高三数学上学期期末考试试题 文8
高三数学上学期期末试卷(含解析)-人教版高三全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市正定中学高三（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x|x＜3}，N={x|x＞﹣1}，全集U=R，则∁U（M∩N）=（）A．{x|x≤﹣1} B．{x|x≥3} C．{x|0＜x＜3} D．{x|x≤﹣1或x≥3}2．已知=1+i，则复数z在复平面上对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数4．等比数列{a n}中，a1+a2=40，a3+a4=60，那么a7+a8=（）A．9 B．100 C．135 D．805．设函数f（x）=，则f（﹣98）+f（lg30）=（）A．5 B．6 C．9 D．226．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B． C． D．87．过三点A（1，2），B（3，﹣2），C（11，2）的圆交x轴于M，N两点，则|MN|=（）A． B． C． D．8．根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A．0 B．3 C．6 D．129．球O半径为R=13，球面上有三点A、B、C，AB=12，AC=BC=12，则四面体OABC的体积是（）A．60B．50C．60D．5010．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油11．已知双曲线E： =1（a＞0，b＞0）的左，右顶点为A，B，点M在E上，△ABM 为等腰三角形，且顶角θ满足cosθ=﹣，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．12．设函数f′（x）是偶函数f（x）（x∈R）的导函数，f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，并且当x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0．则使得f（x）＜0成立的x的取值X围是（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣1，1）D．（﹣2，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设向量，是相互垂直的单位向量，向量λ+与﹣2垂直，则实数λ=．14．若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为．15．已知对任意实数x，有（m+x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，若a1+a3+a5+a7=32，则m=．16．已知数列{a n}满足a1=1，a n=（n≥2），其中S n为{a n}的前n项和，则S2016=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos2A=a．（I）求；（Ⅱ）若c2=a2+，求角C．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC=BC=，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD．（Ⅰ）证明：DC1⊥BC；（Ⅱ）设AA1=2，A1B1的中点为P，求点P到平面BDC1的距离．19．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不必计算出结果）（Ⅱ）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：60，65，70，75，80，85，90，95，物理分数从小到大排序是：72，77，80，84，88，90，93，95．（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；（ii）若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如下表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95根据上表数据，用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由．参考公式：相关系数r=；回归直线的方程是：，其中对应的回归估计值b=，a=，是与x i对应的回归估计值．参考数据：≈457，≈23.5．20．已知P是圆C：x2+y2=4上的动点，P在x轴上的射影为P′，点M满足，当P 在圆上运动时，点M形成的轨迹为曲线E（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）经过点A（0，2）的直线l与曲线E相交于点C，D，并且=，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点x=1处的切线的斜率；（Ⅱ）若当x＞0时，f（x）＞恒成立，求正整数k的最大值．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，等腰梯形ABDC内接于圆，过B作腰AC的平行线BE交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求证：BE=EF．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，求tanα的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，某某数a的最大值．2015-2016学年某某省某某市正定中学高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x|x＜3}，N={x|x＞﹣1}，全集U=R，则∁U（M∩N）=（）A．{x|x≤﹣1} B．{x|x≥3} C．{x|0＜x＜3} D．{x|x≤﹣1或x≥3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出M∩N，从而求出M∩N的补集即可．【解答】解：集合M={x|x＜3}，N={x|x＞﹣1}，全集U=R，则M∩N={x|﹣1＜x＜3}，则∁U（M∩N）={x|x≤﹣1或x≥3}，故选：D．2．已知=1+i，则复数z在复平面上对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解： =1+i，∴=（3+i）（1+i）=2+4i，∴z=2﹣4i，则复数z在复平面上对应点（2，﹣4）位于第四象限．故选：D．3．已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】用二倍角公式把二倍角变为一倍角，然后同底数幂相乘公式逆用，变为二倍角正弦的平方，再次逆用二倍角公式，得到能求周期和判断奇偶性的表示式，得到结论．【解答】解：∵f（x）=（1+cos2x）sin2x=2cos2xsin2x=sin22x==，故选D．4．等比数列{a n}中，a1+a2=40，a3+a4=60，那么a7+a8=（）A．9 B．100 C．135 D．80【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意可得等比数列的公比q，而7+a8=（a1+a2）q6，代值计算可得．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∴q2===，∴a7+a8=（a1+a2）q6=40×=135，故选：C．5．设函数f（x）=，则f（﹣98）+f（lg30）=（）A．5 B．6 C．9 D．22【考点】函数的值．【分析】利用分段函数的性质及对数函数性质、运算法则和换底公式求解．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣98）=1+lg100=3，f（lg30）=10lg30﹣1==3，∴f（﹣98）+f（lg30）=3+3=6．故选：B．6．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B． C． D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为四棱锥，底面为直角梯形，高为侧视图三角形的高．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，棱锥底面为俯视图中的直角梯形，棱锥的高为侧视图中等腰三角形的高．∴四棱锥的高h==2，∴棱锥的体积V==4．故选A．7．过三点A（1，2），B（3，﹣2），C（11，2）的圆交x轴于M，N两点，则|MN|=（）A． B． C． D．【考点】圆的一般方程．【分析】设圆的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣b）2=r2，代入A（1，2），B（3，﹣2），求出b，r，利用勾股定理求出|MN|．【解答】解：设圆的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣b）2=r2，代入A（1，2），B（3，﹣2），可得，解得：b=2，r=5，所以|MN|=2=2，故选：D．8．根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A．0 B．3 C．6 D．12【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，r=12，m=30，n=12，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，r=6，m=12，n=6，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，r=0，m=6，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为6，故选：C；9．球O半径为R=13，球面上有三点A、B、C，AB=12，AC=BC=12，则四面体OABC的体积是（）A．60B．50C．60D．50【考点】球内接多面体．【分析】求出△ABC的外接圆的半径，可得O到平面ABC的距离，计算△ABC的面积，即可求出四面体OABC的体积．【解答】解：∵AB=12，AC=BC=12，∴cos∠ACB==﹣，∴∠ACB=120°，∴△ABC的外接圆的半径为=12，∴O到平面ABC的距离为5，∵S△ABC==36，∴四面体OABC的体积是=60．故选：A．10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．【解答】解：对于选项A，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40千米每小时时的燃油效率大于5千米每升，故乙车消耗1升汽油的行驶路程远大于5千米，故A错误；对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确．11．已知双曲线E： =1（a＞0，b＞0）的左，右顶点为A，B，点M在E上，△ABM 为等腰三角形，且顶角θ满足cosθ=﹣，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据△ABM是顶角θ满足cosθ=﹣的等腰三角形，得出|BM|=|AB|=2a，cos∠MBx=，进而求出点M的坐标，再将点M代入双曲线方程即可求出离心率．【解答】解：不妨取点M在第一象限，如右图：∵△ABM是顶角θ满足cosθ=﹣的等腰三角形，∴|BM|=|AB|=2a，cos∠MBx=，∴点M的坐标为（a+，2a•），即（，），又∵点M在双曲线E上，∴将M坐标代入坐标得﹣=1，整理上式得，b2=2a2，而c2=a2+b2=3a2，∴e2==，因此e=，故选：C．12．设函数f′（x）是偶函数f（x）（x∈R）的导函数，f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，并且当x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0．则使得f（x）＜0成立的x的取值X围是（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣1，1）D．（﹣2，2）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．【分析】令g（x）=xf（x），判断出g（x）是R上的奇函数，根据函数的单调性以及奇偶性求出f（x）＜0的解集即可．【解答】解：令g（x）=xf（x），g′（x）=xf′（x）+f（x），当x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0，∴g（x）在（﹣1，1）递减，而g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=﹣xf（x）=﹣g（x），∴g（x）在R是奇函数，∵f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，即g（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，+∞）递增，g（0）=0，g（2）=0，g（﹣2）=0，如图示：，x≥0时，f（x）＜0，即xf（x）＜0，由图象得：0≤x＜2，x＜0时，f（x）＜0，即xf（x）＞0，由图象得：﹣2＜x＜0，综上：x∈（﹣2，2），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设向量，是相互垂直的单位向量，向量λ+与﹣2垂直，则实数λ= 2 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量垂直，令数量积为零列方程解出．【解答】解：∵向量，是相互垂直的单位向量，∴=0，．∵λ+与﹣2垂直，∴（λ+）•（﹣2）=λ﹣2=0．解得λ=2．故答案为2．14．若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为 2 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=x可得．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图△ABC及内部），变形目标函数可得y=x﹣z，平移直线y=x可知，当直线经过点A（2，0）时，截距取最小值，z取最大值，代值计算可得z的最大值为2，故答案为：2．15．已知对任意实数x，有（m+x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，若a1+a3+a5+a7=32，则m= 0 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】在所给的等式中，分别令x=1、x=﹣1，可得2个等式，再结合a1+a3+a5+a7=32，求得m的值．【解答】解：对任意实数x，有（m+x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，若a1+a3+a5+a7=32，令x=1，可得（m+1）（1+1）6=a0+a1+a2+…+a7①，再令x=﹣1，可得（m﹣1）（1﹣1）6=0=a0﹣a1+a2+…﹣a7②，由①﹣②可得 64（m+1）=2（a1+a3+a5+a7）=2×32，∴m=0，故答案为：0．16．已知数列{a n}满足a1=1，a n=（n≥2），其中S n为{a n}的前n项和，则S2016=．【考点】数列的求和．【分析】通过对a n=（n≥2）变形可知2S n S n﹣1=S n﹣1﹣S n，进而可知数列{}是首项为1、公差为2的等差数列，计算即得结论．【解答】解：∵a n=（n≥2），∴2=2S n a n﹣a n，∴2﹣2S n a n=S n﹣1﹣S n，即2S n S n﹣1=S n﹣1﹣S n，∴2=﹣，又∵=1，∴数列{}是首项为1、公差为2的等差数列，∴S2016==，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos2A=a．（I）求；（Ⅱ）若c2=a2+，求角C．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）由正弦定理化简已知等式，整理即可得解．（II）设b=5t（t＞0），由（I）可求a=3t，由已知可求c=7t，由余弦定理得cosC的值，利用特殊角的三角函数值即可求解．【解答】（本题满分为12分）解：（I）由正弦定理得，，…即，故．…（II）设b=5t（t＞0），则a=3t，于是．即c=7t．…由余弦定理得．所以．…18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC=BC=，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD．（Ⅰ）证明：DC1⊥BC；（Ⅱ）设AA1=2，A1B1的中点为P，求点P到平面BDC1的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由题目条件结合勾股定理，即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，代入运用公式进行计算即可得出答案．【解答】（1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．∵D为AA1的中点，∴DC=DC1．又，可得，∴DC1⊥DC．而DC1⊥BD，DC∩BD=D，∴DC1⊥平面BCD．∵BC⊂平面BCD，∴DC1⊥BC．…（2）解：由（1）知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1A1，∴CA，CB，CC1两两垂直．以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz．由题意知，，．则，，．设是平面BDC1的法向量，则，即，可取．设点P到平面BDC1的距离为d，则．…12分19．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不必计算出结果）（Ⅱ）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：60，65，70，75，80，85，90，95，物理分数从小到大排序是：72，77，80，84，88，90，93，95．（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；（ii）若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如下表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95根据上表数据，用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由．参考公式：相关系数r=；回归直线的方程是：，其中对应的回归估计值b=，a=，是与x i对应的回归估计值．参考数据：≈457，≈23.5．【考点】线性回归方程．【分析】（I）根据分层抽样原理计算，使用组合数公式得出样本个数；（II）（i）使用乘法原理计算；（ii）根据回归方程计算回归系数，得出回归方程．【解答】解：（I）应选女生位，男生位，可以得到不同的样本个数是．（II）（i）这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀，则需要先从物理的4个优秀分数中选3个与数学优秀分数对应，种数是（或），然后将剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是，根据乘法原理，满足条件的种数是．这8位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有种．故所求的概率．（ii）变量y与x的相关系数．可以看出，物理与数学成绩高度正相关．也可以数学成绩x为横坐标，物理成绩y为纵坐标做散点图如下：从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理与数学成绩高度正相关．设y与x的线性回归方程是，根据所给数据，可以计算出，a=84.875﹣0.66×77.5≈33.73，所以y与x的线性回归方程是．20．已知P是圆C：x2+y2=4上的动点，P在x轴上的射影为P′，点M满足，当P 在圆上运动时，点M形成的轨迹为曲线E（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）经过点A（0，2）的直线l与曲线E相交于点C，D，并且=，求直线l的方程．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（Ⅰ）利用代入法，求曲线E的方程；（Ⅱ）分类讨论，设直线l：y=kx+2与椭圆方程联立，利用韦达定理，向量得出坐标关系，求出直线的斜率，即可求直线l的方程．【解答】解：（I）设M（x，y），则P（x，2y）在圆x2+4y2=4上，所以x2+4y2=4，即…..（II）经检验，当直线l⊥x轴时，题目条件不成立，所以直线l存在斜率．设直线l：y=kx+2．设C（x1，y1），D（x2，y2），则．…△=（16k）2﹣4（1+4k2）•12＞0，得．…．①，…②．…又由，得，将它代入①，②得k2=1，k=±1（满足）．所以直线l的斜率为k=±1．所以直线l的方程为y=±x+2…21．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点x=1处的切线的斜率；（Ⅱ）若当x＞0时，f（x）＞恒成立，求正整数k的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1）即可；（Ⅱ）问题转化为对x＞0恒成立，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出正整数k的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=﹣+，∴…（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，即对x＞0恒成立．即h（x）（x＞0）的最小值大于k．…，，记ϕ（x）=x﹣1﹣ln（x+1）（x＞0）则，所以ϕ（x）在（0，+∞）上连续递增．…又ϕ（2）=1﹣ln3＜0，ϕ（3）=2﹣2ln2＞0，所以ϕ（x）存在唯一零点x0，且满足x0∈（2，3），x0=1+ln（x0+1）．…由x＞x0时，ϕ（x）＞0，h'（x）＞0；0＜x＜x0时，ϕ（x）＜0，h'（x）＜0知：h（x）的最小值为．所以正整数k的最大值为3．…请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，等腰梯形ABDC内接于圆，过B作腰AC的平行线BE交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求证：BE=EF．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）由PA是圆的切线结合切割线定理得比例关系，求得PD，再由角相等得三角形相似：△PAC∽△CBA，从而求得AC的长；（II）欲求证：“BE=EF”，可先分别求出它们的值，比较即可，求解时可结合圆中相交弦的乘积关系．【解答】解：（I）∵PA2=PC•PD，PA=2，PC=1，∴PD=4，…又∵PC=ED=1，∴CE=2，∵∠PAC=∠CBA，∠PCA=∠CAB，∴△PAC∽△CBA，∴，…∴AC2=PC•AB=2，∴…证明：（II）∵，CE=2，而CE•ED=BE•EF，…∴，∴EF=BE．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，求tanα的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）对极坐标方程两边同乘ρ，得到直角坐标方程；（II）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，利用参数意义和根与系数的关系列出方程解出α．【解答】解：（I）∵ρsin2θ=4cosθ，∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．（II）将代入y2=4x，得sin2α•t2+（2sinα﹣4cosα）t﹣7=0，所以，所以，或，即或．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，某某数a的最大值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=﹣时，根据f（x）=的最小值为3，可得lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，不等式得证．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 f（x）≥|a﹣|，可得|a﹣|≥a，由此解得a的X围．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵当a=﹣时，f（x）=|x﹣|+|x+|=的最小值为3，∴lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，∴lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 f（x）=|x﹣|+|x﹣a|≥|（x﹣）﹣（x﹣a）|=|a﹣|，再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a﹣|≥a，∴a﹣≥a，或 a﹣≤﹣a，解得a≤，故a的最大值为．。
辽宁省沈阳市第二中学2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题
沈阳二中2022-2023学年度上学期期末考试高三（23届）数学试题!"#$%&'()#$*+,-./,#$0+,.*%1234563789:2365637;<=>?8.第I 卷（选择题）共60分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．设全集，或，，则(C !A )∩B （ ） A ． B ． C ． D ． 2．若复数满足|z −i|=z̅∙i （为虚数单位），则（ ）A ．B ．C ．D ． 3．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．已知，，为三条不同的直线，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若，，则B ．若，，，则C ．若，，则D ．若，，，，则 5．，，的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知，函数在上恰有3个零点，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ． 7．在正三棱柱中，所有棱长之和为定值，当正三棱柱外接球的表面积取得最小值时，正三棱柱的侧面积为（ ）A ．12B ．16C ．24 D．18 8．已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有三条，则（ ）A ．B ．C ．D ．或U =R {1A x x =<-}2x ³{}2,1,0,1,2B =--{}0,1{}1,0-{}0,1,2{}1,0,1-z i z =12-121i 2-1i 2x "ÎR 23208kx kx +-<()3,0-(]3,0-()3,1-()3,-+¥a b c ,,a b g //a b b a Ì//a a a a Ìb b Ì//a b //a b //a b //a a //a b a a b Ç=b b g =!c a g Ç=//a b //b c 2log 38log 12lg1528log 3log 12lg15<<82log 12lg15log 3<<28log 3log 12lg15>>82log 12log 3lg15<<0w >()22ππ2cos 1612f x x x w w æöæö=+++-ç÷ç÷èøèø()0,πw 411,36éùêúëû411,36æöç÷èø411,36éö÷êëø411,36æùçúèû111ABC A B C -16π111ABC A B C -(e 3)()x f x x =-(0,)a ()y f x =3e a -<<-e a >-3a <-3a <-e a >-二、多选题（本题共4小题，共20分.全选对的得5分，部分选对的得2分,有选错的得0分）9．下列说法中正确的是（ ）A ．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17B ．若随机变量，且，则．C ．袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从袋中不放回的依次抽取2个球．记事件第一次抽到的是白球，事件第二次抽到的是白球，则D ．已知变量、线性相关，由样本数据算得线性回归方程是，且由样本数据算得，，则 10．地球环境科学亚欧合作组织在某地举办地球环境科学峰会，为表彰为保护地球环境做出卓越贡献的地球科研卫士，会议组织方特别制作了富有地球寓意的精美奖杯，奖杯主体由一个铜球和一个三足托盘组成，如图①，已知球的表面积为，底座由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图②，则下列结论正确的是（ ）A ．直线与平面所成的角为B ．底座多面体的体积为C ．平面平面D ．球离球托底面 11．已知抛物线C:的焦点，过的直线交抛物线于A ，B两点，O 为坐标原点，则以下说法正确．．的是（ ） A ．为定值B ．AB 中点的轨迹方程为C ．最小值为16D ．O 在以AB 为直径的圆外 ()23,N x s ~()60.84P x <=()360.34P x <<={A =}{B =}()13P B A =x y ˆˆ0.4yx a =+4x = 3.7y =ˆ 2.1a=4p ABC AD DEF 3pABCDEF 94//BCF ADE DEF 1-()220y px p =>()1,0F ()8,0G OA OB k k 2216y x =-AF BF +12．已知函数与的定义域均为，且，，若为偶函数，则（ ）A ．函数的图象关于直线对称B ．C ．函数的图象关于点对称D ．第II 卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每空5分，共20分）13．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则的系数为______．14．写出与圆和圆都相切的一条直线的方程______. 15．在中，，点是外接圆上任意一点，则的最大值为___________. 16．已知，分别为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，，设四边形的周长为，面积为，且满足，则该双曲线的离心率为______.四、解答题（本题共6小题，共70分）17．（10分）已知各项均不为零的数列满足，且. (1)证明：为等差数列，并求的通项公式； (2)令为数列的前项和，求. 18．（12分）锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，． (1)求B 的大小； (2)若，求b 的取值范围．19．（12分）如图，在四棱锥中，平面ABCD ⊥平面P AD ，，，，，，E 是PD 的中点．()f x ()g x R ()()123f x g x ++-=()()11f x g x ---=()21g x -()g x 12x =-()01g =()f x ()1,2()202312023k g k ==ånx æçè3x 221x y +=()2264x y -+=ABC !6,810AB AC BC ===,M ABC !AB AM ×""1F 2F ()222210,0x y a b a b-=>>12F F M N 12F NF M p S 232S p ={}n a 125a =*11223,n n n n a a a a n ++-=ÎN 2n a ìüíýîþ{}n a 2,nn n nc T a ={}n c n n T sin sin 5A C a b A +=2cos 2cos c A a C ab +=P ABCD -//AD BC 1AB BC PA ===2AD =30ADP Ð=°90BAD Ð=°(1)求证：；(2)若点M 在线段PC 上，异面直线BM 和CE 所成角的余弦求面MAB 与面PCD 夹角的余弦值．20．（12分）2022年10月1日，女篮世界杯落幕，时隔28年，中国队再次获得亚军，追平历史最佳成绩.为考察某队员甲对球队的贡献，教练对近两年甲参加过的100场比赛进行统计：甲在前锋位置出场20次，其中球队获胜14次；中锋位置出场30次，其中球队获胜21次；后卫位置出场50次，其中球队获胜40次.用该样本的频率估计概率，则：(1)甲参加比赛时，求该球队某场比赛获胜的概率；(2)现有小组赛制如下：小组共6支球队，进行单循环比赛，即任意两支队伍均有比赛，规定至少3场获胜才可晋级.教练决定每场比赛均派甲上场，已知甲所在球队顺利晋级，记其获胜的场数为X ，求X 的分布列和数学期望. 21．（12分）已知椭圆C ：（a >b >0）的离心率短轴长为如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线P A ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点.(1)求证：为定值；(2)试问以MN 为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论.22．（12分）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)对任意的恒成立，求的取值范围．PD PB ^22221x y a b+=e =OM ON ()()2ln 3,R f x x a x a =++Î()f x ()20,e 1x x f x x >£-a。
