高考中的球体问题
高考数学关于球的知识点
高考数学关于球的知识点在高考数学中，涉及到球体的知识点是较为常见和重要的内容之一。
球体作为一种几何体，具有独特的性质和特点，对于高考来说是必须掌握和理解的知识。
本文将针对高考数学中关于球的知识点进行详细的阐述，希望能够给广大考生带来一些帮助。
一、球的基本概念球是由空间中一点到距离不超过该点到一定正实数为半径的所有点组成的集合。
在数学中，我们用O表示球心，用r表示球的半径。
球表面的所有点到球心的距离都等于半径r，这就是球体的特点。
二、球的性质和运算1. 球的面积和体积球的表面积S和体积V是球的重要性质。
我们可以根据球的半径r计算球的表面积和体积。
球的表面积公式为：S = 4πr²球的体积公式为：V = 4/3πr³2. 球的三视图绘制球的三视图是常见的考点之一。
我们可以通过将球投影到不同的平面上，得到球的正视图、侧视图和俯视图。
球的正视图是一个圆，从正方向看，我们可以看到球的全貌。
球的侧视图是一个点，从侧方向看，只能看到球心。
球的俯视图也是一个圆，从上方向看，可以看到球正上方的面。
3. 球与平面的相交当球与平面相交时，几何问题的解决方法和技巧就会不同。
根据球与平面的相交情况，可以分为以下几种情况：当球与平面相交于一个圆时，我们可以通过求圆的面积和周长等性质来解决问题。
当球与平面相交于两个点时，我们可以通过求两点的距离来解决问题。
当球与平面相切时，我们可以通过求切点的坐标和距离来解决问题。
当球与平面没有交点时，我们可以通过球心到平面的距离来解决问题。
4. 球的旋转体当球沿着某条轴线进行旋转时，我们可以得到球的旋转体。
通过对球的旋转体进行计算，可以求出球的体积和表面积等值。
三、球的应用问题球的知识点在高考数学中有着广泛的应用，不仅在几何题目中常常出现，也涉及到其他学科和领域的问题。
1. 球的容器问题在物理学和工程学中，常常遇到需要计算球的容器问题。
例如，如何选择球形容器的大小，能够完美地容纳某种物质体积，又或者是球形容器与其他形状容器的比较等等。
对近几年高考球体探究
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（ ３ ） 三角 Ｈ 妾 圆 ２ 为 外接 圆直径 。
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用 对角 线就是２ ， ／ ３， 二面 分体 对角 线三 等 参 考 文献
２高考有关出题与有关 多面体
正方 体 有 内切 球 和 外 接 球 ， 长 方体 ， 棱 锥， 棱 柱有 外 接 球 ， 研 究 球 体可 以 转 化 多面
培 养具 有重要 意义 。
作者 简介 ： 李照东 （ １ ９ ６ ６ 一） ， 男， 吉林 白城 人 ， 镇 赉第 一 中学 ， 理学 学 位 ， 高 中数学 。
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中 国科教创新导刊 Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ Ｅ ｄ ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｉ ｎ ｎ ｏ ｖ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｈ ｅ ｒ ａ ｌ ｄ
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（ １ ）Ｓ ＝４ Ｒ ，Ｖ ＝ Ｒ ２ 。
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（ ２ ） 球 被 平 面 截面 是 圆面 ， 圆半径是 ｎ 球 半 径 为 。 圆心为 ０ ， 到面距离为 ｄ ， 三者
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［ Ｊ 】 ． 信 阳 农科 学报 ， ２ ０ ０ ３ （ ４ ） ．
３ 正 方 体 内切 球 和外切 球 关 系 （ 见 图１ ）
（ １ ） 正 方体 边 长 为 ａ ， 球半 径为 Ｒ ， 内切
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２ Ｒ ＝ ４ ａ ＋ ｈ ！ ＋ ｃ ， 日 ， ｔ ， ， ｃ 是三 棱长
高三数学球体体积知识点大全
高三数学球体体积知识点大全高三数学-球体体积知识点大全一、引言球体是数学几何学中的重要概念，其体积计算是数学高考中的常见题型。
