函数不等式中的数形结合

函数不等式中的数形结合
【知识要点】
数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．
解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn 图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了． 解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法．函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法．
解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路．
【问题研究】
1． 已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象如图所示， 则b 的取值范围是（
）A
（A ）)0,(-∞∈b （B ）)1,0(∈b （C ）)2,1(∈b
（D ）),2(+∞∈b
2．在直角坐标系中,函数2
23
a
x a y += )0(为常数>a 所表示的曲线叫箕舌线，则箕舌线可能是下列图形中的( )A
3．设()⎩⎨
⎧<≥=1
,
1,
2x x x x x f ，()x g 是二次函数，若()[]x g f 的值域是[)+∞,0，则()x g 的
值域是（ ）C
A.(][)+∞-∞-,11,
B.(][)+∞-∞-,01,
C.[)+∞,0
D. [)+∞,1 分析：本题为复合函数，()x g 相当于()f x 中的x 的值， 结合函数的图象，可以求得()x g 的值域． 解：作出函数()f x 的图象如图所示，由图知 当(]
[),10,x ∈-∞-+∞时，函数()f x 的值域
为[)+∞,0，而()[]x g f 为复合函数，()x g 相当于()f x 中的x 的值，所以()x g 的值域是
[)+∞,0
4．已知集合{}{}|13,|3().A x x B x a x a a R =-<<=<<∈
（1）若B A ⊆，求a 的范围； （2）若A B ⊆，求a 的范围．
分析：先在数轴上表示出集合A 的范围，要使B A ⊆，由包含于的关系可知集合B 应该覆盖集合A ，从而有:⎩
⎨
⎧≥-≤331
a a ,这时a 的值不可能存在（图2①）
要使A B ⊆，当a >0时集合A 应该覆盖集合B,应有成立1
330a a a ≥-⎧⎪
≤⎨⎪>⎩
，01a <≤即．
当0≤a 时,φ=B ,显然A B ⊆成立.故A B ⊆时的取值范围为：1a ≤（图2 ②）
图2 5．已知0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减，Q
：不等式12>++c x x 的解集为
R ，如果P 与Q 有且仅有一个正确，试求
c 的范围． 解：不等式12>++c x x 的几何意义为：在数轴上求一点
)(x P ，使P 到)2(),0(c B A -的距离之和的最小值大于1，而P 到AB 二点的最短距离为12>=c AB ，即2
1
>c 而P ：函数x c y =在R 上单调递减，即10<<c
∴由题意可得：12
1
0≥≤
<c c 或
6. 函数2244)(2
2
+-+-=a a ax x x f 在]2,0[∈x 上的最小值为3，求实数a 的值． 解：22)2
(4)(2
+--
=a a x x f ，⎪⎩
⎪
⎨⎧>+-≤≤+-<+-=)4(1810)40(22)0(22)(22min a a a a a a a a x f ， 由函数的最小值为3可得21-=a ，或105+=a ．
7．已知⎩⎨⎧>≤-=1||11
||,1)(2x x x x f ，
.
（1）画出)(x f 的图象；（2）求)(x f 的定义域和值域；（3）求)1(2
+a f 的值．
解：（1）图略；
（2）定义域为R ，值域为}1{]0,1[ -；
（3）0≠a 时，1)1(2=+a f ；0=a 时，0)1(2
=+a f ．
3a
3a
3a 3a
8．设方程112
+=-k x ，试讨论k 取不同范围的值时其不同解的个数的情况．
分析：我们可把这个问题转化为确定函数12
1-=x y 与12+=k y 图像（图6）交点个数的情况，因函数12+=k y 表示平行于x 轴的所有直线，从图像可以直观看出 ： ①当1-<k 时， 1y 与2y 没有交点，这时原方程无解; ②当1-=k 时， 1y 与2y 有两个交点,原方程有两个不同的解;
③当01<<-k 时， 1y 与2y 有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个； ④当0=k 时， 1y 与2y 有三个交点，原方程不同解的个数有三个； ⑤当0>k 时1y 与2y 有两个交点，原方程不同解的个数有三个．
图6
9.(1)已知关于x 的方程2
43x x m -+=有4个不相等的实根，求实数m 的取值范围． 解：设2
143y x x =-+，1y 为偶函数，
2y m =，由图可知13m -<<
（2）已知关于x 的方程2
|43|x x px -+=，有 4个不同的实根, 求实数p 的取值范围． (1)直线y= px 与y= -(x 2
- 4x+ 3) , x ∈[ 1, 3 ]相切时原方程有3个根．
(2) y= px 与 x 轴重合时, 原方程有两个解, 故满足条件的直线y= px 应介于这
两者之间, 由:⎩
⎨⎧=+--=px y x x y )
34(2 得
x 2
+ (p - 4)x+ 3= 0, 再由△=0 得, p = 4±23 , 当p= 4+ 23时,
x= - 3∉ [1, 3 ]舍去, 所以实数p 的取值范围是 0< p< 4- 23 ．
【巩固练习】
1．设函数⎩⎨⎧>≤++=0 20
)(2x x c bx x x f ，若2)2(),0()4(-=-=-f f f 则关于x 的方程
x x f =)(的解的个数为 3
2．函数y ＝－1
x ＋1
的图象是( )B
3．为了得到函数3
2
1x y -=-的图象，只需把函数2x y =的图象上所有的点（ ）A
A ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
4．关于x 的方程2
3
2
x x k -
=在（－1,1）内恰有一个实根，求k 的取值范围． 解：问题可转化为抛物线2
32
y x x =-与直线y ＝k 的交点个数问题，作出这两个函数的图
像，则可得915
1622
k k =-≤<或-
5．已知k N k ,∈为常数，方程04)4(22=++-k x a k x 在区间]12,12(+-k k 上有两个不等
的实根，求a 的范围．
解：将原方程化为ax k x =-2)2(，作函数2)2(k x y -=])12,12((+-∈k k x 与ax y =的图象，由图象可知，]1
21
,0(+∈k a ．
6．不等式2
231()x x a a a R -+-<-+∈在实数集R 上有解，求a 的取值范围．
解：当3≥x 时，不等式为)6(2
11522
2
+-<
⇒+-<-a a x a a x ，这时不等式有解应有
0)1(3)6(2
12
>-⇔>+-a a a a ，得01<>a a 或； 当32<≤x 时，不等式为0)1(1322
>-⇔+-<-+-a a a a x x ，得01<>a a 或； 当2<x 时，不等式为)4(2
1
13222
a a x a a x x -+>
⇔+-<-+-，这时不等式有
解应有
0)1(2)4(2
1
2>-⇔<-+a a a a ，得01<>a a 或． 综上所述得a 的取值范围为：01<>a a 或．
反思：本例也可如下解得，由于1)3()2(32≥---≥-+-x x x x ，所以
0)1(112>-⇔>+-a a a a ，解得01<>a a 或．解绝对值不等式，按绝对值的意义去
掉绝对值的符号是常用方法．。