综合考查函数的性质．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）（2017•广州二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+bsinC=a．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若BC边上的高等于，求cosA的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理求和三角形的三角的关系，以及两角和的正弦公式sinB=cosB，即可求出B，（Ⅱ）设BC边上的高线为AD，运勾股定理和余弦定理，即可求得cosB，再由正弦定理，即可求出【解答】解：（Ⅰ）因为bcosC+bsinC=a，由正弦定理得，sinBcosC+sinBsinC=sinA．因为A+B+C=π，所以sinBcosC+sinBsinC=sin（B+C）．即sinBcosC+sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC．因为sinC≠0，所以sinB=cosB．因为cosB≠0，所以tanB=1．因为B∈（0，π），所以．（Ⅱ）设BC边上的高线为AD，则．因为，则，．所以=，．由余弦定理得=．所以cosA=．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查两角和的正弦公式的运用，考查运算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•广州二模）某中学为了解高中入学新生的身高情况，从高一年级学生中按分层抽样共抽取了50名学生的身高数据，分组统计后得到了这50名学生身高的频数分布表：身高（cm）分组[145，155）[155，165）[165，175）[175，185]男生频数15124女生频数71542（Ⅰ）在答题卡上作出这50名学生身高的频率分布直方图；（Ⅱ）估计这50名学生身高的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）现从身高在[175，185]这6名学生中随机抽取3名，求至少抽到1名女生的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布表能作出这50名学生身高的频率分布直方图．（Ⅱ）由频率分布直方图能估计这50名学生的平均身高，并能估计这50名学生身高的方差．（Ⅲ）记身高在[175，185]的4名男生为a，b，c，d，2名女生为A，B．利用列举法能求出从这6名学生中随机抽取3名学生，至少抽到1名女生的概率．【解答】解：（Ⅰ）这50名学生身高的频率分布直方图如下图所示：（Ⅱ）由题意可估计这50名学生的平均身高为=164．所以估计这50名学生身高的方差为s2==80．所以估计这50名学生身高的方差为80．（Ⅲ）记身高在[175，185]的4名男生为a，b，c，d，2名女生为A，B．从这6名学生中随机抽取3名学生的情况有：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，A}，{a，b，B}，{a，c，A}，{a，c，B}，{a，d，A}，{a，d，B}，{b，c，A}，{b，c，B}，{b，d，A}，{b，d，B}，{c，d，A}，{c，d，B}，{a，A，B}，{b，A，B}，{c，A，B}，{d，A，B}共20个基本事件．其中至少抽到1名女生的情况有：{a，b，A}，{a，b，B}，{a，c，A}，{a，c，B}，{a，d，A}，{a，d，B}，{b，c，A}，{b，c，B}，{b，d，A}，{b，d，B}，{c，d，A}，{c，d，B}，{a，A，B}，{b，A，B}，{c，A，B}，{d，A，B}共16个基本事件．所以至少抽到1名女生的概率为．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．（12分）（2017•广州二模）如图，ABCD是边长为a的正方形，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，．（Ⅰ）求证：EF⊥AC；（Ⅱ）求三棱锥E﹣FAC的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）连接BD，推导出AC⊥BD，AC⊥FD，从而AC⊥平面BDF．推导出EB∥FD，从而B，D，F，E四点共面，由此能证明EF⊥AC．（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接EO，FO，由V E﹣FAC =V A﹣FEO+V C﹣FEO，能求出三棱锥E﹣FAC的体积．【解答】证明：：（Ⅰ）连接BD，因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD．因为FD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥FD．因为BD∩FD=D，所以AC⊥平面BDF．因为EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，所以EB∥FD．所以B，D，F，E四点共面．因为EF⊂平面BDFE，所以EF⊥AC．解：（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接EO，FO．由（Ⅰ）知，AC⊥平面BDFE，所以AC⊥平面FEO．因为平面FEO将三棱锥E﹣FAC分为两个三棱锥A﹣FEO和C﹣FEO，所以V E﹣FAC =V A﹣FEO+V C﹣FEO．因为正方形ABCD的边长为a，，所以，．取BE的中点G，连接DG，则FE=DG=．所以等腰三角形FEO的面积为=．所以V E﹣FAC =V A﹣FEO+V C﹣FEO====．所以三棱锥E﹣FAC的体积为．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．20．（12分）（2017•广州二模）已知定点F（0，1），定直线l：y=﹣1，动圆M过点F，且与直线l相切．（Ⅰ）求动圆M的圆心轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，分别过点A，B作曲线C的切线l1，l2，两条切线相交于点P，求△PAB外接圆面积的最小值．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系；J3：轨迹方程．【分析】（Ⅰ）利用直接法，即可求动圆M的圆心轨迹C的方程；（Ⅱ）证明△PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是直径．得到当k=0时线段AB最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π．【解答】解：（Ⅰ）设点M到直线l的距离为d，依题意|MF|=d．设M（x，y），则有=|y+1|．化简得x2=4y．所以点M的轨迹C的方程为x2=4y．（Ⅱ）设l AB：y=kx+1，代入x2=4y中，得x2﹣4kx﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1•x2=﹣4．所以．因为C：x2=4y，即，所以．所以直线l1的斜率为，直线l2的斜率为．因为，所以PA⊥PB，即△PAB为直角三角形．所以△PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是直径．因为|AB|=4（k2+1），所以当k=0时线段AB最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线位置关系的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）（2017•广州二模）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+4x存在极小值点x0，且，求实数a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）计算f′（x），讨论a判断f′（x）的符号得出f（x）的单调区间；（II）由导数和二次函数的性质得g′（x）=0在（0，+∞）上有两解列不等式组得出a的范围，根据得出a的范围，再取交集即可．【解答】解：（Ⅰ）因为函数，所以其定义域为（0，+∞）．所以=．当a≤0时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．当a＞0时，f'（x）=．当时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间上单调递减．当时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间上单调递增．综上可知，当a≤0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（Ⅱ）因为g（x）=f（x）+4x=，所以=（x＞0）．因为函数g（x）存在极小值点，所以g'（x）在（0，+∞）上存在两个零点x1，x2，且0＜x1＜x2．即方程x2﹣4x﹣a=0的两个根为x1，x2，且0＜x1＜x2，所以，解得﹣4＜a＜0．则=．当0＜x＜x1或x＞x2时，g'（x）＜0，当x1＜x＜x2时，g'（x）＞0，所以函数g（x）的单调递减区间为（0，x1）与（x2，+∞），单调递增区间为（x1，x2）．所以x=x1为函数g（x）的极小值点x0．由，得．由于等价于．由，得，所以alnx0+a＞0．因为﹣4＜a＜0，所以有lnx0+1＜0，即．因为，所以．解得．所以实数a的取值范围为．【点评】本题考查了导数与函数单调性、极值的关系，函数最值得计算，属于中档题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•广州二模）在平面直角坐标系xOy中．已知直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0，曲线C的参数方程为（θ为参数），设直线l 与曲线C交于A，B两点．（1）求线段AB的长（2）已知点P在曲线C上运动．当△PAB的面积最大时，求点P的坐标及△PAB 的最大面积．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；QL：椭圆的参数方程．【分析】（1）根据题意，将曲线C的参数方程变形为普通方程，将直线x﹣y ﹣2=0代入其中，可得x2﹣3x=0，解可得x的值，由弦长公式计算可得答案；（2）分析可得要使△PAB的面积最大，则必须使P到直线直线l的距离最大，设P的坐标为（2cosθ，2sinθ），其中θ∈[0，2π），由点到直线l的距离公式可得d=，由余弦函数的性质分析可得当θ+=π，即θ=时，d取得最大值，代入点的坐标（2cosθ，2sinθ）中可得P的坐标，进而计算可得△PAB的最大面积，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，曲线C的参数方程为，则其普通方程为： +=1，将直线x﹣y﹣2=0代入+=1可得：x2﹣3x=0，解可得x=0或3，故|AB|=|x1﹣x2|=3；（2）要求在椭圆+=1上求一点P，使△PAB的面积最大，则P到直线直线l的距离最大；设P的坐标为（2cosθ，2sinθ），其中θ∈[0，2π），则P到直线l的距离d==，又由θ∈[0，2π），则≤θ+＜，所以当θ+=π，即θ=时，d取得最大值，且d max=3，此时P（﹣3，1），△PAB的最大面积S=×|AB|×d=9．【点评】本题考查椭圆与直线的位置关系，涉及椭圆的参数方程，关键是正确将参数方程化为普通方程．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•广州二模）（I）已知a+b+c=1，证明（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；（Ⅱ）若对任总实数x，不等式|x﹣a|+|2x﹣1|≥2恒成立，求实数a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R6：不等式的证明．【分析】（I）利用柯西不等式，即可证明；（Ⅱ）分：①a=、②a＞、③a＜三种情况，分别化简不等式，根据函数y=|2x ﹣1|+|x﹣a|的最小值大于或等于2，求得a的范围．【解答】（I）证明：由柯西不等式可得（1+1+1）[（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2]≥（a+1+b+1+c+1）2，∵a+b+c=1，∴（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；（Ⅱ）解：①当a=时，不等式即|x﹣|≥，显然不能任意实数x均成立．②当a＞时，|2x﹣1|+|x﹣a|=，此时，根据函数y=|2x﹣1|+|x﹣a|的单调性可得y的最小值为﹣3×+a+1．∵不等式|2x﹣1|+|x﹣a|≥2对任意实数x均成立，∴﹣3×+a+1≥2，解得a≥．③当a＜时，|2x﹣1|+|x﹣a|=，此时，根据函数y=|2x﹣1|+|x﹣a|的单调性可得y的最小值为﹣﹣a+1．∵不等式|2x﹣1|+|x﹣a|≥2对任意实数x均成立，∴﹣﹣a+1≥2，解得a≤﹣．综上可得，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．。