本文将详细介绍高三数学中与球体体积有关的知识点，包括基本公式、推导过程以及解题技巧。
二、基本公式1. 球体体积公式球体体积公式是数学中最基本的公式之一，其表达方式如下：V = 4/3πr³其中，V代表球体的体积，r代表球的半径，π约等于3.14159。
2. 球体的直径和半径关系球体的直径是通过球心的两个点，直径长等于半径的两倍。
即d = 2r。
3. 球面积公式球面积公式是求解球面表面积的重要公式，其表达方式如下：A = 4πr²其中，A代表球面的表面积，r代表球的半径，π约等于3.14159。
三、推导过程1. 推导球体体积公式为了更好地理解球体体积公式的推导过程，我们可以运用积分的方法进行推导。
首先，将球体沿x轴旋转一周，形成旋转曲面。
然后，将该旋转曲面划分成无穷多的小圆环。
通过计算每个小圆环的面积，并将其进行累加，即可求得球体体积。
2. 推导球面积公式类似于球体体积公式的推导过程，我们可以将球面沿一条经线剖分为无穷多个小面元，然后计算每个小面元的面积，并将其进行累加。
最终，就可以得到球面积公式。
四、解题技巧1. 分析题目要求在解题过程中，首先要仔细分析题目给出的条件和要求。
明确已知信息，确定需要求解的未知量，有助于选择适当的解题方法。
2. 应用公式灵活当遇到计算球体体积的题目时，可根据题目给出的已知条件，选择合适的体积公式计算。
同时，要熟练运用化简和换元等技巧，简化计算过程。
3. 结合实际情境在解题过程中，可以结合实际情境进行分析。
例如，计算某物体的体积时，可以通过给出的半径或直径进行换算，进一步帮助理解题目以及解题思路。
五、例题分析1. 一个半径为5cm的球体的体积是多少？解析：根据球体体积公式V = 4/3πr³，代入半径r=5cm，计算得V = 4/3π(5)³ ≈ 523.6cm³。
高考球体知识点汇总
高考球体知识点汇总在高考物理考试中，球体是一个非常常见的物体，涉及到的知识点也非常丰富。
下面我将为大家汇总一些与球体相关的重要知识点，帮助大家更好地备考。
一、球体的基本概念球体是由一条线段绕着其中一端的直线旋转一周形成的，它具有各种与球相关的特性。
在球体的研究中，我们经常会用到以下几个重要的概念：1. 半径（r）：球体的半径是指从球心到球面上的任意一点的距离，通常用字母r表示。
2. 直径（d）：直径是指通过球心，并且两端点都在球面上的一条线段，直径是半径的两倍，即d = 2r。
3. 表面积（S）：球体的表面积是指球面的总面积，通常用字母S 表示。
球体的表面积可以通过公式S = 4πr^2来计算。
4. 体积（V）：球体的体积是指球内的所有空间，通常用字母V表示。
球体的体积可以通过公式V = (4/3)πr^3来计算。
二、球体的性质和运动1. 球的静力学性质：在球的静力学中，我们常用到以下几个性质：- 球心对称性：球体具有球心对称性，这意味着球体上的任意一点都可以看作是球心，球心是球体的中心点。
- 球体的重心：球体的重心是球心到球面上各点连线的垂直平分线的交点，球体的重心与球心重合。
- 球体的稳定性：球体是一种非常稳定的几何体，球体的重心总是处于最低位置，不会受到外力的作用而倾倒或者翻转。
2. 球的运动学性质：球体在运动中也有一些特殊的性质，比如：- 球的滚动：当球体发生滚动时，滚动点的速度等于球心的速度，这是由于滚动点和球心在同一直线上。
这个性质在解题时经常被用到。
- 球的加速度：球体在受到作用力时会发生加速度，其大小和方向与作用力成正比。
根据牛顿第二定律，球体的加速度可以用公式a =F/m来计算，其中F是作用力的大小，m是球体的质量。
三、球体的光学性质1. 球面镜：球面镜是由一部分球面切割而成的镜子，分为凸面镜和凹面镜两种。
在高考物理中，我们经常会遇到以下几个与球面镜相关的知识点：- 焦距（f）：凸面镜和凹面镜都有一个焦点，焦点到镜面的距离称为焦距，凸凹面镜的焦距可以通过公式1/f = 1/v + 1/u来计算，其中v是像的位置，u是物的位置。
(完整版)高考外接球内切球专题练习
高考外接球与内接球专题练习（1）正方体，长方体外接球1. 如图所示，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱DD 1上运动，另一端点N 在正方形ABCD 内运动，则MN 的中点的轨迹的面积为（ ）A. 4πB. 2πC. πD. 2π 2. 正方体的内切球与其外接球的体积之比为（ ） A. 1:3 B. 1:3 C. 1:33 D. 1:93. 长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3，AA 1=1， 则该球的表面积为（ ）A. 4πB. 8πC. 16πD. 32π4. 