06 功率谱密度和白噪声过程
白噪声的产生与测试实验
3）正态随机随机数，从中取 1024、10240、20480 个点的功率普密度，做比较，
观察这些随机数的功率谱密度随长度的变化。实际的白噪声功率普密度不是常 数。 ⑷ 根据白噪声的特性，确定哪些随机信号属于白噪声范畴。根据分析确定 白噪声与概率分布有关系吗？ ⑸ 通过编程分别确定当5个均匀分布过程、5个指数分布分别叠加时，结果 是否是高斯分布。叠加次数对结果的影响？
Sn ( f ) N0 2
其中 N 0 /2就是白噪声的均方值。 白噪声的自相关函数位：
R （ ） N0 N ( ) 白噪声的自相关函数是位于τ=0处、强度为 0 的冲击函数。 2 2
这表明白噪声在任何两个不同的瞬间的取值是不相关的。同时也意味着白噪声能
随时间无限快的变化，因为它的带宽是无限宽的。下面我们给出几种分布的白噪 声。 随机过程的几种分布 均匀分布随机信号、正态分布（高斯分布）随机信号、指数分布随机信号等。
lim
T
（5）
取20480个点时的功率谱密度和自相关函数，如下图 （1） 功率谱密度：
（2） 随机信号叠加：
4.随机信号检验：
五、实验总结
这次试验让我们对白噪声有了很大的理解，最主要是在实验过程中用到了好 久不用的matlab软件，由于好长时间不用好多的函数的功能都忘记了，而且实验 过程中用到的好多函数以前都没接触过，所以还得花好长时间去查阅相关资料。 这次试验的目的其实让我们学会是利用matlab软件对信号分析，同时加深我们 对信号和噪声参数处理的理解，锻炼我们的实践动手能力。 参考文献：
均值表达了信号变化的中心趋势，或称之为直流分量。 在 MATLAB 中，可以用 mean()函数来计算。 （1）
白噪声
物理学概念
01 定义
03 参数 05 应用
目录
02 起源 04 通信中的
白噪声（white noise）是指功率谱密度在整个频域内是常数的噪声。所有频率具有相同能量密度的随机噪声 称为白噪声。
定义
白噪声是指在较宽的频率范围内，各等带宽的频带所含的噪声功率谱密度相等的噪声。
一般在物理上把它翻译成白噪声（white noise）。
人生充满声音和噪声干扰,如轿车鸣喇叭、汪汪狗叫、吵邻打鼾、警报器、大喊大叫.白噪声并不增加烦躁， 而是包含所有同等频率的声音.研究表明,一个稳定、平和的声音流,如白噪声、可过滤和分散噪音，可以帮助减轻 噪音分心，这也正是为什么它用来帮助人们放松、睡眠。
上市销售的白噪声机器产品有睡眠辅助器、私密性增强器以及掩饰耳鸣。
白噪声可以用于放大器或者电子滤波器的频率响应测试，有时它与响应平坦的话筒或和自动均衡器一起使用。 这个设计的思路是系统会产生白噪声，话筒接收到扬声器产生的白噪声，然后在每个频率段进行自动均衡从而得 到一个平坦的响应。这种系统用在专业级的设备、高端的家庭立体声系统或者一些高端的汽车收音机上。
白噪声也作为一些随机数字生成器的基础使用，常用于计算机科学领域。
白噪声的应用领域之一是建筑声学，为了减弱内部空间中分散人注意力并且不希望出现的噪声（如人的交谈)， 使用持续的低强度噪声作为背景声音。
在电子通信中也有白噪声的应用，它被直接或者作为滤波器的输入信号以产生其它类型的噪声信号，尤其是 在信号合成中，经常用来重现有很高噪声成分信号。
白噪声也用来产生冲击响应。为了在一个演出地点保证音乐会或者其它演出的均衡效果，从P A系统发出一 个瞬间的白噪声或者粉红噪声，并且在不同的地方监测噪声信号，这样工程师就能够建筑物的声学效应能够自动 地放大或者削减某些频率，从而就可以调整总体的均衡效果以得到一个平衡的和声。
白噪声
I0 ( x ) = ∫
2π
0
1 exp ( − x cos θ ) dθ 2π
p (θ ) = ∫ p ( r,θ ) dr = ∫
0 2 2
∞
∞
0
( r − A cosθ )2 + ( Asin θ )2 r exp − dr 2 2 2πσ 2σ
循环平稳过程
定义
随机过程X(t)的统计平均值和自相关函数是时 间的周期函数，则称为循环平稳随机过程。
• 如：
X (t ) =
n =−∞
∑ a g ( t − nT )
n
∞