广东省广州市高考二模文科数学试卷
XX省XX市2021 届高考二模文科数学试卷一、选择题：本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．集合 A { 1,0,1,2,3,4,5} ， B { b | b n21,n Z}，那么AI B〔〕A．{ 1,3}B．{0,3 }C．{ 1,0,3}D．{ 1,0,3,5}2．假设复数z满足(34i z)i 2i ，那么 z 〔〕A ．4 6i B．4 2i C．4 2i D．2 2i3．命题p : x R，x ax a≥0〔 a R 〕，命题q : x N， 2x210，那么以下命题中为真命220*≤题的是〔〕A ．p qB．p qC． ( p) q D． ( p) ( q)4．执行如下图的程序图，那么输出的S 值为〔〕A ． 4B． 3C．2D．35．函数f ( x) ln( x 1)x 的大致图像是〔〕A．B．C．D．6．在区间[ 1,5]上随机地取一个实数a，那么方程x22ax4a 3 0 有两个正根的概率为〔〕21C．31A ．B．8D．3237．三条直线2x3y 1 0 ， 4 x3y 5 0 ， mx y10 不能构成三角形，那么实数m 的取值集合为-1-/4〔〕A ．{ 4,2}B ．{4,2}C ．{4,2,4}D ．{4,2,2}3 3333 3 333 38．两点A( 1,1)，B(3,5) ，点 C 在曲线y 2x 2uuuruuur上运动，那么AB g AC 的最小值为〔〕A ． 2B ．1C ．2D ．12 29．在棱长为 2 的正方体ABCD A 1B 1C 1 D 1中，M 是棱 A 1 D 1的中点，过 C 1，B ，M 作正方体的截面，那么这个截面的面积为〔 〕A ．3 5B ．3 5C ．9D ．9282810．数列 { a n }满足 a 2 2， an 2( 1)n1 an1 ( 1)n*〕， S{ a n }前 n 项和，S100〔〕〔 n N n 为数列A ．5 100B ． 2 550C ． 2 500D ． 2 45011．函数f ( x)2sin(xπ ＞ 0 〕的图像在区间 [0,1] 上恰有 3 个最高点，那么 的取值X 围为〔〕4 )〔19π 27 π9π 13π 17π 25πD ． [4 π,6π)A ．[ 4 ,)B ．[, )C ．[ 4 ,)42 2412．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，那么该三棱锥的体积为〔〕816 32D ． 16A ．B ．C ．333二、填空题13．双曲线x 2y 21〔 a ＞0 〕的离心率为 2，那么 a 的值为_______．a 2214．在各项都为正数的等比数列{ a n } 中， a 1 2 ， a n 2 24a n 2 4a n 1 2，那么数列 { a n } 的通项公式a n_______．15．?孙子算经?是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的?孙子算经?共三卷，其中下卷：“物不知数〞中有如下问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二，问：物几何？〞其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目， 3 个 3个数，剩 2 个，5 个 5 个数，剩3个，7个 7个数，剩2 个，问这堆物品共有多少个？〞试计算这堆物品至少有 _______ 个．x 3≥ 016．函数f ( x)x 3 ＜，假设 f (3a 1)≥8 f ( a) ，那么实数a 的取值X 围为_______．x 0-2-/4三、解答题〔本大题共 5 小题，共70 分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．〕17．〔 12 分〕△ABC的内角 A， B， C 的对边分别为a， b， c，bcosC bsinC A．〔Ⅰ〕求角 B 的大小；〔Ⅱ〕假设 BC 边上的高等于1a ，求 cosA 的值．418．〔 12 分〕某中学为了解高中入学新生的身高情况，从高一年级学生中按分层抽样共抽取了50 名学生的身高数据，分组统计后得到了这50名学生身高的频数分布表：身高〔 cm〕分组[145,155)[155,165)[165,175)[175,185]男生频数15124女生频数71542〔Ⅰ〕在答题卡上作出这50名学生身高的频率分布直方图；〔Ⅱ〕估计这 50 名学生身高的方差〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；〔Ⅲ〕现从身高在[175,185) 这6名学生中随机抽取 3 名，求至少抽到 1名女生的概率．19．〔 12 分〕如图，ABCD 是边长为 a 的正方形，EB平面 ABCD ，FD平面 ABCD ，EB2FD2a ．〔Ⅰ〕求证： EF AC ；〔Ⅱ〕求三棱锥 E FAC 的体积．20.〔12 分〕定点F (0,1)，定直线l : y 1 ，动圆M过点F，且与直线l相切．〔Ⅰ〕求动圆M 的圆心轨迹 C 的方程；〔Ⅱ〕过点 F 的直线与曲线 C 相交于 A，B 两点，分别过点A，B 作曲线 C 的切线l1，l2，两条切线相交于点 P，求△PAB外接圆面积的最小值．21．〔 12 分〕函数f ( x)alnx 1 x2．2〔Ⅰ〕求函数 f ( x) 的单调区间；〔Ⅱ〕假设函数g( x) f ( x) 4x存在极小值点x0，且 g( x0 )1x022a＞0 ，XX数a的取值X围．2请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]22．〔 10 分〕在平面直角坐标系xOy 中．直线 l 的普通方程为x y 2 0，曲线 C 的参数方程为x 2 3cos〔为参数〕，设直线l 与曲线 C 交于 A， B 两点．y2sin（1〕求线段 AB 的长-3-/4〔 2〕点 P 在曲线 C 上运动．当△PAB的面积最大时，求点P 的坐标及△PAB的最大面积．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]23．〔Ⅰ〕a b c 1，证明 (a22216；1)(b 1)(c 1)≥3〔Ⅱ〕假设对任总实数x，不等式x a 2 x1≥2 恒成立，XX数 a 的取值X围．-4-/4。
2020年广东省广州市高考数学二模试卷(文科)
2020年广东省广州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）若集合{|20}A x x =-…，{|01}B x x =剟，则(A B =I ) A ．[0，2]B ．[0，1]C ．[1，2]D ．[1-，2]2．（5分）已知i 为虚数单位，若(1)2z i i +=g ，则||(z = ) A ．2B ．2C ．1D ．23．（5分）已知角α的项点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点(2,1)P -在角α的终边上，则tan (α= ) A ．2B ．12C ．12-D ．2-4．（5分）若实数x ，y 满足23300x y x y y +⎧⎪+-⎨⎪⎩…„…，则2z x y =-的最小值是( )A ．2B ．52C ．4D ．65．（5分）已知函数3()1f x x =+，若a R ∈，则f （a ）()(f a +-= ) A ．0B ．322a +C ．2D ．322a -6．（5分）若函数()sin(2)(0f x A x A ϕ=+>，0)2πϕ<<的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．(12π-，0)是函数()f x 图象的一个对称中心B ．函数()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．函数()f x 在区间[3π-，]3π上单调递增D ．函数()f x 的图象可由sin y A = 2x 的图象向左平移6π个单位得到 7．（5分）《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r ，正方形的边长为(0)a a r <<，若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的值为( )A ．22(1)a p r -B ．22(1)a p r +C ．(1)ap r-D ．(1)ap r+8．（5分）在三棱柱111ABC A B C -中，E 是棱AB 的中点，动点F 是侧面11ACC A （包括边界）上一点，若//EF 平面11BCC B ，则动点F 的轨迹是( ) A ．线段 B ．圆弧C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分9．（5分）已知函数22log ,1()1,1x x f x x x >⎧=⎨-⎩„，则()(1)f x f x <+的解集为( )A ．(1,)-+∞B ．(1,1)-C ．1(,)2-+∞D ．1(,1)2-10．（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 6b C c B +=，3c =，2B C =，则cos C 的值为( )A 3B 3C 3D 3 11．（5分）若关于x 的不等式22(22)1lnx ax a x +-+„恒成立，则a 的最小整数值是( ) A ．0B ．1C ．2D ．312．（5分）过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右焦点2F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P ，与双曲线交于点A ，若223F P F A =u u u u r u u u u r，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．2y x =±B ．y x =±C ．12y x =±D ．25y x =±二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
(含答案解析)2023广州高三二模-数学