底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为A. 323π B. 4π C. 2π D. 43π 5. 已知正三棱锥P ﹣ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若P A ，PB ，PC 两两垂直，则球心到截面ABC 的距离为 _________ ．6. 在三棱椎A ﹣BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ADB 的 面积分别为22，32，62，则该三棱椎外接球的表面积为（ ） A. 2π B. 6π C. 46π D. 24π7. 设A 、B 、C 、D 是半径为2的球面上的四点，且满足AB ⊥AC 、AD ⊥AC 、AB ⊥AD ， 则S △ABC +S △ABD +S △ACD 的最大值为（ ）A. 4B. 8C. 12D. 168. 四面体ABCD 中，已知AB=CD=29，AC=BD=34，AD=BC=37，则四面体的 外接球的表面积为（ ）A. 25πB. 45πC. 50πD. 100π9. 如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且MN ⊥AM ，若AB=22，则此正三棱锥外接球的体积是A. 12πB. 43πC. 433π D. 123π 10. 已知三棱锥P ABC -的顶点都在同一个球面上（球O ），且2,6PA PB PC ===， 当三棱锥P ABC -的三个侧面的面积之和最大时，该三棱锥的体积与球O 的体积的比值为（ ）A. 316πB. 38πC. 116πD. 18π （2）直棱柱外接球11. 已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=3，AC=4，AB ⊥AC ， AA 1=12，则球O 的半径为A. 3172B. 210C. 132D. 310 12. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面 积为（ ）A. 2a πB. 273a πC. 2113a π D. 25a π 13. 直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA 1=2，∠BAC=120°， 则此球的表面积等于_________ ．14. 三棱锥S ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，又SA=AB=BC=1，则球O 的表面积为（ ）A. 32πB. 32π C. 3π D. 12π 15. 已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3， 则球O 的体积等于 _________ ．（3）正棱锥外接球16. 棱长均相等的四面体ABCD 的外接球半径为1，则该四面体的棱长为___________17. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E 为AB的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B重合于点P ，则P ﹣DCE 三棱锥的外接球的体积为（ ）A. 4327πB. 62π C. 68π D. 624π 18. 已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在表面积为28916π的球面上，底面ABC 是边长为 3的等边三角形，则三棱锥P ABC -体积的最大值为__________19. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积 为（ ）A. 814π B. 16π C. 9π D. 274π 20. 已知正三棱锥P ﹣ABC 的顶点均在球O 上，且P A=PB=PC=25，AB=BC=CA=23， 则球O 的表面积为（ ）A. 25πB. 1256πC. 52π D. 20π21. 在球O 的表面上有A 、B 、C 三个点，且3AOB BOC COA π∠=∠=∠=，△ABC 的外接圆半径为2，那么这个球的表面积为（ ） A. 48π B. 36π C. 24π D. 12π 22. 半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ﹣ABCDEF ，则此正六棱锥的侧面积是 ____．23. 