E ( an ) = ma , E an an +k = Ra ( k )
*
循环平稳过程的统计特性
期望 E ( X ( t ) ) = m a 自相关
包络服从瑞利分布，相位服从均匀分布。
窄带平稳高斯过程（零均值）
包络 R ( t ) = nc ( t ) + ns ( t )
2 2
瑞利分布
ns ( t ) 相位 θ ( t ) = arctg nc ( t ) 均匀分布
r2 p ( r ) = 2 exp − 2 σ 2σ r
, r ≥ 0
要求：
会判断过程是否平稳 会求平稳过程的自相关、功率谱密度 会分析与高斯平稳过程相关的一些性质
1 p (θ ) = 2π
证明
因为nc(t),ns(t)是正交的均值为0，方差为 2的高斯随机变 量，因此它们独立（窄带高斯过程的性质），则
2 nc + ns2 p ( nc , ns ) = exp − 2 2 2πσ 2σ ns 令 r = n2 + n2 , θ = arctg c s nc
第九讲互功率谱性质相干函数白噪声【实用资料】
RXY ( ) GXY ()
GXY ()
RXY
(
)e
j
d
GYX ()
RYX
(
)e
j
d
可用来描述两个随机过程的在各频率点相关性
3
4、互功率谱密度的性质：
GXY () GYX () GY*X () Re[GXY ()] 与 Re[GYX ()] 是的偶函数； Im[GXY ()] 与 Im[GYX ()] 是的奇函数； GXY () 2 GX ()GY ()
2、联合平稳的随机信号的互功率谱密度
GXY
()
E[GXY (, )]
E{ lim T
1 2T
XT
()YT()}
GYX
()
E[GYX
[,
]]
E{ lim T
1 2T
YT
() XT*
()}
2
3、互功率谱密度的第二种定义（P68）
若X (及t) Y联(t合) 平稳， RXY ( ) 绝对可积，有
•系统辨识的精度（下一章P128）
9
六、白噪声与白噪声序列
1、（理想）白噪声
1）定义 若平稳过程的均值为零，功率谱密度 在整个频率轴上均匀分布，即满足：
GX
()
N0 2
GX (w)
N0 / 2
0
“白”是借用了光学中
“白光”这一术语。任
w 意的非白噪声被定义为
色噪声
白噪声的功率谱密度
10
2）白噪声自相关函数和相关系数：
x (n)
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
100
200
300
白噪声的定义式
白噪声的定义式白噪声是指在频率范围内具有相等功率密度的随机信号。
在数学上，白噪声可以表示为一个具有无限多个随机分量的信号，每个分量具有相同的功率和频率，且彼此完全独立。
因此，白噪声可以被视为一种随机信号的基本形式，它在许多领域中都有重要的应用，包括通信、声音处理、信号处理、物理学等领域。
白噪声的定义式可以用数学语言来描述。
假设我们有一个时间序列{Xt}，其中t表示时间。
如果这个时间序列是一个白噪声，那么它的功率谱密度S(f)应该是一个常数，即：S(f) = K其中K是一个常数，f表示频率。
这个定义式告诉我们，白噪声在不同频率上具有相同的功率密度，因此它被称为“白色”的。
白噪声的功率谱密度是一个重要的概念。
它描述了信号在不同频率上的能量分布情况。
在频率为f的范围内，功率谱密度S(f)表示了信号在该频率范围内的平均功率。
因此，如果一个信号在所有频率范围内的功率谱密度都相等，那么它就是一个白噪声。
白噪声的特点是具有高度的随机性。
在一个白噪声信号中，每个分量都是随机的，且彼此独立。
这意味着白噪声信号中的任何一个分量都不能预测，也不能用其他分量来表示。
因此，白噪声信号是一种极其难以处理的信号。
在实际应用中，我们通常会对白噪声信号进行滤波或降噪处理，以提取出有用的信息。
在通信领域中，白噪声的功率谱密度是一个重要的概念。
在无线通信中，由于信道的噪声和干扰，传输信号可能会被扭曲或损坏。
因此，接收端需要对接收到的信号进行滤波和去噪处理，以提取出有用的信息。
在这个过程中，我们需要了解信道的噪声功率谱密度，以便选择合适的滤波器和去噪算法。