2023年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学本试卷共5页，22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1若a 为实数，且7+ai3+i=2-i ，则a =()A.2B.1C.-1D.-22已知集合A =x ∣x =3n -2,n ∈N * ，B ={6,7,10,11}，则集合A ∩B 的元素个数为()A.1B.2C.3D.43已知两个非零向量a ，b 满足a =3b ，a +b ⊥b ，则cos ⟨a ，b ⟩=()A.12B.-12C.13D.-134已知a =323，b =234，c =413，则()A.c <a <bB.b <c <aC.b <a <cD.c <b <a5木升在古代多用来盛装稂食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升．某同学制作了一个高为40 cm 的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50 cm 的球O 的球面上，且一个底面的中心与球O 的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为()A.223 B.23C.255D.256已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，过点-a ,0 且方向向量为n =1,-1 的光线，经直线y =-b 反射后过C 的右焦点，则C 的离心率为()A.35B.23C.34D.457已知函数f x =sin 2x +φ ，若f x ≤f π3恒成立，且f π >f π4 ，则f x 的单调递增区间为()A.k π+π6,k π+2π3 k ∈ZB.k π-π6,k π+π3k ∈Z C.k π-π3,k π+π6k ∈Z D.k π-2π3,k π-π6k ∈Z 8已知偶函数f x 与其导函数f x 的定义域均为R ，且f x +e -x +x 也是偶函数，若f 2a -1 <f a +1 ，则实数a 的取值范围是()A.-∞,2B.0,2C.2,+∞D.-∞,0 ∪2,+∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床．加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是()A.该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08B.该零件是次品的概率为0.03C.如果该零件是第3台轪床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98D.如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为1310已知函数f x =1-4xx 2+4的定义域是a ,b a ,b ∈Z ，值域为0,1 ，则满足条件的整数对a ,b 可以是()A.-2,0B.-1,1C.0,2D.-1,211已知双曲线Γ:x 2-y 2=a 2a >0 的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与双曲线Γ的右支交于点B ，C ，与双曲线Γ的渐近线交于点A ，D (A ，B 在第一象限，C ，D 在第四象限)，O 为坐标原点，则下列结论正确的是()A.若BC ⊥x 轴，则△BCF 1的周长为6aB.若直线OB 交双曲线Γ的左支于点E ，则BC ⎳EF 1C.△AOD 面积的最小值为4a 2D.AB +BF 1 的取值范围为3a ,+∞12已知正四面体A -BCD 的棱长为2，点M ，N 分别为△ABC 和△ABD 的重心，P 为线段CN 上一点，则下列结论正确的是()A.若AP +BP 取得最小值，则CP =PNB.若CP =3PN ，则DP ⊥平面ABCC.若DP ⊥平面ABC ，则三棱雉P -ABC 外接球的表面积为27π2D.直线MN 到平面ACD 的距离为269三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13某班有48名学生，一次考试的数学成绩X (单位：分)服从正态分布N 80,σ2 ，且成绩在80,90 上的学生人数为16，则成缋在90分以上的学生人数为。
广东广州届高三年级第二次模拟考试数学(文)试题Word版含答案
广东广州市届高三第二次模拟考试数学（文）试题Word版含答案）年广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学）.4本试卷共6页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={x∈N|0<x<6} , B={2, 4, 6, 8} ,则 A∩B=A.{0,1,3,5}B.{0,2,4,6}C. {1,3,5}D.{2,4,6}2．已知复数z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是A ． B. C ． D.3．某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2：3：4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n=A. 96B. 72C. 48D. 364．执行如图所示的程序框图，则输出z的值是1 / 1。
2023年广东省广州市天河区高考数学二模试卷【答案版】
2023年广东省广州市天河区高考数学二模试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |e x ＜1，x ∈R }，B ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0，x ∈R }，则A ∪B ＝（ ） A ．（﹣∞，1）B ．（﹣∞，2）C ．（﹣2，0）D ．（﹣1，2）2．已知非零向量a →=（x 1，y 1），b →=（x 2，y 2），则“x 1y 1=x 2y 2”是“a →∥b →”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若（x ﹣a ）（1﹣3x ）3的展开式的各项系数和为8，则a ＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣24．已知随机变量X 的分布列如下：若E(X)=53，则m ＝（ ） A ．16B ．13C ．23D ．565．已知函数f(x)=sin(ωx −π3)(ω＞0)的图象关于点(π6，0)对称，且f （x ）在(0，5π48)上单调，则ω的取值集合为（ ） A ．{2}B ．{8}C ．{2，8}D ．{2，8，14}6．若函数f （x ）＝x cos x 在区间[lna ，ln 1a ]上的最小值为m ，最大值为M ，则下列结论正确的为（ ） A ．m +M ＝0 B ．mM ＝0C ．mM ＝1D ．m +M ＝17．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点与抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C ，D 两点，若|CD |=√2|AB |，则双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．38．已知函数f （x ）＝x 3﹣3x +b ，且f （x ）+f （﹣x ）＝4恒成立，若h （x ）={f(x)x ≤a 2−6x x ＞a，恰好有1个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣2）B ．[13，1]C ．（﹣∞，﹣2）∪[13，1）D ．[﹣2，13）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设复数z1＝2﹣i，z2＝2i（i为虚数单位），则下列结论正确的为（）A．z2是纯虚数B．z1﹣z2对应的点位于第二象限C．|z1+z2|＝3D．z1=2+i10．下列等式能够成立的为（）A．sin15°cos15°=12B．sin75°cos15°+cos75°sin15°＝1C．cos105°cos75°﹣sin105°cos15°＝﹣1D．√3sin15°+cos15°=111．已知圆M：x2+y2+6x+8y＝0，则（）A．圆M关于直线x﹣y+1＝0对称B．圆M被直线x﹣y+3＝0截得的弦长为2√17C．圆M关于直线x﹣y+1＝0对称的圆为x2+y2+10x+4y+4＝0D．若点P（a，b）在圆M上，则√(a−3)2+(b−4)2的最小值为512．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，若点M在线段BC1上运动，则下列结论正确的为（）A．直线A1M可能与平面ACD1相交B．三棱锥A﹣MCD与三棱锥D1﹣MCD的体积之和为定值C．当CM⊥MD1时，CM与平面ACD1所成角最大D．当△AMC的周长最小时，三棱锥M﹣CB1D1的外接球表面积为16π三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数f（x）＝2xe x的图象在x＝0处的切线方程为．14．现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛后合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有种．（用数字作答）15．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC 上，且BE →=λBC →，DF →=19λDC →，当λ＝ 时，则AE →⋅AF →有最小值为 ．16．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法为：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，将图①，图②，图③，图④中的图形周长依次记为C 1，C 2，C 3，C 4，则C 1C 5C 2= ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n ﹣2（n ∈N *）． （1）求{a n }的通项公式； （2）设b n =1log 2a n ⋅log 2a n+1，记{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n ＜1．18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且bsin B+C2=asinB ． （1）求角A 的大小；（2）若角A 的平分线交BC 于D 且AD ＝2，求a 的最小值．19．（12分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面P AD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是菱形，E 是PD 的中点，P A ＝PD ，AB ＝2，∠ABC ＝60°． （1）证明：PB ∥平面EAC ． （2）若四棱锥P ﹣ABCD 的体积为4√63，求直线EC 与平面P AB 所成角的正弦值．20．（12分）某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐的收费标准互不相同得到的统计数据如表，x 为收费标准（单位：元/日），t 为入住天数（单位：天），以频率作为各自的“入住率”，收费标准x 与“入住率”y 的散点图如图（1）若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记ξ为“住率超过0.6的农家乐的个数，求ξ的概率分布列（2）z＝lnx，由散点图判断y=b x+a a与y=b z+a哪个更合适于此模型（给出判断即可不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程（a，b的结果精确到0.1）（3）根据第（2）问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L最大？（100天销售额L＝100×入住率收费标准x）b=∑ni=1x i y i−nx⋅y∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x x，x=240，∑5i=1x i2=365000，∑5i=1x x i y i＝457，z≈5.35，z2≈28.57，∑5i=1z i2≈144.24，∑5i=1z i y i≈12.72，e5≈150，e5.4≈220．21．（12分）已知直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，且与x轴交于点M（a，0）（a＞0），过点A，B分别作直线l1：x＝﹣a的垂线，垂足依次为A1，B1，动点N在l1上．（1）当a＝1，且N为线段A1B1的中点时，证明：AN⊥BN；（2）记直线NA，NB，NM的斜率分别为k1，k2，k3，是否存在实数λ，使得k1+k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知定义在（0，+∞）上的函数f(x)=√x⋅e ax．（1）若a∈R，讨论f（x）的单调性；（2）若a＞0，且当x∈（0，+∞）时，不等式(e axx)2a≥lnxax恒成立，求实数a的取值范围．2023年广东省广州市天河区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |e x ＜1，x ∈R }，B ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0，x ∈R }，则A ∪B ＝（ ） A ．（﹣∞，1）B ．（﹣∞，2）C ．（﹣2，0）D ．（﹣1，2）解：A ＝{x |e x ＜1，x ∈R }＝{x |x ＜0}，B ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0，x ∈R }＝{x |﹣1＜x ＜2}，则A ∪B ＝（﹣∞，2）． 故选：B ．2．