最新人教版高中数学必修五同课异构课件：2.1 数列的概念与简单表示法 2.1.2 探究导学课型

探究3：数列的通项公式和递推公式能否互相转化？ 提示：数列的通项公式和递推公式一般可以相互转化.但有些 递推公式求不出通项公式，故数列的通项公式和递推公式并不 一定能互相转化.
【探究总结】数列递推公式与通项公式的区别与联系
区别
通项 公式
递推 公式
项an是序号n的函数式 an=f(n)
项an与数列的其他项或多 项的关系式
第2课时 数列的通项公式与递推公式
1.会根据数列的通项公式，解决简单的数列问题. 2.体会递推公式是数列的一种表示法，并能根据递推公式写出 数列的前几项. 3.掌握由一些简单的递推公式求通项公式的方法.
数列的递推公式
如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项) 开始的任一项an与它的前一项_a_n_-1_(或前几项)(n≥2，n∈N*) 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个
.
【解析】因a1=-1，an+1=an-2.
所以a2=-1-2=-3，a3=a2-2=-3-2=-5.
答案：-5
3.数列{an}中a1=3，an+1=an+4，则它的第5项是
.
【解析】a1=3，an+1=an+4，则a2=7，a3=11，a4=15，
a5=19.
答案：19
数列的递推公式 已知一个数列的首项为a1=a，从第二项起每一项都等于它的前 一项的b倍再加c，即an=ban-1+c，该式子体现了相邻两项之间 的关系，称之为数列的递推公式，结合该定义探究下面的问题：
(2)因为an=n2-5n+4=
，所以对称轴为n= =2.5.
又因n∈N*，故n=2或(n3时52，)2 an94有最小值.
5 2
其最小值为22-5×2+4=-2.
【规律总结】数列最大项或最小项的求法 (1)利用单调性，确定n的取值或范围，从而确定最大或最小项.
(2)通过解不等式组 a n a n 1，(n∈N*，n>1)求出最大项是第几
数列的递推公式.
1.已知数列{an}满足a1=1，an=2an-1+1(n≥2)，则a5=( )
A.7
B.15
C.20
D.31
【解析】选D.因为a1=1，an=2an-1+1(n≥2)，所以a2=3， a3=7，a4=15，所以a5=2a4+1=31.
2.数列{an}中，a1=-1，an+1=an-2，则a3=
【解题指南】1.用函数的观点看待通项公式，是开口向上的抛 物线，越接近对称轴的函数值越小. 2.数列的通项公式an与n是函数关系，本题为二次式，需结合 二次函数知识探求，当然不能忘记n的取值范围.
【自主解答】1.选B.由an=3n2-28n3=(n－14)2－196， 33
又n为正整数，故当n=5时an取最小值. 2.(1)由an为负数，得n2-5n+4<0，解得1<n<4. 因为n∈N*，所以n=2，3.故数列有两项为负数.
【自主解答】1.根据框图，数列的递推公式为
an
an－12， 2an－13 (2n10，nN*)
数a列1的1， 前5项依次为：1，
答案：1，
3，13，55，233. 5 21 89 377
3，13，55，233 5 21 89 377
2.选A.因为a1·a2·…·an=n2，
所以a1·a2·…·an-1=(n-1)2，
【规律总结】已知递推公式求数列的项的方法 根据递推公式写出数列的前几项，这类问题要弄清楚公式中各 部分的关系，依次代入计算即可.若数列前几项各项间规律明 显，可归纳出一个通项公式，然后再代入通项公式求数列中的 每一项.
探究1：根据数列的递推公式如何求数列中的项？ 提示：根据数列的递推公式，只需将初始值代入递推公式，就 可依次求出数列中的其他项.
探究2：若仅由数列{an}的递推关系an=ban-1+c(n≥2，n∈N*)， 能否确定数列{an}的每一项？ 提示：仅由数列{an}的递推关系an=ban-1+c(n≥2，n∈N*)，只 能确定数列{an}中相邻两项之间的关系，而无法确定数列中的 每一项.而要想确定数列中的每一项，还需知道数列的第一项 或前几项.
所以an=
(
n
(n≥2)，
)2
所以 n 1所以
a3＝94，a5＝1265.
a
3＋
a
5＝
61 16
.
3.由an+2≥an+2得 a2013≥a2011+2≥a2009+2×2≥…≥a1+2×1006=2013， 由an+2≥an+2得an≤an+2-2， 又an+3≤an+3得an+3≤an+3≤an+2+1，于是 a2013≤a2012+1≤a2011+2×1≤a2010+3×1≤a2009+4×1≤…≤a1 +2012×1=2013，所以a2013=2013.
解得
n
所2以(7n)=n 5或n 6.3
8
(
7 8
)n1.
答案： nn5或56 ，6.
类型二 由递推公式求数列的项
1.根据框图，建立所打印数列的递推公式，数列的前5项
为
.
2.数列{an}中，a1=1，对所有的n>2都有a1·a2·a3·
…·an=n2，则a3+a5等于( )
A.
B.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C.
D.
61
25
联系
都是数列的一种 表示方法
类型一 数列通项公式的应用
1.数列{an}的通项公式为an=3n2-28n，则数列{an}各项中最小 项是( )
A.第4项
B.第5项
C.第6项
D.第7项
2.数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4(n∈N*)，问： (1)数列中有多少项为负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值.
25
31
3.已1 6 知数列{an}中，9 a1=1，an+3≤a1 n9 +3，an+2≥an+125，求a2013.
【解题指南】1.阅读框图，得到递推公式，求出前5项. 2.根据已知，写出a1·a2·…·an-1=(n-1)2，可以求出an. 3.利用递推关系推导2013≤a2013≤2013.
项；通过
(n∈a n N*，a n n1 >1)求出最小项是第几项.
a n a n 1，
a
n
a
n 1
【变式训练】已知数列{an}的通项公式为
则当an取得最大值时，n等于
.
an＝n＋2(78)n，
【解析】由题意知
a a
n n
a n 1， a n 1，
所以
n
2(7)n
8
n
1(
7)n1， 8