2022-2023学年河北省邢台市高三上学期期末数学试题及答案
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！12022-2023学年河北省邢台市高三上学期期末数学试题及答案注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）{}{|34,|A x x x B x x =>-=-<A B =A.B.C.D.()2∅)2(-【答案】A 【解析】【分析】计算得到，再计算交集得到答案. {}{|2,|A x x B x x =<=>【详解】因为，所以. {}{|2,|A x x B x x =<=>(2)A B ⋂=故选：A2. 已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为、，高为，则该圆台的体积为3π12π6（ ） A. B.C.D.36π40π42π45π【答案】C 【解析】【分析】利用台体的体积公式可求得该圆台的体积.【详解】由题意可知，该圆台的体积为. (13π12π642π3V =⨯++⨯=故选：C.3. 若复数z 满足方程，则z =（ ） 2210z z =-A.B.C.D.13i -±1-±13i ±1±【答案】C 【解析】【分析】配方可得，两边开方可求. ()219z -=-z 【详解】由，得， 2210z z =-22100z z -+=则，则， ()219z -=-13i z -=±故， 13i z =±故选：C.4. 某学习小组共有11名成员，其中有6名女生，为了解学生的学习状态，随机从这11名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解情况，A 表示“抽到的2名成员都是女生”，B 表示“抽到的2名成员性别相同”，则（ ） ()|P A B =A.B.C.D.352325511【答案】A 【解析】【分析】求出，，再利用条件概率求解即可．()P B ()P AB 【详解】由题意可知，， ()2265211C C 5C 11P B +==()26211C 3C 11P AB ==所以． ()()()P 3|P 5AB P A B B ==故选：A ．5. 《中国居民膳食指南（2022）》数据显示，6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达19.0%．为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取100名学生，测量他们的体重（单位：千克），根据测量数据，按分成六组，得到的频率分布直方图如图[40,45),[45,50),[50,55),[55,60),[60,65),[65,70]所示．根据调查的数据，估计该地中学生体重的第75百分位数是（ ）A. 55B. 57.25C. 58.75D. 60【答案】C 【解析】【分析】确定第75百分位数在内，直接根据百分位数的概念计算得到答案. [55,60)【详解】因为， (0.010.030.08)50.60.75,0.60.0450.80.75++⨯=<+⨯=>所以该地中学生体重的第75百分位数在内，[55,60)设第75百分位数为m ，则，解得． (55)0.040.60.75m -⨯+=58.75m =故选：C6. 已知圆与直线相切，则圆关于直线对称22:25C x y +=():3400l x y m m -+=>C l 的圆的方程为（ ） A. B. 22(3)(4)16x y ++-=22(3)(4)25x y ++-=C. D.22(6)(8)16x y ++-=22(6)(8)25x y ++-=【答案】D 【解析】【分析】利用圆与直线相切，求出，然后求出过圆圆心垂直于直线的直线方程，联m C l 立求出交点，再利用中点公式求出关于直线对称后圆的圆心坐标，半径没有改变，即可解决问题.【详解】由圆的圆心为原点，半径为5， 22:25C x y +=O 又圆与直线相切， C l 则到直线的距离为，O l 5d =则，解得，5d ==25m =设过且与垂直的直线为， O l 0l 则：，0l 430x y +=联立， 4303342504x y x x y y +==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩得直线l 与的交点为，0l ()3,4-设圆心关于点的对称点为，(0,0)O ()3,4-(),p n 由中点公式有 03620842p p nn +⎧-=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩所以圆心关于点的对称点为，(0,0)O ()3,4-()6,8-因此圆C 关于直线l 对称的圆的方程为：， 22(6)(8)25x y ++-=故选：D.7. 如图，已知OAB 是半径为2千米的扇形，，C 是弧AB 上的动点，过点C 作OA OB ⊥，垂足为H ，某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC 和矩形ODEH 组成，且CH OA ⊥，若风景区的修建费为100万元/平方千米，则该风景区的修建最多需要2OH OD =（ ）A. 260万元B. 265万元C. 255万元D. 250万元【答案】D 【解析】【分析】设，，利用表示风景区的面积，求出最大值，进而可AOC α∠=π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α求得该风景区的修建最多需要多少费用． 【详解】设，，则，， AOC α∠=π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2cos km OH α=cos km OD α=所以矩形ODEH 的面积， 2212cos km S α=又， 221S 2sin 2sin km 2AOC αα=⨯⨯= 所以风景区面积，()2222152cos 2sin 22sin 2sin 2sin km 22S ααααα⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭当时，有最大值，故最多需要万元的修建费． 1sin 2α=S 522km51002502⨯=故选：D ．8. 若，且，则（ ）0,1a b >>()22234282ab ba b ++=-A. 的最小值为B. 的最小值为22843a b b ++22843a b b ++C. 的最小值为16D. 没有最小值22843a b b ++22843a b b ++【答案】A 【解析】【分析】先将题意整理成，然后利用基本不等式可得到()()222228++=a ba b是否成立22843++≥a b b ()()2222232+=+a b a b 即可 【详解】由，得()22234282ab ba b ++=-.()()42223222242228+++=++=a a b a b b a b a b 因为，所以01a b >>，2222020.+>+>，a b a b所以()()222228432232++=+++≥a b b a b a b==当且仅当，即时，等号成立. ()()2222232+=+a b a b ()()22222434228b b a a b a b ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩由得, ()()22222434228b b a a b a b ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩()()22123464--=b b b b 设函数，()()()22123464,1=--->f b b bbb b 则由，得在上至少一个零点，()()1020<>，f f ()f b ()1,2此时，故存在，使得不等式中的等号22304=->a b b 01a b >>，22843++≥a b b 成立，故的最小值为22843a b b ++故选：A【点睛】关键点睛：这道题关键的地方在于检验是否成立，需()()2222232+=+a b ab 要构造，并结合零点存在定理进行验证()()()22123464,1=--->f b b bbb b 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） 22416f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭A. 函数为增函数 B. 函数的图象关于y 轴对称 ()f x ()f x C.D.()23log 0.2517f -+=(0,),28(0.56)41x x f ∀∈+∞<+<【答案】BCD 【解析】【分析】确定函数定义域为，计算，再根据函数的单调(][),44,-∞-⋃+∞()28f x x =-性和奇偶性定义判断A 错误，B 正确，代入数据计算得到CD正确，得到答案. 【详解】当时，，时等号成立， 0x >44x x +≥=2x=当时，，时等号成立，0x <444x x x x ⎛⎫+=--+≤-=- ⎪-⎝⎭2x =-，，，A 错误.22241648f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()28f x x =-(][),44,x ∈-∞-+∞ ，故为偶函数，B 正确.()()28f x x f x -=-=()f x ，C 正确.()()23log 0.25525817f f -+=-=-=，则，D 正确.()0,60.567x x ∀∈+∞<+<，()280.5641x f <+<故选：BCD10. 如图，正方体的棱长为2，线段上有两个不重合的动点E ，F ，1111ABCD A B C D -11B D 则（ ）A. 当时，B.EF AB ⋅=2EF =1AC EF ⊥C. AED. 二面角为定值A EFB --【答案】BCD 【解析】【分析】根据数量积的计算可求得，判断A ；证明⊥平面，根据下年||1EF =11B D 11AAC C 垂直的性质可判断B ；当时，取得最小值，求得其值，判断C ；根据正方11AE B D ⊥AE 体性质可知二面角就是二面角，由此判断D. A EF B --11A B D B --【详解】连接，，，,11A C 1AB 1AD 1BD由正方体的性质可知，11111,45D C AB C D B ∠=∥则，解得，故A 错误,||2cos45EF AB EF ⋅=⨯⨯=||1EF = 因为平面，平面，故，1AA ⊥1111D C B A 11B D ⊂1111D C B A 111AA B D ⊥因为，且平面， 1111AC B D ⊥1111111,,AC AA A AC AA ⊂= 11AACC 所以⊥平面，11B D 11AAC C 平面，所以，即，则B 正确.1AC ⊂11AAC C 111B D AC ⊥1EF AC ⊥当时，取得最小值，此时为等腰三角形， 11AE B D ⊥AE 11AB DC 正确.=因为平面与平面是同一平面，平面与平面是同一平面， AEF 11AB D BEF 11BB D 所以二面角就是二面角，A EFB --11A B D B --在正方体中，平面和平面是两个确定的平面， 1111ABCD A BCD -11AB D 11BB D 故二面角是定值，所以二面角为定值，则D 正确， 11A B D B --A EF B --故选：BCD 11. 已知直线与椭圆C ）交于A ，B 两点，线段AB 的13y x t =-+2222:1(0)x y a b a b+=>>中点为，则C 的离心率可能是（ ） 1,(2)2P m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】BD【解析】【分析】设出，，代入椭圆方程，相减后得到()11,A x y ()22,B x y 2221211122y y x x b a x x y y --++=-，结合及直线斜率为，，求出离心率范围，得到答案. 1,(2)2P m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭13-m>2【详解】设，，则， ()11,A x y ()22,B x y 22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩从而，故， 22221212220x x y y a b --+=2221211122y y x x b a x x y y --++=-由题意可得，12122,1x x m y y +=+=故，又因为， 2122122y y m x x b a---=121213y y x x --=-则，从而， 22213mb a -=-2216b a m =因为，所以，m>22211612ba m =<椭圆C 的离心率，e =>=所以椭圆离心率范围为，⎫⎪⎪⎭满足要求.故选：BD12. 已知，函数，下列结论正确的是（ ） 1a >()ln e xxf x a=-A. 一定存在最小值 ()f xB. 可能不存在最小值()f xC. 若恒成立，则 e ln 0x a x b --≥e ba <D. 若恒成立，则e ln 0x a x b --≥e ba<【答案】AC 【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，判断最值的存在性，通过构造函数，利用单调性处理恒成立问题. 【详解】，则为增函数.()ln e xx f x a=-()1e xf x ax =-'因为，所以存在唯一的零点()1211e 201e 02a f f a a ''⎛⎫=-<=-> ⎪⎝⎭，()f x '01,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.当时，，单调递减；当时，，单调()00,x x ∈()0f x '<()f x ()0,x x ∈+∞()0f x ¢>()f x 递增，所以， A 选项正确，B 选项错误；()()0min f x f x =由，可得，则. ()0001e 0x f x ax =-='001x ax e =()()00x 0000ln e ln e 1x x f x x x a=-=-恒成立，即恒成立， e ln 0x a x b --≥()ln e xx bf x a a=-≥令函数，则，()()e 1ln x g x x x =-()()e1ln xx x g x -+'=易知在上单调递增，则， ()g x ()0,1()()g 1e g x <=故，即，C 选项正确，D 选项错误. ()0e b f x a ≤<e ba<故选：AC.【点睛】1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设向量 满足，则_________.,a b22a b a b ==+= 2a b -= 【解析】【分析】由得，经平方后转化为数量积求解. 22a b a b ==+= 12a b ⋅=- |2|a b - 【详解】∵，|2|||||2a b a b ==+=∴，1,2a b==∴，222()21244a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅+=∴，12a b ⋅=- ∴，2221(2)4414(44192a b a ab b -=-⋅+=-⨯-+⨯=∴．|2|a b -=14. 设等比数列的前n 项和为，写出一个满足下列条件的的公比{}n a n S {}n a q =_________．①，②是递减数列，③． 0n a >{}n a 4353S S a <+【答案】（答案不唯一，只要即可） 23113q <<【解析】【分析】依题意可得，从而得到，进而可得到答案． 453a a <113q <<【详解】由，得， 435S S 3a <+453a a <又因为，所以， 0n a >5413a q a =>又是递减数列，所以． {}n a 113q <<故答案为：（答案不唯一，只要即可）．23113q <<15. 已知函数在上恰有3个零点，()ππsin (0)123f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭[0,π]则ω的最小值是 ________. 【答案】53【解析】【分析】化简函数解析式可得，结合正弦型函数的性质求其()π2112f x x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭零点，结合条件列不等式求ω的最小值. 【详解】因为，πππππsin sin 31241212x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()2πππππsin 2sin 2sin cos 123121212f x x x x x x ωωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以. ()πππsin 2cos 21216612f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令，可得 ()0f x =πsin 212x ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以或， π5π22π124x k ω-=+π7π22π124x k ω-=+所以或，，3π2π3k x ω+=12π11π12k x ω+=Z k ∈所以函数的正零点由小到大依次为，，，，，()f x 2π3ω11π12ω5π3ω23π12ω⋅⋅⋅因为函数在上恰有3个零点，()f x [0,π]所以，， 5ππ3ω≤23ππ12ω>所以523ω312≤<所以故ω的最小值是.53故答案为：.5316. 已知为抛物线：上一点，为焦点，过作的准线的垂线，垂足为P C 216x y =-F P C，若的周长不小于48，则点的纵坐标的取值范围是________.H PFH △P 【答案】 (,12]-∞-【解析】【分析】点的坐标为，根据抛物线的定义及几何性质确定的周长表达P (),m n PFH △式，转换为含的式子，利用函数单调性与取值求解不等式即可得所求. n 【详解】解：抛物线：，则焦准距，则 C 216x y =-8p =()0,4F -如图，设点的坐标为，则准线与轴的交点为，P (),m n 216m n =-4y =y A则由抛物线定义可得 4PF PH n ==-+又FH ===所以的周长为，PFH △()24FH PF PH n ++=+-设函数，则在上为减函数， ()f n =()24n -()0n ≤()f n (],0-∞因为，所以的解为，则点的纵坐标的取值范围是(12)48f -=()48f n ≥n 12≤-P .(,12]-∞-故答案为：.(,12]-∞-四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知． cos 1c B =（1）若，证明：△ABC 为等腰三角形；2a =（2）若，求b 的最小值． 222sin sin sin sin sin A C B A C +=+【答案】（1）证明过程见详解（2【解析】【分析】（1）已知条件由余弦定理角化边，化简可得，从而可证△ABC 为等腰三角b c =形；（2）已知条件由正、余弦定理角化边，可得，从而得到，进而可求2c =()2213b a =-+得b 的最小值． 【小问1详解】因为，，所以由余弦定理可得，即2a =cos 1c B =22212a c b c ac +-⨯=2222122c b c c+-⨯=⨯⨯，整理得，即，所以△ABC 为等腰三角形． 22b c =b c =【小问2详解】因为， 222sin sin sin sin sin A C B A C +=+所以由正弦定理可得，222a c b ac +=+所以由余弦定理可得，2221cos 22a cb B ac +-==又，所以，cos 1c B =2c =所以， ()222224213b a c ac a a a =+-=+-=-+当时，1a =b 18. 已知数列{}满足，.n a 11a =1,3,n n n a n n a a n n ++⎧=⎨-+⎩为奇数为偶数（1）记，证明{}为等差数列，并求{}的通项公式； 2n n b a =n b n b （2）求{}的前2n 项和.n a 2n S 【答案】（1）证明见解析， 42n b n =-（2）3n 2 【解析】【分析】（1）根据数列新定义得出和的关系即可证明．n b 1n b -（2）根据数列新定义求出的通项公式，根据通项公式特性求出. n a 2n S 【小问1详解】由题知 2221212212 3.n n n n a a n a a n +++=++=-+，则2224n n a a +=+所以，即 14n n b b +=+1 4.n n b b +-=故{}为等差数列 n b 又1211 2.b a a ==+=所以 b ()21442n n n =+-⨯=-【小问2详解】因为……..... 12341 3.a a a a =-=-，()21221n n a a n -=--所以21232S n n a a a a =++++ ()()22421321n a a a n =+++-+++-()()1221321n b b b n =+++-+++-()()242121222n n n n +-+-=⨯-=3n 219. 如图，在三棱柱中，⊥平面，，是等边111ABC A B C -1AA ABC 143AA AB =ABC 三角形，分别是棱的中点.,,D E F 11,,B C AC BC（1）证明：平面；AD ∥1C EF（2）求直线与平面所成角的正弦值. DE 1C EF 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接，证明平面平面，根据面面平行的性质即可证明结BD ABD ∥1C EF 论；（2）建立空间直角坐标系，设棱长，求得相关点坐标，求出平面的法向量，利用空1C EF 间向量的夹角公式即可求得答案. 【小问1详解】 证明：连接，BD 因为分别是棱的中点，所以,,E F ,AC BC EF AB ∥平面,平面,所以平面，AB ⊄1EFC EF ⊂1EFC AB ∥1EFC 因为分别是棱，的中点，所以,. ,D F 11B C BC 11,BF C D BF C D =∥所以四边形是平行四边形，则,.1BDC F 1BD C F ∥平面,平面,所以平面，BD ⊄1EFC 1C F ⊂1EFC BD ∥1EFC 因为平面，且，所以平面平面， ,AB BD ⊂ABD AB BD B = ABD ∥1C EF 因为平面，所以平面. AD ⊂ABD AD ∥1C EF 【小问2详解】取的中点O ，连接，， 11A C 1OB OE 因为是等边三角形，故,ABC 111OB AC ⊥而平面,故平面,平面, 11,OE AA AA ⊥∥ABC OE ⊥ABC 111,OB A C ⊂ABC 则， 111,OE OB OE A C ⊥⊥即，，两两垂直，1OB 1OC OE 则以O 为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直11,,OB OC OE,,x y z 角坐标系,设，由知，，4AB =143AA AB =13AA =则，,,，1(0,2,3),(0,2,0)A C-D (0,0,3)E F 从而,1(1,3),(0,2,3),DE C E EF =-=-=设平面的法向量为，1C EF (),,m x y z =则,令，得,12300m C E y z m EF y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩x=)3,2m =-- 设直线与平面所成的角为，DE 1C EF π,[0,]2θθ∈则.sin cos ,DE m DE m DE mθ====⋅ 20. 灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X 表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n 表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.（1）求的分布列；X （2）若满足的n 的最小值为，求；()0.6P X n ≥≤0n 0n （3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较与哪种方案更优.01n n =-0n n =【答案】（1）分布列见解析； （2）13； （3）更优 0n n =【解析】【分析】(1)由条件确定随机变量的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得分布X 列；(2)根据分布列结合条件求n 的最小值；(3)分别计算与时购买替换灯珠所需总费用的期望值，比较大小确定结论. 01n n =-0n n =【小问1详解】设ξ表示1条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量， 则0.2，，()()()P ξ5P ξ7P ξ8======()P ξ60.4==X 的取值范围是，{}10,11,12,13,14,15,16， ()100.20.20.04P X ==⨯=， ()1120.20.40.16P X ==⨯⨯=， ()2120.420.20.20.24P X ==+⨯⨯=， ()()1320.20.20.20.40.24P X ==⨯⨯+⨯=，()2140.220.40.20.2P X ==+⨯⨯=， ()1520.20.20.08P X ==⨯⨯=，()160.20.20.04P X ==⨯=X 的分布列为 X 10 11 12 13 14 15 16 P0.040.160.240.240.20.080.04【小问2详解】由（1）可知，120.8P X ≥=（），()130.56P X ≥=故. 0n 13=【小问3详解】由（2）可知.0112n n =-=在灯带安全使用寿命期内，当时，设购买替换灯珠所需总费用为u 元，当12n =13n =时，设购买替换灯珠所需总费用为v 元，则， ()240.2440.280.08120.041628.16E u =+⨯+⨯+⨯+⨯= ()260.240.0880.041227.92.E v =+⨯+⨯+⨯=，()()E E u ν<故以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比的方案更优0n n =01n n =-21. 已知双曲线C 的渐近线方程为，且C 的实轴长为2222:1(0,0)x y a b a b-=>>y =2.（1）求C 的方程；（2）过右焦点F 的直线与C 的右支交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点P （异于点F ），使得点F 到直线PA ，PB 的距离相等？若存在，求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】（1）2213y x -=（2）存在， 1,02⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)由条件列关于的方程，解方程求可得双曲线方程；,a b ,a b (2)假设存在点，据题意设，联立方程得到，(),0P n ():40AB x my m =+≠12y y +，再由点到直线的距离相等可得，由此求可得结论.12y y F ,PA PB 0PA PB k k +=n 【小问1详解】由题意得，即.22a =1a =因为C 的渐近线方程为.y =所以b a=所以，故C 的方程为. b =2213y x -=【小问2详解】假设存在P （n ，0）满足条件，设.()()1122,,,A x y B x y 由题意知，直线AB 的斜率不为0，设直线AB ：2x my =+联立消去x 得 22213x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22311290.m y my -++=则 ()()()2222310Δ1249313610.m m m m -≠=-⨯⨯-=+>，且. 1212221293131m y y y y m m +=-=--，()121224431x x m y y m -+=+=-+， ()222212121222292434431313124m m m x x m y y y m m y m m +-+--=+=-=--+由已知，所以， 2310m-<m <<因为点F 到直线PA ，PB 的距离相等，所以PF 是∠APB 角平分线则，即， 0PA PB k k +=12120y y x n x n+=--所以()()1221220y my n y my n +-++-=整理得()()1212220.my y n y y +-+=所以，整理得， ()222122903131n m m m m -⨯⨯-=--()210m n -=因为对于任意的，恒成立，所以， m <<()210m n -=12n =故存在点，使得点F 到直线PA ，PB 的距离相等. 1,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】(1)解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立x y 一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22. 已知函数. ()2e e 7xf x ax =-+-（1）当时，求曲线在处的切线方程；7a =-()y f x =1x =（2）若，，求a 的取值范围. [0,x ∀∈+∞）()274f x x ≥【答案】（1）2(e 7)e 7y x =++-（2）2(,e 7]-∞-【解析】【分析】(1)根据导函数的几何意义求切线方程；(2)参变分离可得，利用导数讨论224e 74e 284x x a x -+-≤224e 74e 28()x x g x x-+-=的最值即可求解.【小问1详解】当时，，则，7a =-2()e 7e 7x f x x =++-()e 7x f x '=+则(1)e 7f '=+又，所以所求切线方程为，2(1)e e f =+2(e e)(e 7)(1)y x -+=+-即.2(e 7)e 7y x =++-【小问2详解】，等价于, [0,x ∀∈+∞）()274f x x ≥2270,)7[,e e 4x x ax x ∈+∞-+-≥①当时，显然成立;0x =2e 60-≥②当时，不等式 0x >227e e 74x ax x -+-≥等价于, 224e 74e 284x x a x-+-≤设，则. 224e 74e 28()x x g x x -+-=2224(1)e 74e 28()x x x g x x---+'=设，22()4(1)e 74e 28x h x x x =---+则,()4e 142(2e 7)x x h x x x x '=-=-）时，，当）时，, 7(0,ln2x ∈()0h x '<7(ln ,)2x ∈+∞()0h x '>则在上单调递减，上单调递增. ()h x 7(0,ln )27(ln ,)2+∞因为，所以，且, 2(0)4(6e )0h =-<7(ln )02h <()20h =则当时，，当）时，. ()0,2x ∈()0g x '<(2,x ∈+∞()0g x '>所以在上单调递减，在上单调递增，()g x (0,2)(2,)+∞则,2min ()(2)4e 28g x g ==-则，故a 的取值范围为.244e 28a ≤-2(,e 7]-∞-。
2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学(文)试题 含答案