已知非零向量a →=（x 1，y 1），b →=（x 2，y 2），则“x 1y 1=x 2y 2”是“a →∥b →”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：非零向量a →=（x 1，y 1），b →=（x 2，y 2），则“x 1y 1=x 2y 2”⇒“a →∥b →”，“a →∥b →”⇒“x 1y 1=x 2y 2”或y 1，y 2中存在0，但是b →=λa →，λ≠0，∴“x 1y 1=x 2y 2”是“a →∥b →”的充分不必要条件．故选：A ．3．若（x ﹣a ）（1﹣3x ）3的展开式的各项系数和为8，则a ＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣2解：（x ﹣a ）（1﹣3x ）3的展开式的各项系数和为8， 则令x ＝1得（1﹣a ）（1﹣3）3＝8，解得a ＝2． 故选：C ．4．已知随机变量X 的分布列如下：若E(X)=53，则m ＝（ ） A ．16B ．13C ．23D ．56解：根据题意可得{m +2n =53m +n =1，解得m =13，故选：B ．5．已知函数f(x)=sin(ωx −π)(ω＞0)的图象关于点(π，0)对称，且f （x ）在(0，5π)上单调，则ω的取值集合为（ ） A ．{2}B ．{8}C ．{2，8}D ．{2，8，14}解：f （x ）关于点(π6，0)对称，所以sin(π6ω−π3)=0， 所以π6ω−π3=kπ，ω=6k +2，k ∈Z ①；0＜x ＜5π48，−π3＜ωx −π3＜5π48ω−π3，而f （x ）在(0，5π48)上单调，所以5π48ω−π3≤π2，0＜ω≤8②； 由①②得ω的取值集合为{2，8}． 故选：C ．6．若函数f （x ）＝x cos x 在区间[lna ，ln 1a]上的最小值为m ，最大值为M ，则下列结论正确的为（ ） A ．m +M ＝0B ．mM ＝0C ．mM ＝1D ．m +M ＝1解：由题意得：﹣lna ＞0，故a ∈（0，1），因为[lna ，ln 1a]关于原点对称，且f （﹣x ）＝﹣x cos （﹣x ）＝﹣x cos x ＝﹣f （x ）， 故f （x ）＝x cos x 为奇函数， 则m +M ＝0，A 正确，D 错误；故m ，M 一定异号，所以mM ＜0，BC 错误． 故选：A ． 7．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点与抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C ，D 两点，若|CD |=√2|AB |，则双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．3解由题意可得抛物线的准线方程为x =−p2， 由题意可得：p2=c ，渐近线的方程为：y =±bax ，可得A （﹣c ，b 2a），B （﹣c ，−b2a ），C （﹣c ，bca），D （﹣c ，−bca ）， 所以|AB |=2b 2a ，|CD |=2bca，由|CD |=√2|AB |， 解得：c =√2b ，即a ＝b ， 所以双曲线的离心率e =ca =√2． 故选：A ．8．已知函数f （x ）＝x 3﹣3x +b ，且f （x ）+f （﹣x ）＝4恒成立，若h （x ）={f(x)x ≤a 2−6x x ＞a，恰好有1个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣2）B ．[13，1]C ．（﹣∞，﹣2）∪[13，1）D ．[﹣2，13）解：因为f （x ）+f （﹣x ）＝4恒成立，所以f （x ）＝x 3﹣3x +b 的图象关于点（0，2）对称， 所以b ＝2，且函数f （x ）＝x 3﹣3x +2的零点为﹣2和1，y ＝2﹣6x 的零点为13，在同一坐标系内分别画出函数f （x ）＝x 3﹣3x +2与y ＝2﹣6x 的图象，当且仅当a ＜﹣2或13⩽a ＜1时，函数ℎ(x)={f(x)，x ⩽a 2−6x ，x ＞a恰好有1个零点，因此实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[13，1)． 故选：C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．设复数z 1＝2﹣i ，z 2＝2i （i 为虚数单位），则下列结论正确的为（ ） A ．z 2是纯虚数 B ．z 1﹣z 2对应的点位于第二象限 C ．|z 1+z 2|＝3D ．z 1=2+i解：对于A ，z 2＝2i ，其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，A 正确；对于B ，z 1﹣z 2＝2﹣3i ，其在复平面上对应的点为（2，﹣3），在第四象限，B 错误； 对于C ，z 1+z 2＝2+i ，则|z 1+z 2|=√4+1=√5，C 错误； 对于D ，z 1＝2﹣i ，则z 1=2+i ，D 正确． 故选：AD ．10．下列等式能够成立的为（ ） A ．sin15°cos15°=12B ．sin75°cos15°+cos75°sin15°＝1C ．cos105°cos75°﹣sin105°cos15°＝﹣1D ．√3sin15°+cos15°=1解：对于A ：sin15°cos15°=12sin30°=14，A 错误；对于B ：sin75°cos15°+cos75°sin15°＝sin （75°+15°）＝sin90°＝1，B 正确；对于C ：cos105°cos75°﹣sin105°cos15°＝cos （105°+75°）＝cos180°＝﹣1，C 正确； 对于D ：√3sin15°+cos15°=2sin(15°+30°)=2sin45°=√2，D 错误． 故选：BC ．11．已知圆M ：x 2+y 2+6x +8y ＝0，则（ ） A ．圆M 关于直线x ﹣y +1＝0对称B ．圆M 被直线x ﹣y +3＝0截得的弦长为2√17C ．圆M 关于直线x ﹣y +1＝0对称的圆为x 2+y 2+10x +4y +4＝0D ．若点P （a ，b ）在圆M 上，则√(a −3)2+(b −4)2的最小值为5 解：∵圆M 的一般方程为x 2+y 2+6x +8y ＝0， ∴（x +3）2+（y +4）2＝52，故圆心M （﹣3，﹣4），半径为r ＝5，故﹣3﹣（﹣4）+1≠0，则直线x ﹣y +1＝0不过圆心M ，故A 错误； 点M 到直线x ﹣y +3＝0的距离d =|−3−(−4)+3|√1+(−1)2=2√2，则圆M 被直线x ﹣y +3＝0截得的弦长为2√r 2−d 2=2√25−8=2√17，故B 正确； 设圆M 关于直线x ﹣y +1＝0对称的圆的圆心为N （x ，y ），则{y+4x+3=−1x−32−y−42+1=0，解得{x =−5y =−2，即N （﹣5，﹣2），故圆M 关于直线x ﹣y +1＝0对称的圆的方程为（x +5）2+（y +2）2＝25，即x 2+y 2+10x +4y +4＝0，故C 正确；√(a −3)2+(b −4)2表示P （a ，b ）与点A （3，4）的距离， 又∵|MA|=√(−3−3)2+(−4−4)2=10，∴√(a −3)2+(b −4)2的最小值是10﹣r ＝5，故D 正确． 故选：BCD ．12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，若点M 在线段BC 1上运动，则下列结论正确的为（ ）A．直线A1M可能与平面ACD1相交B．三棱锥A﹣MCD与三棱锥D1﹣MCD的体积之和为定值C．当CM⊥MD1时，CM与平面ACD1所成角最大D．当△AMC的周长最小时，三棱锥M﹣CB1D1的外接球表面积为16π解：对于A，如图，A1C1∥AC，且A1C1⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，所以A1C1∥平面ACD1，同理BC1∥平面ACD1，且A1C1⊂平面A1BC1，BC1⊂平面A1BC1，且A1C1∩BC1＝C1，所以平面A1BC1∥平面ACD1，且A1M⊂平面A1BC1，所以A1M∥平面ACD1，故A错误；对于B，如图，过点M作ME⊥BC于点E，MF⊥CC1于点F，根据面面垂直的性质定理可知，ME⊥平面ACD，MF⊥平面DCD1，ME+MF＝BE+EC＝BC＝2，V A−MCD+V D1−MCD =V M−ACD+V M−DCD1=13×S△ACD×ME+13×S△D1CD×MF=13×S△ACD×(ME+MF)=13×12×2×2×2=43，故B正确；对于C，因为D1C1⊥平面BCC1，MC⊂平面BCC1，所以D1C1⊥MC，且MD 1⊥MC ，且D 1C 1∩D 1M ＝D 1，D 1C 1⊂平面D 1C 1M ，D 1M ⊂平面D 1C 1M ， 所以MC ⊥平面D 1C 1M ，且MC 1⊂平面D 1C 1M ，所以CM ⊥MC 1，即CM ⊥BC 1，点M 是BC 1的中点，此时线段MC 最短， 又因为BC 1∥AD 1，且BC 1⊄平面ACD 1，AD 1⊂平面ACD 1，所以BC 1∥平面ACD 1，即BC 1上任何一个点到平面ACD 1的距离相等，设为h ， 设CM 与平面ACD 1所成角为θ，θ∈(0，π2)，sinθ=ℎMC ，当CM ⊥MD 1时，线段MC 最短，所以此时sin θ最大，所以θ最大，故C 正确；对于D ，△AMC 的周长为AM +MC +AC ，AC 为定值，即AM +MC 最小时，△AMC 的周长最小， 如图，将平面BCC 1展成与平面ABC 1D 1同一平面，当点A ，M ，C 共线时，此时AM +MC 最小， 作CN ⊥AB ，垂足为N ，BM CN=AB AN⇒√2=2+√2，解得BM =2√2−2，如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，C （0，2，0），M(√2，2，2−√2)， 连结AC 1，因为AB ⊥平面BCC 1，B 1C ⊂平面BCC 1，所以AB ⊥B 1C ，又因为B 1C ⊥BC 1，且AB ∩BC 1＝B ，AB ⊂平面ABC 1，BC 1⊂平面ABC 1， 所以B 1C ⊥平面ABC 1，AC 1⊂平面ABC 1，所以B 1C ⊥AC 1， 同理B 1D 1⊥AC 1，且B 1C ∩B 1D 1＝B 1，所以AC 1⊥平面CB 1D 1，且三棱锥C 1﹣CB 1D 1是正三棱锥，所以AC 1经过△CB 1D 1的中心． 所以三棱锥M ﹣CB 1D 1外接球的球心在AC 1上，设球心O （a ，2﹣a ，2﹣a ），则OC ＝OM ， 即a 2+(2−a −2)2+(2−a)2=(a −√2)2+(2−a −2)2+(2−a −2+√2)2， 解得：a ＝0，R 2＝OC 2＝4，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝16π，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数f （x ）＝2xe x 的图象在x ＝0处的切线方程为 y ＝2x ．解：函数f （x ）＝2xe x ，求导得：f '（x ）＝2（x +1）e x ，则f '（0）＝2，而f （0）＝0， 所以函数f （x ）＝2xe x 的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝2x ． 故答案为：y ＝2x ．14．现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛后合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有 144 种．（用数字作答） 解：根据题意，分2步进行分析：①将甲乙看成一个整体，与甲、乙、丙、丁之外的两人全排列，有A 22A 33=12种情况，②排好后，有4个空位，在其中任选2个，安排丙、丁，有A 42=12种情况， 则有12×12＝144种排法， 故答案为：144．15．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝2，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →=λBC →，DF →=19λDC →，当λ＝ 23 时，则AE →⋅AF →有最小值为 589．解：在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝2，∠ABC ＝60°， 则AB →⋅AD →=4×2×12=4，又BE →=λBC →，DF →=19λDC →，则AE →=AB →+BE →=AB →+λBC →=AB →+λ(AC →−AB →)=（1−λ2）AB →+λAD →，AF →=AD →+DF →=118λAB →+AD →， 则AE →⋅AF →=(1−λ2)×118λ×16+4λ+4（118+1−λ2）=2λ+89λ+349， 又2λ+89λ+349≥2√2λ×89λ+349=589，当且仅当2λ=89λ，即λ=23时取等号， 即当λ=23时，则AE →⋅AF →有最小值为589，故答案为：23；589．