经济数学 偏微分方程在金融中的运用

偏微分方程概述

如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或是说如果未知

函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，则这类方程称为偏微分方程，该类方程反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式.偏微分方程这门学科开创于 1946 年，19 世纪随着数学物理问题研究的繁荣，偏微分方程得到了迅速发展，以物理、力学等各门科学中的实际问题为背景的偏微分方程已经成为应用数学的一个核心内容很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是偏微分方程，而其他很多学科领域中在建立数学模型时都可以用偏微分方程来描述，或者用偏微分方法来研究.在科技和经济发展中，很多重要的实际课题都需要求解偏微分方程，为相应的工程设计提供必要的数据，保证工程安全可靠且高效地完成任务。

在很多的实际课题中，有不少课题(特别是国防课题)是不能或

很难用工程试验的方法来进行研究的(一方面是危险系数大，另一方面是耗费大)，因此就需要尽可能地减少试验的次数或在试验前给出比较准确的预计。随着电子计算机的出现及计算技术的发展，电子计算机成为解决这些实际课题的重要工具。但是有效地利用电子计算机，必须具备如下先决条件：

针对所考虑的实际问题建立合理的数学模型，而这些能精确描

述问题的模型大都是通过偏微分方程给出的。对相应的偏微分方程模型进行定性的研究。根据所进行的定性研究，寻求或选择有效的求解方法。编制高效率的程序或建立相应的应用软件，利用电子计算机对实际问题进行模拟。

因此，总体上来说，上述这些先决条件都属于偏微分方程应用

的研究范围，这些问题解决的好坏直接影响到使用电子计算机所得结果的精确性及耗费的大小。如果解决得好，就会对整个问题的解决起到事半功倍的效果。

到目前为止，偏微分方程已经在解决有关人口问题、传染病动

力学、高速飞行、石油开发及城市交通等方面的实际课题中做出了重大的贡献。

多工作，我们以此可以将列出的金融方程化为典型的偏微分方程，从而利用已经研究过的问题进行求解。在这个过程中根据金融知识列出基本方程和将这些方程简化成我们已熟知的模型是两大关键步骤。