2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题 含答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 2. 已知集合，，则 .3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 .4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）.5. 不等式的解集是 .6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 .8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 .9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）.11. 若，是一二次方程的两根，则 .12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 13. 已知实数、满足，则的取值范围是 .14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D.16. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件17. 则表示复数的点是（ ）18. A. 1个 B. 4个三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2在锐角中，、、分别为内角、（1）求的大小；（2）若，的面积，求的值.B120.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由.23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中）（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由.静安区xx第一学期期末教学质量检测高三年级数学（文科）试卷答案（试卷满分150分 考试时间120分钟） xx.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 解：.2. 已知集合，，则 . 解：.3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 . 解：.4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）. 解：45.5. 不等式的解集是 . 解：.6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .解：256.7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 . 解：.8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 . 解：.9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 解：-2.10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）. 解：（或或）.11. 若，是一二次方程的两根，则 . 解：-3.12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 解：或.13. 已知实数、满足，则的取值范围是 . 解：.14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 . 解：.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 解：D.B 116. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件解：B.17. 则表示复数的点是（ ）解：D.18. A. 1个 B. 4个解：C.三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在锐角中，、、分别为内角、、所对的边长，且满足. （1）求的大小；（2）若，的面积，求的值. 解：（1）由正弦定理：，得，∴ ，（4分） 又由为锐角，得.（6分）（2），又∵ ，∴ ，（8分）根据余弦定理：2222cos 7310b a c ac B =+-=+=，（12分） ∴ 222()216a c a c ac +=++=，从而.（14分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式. 解：（1）他应付出出租车费26元.（4分）（2）14,03() 2.4 6.8,3103.6 5.2,10x f x x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩ . 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.解：（1）∵ 点为面的对角线的中点，且平面，∴ 为的中位线，得，又∵ ，∴ 22MN ND MD ===（2分） ∵ 在底面中，，，∴ ，又∵ ，为异面直线与所成角，（6分） 在中，为直角，，∴ .即异面直线与所成角的大小为.（8分） （2），（9分）1132P BMN V PM MN BN -=⋅⋅⋅⋅，（12分）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由. 解：（1）∵ ，∴ 函数的定义域为，（1分）又∵ ()()log )log )0a a f x f x x x +-=+=，∴ 函数是奇函数.（4分） （2）由，且当时，， 当时，，得的值域为实数集. 解得，.（8分）（3）在区间上恒成立，即， 即在区间上恒成立，（11分） 令，∵ ，∴ ， 在上单调递增，∴ ， 解得，∴ .（16分）23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中） （1）求；（2）求数列的通项公式； （3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由. 解：（1）∵ ，令，得，∴ ，（3分）或者令，得，∴ .（2）当时，1111(1)()(1)22n n n n a a n a S ++++-+==，∴ 111(1)22n nn n n n a na a S S ++++=-=-，∴ ， 推得，又∵ ，∴ ，∴ ，当时也成立，∴ （）.（9分） （3）假设存在正整数、，使得、、成等比数列，则、、成等差数列，故（**）（11分） 由于右边大于，则，即， 考查数列的单调性，∵ ，∴ 数列为单调递减数列.（14分） 当时，，代入（**）式得，解得； 当时，（舍）.综上得：满足条件的正整数组为.（16分）（说明：从不定方程以具体值代入求解也可参照上面步骤给分）温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。
2025届河南省信阳市第四高级中学数学高三第一学期期末检测试题含解析
2025届河南省信阳市第四高级中学数学高三第一学期期末检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}(2)0A x x x =->，{}10B x x =->，则A B =A ．{}10x x x ><或B ．{}12x x <<C ．{|2}x x >D ．{}1x x >2．已知正项等比数列{}n a 满足76523a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得219m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为（ ）. A ．16 B ．283C ．5D ．43．已知点(A 在双曲线()2221010x y b b-=>上，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．2C D ．4．已知命题p ：任意4x ≥，都有2log 2x ≥；命题q ：a b >，则有22a b >．则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∨5．若()*3nx n N⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a ，则aa-=（ ） A ．36πB ．812πC ．252πD ．25π6．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(2)()f x e f x +=-（其中 2.71828e =），且在区间[,2]e e 上是减函数，令ln 22a =，ln33b =，ln 55c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系（用不等号连接）为（ ） A ．()()()f b f a f c >> B ．()()()f b f c f a >> C ．()()()f a f b f c >>D ．()()()f a f c f b >>7．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15，则实数λ的最大值为（ ） A ．72B ．5319C ．2319-D ．12-8．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ） A ．4πB ．16πC ．163πD ．323π9．已知实数x ，y 满足约束条件2202202x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的取值范围是（ ）A ．25,225⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,810．函数3()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)(0,]ππ-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知复数z 满足：((1)11)i z i +-=-，则z 的共轭复数为（ ） A ．12i -B ．1i +C ．1i -+D ．12i +12．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023届贵州省铜仁市高三上学期期末质量监测数学(文)试题(解析版)
2023届贵州省铜仁市高三上学期期末质量监测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}{}21,0,1,2,,M N y y x x x M =-==-∈，则M N ⋃=（ ）A ．{1,0,1,2,3}-B ．{1,0,1,2,4}-C ．MD ．N【答案】C【分析】求出集合N 再求并集可得答案. 【详解】因为{0,2}N =，所以{1,0,1,2}M N M =-=．故选：C ．2．在复数范围内，复数5i12iz -=-的共轭复数的模是（ ）A ．BCD 【答案】B【分析】根据复数的除法运算可得2i z =-，再结合共轭复数和模的概念求解. 【详解】因为复数5i 5i(12i)2i 12i (12i)(12i)z --+===---+，所以2i z =+，其模为|||2i |z =+= 故选：B ．3．已知向量(,),(2,4)a x y b ==-，满足()a a b ⊥-，则动点(,)P x y 的轨迹是（ ） A ．直线 B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【答案】B【分析】将坐标代入运算后即可辨析为圆的标准方程. 【详解】因为()a a b ⊥-，所以(,)(2,4)(2)(4)0x y x y x x y y ⋅-+=-++=， 即22(1)(2)5x y -++=． 故动点(,)P x y 的轨迹是一个圆． 故选：B ．4．世界人口变化情况的三幅统计图如图所示．下列结论中错误的是（ ）A ．从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加B ．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多C ．1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢D ．2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平 【答案】C【分析】结合图像逐一辨析即可.【详解】由折线图可以看出世界人口的总量随着年份的增加而增加，故A 正确： 由扇形统计图可知2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故B 正确： 由条形统计图可知2050年欧洲人口与南美洲及大洋洲人口之和基本持平，故D 正确： 三幅统计图并不能得到各个洲人口增长速度的快慢，故C 错误． 故选：C ．5．已知实数x ，y 分别是方程|||1|1t t +-=的解，则2x y +的取值范围是（ ） A ．[0,2] B ．[2,2]-C ．[0,3]D ．[3,3]-【答案】C【分析】根据实数x ，y 分别是方程|||1|1t t +-=的解可得01,01x y ≤≤≤≤，进而可得023x y ≤+≤. 【详解】因|||1|1t t +-=表示实数t 的范围是[0,1]，所以01,01x y ≤≤≤≤． 所以023x y ≤+≤，且当(,)(1,1)x y =时，2x y +有最大值是3； 当(,)(0,0)x y =时，2x y +有最小值是0． 故2x y +的取值范围是[0,3]． 故选:C ．6．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A B ，是抛物线C 上不同两点，且A B ，中点的横坐标为3，则||||+=AF BF （ ） A ．4 B ．5C ．6D ．8【答案】D【分析】根据抛物线焦半径公式求解即可.【详解】解：由题知24p =，即2p =，设()()1122,,,A x y B x y ， 因为A B ，中点的横坐标为3，所以126x x +=，所以，由抛物线焦半径公式得12||||628AF BF x x p +=++=+= 故选：D ． 7．设67,ln 9ln 7a b c ===则a ，b ，c 之间的大小关系式是（ ） A ．a b c << B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b<c<a【答案】B【分析】构造函数()(0)ln xf x x x=>，利用导数判断出()f x 的单调性可得答案. 【详解】24637,,ln 2ln 4ln 9ln 3ln 7a b c ======，构造函数()(0)ln x f x x x=>，得2ln 1()ln x f x x -'=，由ln 10x ->得e x >时()0f x '>， 知()f x 在区间(e,)+∞上是增函数，于是347ln 3ln 4ln 7<<，即b a c <<. 故选：B ．8．函数()()33cos()x xf x x -=--在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】判断函数的奇偶性，结合函数值的正负情况，即可得答案.【详解】由于()()()33cos()33cos x x x xf x x x --=--=-，x ∈R , 则()()()33cos 33cos()()x x x xf x x x f x ---=-=---=-，所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称， 而A,B 中图象不是关于原点对称，故A,B 错误；当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，33,cos()cos 0x x x x ->-=>，∴()0f x >，则当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x <，故C 错误，只有D 中图象符合题意， 故选：D ．9．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论错误的是（ ） A ．111AC B D ⊥ B ．若E 是棱BC 的中点，则//BD 平面11EB D C ．正方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为3π D ．1ACD △3【答案】D【分析】对于A,连接11A C ，利用线面垂直的判定定理可得11B D ⊥平面11A CC ，即可判断；对于B ，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C ，利用正方体外接球的直径长度为体对角线长度即可判断；对于D ，1ACD △为等边三角形，利用面积公式即可 【详解】对于A ，连接11A C ，由正方体可得1CC ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ， 所以111CC B D ⊥，在正方形1111D C B A 中，1111AC B D ⊥， 因为1111CC AC C ⋂=，111,A C C C ⊂平面11A CC ，所以11B D ⊥平面11A CC ，因为1AC ⊂平面11A CC ， 所以111AC B D ⊥，故A 正确； 对于B ，因为11//BB DD ，11=BB DD ，所以四边形11BDD B 是平行四边形，所以11//BD B D ， 因为BD ⊄平面11EB D ，11B D ⊂平面11EB D ，所以//BD 平面11EB D ，故B 正确； 对于C, 正方体1111ABCD A B C D -3 所以外接球的表面积为234π3π⨯=⎝⎭，故正确，对于D ，因为1ACD △2所以它的面积为213(2)sin 602⨯⨯︒=D 错误．故选：D ．10．已知等比数列{}n a 的前n 项和2nn S a =+，且2log n n b a a =-，则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T =（ ） A ．321nn + B ．1n n + C ．21nn + D ．21nn + 【答案】B【分析】根据等比数列前n 项和求出参数a 的值，以及{}n a 的通项，从而得到n b n =，再利用裂项相消法求和即可；【详解】解：因为等比数列{}n a 的前n 项和2n n S a =+，当1n =时，112S a =+，即12a a =+，当2n ≥时，112n n S a --=+，即()111222n n n n n n a S S a a ---=-=+-+=所以11122a a -==+，解得1a =-，所以12n n a -=，()122log log 21n n n b a a n -=-=--=则()1111111n n b b n n n n +==-++ 所以11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：B【点睛】本题考查由前n 项和求数列的通项公式，以及裂项相消法求和，属于中档题. 11．已知1sin cos 2x y =，则cos sin x y 的取值范围是（ ） A ．11,22⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．21,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．12,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】利用两角和与差的正弦公式结合三角函数的值域求解. 【详解】设cos sin a x y =，又1sin cos 2x y =，则有1sin()sin cos cos sin ,2x y x y x y a +=+=+ 1sin()sin cos cos sin 2x y x y x y a -=-=- 由三角函数的有界性，知1111,1122a a -≤+≤-≤-≤， 所以1122a -≤≤．故选：B ．12．已知正四棱锥的体积为23，则该正四棱锥内切球表面积的最大值为（ ） A ．π2B ．π3C ．22D ．2π2【答案】A【分析】将问题转化为正四棱锥内切球的大圆是VMN 的内切圆，利用几何关系表示出内切球的表面积，利用基本不等式求最大值.【详解】如图，在正四棱锥V ABCD -中，M 、N 分别是线段BC AD 、的中点， 该正四棱锥内切球的大圆是VMN 的内切圆．圆心为E ．设,,NME OM a VO h θ∠===，则圆E 的半径 tan R EO a θ==． tan2h VO a θ==．于是，正四棱锥的体积为212(2)3a h ⋅=即有242a h 所以34tan 22a θ=此时，该正四棱锥内切球的表面积2224π4πtan S R a θ==．236662tan tan 4πS a θθ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎝⎭()22211tan tan 32θθ⎡⎤=-⎣⎦()222231tan tan 113228θθ⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥≤= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即π2S ≤．当22tan 1tan θθ=-，即tan 2θmax π2S =．故选：A ．二、填空题13．已知数列{}n a 满足112a =，且11n n n a a a +=+，则n a =________．【答案】11n +##11n+ 【分析】化简可得1111n na a ，则11nn a =+，进而得到n a . 【详解】由11n n n a a a +=+，得1111n na a ，且112a =， 则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列， 所以1211n n n a =+-=+，故11n a n =+， 故答案为：11n +. 14．从3男2女共5名医生中，抽取3名医生参加社区核酸检测工作，则至少有1名女医生参加的概率为__________． 【答案】910##0.9【分析】求得全是男医生参加的概率，根据对立事件的概率公式，即可求得答案.【详解】由题意从3男2女共5名医生中，抽取3名医生参加社区核酸检测工作，共有25C 10=种选法，如果全是男医生参加，则只有一种选法，此时的概率为110， 故至少有1名女医生参加的概率为1911010-=， 故答案为：910． 15．已知直线1:(2)l y m x =-+，2:20l x my m ---=，当任意的实数m 变化时，直线1l 与2l 的交点的轨迹方程是_____________．【答案】2211724x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭【分析】联立方程消m 整理即可.【详解】联立两直线得(2)(1)2y m x m y x =-+⎧⎨+=-⎩，将这两式相乘，消去参数m ，得(1)(2)(2)y y x x +=-+-，即2240x y y ++-=，可得轨迹方程为2211724x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．故答案为：2211724x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭16．已知函数()f x 满足2,2,(2)ln(2),2,ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则实数a的取值范围为____________．【答案】1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】把函数零点问题转化为两函数交点问题，再结合函数图象，利用导数求切线进行求解. 【详解】因为函数()f x 满足2,2(2)ln(2),2ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩，所以,0,0(),()ln ,0ln(),0ax x ax x f x f x x x x x ⎧≤-≥⎧=-=⎨⎨>-<⎩⎩，因为函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，所以函数()y f x =与()y f x =-的图象恰有5个交点，如图，因为y ax =-与y ax =交于原点，要恰有5个交点， ,0y ax x =->与ln y x =必有2个交点，设,0y ax x =->与ln y x =相切，切点为(,)m n ， 此时切线斜率为1100n y x m m -'===-，解得1,ln 1n m ==， 解得e m =，所以切点为(e,1)，所以e 1a -=，解得1a e=-，所以要使函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则1,0e a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．故答案为：1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.三、解答题17．设ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ．且有关系式：2cos2cos22cos 2sin sin A B C A B +=+．(1)求C ；(2)求2c S的最小值．【答案】(1)2π3C = (2)43【分析】(1)根据二倍角公式可得222sin sin sin sin sin A B C A B +=-，再根据正弦定理可得222a b c ab +=-再用余弦定理求解；(2)利用三角形的面积公式和余弦定理可得2223c a b ab S ab ⎫++=⎪⎭，再利用基本不等式求解.【详解】（1）由二倍角公式，得()22212sin 12sin 21sin 2sin sin A B C A B -+-=-+，即222sin sin sin sin sin A B C A B +=-， 由正弦定理、余弦定理，得222a b c ab +=-，2221cos 22a b c C ab +-==-，又因为0πC <<，所以2π3C =． （2）注意到12π3sin 234S ab ab ==． 由余弦定理，得222222π2cos3c a b ab a b ab =+-=++， 所以22222442433334c a b ab a b ab ab ab S ab ab ab⎛⎫+++++⎛⎫==≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 当a b =时等号成立，故2c S的最小值为43.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，1CA CB ==，90BCA ∠=︒，12AA =，M ，N 分别是11A B ，1A A 的中点．(1)求证：1BN C M ⊥； (2)求三棱锥1B BCN -的体积． 【答案】(1)详见解析 (2)13【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明线线垂直； （2）利用等体积公式，转化为11B BCN C BNB V V --=，即可求解体积. 【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以平面111A B C ⊥平面11ABB A ，且平面111A B C 平面1111ABB A A B =，因为11CA C A =，11CB C B =，且点M 是11A B 的中点，所以1C M ⊥平面11ABB A ， 又因为BN ⊂平面11ABB A ，所以1C M BN ⊥； （2）三棱锥11B BCN C BNB V V --=,由条件可知ABC 是等腰直角三角形，22112AB =+=， 所以112222BNB S=⨯⨯=，点C 到平面1BNB 的距离122d C M ==， 111212323B BCNC BNB V V --==⨯⨯=.19．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物资，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[40,50),[50,60),[60,70),,[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求出直方图中m 的值，并利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；(2)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口门罩中恰好有1个口罩为一等品的概率． 【答案】(1)0.030m =，平均数为71，中位数为73.33(2)35【分析】（1）利用频率之和为1可算出0.030m =，然后利用直方图的平均数，中位数计算方式即可求解；（2）所抽取的5个口罩中一等品，二等品各有3个，2个，记3个一等品为a ，b ，c ，2个二等品为d ，e ，从5个口罩中抽取2个的可能结果10种，恰有1个口罩为一等品的可能结果共6种，利用古典概型概率公式求解即可【详解】（1）由10(0.0100.0150.0150.0250.005)1m ⨯+++++=得0.030m =， 所以该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数为()450.01550.015650.015750.03850.025950.0051071x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，设中位数为n ，因为0.10.150.150.40.5,0.40.30.70.5++=<+=>， 所以中位数位于[70,80)，则0.10.150.15(70)0.030.5n +++-⨯=，得22073.333n =≈， 故0.030m =，可以估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33． （2）由频率分布直方图可知，100个口罩中一等品，二等品分别有()1000.30.250.0560⨯++=个，()1000.10.150.1540⨯++=个，由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品，二等品分别有3个，2个，记3个一等品为a ，b ，c ，2个二等品为d ，e ，则从5个口罩中抽取2个的可能结果有：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e ，共10种，其中，恰好有1个口罩为一等品的可能结果有：(,),(,),(,),(,),(,),(,)a d a e b d b e c d c e ，共6种， 故这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为63105P ==． 20．已知函数()1ln f x a x x=+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y +=垂直． （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）求证：当1x ≥时，()2122x x f ≤+．【答案】（1）()f x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增；()2(1ln 2)f x =-极小值，无极大值；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意可得()111k f a '==-=，从而可求出a 的值，然后由导函数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值，（2）由()2122x x f ≤+，令211()2ln 22x g x x x =+--，求导后利用导数求出函数的最大值小于等于零即可【详解】（1）解：定义域：()0,∞+， ∵()2211aax f x xx x-'=-=，∴()1112k f a a '==-=⇒=， 当2a =时，()221x f x x -'=；当102x <<时，()0f x '<；当12x >时，0f x ，所以()f x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增；11()2ln 22(1ln 2)22f x f ⎛⎫==+=- ⎪⎝⎭极小值，无极大值．（2）证明：由（1）知1()2ln f x x x=+，令211()2ln 22x g x x x =+--，则32222121(1)[1(1)]()x x x x x g x x x x x x ----+'=--==， 1x ≥，(1)1x x +>∴，1(1)0x x -+<∴， ∴()0g x '≤，即()g x 在[1)+∞，上单调递减， ()(1)0g x g ∴≤=，∴当1x ≥时，21()22x f x +≤．21．平面内定点(1,0)F ，定直线:4l x =，P 为平面内一动点，作PQ l ⊥，垂足为Q ，且||2||PQ PF =． (1)求动点P 的轨迹方程；(2)过点F 与坐标轴不垂直的直线交动点P 的轨迹于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点R ，试判断||||FR AB 是否为定值． 【答案】(1)22143x y += (2)||1||4FR AB =为定值．【分析】（1）设(,)P x y ，利用||2||PQ PF =可得到222(4)4(1)x x y ⎡⎤-=-+⎣⎦，化简即可；（2）设:(1)(0)AB y k x k =-≠，与椭圆的方程进行联立可得221212228412,3434k k x x x x k k -+==++，可求出D 的坐标，继而求出线段AB 的垂直平分线的方程，通过距离公式和弦长公式即可求解 【详解】（1）设(,)P x y ，因为||2||PQ PF =，即224PQ PF =，所以222(4)4(1)x x y ⎡⎤-=-+⎣⎦化简整理，得22143x y +=，所以动点P 的轨迹方程为22143x y +=（2）法一：由条件可得直线AB 的斜率必存在且不为0，可设:(1)(0)AB y k x k =-≠，联立方程组22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()22223484120k x k x k +-+-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则221212228412,3434k k x x x x k k -+==++， 设AB 中点为()00,D x y ，知212024234x x k x k +==+，()0023134k y k x k -=-=+， ∴线段AB 的垂直平分线的方程为2223143434k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，得2234R kx k =+，所以()222231||13434k k FR k k +=-=++，而()22121||34k AB k +=+， ∴||1||4FR AB =为定值． 法二：设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，联立方程组22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()22223484120k x k x k +-+-=，设()()1122,,,,A x y B x y AB 中点为()00,D x y ，则2122834k x x k +=+， 由22143x y +=可得12e ==，∴()()222122|831211|242434k k B k A e x x a k +=+-=⋅-=++，()12002311234x x k y k x k k+-⎛⎫=-=-= ⎪+⎝⎭，又线段AB 的垂直平分线方程为()001y y x x k-=--， 令0y =，得00R x ky x =+，∴()200002223133||11343434R k y k FR x ky x ky k k k k k +--=-=+-=+=⋅+=+++， ∴||1||4FR AB =为定值． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式； （5）代入韦达定理求解.22．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为cos 34πθρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是11,2112x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 是参数）． (1)求直线l 及曲线C 的直角坐标方程； (2)求直线l 被曲线C 截得弦AB 的长． 【答案】(1)230x y --=，221x y -=；【分析】（1）根据给定方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式和消去参数方程中参数求解作答. （2）联立直线l 与曲线C 的直角坐标方程，利用弦长公式求解作答.【详解】（1）因为cos 34πθρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭cos 322θθρθ⎛⎫-+=⎪⎝⎭， 即2cos sin 3ρθρθ-=，把cos ,sin x y ρθρθ==代入得，230x y --=， 所以直线l 的直角坐标方程是230x y --=；由112112x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩变形得，22222211241124x t t y t t ⎧⎛⎫=++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，则有221x y -=，所以曲线C 的直角坐标方程是221x y -=．（2）把直线l 的方程23y x =-，代入曲线C 的方程：221x y -=，得22(23)1x x --=，即2312100x x -+=，2Δ12120240=-=>，设()()1122,,,A x y B x y ，则1212104,3x x x x +==，于是AB == 所以直线l 被曲线C 截得弦AB23．设不等式|21||21|4x x ++-<的解集为,,M a b M ∈． (1)求证：115236a b -<； (2)试比较|2|a b -与|2|ab -的大小，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)|2||2|a b ab -<-，理由见解析【分析】（1）分11112222、、≤--<<≥x x x 讨论去绝对值求出集合M ，再利用绝对值三角不等式即可证明；（2）首先根据题意得到||1,||1a b <<，再计算|2|a b -与|2|ab -平方的大小，即可得到答案. 【详解】（1）不等式1,1122121421122222x x x x x x x ⎧≤-⎪⎪++-<⇔++-<⇔⎨⎪---+<⎪⎩，或11,2211222x x x ⎧-<≤⎪⎪⎨⎪+-+<⎪⎩或1,121112222x x x x ⎧>⎪⎪⇔-<≤-⎨⎪++-<⎪⎩或1122x -<≤或11112x x <<⇔-<<， 即{11}M x x =-<<，由,a b M ∈，知1,1a b -<<，得||1,||1a b <<，于是 1111115||||2323236a b a b -≤+<+=； （2）|2||2|a b ab -<-．理由如下： 由得||1,||1a b <<，知2210,40a b ->->，所以()()22222222(2)(2)44140a b ab a b a b a b ---=+--=---<，得22(2)(2)a b ab -<-，即|2||2|a b ab -<-．。
