函数不等式中的数形结合

函数不等式中的数形结合

【知识要点】

数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．

解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn 图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了． 解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法．函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法．

解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路．

【问题研究】

1． 已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象如图所示， 则b 的取值范围是（

）A

（A ）)0,(-∞∈b （B ）)1,0(∈b （C ）)2,1(∈b

（D ）),2(+∞∈b

2．在直角坐标系中,函数2

23

a

x a y += )0(为常数>a 所表示的曲线叫箕舌线，则箕舌线可能是下列图形中的( )A

3．设()⎩⎨

⎧<≥=1

,

1,

2x x x x x f ，()x g 是二次函数，若()[]x g f 的值域是[)+∞,0，则()x g 的

值域是（ ）C

A.(][)+∞-∞-,11,

B.(][)+∞-∞-,01,

C.[)+∞,0

D. [)+∞,1 分析：本题为复合函数，()x g 相当于()f x 中的x 的值， 结合函数的图象，可以求得()x g 的值域． 解：作出函数()f x 的图象如图所示，由图知 当(]

[),10,x ∈-∞-+∞时，函数()f x 的值域

为[)+∞,0，而()[]x g f 为复合函数，()x g 相当于()f x 中的x 的值，所以()x g 的值域是

[)+∞,0

4．已知集合{}{}|13,|3().A x x B x a x a a R =-<<=<<∈

（1）若B A ⊆，求a 的范围； （2）若A B ⊆，求a 的范围．

分析：先在数轴上表示出集合A 的范围，要使B A ⊆，由包含于的关系可知集合B 应该覆盖集合A ，从而有:⎩

⎨

⎧≥-≤331

a a ,这时a 的值不可能存在（图2①）

要使A B ⊆，当a >0时集合A 应该覆盖集合B,应有成立1

330a a a ≥-⎧⎪

≤⎨⎪>⎩

，01a <≤即．

当0≤a 时,φ=B ,显然A B ⊆成立.故A B ⊆时的取值范围为：1a ≤（图2 ②）

图2 5．已知0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减，Q

：不等式12>++c x x 的解集为

R ，如果P 与Q 有且仅有一个正确，试求

c 的范围． 解：不等式12>++c x x 的几何意义为：在数轴上求一点

)(x P ，使P 到)2(),0(c B A -的距离之和的最小值大于1，而P 到AB 二点的最短距离为12>=c AB ，即2

1

>c 而P ：函数x c y =在R 上单调递减，即10<

∴由题意可得：12

1

0≥≤

6. 函数2244)(2

2

+-+-=a a ax x x f 在]2,0[∈x 上的最小值为3，求实数a 的值． 解：22)2

(4)(2

+--

=a a x x f ，⎪⎩

⎪

⎨⎧>+-≤≤+-<+-=)4(1810)40(22)0(22)(22min a a a a a a a a x f ， 由函数的最小值为3可得21-=a ，或105+=a ．

7．已知⎩⎨⎧>≤-=1||11

||,1)(2x x x x f ，

.

（1）画出)(x f 的图象；（2）求)(x f 的定义域和值域；（3）求)1(2

+a f 的值．

解：（1）图略；

（2）定义域为R ，值域为}1{]0,1[ -；

（3）0≠a 时，1)1(2=+a f ；0=a 时，0)1(2

=+a f ．

3a

3a

3a 3a

8．设方程112

+=-k x ，试讨论k 取不同范围的值时其不同解的个数的情况．

分析：我们可把这个问题转化为确定函数12

1-=x y 与12+=k y 图像（图6）交点个数的情况，因函数12+=k y 表示平行于x 轴的所有直线，从图像可以直观看出 ： ①当1-

③当01<<-k 时， 1y 与2y 有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个； ④当0=k 时， 1y 与2y 有三个交点，原方程不同解的个数有三个； ⑤当0>k 时1y 与2y 有两个交点，原方程不同解的个数有三个．

图6

9.(1)已知关于x 的方程2

43x x m -+=有4个不相等的实根，求实数m 的取值范围． 解：设2

143y x x =-+，1y 为偶函数，

2y m =，由图可知13m -<<

（2）已知关于x 的方程2

|43|x x px -+=，有 4个不同的实根, 求实数p 的取值范围． (1)直线y= px 与y= -(x 2

- 4x+ 3) , x ∈[ 1, 3 ]相切时原方程有3个根．

(2) y= px 与 x 轴重合时, 原方程有两个解, 故满足条件的直线y= px 应介于这

两者之间, 由:⎩

⎨⎧=+--=px y x x y )

34(2 得

x 2

+ (p - 4)x+ 3= 0, 再由△=0 得, p = 4±23 , 当p= 4+ 23时,

x= - 3∉ [1, 3 ]舍去, 所以实数p 的取值范围是 0< p< 4- 23 ．

【巩固练习】