16．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法为：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，将图①，图②，图③，图④中的图形周长依次记为C 1，C 2，C 3，C 4，则C 1C 5C 2=649．解：观察图形知，各个图形的周长依次排成一列构成数列{∁n }，从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍，边长是相邻前一个图形的13，因此从第二个图形开始，每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的43，即有C n+1=43C n ，因此数列{∁n }是首项C 1＝3，公比为43的等比数列，所以C n =3⋅(43)n−1，C 2=4，C 5=3⋅(43)4=25627， 所以C 1C 5C 2=3×256274=649．故答案为：649．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n ﹣2（n ∈N *）． （1）求{a n }的通项公式；（2）设b n =1log 2a n ⋅log 2a n+1，记{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n ＜1．解：（1）∵S n ＝2a n ﹣2（n ∈N *）①，∴当n ≥2时，S n ﹣1＝2a n ﹣1﹣2②， ①﹣②得a n ＝2a n ﹣2a n ﹣1，即a n ＝2a n ﹣1， 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1﹣2，解得a 1＝2，∴数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n =2n ； （2）证明：由（1）得b n =1log 22n⋅log 22n+1=1n(n+1)=1n −1n+1， ∴T n =1−12+12−13+⋯+1n −1n+1=1−1n+1， 因为1n+1＞0，∴T n ＜1．18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且bsin B+C2=asinB ． （1）求角A 的大小；（2）若角A 的平分线交BC 于D 且AD ＝2，求a 的最小值． 解：（1）bsinB+C 2=asinB ，即bsin π−A 2=asinB ，即bcos A2=asinB ， 由正弦定理得sinB ⋅cos A2=sinA ⋅sinB ， B ∈（0，π），sin B ≠0， 故cosA 2=sinA =2sin A 2cos A2， A 2∈(0，π2)，cos A2≠0， 故sin A2=12， 又0＜A 2＜π2， 故A 2=π6，故A =π3； （2）S △ABD S △ACD=12AB⋅ADcsin∠BAD 12AC⋅ADcsin∠CAD =AB AC=BD DC，设cb=x ，AB AC=BD DC=x ，根据向量的平行四边形法则：AD →=11+x AB →+x 1+x AC →，即4=(11+x )2c 2+(x 1+x )2b 2+2x(1+x)2cb ⋅cos π3=3x 2b 2(1+x)2，b 2=4(1+x)23x 2，又a 2＝b 2+c 2﹣bc ＝b 2（1﹣x +x 2），故a 2=4(1+x)23x 2(1−x +x 2)=43(x 2+1x 2+x +1x )≥43(2+2)=163，当且仅当x ＝1时等号成立， 故a 的最小值为4√33． 19．（12分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面P AD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是菱形，E 是PD 的中点，P A ＝PD ，AB ＝2，∠ABC ＝60°． （1）证明：PB ∥平面EAC ． （2）若四棱锥P ﹣ABCD 的体积为4√63，求直线EC 与平面P AB 所成角的正弦值．解：（1）连接BD 交AC 于F ，连接EF ，因为四边形ABCD 是菱形，所以F 是BD 的中点， 又E 是PD 的中点，所以EF ∥PB ， 因为EF ⊂平面EAC ，PB ⊄平面EAC ， 所以PB ∥平面EAC ．（2）取AD 的中点O ，连接PO ，则PO ⊥AD ，因为平面P AD ⊥平面ABCD 且交线为AD ，PO ⊂平面P AD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．设PD ＝a ，则V P−ABCD =13×√34×22×2×√a 2−1=4√63，解得a ＝3． 因为底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，所以OC ⊥AD ，且OC =√3．以O 为坐标原点，以OC ，OD ，OP 所在直线分别为x 轴，轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A(0，−1，0)，B(√3，−2，0)，C(√3，0，0)，P(0，0，2√2)，D(0，1，0)，E(0，12，√2)，CE →=(−√3，12，√2)，AP →=(0，1，2√2)，AB →=(√3，−1，0)，设平面的法向量为n →=(x ，y ，z)， 则{n →⋅AP →=y +2√2z =0n →⋅AB →=√3x −y =0， 故可设n →=(4，4√3，−√6)， 则|cos〈CE →，n →〉|=|CE →⋅n→|CE →|⋅|n →||=4√1035， 所以直线EC 与平面P AB 所成角的正弦值为4√1035．20．（12分）某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐的收费标准互不相同得到的统计数据如表，x 为收费标准（单位：元/日），t 为入住天数（单位：天），以频率作为各自的“入住率”，收费标准x 与“入住率”y 的散点图如图（1）若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记ξ为“住率超过0.6的农家乐的个数，求ξ的概率分布列（2）z ＝lnx ，由散点图判断y =b x +a a 与y =b z +a 哪个更合适于此模型（给出判断即可不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程（a ，b 的结果精确到0.1）（3）根据第（2）问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L 最大？（100天销售额L ＝100×入住率收费标准x ）b=∑ni=1x i y i−nx⋅y∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x x，x=240，∑5i=1x i2=365000，∑5i=1x x i y i＝457，z≈5.35，z2≈28.57，∑5i=1z i2≈144.24，∑5i=1z i y i≈12.72，e5≈150，e5.4≈220．解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2则P（ξ＝0）=C32C52=310，P(ξ=1)=C21⋅C31C32=610=35，P(ξ=2)=C22C52=110∴ξ的分布列是（2）由散点图可知y=b z+a更适合于此模型依题意，y=15(0.9+0.65+0.45+0.3+0.2)=0.5则b=∑5i=5z i y i−5z⋅y∑5i=5z i2−5z2=12.72−5×5.35×0.5144.24−5×28.57≈−0.47≈﹣0.5，a=y−b⋅z=0.5+0.47×5.35≈3.0，∴所求的回归方程为y=y−b⋅x=−0.5lnx+3.0．（3）依题意，L（x）＝100（﹣0.5lnx+3.0）x＝﹣50xlnx+300x，则L′（x）＝﹣50lnx+250由L′（x）＞0．得lnx＜5，x＜e5，由L′（x）＜0，得lnx＞5，x＞e5∴L（x）在（0，e5）上递增：在（e5，+∞）上递减当x＝e5≈150时，L（x）取到最大值∴当收费标准约为150（元/日）时，100天销售额L最大．21．（12分）已知直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，且与x轴交于点M（a，0）（a＞0），过点A，B分别作直线l1：x＝﹣a的垂线，垂足依次为A1，B1，动点N在l1上．（1）当a＝1，且N为线段A1B1的中点时，证明：AN⊥BN；（2）记直线NA，NB，NM的斜率分别为k1，k2，k3，是否存在实数λ，使得k1+k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．（1）证明：如图所示：当a ＝1时，M （1，0）恰为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点． 由抛物线的定义可得：|AM |＝|AA 1|，|BM |＝|BB 1|．取AB 的中点D ，连接DN ，则DN 为梯形ABB 1A 1的中位线，所以|DN|=12(|AA 1|+|BB 1|)． 因为D 为AB 的中点，所以|DA|=|DB|=12(|AA 1|+|BB 1|)，所以|DA |＝|DN |． 在△ADN 中，由|DA |＝|DN |可得：∠AND ＝∠NAD ．因为DN 为梯形ABB 1A 1的中位线，所以DN ∥AA 1，所以∠AND ＝∠A 1AN ， 所以∠NAD ＝∠A 1AN ， 同理可证：∠NBD ＝∠B 1BN ．在梯形ABB 1A 1中，∠A 1AB +∠B 1BA ＝180°，所以∠A 1AN +∠NAD +∠DBN +∠NBB 1＝180°，所以∠NAD +∠DBN =12×180°=90°， 所以∠ANB ＝90°，即AN ⊥BN ．（2）解：假设存在实数λ，使得k 1+k 2＝λk 3．由直线l 与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，可设l ：x ＝my +a ． 由题意设N （﹣a ，b ），b ≠0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则{y 2=4x x =my +a ，消去x 可得：y 2﹣4my ﹣4a ＝0， 所以y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4a ． k 1+k 2=y 1−b x 1+a +y 2−bx 2+a =(y 1−b)(my 2+2a)+(y 2−b)(my 1+2a)(my 1+2a)(my 2+2a)=2my 1y 2+(2a−b)(y 1+y 2)−4abm 2y 1y 2+2am(y 1+y 2)+4a 2=−8ma+8ma−4mb−4ab −4a 2m+8am 2+4a 2=−b(m+a)a(m 2+a)，因为k 1+k 2＝λk 3＝λ•b−2a，b ≠0，所以λ=2(m+a) m2+a，当m＝0时，则λ＝2，所以存在实数λ＝2，使得k1+k2＝λk3．22．（12分）已知定义在（0，+∞）上的函数f(x)=√x⋅e ax．（1）若a∈R，讨论f（x）的单调性；（2）若a＞0，且当x∈（0，+∞）时，不等式(e axx)2a≥lnxax恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）函数f(x)=√x⋅e ax，x＞0，求导得：f′(x)=12√xe ax+a√x⋅e ax=2ax+12√xe ax，当a≥0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＜0时，由f'（x）＞0得0＜x＜−12a，由f'（x）＜0得x＞−12a，则f（x）在(0，−12a)上递增，在(−12a，+∞)上递减，所以当a≥0时，函数f（x）的递增区间是（0，+∞）；当a＜0时，函数f（x）的递增区间是(0，−12a)，递减区间是(−12a，+∞)．（2）因为a＞0，且当x∈（0，+∞）时，不等式(e axx)2a≥lnxax恒成立，当0＜x≤1时，∀a＞0，(e axx)2a＞0≥lnxax恒成立，因此a＞0，当x＞1时，(e axx)2a≥lnxax⇔2alne ax−2alnx≥ln(lnx)−ln(ax)⇔2alne ax+ln（lne ax）≥2alnx+ln（lnx），令g（x）＝2ax+lnx，原不等式等价于g（lne ax）≥g（lnx）恒成立，而g′(x)=2a+1x＞0，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，因此∀x＞1，lne ax≥lnx，即∀x＞1，ax≥lnx⇔a≥lnxx，令ℎ(x)=lnxx，x＞1，ℎ′(x)=1−lnxx2，当1＜x＜e时，h'（x）＞0，当x＞e时，h'（x）＜0，函数h（x）在（1，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，ℎ(x)max=ℎ(e)=1e ，因此a≥1e，综上得a≥1 e ，所以实数a的取值范围是[1e，+∞)．。