2022年上海市朱家角中学高三数学文上学期期末试卷含解析
2022年上海市朱家角中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则（A）（B）（C）（D）参考答案：B根据四边形的定义和分类可知选B.2. 已知等比数列{a n}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则a n＝．A．B．C．D．参考答案：C3. 设数列满足且则的值是（）参考答案：D【知识点】数列的递推关系【试题解析】由题知：故所以4. 若，，则的值为（）A．B．C．D．参考答案：D令故答案为：D.5. 已知△的一个内角是，三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积是（）A． B． C．D．参考答案：D由△三边长构成公差为4的等差数列，设△的三边长分别为，，，因为△的一个内角是，所以，化简得，解得（舍）或。
因此△的的面积，故选择D。
6. 在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则?=( )A．B．C．D．参考答案：B考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的平方即为模的平方，可得=0，再由向量的三角形法则，以及向量共线的知识，化简即可得到所求．解答：解：若|+|=|﹣|，则=，即有=0，E，F为BC边的三等分点，则=（+）?（+）=（）?（）=（+）?（+）=++=×（1+4）+0=．故选B．点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查向量共线的定理，考查运算能力，属于中档题．7. 已知命题，则是( )A．B．C．D．参考答案：【知识点】命题的否定． A3【答案解析】C 解析：命题p：x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题，其否定是一个特称命题，故?p：x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0故选C【思路点拨】由题意，命题p是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定，对照选项即可得出正确选项.8. 已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法错误的是（）A．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b B．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βC.若a⊥α，a⊥b，α∥β，则b∥β D．若α∩β=a，a∥b，则b∥α或b∥β参考答案：C若，，则;若，则，，；若，，则而，则或；若，，则由线面平行判定定理得或；因此选C.9. 已知函数的导函数为（其中为自然对数的底数，为实数）,且在上不是单调函数，则实数的取值范围是A．B．C．D．参考答案：C10. 中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“”处应填入（）A ．B ．C ．D ．参考答案：A由题意可知，该程序框图的功能是使得实数，使得除余，被除余，被七除余的数值， 其中表示除除余的数，再使得除余，被除余的数，所以是除余的数，所以判断框应填入，故选A ．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在矩形ABCD 中，。
天津市部分区2023-2024学年高三上学期期末练习数学试题
天津市部分区2023～2024学年度第一学期期末练习高三数学本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
祝各位考生考试顺利!第I 卷（共45分）注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共9小题，每小题5分，共45分。
参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+ .·如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.·棱锥的体积公式13V Sh =h ，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,4A =，{}2,5B =，则()U A B = ð（）A.{}1,2,4,5 B.{}2 C.{}0,3 D.{}0,2,3,52.设x ∈R ，则“0x >”是“20x x +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知0.14a =，0.312b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.c b a << B.a c b << C.c a b << D.b c a<<4.已知函数()f x 在[]4,4-上的大致图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A.()cos2x f x x π=⋅ B.()cos 2x f x x π=⋅C.()sin 2x f x x π=⋅ D.()sin 2xf x x π=⋅5.已知等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，且12a =，32618a a =-，则5S =（）A.30B.80C.240D.2426.从4名女生、6名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为（）A.1440 B.120 C.60 D.247.将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x 所具有的性质是（）A.图象关于直线6x π=对称B.图象关于点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称C.()g x 的一个单调递增区间为,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.曲线()y g x =与直线2y =的所有交点中，相邻交点距离的最小值为6π8.已知三棱锥S ABC -中，2SAB ABC π∠=∠=，2SB =，SC =，1AB =，3BC =，则三棱锥S ABC -的体积是（）A.2 C.2 D.9.双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为52，实轴长为4，C 的两个焦点为1F ，2F .设O 为坐标原点，若点P 在C 上，且123cos 4F PF ∠=-，则OP =（）A.2 C. D.第Ⅱ卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
安徽省六安市2024届高三上学期期末教学质量检测数学试题含答案
六安市2024年高三教学质量检测数学试题（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2log 1,A x x x =≤∈Z，{}220B x xx =+-<，则A B = （）A.{}0,1 B.{}2,1-- C.{}1,0- D.{}1-【答案】D 【解析】【分析】解出对数不等式和一元二次不等式，再根据交集含义即可.【详解】2log ||1x ≤，即22log ||log 2x ≤，则22x -≤≤且0x ≠，则{}2,1,1,2A =--，{}21B x x =-<<，所以{}1A B ⋂=-.故选：D .2.已知复数z 的共轭复数在复平面内对应的点为()2,2-，则复数1z的虚部为（）A.1-B.i- C.14-D.1i 4-【答案】C 【解析】【分析】得到22i z =+，利用复数除法法则得到111i 44z =-，求出虚部.【详解】由已知得22i z =+，()()122i 1i 11i 22i 22i 444z --===-+-，则复数1z 的虚部为14-.故选：C3.已知向量a =，向量(1,b =- ，则a 与b 的夹角大小为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示求解即得.【详解】向量a =，(1,b =-，则cos ,222a b 〈〉==-⨯ ，而0,180a b ︒≤〈〉≤︒ ，所以a，b的夹角为150︒.故选：D4.等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，若()83124m S a a a =++，则m =（）A.11B.12C.13D.14【答案】C 【解析】【分析】由等差数列的前n 项和公式与通项公式转化为基本量计算即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，所以81828S a d =+，则有()11118282214a d a d a m d a +=+++-+⎡⎤⎣⎦，即()141d m d =+，又0d ≠，所以114m +=，所以13m =.故选：C.5.函数()e 4,1ln ,1x x x f x x x ⎧+-<=⎨≥⎩，若()()()21105f a f a f +≤--，则实数a 的取值范围是（）A.{}1- B.(],1-∞-C.[)1,-+∞ D.11,e⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】原不等式变形为()()25110f a f a ⎡⎤+≤-⎣⎦，再利用分段函数的单调性即可得到不等式，解出即可.【详解】当1x <时，()e 4xf x x =+-，因为e ,4x y y x ==-在(),1∞-上单调递增，此时()f x 单调递增，当1x ≥时，易知()ln f x x =单调递增，且当1x =时，1e 14e 30ln1+-=-<=，则()f x 在R 上单调递增，因为211a +≥，则()()()()()222215ln 1ln5ln5151f a f a a f a ⎡⎤++=++=+=+⎣⎦，所以由()()()21105f a f a f +≤--得()()25110f a f a ⎡⎤+≤-⎣⎦，所以()25110a a +≤-，解得1a =-.故选：A .6.已知ππcos 2cos 63αα⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2πsin 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.35 B.45C.45-D.35-【答案】B 【解析】【分析】根据诱导公式结合二倍角公式，利用齐次式计算可得.【详解】因为πππ632αα⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππcos sin 63αα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ππsin 2cos 33αα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πtan 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以222πππ2sin cos 2tan 2πππ4333sin 22sin cos πππ3335sin cos tan 1333ααααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=++=== ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.7.圆()222:0O x y r r +=>上一点1,22A r r ⎛⎫⎪⎝⎭关于x 轴的对称点为B ，点E ，F 为圆O 上的两点，且满足EAB FAB ∠=∠，则直线EF 的斜率为（）A.B.3C.3D.13【答案】B 【解析】【分析】根据圆的性质以及斜率乘积与直线垂直的关系即可.【详解】由EAB FAB ∠=∠知BOE BOF ∠=∠，所以OB EF ⊥，而212OB OArk k r =-=-=，∴3EF k =.故选：B.8.某种生命体M 在生长一天后会分裂成2个生命体M 和1个生命体N ，1个生命体N 生长一天后可以分裂成2个生命体N 和1个生命体M ，每个新生命体都可以持续生长并发生分裂.假设从某个生命体M 的生长开始计算，记n a 表示第n 天生命体M 的个数，n b 表示第n 天生命体N 的个数，则11a =，10b =，则下列结论中正确的是（）A.413a = B.数列{}nnb a 为递增数列C.5163ni b==∑ D.若{}n n a b λ+为等比数列，则1λ=【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，求出递推公式，进而求出数列{},{}n n a b 的通项公式，再逐项分析判断即得.【详解】依题意，12n n n a a b +=+，12n n n b b a +=+，则113()n n n n a b a b +++=+，而111a b +=，因此数列{}n n a b +是首项为1，公比为3的等比数列，13n n n a b -+=，又11n n n n a b a b ++=--，因此111n n a a b b -=-=，于是1312n n a -+=，1312n n b --=，对于A ，3431142a +==，A 错误；对于B ，11131213131n n n n n b a ----==-++，显然数列12{}31n -+是递减数列，因此{}n n b a 为递增数列，B 正确；对于C ，51014134058ni b==++++=∑，C 错误；对于D ，1122331,2,54a b a b a b λλλλλ==+=++++，由{}n n a b λ+为等比数列，得2(2)54λλ+=+，解得1λ=或1λ=-，当1λ=时，13n n n b a λ-+=，显然数列{}n n a b λ+是等比数列，当1λ=-时，1n n a b λ+=，显然数列{}n n a b λ+是等比数列，因此当数列{}n n a b λ+是等比数列时，1λ=或1λ=-，D 错误.故选：B【点睛】思路点睛：涉及求数列单调性问题，可以借助作差或作商的方法判断单调性作答，也可以借助函数单调性进行判断.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.ln y x =B.ln y x= C.2y x -= D.e e x xy -=+【答案】AD 【解析】【分析】A 选项，根据函数奇偶性得到()ln f x x =为偶函数，且在()0,∞+单调递增，A 正确；B 不满足奇偶性，C 不满足单调性；D 选项，满足为偶函数，且求导得到函数在()0,x ∈+∞上单调递增，得到答案.【详解】A 选项，()ln f x x =定义域为()(),00,x ∈-∞⋃+∞，且()()ln ln f x x x f x -=-==，故()ln f x x =为偶函数，且()0,x ∈+∞时，ln y x =单调递增，故A 正确；B 选项，ln y x =的定义域为()0,∞+，故不是偶函数，故B 项错误；C 选项，()0,x ∈+∞时，2y x -=单调递减，故C 项错误；D 选项，()e exxg x -=+的定义域为R ，且()()e e x xg x g x --=+=，故()e exxg x -=+是偶函数，且()0,x ∈+∞时，()e e0xxg x -'=->，函数单调递增，故D 项正确.故选：AD10.地震释放的能量E 与地震震级M 之间的关系式为lg 4.8 1.5E M =+，2022年9月18日我国台湾地区发生的6.9级地震释放的能量为1E ，2023年1月28日伊朗西北发生的5.9级地震释放的能量为2E ，2023年2月6日土耳其卡赫拉曼马拉什省发生的7.7级地震释放的能量为3E ，下列说法正确的是（）A.1E 约为2E 的10倍B.3E 超过2E 的100倍C.3E 超过1E 的10倍D.3E 低于1E 的10倍【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，结合对数运算公式，即可判断.【详解】A.()12lg lg 1.5 6.9 5.9E E -=⨯-，所以 1.51210E E =，故A 错误；B.()32lg lg 1.57.7 5.9E E -=⨯-， 2.73210100E E =>，故B 正确；C.()31lg lg 1.57.7 6.9E E -=⨯-， 1.2311010E E =>，故C 项正确，D 项错误.故选：BC11.已知函数()f x 的导函数为()f x '，对任意的正数x ，都满足()()()22f x xf x f x x <<-'，则下列结论正确的是（）A.()1122f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭B.()()1122f f <C.()11422f f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭D.()()11214f f <+【答案】BC 【解析】【分析】设()()()0f x g x x x=>，利用导数求出()g x 的单调性，据此即可判断A 和B 选项，设()()()220f x x h x x x-=>，根据导数求出()h x 的单调性，据此即可求解C 和D 选项.【详解】设()()()0f x g x x x=>，则()()()20xf x f x g x x'-='>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，由()112g g ⎛⎫>⎪⎝⎭得()1122f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故A 项错误；由()()12g g <得()()1122f f <，故B 项正确；设()()()220f x x h x x x-=>，则()()()()()()()()243222220f x x f x x x xf x f x x h x x x ---⋅--=''=<'，所以()h x 在()0,∞+上单调递减，由()112h h ⎛⎫<⎪⎝⎭得()11422f f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故C 项正确：由()()12h h >得()()11214f f >+，故D 项错误.故选：BC.12.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱上一点，满足1PA PC d +=（d 为定值），记P 点的个数为n ，则下列说法正确的是（）A.当d =2n =B.1d <<+时，6n =C.当d =时，15n =D.n 的最大值为18【答案】AD 【解析】【分析】由点P 的位置进行分类讨论判断求解即可.【详解】当点P 位于A 或1C 处时，d当P 在AB 棱上由A 到B 移动时，d 1，当P 在AD ，1AA ，1C C ，11C B ，11C D 等棱上移动时，d 1+当P 在1BB 棱上由B 到1B 移动时，d 由11+；当P 在BC ，DC ，1D D ，11A B ，11A D 等棱上移动时，d 也是由1+再由增大到1+.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线24y x =的焦点F 与x 轴上一点A 的连线的中点P 恰在抛物线上，则线段AF 的长为______.【答案】316##0.1875【解析】【分析】根据题意求线段AF 的中点坐标，结合抛物线的定义分析求解.【详解】因为24y x =，即214x y =，可知抛物线的焦点10,16F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为116y =-，设(),0A a ，则线段AF的中点为1,232a ⎛⎫⎪⎝⎭，则113321632PF =+=，所以3216AF PF ==.故答案为：316.14.如图，在四边形ABCD 中，AD AB ⊥，120ADC ∠=︒，AB =，1AD =，2CD =，求四边形ABCD 绕直线AD 旋转一周所成几何体的表面积为______.【答案】(12π+【解析】【分析】作出辅助线，求出各边长度，求出以AB 为半径的圆的面积，以CD 为母线和CE 为半径的圆锥的侧面积，以BC 为母线的圆台的面积，相加后得到答案.【详解】作CE AD ⊥，CFAB ⊥，E ，F 为垂足，因为120ADC ∠=︒，所以60EDC ∠=︒，因为2CD =，所以1DE =，CE =，故==AF CE ，又AB =1AD =，故2CF AE AD DE ==+=，BF AB AF =-=，由勾股定理得CB ==，四边形ABCD 绕直线AD 旋转一周所成几何体的表面积分为三部分，以AB 为半径的圆的面积(2π12π=，以CD 为母线和CE 为半径的圆锥的侧面积πrl =，以BC 为母线的圆台的侧面积+=所以该几何体的表面积为(12π+.故答案为：(12π+15.已知函数()()()22cos0f x x ωω=>的最小正周期为π，将函数()y f x =的图象上的所有点向右平移π6个单位长度，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到()y g x =的图象，则()y g x =在ππ,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为______.【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】化简()f x 的解析式，根据()f x 的最小正周期求得ω，根据三角函数图象变换的知识求得()g x ，进而求得()g x 在ππ,124⎡⎤⎢⎣⎦上的值域.【详解】()cos21f x x ω=+，2ππ2ω=，22ω=，()cos21f x x =+，将函数()y f x =的图象上的所有点向右平移π6个单位长度，得到ππcos 21cos 2163y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，得到()πcos 413g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为ππ,124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π2π40,33x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π1cos 4,132x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()y g x =在ππ,124⎡⎤⎢⎣⎦上的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.已知2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，圆222:O x y a +=与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点A ，点B 在双曲线C 上，222BF F A =-，则双曲线C 的渐近线方程为______.【答案】2y x =±【解析】【分析】求出点A 的坐标及2AF 长，由222BF F A =-可得点A 为2BF 的中点，再结合双曲线定义求解即得.【详解】由222BF F A =-，得点A 为2BF 的中点，记1F 为C 的左焦点，连接1BF ，令半焦距为c ，则122BF OA a ==，由222b y x ax y a ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得2a x cab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2(,)a ab A c c ，而2(,0)F c ，因此2222()()a ab AF c b c c=-+=，由双曲线定义得222b a a -=，即2b a =，所以双曲线C 的渐近线方程为2y x =±.故答案为：2y x=±四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()140n n S a λλλ-=->.（1）求证：数列{}n a 为等比数列；（2）当2λ=时，设1221log log n n n a n a n b a a ++++=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）证明见解析（2）261939n n nT n +=+【解析】【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩作差得到1n n a a λ+=，即可得证；（2）由（1）可得12n n a +=，则321122323n n n b n n n n ++=+=+-++++，再利用裂项相消法计算可得.【小问1详解】证明：因为()()140n n S a λλλ-=->，当1n =时，()1114S a λλ-=-，解得14a =，由()14n n S a λλ-=-得()1114n n S a λλ++-=-，两式作差得()()()111144n n n n S S a a λλλλ++---=---，即()111n n n a a a λλλ++-=-，则1n n a a λ+=，又0λ>，所以数列{}n a 是首项为4，公比为λ的等比数列.【小问2详解】当2λ=时，由（1）得11422n n n a -+=⨯=，又223121322232log log log log 2322n n n n n n n a n a n n n b a a n n ++++++++++=+=+=+++，所以322131112232323n n n n n b n n n n n n +++++-=+=+=+-++++++，所以1111112344523n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+-⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111112344523n n n ⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪++⎝⎭21161923339n n n n n +⎛⎫=+-=⎪++⎝⎭.18.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .（1）若12b a =，6sin sin B A -=，求角A 的值；（2）若π3A =，且b 是a 和3c 的等差中项，求cos B 的值.【答案】（1）π3A =或2π3（2）1cos 7B =-【解析】【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角即可得结果；（2）由等差中项可得23a b c =-，结合余弦定理解得83b c =，73a c =，代入余弦定理即可得结果.【小问1详解】因为12b a =，由正弦定理sin sin b a B A=得1sin sin 2B A =，又因为6sin sin B A -=sin 2A =，且()0,πA ∈，所以π3A =或2π3.【小问2详解】显然0,0,0a b c >>>，由b 是a 和3c 的等差中项得23b a c =+，即230a b c =->，可得32b c >，因为π3A =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得()22223b c b c bc -=+-，化简得2231180b bc c -+=，即()()380b c b c --=，解得83b c =或b c =（舍去），由23a b c =-，可得73a c =，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得22278133cos 7723c c c B c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.19.已知函数()()36R f x x ax a =+-∈.（1）若函数()f x 的图象在2x =处的切线与x 轴平行，求函数()f x 的图象在3x =-处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】19.15480x y -+=20.答案见解析【解析】【分析】（1）先求导函数再求斜率最后写出切线方程；（2）分类讨论列表根据导函数求单调性.【小问1详解】()23f x x a ='+.由题意()2120f a ='+=，解得12a =-，所以()3126f x x x =--，()33f -=，()315f '-=()f x 在3x =-处的切线方程为15480x y -+=【小问2详解】()23f x x a ='+.①当0a ≥时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增.②当0a <时，由()0f x '=得x =，()f x 在R 上的变化情况如下表：由上表可得()f x 在,∞⎛- ⎝上单调递增，在⎛ ⎝上单调递减，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递增.综上，当0a ≥时，增区间为(),∞∞-+，无减区间；当0a <时，增区间为,∞⎛- ⎝和∞⎫+⎪⎪⎭，减区间为⎛ ⎝.20.如图，在三棱锥A BCD -中，CE BD ⊥，垂足为点E ，AH ⊥平面BCD ，垂足H 在CE 上，点F 在AC 上，且CEF CAH ∠=∠.（1）证明：AC ⊥平面BDF ；（2）若22BE DE ==，22CH EH ==，三棱锥A BCD -的体积为BF 与平面ABD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）5.【解析】【分析】（1）利用线面垂直得到线线垂直，由CEF CAH ∠=∠，可得出AC EF ⊥，利用线面垂直的判定定理可以证得AC ⊥平面BDF ；（2）通过三棱锥A BCD -的体积，可以求出AH ，进一步求AC ，由两个三角形AHC ，EFC 相似，得出F 为AC 的中点，然后建立空间直角坐标系，求平面ABD 的法向量，进而可以求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】由AH ⊥平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，得AH BD ⊥，又CE BD ⊥，而AH ⊂平面ACE ，CE ⊂平面ACE ，AH CE H = ，所以BD ⊥平面ACE ，又AC ⊂平面ACE ，所以BD AC ⊥.再由AH ⊥平面BCD ，EC ⊂平面BCD ，得AH EC ⊥，得90AHC ∠=︒，又CEF CAH ∠=∠，ACH ECF ∠=∠，得90EFC AHC ︒∠=∠=，即AC EF ⊥.