位错理论3-位错的弹性性质

Stress field of screw dislocation
外径为R，内径为R0的圆柱沿z轴切开，滑动 距离b （沿z轴方向）， 再焊合螺位错（b）
采用圆柱座标，将螺位错展开，可见应变只 有eqz＝ezq，即：
e qz e zq
eqz b lq 2r
9
Stress field of screw dislocation
Gb A 2 (1 )
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y
y＝x
Stress field of edge dislocation
刃位错应力场特点：
⊥
x 同时存在正应力和切应 力分量； 对称于多于半原子面 （Z－Y平面）（Y轴） 各应力分量与z轴无关， y＝-x 表明与位错线平行的直 线上各点的应力状态相 同；
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y
Stress field of y＝x edge dislocation 刃位错应力场特点：
⊥
当y＝0时，sxx＝syy＝szz ＝0; sxy, syx最大； 即滑 x 移面上无正应力，只有 切应力，且最大。 当y>0时，即在滑移面 上方， sxx<0 ，x方向正 应力为压应力； y<0时， 反之。 y＝-x 当x＝0或│x│＝│y│时， 即在多于半原子面或与 滑移面呈45°的晶面上， 无切应力。
其它方向无位移，即： eqq＝err＝ ezz＝0 ； eqr＝erq＝ erz＝ ezr ＝0 。 根据胡克定律，螺位错应力场为：
Gb s qz s zq G e qz 2r s qr s rq s zr s rz 0 s s s 0 qq rr zz
位错理论III
——位错的弹性性质
朱旻昊 材料先进技术教育部重点实验室
2006年3月
目录
弹性理论基础 位错的应力场 位错的应变能 位错所受的力 位错的线张力 位错间的相互作用力
2
Basis of elasticity theory
弹性连续介质模百度文库：
假设1：完全服从胡克定律，即不存在塑性 变形； 假设2：各向同性； 假设3：为连续介质，不存在结构间隙
7
Stress field of dislocation
位错晶格畸变应力场 以位错中心的某点为定点，应力场描述为：
s ij f ( x, y, z ) or s f ( r , q , z ) ij
位错中心不能用使用弹性连续介质模型 适用5~10Å以外的区域
8
4
Basis of elasticity theory
应变分量（应变张量strain tensor）：
只有6个独立分量：exx, eyy, ezz, exy, exz, eyz； err, eqq, ezz, erq, erz, eqz；
5
Basis of elasticity theory
弹性系数（弹性模量elastic modulus）： 遵循胡克定律（Hook’s law）
s ii Ee ii s ij Ge ij E G 2(1 )
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目录
弹性理论基础 位错的应力场 位错的应变能 位错所受的力 位错的线张力 位错间的相互作用力
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直角坐标表示
by e xz e zx 2 ( x 2 y 2 ) bx e e zy yz 2 ( x 2 y 2 ) e xx e yy e zz 0 e xy e yx 0
Gb y s xz s zx 2 x 2 y 2 Gb x 2 s yz s zy 2 2 x y s xx s yy s zz s xy s yx 0
1 2 T Gb 2
F b dl
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F
Line tension of dislocation
可以认为位错线张力T在Ft的负方向 上的分力使位错线变直。 dq
F 2T sin
所以有平衡关系：
dq b dl 2T sin 2 dl dq r (dl 2r sin q
Gb2 R E ln 4k r0
m e
1 其中，k 1 cos2 q
k称为混合位错的角度因素（k＝1~0.75）
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Strain energy of dislocation
位错应变能的一般表达式：
近似取r0=b （2.5×10-8cm） R＝10-4cm (根据实际晶体的亚结构确定，与r有关)
所以
E a Gb
m e
2
系数a由位错类型、密度决定； a＝0.5~1.0
位错的应变能与b的平方成正比！
b的大小是分析位错组态，判断位错稳定性大 小的重要依据，因为应变能越低位错稳定性越 高，所以晶体中位错趋向于b最小的组态。 26
目录
弹性理论基础 位错的应力场 位错的应变能 位错所受的力 位错的线张力 位错间的相互作用力
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Stress field of screw dislocation 螺位错应力场特点：
只有切应力（ sqz、szq分量），无正 应力分量 应力场对称于螺位错的位错线——轴 对称：切应力分量大小只与距位错线 中心的距离r有关，与q无关。
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Stress field of edge dislocation
其中, 2 2 y ( 3 x y ) s A xx ( x 2 y 2 )2 y( x 2 y 2 ) s yy A 2 2 2 ( x y ) s zz (s xx s yy ) x( x 2 y 2 ) s xy s yx A 2 2 2 ( x y ) s xz s zx s yz s zy 0
考虑位错微元：半径为r，厚度dr，长度L的管 状体元
1 1 Gb b Gb2 L dW s qze qz dV d (2r dr L) dr 2 2 2r 2r 4r
设位错中心半径为r0,应力场范围半径为R，所 以有： 2 R Gb L Gb2 L R Ws dr ln r0 4r 4 r0
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Strain energy of screw dislocation 单位长度的螺位错的应变能Eess：