表面积为23的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（ ）A. 23πB. 3π C. 23π D. 223π 24. 正四棱锥P ﹣ABCD 底面的四个顶点A 、B 、C 、D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面 上，如果163P ABCD V -=，则求O 的表面积为（ ） A. 4π B. 8π C. 12π D. 16π（4）棱锥外接球25. 已知A ，B ，C ，D 在同一个球面上，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，若AB=6，213AC =， AD=8，则此球的体积是 _________ ．26. 在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ﹣AC ﹣D ， 则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）A. 12512πB. 1259πC. 1256πD. 1253π 27. 点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=22，若四面体ABCD 体积 的最大值为43，则该球的表面积为（ ） A. 163π B. 8π C. 9π D. 12π 28. 四棱锥S ﹣ABCD 的底面ABCD 是正方形，侧面SAB 是以AB 为斜边的等腰直角三角 形，且侧面SAB ⊥底面ABCD ，若AB=23，则此四棱锥的外接球的表面积为（ ）A. 14πB. 18πC. 20πD. 24π29. 三棱锥S ﹣ABC 的四个顶点都在球面上，SA 是球的直径，AC ⊥AB ，BC=SB=SC=2， 则该球的表面积为（ ）A. 4πB. 6πC. 9πD. 12π30. 已知四棱锥V ﹣ABCD 的顶点都在同一球面上，底面ABCD 为矩形，AC∩BD=G ，VG ⊥平面ABCD ，AB=3，AD=3，VG=3，则该球的体积为（ ）A. 36πB. 9πC. 123πD. 43π（5）内接球31. 一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 432. 在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6,8AB BC ==，13AA =，则V 的最大值为A. 4πB. 92πC. 6πD. 323π 33. 已知球O 与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O 的体积为（ ） A. 823π B. 833π C. 863π D. 1623π 34. 把一个皮球放入一个由8根长均为20的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面 与8根铁丝都有接触点（皮球不变形），则皮球的半径为（ ）A. 103B. 10C. 102D. 3035. 棱长为23的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小 球，则这些球的最大半径为（ ）A. 2B. 22C. 24D. 2636. 如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A ﹣BEFD 与三棱锥A ﹣EFC的表面积分别是S 1，S 2，则必有（ ）A. S 1＜S 2B. S 1＞S 2C. S 1=S 2D. S 1，S 2的大小关系不能确定（6）球的截面问题37. 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为，则此球的体 积为（ ）A. 6πB. 43πC. 46πD. 63π38. 已知三棱锥S ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形， SC 为球O 的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ）A. 26B. 36C. 23D. 2239. 高为2的四棱锥S ﹣ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S ，A ，B ，C ，D 均在半 径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为（ ）A. 102B. 232+C. 32D. 240. 