又EF ⊂平面BDF ，BD ⊂平面BDF ，EF BD E = ，所以AC ⊥平面BDF .【小问2详解】由条件知11133322A BCD BCD V S AH BD CE AH AH -=⋅=⨯⨯⨯⨯==所以AH =，在Rt AHC 中，2228412AC AH CH =+=+=，所以AC =由（1）知Rt Rt AHC EFC ~△△，所以FC ECHC AC =，即2FC =，得FC =，可知F 为AC 的中点，过点H 作HG BD ∥交BC 于点G由（1）易得HG ，HC ，HA 两两垂直，以{HG 、HC 、}HA正交基底，建立空间直角坐标系H xyz -，如图所示由题意可知，(0,0,A ，()2,1,0B -，()0,1,0E -，()0,2,0C，(F .则(0,1,EA = ，()2,0,0EB =，(2,BF =- ，设平面ABD 的一个法向量为(),,n x y z =，则020EA n y EB n x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1z =-，则y =，所以平面ABD的一个法向量()0,1n =-，设直线BF 与平面ABD 所成角θ，则sin =cos<,5n BF n BF n BFθ⋅>===⋅.故直线BF 与平面ABD所成角的正弦值为5.21.平面内一动点P 到直线:4l y =的距离，是它到定点()0,1F 的距离的2倍.（1）求动点P 的轨迹Γ的方程；（2）经过点F 的直线（不与y 轴重合）与轨迹Γ相交于M ，N 两点，过点M 作y 轴平行线交直线l 于点T ，求证：直线NT 过定点.【答案】（1）22143y x +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意得4y -=，化简即可得解；（2）设直线MN 的方程以及,,M N T 的坐标，联立若椭圆方程，由韦达定理得()121232kx x x x =+，表示出NT 的方程，令0x =，证明此时y 为定值即可得证.【小问1详解】由题意，设动点P 的坐标为(),x y，则4y -=，平方整理得22143y x +=，所以点P 的轨迹Γ方程为22143y x+=.【小问2详解】由题意，设直线MN 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1,4T x .将1y kx =+代入22143y x +=得()2234690k x kx ++-=，所以122634k x x k -+=+，122934x x k -=+，显然0∆>，所以()121232kx x x x =+.因为直线NT 的方程为()212144y y x x x x --=--，令0x =，则()21221221122121214144x x kx x x y x x kx x y x x x x x x -+---===---()()21122121213545222x x x x x x x x x x --+-===--，因此，直线NT 过定点50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法，设直线MN 的方程为1y kx =+，再将其椭圆方程联立得到韦达定理式，再化积为和得到()121232kx x x x =+，再得到直线NT 的方程，令0x =计算即可.22.已知函数()()()22ln 211R 2m f x x x m x m =+-++∈.（1）求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 有两个极值点12,x x ，求证：()()122f x f x f m ⎛⎫+< ⎪⎝⎭.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，对导函数因式分解，分0m ≤，12m =，12m >，102m <<，得到函数的单调性，进而得到函数的极值情况；（2）由（1）得110,,22m ∞⎛⎫⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，并得到()()12212ln 222f x f x m m m +=---，2222ln 44f m m ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，作差法得到()()21222f x f x f m ⎛⎫⎫+-=-- ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，结合m 的范围得到结论.【小问1详解】()()22ln 2112m f x x x m x =+-++的定义域为()0,∞+，()()()()()()2212212210mx m x x mx f x mx m x x x x-++--'=+-+==>①若0m ≤，则()20f '=，()0,2x ∈时()0f x '>，()2,x ∞∈+时()0f x '<，故()f x 在()0,2x ∈上单调递增，在()2,x ∞∈+上单调递减，所以函数的极大值为()22ln221f m =--，无极小值，②若12m =，则()()2202x f x x'-=≥，()f x 在()0,∞+上单调递增，无极值.③若12m >，由()()()210x mx f x x--'==得2x =或1x m =，10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>，1,2x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '<，()2,x ∞∈+时()0f x '>，故()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,∞+上单调递增，在1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以极大值为112ln 12f m m m ⎛⎫=---⎪⎝⎭，极小值为()22ln221f m =--.④若102m <<，由()()()210x mx f x x--'==得2x =或1x m =，()0,2x ∈时()0f x '>，12,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '<，1,x m ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时()0f x '>，故()f x 在()0,2，1,m ∞⎛⎫+⎪⎝⎭上单调递增，在12,m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以极大值为()22ln221f m =--，极小值为112ln 12f m m m ⎛⎫=---⎪⎝⎭.综上，当0m ≤时，极大值为()22ln221f m =--，无极小值；当102m <<时，极大值为()22ln221f m =--，极小值为112ln 12f m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭；当12m =时，()f x 无极值；当12m >时，极大值为112ln 12f m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，极小值为()22ln221f m =--.【小问2详解】由（1）知函数()f x 有两个极值点时，110,,22m ∞⎛⎫⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()()()121122ln2212ln 12f x f x f f m m m m ⎛⎫+=+=----- ⎪⎝⎭212ln222m m m=---，()222224ln 222122ln 44f m m m m m ⎛⎫=+-++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭，所以()()122122462f x f x f m m m ⎛⎫+-=--++- ⎪⎪⎝⎭22442⎫=-+-=-⎪⎭，因为110,,22m ∞⎛⎫⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2≠，所以()()212220f x f x f m ⎛⎫⎫+-=-+< ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，即()()1222f x f x f m ⎛⎫+<- ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：在导数解答题中，单调性问题是绕不开的一个问题，因为单调性是解决后续问题的关键，利用导函数求解函数单调性步骤，先求定义域，再求导，导函数能因式分解的要进行因式分解，根据导函数的正负号，确定函数的单调区间，若不能直接求出，可能需要多次求导.。
河北省邯郸市2023届高三上学期期末数学试题(有答案)
绝密★启用前邯郸市2022-2023学年第一学期期末质量检测高三数学（答案在最后）班级________ 姓名________注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合12{|}A x x =-<≤，0{|}B x x a =<≤，若{13}A B x x =-<≤∣，则A B =（ ）A ．{}2|0x x -<<B ．{}02x x <≤C ．{13}x x <≤∣D ．{02}x x <<∣2．已知复数3i 3iz -=+，则z 的虚部为（ ） A ．45 B ．4i 5 C ．35D ．3i 5 3．已知向量,a b 的夹角为，且2a =，1b =，则()a b a ⋅-=（ ）A 34B ．334C ．2-D ．14．已知幂函数()f x 满足(6)4(2)f f =，则13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．2B ．14 C ．14-D ．2- 5．已知圆柱的底面半径为2，母线长为8，过圆柱底面圆周上一点作与圆柱底面所成角为4π的平面，把这个圆柱分成两个几何体，则两几何体的体积之比为（ ）A ．2:1B ．3:1C ．4:1D ．5:1 6．甲、乙两个家庭出去游玩，准备分别从北京、上海、重庆和天津4个地点中随机选择一个，记事件A ：甲和乙选择的地点不同，事件B ：甲和乙恰有一个选择北京，则()P B A =∣（ ） A ．14B ．34 C ．23D ．127．三角形是生活中随处可见的简单图形，其中有非常有趣的特殊点及特殊线．大数学家欧拉在1765年发现，给定一个三角形，则其外心、重心、垂心落在同一条直线上，后人为了纪念欧拉，称这条直线为欧拉线．在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的顶点()0,2A ，()1,0B -，则“ABC 的欧拉线方程为1x =-”是“点C 的坐标为()2,2-”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知1a >，1b >，且lg 12lg a b =-，则log 2log 4a b +的最小值为（ ）A ．10B ．9C ．9lg 2D ．8lg 2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．对两组数据进行统计后得到的散点图如图，关于其线性相关系数的结论正确的是（ ）A ．10r <B ．21r >C ．12r r >D ．120rr +> 10．在等差数列{}n a 中，410a a =，公差0d >，则使其前n 项和n S 取得最小值的正整数n 是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．711．已知双曲线22145y x -=的上、下焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线上且位于x 轴上方，则下列结论正确的是（ ）A ．线段1PF 的最小值为1B ．点P 到两渐近线的距离的乘积为209C ．若12PF F 为直角三角形，则12PF F 的面积为5D ．12PF F 的内切圆圆心在直线2y =上12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是线段1BC 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．四面体11A D AP 的体积为定值B ．AP PC +的最小值为22C ．1A P ∥平面1ACD D ．当直线1A P 与AC 所成的角最大时，四面体1A PCA 3 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数121()2x x f x x a++=++为奇函数，则实数a =______． 14．已知4cos 125x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin 23x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭______． 15．近年来，加强青少年体育锻炼，重视体质健康已经在社会形成高度共识．2021年10月，《中华人民共和国体育法》在颁布20多年后迎来首次大修．教育部发布的2022年工作要点中提出，实施学校体育和体教融合改革发展行动计划．为了考察某校各班参加两项以上体育项目锻炼小组的人数，在全校随机抽取五个班级，把每个班级参加两项以上体育项目锻炼小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本的标准差为2，若样本数据各不相同，则样本数据的第80百分位数是______．16．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，若123,,P P P 在抛物线C 上，且满足12233123PFP P FP P FP π∠∠∠===，则123PF P F P F ++的最小值为______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足1cos 2a C c b +=． （1）求A ；（2）若3a =12c b -的取值范围． 18．（本小题满分12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，2364n n n a a S +=+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11n n n c a a +=，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：112812n T ≤<． 19．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDE 中，AEB 为等边三角形，AD BC ∥，BC AB ⊥，22CE =22AB BC AD ===．（1）求证：平面DEC ⊥平面EBC ；（2）求直线AB 与平面DEC 所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．11月22日，卡塔尔世界杯小组赛C 组第1轮比赛中，梅西领衔的阿根廷队1:2不敌沙特阿拉伯队．梅西在开场阶段打入一粒点球，但沙特在下半场开局后连入两球反超比分，这也是亚洲球队在本届世界杯上获得的首场胜利！为提升球队的射门技术，某足球队进行一次足球定点射门测试，规定每人最多踢3次，每次射门的结果相互独立．在A 处射进一球得3分，在B 处射进一球得2分，否则得0分．将队员得分逐次累加并用X 表示，如果X 的值不低于3分就判定为通过测试，立即停止射门，否则应继续射门，直到踢完三次为止．现有两种射门方案，方案1：先在A 处踢一球，以后都在B 处踢；方案2：都在B 处踢球．已知甲队员在A 处射门的命中率为13，在B 处射门的命中率为45． （1）若甲队员选择方案1，求他测试结束后所得总分X 的分布列和数学期望()E X ；（2）你认为甲队员选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由．21．（本小题满分12分） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2且过点62,M ⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()8,0T 作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，点B 关于x 轴的对称点为D ，问直线AD 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数2()e 2x f x x =-（其中e 为自然对数的底数）．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）已知0x 是2()()g x f x x =-的极大值点，若()()12g x g x =，且210x x <<．证明：()120ln 22ln 2x x x ++>+。
2023-2024学年北京市海淀区高三上学期期末练习数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市海淀区高三上学期期末练习数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则()A. B. C. D.2.如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为()A. B. C. D.3.已知直线，直线，且，则()A.1B.C.4D.4.已知抛物线的焦点为F，点M在C上，，O为坐标原点，则()A. B.4 C.5 D.5.在正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为()A.4B.2C.D.6.已知圆，直线与圆C交于A，B两点.若为直角三角形，则()A. B. C. D.7.若关于x的方程且有实数解，则a的值可以为()A.10B.eC.2D.8.已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.已知是公比为的等比数列，为其前n项和.若对任意的，恒成立，则()A.是递增数列B.是递减数列C.是递增数列D.是递减数列10.蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF是正六边形，棱AG，BH，CI，DJ，EK，FL均垂直于底面ABCDEF，上顶由三个全等的菱形PGHI，PIJK，PKLG构成.设，，则上顶的面积为()参考数据：，A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在的展开式中，x的系数为__________.12.已知双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的离心率为__________.13.已知点A，B，C在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则__________；点C到直线AB的距离为__________.14.已知无穷等差数列的各项均为正数，公差为d，则能使得为某一个等差数列的前n项和的一组，d的值为__________，__________.15.已知函数给出下列四个结论：①任意，函数的最大值与最小值的差为2；②存在，使得对任意，；③当时，对任意非零实数x，；④当时，存在，，使得对任意，都有其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共6小题，共72分。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2024届高三上学期期末数学试题(解析版)
哈三中2023-2024学年度上学期高三学年期末考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知{}21log 1,12xA x xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=<⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B = （ ）A. ()1,2- B. ()1,0- C. ()0,2 D. ()1,2【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数的单调性、指数函数的单调性，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】由()22log 1log 2020,2x x A <=⇒<<⇒=，由()011100,22x x B ⎛⎫⎛⎫<=⇒>⇒=+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A B = ()0,2，故选：C 2. 复数12iiz +=的虚部为（ ）A. 1- B. 2C. i- D. i【答案】A 【解析】【分析】利用复数除法的运算法则化简为复数的代数形式，即可得到复数虚部.【详解】由()()2212i i 12i 2i i 2i i iz +-+===--=--，所以虚部为-1.故选：A3. 函数()232f x x x =+的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】先求出定义域，再确定为偶函数，最后由特殊值法确定即可.【详解】定义域为0x ≠，()()()223322f x x x f x xx -=-+=+=-为偶函数，采用特殊值法代入，当x 趋近于零时，2x 趋近于零，23x 趋于正无穷；此时()232f x x x =+取值趋于正无穷；当x 趋近于正无穷时，2x 趋近于正无穷，23x 趋于零，此时()232f x x x=+取值趋于正无穷；所以只有B 图像符合；故选：B4. 若()(),1,2,,3a b a b a b m +=-==，则实数m =（ ）A. 6B. 6- C. 3D. 3-【答案】B 【解析】【分析】将a b a b +=- 两边平方，结合数量积的运算律求出a b ⋅ ，再根据数量积的坐标公式即可得解.【详解】因为a b a b +=-，所以()()22a ba b +=- ，即222222a b a b a b a b ++⋅=+-⋅，所以0a b ⋅=，即60+=m ，解得6m =-.故选：B.5. 已知命题：2000R,210x ax ax ∃∈+-≥为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()(),10,-∞-⋃+∞B. ()1,0-C. []1,0-D. (]1,0-【答案】D 【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定，可知命题：2R,210x ax ax ∀∈+-<为真命题，讨论a 是否为0，结合0a ≠时，解不等式，即可求得答案.【详解】由题意知命题：2000R,210x ax ax ∃∈+-≥为假命题，则命题：2R,210x ax ax ∀∈+-<为真命题，故当0a =时，2210ax ax +-<，即为10-<，符合题意；当0a ≠时，需满足2Δ440a a a <⎧⎨=+<⎩，解得10a -<<，综合可得实数a 的取值范围是(]1,0-，故选：D6. 若椭圆221259x y +=和双曲线22197x y -=的共同焦点为12,,F F P 是两曲线的一个交点，则12PF F △的面积值为 （ ）A.B.C. D. 8【答案】A 【解析】【分析】设点(),P m n ，根据方程组求点P 的坐标和焦距，进而可得面积.【详解】对于椭圆221259x y +=可知：半长轴长为5，半短轴长为3，半焦距为4，则128F F =，设点(),P m n ，则22221259197m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得=n 所以12PF F △的面积值为182⨯=.故选：A.7. 等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，若51013S S =，则1015SS =（ ）A.37B.73C.12D. 1【答案】A 【解析】【分析】根据51051510,,S S S S S --构成等比数列求解即可.【详解】因为{}n a 为等比数列，51013S S =，设510,3,0S k S k k ==>，所以51051510,,S S S S S --构成等比数列.所以15,2,3k k S k -构成等比数列，所以157S k =，所以10153377S k S k ==.故选：A8. 哈三中第38届教改汇报课在2023年12月15日举行，组委会派甲乙等6名志愿者到,A B 两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若甲和乙不能去同一路口，则不同的安排方案总数为（ ）A. 14 B. 20 C. 28 D. 40【答案】C 【解析】【分析】先安排甲乙两人，再根据分组分配的方法安排其余4名志愿者.【详解】先安排甲乙两人，有22A 2=种方法；再安排其余4名志愿者有两类方法，共有122424C A C 14+=种方法，根据分步计数原理可得共有21428⨯=种方法.故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，9. 下列说法正确的是（ ）A. 已知111,,,202420232023α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为奇函数，且在()0,∞+上递减，则α只能为1-B. 函数()212log 20242023y x x =-+-的单调递减区间为()1,1012C.函数y =与函数3y x =-是同一个函数D. 已知函数()21f x +的定义域为[]1,1-，则函数()22f x +的定义域为[]1,1-【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，直接由幂函数的奇偶性、单调性即可验证；对于B ，由复合函数单调性以及复合对数函数的定义域即可验证；对于C ，定义域都是全体实数，且对应法则也一样，由此即可判断；对于D ，由抽象函数定义域的求法即可验证.【详解】对于A ，当1α=-时，幂函数()1f x x xα==奇函数，且在()0,∞+上递减，满足题意，当12023α=时，幂函数()1f x x x α==在()0,∞+上递增，不满足题意，当12023α=-时，幂函数()f x x α==()0,∞+上递减，满足题意，当2024α=-时，幂函数()20241f x x xα==为偶函数，在()0,∞+上递减，不满足题意，故A 错误；对于B ，12log y t =关于t 在定义域内单调递减，若函数()212log 20242023y x x =-+-关于x 在定义域内单调递减，则由复合函数单调性可知220242023x x t -+-=关于x 单调递增，而二次函数220242023x x t -+-=开口向下，对称轴为2012x =，所以22024202302012x x x ⎧-+->⎨<⎩，解得12012x <<，所以函数()212log 20242023y x x =-+-的单调递减区间为()1,1012，故B 正确；对于C ，()13333y x x ⎡⎤==-=-⎣⎦，故C 选项正确，对于D ，若函数()21f x +的定义域为[]1,1-，则[][]1,1,211,3x x ∈-+∈-，所以函数()22f x +的定义域满足[]221,3x +∈-，解得[]1,1x ∈-，故D 正确.故选：BCD.10. 已知正数,a b ，2a b +=，且a b >，则下列说法正确的是（ ）为A.1b a> B. e e a b a b+>+ C.114a b+> D.1<【答案】AB 【解析】【分析】选项A ，将不等式1b a>等价转化为1ab <，由于和式为定值，判断积的取值范围即可；对于选项B ，需要研究函数e x y =的单调性，即可判断不等式；对于选项C ，1111()2a b a b a b ++=+⨯，应用基本不等式即可；对于选项D 平方，2a b =++，判断积的取值范围即可；【详解】对于选项A ，1b a>等价1ab <，2a b =+≥1≤，其中a b >1<，1ab <，不等式成立，选项A 正确；对于选项B ，因为e 1>，指数函数e x y =是增函数，且a b >，所以e e a b >所以e e a b a b +>+，选项B 正确；对于选项C ，1111()112222a b b a a b a b a b ++=+⨯=++≥+=，由于a b >，22b a a b ≠，等号取不到，112a b+>，选项C 不正确；对于选项D ，22()4a b a b +=++≤+=，由于a b >，等号取不到，所以24<2<，选项D 不正确；故选：AB.11. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的有（ ）A. 11//AC 平面1B CDB. 点1C 到平面1B CDC. 当P 在线段11C D 上运动时，三棱锥11A B PC -的体积不变D. 若Q 为正方体侧面11BCC B 上的一个动点，,E F 为线段1AC 的两个三等分点，则QE QF +的最小值【答案】BCD【解析】【分析】对于A 通过观察可得直线11A C 与平面有公共点1A 所以A 不正确；对于B 利用等体积法计算点到平面距离；对于C 观察到点P 到平面11A B C 的距离为定值，确定三棱锥11A B PC -的体积不变；对于D 利用线段1AC 关于平面11BCC B 的对称直线，将QE QF +转化，利用两点间线段距离最短求解.【详解】对于A ，因为平面1B CD 也就是平面11A B CD 与直线11A C 有公共点1A ，所以A 选项不正确. 对于B ，设点1C 到平面1B CD 的距离为h ，由1111C B CD D CC B V V --=得11111133B CD CC B S h S ⨯=⨯ ，由已知易得11,CD B C D ===则1B CD △是直角三角形，所以1B CD S =112C CD S =，解得h =.故B 选项正确对于C ，设点P 到平面11A B C 的距离为h ，易知点P 所在的直线11C D 与平面11A B C 平行，则点P 到平面11A B C 的距离为定值，因为11111113A B PC P A B C A B C V V S h --==⨯ ，其中11A B C S 也为定值，故C 选项正确.对于D ，如图1QE QF QE QF +=+，当1E Q F 、、共线的时候1QE QF EF +=最小，在1AC M 中222111111cos 23C A C M AMAC M C A C M+-∠==，由余弦定理得22211111111112cos 9EF C E C F C E C F AC M =+-∠=，所以1EF =，所以QE QF +有最小值，故D 正确.故选：BCD12. 已知函数()cos sin (0)f x a x b x ωωω=+>在π6x =处取得最大值2，()f x 的最小正周期为π，将()y f x =图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度得到()g x 的图象，则下列结论正确的是（ ）A. π6x =是()f x 图象的一条对称轴 B. ()π2cos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. π2g x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数 D. 方程()2lg 0g x x -=有3个实数解【答案】ACD 【解析】【分析】由()f x 最小正周期为π，求出ω，由最值点和最值，求出,a b ，得()f x 的解析式，判断AB 选项；由函数图象的变换，求()g x 的解析式，验证C 选项，数形结合验证D 选项．【详解】()()cos sin f x a x b x x ωωωϕ=+=-，其中tan b aϕ=，()f x 的最小正周期为πT =，则有2π2π2πT ω===，故()()2f x x ϕ=-，函数()f x 在π6x =处取得最大值2，则πππcos sin 26332f a b ⎧⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭=，解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩()πcos22cos 23f x x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，B 选项错误；函数()π2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π6x =处取得最大值2，则π6x =是()f x 图象的一条对称轴，A 选项正确；将()y f x =图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得函数π2cos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度得到()2cos g x x =的图象，ππ2cos 2sin 22g x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数为奇函数，C 选项正确；在同一直角坐标系下作出函数()2cos g x x =和函数2lg y x =的图象，如图所示，的两个函数图象有3个交点，可知方程()2lg 0g x x -=有3个实数解，D 选项正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知α为第二象限角，2sin 3α=，则tan2α=_______．【答案】-【解析】【分析】根据同角三角函数的关系式，结合正切的二倍角公式即可求得.【详解】因为2sin 3α=，α为第二象限角，所以cos ===α则sin tan cos ===ααα22tan tan21tan ααα=-2⎛⨯==-故答案为：-14. 已知边长为2的等边三角形ABC 所在平面外一点,S D 是AB 边的中点，满足SD 垂直平面ABC，且SD =S ABC -外接球的体积为_______．