广东省广州市高考数学二模试卷(文科)Word版含解析
广东省广州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，0，1，2，3，4，5}，B={b|b=n2﹣1，n∈Z}，则A∩B=（）A．{﹣1，3}B．{0，3}C．{﹣1，0，3}D．{﹣1，0，3，5}2．若复数z满足（3﹣4i+z）i=2+i，则z=（）A．4+6i B．4+2i C．﹣4﹣2i D．﹣2+2i．3．已知命题p：∀x∈R，x2+ax+a2≥0（a∈R），命题q：，，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（¬p）∨q D．（¬p）∧（¬q）4．执行如图所示的程序图，则输出的S值为（）A．4 B．3 C．﹣2 D．﹣35．函数f（x）=ln（|x|﹣1）+x的大致图象是（）A．B．C．D．6．在区间[﹣1，5]上随机地取一个实数a，则方程x2﹣2ax+4a﹣3=0有两个正根的概率为（）A．B．C．D．7．已知三条直线2x﹣3y+1=0，4x+3y+5=0，mx﹣y﹣1=0不能构成三角形，则实数m的取值集合为（）A．{﹣， } B．{，﹣ } C．{﹣，， } D．{﹣，﹣， }8．已知两点A（﹣1，1），B（3，5），点C在曲线y=2x2上运动，则的最小值为（）A．2 B．C．﹣2 D．9．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为（）A．B．C．D．10．数列{a n}满足a2=2，a n+（﹣1）n+1a n=1+（﹣1）n（n∈N*），S n为数列{a n}+2前n项和，S100=（）A．5100 B．2550 C．2500 D．245011．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（）A．[，）B．[，）C．[，）D．[4π，6π）12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．16二、填空题已知双曲线（a＞0）的离心率为2，则a的值为．14．在各项都为正数的等比数列{a n}中，已知a1=2，，则数列{a n}的通项公式a n=．15．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷：“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二，问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目，3个3个数，剩2个，5个5个数，剩3个，7个7个数，剩2个，问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有个．16．已知函数，若f（3a﹣1）≥8f（a），则实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+bsinC=a．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若BC边上的高等于，求cosA的值．18．（12分）某中学为了解高中入学新生的身高情况，从高一年级学生中按分层抽样共抽取了50名学生的身高数据，分组统计后得到了这50名学生身高的频数分布表：（Ⅰ）在答题卡上作出这50名学生身高的频率分布直方图；（Ⅱ）估计这50名学生身高的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）现从身高在[175，185]这6名学生中随机抽取3名，求至少抽到1名女生的概率．19．（12分）如图，ABCD 是边长为a 的正方形，EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，．（Ⅰ）求证：EF ⊥AC ；（Ⅱ）求三棱锥E ﹣FAC 的体积．20．（12分）已知定点F （0，1），定直线l ：y=﹣1，动圆M 过点F ，且与直线l 相切．（Ⅰ）求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作曲线C 的切线l 1，l 2，两条切线相交于点P ，求△PAB 外接圆面积的最小值． 21．（12分）已知函数．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若函数g （x ）=f （x ）+4x 存在极小值点x 0，且，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中．已知直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0，曲线C的参数方程为（θ为参数），设直线l与曲线C交于A，B 两点．（1）求线段AB的长（2）已知点P在曲线C上运动．当△PAB的面积最大时，求点P的坐标及△PAB 的最大面积．[选修4-5：不等式选讲]23．（I）已知a+b+c=1，证明（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；（Ⅱ）若对任总实数x，不等式|x﹣a|+|2x﹣1|≥2恒成立，求实数a的取值范围．广东省广州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，0，1，2，3，4，5}，B={b|b=n2﹣1，n∈Z}，则A∩B=（）A．{﹣1，3}B．{0，3}C．{﹣1，0，3}D．{﹣1，0，3，5}【考点】1E：交集及其运算．【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={﹣1，0，1，2，3，4，5}，B={b|b=n2﹣1，n∈Z}={﹣1，0，3，8，15，…，}，∴A∩B={﹣1，0，3}．故选：C．【点评】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题．2．若复数z满足（3﹣4i+z）i=2+i，则z=（）A．4+6i B．4+2i C．﹣4﹣2i D．﹣2+2i．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：（3﹣4i+z）i=2+i，则3﹣4i+z===﹣2i+1．∴z=﹣2+2i．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知命题p：∀x∈R，x2+ax+a2≥0（a∈R），命题q：，，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（¬p）∨q D．（¬p）∧（¬q）【考点】2E：复合命题的真假．【分析】利用不等式的解法化简命题p，q，再利用复合命题的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：∵△=a2﹣4a2=﹣3a2≤0，因此∀x∈R，x2+ax+a2≥0（a∈R），是真命题．命题q：由2x2﹣1≤0，解得≤x，因此不存在x0∈N*，使得，是假命题．则下列命题中为真命题的是p∨q．故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．执行如图所示的程序图，则输出的S值为（）A．4 B．3 C．﹣2 D．﹣3【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：s=0，i=2，s=2，i=3，s=﹣1．i=4，s=3，i=5，s=﹣2，i=6，s=4，i=7＞6，结束循环，输出s=4，故选：A．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．5．函数f（x）=ln（|x|﹣1）+x的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】化简f（x），利用导数判断f（x）的单调性即可得出正确答案．【解答】解：f（x）的定义域为{x|x＜﹣1或x＞1}．f（x）=，∴f′（x）=，∴当x＞1时，f′（x）＞0，当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．故选A．【点评】本题考查了函数图象的判断，函数单调性的判断，属于中档题．6．在区间[﹣1，5]上随机地取一个实数a，则方程x2﹣2ax+4a﹣3=0有两个正根的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】根据根与系数之间的关系，求出a的取值范围，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：若方程x2﹣2ax+4a﹣3=0有两个正根，则满足，即，得＜a≤1或a≥3，∵﹣1≤a≤5则对应的概率P=+=+=，故选：C【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据根与系数之间的关系求出a 的取值范围是解决本题的关键．7．已知三条直线2x﹣3y+1=0，4x+3y+5=0，mx﹣y﹣1=0不能构成三角形，则实数m的取值集合为（）A．{﹣， } B．{，﹣ } C．{﹣，， } D．{﹣，﹣， }【考点】IG：直线的一般式方程．【分析】三条直线若两两相交围成一个三角形，则斜率必不相同；否则，只要有两条直线平行，或三点共线时不能构成三角形．【解答】解：∵三条直线不能围成一个三角形，∴（1）l1∥l3，此时m=；l2∥l3，此时m=﹣；（2）三点共线时也不能围成一个三角形2x﹣3y+1=0与4x+3y+5=0交点是（﹣1，﹣）代入mx﹣y﹣1=0，则m=．故选：C．【点评】本题考查两直线平行的条件，当斜率相等且截距不相等时两直线平行．属于基础题．8．已知两点A（﹣1，1），B（3，5），点C在曲线y=2x2上运动，则的最小值为（）A．2 B．C．﹣2 D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】设C（x，2x2），得出关于x的函数，根据函数性质求出最小值．【解答】解：设C（x，2x2），则=（4，4），=（x+1，2x2﹣1），∴=4（x+1）+4（2x2﹣1）=8x2+4x=8（x+）2﹣．∴当x=﹣时取得最小值﹣．故选D．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，函数最值得计算，属于中档题．9．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为（）A．B．C．D．【考点】LA ：平行投影及平行投影作图法．【分析】由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，取AA 1的中点N ，可知截面为等腰梯形，利用题中数据可求．【解答】解：取AA 1的中点N ，连接MN ，NB ，MC 1，BC 1，由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，且MN=BC 1=，MC 1=BN ，=，∴梯形的高为，∴梯形的面积为（）×=，故选C ．【点评】本题的考点是棱柱的结构特征，主要考查几何体的截面问题，关键利用正方体图形特征，从而确定截面为梯形．10．数列{a n }满足a 2=2，a n +2+（﹣1）n +1a n =1+（﹣1）n （n ∈N *），S n 为数列{a n }前n 项和，S 100=（ ） A ．5100B ．2550C ．2500D ．2450【考点】8H ：数列递推式．【分析】数列{a n }满足a 2=2，a n +2+（﹣1）n +1a n =1+（﹣1）n （n ∈N *），n=2k （k ∈N *）时，a 2k +2﹣a 2k =2，因此数列{a 2k }为等差数列，首项为2，公差为2．n=2k ﹣1（k ∈N *）时，a 2k +1+a 2k ﹣1=0．通过分组求和，利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：数列{a n }满足a 2=2，a n +2+（﹣1）n +1a n =1+（﹣1）n （n ∈N *），n=2k （k ∈N *）时，a 2k +2﹣a 2k =2，因此数列{a 2k }为等差数列，首项为2，公差为2．n=2k ﹣1（k ∈N *）时，a 2k +1+a 2k ﹣1=0．