已知三棱锥S ﹣ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC =，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）A. πB. 2πC. 3πD. 4π41. 在半径为13的球面上有A ，B ，C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC 的距离为 _________ ；（2）过A ，B 两点的大圆面与平面ABC 所成二面角为（锐角）的正切值为 ____．42. 设A 、B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到 该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）A. B. C. D.43. 已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2， 则球面面积是（ ） A. 169π B. 83π C. 4π D. 649π 44. 已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ． 若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于 _________ ．45. 三棱锥P ﹣ABC 的各顶点都在一半径为R 的球面上，球心O 在AB 上，且有P A=PB=PC ， 底面△ABC 中∠ABC=60°，则球与三棱锥的体积之比是 _________ ．46. 已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:2AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截 球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为__________（7）旋转体的外接内切47. 半径为4的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面 积之差是 _________ ．48. 将4个半径都是R 的球体完全装入底面半径是2R 的圆柱形桶中，则桶的最小高度 是 _________ ．1. D ；2. C ；3. B ；4. D ；5. 3； 6. B ； 7. B ； 8. C ； 9. B ；10. A ； 11. C ； 12. B ； 13. 20π； 14. C ； 15. 92π； 16. ；17. C ； 19. A ； 20. A ； 21. A ； 22. ； 23. A ； 24. D ； 25. 2563π； 26. C ； 27. C ； 28. D ； 29. B ； 30. D ； 31. B ； 32. B ； 33. A ； 34. B ； 35. C ； 36. C ； 37. B ； 38. A ； 39. A ； 40. D ；41. 12；3；42. A；43. D；44. 16π；45.3；46.92π47. 30π；48.(2R+；。
借球问道 巧建模型——对2022_年新高考Ⅰ卷数学试卷第8_题的探究与思考
借球问道㊀巧建模型对２０２２年新高考Ⅰ卷数学试卷第８题的探究与思考张梦婷(福建省福清第三中学ꎬ福建福清３５０３００)摘㊀要:文章通过统计近五年高考真题ꎬ找准高考对于球的考查方式和考查意图.对２０２２年新高考Ⅰ卷第８题进行剖析ꎬ通过构建球中圆锥模型将空间问题平面化ꎬ达到降维的目的解决问题.关键词:球ꎻ截面ꎻ模型思想中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３１－００５６－０３收稿日期:２０２３－０８－０５作者简介:张梦婷(１９９１.２－)ꎬ女ꎬ福建省福清人ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀统计近五年的高考真题ꎬ笔者发现高考真题对于球的考查主要有以下几个方面:(１)考查球与几何体的体积和表面积ꎻ(２)考查球的截面截线问题.学生解决此类问题的难点在于无法准确作出球与几何体的直观图ꎬ对于多变的几何载体学生难以确定球心的位置与半径.以下对２０２２年新高考Ⅰ卷数学试卷第８题的求解进行详细分析ꎬ探究其规律.１试题呈现题目㊀(２０２２年新高考Ⅰ卷第８题)已知正四棱锥的侧棱长为ｌꎬ其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为３６πꎬ且３ɤｌɤ３３ꎬ则该正四棱锥体积的取值范围是(㊀㊀).