【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出球心坐标，根据外接球的性质，列出方程组，即可求出外接球的半径，从而求得三棱锥S ABC -外接球的体积.【详解】因为SD 垂直平面ABC ，ABC 为等边三角形，且D 是AB 边的中点，以D 为坐标原点，分别以,,DB DC DS 所在的直线为x 轴，y 轴，z轴，建系如图，设三棱锥S ABC -外接球的球心(),,O x y z ，半径为R ，因为2AB BC AC ===，则DC ===，又因为SD =(S ，()1,0,0B ，()1,0,0A -，()C ，则====OS OA OB OC R ，即RRR R ====，解得0x y z R =⎧⎪⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪⎪=⎪⎩所以三棱锥S ABC -外接球的体积3344R 33V ππ===.15. 直线l 与抛物线24x y =交于,A B 两点且3AB =，则AB 的中点到x 轴的最短距离为_______．【答案】916【解析】【分析】设出直线方程，利用弦长得到两个变量间的关系式，结合函数单调性可得答案.【详解】设直线l 的方程为y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y ；联立24y kx m x y=+⎧⎨=⎩，2440x kx m --=，216160k m ∆=+>，12124,4x x k x x m +==-.AB ==因为3AB =3=，整理可得()229161m k k =-+.由()21212242y y k x x m k m +=++=+，所以AB 的中点到x 轴的距离为()2212292112161y y k m k k +=+=++-+设21t k =+，则1t ≥，1291216y y t t +=+-，由对勾函数的单调性可得129216y y +≥，当且仅当0k =时，取到最小值916.故答案为：91616. 设()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，对任意的()12,0,x x ∈+∞满足()()1221120x f x x f x x x ->-且()315f =，则不等式()5f x x >的解集为_______．【答案】(,3)(0,3)-∞-⋃【解析】【分析】根据题意可设()(),0f x g x x x=≠，结合()f x 的奇偶性判断()g x 的奇偶性，再结合题设判断()g x 的单调情况，进而结合不等式()5f x x >，讨论x 的正负，结合()g x 的单调情况，分类求解，即可得答案.【详解】设()(),0f x g x x x=≠，而()f x 是定义在()(),00,∞∞-⋃+上的奇函数，即()()f x f x -=-，故()()()()f x f x g x g x xx---===--，即()(),0f x g x x x=≠为偶函数；对任意的()12,0,x x ∞∈+，不妨设12x x <，则()()()()121212f x f xg x g x x x -=-()()211212x f x x f x x x -=，又对任意的()12,0,x x ∞∈+满足()()1221120x f x x f x x x ->-，当12x x <时，120x x -<，则()()12210x f x x f x -<，即()()21120x f x x f x ->，而120x x >，故()()()()1212120,f x f x g x g x x x ->∴>，则()g x 在()0,∞+上单调递减，又()g x 为偶函数，故()g x 在(),0∞-上单调递增，()315f =，故()3(3)53f g ==，则(3)5g -=-，而不等式()5f x x >，即为不等式()50f x x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩或()50f x x x ⎧<⎪⎨⎪<⎩，即()5(3)0g x g x >=⎧⎨>⎩或()5(3)g x g x <=-⎧⎨<⎩，故03x <<或3x <-，即不等式()5f x x >的解集为(,3)(0,3)-∞-⋃，故答案为：(,3)(0,3)-∞-⋃【点睛】方法点睛：诸如此类抽象函数的问题，解答时要结合题设构造出函数，由此判断出其奇偶性和单.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c)sin b C C =-．（1）求角B ；（2）D 为AC 边上一点，DB BA ⊥，且4AD DC =，求cos C 的值．【答案】（1）2π3； （2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后由三角形内角和定理与和差公式化简整理即可求解；（2）BCD △和Rt ABD 分别根据正弦定理和三角函数定义列式，联立整理得2c a =，再由余弦定理求得b =，然后可解.在【小问1详解】)sinb C C=-，)sin sinA B C C=-，又()()sin sinπsin sin cos cos sinA B C B C B C B C⎡⎤=-+=+=+⎣⎦，)cos sin sin sinB C B C B C C+=-，整理得)πsin sin2sin sin03C B B C B⎛⎫+=+=⎪⎝⎭，因为()0,π,sin0C C∈>，所以πsin03B⎛⎫+=⎪⎝⎭，又()ππ4π0,π,,333B B⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3B+=，即2π3B=.【小问2详解】由（1）知B，因为DB BA⊥，所以π6CBD∠=，记BDCθ∠=，则πBDAθ∠=-，在BCD△中，由正弦定理得πsinsin6CD aθ=，得2sinaCDθ=，在Rt ABD中，有()sinπsinc cADθθ==-，因为4AD DC=，所以2sin sinc aθθ=，得2c a=，在ABC中，由余弦定理可得22222π422cos73b a a a a a=+-⨯=，即b=，所以cos C==18. 已知{}n a是公差不为零的等差数列，11a=，且125,,a a a成等比数列．（1）求数列{}n a的通项公式；.（2）若114(1)n n n n nb a a ++=-⋅，求{}n b 的前1012项和1012T ．【答案】（1）21n a n =- （2）101220242025T =【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可得解；（2）由裂项相消法可求出前1012项和.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，又11a =，则211a a d d =+=+，51414a a d d =+=+，因为125,,a a a 成等比数列，所以2215a a a =⋅，即()()21114d d +=⨯+，得220d d -=，又因为{}n a 是公差不为零的等差数列，所以2d =，即()()1111221n a a n d n n =+-=+-=-.【小问2详解】由（1）知()()11114411(1)(1)(1)21212121n n n n n n n n b a a n n n n ++++⎛⎫=-=-=-+ ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭，1012123410111012T b b b b b b =++++++ 11111111111133557792021202320232025⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12024120252025=-=.19. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点为12,A A ，点G 是椭圆C 的上顶点，直线2A G 与圆2283x y +=相切，且椭圆C．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆C 交于A B 、两点，若点()0,M m ，且MA MB =，求实数m 的取值范围．【答案】（1）22184x y +=（2）[【解析】【分析】（1）先由离心率得出a =，再由直线2A G 与圆2283x y +=相切得到圆心(0,0)O 到直线2A G 的距离等于半径得出2222883a b a b +=，联立即得椭圆方程；（2）依题设出直线AB 方程，与椭圆方程联立，得出韦达定理，求出AB 的中点H 坐标，利用条件MA MB =判断MH 是直线AB 的中垂线，求出方程，将求m 的取值范围转化成求关于t 的函数的值域问题即得.【小问1详解】由c a =可得：a =①因2(,0),(0,)A a G b ，则2:1A Gx y l a b +=即：0bx ay ab +-=，又因直线2A G 与圆2283x y +==2222883a b a b +=②，联立①②，可解得：2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的标准方程为：22184x y +=.【小问2详解】如图，因直线l 与x 轴不重合，椭圆焦点为(2,0)F ，故可设:2l x ty =+，由222184x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x整理得：22(2)440t y ty ++-=，易得：0∆>，不妨设1122(,),(,)A x y B x y ，则有12212242,42t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩设AB 中点为00(,)H x y ，则：1202222y y t y t +==-+,1212022()442()222222x x t y y t t x t t ++==+=⋅-+=++，即：2242(,)22t H t t -++，因MA MB =，则MH 为直线AB 的中垂线.又因直线AB 的斜率为1t，故直线AB 的中垂线MH 的斜率为t -，于是2224:()22MH t l y t x t t +=--++，因()0,M m ，则有：222422222t t tm t t t =-=+++，①当0=t 时，0m =，此时直线:2l x =，点(0,0)M ，符合题意；②当0t ≠时，22m t t=+，若0t >，则2t t +≥可得m ∈，当且仅当t =时取等号；若0t <，则2t t +≤-,可得[m ∈，当且仅当t =.综上，实数m的取值范围为[.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，//,4,2,60AB CD AB BC CD BP DP BCD ︒=====∠=，AD PD ⊥．（1）求证：平面PBD ⊥平面ABCD ；（2）若线段PC 上存在点F ，满足CF FP λ= ，且平面BDF 与平面ADP实数λ的值．【答案】（1）证明见解析（2）2λ=【解析】【分析】（1）要证面面垂直，需证线面垂直，就是要证AD ⊥平面PBD ，再进一步判断面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，用向量的方法求解.【小问1详解】如图：因为2CB CD ==，60BCD ∠=︒，所以BCD △为等边三角形，2BD =又//AB CD ，所以60ABD BDC ∠=∠=︒，又4AB =，所以22212··cos 60164242122AD AB BD AB BD =+-︒=+-⨯⨯⨯=.因为222AD BD AB +=，所以ABD △为直角三角形，AD BD ⊥.又AD PD ⊥，BD ，PD 为平面PBD 内的两条相交直线，所以AD ⊥平面PBD ，AD ⊂ABCD ，所以：平面PBD ⊥平面ABCD .【小问2详解】取BD 中点O ，AB 中点E ，因为PB PD =⇒PO BD ⊥，又平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD 平面ABCD BD =，PO ⊂平面PBD ，所以PO ⊥平面ABCD ，又OE BD ⊥，故以O 为原点，建立如图空间直角坐标系，所以()0,1,0B ，()0,1,0D -，()0,0,3P ，)E，()1,0A -，()C .设(),,F x y z ，因为CF FPλ=⇒()(),,,3x y z x y z λ+=---⇒()3x xy y z z λλλ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩解得031x y z λλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，所以31F λλ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭.设平面ADP 的法向量为()111,,m x y z =，则m AD m DP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒·0·0m AD m DP ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒()()()()111111,,0,,0,1,30x y z x y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒111030x y z =⎧⎨+=⎩，取()0,3,1m =- ；设平面BDF 的法向量为()222,,n x y z = ，则n BD n BF ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒·0·0n BD n BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ⇒()()()222222,,0,2,003,,1,01x y z x y z λλ⎧⋅-=⎪⎛⎫⎨⋅-= ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎩⇒222030y z λ=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取),0,1n =.那么⋅=m n ()0,3,1-⋅),0,11=-，m =，n = .由m n m n ⋅=⋅⇒231λ+=⇒24λ=，又0λ>，所以2λ=.【点睛】关键点睛：根据CF FP λ=，和点C 、F 的坐标，求F 点坐标是本题的一个关键.21. 圆G经过点(()2,,4,0-，圆心在直线y x =上．（1）求圆G 的标准方程；（2）若圆G 与x 轴分别交于,M N 两点，A 为直线:16l x =上的动点，直线,AM AN 与曲线圆G 的另一个交点分别为,E F ，求证直线EF 经过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）2216x y +=（2）证明见详解，直线EF 过定点()1,0【解析】【分析】（1）设出圆心坐标，利用圆心到圆上各点的距离等于半径求解即可；（2）设出直线AM 的方程和直线AN 的方程，分别与圆的方程联立写出E F 、的坐标，进而写出直线EF的方程，化简即可证明直线EF 经过定点，并求出定点的坐标.【小问1详解】因为圆心在直线y x =上，设圆心为(),,a a 又因为圆G经过点(()2,,4,0-则()(()222224a a a a -+-=++，解得0a =，所以圆心()0,0,4=，所以圆G 的标准方程为2216x y +=【小问2详解】由圆G 与x 轴分别交于,M N 两点，不妨设()()4,0,4,0M N -，又A 为直线:16l x =上的动点，设()()16,0A t t ≠，则,,2012==AM AN t t k k 则AM 方程为()420t y x =+，AN 方程为()412ty x =-，设()()1122,,,E x y F x y ，联立方程()2242016t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，解得()()22224008164000t x t x t +++-=，所以()212164004400t x t --=+，即()211224400160,400400t t xy t t --==++，即()2224400160,400400t t E t t ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭.联立方程()2241216t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，解得()()22221448161440t x t x t +-+-=，所以()222161444144t x t -=+，即()22222414496,144144t t x y t t --==++，即()222414496,144144t t F t t ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭.所以()()2222221609640014444004144400144EFt tt t k t t t t --++=----++232240=-t t，所以直线EF 的方程为()222241449632,144240144t t t y x t t t ⎛⎫-- ⎪-=- ⎪+-+⎝⎭化简得()2321,240ty x t =--所以直线EF 过定点()1,0.22. 已知函数()()()22e e e ,,e 12x x x xf xg xh x x -+===+．（1）求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）当0x >时，试比较()()(),,f x g x h x 的大小关系，并说明理由；（3）设n *∈N ，求证：1111111111ln2123421223421n n n -+-+⋅⋅⋅+-<<-+-+⋅⋅⋅+--．【答案】（1）e e 44y x =+ （2）()()()f x g x h x <<；理由见解析； （3）证明见解析.【解析】【分析】（1（2）构造函数，利用导数确定函数的单调性，求出最值，即可判定结论；（3）构造函数，结合数列知识求和即可证明结论.【小问1详解】由()e1xf x x =+得，()()2e 1xx f x x '=+，所以()f x 在1x =处的切线的斜率()e 14k f ='=，切点e 1,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以所求切线方程：()e e124y x -=-，即e e 44y x =+；【小问2详解】结论：()()()f x g x h x <<；理由如下：要证()()f x g x <，即证e e e 12x x x x -+<+，只需证()()2e 1e e x x xx -<++，为令()()()2e 1e e x x x x x ϕ-=-++，则()()()()()2e e e 1e -e ee x x x x x x x x x x ϕ---=-+-+=-'，当0x >时，1x e -<，e 1x >，故()0x ϕ'<，所以()()()2e 1e e xx x x x ϕ-=-++在0x >时单调递减，所以()()00x ϕϕ<=，即()()2e 1e e 0x x x x --++<，所以e e e 12x x xx -+<+，故()()f x g x <；要证()()g x h x <，即证22e ee 2x x x -+<，只需证22e e ln ln e 2x x x -+<，令()222e e e e 1ln ln e ln 222x x x x x v x x --++=-=-，则()e e e e x x x x v x x ---=-+'，令()e e e ex xx x w x x ---=-+，则()()241e e x x w x -=-+'，当0x >时，e e 2x x -+>，从而()2e 4x ->，故()()2410e e x x w x -=-'<+，所以()e e e ex xx x v x x ---=-+'在0x >时单调递减，所以()()00v x v ''<=，从而()2e e 1ln 22x x v x x -+=-在0x >时单调递减，所以()()00v x v <=，即22e e ln ln e 20x x x -+-<，即22e e ln ln e 2x x x -+<所以22e ee 2x x x -+<，故()()g x h x <，又因为()()f xg x <，所以()()()f x g xh x <<.【小问3详解】令()()()ln 101x u x x x x =-+>+，则()()()22110111x u x x x x -=-=<+++'所以()()ln 11x u x x x =-++在当0x >时单调递减，所以()()00u x u <=，所以()ln 11x x x <++，即()1ln 111x x <++，令1x n =，则有()11ln 1ln 1ln 1n n n n ⎛⎫<+=+- ⎪+⎝⎭，即()1ln 1ln 1n n n <+-+，所以()()1ln 2ln 12n n n <+-++，()()1ln 3ln 23n n n <+-++，⋯()1ln 2ln 212n n n<--，所以111ln 2ln ln 2112n n n n n++<-=++ ，所以111111234212n n-+-+⋅⋅⋅+--11111111223421242n n ⎛⎛⎫=++++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+ ⎪-⎝⎝⎭1111111112342122n n n ⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以11111111112342121112n n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=+++-+++ ，因为1111ln 21112n n n n+++<+++ ，所以111111ln 2234212n n -+-+⋅⋅⋅+-<-；下面先证当0x >时，ln 1≤-x x ，令()()1ln 0p x x x x =-->，()111x p x x x'-=-=，令()0p x '>，则1x >，所以()1ln p x x x =--在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()()10p x p ≥=，从而()1ln 0p x x x =--≥，即ln 1≤-x x ，当且仅当1x =时，ln 1x x =-，所以当0x >时，()ln 1x x +<，令1x n =，则有11ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即()1ln 1ln n n n+-<，所以()()1ln 2ln 11n n n +-+<+，()()1ln 3ln 22n n n +-+<+，⋯()()1ln 2ln 2121n n n --<-，所以()1111ln 2ln 1221n n n n n n -<++++++- ，即111ln 2121n n n ++++>+- ，因为1111123421n -+-+⋅⋅⋅+-111111112234212422n n ⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭111111112342121n n ⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以111111111234211221n n n n n -+-+⋅⋅⋅+=++++-++- ，因为1111ln 21221n n n n ++++>++- ，所以11111ln 223421n -+-+⋅⋅⋅+>-，综上所述，1111111111ln2123421223421n n n -+-+⋅⋅⋅+-<<-+-+⋅⋅⋅+--.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。
江西省吉安县第三中学、安福二中2024年高三数学第一学期期末经典试题含解析
江西省吉安县第三中学、安福二中2024年高三数学第一学期期末经典试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{|23}A x y x x ==-++，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．AB A =B ．A B B ⋃=C ．()UA B =∅ D ．UB A ⊆2．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π3．已知复数z 满足202020191z i i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．1-B ．1C ．i -D ．i4．在复平面内，复数z a bi =+（a ，b R ∈）对应向量OZ （O 为坐标原点），设OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，已知)43z i =，则z =（ ）A ．23B ．4C ．83D ．165．已知2cos(2019)3πα+=-，则sin(2)2πα-=（ ）A ．79B ．59C ．59-D ．79-6．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ）A ．月收入的极差为60B ．7月份的利润最大C ．这12个月利润的中位数与众数均为30D ．这一年的总利润超过400万元7．记()[]f x x x =-其中[]x 表示不大于x 的最大整数,0()1,0kx x g x x x≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若方程在()()f x g x =在[5,5]-有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围( ) A ．11,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,65⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,54⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．已知函数()22cos sin 4f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，则()f x 的最小值为( ) A ．212+B ．12C ．212-D ．214-9．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）A 5B 5C ．102D ．10510．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种11．已知函数()sin 3f x a x x =-的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( ) A ．3π-B ．0C ．3π D ．23π 12．对于函数()f x ，定义满足()00f x x =的实数0x 为()f x 的不动点，设()log a f x x =，其中0a >且1a ≠，若()f x 有且仅有一个不动点，则a 的取值范围是（ ）A ．01a <<或a =B ．1a <<C ．01a <<或1e a e =D ．01a <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
天津市和平区2022-2023学年高三上学期期末考数学试题及答案
天津市和平区2022-2023学年高三上学期期末数学试题温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
祝同学们考试顺利!第Ⅰ卷（选择题共45分）（答案在最后）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3.本卷共9小题，每小题5分，共45分。
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集{}2,1,0,1,2,3U =--，集合{}1,2A =-，{}2430B x x x =-+=，则()UA B ⋃=A.{}2,0-B.{}0,3C.{}2,1-D.{}1,32.“n 是3的倍数”是“n 是6的倍数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.函数()2ln x f x x=的部分图象大致为A.B.C.D.4. A.92π B.278πC.9πD.27π5.为倡导“节能减排，低碳生活”的理念，某社区对家庭的人均月用电量情况进行了调查，通过抽样，获得了某社区100个家庭的人均月用电量（单位：千瓦时），将数据按[)40,60，[)60,80，[)80,100，[)100,120，[)120,140，[]140,160分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.若该社区有3000个家庭，估计全社区人均月用电量低于80千瓦时的家庭数为 A.300B.450C.480D.6006.设0.6log 2a =，2log 0.6b =，20.6c =，则a ，b ，c 的大小关系为A.b c a <<B.c b a <<C.a b c <<D.b a c <<7.已知抛物线220y x =的焦点F 与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点重合，且点F 到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为 A.2214116x y -=B.2214125x y -=C.221916x y -=D.221169x y -= 8.已知函数()1sin 2222f x x x ωω=+，()0ω>，且()f x 的最小正周期为π，给出下列结论：①函数()f x 在区间7,212ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；②函数()f x 关于直线12x π=对称；③把函数sin 2y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象. 其中所有正确结论的序号是 A.①②B.①③C.②③D.①②③9.设函数()()2e e ,024,0x xx x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨---<⎪⎩，若函数()()g x f x ax =-恰有两个零点，则实数a的取值范围为 A.(]0,2B.()0,2C.()2,+∞D.{}2第Ⅱ卷（非选择题 共105分）注意事项：1.用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效。
2025届浙江省杭州地区重点中学数学高三第一学期期末考试试题含解析
2025届浙江省杭州地区重点中学数学高三第一学期期末考试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ）A ．48B ．60C ．72D ．1202．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，λ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离与P 到点A 的距离相等，则点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是（ ）A ．33-B ．3C ．332-D ．32 3．已知数列{}n a 的通项公式是221sin 2n n a n π+⎛⎫=⎪⎝⎭，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．0 B ．55 C ．66 D ．784．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点P 是平面1111D C B A 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之和为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．复数12z i =+，若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 等于（ ） A ．345i +- B ．345i + C ．34i -+ D ．345i -+6．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．6⎛ ⎝⎦B ．,15⎫⎪⎪⎣⎭C ．0,5⎛ ⎝⎦D ．,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭7．已知函数f (x )＝223,1ln ,1x x x x x ⎧--+≤⎨>⎩,若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．12⎛ ⎝B ．12⎡⎢⎣C ．1,2e ⎛ ⎝⎦D ．12⎛ ⎝⎭8．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ）A ．163iB ．6iC ．203iD ．2010．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是A ．2()(2)3-∞+∞，， B ．2(2)3， C ．22()33-， D ．22()()33-∞-+∞，， 11．若函数32()2()f x x mx x m R =-+∈在1x =处有极值，则()f x 在区间[0,2]上的最大值为（ ）A ．1427B ．2C ．1D ．312．小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:307:30-之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上7.008:00-之间.用A 表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为x ，小张离开家的时间为y ，(,)x y 看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A 的概率()P A 等于（ ）A ．58B ．25C ．35D ．78二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023届河南省安阳市林州市林虑中学高三上学期调研(期末)数学(文)试题(解析版)