∴S 100=（a 1+a 3+…+a 97+a 99）+（a 2+a 4+…+a 100）=0+2×50+=2550．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、分类讨论方法、分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（）A．[，）B．[，）C．[，）D．[4π，6π）【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】根据区间[0，1]上，求出ωx+的范围，由于在区间[0，1]上恰有3个最高点，建立不等式关系，求解即可．【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），∵x∈[0，1]上，∴ωx+∈[，]，图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，∴+，解得：．故选C．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．16【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知三棱锥倒立放置，从而得出棱锥的高，根据俯视图找出三棱锥的底面，得出底面积，从而可求出棱锥的体积．【解答】解：由主视图和侧视图可知三棱锥倒立放置，棱锥的底面水平放置，故三棱锥的高为h=4，∵主视图为直角三角形，∴棱锥的一个侧面与底面垂直，=4，结合俯视图可知三棱锥的底面为俯视图中的左上三角形，∴S底=∴V==．故选：B．【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算，根据三视图的特征找出棱锥的底面是关键，属于中档题．二、填空题（2017•广州二模）已知双曲线（a＞0）的离心率为2，则a的值为．【考点】KB：双曲线的标准方程．【分析】求得双曲线的b2=2，由c=和e=，解关于a的方程，即可得到所求值．【解答】解：由双曲线（a＞0）得到b2=2，则c=，所以=2，解得a=．故答案是：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，注意运用离心率公式和基本量a，b，c 的关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．14．在各项都为正数的等比数列{a n}中，已知a1=2，，则数列{a n}的通项公式a n=．【考点】8H：数列递推式．【分析】设等比数列{a n}的公比为q＞0，由a1=2，，可得+=4，化简解出q，再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1=2，，∴+=4，化为：q4﹣4q2+4=0，解得q2=2，q＞0，解得q=．则数列{a n}的通项公式a n==．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷：“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二，问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目，3个3个数，剩2个，5个5个数，剩3个，7个7个数，剩2个，问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有23个．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案．【解答】解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233．最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105×2=23，或者105k+23（k为正整数）．∴这堆物品至少有23，故答案为：23．【点评】本题考查的是带余数的除法，简单的合情推理的应用，根据题意下求出15、21、70这三个数是解答此题的关键，属于中档题．16．已知函数，若f（3a﹣1）≥8f（a），则实数a的取值范围为．【考点】5B：分段函数的应用．【分析】根据条件判断函数f（x）的奇偶性和单调性即可．【解答】解：∵，∴f（﹣x）=f（x），即函数f（x）是偶函数，在[0，+∞）上为增函数，则不等式f（3a﹣1）≥8f（a），等价为f（|3a﹣1|）≥f（2|a|），∴|3a﹣1|≥2|a|，解得a∈．故答案为．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．综合考查函数的性质．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）（2017•广州二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+bsinC=a．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若BC边上的高等于，求cosA的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理求和三角形的三角的关系，以及两角和的正弦公式sinB=cosB，即可求出B，（Ⅱ）设BC边上的高线为AD，运勾股定理和余弦定理，即可求得cosB，再由正弦定理，即可求出【解答】解：（Ⅰ）因为bcosC+bsinC=a，由正弦定理得，sinBcosC+sinBsinC=sinA．因为A+B+C=π，所以sinBcosC+sinBsinC=sin（B+C）．即sinBcosC+sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC．因为sinC≠0，所以sinB=cosB．因为cosB≠0，所以tanB=1．因为B∈（0，π），所以．（Ⅱ）设BC边上的高线为AD，则．因为，则，．所以=，．由余弦定理得=．所以cosA=．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查两角和的正弦公式的运用，考查运算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•广州二模）某中学为了解高中入学新生的身高情况，从高一年级学生中按分层抽样共抽取了50名学生的身高数据，分组统计后得到了这50名学生身高的频数分布表：（Ⅰ）在答题卡上作出这50名学生身高的频率分布直方图；（Ⅱ）估计这50名学生身高的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）现从身高在[175，185]这6名学生中随机抽取3名，求至少抽到1名女生的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布表能作出这50名学生身高的频率分布直方图．（Ⅱ）由频率分布直方图能估计这50名学生的平均身高，并能估计这50名学生身高的方差．（Ⅲ）记身高在[175，185]的4名男生为a，b，c，d，2名女生为A，B．利用列举法能求出从这6名学生中随机抽取3名学生，至少抽到1名女生的概率．【解答】解：（Ⅰ）这50名学生身高的频率分布直方图如下图所示：（Ⅱ）由题意可估计这50名学生的平均身高为=164．所以估计这50名学生身高的方差为s2==80．所以估计这50名学生身高的方差为80．（Ⅲ）记身高在[175，185]的4名男生为a，b，c，d，2名女生为A，B．从这6名学生中随机抽取3名学生的情况有：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，A}，{a，b，B}，{a，c，A}，{a，c，B}，{a，d，A}，{a，d，B}，{b，c，A}，{b，c，B}，{b，d，A}，{b，d，B}，{c，d，A}，{c，d，B}，{a，A，B}，{b，A，B}，{c，A，B}，{d，A，B}共20个基本事件．其中至少抽到1名女生的情况有：{a，b，A}，{a，b，B}，{a，c，A}，{a，c，B}，{a，d，A}，{a，d，B}，{b，c，A}，{b，c，B}，{b，d，A}，{b，d，B}，{c，d，A}，{c，d，B}，{a，A，B}，{b，A，B}，{c，A，B}，{d，A，B}共16个基本事件．所以至少抽到1名女生的概率为．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．（12分）（2017•广州二模）如图，ABCD是边长为a的正方形，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，．（Ⅰ）求证：EF⊥AC；（Ⅱ）求三棱锥E﹣FAC的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）连接BD，推导出AC⊥BD，AC⊥FD，从而AC⊥平面BDF．推导出EB∥FD，从而B，D，F，E四点共面，由此能证明EF⊥AC．（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接EO，FO，由V E﹣FAC =V A﹣FEO+V C﹣FEO，能求出三棱锥E﹣FAC的体积．【解答】证明：：（Ⅰ）连接BD，因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD．因为FD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥FD．因为BD∩FD=D，所以AC⊥平面BDF．因为EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，所以EB∥FD．所以B，D，F，E四点共面．因为EF⊂平面BDFE，所以EF⊥AC．解：（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接EO，FO．由（Ⅰ）知，AC⊥平面BDFE，所以AC⊥平面FEO．因为平面FEO将三棱锥E﹣FAC分为两个三棱锥A﹣FEO和C﹣FEO，所以V E﹣FAC =V A﹣FEO+V C﹣FEO．因为正方形ABCD的边长为a，，所以，．取BE的中点G，连接DG，则FE=DG=．所以等腰三角形FEO的面积为=．所以V E﹣FAC =V A﹣FEO+V C﹣FEO====．所以三棱锥E﹣FAC的体积为．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．20．（12分）（2017•广州二模）已知定点F（0，1），定直线l：y=﹣1，动圆M过点F，且与直线l相切．（Ⅰ）求动圆M的圆心轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，分别过点A，B作曲线C的切线l1，l2，两条切线相交于点P，求△PAB外接圆面积的最小值．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系；J3：轨迹方程．【分析】（Ⅰ）利用直接法，即可求动圆M的圆心轨迹C的方程；（Ⅱ）证明△PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是直径．得到当k=0时线段AB最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π．【解答】解：（Ⅰ）设点M到直线l的距离为d，依题意|MF|=d．设M（x，y），则有=|y+1|．化简得x2=4y．所以点M的轨迹C的方程为x2=4y．（Ⅱ）设l AB：y=kx+1，代入x2=4y中，得x2﹣4kx﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1•x2=﹣4．所以．因为C：x2=4y，即，所以．所以直线l1的斜率为，直线l2的斜率为．因为，所以PA⊥PB，即△PAB为直角三角形．所以△PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是直径．因为|AB|=4（k2+1），所以当k=0时线段AB最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线位置关系的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）（2017•广州二模）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+4x存在极小值点x0，且，求实数a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）计算f′（x），讨论a判断f′（x）的符号得出f（x）的单调区间；（II）由导数和二次函数的性质得g′（x）=0在（0，+∞）上有两解列不等式组得出a的范围，根据得出a的范围，再取交集即可．