在声音处理和信号处理领域中，白噪声也有着广泛的应用。
例如，在音频处理中，我们通常会使用白噪声来生成随机噪声或模拟自然环境中的噪声。
在信号处理中，白噪声也可以用来测试和评估算法的性能。
总之，白噪声是一种基本的随机信号形式，具有高度的随机性和平均功率谱密度。
它在许多领域中都有着重要的应用，包括通信、声音处理、信号处理、物理学等领域。
白噪声的产生
σ 2 , ω ≤ ω0 （ ω0 为给定的远大于过程的截止频率） 谱密度： SW (ω ) = 0, ω > ω0 σ 2ω0 sin ω0τ 相关函数： RW (τ ) = ⋅
π
ω0τ
讨论白噪声时，还要涉及到白噪声的概率分布，服从正态分布的白噪声称为 高斯白噪声。 n 维白噪声：一个 n 维随机过程 W (t ) 满足： E{W (t )} = 0 Cov{W (t ),W (t + τ )} = E{W (t )W (t + τ )} = Qδ (τ ) 其中 Q 为正定常数矩阵，则称 W (t ) 为 n 维白噪声过程。 ● 白噪声序列 白噪声序列是白噪声过程的离散形式。如果序列 {W (k )} 满足： 相关函数： RW (l ) = σ 2δ l , l = 0,±1,±2,L 则称为白噪声序列。 谱密度： SW (ω ) =
N 2 = i =1 N / 12
∑ξ
N
i
−
N 12 2 由此可得正态分布η ~ N ( µη ,σ η ) 的随机数。
取 N = 12 时，有
η = µη + σ η
∑ξ
i =1
N
i
−
N 2
η = µη + σ η ∑ ξi − 6
i =1
● 变换抽样法 理论依据：设 ξ1 和 ξ 2 是相互独立的（0，1）均匀分布随机变量，则
● M 序列的生成结构图 ● M 序列的波形 1.2.3 特征多项式 解决如何选取反馈通道的问题，以保证生成 M 序列。 ● 定义多项式： G ( s ) = ∑ x i s i （无限阶）
i =0 P 1 , F ( s ) = 1 ⊕ ∑ a j s j （有限阶） F ( s) j =1 称 F ( s ) 为 M 序列的特征多项式。 注意 1：此时选取 M 序列初始状态为： x1 = 1, x 2 = 0, L , x P = 0 。 注意 2：生成 M 序列的结构图完全由特征多项式 F ( s ) 确定。 ∞
输出噪声功率谱密度计算公式
输出噪声功率谱密度计算公式噪声功率谱密度是衡量信号中噪声强度的一个重要指标，它描述了单位频率范围内的噪声能量分布情况。
通常情况下，噪声功率谱密度用符号$S_n(f)$表示，其中$f$为频率。
计算噪声功率谱密度的公式，可以根据不同类型的噪声进行推导。
以下将分别介绍几种常见类型的噪声功率谱密度计算公式，并给出相关参考内容，帮助读者更好地理解。
1. 热噪声：热噪声又称为白噪声，是由于电阻器等电子器件的热激活引起的。
在频率范围内，热噪声功率谱密度$S_{n}(f)$近似为常数，且与电阻器的温度有关，计算公式为：\[S_{n}(f) = 4kTR\]其中$k$为玻尔兹曼常数，$T$为温度（单位为开尔文），$R$为电阻阻值。
参考内容：《无线电技术基础》（作者：程滨、王月利、王建明），第4章电子元器件的噪声，第4节热噪声的基本概念与分析（页码：25-27）。
2. 线性噪声：线性噪声通常包括热噪声、互模干扰噪声等。
对于线性噪声功率谱密度的计算，可以使用功率谱密度的加法原理，即各个噪声源的功率谱密度相加。
参考内容：《电子技术基础》（作者：高强、刘会森、于勤达），第4章噪声的统计特性，第5节噪声产生与传输（页码：108-109）。
3. 非线性噪声：非线性噪声通常包括互调干扰噪声、截止失真噪声等。
对于非线性噪声功率谱密度的计算，可以采用频域分析的方法，将非线性系统用幅频特性来描述，并进行傅里叶变换得到频率域中的非线性变换函数。
参考内容：《电子线路基础》（作者：郑永图），第13章非线性分析（页码：258-260）。
以上仅是几种常见噪声功率谱密度的计算公式介绍，并附带了相关的参考内容。
实际应用中，由于不同噪声类型、不同系统的复杂性，可能需要更复杂的计算方法和模型。