Ａ.[１８ꎬ８１４]㊀㊀㊀Ｂ.[２７４ꎬ８１４]Ｃ.[２７４ꎬ６４３]Ｄ.[１８ꎬ２７]考查意图㊀本题考查了正四棱锥的外接球㊁函数的最值等基础知识ꎬ有较强的综合性.需要学生拥有立体几何空间感以及分析解决问题的能力ꎬ能在有限的时间内做到立体几何问题平面化ꎬ构建目标函数将问题转化为三次函数的最值问题.本题突出了转化思想和模型思想的应用ꎬ考查了数学运算㊁直观想象㊁逻辑推理等核心素养ꎬ强化基础考查ꎬ突出关键能力[１].２解法探析解法１㊀如图１ꎬ设顶点为ＰꎬＰ在底面的射影为Ｏ１ꎬ由对称性可知球心Ｏ在ＰＯ１上ꎬ设ＰＯ１＝ｈꎬ正方形边长为ａꎬ则ＯＰ＝ＯＡ＝Ｒ.图１㊀２０２２年新高考Ⅰ卷第８题图６５因为４３πＲ３＝３６πꎬ所以Ｒ＝３.在ＲｔәＰＡＯ１中ꎬｌ２＝ｈ２＋１２ａ２ꎬ在ＲｔәＯＡＯ１中ꎬ９＝(ｈ－３)２＋１２ａ２ꎬ化简可知ꎬｌ２＝６ｈꎬａ２＝２ｌ２－２ｈ２＝１２ｈ－２ｈ２.所以Ｖ＝１３ａ２ｈ＝２３ｈ(６ｈ－ｈ２)＝２３(６ｈ２－ｈ３).此时ｈ＝ｌ２６ɪ３２ꎬ９２[].所以Ｖᶄ＝２３(１２ｈ－３ｈ２)＝２ｈ(４－ｈ).令Ｖᶄ＝０ꎬ解得ｈ＝４.所以Ｖ在(３２ꎬ４)单调递增ꎬ在(４ꎬ９２)单调递减.所以当ｈ＝４时ꎬＶｍａｘ＝６４３ꎬ当ｈ＝３２时ꎬＶｍｉｎ＝２７４ꎬ故选Ｃ.解法２㊀如图１ꎬ设顶点为ＰꎬＰ在底面的射影为Ｏ１ꎬ由对称性可知球心Ｏ在ＰＯ１上ꎬ记四棱锥侧棱与底面夹角为θꎬ高为ｈꎬ则ｈ＝ｌｓｉｎθꎬＯ１Ａ＝ｌｃｏｓθ.因为４３πＲ３＝３６πꎬ所以Ｒ＝３.则(ｌｓｉｎθ－３)２＋(ｌｃｏｓθ)２＝９.则ｌ＝６ｓｉｎθꎬｈ＝ｌｓｉｎθ＝６ｓｉｎ２θꎬＳ底＝４ˑ１２Ｏ１Ａ２＝７２ｓｉｎ２θｃｏｓ２θ.故Ｖ＝１３Ｓ底 ｈ＝１４４(ｓｉｎ２θｃｏｓθ)２.令ｙ＝ｓｉｎ２θｃｏｓθ＝ｃｏｓθ(１－ｃｏｓ２θ)＝ｘ(１－ｘ２)＝－ｘ３＋ｘꎬｘ＝ｃｏｓθɪ[１２ꎬ３２]ꎬ所以ｙᶄ＝－３ｘ２＋１.故ｘɪ[１２ꎬ３３)ꎬｙᶄ>０ꎬｘɪ(３３ꎬ３２]ꎬｙᶄ<０.即Ｖｍａｘ＝１４４(ｙｍａｘ)２＝１４４ˑ[３３ˑ(６３)２]２＝６４３ꎬＶｍｉｎ＝１４４ˑ[３２ˑ(１２)２]２＝２７４ꎬ故选Ｃ.３方法剖析解决球相关的切㊁接问题关键要精准作图.对于球内接锥体㊁柱体㊁台体问题ꎬ想要确定球心㊁半径与多面体几何元素之间的关系比较困难ꎬ需要学生能够熟练掌握球中几何体的图形特征ꎬ应付多元变量之间的相互转化.因此ꎬ需要在作图时将几何体的底面放置在水平的截面圆上ꎬ这样可以直观看出球心㊁截面圆圆心所构成的直线与截面圆垂直ꎬ可以得到多个直角三角形ꎬ并且水平的截面可以更好地观察顶点的位置ꎬ从而确定高的信息[２].而在解题过程中涉及一个球内典型的计算模型ꎬ如图２ꎬ此模型可以称为圆锥模型或斗笠模型.球面上的点与截面的圆心及球心构成一个直角三角形ꎬ利用勾股定理可以得到球半径与几何体底面外接圆半径之间的关系.此模型在求解球与几何体切接问题㊁截面截线问题上有着广泛的应用[３].图２㊀圆锥模型示意图４应用赏析应用１㊀球与几何体的体积和表面积问题.题１㊀(２０２２年全国乙卷９)已知球Ｏ的半径为１ꎬ四棱锥的顶点为Ｏꎬ底面的四个顶点均在球Ｏ的球面上ꎬ则当该四棱锥的体积最大时ꎬ其高为(㊀㊀).Ａ.１３㊀㊀Ｂ.１２㊀㊀Ｃ.３３㊀㊀Ｄ.２２７５解析㊀本题与２０２２年新高考Ⅰ卷第８题一样都是球内接四棱锥问题ꎬ但是此题的底面四边形是未知四边形ꎬ顶点是球心Ｏ.因此一旦底面确定ꎬ高就固定下来ꎬ需要确定底面四边形面积与高之间的关系.基于方法剖析可知首先作出底面四边形所在的截面圆ꎬ如图３所示将底面摆平.当底面所在外接圆固定ꎬ则锥体的高度固定ꎬ因此要四棱锥体积达到最大ꎬ需要底面四边形面积最大.如图３ꎬ设底面所在圆面的半径为ｒꎬ截面圆圆心为Ｏ１ꎬ将Ｏ１与ＡꎬＢꎬＣꎬＤ连接ꎬ夹角分别为αꎬβꎬθꎬφꎬ则ＳＡＢＣＤ＝１２ｒ２(ｓｉｎα＋ｓｉｎβ＋ｓｉｎθ＋ｓｉｎφ).图３㊀２０２２年全国乙卷第９题示意图因为ｓｉｎα＋ｓｉｎβ＋ｓｉｎθ＋ｓｉｎφɤ４ꎬ当且仅当α＝β＝θ＝φ＝π２时取等ꎬ所以Ｓｍａｘ＝２ｒ２ꎬ此时底面是正方形.而四棱锥的高ｈ＝１－ｒ２ꎬ则ＳＡＢＣＤ＝２ｒ２＝２(１－ｈ２).所以Ｖ＝２３ｈ(１－ｈ２)ꎬ其中ｈɪ(０ꎬ１).所以Ｖᶄ＝２３－２ｈ２＝２３(１－３ｈ２).故ｈɪ(０ꎬ３３)ꎬＶᶄ>０ꎬｈɪ(３３ꎬ１)ꎬＶᶄ<０.所以当ｈ＝３３时ꎬＶｍａｘ＝４３２７ꎬ故选Ｃ.应用２㊀球的截面截线问题.题２㊀(２０２２年北京卷第９题)已知正三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的６条棱长均为６ꎬＳ是ΔＡＢＣ及其内部的点构成的集合ꎬ设集合Ｔ＝{ＱɪＳ｜ＰＱɤ５}ꎬ则Ｔ表示的区域的面积为(㊀㊀).Ａ.３π４㊀㊀Ｂ.π㊀㊀Ｃ.