【解答】解：（Ⅰ）因为函数，所以其定义域为（0，+∞）．所以=．当a≤0时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．当a＞0时，f'（x）=．当时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间上单调递减．当时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间上单调递增．综上可知，当a≤0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（Ⅱ）因为g（x）=f（x）+4x=，所以=（x＞0）．因为函数g（x）存在极小值点，所以g'（x）在（0，+∞）上存在两个零点x1，x2，且0＜x1＜x2．即方程x2﹣4x﹣a=0的两个根为x1，x2，且0＜x1＜x2，所以，解得﹣4＜a＜0．则=．当0＜x＜x1或x＞x2时，g'（x）＜0，当x1＜x＜x2时，g'（x）＞0，所以函数g（x）的单调递减区间为（0，x1）与（x2，+∞），单调递增区间为（x1，x2）．所以x=x1为函数g（x）的极小值点x0．由，得．由于等价于．由，得，所以alnx0+a＞0．因为﹣4＜a＜0，所以有lnx0+1＜0，即．因为，所以．解得．所以实数a的取值范围为．【点评】本题考查了导数与函数单调性、极值的关系，函数最值得计算，属于中档题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•广州二模）在平面直角坐标系xOy中．已知直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0，曲线C的参数方程为（θ为参数），设直线l 与曲线C交于A，B两点．（1）求线段AB的长（2）已知点P在曲线C上运动．当△PAB的面积最大时，求点P的坐标及△PAB 的最大面积．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；QL：椭圆的参数方程．【分析】（1）根据题意，将曲线C的参数方程变形为普通方程，将直线x﹣y ﹣2=0代入其中，可得x2﹣3x=0，解可得x的值，由弦长公式计算可得答案；（2）分析可得要使△PAB的面积最大，则必须使P到直线直线l的距离最大，设P的坐标为（2cosθ，2sinθ），其中θ∈[0，2π），由点到直线l的距离公式可得d=，由余弦函数的性质分析可得当θ+=π，即θ=时，d取得最大值，代入点的坐标（2cosθ，2sinθ）中可得P的坐标，进而计算可得△PAB的最大面积，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，曲线C的参数方程为，则其普通方程为： +=1，将直线x﹣y﹣2=0代入+=1可得：x2﹣3x=0，解可得x=0或3，故|AB|=|x1﹣x2|=3；（2）要求在椭圆+=1上求一点P，使△PAB的面积最大，则P到直线直线l的距离最大；设P的坐标为（2cosθ，2sinθ），其中θ∈[0，2π），则P到直线l的距离d==，又由θ∈[0，2π），则≤θ+＜，所以当θ+=π，即θ=时，d取得最大值，且d max=3，此时P（﹣3，1），△PAB的最大面积S=×|AB|×d=9．【点评】本题考查椭圆与直线的位置关系，涉及椭圆的参数方程，关键是正确将参数方程化为普通方程．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•广州二模）（I）已知a+b+c=1，证明（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；（Ⅱ）若对任总实数x，不等式|x﹣a|+|2x﹣1|≥2恒成立，求实数a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R6：不等式的证明．【分析】（I）利用柯西不等式，即可证明；（Ⅱ）分：①a=、②a＞、③a＜三种情况，分别化简不等式，根据函数y=|2x ﹣1|+|x﹣a|的最小值大于或等于2，求得a的范围．【解答】（I）证明：由柯西不等式可得（1+1+1）[（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2]≥（a+1+b+1+c+1）2，∵a+b+c=1，∴（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；（Ⅱ）解：①当a=时，不等式即|x﹣|≥，显然不能任意实数x均成立．②当a＞时，|2x﹣1|+|x﹣a|=，此时，根据函数y=|2x﹣1|+|x﹣a|的单调性可得y的最小值为﹣3×+a+1．∵不等式|2x﹣1|+|x﹣a|≥2对任意实数x均成立，∴﹣3×+a+1≥2，解得a≥．③当a＜时，|2x﹣1|+|x﹣a|=，此时，根据函数y=|2x﹣1|+|x﹣a|的单调性可得y的最小值为﹣﹣a+1．∵不等式|2x﹣1|+|x﹣a|≥2对任意实数x均成立，∴﹣﹣a+1≥2，解得a≤﹣．综上可得，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．。
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广州市2013届普通高中毕业班综合测试（二）
数学（文科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹的钢笔或签 字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使 用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、 错涂、多涂的，答案无效。
5. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.
1. 命题“054,2
≤++∈∃x x R x ”的否定是
A 054,2>++∈∃x x R x
B 054,2≤++∈∃x x R x
C 054,2>++∈∀x x R x
D 054,2≤++∈∀x x R x
2. 如果函数f(x)=ln(-2x+ a)的定义域为（-∞，1)，则实数a 的值为
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2 3. 对于任意向量a 、B 、C ,下列命题中正确的是
A. |a.b| = |a| |b|
B. |a+b|=|a|+丨b 丨
C. (a.b)c =a (b-c)
D. a.a =|a|2
4. 直线y=kx +1与圆(x+1)2+y 2=0相交于A ，B 两点，则|AB|的值为
A.2
B.1
C. 21
D.与k 有关的数值 5. 若1-i(i 是虚数单位）是关于x 的方程x 2+2px +q=0(p 、q ∈R)的一个解，则p+q= A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 6. 执行如图l 所示的程序框图，输出的S 值为
A. 225
B. 196
C. 169
D. 144
(注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）
7.
若函数*)(cos N x y ∈=ωω的一个对称中心是(6π，0),则ω的最小值为 A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
8. 一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示.若一个平 行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为l:7的上、下两部分，则截面的面积为
A.
π4
1 B. π C π49 B π4 9. 已知0<a<1，0<x ≤y < 1,且log a x.log a y=1，那么xy 的取
值范围为
A. (0，a 2]
B. (0，a]
C. ]1
,0(a D. ]1,0(2a
10.某校高三（1)班50个学生选择选修模块课程，他们在A 、B 、C 三个模块中进行选择，R 至少需要选择l 个模块，具体模块选择的情况如下表:
则三个模块都选择的学生人数是
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.
(—)必做题（11~13题） 11.如图3，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为 圆心，l 为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M (图中白色部分).若在此三角形内随机取一点P,则点P 落在区 域M 内的概率为 . 12.已知a 为锐角，且53)4cos(=+π
a ，则sina= _ . 13. 数列{a n }的项是由l 或2构成，且首项为1，在第k 个l 和第k+ 1个l 之间有2k-1 个2，即数列{a n } 为：1, 2，1, 2，2，2，1，2，2，2，2，2, 1, …，记数列 {a n }的前n 项和为S n ，则S 20=________; S 2013 =_____
(二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）
14.(几何证明选讲选做题）
在ΔBC 中，D 是边AC 的中点，点E 在线段BD 上，且满足BE =
31BD,延长A E 交 BC 于点F ，则FC BF 的值为_______.
15.(坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，已知点A(1, 2
π),点P 是曲线ρsin 2θ=4cos θ上任意一点，设点P 到直 线ρcos θ + 1 = 0的距离为d ，则丨PA 丨+ d 的最小值为_______.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16. (本小题满分12分）
某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中 以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样抽取了8名学生的视力数据.其中高三
(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：
(1) 用上述样本数据估计高三（1)班学生视力的平均值；
(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4,4.5、4.6、4.8.若从这六个 班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率.
17. (本小题满分12分）
某单位有A 、B 、C 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点0,使得发射点到 三个工作点的距离相等.已知这三个工作点之间的距离分别为AB=80m, BC=10M , CA=50m.假定A 、B 、C 、O 四点在同一平面上.
(1) 求BAC ∠的大小；
（2）求点O 到直线BC 的距离
18(本小题满分14分）
如图4，在三棱锥P-ABC 中，PAB ∠=PAC ∠=ACB ∠=900.
(1) 求证：平面PBC 丄平面PAC
(2)已知PA=1,AB=2,当三棱锥P-ABC 的体积 最大时，求
BC 的长.
19. (本小题满分14分）
在等差数列{a n }中，a 1 +a 2 =5, a 3 =7,记数列}1{
1
+n n a a 的前n 项和为S n . (1) 求数列{a n }的通项公式；
(2)是否存在正整数m 、n,且1<m <n ，使得S 1、S nt S n 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m,n 值；若不存在，请说明理由
20.(本小题满分14分）
已知函数f(x)=x 2 -2alnx ()0≠∈a R a 且).
(1) 若f(x)在定义域上为增函数，求实数a 的取值范围；
(2) 求函数f (x)在区间[1，2]上的最小值.
21. (本小题满分14分）
经过点F (0，1)且与直线y = -1相切的动圆的圆心轨迹为M 点A 、D 在轨迹M 上， 且关于y 轴对称，过线段AD (两端点除外）上的任意一点作直线l ，使直线l 与轨迹M 在点D 处的切线平行，设直线l 与轨迹M 交于点B 、 C.
(1) 求轨迹M 的方程；
(2) 证明：CAD BAD ∠=∠；
(3) 若点D 到直线AB 的距离等于
||2
2AD ，且ΔABC 的面积为20，求直线BC 的方程.。