函数

函数值全体组成的数集 W { y y f ( x), x D} 称为函数的值域.
函数的两要素:
定义域与对应法则.
(x
D
x0 )
对应法则f
(
W
y
f ( x0 )
自变量
) 因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.
例如， y 例如， y
1 x2 1
1 x2
D : [1,1] D : (1,1)
例如,
2 x 1,
f
( x)
x2
1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
例1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U
与时间
的函数关系式. t(t 0)
解 当 t [0, ] 时, 2
U
E
t
2E t;
2 当 t ( , ]时,
2
U
( ,E)
2
E
o
(,0)
t
记作 [a, b)
{ x a x b} 称为半开区间,
记作 (a, b]
有限区间
[a,) { x a x}
(, b) { x x b}
无限区间
oa
x
区间长度的定义:
ob
x
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
3.邻域: 设a与是两个实数 , 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
U (a) { x a x a }.
a
a
a
x
点a的去心的邻域,
记作U
0
(a
).
U (a) { x 0 x a }.
4.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量.
3l 2
l 2
l 2
3l 2
四、反函数
y
函数 y f ( x)
y
反函数 x ( y)
y0
W
o
y0
W
x0
xo
D
x0
x
D
y 反函数y ( x)
Q(b, a)
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 对称. y x
例3
设
D(
x)
1 0
xQ ,
xQ
求D( 7), D(1 2).并讨论D( D( x))的性质. 5
5.绝对值: 运算性质:
a
a a
a0 a0
ab a b;
( a 0)
a
a ;
bb
绝对值不等式:
a b a b a b.
x a (a 0)
a x a;
x a (a 0)
x a 或 x a;
二、函数概念
例 圆内接正多边形的周长
S3
S4
Sn
2nr sin n
n 3,4,5,
三、证明任一定义在区间( a, a ) ( a 0 ) 上的函数可表
示成一个奇函数与一个偶函数之和.
四、设 f ( x) 是以 2 为周期的函数，
且
f (x)
x 2 ,1
x
0 ,试在(,) 上绘出
0, 0 x 1
f ( x) 的图形.
五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的
求函数 y f ( x) ( x 0)的解析表达式.
思考题解答
设 1u x
则
f u 1
u
1
1 u2
1
1 u2 ,
u
故 f ( x) 1 1 x2 . ( x 0) x
练习题
一、填空题:
1、若
f
1 t
5 t
2t 2,则
f
(t )
__________,
f (t 2 1) __________ .
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
a M,
a M,
A {a1 , a2 , , an }
M { x x所具有的特征}
有限集 无限集
若x A,则必x B, 就说A是B的子集. 记作 A B.
数集分类:
N----自然数集
Z----整数集
S5
S6
圆内接正n 边形
O
r
n
定义 设x 和y 是两个变量,D 是一个给定的数集， 如果对于每个数x D , 变量y 按照一定法则总有 确定的数值和它对应，则称y 是x 的函数，记作
y f (x)
数集D叫做这个函数的定义域
因变量
自变量
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
f ( x2 )
o
x
I
3．函数的奇偶性:
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为偶函数;
y
y f (x)
f ( x)
f (x)
-x
o
x
x
偶函数
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为奇函数;
y
-x
y
y f (x)
f ( x2 )
f ( x1 )
o
x
I
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D,
如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)1 )
f ( x)
o 奇函数
y f (x)
f (x)
x
x
4．函数的周期性:
设函数f ( x)的定义域为D, 如果存在一个不为零的
数l , 使得对于任一x D, ( x l ) D. 则称f ( x)为周
期函数, l称为f ( x)的周期. 且f ( x l ) f ( x)恒成立.
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
( x)
1 2
0
x
1 ,
求函数
f
(x
3)的定义域.
1 x 2
解
f
( x)
1 2
0 x1 1 x 2
f
(x
3)
1 2
0 x31 1 x3 2
1 2
3 x 2 2 x 1
故 D f : [3,1]
三、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x) M 成立,
1
y
sgn x
0
1
当x 0 当x 0 当x 0
y
1
o
x
-1
x sgn x x
(2) 取整函数 y=[x]
y
x [x]表示不超过 的最大整数
4321
-4 -3 -2 -1
o -1 1 2 3 4 5
x
-2 -3 -4
阶梯曲线
在自变量的不同变化范围中对, 应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
如果自变量在定义域内 任取一个数值时，对应的函 数值总是只有一个，这种函 数叫做单值函数，否则叫与 多值函数．
y
W y
(x, y)
o
x
x
例如，x2 y2 a2．
D
定义: 点集C {( x, y) y f ( x), x D} 称为
函数y f ( x)的图形.
几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
y M
y M
y=f(x)
o
x
有界
X
o
x0
X
无界
x
-M
-M
2．函数的单调性:
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (1) f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x)在区间 I上是单调增加的 ;
解 D( 7) 1, D(1 2) 0, D( D( x)) 1, 5 y
单值函数, 有界函数,
1
偶函数,
不是单调函数,
周期函数(无最小正周期)
o
x
五、小结
基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数
思考题
设x 0 ，函数值 f ( 1 ) x 1 x 2 ， x
2
单三角脉冲信号的电压
U
0
E 0
(t
),
即U 2E (t )
2
当 t (,) 时, U 0.
U
E
U U (t )是一个分段函数,
( ,E) 2
其表达式为
o
(,0)
t
2
2E t,
U (t )
2E (t 0,
),
t [0, ] 2
t ( , ] 2
t (,)
例2
设f
Q----有理数集
R----实数集
数集间的关系:
N Z , Z Q, Q R.
若A B,且B A, 就称集合A与B相等. ( A B)
例如 A {1,2},
C { x x 2 3 x 2 0}, 则 A C.
不含任何元素的集合称为空集.