读者在具体应用时，可以根据具体情况选择合适的计算方法，并参考相关的专业书籍或学术论文进行详细了解和计算。
通信原理第六版课后思考题答案
通信原理第六版课后思考题答案第一章绪论1.1以无线广播和电视为例，说明图1-1模型中的信息源，受信者及信道包含的具体内容是什么在无线电广播中，信息源包括的具体内容为从声音转换而成的原始电信号，收信者中包括的具体内容就是从复原的原始电信号转换乘的声音；在电视系统中，信息源的具体内容为从影像转换而成的电信号。
收信者中包括的具体内容就是从复原的原始电信号转换成的影像；二者信道中包括的具体内容分别是载有声音和影像的无线电波1.2何谓数字信号，何谓模拟信号，两者的根本区别是什么数字信号指电信号的参量仅可能取有限个值；模拟信号指电信号的参量可以取连续值。
他们的区别在于电信号参量的取值是连续的还是离散可数的1.3何谓数字通信，数字通信有哪些优缺点传输数字信号的通信系统统称为数字通信系统；优缺点：数字通行系统的模型见图1-4所示。
其中信源编码与译码功能是提高信息传输的有效性和进行模数转换；信道编码和译码功能是增强数字信号的抗干扰能力；加密与解密的功能是保证传输信息的安全；数字调制和解调功能是把数字基带信号搬移到高频处以便在信道中传输；同步的功能是在首发双方时间上保持一致，保证数字通信系统的有序，准确和可靠的工作。
1-5按调制方式，通信系统分类？根据传输中的信道是否经过调制，可将通信系统分为基带传输系统和带通传输系统。
1-6按传输信号的特征，通信系统如何分类？按信号特征信道中传输的信号可分为模拟信号和数字信号，相应的系统分别为模拟通信系统和数字通信系统。
1-7按传输信号的复用方式，通信系统如何分类？频分复用，时分复用，码分复用。
1-8单工，半双工及全双工通信方式是按什么标准分类的？解释他们的工作方分为并行传输和串行传输。
并行传输是将代表信息的数字信号码元以组成的方式在两条或两条以上的并行信道上同时传输，其优势是传输速度快，无需附加设备就能实现收发双方字符同步，缺点是成本高，常用于短距离传输。
串行传输是将代表信息的数字码元以串行方式一第1/10页个码元接一个码元地在信道上传输，其优点是成本低，缺点是传输速度慢，需要外加措施解决收发双方码组或字符同步，常用于远距离传输。
功率谱密度和白噪声过程 PPT
R() 1
S()cos()d
0
Xtcosct
0, 2
R(
)
1 2
cosc
S()
R()ejd 1
2
cosce jd
1
e e j(c )
j(c )
d
4
2
(
c
)
(
c
)
R() e||
S() R()ejd e||ejd
2 e || 0
cosd222
S()4 1 20 4 29,求 R()
2） |SX Y()|2SX()SY()
3） Re[SXY()]Re[SXY()] 奇函数 Im[SXY()]Im[SXY()] 偶函数
1 ） S X Y() S Y * X () S Y X ()
先证明： R Y *X()R YX()
R YX()y(t)x*(t)f(x,t;y,t)dxdy
2 X
lim
T
E
1 2T
T
X
2
(t
)dt
T
lim 1 T E[ X 2 (t)]dt T 2T T
P X2 1 T li m 2 1 TE [|F X(,T)|2]d
SX()T li m 2 1 TE|F X(,T)|2
为平稳随机过程X(t)的功率谱密度。
这样，Px又可以写成
W s2 (t)d t ？ |s(t)|d t
E()| F()|2
由巴塞伐尔等式，可得到
s2(t)dt21 |F()|2d
信号的总能量
信号的能谱密度
能量守恒！
能量无限，平均功率有限的信号称 为功率型信号。即
Ps T li m 21T
热噪声(噪声系数,等效噪声温度、带宽和功率谱密度)
热噪声加性白高斯噪声（AWGN ：Additive White Gaussian Noise ）是最基本的噪声与干扰模型，通信中遇到的多数噪声和干扰都符合这个模型，其中最典型的是热噪声(Thermal Noise)。
一 电阻的热噪声将一个电阻从正中间画一条线分成上下两部分，那么线上的自由电子数和线下的自由电子数的数目是随机的，上下数目差也是随机的。