Gb R E ln 4 r0
S e
2
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Strain energy of edge dislocation 刃位错Eee：
位错在滑移面上 （x方向）只有切 应力分量sqr 且q＝0
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外加应力场作用在位错上的力
虚功原理： 设作用于位错上的切应力t，使长度为dl 的位错线移动ds后，晶体正好移动了距离b。
切应力做的功： dW ( dA) b dl ds b
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外加应力场作用在位错上的力
而位错上的力F做的功：
dW F ds
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Line tension of dislocation
位错的线张力：
因为位错的总应变能与位错线的长度成 正比； 所以为了降低系统的能量，必须有位错 线由曲变直，由长变短的自发倾向。
该倾向视为：一个张力沿位错线作用 位错线张力T定义：使位错线增长一 定长度dl所做的功W，即：
r
R b
r0 0
Gx 1 dxdr 2r (1 ) r
Gb2 R We ln 4 (1 ) r0
应变能：
Gb R Ee ln 4 (1 ) r0
e
23
2
Strain energy of dislocation
显然存在：
1 E Ees 1
e e
一般：＝0.3~0.4（取＝1/3）
对于位错，除了位错中心严重畸变区外， 均适用于上述模型。
3
Basis of elasticity theory
应力分量（应力张量stress tensor）：
只有6个独立分量：sxx, syy, szz, sxy, sxz, syz； srr, sqq, szz, srq, srz, sqz；
所以：
dl ds b F ds F b dl Fd：单位长度位错线上的力
F Fd b dl
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外加应力场作用在位错上的力
F的方向与t的方向不一定相同
刃位错： F与t同向 螺位错： F与t垂直
Fd b
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弹性理论基础 位错的应力场 位错的应变能 位错所受的力 位错的线张力 位错间的相互作用力
外径为R，内径为R0的圆柱沿z轴切开， 滑动距离b（沿半径方向），再焊合刃 位错（b） 利用弹性理论可导出应力场表达式：
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A s qq s rr r sin q 2A s zz sin q r A s rq s qr r cosq s s s s 0 zr qz zq rz
位错应变能的度量：
单位长度的应变能衡量位错应变能： 弹性理论公式：
W 1 (s ii e ii s ij e ij ) V 2
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Strain energy of screw dislocation
因为只有sqz和eqz：
所以：
W 1 1 Gb b Gb2 s qz e qz 2 2 V 2 2 2r 2r 8 r
3 s E Ee 2
e e
所以，刃位错的弹性应变能比螺位错大50%
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Strain energy of mixed dislocation
混合位错：
因为： b b b b cosq b sin q m e s
所以
2 2 2 2 Gb sin q R Gb cos q R m s e Ee Ee Ee ln ln 4 (1 ) r0 4 r0
qr ,max
Gx cosq Gx 2 (1 ) r 2r (1 )
y＝-x y y＝x
⊥
O
x
dW s qr dx dr
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Strain energy of edge dislocation
位错从0到b，克服位移所做功为：
We
R b
r0 0
s q dxdr
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sxx
sxy
syy
sxz
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目录
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Strain energy of dislocation
位错的应变能：
定义：位错在周围晶体中产生畸变，使晶体 产生畸变的能量称——位错的应变能 应变能(E)＝位错中心畸变能(E0)＋中心外畸 变能(Ee) 据估算， E0占总数的1/15~1/10，所以常被忽 略。
W T dl
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Line tension of dislocation
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Line tension of dislocation
位错线增长dl长度所增加的应变能＝W 所以： T a G b2
一般取a＝0.5
外加切应力作用于dl位错线上的力F使 位错线变弯。
所以：
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Dislocation interactions
位错间的相互作用力：
2
dq b dq r 2T 2
2
dq r )
Ft
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T br
Line tension of dislocation
线张力T与曲率半径r的关系：
T br or T Gb r b 2
Ft
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