2023届河南省安阳市林州市林虑中学高三上学期调研（期末）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1A =--，{}230B x x x =+<，则A B =（ ）A ．{}2,1-B ．{}2,1--C ．{}2,1,0--D ．{}0,1【答案】B【分析】求出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B ⋂.【详解】因为{}{}23030B x x x x x =+<=-<<，因此，{}2,1A B =--.故选：B. 2．已知1i1i-=+z ，则2i z -=（ ）A ．1B ．3CD 【答案】A【分析】化简复数z ，求出共轭复数z ，进而可得2i z -，即得 2i z -. 【详解】解：2221i (1i)12i i i,i,2i i 11i 1i 2z z z ---+====-=-=-=+- 故选：A3．圆锥的母线长为2，侧面积为2π，若球O 的表面积与该圆锥的表面积相等，则球O 的体积为（ ）A B ．2π3C D ．3π2【答案】C【分析】先利用圆锥侧面积公式与表面积公式求得其表面积，再利用球的表面积公式得到关于R 的方程，解之即可求得球的体积.【详解】依题意，设圆锥的底面半径为r ，母线2l =， 则圆锥的侧面积为π2πrl =，故1r =，所以圆锥的底面积为2ππr =，则圆锥的表面积为2ππ3π+=，设球的半径为R ，则24π3πR =，得R ，所以球的体积34π3V R ==故选：C.4．直线20x y -=被圆2288280x y x y +--+=截得的弦长为（ ）A B C D 【答案】C【分析】利用配方法，结合点到直线距离公式、勾股定理进行求解即可.【详解】由222288280(4)(4)4x y x y x y +--+=⇒-+-=，所以圆心为(4,4)，半径为2，圆心(4,4)到直线20x y -=所以弦长为故选：C5．为了研究汽车减重对降低油耗的作用，对一组样本数据()11,x y 、()22,x y 、、(),n n x y 进行分析，其中i x 表示减重质量（单位：千克），i y 表示每行驶一百千米降低的油耗（单位：升），1i =、2、、n ，由此得到的线性回归方程为()ˆˆ0y bxa b =+>.下述四个说法： ①a 的值一定为0；②ˆb越大，减重对降低油耗的作用越大； ③残差的平方和越小，回归效果越好；④至少有一个数据点在回归直线上. 其中所有正确说法的编号是（ ） A ．①④ B ．②③ C ．②③④ D ．①②④【答案】B【分析】根据拟合直线不一定过坐标原点可知①错误；由b 的实际意义可知②正确；残差的平方和越小，说明相关指数2R 越接近于1，其拟合效果越好，故③正确；由样本点和回归直线的位置关系可知④错误.【详解】a 的实际意义为当减重质量为0时，汽车每行驶一百千米所降低的油耗， 从其意义上来看，a 的值应该等于0，但拟合直线并不一定过坐标原点，因此a 的值可能比0略大或略小，所以①错误； ˆb的实际意义是每行驶一百千米降低的油耗量与减重质量之比，因此ˆb越大，减重对降低油耗的作用越大，所以②正确； 相关指数()()221211==-=--∑∑niii nii y y R y y ，所以残差的平方和()21ni ii y y =-∑越小，2R 越接近于1，回归效果越好，所以③正确；有可能没有数据点在回归直线上，所以④错误. 故选：B.6．如图，111111ABCDEF A B C D E F -是底面为正六边形的直棱柱，则下列直线与直线11A B 不垂直的是（ ）A ．AEB ．1A EC ．1BD D ．1E F【答案】D【分析】根据线面垂直的判定定理和性质，结合平行线的性质逐一判断即可.【详解】如图，连接1AE ，则11BD AE ∥，因为11AB A B ∥，且11,,AB AE AB AA AE AA A ⊥⊥⋂=，所以AB ⊥平面1AA E ，且1A E ⊂平面11,AA E AE ⊂平面1AA E ，所以11,AB A E AB AE ⊥⊥，所以11111,A B A E A B AE ⊥⊥，又11BD AE ∥，所以111A B BD ⊥.若111A B E F ⊥，则111D E E F ⊥，且111D E EE ⊥，则11D E ⊥平面11EE F F ，显然不成立，所以11A B 不垂直于1E F .故选：D7．设0.22a =，0.50.5b =，0.5log 0.2c =，则（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c a b << D ．b a c <<【答案】D【分析】根据基本初等函数的单调性估计,,a b c 的取值范围，进而比较大小. 【详解】对a ：2x y =在R 上单调递增，则0.210.20222,221<=>=，即12a <<；对b：0.50.5y =[)0,∞+上单调递增，则0.50.50==>=，即01b <<； 对c ：0.5log y x =在()0,∞+上单调递减，则0.50.5log 0.2log 0.252>=，即2>c ； 综上所述：b a c <<. 故选：D.8．甲、乙两人各有若干个苹果，其中甲的苹果不多于10个，甲的苹果数的3倍不少于乙的苹果数，乙的苹果至少比甲的苹果多7个，则甲、乙两人一共的苹果至少有（ ） A ．12个 B ．13个 C ．15个 D ．16个【答案】C【分析】设甲的苹果数为x ，乙的苹果数为y ，则3700x yy x x y ≥⎧⎪≥+⎪⎨>⎪⎪>⎩，结合线性规划和实际意义即可求解.【详解】由题意知，设甲的苹果数为x ，乙的苹果数为y ，则3700x yy x x y ≥⎧⎪≥+⎪⎨>⎪⎪>⎩，不等式组表示的平面区域如图所示，其中点(3.5,10.5)A ，由图可知，直线y x =-平移到点A 时，目标函数z x y =+取到最小值， 此时 3.5,10.5x y ==，结合实际意义，x 、y 为正整数，所以4,11x y ==，满足甲的苹果不多于10个， 所以甲乙两人一共的苹果至少有15个. 故选：C.9．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为2T T π⎛⎫> ⎪⎝⎭，且将()y f x =的图象向右平移4π个单位后的图象关于y 轴对称，则T =（ ） A ．34πB ．πC ．32πD ．3π【答案】A【分析】根据三角函数图象的平移变换和奇偶性，可得44,Z 3k k ω=--∈，由22T ππω=>可得04ω<<，即可求解.【详解】将函数()sin()6f x x πω=+图象向右平移4π个单位长度，得sin()64y x πωπω=+-，图象关于y 轴对称， 则函数sin()cos()cos()6426434y x x x πωπππωππωπωωω=+-=--+=--为偶函数，所以,Z 34k k πωππ--=∈，解得44,Z 3k k ω=--∈；又22T ππω=>，所以04ω<<，所以83ω=， 则23π843T π==. 故选：A.10．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin sin a B b C =，则ABC 的面积为（ ） A ．2sin 22a CB ．2sin 22b AC ．2sin 22c BD ．)222312a b c ++【答案】A【分析】根据题意和正弦定理可得sin sin A C =，进而,a c A C ==，利用诱导公式可得sin sin 2B C =，结合三角形的面积公式计算即可求解.【详解】sin sin a B b C =，由正弦定理，得sin sin sin sin A B B C =，又0B π<<，所以sin 0B ≠， 所以sin sin A C =，则,a c A C ==，所以sin sin()sin(2)sin 2B A C C C ππ=--=-=， 所以ABC 的面积为2211sin 2sin sin 2222a CS ac B a C ===. 故选：A. 11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，两条渐近线为12,l l .设F 关于1l 的对称点为P ，且线段AP 的中点恰好在2l 上，则C 的离心率为（ ）A B C D 【答案】C【分析】方法1：根据几何性质分析可得：2OH HR OF =，运算求解；方法2：根据点关于线对称求点222,b a ab P cc ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，再求线段AP 的中点Q ，代入渐近线方程2:bl y x a =-运算求解.【详解】方法1：如图，设O 为坐标原点，()(),0,,0F c A a -，直线FP 与1:0l bx ay +=交于点H ，则1FH l ⊥，且H 为线段FP 的中点，设线段PA 中点为Q ，则Q 在2l 上，∵FH b ==，则OH a ，设直线HQ 与y 轴的交点为R ，则R 为线段HQ 的中点，且HQx 轴，则11244a cHR HQ FA +===， ∵△△OHR OFH ，则HR OH OHOF=，∴2OH HR OF =，即()24c a c a +=，整理得240c ca a⎛⎫+-= ⎪⎝⎭设双曲线的离心率为ce a=，则240e e +-=，解得e =e =（舍去）.方法2：由题意可得：()(),0,,0F c A a -， 不妨设直线1:b l y x a=，(),P m n ，则0122n b m c a n b m c a -⎧⨯=-⎪⎪+⎨-⎪=⨯⎪⎩，解得222b a m c ab n c ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即222,b a ab P c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 设线段PA 中点为Q ，点(),0A a ，则22,2b a ac ab Q c c ⎛⎫-+-⎪⎝⎭， 将Q 点坐标代入方程2:b l y x a =-得222ab b b a ac c a c -+-=-⨯，整理得240c c a a⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，设双曲线的离心率为c e a=， 则240e e +-=，解得171e -=171e +=（舍去）. 故选：C.12．已知函数32()1f x x mx nx =+++在区间(0,1)单调递增，则（ ） A ．34m n +≤ B ．134m n +≥-C ．34m n +≤D ．134m n +≥-【答案】D【分析】由题意可知不等式2()320g x x mx n =++≥在(0,1)上恒成立，对称轴为3mx =-.分别对13m -≥、30m -<<、03m-≤三种情况讨论函数的单调性求出函数对应的最小值，结合m 的取值范围分别求出3m n +、3m n +取值范围即可.【详解】因为函数32()1f x x mx nx =+++在(0,1)上单调递增， 所以不等式2()320f x x mx n '=++≥在(0,1)上恒成立，令2()32g x x mx n =++，(0,1)x ∈，对称轴为3m x =-. 当13m-≥即3m ≤-时，函数()g x 在(0,1)上单调递减， ()(1)320g x g m n >=++≥，得23n m ≥--， 所以33233m n m m m +≥--=-，由3m ≤-知，36m -≤-，无法判断3m n +的取值范围；36959m n m m m +≥--=--，由3m ≤-知，596m --≤，无法判断3m n +的取值范围； 当013m <-<即30m -<<时，函数()g x 在(0,)3m -上单调递减，在(,1)3m-上单调递增， 所以2()()033m m g x g n >-=-+≥，得23m n ≥，所以22192733()3324m m n m m +≥+=+-， 由30m -<<知，2219271927336324324m n m ⎛⎫⎛⎫+=+->-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，221113()244m n m m m +≥+=+-≥-；当03m-≤即0m ≥时，函数()g x 在(0,1)上单调递增， ()(0)0g x g n >=≥，所以330m n m +≥≥，30m n m +≥≥. 故选：D.二、填空题13．命题“0R x ∃∈，200510x x -+<”的否定是__________．【答案】R x ∀∈，2510x x -+≥【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得到答案.【详解】命题“0R x ∃∈，200510x x -+<”的否定是R x ∀∈，2510x x -+≥．故答案为：R x ∀∈，2510x x -+≥14．已知()1,2a =，()2,b m =，()a ab -∥，则a b -=__________．【分析】根据向量平行得到4m =，再计算模长得到答案.【详解】()1,2a b m -=--，由()a ab -∥，则122m -⨯=-，则4m =，所以()1,2a b -=--，则5a b -=． 故答案为：515．写出一个同时满足下列性质的函数：()f x = __________． ①定义域为R ； ②()00f ≠；③设()f x '是函数()f x 的导函数，且()()()()221f x f x '+=．【答案】()sin x ϕ+（πk ϕ≠，Z k ∈），答案不唯一【分析】确定()()sin f x x ϕ=+（πk ϕ≠，Z k ∈），再验证即可. 【详解】()()sin f x x ϕ=+（πk ϕ≠，Z k ∈），满足定义域为R ；()0sin 0f ϕ=≠；()()()()()()2222sin cos 1f x f x x x ϕϕ'+=+++=，故答案为：()sin x ϕ+（πk ϕ≠，Z k ∈）16．已知某圆台的上、下底面面积分别为π和4π，高为2，上、下底面的圆周在同一球面上，则该圆台外接球的表面积为__________． 【答案】65π4【分析】由题意圆台上下底面的半径分别为1和2，再分析两底面在球心同侧于异侧时两种情况，再设球的半径为R ，根据垂径定理列式求解即可.【详解】由题可知圆台上下底面的半径分别为1和2，外接球轴截面如图所示，设球的半径为R 22142R R --=，即(222124R R -=-，即2221444R R R -=+--，即2144R -=-22412R R --，即(222421R R -=-，所以22244411R R R -=---，即2417R -=，则26516R =，65R = ∴这个球的表面积是26565π4π4π164S R ==⨯=．故答案为：65π4三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()()1211n n n n S n S n -=＋＋＋，n *∈N ． (1)求n S ； (2)设n T 是数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求n T ． 【答案】(1)()12n n n S +=； (2)21n nT n =+.【分析】（1）由已知可推出，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列，即可解出12n S n n +=，进而解得n S ； （2）由（1）可得11121n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，然后求和即可得到n T . 【详解】（1）由题()()1112n n n n nS n S ++-+=，可得1112n n S S n n +-=+，又知11111S a ==，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列，所以()111122n S n n n +=+-=，即()12n n n S +=． （2）由（1）可得()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，∴11111122121223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭． 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD 是直角三角形，且4PA AD ==，E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点．(1)证明：PB平面EFG ；(2)求三棱锥B EFG -的体积． 【答案】(1)证明见解析(2)43【分析】（1）证明平面PBC平面EFG ，根据PB ⊂平面PBC ，得到证明.（2）确定B ，D 两点到平面EFG 的距离相等，B EFG D EFG G EFD V V V ---==，计算得到答案. 【详解】（1）E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点，故EF AD BC ∥∥，FG PC ∥，EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，FG ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，故EF平面PBC ，FG平面PBC ，EF FG F ⋂=，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，平面PBC平面EFG ，PB ⊂平面PBC ，故PB 平面EFG ．（2）连接DE ，平面P AD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD ＝AD ，P A ⊥AD ， 故P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，P A ⊥CD ，四边形ABCD 为正方形，AD ⊥CD ，PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面PAD ，故CD ⊥平面P AD ．GD ＝2，12222EFD S =⨯⨯=△．BC平面EFG ，故B ，C 两点到平面EFG 的距离相等，G 是线段CD 的中点，C ，D 两点到平面EFG 的距离相等， 即B ，D 两点到平面EFG 的距离相等，11422333B EFG D EFG G EFD EFD V V V S DG ---===⨯⨯=⨯⨯=△，三棱锥B －EFG 的体积为43．19．随着电池充电技术的逐渐成熟，以锂电池为动力的新一代无绳类电动工具以其轻巧便携､工作效率高､环保､可适应多种应用场景下的工作等优势，被广泛使用.在消费者便携无绳化需求与技术发展的双重驱动下，锂电类无绳电动工具及配套充电器市场有望持续扩大.某公司为适应市场并增强市场竞争力，逐年增加研发人员，使得整体研发创新能力持续提升，现对2017~2021年的研发人数作了相关统计，如下图：2017~2021年公司的研发人数情况（年份代码1~5分别对应2017~2021年）(1)根据条形统计图中数据，计算该公司研发人数y 与年份代码x 的相关系数r ，并由此判断其相关性的强弱；(2)试求出y 关于x 的线性回归方程，并预测2023年该公司的研发人数.（结果取整数）参考数据：()52155960i i y y=-=∑139937.4≈.参考公式：相关系数()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=-⋅-∑∑∑线性回归方程的斜率()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，截距ˆˆay bx =-. 附：r[]0,0.25 [)0.30,0.75 []0.75,1相关性 弱 一般强【答案】(1)0.98r ≈，y 与x 具有很强的线性相关关系(2)73.2004ˆ1.yx =+，预测2023年该公司的研发人数约为613人【分析】（1）首先求,x y ，根据参考公式求值，代入相关系数公式，即可求解； （2）根据参考公式求ˆb和ˆa ，即可求得回归直线方程，并代入7x =求预报值. 【详解】（1）由条形统计图，得()11234535x =⨯++++=，2042202983964823205y ++++==，所以()()()()()()5222222123451i i x xx x xx x x x x x x =-=-+-+-+-+-∑()()()()()222221323334353=-+-+-+-+-10=，()()()()()()()51211611000221762162732iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯=∑.所以()()57320.982374iix x y y r --===≈≈⨯∑.因为相关系数0.980.75r ≈>，所以y 与x 具有很强的线性相关关系，且为正相关.（2）()()()2515173273.ˆ210iiii i x x y y bx x ==--===-∑∑， 所以320ˆˆ73.23100.4ay bx =-=-⨯=， 所以73ˆˆˆ.2100.4ybx a x =+=+. 由题意知，2023年对应的年份代码7x =， 当7x =时，73.ˆˆ27100.4612.8ˆybx a =+=⨯+=， 故预测2023年该公司的研发人数约为613人.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为1A ，2A ，上顶点为B ，12BA A △的面积为2，点()4,0M -满足213MA MA =. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点M 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 自左向右依次交于P ，Q 两点，R 为线段PQ 上一点，且MP RQ MQ PR ⋅=⋅，设直线l 与直线OR 的斜率分别为1k ，2k ，求证：21k k 为定值. 【答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）由12BA A △的面积为2，可得2ab =，再结合213MA MA =，可得2a =，1b =，进而得到椭圆C 的标准方程；（2）方法一：根据题意可得直线l 的方程()()1140y k x k =+≠，联立方程组，结合韦达定理可得12x x +，12x x ，再结合MP RQ MQ PR ⋅=⋅，可得31122344x x x x x x -+=+-，从而得到31x =-，313y k =，即()11,3R k -，进而得证；方法二：根据题意可得直线l 的方程()40x my m =-≠，联立方程组，结合韦达定理可得12y y +，12y y ，再结合MP RQ MQ PR ⋅=⋅，可得101220y y y y y y -=-，进而得到23k m=-，11k m =，进而得证.【详解】（1）由12BA A △的面积为2，得1222a b ⨯⨯=，即2ab =，因为()4,0M -，()1,0A a -，()2,0A a ， 所以由213MA MA =，得()434a a +=-+， 解得2a =，所以1b =.故椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）方法一：由题意可知直线l 的方程为()()1140y k x k =+≠，联立()2211,44,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 可得()222211141326440k x k x k +++-=，令()()()()22222111132441644161120k k k k ∆=-+-=->，则211012k <<.设()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,R x y ，则2112213241k x x k -+=+，21122164441k x x k -=+. 由MP RQ MQ PR ⋅=⋅，得MP RQ MQ PR ⋅=⋅.所以MP PR MQRQ=，所以31122344x x x x x x -+=+-， 解得()221222121211321122164432242441411328841k k x x x x k k x k x x k --⨯+++++===--++++，313y k =，所以()11,3R k -. 故()2111133k k k k =⨯-=-，即21k k 为定值. 方法二：由题可设直线l 的方程为()40x my m =-≠， 联立22144x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 可得()2248120m y my +-+=，令0∆>，即()()2284840m m -+>，即212m >，设()11,P x y ，()22,Q x y ，()00,R x y 由根与系数的关系可得12284m y y m +=+，122124y y m =+. 由MP RQ MQ PR ⋅=⋅，得MP RQ MQ PR ⋅=⋅，所以MP PR MQRQ=.即得101220y y y y y y -=-. 化简得1201222128y y y y y m ⨯==+.所以03y m=，0041x my =-=-. 故23k m=-，11k m =.所以213k k =-，即21k k 为定值. 21．已知函数()()e 0xf x x ax a =-≠，其中e 为自然对数的底数.(1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)设函数()()ln g x f x a x =-，证明：当e a >时，函数()g x 有两个零点.注：函数e x y =与11y x =+的图象有唯一公共点()0,1.【答案】(1)函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+，单调递减区间为(),0∞- (2)证明见解析【分析】（1）把1a =代入函数()()e 0xf x x ax a =-≠，然后对其求导得()()1e 1x f x x '=+-，再利用导数与函数的单调性求解即可；（2）由()()e 0xf x x ax a =-≠知：()()()ln e ln e ln e x x xg x f x a x x ax a x x a x =-=--=-，令e x t x =，则证明函数()g x 有两个零点转化为()()ln 0h t t a t t =->有两个零点，对()h t 求导，然后利用导数研究其单调性与最值来处理即可得出其证明.【详解】（1）当1a =时，()e x f x x x =-，x ∈R ，则()()1e 1xf x x '=+-.注意到()00f '=，易知当0x >时，0fx；当0x <时，()0f x '<.所以函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+，单调递减区间为(),0∞-.（2）()()()ln e ln e ln e x x xg x f x a x x ax a x x a x =-=--=-，定义域为()0,∞+.令e x t x =，则当0x >时，()1e 0xt x '=+>，所以函数e x t x =在()0,∞+上单调递增，所以()0,t ∈+∞，所以当e a >时，()()e ln e x xg x x a x =-有两个零点等价于当e a >时，()()ln 0h t t a t t =->有两个零点.()1a t a h t t t-'=-=，令()0h t '=，则t a =.当t a >时，()0h t '>；当0t a <<时，()0h t '<， 所以()h t 在(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减， 所以()()()min ln 1ln h t h a a a a a a ==-=-. 因为e a >，所以()0h a <.又因为()110h =>，所以只需证明当e a >时，()2e e 0a a h a =->.设()()2e e x v x x x =->，则()e 2x v x x '=-.令()()e 2e x x x x ϕ=->，则()ee 2e 20x x ϕ=>-'->，所以()x ϕ在()e,+∞上单调递增，()()()ee e 2e 0v x x ϕϕ=>=->'，所以函数()v x 在()e,+∞上单调递增，()2e 2e e e 0x v x x =->->，即()2e e 0a a h a =->，所以()h t 在()1,a ，(),e aa 上各存在一个零点，所以当e a >时，函数()h t 有两个零点，即函数()g x 有两个零点.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的零点个数问题，考查转化思想和运算能力，属难点、难题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为12cos ,2sin x y αα=--⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆2C 的极坐标方程为2(32cos 2)5ρθ-=.(1)求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2)设P 是1C 上的点，1F ，2F 是2C 的两个焦点，求12PF PF ⋅的最大值. 【答案】(1)()212212:11;:15x C x y C y ++=+=；【分析】(1)根据1C 的参数方程和22sin cos 1αα+=化简即可求出1C 的普通方程；根据二倍角的余弦公式和222x y ρ+=、sin y ρθ=化简即可求出2C 的直角坐标方程；(2)由题意可知(12cos ,2sin )P αα--，12(2,0),(2,0)F F -，根据两点坐标求距离公式可得12PF PF⋅=. 【详解】（1）由题意知，1cos 12cos 22sin sin 2x x y y αααα+⎧=-⎪=--⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩， 又22sin cos 1αα+=，所以221()()122x y+-+=， 即1C 的普通方程为22(1)4x y ++=；由2(32cos 2)5ρθ-=，得22[32(12sin )]5ρθ--=， 整理，得224(sin )5ρρθ+=，又222x y ρ+=，sin y ρθ=， 所以2C 的直角坐标方程为2255x y +=，即2215x y +=； （2）因为P 是1C 上的点，所以(12cos ,2sin )P αα--， 由(1)知，12(2,0),(2,0)F F -，得1PF =2PF所以12PF PF ⋅== 由二次函数的性质知，当1cos 12α=时，12PF PF ⋅所以12PF PF ⋅. 23．设a 、b 、c 为正数，且b c c a a b a b c+++≤≤.证明： (1)a b c ≥≥；(2)()()()2324a b b c c a abc +++≥. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）由不等式的基本性质可得出111a b c≤≤，利用反比例函数在()0,∞+上的单调性可证得结论成立；（2）利用基本不等式可得出a b +≥，2b c +≥3c a +≥可证得结论成立.【详解】（1）证明：因为a 、b 、c 为正数，由b c c a a b a b c +++≤≤可得a b c a b c a b ca b c++++++≤≤， 所以，111a b c≤≤， 因为函数1y x=在()0,∞+上为增函数，故a b c ≥≥.（2）证明：由基本不等式可得a b +≥2b c b b c +=++≥()322c a c a a a +=++≥≥=由不等式的基本性质可得()()()2171131573362244412232424a b b c c a a b b c a c a b c +++≥=11764122424ab a b c abc ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b c ==时，等号成立，故()()()2324a b b c c a abc +++≥.。
河北省衡水顶级中学2023届高三上学期期末数学试题(解析版)
（3）以频率估计概率，若从全年级中随机抽取3人，求至少抽到一人数学成绩为优秀的概率．
（4）以频率估计概率，若从三班中随机抽取8人，求抽到 人数学成绩为优秀的分布列（列出通式即可）及期望 ，并说明x取何值时概率最大．
A. B. C. D.
4.一个灯罩可看作侧面有布料的圆台，在原形态下测得的布料最短宽度为13，将其压扁变为圆环，测得布料最短宽度为5，则灯罩占空间最小为（）
A. B. C. D.不存在
5.若六位老师前去某三位学生家中辅导，每一位学生至少有一位老师辅导，每一位老师都要前去辅导且仅能辅导一位同学，由于就近考虑，甲老师不去辅导同学1，则有（）种安排方法
2022—2023高三上学期期末考试
数学学科
满分150分，考试时间120分钟
考生注意：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区城内．
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
C. D.
二、多选题：本题共4个小题，每题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9.在正方体 中， 分别为棱 中点， 为 近C三等分点，P在面 上运动，则（）
A ∥平面
B.若 ，则C点到平面PBH的距离与P点位置有关
C.
浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题
镇海中学2023学年第一学期期末考试高三数学试题说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卷上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.A =x x 2-5x +6≤0 ，B =x -1≤x <3 ，则A ∩B =A.x -1≤x <3B.x -1≤x ≤3C.x 2≤x <3D.x 2≤x ≤32.函数f x =2x +x 3-9的零点所在区间为A.0,1 B.1,2C.2,3D.3,43.设函数f x =a -1a x -1+b (a >0，a ≠1)，则函数f x 的单调性A.与a 有关，且与b 有关 B.与a 无关，且与b 有关C.与a 有关，且与b 无关D.与a 无关，且与b 无关4.已知等差数列a n ，则k =2是a 1+a 11=a k +a 10成立的()条件A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要5.已知直线a ，m ，n ，l ，且m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．若l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，则下列说法中正确的是A.l ∥αB.l ⊥βC.若α∩β=a ，则a ∥lD.α⊥β6.已知e 1 ，e 2 是单位向量，且它们的夹角是60°．若a =e 1 +2e 2 ，b =λe 1 -e 2 ，且a =b ，则λ=A.2 B.-2C.2或-3D.3或-27.函数f x =5sin xex+x cos x 在-2π,2π 上的图象大致为AB C D8.设实数x ，y 满足x >32，y >3，不等式k 2x -3 y -3 ≤8x 3+y 3-12x 2-3y 2恒成立，则实数k 的最大值为A.12B.24C.23D.43二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
黑龙江省伊春市第二中学2020届高三上学期期末考试数学(文)试题 含答案
伊春市第二中学2020届第一学期期末考试高三学年 文科数学试卷分值：150分 时间：120分钟一、选择题（每小题5分，每题只有一个正确选项）1．已知集合A ＝{x|（x+1）（x ﹣3）＜0}，B ＝{1，2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x|﹣1＜x ＜3} B ．{x|1≤x ≤2}C ．{1，2，3}D ．{1，2}2．已知复数z 满足（1+i ）z ＝2i ，则z ＝（ ） A ．1﹣iB ．1+iC ．﹣1﹣iD ．﹣1+i3．命题“∃α∈R ，sin α＝0”的否定是（ ） A ．∃α∈R ，sin α≠0 B ．∀α∈R ，sin α≠0 C ．∀α∈R ，sin α＜0D ．∀α∈R ，sin α＞04．下列函数中，既是奇函数又在（﹣∞，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y ＝sinx B ．y ＝||xC ．y ＝﹣3xD ．y ＝)1ln(2x x ++5．已知向量＝（2，﹣1），＝（0，1），（+k ）•＝3，则k ＝（ ） A ．﹣2B ．2C ．﹣4D ．46．在等差数列{a n }中，142,a a 是方程x 2+6x+2＝0的两个实根，则1428a a a ⋅＝（ ） A ．23-B ．﹣3C ．﹣6D ．27．将包含甲、乙两人的4位同学平均分成2个小组参加某项公益活动，则甲、乙两名同学分在同一小组的概率为（ ） A ． B ． C ． D ．8.已知双曲线（a ＞0）的一条渐近线为y ＝，则双曲线的焦点坐标为（ ） A ．（±，0） B ．（±，0） C ．（0，±） D ．（0，±）9．执行如右图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x的值的个数为（)A．1 B．2 C．3 D．410.某三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．111.函数y＝的图象大致为（）A．B．C．D．12．已知定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f´（x），并且当x＞0时，有2f（x）+xf´（x）＞0，且 f（﹣1）＝0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分）13．已知函数f（x）＝，则f[f（2）]＝．14．设x、y满足约束条件，则z＝2x﹣3y的最小值是________.15．点A，B，C，D均在同一球面上，AD⊥平面ABC，其中△ABC是边长为3的等边三角形，AD＝2AB，则该球的表面积为．16．已知数列{an }的前n项和Sn满足，Sn＝3an﹣2，数列{nan}的前n项和为Tn，则满足Tn＞100的最小的n值为．三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在△A BC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若bcos C＝(2a－c)cosB ，(Ⅰ)求∠B 的大小；(Ⅱ)若b ＝7，a ＋c ＝4，求a,c 的值.18．在某次测验中，某班40名考生的成绩满分100分统计如下图所示． （Ⅰ）估计这40名学生的测验成绩的中位数x 0精确到0.1；（Ⅱ）记80分以上为优秀，80分及以下为合格，结合频率分布直方图完成下表，并判断是否有95%的把握认为数学测验成绩与性别有关？合格 优秀 合计 男生 16 女生 4 合计40附：x 2＝19．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AP ＝AD ＝2AB ＝2BC ＝2，点M 在棱PC 上． （Ⅰ）求证：AM ⊥CD ；（Ⅱ）当AM ⊥平面PCD 时，求三棱锥M ﹣PAD 的体积．P （x 2≥k 0）0.050 0010 0.001 k 03.8416.63510.82820．已知椭圆C ：+＝1（a ＜b ＜0）的离心率为，短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点N （0，2）作两条直线，分别交椭圆C 于A ， B 两点（异于N ），当直线NA ，NB 的斜率之和为4时，直线AB 恒过定点，求出定点的坐标．21．已知函数f （x ）＝．（1）若f （x ）在（0，+∞）上单调递增，求a 的取值范围； （2）当a ＝1且x ＞0时，f （x ）＞mln （x+1），求m 的取值范围．22.已知在直角坐标系xOy 中，圆锥曲线C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ⎧⎨⎩＝＝（θ为参数），直线l 经过定点P （2，3），倾斜角为3π． （1）写出直线l 的参数方程和圆的标准方程；（2）设直线l 与圆相交于A ，B 两点，求｜PA ｜·｜PB ｜的值．高三文科数学参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|1≤x≤2} C．{1，2，3} D．{1，2}【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜3}；∴A∩B＝{1，2}．故选：D．2．已知复数z满足（1+i）z＝2i，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【解答】解：∵复数z满足（1+i）z＝2i，∴（1﹣i）（1+i）z＝（1﹣i）×2i，化为2z ＝2（i+1），∴z＝1+i．故选：B．3．命题“∃α∈R，sinα＝0”的否定是（）A．∃α∈R，sinα≠0 B．∀α∈R，sinα≠0C．∀α∈R，sinα＜0 D．∀α∈R，sinα＞0【解答】解：特称命题的否定是全称命题，∴∃α∈R，sinα＝0的否定为：∀α∈R，sinα≠0，故选：B．4．下列函数中，既是奇函数又在（﹣∞，+∞）上单调递增的是（）A．y＝sin x B．y＝|x|C．y＝﹣x3D．y＝ln（+x）【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝sin x，为正弦函数，在（﹣∞，+∞）上不是单调函数，不符合题意；对于B，y＝|x|，为偶函数，不符合题意；对于C，y＝﹣x3，是奇函数但在（﹣∞，+∞）上单调递减，不符合题意；对于D，y＝lnx（+x），既是奇函数又在（﹣∞，+∞）上单调递增，符合题意；故选：D．5．已知向量＝（2，﹣1），＝（0，1），（+k）•＝3，则k＝（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【解答】解：因为＝（2，﹣1），＝（0，1），所以（+k）•＝+k2＝﹣1+k＝3，解得k＝4，故选：D．6．在等差数列{a n}中，a2，a14是方程x2+6x+2＝0的两个实根，则＝（）A．B．﹣3 C．﹣6 D．2【解答】解：∵a2，a14是方程x2+6x+2＝0的两个实根，∴a2+a14＝﹣6，a2a14＝2，由等差数列的性质可知，a2+a4＝2a8＝﹣6，∴a8＝﹣3则＝，故选：A．7．将包含甲、乙两人的4位同学平均分成2个小组参加某项公益活动，则甲、乙两名同学分在同一小组的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：将包含甲、乙两人的4位同学平均分成2个小组，共有＝3种方法，甲、乙两名同学分在同一小组，共有1种方法所以甲、乙两名同学分在同一小组的概率为故选：C．8．已知双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为y＝，则双曲线的焦点坐标为（）A．（±，0）B．（±，0）C．（0，±）D．（0，±）【解答】解：双曲线（a＞0）的渐近线方程为y＝±x，由题意可得＝，即有a＝2，则双曲线的b＝，c＝＝，即有双曲线的焦点为（0，±），故选：D．9．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x的值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据题意，该框图的含义是当x≤2时，得到函数y＝x2﹣1；当x＞2时，得到函数y＝log2x．因此，若输出结果为3时，①若x≤2，得x2﹣1＝3，解之得x＝±2②当x＞2时，得y＝log2x＝3，得x＝8因此，可输入的实数x值可能是2，﹣2或8，共3个数．故选：C．10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．1【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积S＝×1×1＝，高为1，故棱锥的体积V＝＝，故选：A．11．函数y＝的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，y＝，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，排除B、D；当x＞0时，e﹣x＞0，则有ln（e x+e﹣x）＞ln（e x）＝x，必有＞1，排除A；故选：C．12．已知定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f'（x），当x＞0时，有2f（x）+xf'（x）＞0，且f（﹣1）＝0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）【解答】解：当x＞0时，由2f（x）+xf'（x）＞0可知：两边同乘以x得：2xf（x）+x2f′（x）＞0，设：g（x）＝x2f（x），则g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）＞0，恒成立：∴g（x）在（0，+∞）单调递增，定义在R上的偶函数f（x），f（﹣1）＝0，可得f（1）＝0，函数f（x）的图象如图：当x＞0；f（x）＞0成立的x的取值范围是：x＞1，当x＜0时，函数是偶函数，同理得：x＜﹣1，综上可知：实数x的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选：B．13．已知函数f（x）＝，则f[f（2）]＝．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（2）＝2﹣2＝，f[f（2）]＝f（）＝＝．故答案为：．14．设x、y满足约束条件，则z＝2x﹣3y的最小值是【解答】解：由z＝2x﹣3y得y＝，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y＝，由图象可知当直线y＝，过点A时，直线y＝截距最大，此时z最小，由得，即A（3，4），代入目标函数z＝2x﹣3y，得z＝2×3﹣3×4＝6﹣12＝﹣6．∴目标函数z＝2x﹣3y的最小值是﹣6．15．点A，B，C，D均在同一球面上，AD⊥平面ABC，其中△ABC是等边三角形，AD＝2AB＝6，则该球的表面积为48π．【解答】解：如图，O′为底面的中心，OO′⊥底面ABC，E为AD中点，且OE⊥AD，在正三角形ABC中，由AB＝3求得，又OO′＝AE＝3，∴OA＝2，∴S球＝4π×12＝48π，故答案为：48π．16．已知数列{a n}的前n项和S n满足，S n＝3a n﹣2，数列{na n}的前n项和为T n，则满足T n ＞100的最小的n值为7 ．【解答】解：根据题意，数列{a n}满足S n＝3a n﹣2，①当n≥2时，有S n﹣1＝3a n﹣1﹣2，②，①﹣②可得：a n＝3a n﹣3a n﹣1，变形可得2a n＝3a n﹣1，当n＝1时，有S1＝a1＝3a1﹣2，解可得a1＝1，则数列{a n}是以a1＝1为首项，公比为的等比数列，则a n＝（）n﹣1，数列{na n}的前n项和为T n，则T n＝1+2×+3×（）2+……+n×（）n﹣1，③则有T n＝+2×（）2+3×（）3+……+n×（）n，④③﹣④可得：﹣T n＝1+（）+（）2+……×（）n﹣1﹣n×（）n＝﹣2（1﹣）﹣n×（）n，变形可得：T n＝4+（2n﹣4）×（）n，若T n＞100，即4+（2n﹣4）×（）n＞100，分析可得：n≥7，故满足T n＞100的最小的n值为7；故答案为：7．17.（1）sinBcos C＝(2sinA－sinc)cos Bsin(B+C)=2sinAcosBcosB=，B=。
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普宁市华侨中学2017届高三级上学期·期末考文科数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卷上。
2.用2B 铅笔将选择题答案在答题卷对应位置涂黑；答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；不准使用铅笔或涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卷的整洁。
第I 卷 选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.已知集合 A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x ＜﹣1}，则集合A∩B=（ ） A ．{x|﹣2≤x＜4}B ．{x|x≤3或x≥4}C ．{x|﹣2≤x＜﹣1}D ．{x|﹣1≤x≤3}2.已知i 为虚数单位，复数11z i=+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限 3.若a ＜0，则下列不等式成立的是（ ） A ． B ． C ． D ．4.已知4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．5.设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，有以下四个命题： A ．若//,//m n αα，则//m n B ．若,m ααβ⊥⊥，则//m β C ．若//,m ααβ⊥，则m β⊥D ．若,//m ααβ⊥，则m β⊥6.某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与x 满足函数关系2464y x =+，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．67.已知ABC ∆中，内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ，若3A π=，且2cos b a B =， 1c =，则ABC ∆的面积等于（ ）A .4 B .2 C .6 D .88.如图所给的程序运行结果为S=35，那么判断框中应填入的关于k 的条件是（ ）A ．k=7B ．k≤6C ．k ＜6D ．k ＞69.《庄子·天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”反映这个命题本质的式子是( ) A ．21111122222n n +++⋅⋅⋅+=- B ．211112222n +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅< C ．21111222n ++⋅⋅⋅+= D ．21111222n ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅< 10.已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该求的体积为（ ）A ．B ．4πC ．2πD ．11.函数f （x ）=sinx•l n|x|的部分图象为（ ）A．B．C．D．12.已知抛物线2:4C y x =的交点为F ，直线1y x =-与C 相交于,A B 两点，与双曲线2222:2x y E a b-=(0,0)a b >>的渐近线相交于,M N 两点，若线段AB 与MN 的中点相同，则双曲线E 离心率为（ ） A．3．2 C．3D第II 卷 非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分） 13.设数列{}n a 前n 项和为n S ，如果()136,73n n S a a n N n +==∈+那么48a =_____． 14.过双曲线的左焦点F 1作一条l 交双曲线左支于P 、Q 两点，若|PQ|=4，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是 ．15.已知OA 为球O 的半径，垂直于OA 的平面截球面得到圆M （M 为截面与OA 的交点）.若圆M 的面积为2π，OM =___________.16.设x ，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y （a ＞0，b ＞0）的最大值为35，则a+b 的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37S =，且1a ，2a ，31a -成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若421log n n b a +=，1n =，2，3，求和：12233411111n nb b b b b b b b -++++．18. （本小题满分12分）某企业通过调查问卷（满分50分）的形式对本企业900名员工的工作满意度进行调查，并随机抽取了其中30名员工（16名女员工，14名男员工）的得分，如下表：（1）根据以上数据，估计该企业得分大于45分的员工人数；（2）现用计算器求得这30名员工的平均得分为40.5分，若规定大于平均得分为“满意”，否则为“不满意”，请完成下列表格：（3）根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？ 参考数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 19. （本小题满分12分）已知函数()2cos 2cos f x x x x =+．（1）求24f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）若函数()f x 在区间[],m m -上是单调递增函数，求实数m 的最大值． 20. （本小题满分12分）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，90ADC BCD ∠=∠=︒，2BC =，CD =，4PD =，60PDA ∠=︒，且平面PAD ⊥平面ABCD ．（1）求证：AD PB ⊥；（2）在线段PA 上是否存在一点M ，使二面角M BC D --的大小为6π，若存在，求出PMPA的值；若不存在，请说明理由． 21. （本小题满分12分）如图所示，抛物线1C ：24x y =在点A ，B 处的切线垂直相交于点P ，直线AB 与椭圆2C ：22142x y +=相交于C ，D 两点．（1）求抛物线1C 的焦点F 与椭圆2C 的左焦点1F 的距离；（2）设点P 到直线AB 的距离为d ，试问：是否存在直线AB ，使得AB ，d ，CD 成等比数列？若存在，求直线AB 的方程；若不存在，请说明理由． 22. （本小题满分12分） 已知函数()ln f x x =．（1）若函数()()F x tf x =与函数()21g x x =-在点1x =处有共同的切线l ，求t 的值；（2）证明：()()12f x f x x x ->+；（3）若不等式()mf x a x ≥+对所有30,2m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，21,x e ⎡⎤∈⎣⎦都成立，求实数a 的取值范围．数学参考答案13.350 14.12 15.16π 16.817.解：（1）由已知得：123132712a a a a a a ++=⎧⎨+-=⎩，解得22a =…………………………2分设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得12a q=，32a q =，（2）由（1）得22124n n n a +==，由于421log n n b a +=，1n =，2，，4log 4n n b n ∴==． (7)分()1223341111111112231n n b b b b b b b b n n -∴++++=+++⨯⨯-1111111111223341n n n=-+-+-++-=--………………………………………10分 18.解：（1）从表中可知，30名员工中有8名得分大于45分，所以任选一名员工，他（她）的得分大于45分的概率是843015=，所以估计此次调查中，该单位约有490024015⨯=名员工的得分大于45分．…4分（2）依题意，完成22⨯列联表如下：……………………………………………………8分（3）假设0H ：性别与工作是否满意无关，根据表中数据，求得2K 的观测值()2301211348.571 6.63515151614k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，查表得()2 6.6350.010.8P K ≥= (10)分∴能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为性别与工作是否满足有关．……………………12分19.解：（1）()2cos 21f x x x =++122cos 212sin 2126x x x π⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭………………………3分2sin 12sin 11241264f ππππ⎛⎫⎛⎫∴=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………5分（2）由222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈ 得36k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈()f x ∴在区间,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）上是增函数……………………8分当0k =时，()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，若函数()f x 在区间[],m m -上是单调递增函数，则[],,36m m ππ⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦ ………………………10分 630m m m ππ⎧≤⎪⎪⎪∴-≥-⎨⎪>⎪⎪⎩，解得06m π<≤m ∴的最大值是6π ………………………12分20.解：证明：（1）过B 作BO CD P ，交AD 于O ，连接OP ．AD BC P ，90ADC BCD ∠=∠=︒，CD OB P ，∴四边形OBCD 是矩形，OB AD ∴⊥．2OD BC ==，4PD =，60PDA ∠=︒，OP ∴==………2分222OP OD PD ∴+=，OP OD ∴⊥．又OP ⊂平面OPB ，OB ⊂平面OPB ，OP OB O =， AD ∴⊥平面OPB ，……3分PB ⊂平面OPB ，AD PB ∴⊥．………………………5分（2）平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，OA AD ⊥，OP ∴⊥平面ABCD ．以O 为原点，以OA ，OB ，OP 为坐标轴建立空间直角坐标系，…………………7分 如图所示：则()B，()C -，假设存在点(),0,M m n 使得二面角M BCD --的大小为6π，则()MB m n =--，()2,0,0BC =-．设平面BCM 的法向量为(),,n x y z =，则0m BC m MB ⎧=⎪⎨=⎪⎩．200x mx nz -=⎧⎪∴⎨--=⎪⎩，令1y =得30,1,n ⎛= ⎝．………9分 OP ⊥平面ABCD ，()0,0,1n ∴=为平面ABCD 的一个法向量．…………………10分3cos ,3m n n m n m n∴===．……………………11分 解得1n =．1PM PO PA PO -∴===．…………………12分 21.解：（1）抛物线1C 的焦点()0,1F ，椭圆2C 的左焦点()1F ．……………………2分（2）设直线AB ：y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，由2,4,y kx m x y =+⎧⎨=⎩得2440x kx m --=， 故124x x k +=，124x x m =-．………………………4分 由24x y =，得2x y '=， 故切线PA ，PB 的斜率分别为12PA x k =，22PB xk =，………………………5分 再由PA PB ⊥，得1PA PBk k =-，即1212412244x x x x mm -===-=-，故1m =，这说明直线AB 过抛物线1C 的焦点F ．……………………6分由21122224,24x x y x x xy x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得1222x x x k +==， 222111121121121244444x x x x x x x x y k kx x +=-=-=-==-，即()2,1P k -．……………………………………8分 于是点()2,1P k -到直线AB ：10kx y -+=的距离d ==．由221,1,42y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()2212420k x kx ++-=，)()21-=， 同理，()241AB k =+………………………10分若AB ，d ，CD 成等比数列，则2d AB CD =，即(()2228411k k =++，化简整理，得42283670k k ++=，此方程无实根，所以不存在直线AB ，使得AB ，d ，CD 成等比数列………………………12分22.解：（1）()2g x x '=，()()ln F x tf x t x ==，()()tF x tf x x ''==，()()F x tf x =与()21g x x =-在点1x =处有共同的切线l ，()()11k F g ''∴==，即2t =，……………………………4分（2）令()()h x f x x =-，则()111x h x x x -'=-=，则()h x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，()h x ∴的最大值为()11h =-，()h x ∴的最小值是1，…………………………6分设()()1ln 122f x xG x x x =+=+，()21ln xG x x -'=，故()G x 在()0,e 上是增函数，在()e,+∞上是减函数，故()max 111e 2G x =+<，()()12f x f x x x ∴->+；………………………8分（3）不等式()mf x a x ≥+对所有的30,2m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，21,e x ⎡⎤∈⎣⎦都成立，则ln a m x x ≤-对所有的30,2m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，21,e x ⎡⎤∈⎣⎦都成立，令()ln H x m x x =-，30,2m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，21,e x ⎡⎤∈⎣⎦是关于m 的一次函数，21,e x ⎡⎤∈⎣⎦，[]ln 0,2x ∴∈，∴当0m =时，()H m 取得最小值x -，即a x ≤-，当21,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，恒成立，故2e a ≤-．……………………………12分。