这个数目差意味着一个电动势，如果有闭合回路的话（如图4.8.2），就会形成一个随机电流，这就是热噪声。
叫热的原因是因为在绝对0度时，电子不运动，这样就不会有随机的电动势。
很显然，电阻的温度越高，随机性也就越强。
每个电子都在随机运动，上下数目差是这些电子随机运动的后果。
电子的总个数足以满足中心极限定律的条件，由此可知热噪声具有高斯的特征。
电子的运动速度极高。
相对于通信中的时间单位如ms 、µs 乃至ns 而言，在极短的一个时间间隔后，上下的电子数目已经毫不相关了，就是说热噪声的自相关函数对于我们的时间刻度来说是一个冲激函数，因此热噪声是一个白噪声。
综合这两点就是说：热噪声是白高斯噪声。
特别注意：白与高斯是两个单独的特征。
高斯是指一维分布，白由二维分布决定。
设()X t 是随机过程，下面的陈述A 涉及一维分布，陈述B 涉及二维分布。
A. 对X(t)进行了大量测试后发现，80%高于4.5，60%高于3.5；B ．对X(t)同时观察相隔10秒的两个值()X t 和()10X t −，大量观察发现，在90%的情况下，()X t 与比10秒前相比，相差不会超过1±V ；在80%的情况下，相差不会超过±0.5V 。
物理学家告诉我们，热噪声的单边功率功率谱密度为0N KT =，其中231.3810K −=×是波尔兹曼常数，T 是绝对温度。
热噪声在带宽B 内的噪声功率KTB （本讲中所谈论的噪声功率均指在匹配负载上的可获功率）。
第15讲 第七章平稳过程的谱分析(2)
2
2. S XY (ω ) = SYX (ω )
S XY (ω ) = 0
13
14
例 设随机过程X（t）是一个白噪声过程，谱密度 均为s0 ，Y（t）=X（t- T ） （1）求Y（t）的谱密度。 （2）求X（t）与Y（t）的互相关函数 (3)求X（t）与Y（t）的互谱密度。 解（1） X（t）是一个白噪声过程，所以
T →+∞
FX (ω , T ), FY (ω , T )
，有：
lim E[
1 2T
∫
T
−T
X (t )Y (t )dt ] =
1 +∞ 1 lim E[ FX (ω , T ) FY (ω , T )]dω. 2π ∫−∞ T →+∞ 2T
称 说明
S XY (ω ) = lim
T →+∞
1 E{FX (ω , T ) FY (ω , T )} 2T
a →0 +
+∞
δ a (t )
2a
t ≤a t >a
面积 为1
S X (ω ) ≡ S0 ,
−∞ < ω < +∞( S0 > 0)
规定
的平稳过程X(t) 称为白噪声过程, 简称白噪声. 其名出于白光具有均匀光谱的缘故. 由于白噪声谱密度不是绝对可积，所以一般意义下 傅氏积分不存在，所以引入δ函数
S0 + ∞ iωτ e dω 2 π ∫−∞ S = 0 .2πδ (τ ) = S0δ (τ ). 2π
=
使得我们对于常数、正弦、余弦函数等不符合常义 傅氏变换条件的函数，也可以进行傅氏分析。
第六讲平稳随机过程的功率谱密度
第六讲 平稳随机过程的功率谱密度6.1 确知信号的频谱和能量谱密度对于确知信号，周期信号可以表示成傅立叶级数，非周期信号可以表示成傅立叶积分。
设信号s(t)为时间t 的非周期实函数，满足如下条件：1）⎰∞∞-∞<dt t s )(，即s(t)绝对可积；2）s(t)在),(∞-∞内只有有限个第一类间断点和有限个极值点， 那么，s(t)的傅立叶变换存在，为⎰∞∞--=dt e t s S t j ωω)()(又称为频谱密度，也简称为频谱。
信号s(t)可以用频谱表示为⎰∞∞-=ωωπωd e S t s t j )(21)(信号s(t)的总能量为⎰∞∞-=dt t s E )(2根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号的能量等于频域内信号的能量。
即ωωπd S dt t s E 22)(21)(⎰⎰∞∞-∞∞-==其中，2)(ωS 称为s(t)的能量谱密度（能谱密度）。
能谱密度存在的条件是∞<⎰∞∞-dt t s )(2即总能量有限，所以s(t)也称为有限能量信号。
