06 功率谱密度和白噪声过程

随机电报信号自相关函数
R( ) e
| |
求功率谱密度
S ( ) R( )e


j
d e


| | j
e
d
2 e
0

| |
2 cos d 2 2
例 2.4-3
2 4 已知功率谱 S ( ) 4 , 求R( ) 2 10 9
1 PX 2
1 2 lim E [| F ( , T ) | ] d X T 2T

平稳过程的功率谱密度
定义
1 2 S X ( ) lim E | FX ( , T ) | T 2T 为平稳随机过程X(t)的功率谱密度。 这样，Px又可以写成

1 PX 2



| s(t ) | dt 的情况下，能量型
dt
称F(ω)为信号s(t)的频谱。
W s (t )dt | s(t ) | dt
2
？

3、信号的能谱密度
能量型信号的能谱E(ω)为
E() | F () |2
由巴塞伐尔等式，可得到
| F ( , T ) | d
2
平均功率的谱表示
令T趋于无穷，功率型信号s(t)在
(-∞, ∞)上的平均功率可表示为
1 T 2 Ps lim s ( t ) dt T 2T T 1 1 2 lim | F ( , T ) | d 2 T 2T
1 z 2 +4 j|τ|z R(τ)= 2πj 2 e 在z=j,3j留数和 2 2π (z +1)(z +9) 1 (9e | | 5e 3| | ) 48
1 R( ) 2 应用留数定理
4 j e 4 10 2 9 d
4、功率型信号
5、平均功率的谱表示和功率谱密度
6、平稳过程的功率谱密度
1、能量型信号
能量型信号
W s (t )dt
2

其中，s(t)为信号，W为总能量。
2、信号的频谱
在
信号s(t)的傅立叶变换存在，即
F ( ) s(t )e
jt
2、互谱密度的维纳-辛钦公式
随机过程X(t)和Y(t)的互谱密度是
它们的互相关函数RXY(τ)的傅立叶 变换：
S XY ( ) RXY ( )e


j
d
d
1 RXY ( ) 2



S XY ( )e
j
2、互谱密度的维纳-辛钦公式
当
0
1 RXY (0) 2



S ( ) d E{| X (t ) | } 0
2
3、功率谱密度的性质
若过程X(t)是实平稳的，则自相关函
数是实偶函数，因此功率谱密度也 是实偶函数，即
证明：

S () S (), S () S ()

* j j ( )
S ( ) R ( )e d R( )e S ( ) R ( )e d R( )e
* j
d S ( )
j ( )
d S ( )
功率谱密度的性质
由于R(τ)和S(ω)都是偶数，于是维
纳-辛钦公式还可以写成：
* YX * YX j
d
RYX ( )e


j ( )
d SYX ( )
互谱密度函数不是实的、正的偶函数
2) | S XY () | S X ()SY ()
从定义
1 S XY ( ) lim E{FX ( , T ) FY ( , T )} T 2T
2
例 2.4-4
若平稳随机过程功率谱
(1 ) 1 1 | | 已知SY ( ) 的RY ( ) e 2 (1 ) 2 1 | z | 1 | z | RX ( ) RY ( ) RY ( ) e e dz 2 2 1 | | ( e e | | ) 4
1、谱密度与自相关函数的关系
平稳随机过程的功率谱密度是它的自 相关函数的傅立叶变换：
S () R( )e


j
d
①
由于
R( ) R ( ) S ( ) 是实函数
*
谱密度与自相关函数的关系
由傅立叶逆变换公式，有
1 R ( ) 2



S ( )e j d
j
S ( ) R( )e
1 d cos c e j d 2
1 j ( c ) j ( c ) e e d 4




( c ) ( c ) 2
例 2.4-2
功率谱密度两种定义的等价条件
通过变量置换，最后得到：
| | j S X ( ) lim (1 ) R( )e d T 2T 2T 2T 2T | | j j lim R( )e d lim R( )e d T 2T T 2T 2T
2T
功率谱密度两种定义的等价条件
只要



| R( ) | d
j
则上式中第二项为零，故此时
S X ( ) R( )e

d
也就是说，平稳随机过程在自相关
函数绝对可积的情况下，维纳-辛
钦公式成立。此时功率谱密度的两 种定义等价。
功率谱的意义
1 j R ( ) S ( ) e d 2 令 0, 则 1 R (0) 2