２π㊀㊀Ｄ.３π解析㊀此题集合Ｔ＝{ＱɪＳ｜ＰＱɤ５}构成的集合就是球表面以及内部的点的集合ꎬ本题考查的本质就是球与平面ＡＢＣ的截面问题ꎬ球与平面的截面就是一个圆面.如图４ꎬ过点Ｐ作底面射影点Ｏ１ꎬ则由题意ꎬＣＯ１＝２３ꎬＰＣ＝６.所以ＰＯ１＝２６.设球面上点Ｑꎬ则ＰＱ＝５.在ＲｔәＰＱＯ１中ꎬＱＯ１＝ＰＱ２－ＰＯ２１＝１.图４㊀２０２２年北京卷第９题示意图则动点Ｑ在以Ｏ１为圆心ꎬ以１为半径的圆上ꎬ所以面积为πꎬ故选Ｂ.总之ꎬ与球有关的问题的题目小巧灵活㊁立意新颖ꎬ其内涵丰富ꎬ知识交汇性也比较强ꎬ能够很好地检测学生对空间几何体的想象㊁识别㊁判断的能力.借助模型教学可以让解题规律模型化ꎬ这是一种有效的教学方式ꎬ因此在教学中要善于引导学生归纳解题模型ꎬ帮助学生在考场上能够胸有成竹地解决此类问题.参考文献:[１]陈恒曦.基于核心素养的球体接切问题探究[Ｊ].中小学教材教学ꎬ２０２０(０２):３１－３４. [２]陆建.高考中球问题的考查特点和学习建议[Ｊ].数学通讯ꎬ２００８(Ｚ２):２８－２９.[３]李昭平.高考 球问题 考点透视[Ｊ].中学数学杂志ꎬ２０１９(０５):４２－４５.[责任编辑:李㊀璟] ８５。
高考数学中的球体及相关概念
高考数学中的球体及相关概念高中数学是理科生必修课程，其中数学中的球体及相关概念是重要的一部分，这些知识点同样也是高考数学中的热点。
本文将从三个方面来介绍关于高考数学中的球体及相关概念。
一、基本概念球体是一个内部距离球心相等的点的集合，这个距离就是球的半径。
在球体中，有四个基本的参数，分别是体积、表面积、直径和半径。
按照这些基本参数的定义，可以得出以下公式：体积：V=4/3πr³表面积：S=4πr²直径：d=2r半径：r=d/2球体中另一个重要的概念是球的切线，切线是一个与球体表面有且仅有一个公共点的直线，切点的位置对于计算切线的方程很重要。
通过得出球体内各点的距离公式，可以方便地计算球体内的任意两点间的距离和一个点到球体表面的距离。
二、球体的投影在二维平面中，球体可以产生与其切平面相交的圆，这个圆叫做球体在该平面上的投影。
当切平面垂直于球的直径时，其投影将是一个与球底面相等的圆形，这个圆称为大圆。
由于一个球只有一个直径，因此每个大圆都是球的一部分，除非大圆与球体平行。
球体在平面上的投影有重要的应用价值，一些地图上就采用了球体在平面上的投影来展现地球表面上的地理位置。
球体的投影同样具有数学上的应用，例如在立体几何方面，当一个球体在某个平面上的投影是一个正方形时，这个球体可以被二分割成八个等体积的小球。
球体的投影可能是弧形或其他形式，具体形状要根据投影的角度和对应平面的位置而定。
三、球体的运动学在物理学上，球体的运动学是非常重要的概念，它在运动、动量与能量方面具有应用。
球体在竞技运动中同样也具有极大的应用价值，例如足球、篮球等运动。
在物理学中，一个运动球的最基本参数是其位置和动量。
球体的位移可以用球的中心点的移动来测量，而其改变动量可以用关于其中心点的角动量来描述。
此外，同时考虑球体的质心和其相对运动轴，可得到角动量的变化。
总之，高考数学中的球体及相关概念是高中数学中独立存在的学科，具有其自身的特点和应用价值。
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题10：立体几何4(球的切接问题)带详细答案
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题10：立体几何（球的切接问题）选择题1．（2014•大纲版理）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π 【考点】球的体积和表面积；球内接多面体【分析】正四棱锥P ABCD -的外接球的球心在它的高1PO 上，记为O ，求出1PO ，1OO ，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R ，则棱锥的高为4，底面边长为2，222(4)R R ∴=-+，94R ∴=， ∴球的表面积为29814()44ππ=． 故选：A ．【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．2．（2014•陕西理）已知底面边长为1为( )A ．323πB ．4πC ．2πD ．43π 【考点】球的体积和表面积【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径1R =，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．