6.2 随机过程的功率谱密度随机信号的能量一般是无限的，但是其平均功率是有限的。
经推导可得，])([21lim )(2ωωT T X X E TS ∞→=为随机过程X(t)的功率谱密度函数，简称为功率谱密度。
功率谱密度是从频率角度描述随机过程X(t)的统计特性的最主要的数字特征。
可得随机过程的平均功率为 ⎰∞∞-=ωωπd S P X X )(21对于平稳随机过程，其平均功率为ωωπd S t X E X ⎰∞∞-=)(21)]([2若X(t)为各态历经过程，则功率谱密度可由一个样本函数得到，即2),(21lim )(e X TS T T X ωω∞→=6.3 功率谱密度与自相关函数之间的关系平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度构成傅立叶变换对，即维纳－辛钦定理：⎰⎰∞∞--∞∞-==ωωπτττωωτωτd eS R d e R S j X X j X X )(21)()()(它成立的条件是)()(τωX XR S 和绝对可积，即∞<∞<⎰⎰∞∞-∞∞-ωωττd S d R X X )()(当0=τ时，可得⎰∞∞-==ωωπd S t X E R X X )(21)]([)0(2可知，)]([)0(2t X E R X=是平稳随机过程X(t)的平均功率。
白噪声过程通过线性系统
1、基本假设
冲击响应 传递函数 输入噪声
h(t ) H ( j ) X (t )的功率谱G N 0 / 2
输出过程 Y (t ) ?
2、频谱法－自相关函数
N0 2 GY ( ) GX ( ) | H ( j ) | | H ( j ) | 2 输出功率就不一定是均匀的！
பைடு நூலகம்
需要采用放大器进行放大，在放大 器的前端对噪声非常敏感，需要对 热噪声和1/F进行分析，只有噪声抑 制到一定程度才能提取出有用信号。
分析各个器件以及构成的电路的噪
声进行分析。
信号处理中－线性信号模型
有一类平稳随机序列，它是用白噪声
激励线性时不变系统产生的，特别是 系统函数为有理函数。
这样输出功率谱密度也是有理函数，
1 t 0 , 令 RC
2、RC积分器的系统权函数
0, Rh ( )
0
h(t ) h(t )dt dt
0
e
t
e
( t )
2
e
根据对称性：
Rh ( )
2
e
| |
3、输出自相关函数
RY ( )
f e
0
0
FY
f df FY 0
2
H
jf 2 H 0
df
3、噪声等效通频带－结论：
噪声通频带如信号通频带那样，仅
由线性电路本身决定。 由噪声通频带可直接给出系统输出 过程平均功率：
带通RY (0) N 0 f e H
功率谱密度的性质
性质 1 : 宽平稳高斯过程一定是 严平稳高斯过程
11
性质2 : 若平稳高斯过程在任意 两个不同时刻 是不相关的 , 那么也一定是互相独立 的
两个高斯变量 X 1和X 2的联合概率密度 f X ( x1 , x2 ) 1 21 2 1 r 2
2
2
e
( x1 m1 ) 2 2 r ( x1 m1 )( x2 m2 ) ( x2 m2 ) 2 1 [ ] 2 2 2 2 (1 r ) 1 2 1 2
( )
2
[ ( 0 ) ( 0 )]
6
单边功率谱GX(w)与双边功率谱SX(w)的关系
只用正频率部分来表示功率谱密度
G X ( ) 2S X ( ) 0 0 0
S ( ) 2 R ( ) cos d 0 X X 1 RX ( ) S X ( ) cos d 0
RX () 0, 且呈振荡形式, 也可引入 函数解决
1 S X ( ) FT [ RX ( )] FT [ (1 cos 0 )] 2 1 1 FT [ ] FT [ cos 0 ] 2 2 1 1 2 ( ) [ ( 0 ) ( 0 )] 2 2
2.3.2 功率谱密度的性质
1 、S X ()为非负实函数, 即 : S X () 0
1 2 S X ( ) lim E[ X T ( ) ] T 2T
X T ( ) 0, 故S X ( ) 0
2
2、 若X (t )实平稳, 则S X ()是偶函数,即: S X () X (t ), Y (t )互相正交, 互谱密度为零.