S X ( )d
平均功率谱 的表达式
平稳过程的功率谱密度
S X ( ) 为双边功率谱密度，但在实际
应用中，负频率不存在，故引入
单边谱密度
2S X ( ) 0 GX ( ) 0 0
二、谱密度与自相关函数
1、功率谱密度与自相关函数的关
系—维纳-辛钦公式 2、功率谱密度两种定义的等价条件 3、功率谱密度的性质
P sT



s (t )dt
2 T
平均功率的谱表示
由巴塞伐尔等式，可得到
1 2 s (t )dt 2 | F (, T ) | d 两边同除以2T，并由截尾函数的定 义，得到
2 T
1 2T
1 T s (t )dt 4 T
T 2



* YX
先证明： R ( ) RYX ( )
* YX
RYX ( ) y (t ) x (t ) f ( x, t ; y, t )dxdy
*
令： t t * RYX ( ) x(t ) y (t ) f ( x, t ; y, t )dxdy RXY ( )
1 2T

T
T
1 X (t ) dt 4 T
2
Hale Waihona Puke Baidu



| FX ( , T ) |2 d
1 T 2 我们定义 PX lim E X (t )dt T T 2 T 为平稳过程X(t)的平均功率。
6、平稳过程的功率谱密度
由于平稳随机过程的均方值是常数 T 1 2 2 X lim E X (t ) dt T 2T T T 1 2 lim E [ X (t )]dt T T 2T
功率型信号的平均功率谱密度
功率谱密度
功率型信号的平均功率谱密度，简
称功率谱密度，定义为：
1 2 S lim | F ( , T ) | T 2T
6、平稳过程的功率谱密度
平稳随机过程的样本函数是功率型的。 T FX ( , T ) X (t )e jt dt T
2 2
S ( )
1
, 求R( )
三、互谱密度
1、互谱密度的定义 2、互谱密度的维纳-辛钦公式形式定义
3、互谱密度的性质
1、互谱密度的定义
定义：
设随机过程X(t)和Y(t)是联合平稳 的，则定义互谱密度为
1 S XY ( ) lim E{FX ( , T ) FY ( , T )} T 2T



S XY ( )d E[ X (t )Y (t )]
若X(t)是一个二端电压、Y(t)是流经
该器件的电流，则上式左边就是消 耗的功率。
两个正交随机过程性质
随机过程X(t)和Y(t)正交
RXY ( ) 0, S XY () 0
此时有：
RX Y ( ) RX ( ) RY ( ) S X Y ( ) S X ( ) SY ( )
②
上述两式统称为 维纳-辛钦公式 注释：对比“信号与系统” 中维纳辛钦公式
返回
2、功率谱密度两种定义的等价条件
对于第一种定义，将其展开
T 1 T jt1 S X ( ) lim E X (t1 )e dt1 X (t2 )e jt2 dt2 T T 2T T 1 T T j ( t1 t2 ) lim E [ X ( t ) X ( t )] e dt1dt2 1 2 T 2T T T 1 T T j ( t1 t2 ) lim R ( t t ) e dt1dt2 1 2 T 2T T T



1 s (t )dt 2
2



| F ( ) | d
2
信号的总能量
信号的能谱密度
能量守恒！
4、功率型信号
能量无限，平均功率有限的信号称
为功率型信号。即
1 Ps lim T 2T

T
T
s (t )dt
2
Ps为信号的平均功率。
5、平均功率的谱表示
功率型信号不满足绝对可积条件。 为了能够利用傅立叶变换给出平均
3、互谱密度的性质
1） SXY () S () SYX ()
* YX
2） | S XY () | S X ()SY ()
2
3）
Re[S XY ( )] Re[S XY ()]
奇函数
Im[S XY ()] Im[S XY ()] 偶函数
1 ）SXY () S () SYX ()
功率的谱表示式，构造截尾函数：
s(t ) | t | T sT (t ) 0 t T
平均功率的谱表示
sT(t)能够满足绝对可积条件。
sT(t)
jt
的频域结构
F (, T ) sT (t )e


jt
dt s(t )e
T
T
dt
sT(t)的平均功率：
S ( ) 2 R ( ) cos( ) d
0

R ( )

1

0
S ( ) cos( ) d
例 2.4-1
设随机相位余波 X t cos c t 的功 率谱密度，其 是在区间 0, 2 内均
匀分布. 解：
1 R( ) cos c 2
第六讲：
平稳随机过程的功率谱密度 白噪声随机过程
主讲人：张有光 电 话：82314978 办公室：新主楼F806
主要内容
一、平稳过程的功率谱密度 二、谱密度与自相关函数
三、平稳过程的互谱密度
四、白噪声过程
一、平稳过程的功率谱密度
1、能量型信号 2、信号的频谱
3、信号的能谱
* S ( ) RYX ( )e j d , 令： - * YX * YX
S ( ) RXY ( )e d RXY ( )e
j

j
d S XY ( )
若X (t )和Y (t )是实随机过程则 S ( ) R ( )e