任意角与任意角的三角函数

三角函数

3.1 任意角与任意角的三角函数

【知识网络】１．任意角的概念与弧度制；

２．任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；

３．同角三角函数的关系（2

2

sin cos 1x x +=，

sin tan cos x

x x

=）

； ４．诱导公式．

【典型例题】

［例1］(1)设(,)63

ππ

θ∈，且17θ的终边与θ角的终边相同，则tan θ等于 （ ）

A

1 B C

1 D 1

(1)Ｄ 提示: 与α角终边相同的角的集合是 }

{

2,k k Z ββπα=+∈ (2)如果θ是第一象限角，那么恒有 （ ） A sin

02

θ> B tan

12

θ< C sin

cos

2

2

θ

θ

> D sin

cos

2

2

θ

θ

<

(2)Ｂ 提示:利用三角函数线

(3) .若3=αtg ，则

α

αα

αsin 3cos 5cos 2sin 4+-的值等于 ( )

（A ）75 （B ）95 （C ）7

1- （D ）57

(3)Ａ 提示:用公式sin tan cos α

αα

=

(4)已知扇形的半径为10㎝，圆心角为120°，则扇形的弧长为 ；面积为 ．

203π㎝ , 100

3

π㎝2 (4)提示:利用弧长公式l r α=及扇形面积公式1

2

S lr =,注意圆心角的单位化为弧度

(5)已知0

4sin(540),cos(270)5

αα+=--=则 ． (5)4

5

-

提示：利用诱导公式

［例2］若tan α=

，求（1）

sin cos cos sin αα

αα

+-的值；

（2）22

2sin sin cos cos αααα-+的值．

解（1

）

cos sin 1tan 3cos sin 1tan αααααα++===----（2）原式222222

2sin sin cos cos 2tan tan 1

sin cos tan 1

ααααααααα-+-+==++

41533

--=

= ［例3］若1sin cos ,,,cos sin 842ππθθθθθ⎛⎫

=

∈- ⎪⎝⎭

求的值． 解：2

2

2

(cos sin )cos sin 2sin cos θθθθθθ-=+-13

144

=-

=

,,cos sin 42cos sin ππθθθ

θθ⎛⎫

∈∴< ⎪⎝⎭∴-=Q

［例4］已知sin()cos(2)tan(3)

2()tan()sin()

2

f π

απααπαπ

παα---+=++．

（1） 化简()f α；

（2） 若α是第三象限的角，且31

cos()25

πα-=，求()f α的值； （3） 若0

1860α=-，求()f α的值． 解：（1）cos cos (tan )

()cos tan cos f ααααααα-=

=-

（2） 3cos()sin 2π

αα-=-Q

1

sin ,5

αα∴=-又是第三象限的角

()f αα∴===cos （3）0

186********α=-=-⨯+Q 0

()(1860)cos(1860)f f α∴=-=--

000

1cos(6360300)cos602

=--⨯+=-=-

【课内练习】

1．34

sin ,cos ,255

θθθ=-=

若则角的终边在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 1．Ｄ 提示；由24

sin 22sin cos 0,25

θθθ==-< 2

27

cos 2cos

sin 025

θθθ=-=

>，可得 ２．已知sin 1,cos 43k k θθ=-=-，且θ是第二象限角，则k 应满足的条件是( )

A ．43k >

Ｂ．1k = Ｃ．8

5

k = Ｄ．1k > 2．Ｃ 提示：由2

2

sin 0,cos 0sin cos 1θθθθ><+=及可得．

３．已知

1sin 1cos ,cos 2sin 1x x

x x +=--那么

的值是 （ ） A ．12 B ．1

2

- Ｃ．２ Ｄ．－２

3．Ａ 提示：22

1sin sin 1sin 1

1cos cos cos x x x x x x

+--⋅==- ４．设θ是第三象限角，且cos

cos ,222

θ

θθ

=-则是（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限

4．Ｂ 提示：由设θ是第三象限角知2θ是第二、四象限角，再由cos 02

θ

≤可得 ５．函数()f x 满足14(cos )(0),(sin )23

f x x x f π

π=≤≤=则 ．

5．512π 提示：455sin sin()cos 3266

ππππ=+= ６．若角α和β的终边关于直线0x y +=对称，且3

π

α=-，则β角的集合是 ；

． 6．2,6

k k Z πβ

βπ⎧⎫

=-∈⎨⎬⎩

⎭

提示：由对称性知，β角的终边与6

π-的终边相同

７．已知 2

11

tan ,32sin cos cos αααα

=-=+则

．