RXY ( ) 0 S XY () FT[ RXY ( )] 0
白噪声的功率谱和自相关函数
白噪声的功率谱和自相关函数概述
白噪声是在所有频率上具有等功率谱密度的噪声信号。
它是一种随机信号，没有明显的周期性或规律性，因此在通信、信号处理、物理学和工程等领域广泛应用。
白噪声的功率谱密度是常数，可以用其功率谱函数来表示，也称为能量谱密度（PSD）。
它表示在各种频率上信号的平均功率。
在频域上，它的数学表述如下：
S(f)=N_0/2
其中，S(f)是白噪声在频率f上的功率谱密度，N_0是噪声的一个参数，通常表示为噪声的方差或功率。
与功率谱密度相对应的是自相关函数，它表示噪声信号的相邻样本之间的相关性。
自相关函数R(t)可以根据功率谱密度和傅立叶变换的关系而计算。
在连续时间域,它可以表示为：
R(t)=\int_{-\infty}^{\infty}S(f)e^{j2\pi ft}df
在离散时间域，它的数学表述如下：
R(k)=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x(n)x(n+k)
其中，R(k)表示信号以k时间步长延迟的自相关，x(n)是信号在时间点n上的值，N是总的样本数。
需要说明的是，白噪声不同于纯随机信号，后者在频率上存在很小的相关性。
因此，白噪声在信号处理和通信中具有广泛的应用。
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平稳随机过程的功率谱密度 白噪声随机过程
主讲人：张有光 电 话：82314978 办公室：新主楼F806
主要内容
一、平稳过程的功率谱密度 二、谱密度与自相关函数
三、平稳过程的互谱密度
四、白噪声过程
一、平稳过程的功率谱密度
1、能量型信号 2、信号的频谱
3、信号的能谱
S ( ) d E{| X (t ) | } 0
2
3、功率谱密度的性质
若过程X(t)是实平稳的，则自相关函
数是实偶函数，因此功率谱密度也 是实偶函数，即
证明：
S () S (), S () S ()
* j j ( )
2T
功率谱密度两种定义的等价条件
只要
| R( ) | d
j
则上式中第二项为零，故此时
S X ( ) R( )e
d
也就是说，平稳随机过程在自相关
函数绝对可积的情况下，维纳-辛
钦公式成立。此时功率谱密度的两 种定义等价。
功率谱的意义
1 j R ( ) S ( ) e d 2 令 0, 则 1 R (0) 2
* S ( ) RYX ( )e j d , 令： - * YX * YX
S ( ) RXY ( )e d RXY ( )e
j
j
d S XY ( )
若X (t )和Y (t )是实随机过程则 S ( ) R ( )e
功率谱密度两种定义的等价条件
通过变量置换，最后得到：
| | j S X ( ) lim (1 ) R( )e d T 2T 2T 2T 2T | | j j lim R( )e d lim R( )e d T 2T T 2T 2T
②
上述两式统称为 维纳-辛钦公式 注释：对比“信号与系统” 中维纳辛钦公式
返回
2、功率谱密度两种定义的等价条件
对于第一种定义，将其展开
T 1 T jt1 S X ( ) lim E X (t1 )e dt1 X (t2 )e jt2 dt2 T T 2T T 1 T T j ( t1 t2 ) lim E [ X ( t ) X ( t )] e dt1dt2 1 2 T 2T T T 1 T T j ( t1 t2 ) lim R ( t t ) e dt1dt2 1 2 T 2T T T
1 PX 2
1 2 lim E [| F ( , T ) | ] d X T 2T
平稳过程的功率谱密度
定义
1 2 S X ( ) lim E | FX ( , T ) | T 2T 为平稳随机过程X(t)的功率谱密度。 这样，Px又可以写成
1 PX 2
1 s (t )dt 2
2
| F ( ) | d
2
信号的总能量
信号的能谱密度
能量守恒！
4、功率型信号
能量无限，平均功率有限的信号称
为功率型信号。即
1 Ps lim T 2T
T
T
s (t )dt
2
Ps为信号的平均功率。
5、平均功率的谱表示
功率型信号不满足绝对可积条件。 为了能够利用傅立叶变换给出平均
1 2T
T
T
1 X (t ) dt 4 T
2
| FX ( , T ) |2 d
1 T 2 我们定义 PX lim E X (t )dt T T 2 T 为平稳过程X(t)的平均功率。
6、平稳过程的功率谱密度
由于平稳随机过程的均方值是常数 T 1 2 2 X lim E X (t ) dt T 2T T T 1 2 lim E [ X (t )]dt T T 2T
| F ( , T ) 于无穷，功率型信号s(t)在
(-∞, ∞)上的平均功率可表示为
1 T 2 Ps lim s ( t ) dt T 2T T 1 1 2 lim | F ( , T ) | d 2 T 2T
2 2
S ( )
1
, 求R( )
三、互谱密度
1、互谱密度的定义 2、互谱密度的维纳-辛钦公式形式定义
3、互谱密度的性质
1、互谱密度的定义
定义：
设随机过程X(t)和Y(t)是联合平稳 的，则定义互谱密度为
1 S XY ( ) lim E{FX ( , T ) FY ( , T )} T 2T
j
S ( ) R( )e
1 d cos c e j d 2
1 j ( c ) j ( c ) e e d 4
( c ) ( c ) 2
例 2.4-2
* YX * YX j
d
RYX ( )e
j ( )
d SYX ( )
互谱密度函数不是实的、正的偶函数
2) | S XY () | S X ()SY ()
从定义
1 S XY ( ) lim E{FX ( , T ) FY ( , T )} T 2T
2
例 2.4-4
若平稳随机过程功率谱
(1 ) 1 1 | | 已知SY ( ) 的RY ( ) e 2 (1 ) 2 1 | z | 1 | z | RX ( ) RY ( ) RY ( ) e e dz 2 2 1 | | ( e e | | ) 4
P sT
s (t )dt
2 T
平均功率的谱表示
由巴塞伐尔等式，可得到
1 2 s (t )dt 2 | F (, T ) | d 两边同除以2T，并由截尾函数的定 义，得到
2 T
1 2T
1 T s (t )dt 4 T
T 2
3、互谱密度的性质
1） SXY () S () SYX ()
* YX
2） | S XY () | S X ()SY ()
2
3）
Re[S XY ( )] Re[S XY ()]
奇函数
Im[S XY ()] Im[S XY ()] 偶函数
1 ）SXY () S () SYX ()
* YX
先证明： R ( ) RYX ( )
* YX
RYX ( ) y (t ) x (t ) f ( x, t ; y, t )dxdy
*
令： t t * RYX ( ) x(t ) y (t ) f ( x, t ; y, t )dxdy RXY ( )
功率型信号的平均功率谱密度
功率谱密度
功率型信号的平均功率谱密度，简
称功率谱密度，定义为：
1 2 S lim | F ( , T ) | T 2T
6、平稳过程的功率谱密度
平稳随机过程的样本函数是功率型的。 T FX ( , T ) X (t )e jt dt T
S XY ( )d E[ X (t )Y (t )]
若X(t)是一个二端电压、Y(t)是流经
该器件的电流，则上式左边就是消 耗的功率。
两个正交随机过程性质
随机过程X(t)和Y(t)正交
RXY ( ) 0, S XY () 0
此时有：
RX Y ( ) RX ( ) RY ( ) S X Y ( ) S X ( ) SY ( )
随机电报信号自相关函数
R( ) e
| |
求功率谱密度
S ( ) R( )e
j
d e
| | j
e
d
2 e
0
| |
2 cos d 2 2
例 2.4-3
2 4 已知功率谱 S ( ) 4 , 求R( ) 2 10 9
S ( ) R ( )e d R( )e S ( ) R ( )e d R( )e
* j
d S ( )
j ( )
d S ( )
功率谱密度的性质
由于R(τ)和S(ω)都是偶数，于是维
纳-辛钦公式还可以写成：
| s(t ) | dt 的情况下，能量型
dt
称F(ω)为信号s(t)的频谱。
W s (t )dt | s(t ) | dt
2
？
3、信号的能谱密度
能量型信号的能谱E(ω)为
E() | F () |2
由巴塞伐尔等式，可得到
S ( ) 2 R ( ) cos( ) d
0
R ( )
1
0
S ( ) cos( ) d
例 2.4-1
设随机相位余波 X t cos c t 的功 率谱密度，其 是在区间 0, 2 内均
匀分布. 解：
1 R( ) cos c 2
S X ( )d
平均功率谱 的表达式
平稳过程的功率谱密度
S X ( ) 为双边功率谱密度，但在实际