【解答】解：正四棱柱的底面边长为1，又正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径1R = 根据球的体积公式，得此球的体积为34433V R ππ==． 故选：D ．【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题．3．（2015•新课标Ⅱ文）已知A ，B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π【考点】球的体积和表面积【分析】当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，利用三棱锥O ABC -体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O 的表面积．【解答】解：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144R ππ=， 故选：C ．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大是关键．4．（2016•新课标Ⅱ文）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为( )A ．12πB ．323πC ．8πD ．4π【考点】球的体积和表面积【分析】先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，所以球的表面积为24(3)12ππ=．故选：A ．【点评】本题考查学生的空间想象能力，体积与面积的计算能力，是基础题．5．（2016•新课标Ⅲ文理）在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是( )A ．4πB ．92πC ．6πD ．323π 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】根据已知可得直三棱柱111ABC A B C -的内切球半径为32，代入球的体积公式，可得答案． 【解答】解：AB BC ⊥，6AB =，8BC =， 10AC ∴=． 故三角形ABC 的内切圆半径681022r +-==， 又由13AA =， 故直三棱柱111ABC A B C -的内切球半径为32， 此时V 的最大值3439()322ππ=， 故选：B ．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．6．（2017•新课标Ⅲ文理）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．πB ．34πC ．2πD ．4π 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；LR ：球内接多面体【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r =，由此能求出该圆柱的体积． 【解答】解：圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，∴该圆柱底面圆周半径r ==，∴该圆柱的体积：2314V Sh ππ==⨯⨯=．故选：B ．【点评】本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．7．（2018•新课标Ⅲ文理）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且面积为D ABC -体积的最大值为( )A ．B ．C ．D ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的内接多面体；【分析】求出，ABC ∆为等边三角形的边长，画出图形，判断D 的位置，然后求解即可．【解答】解：ABC ∆为等边三角形且面积为2AB =6AB =， 球心为O ，三角形ABC 的外心为O '，显然D 在O O '的延长线与球的交点如图：263O C '==，2OO '=， 则三棱锥D ABC -高的最大值为：6，则三棱锥D ABC -体积的最大值为：3163=． 故选：B ．【点评】本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．8．（2019•新课标Ⅰ理12）已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为( )A ．B ．C ． D【考点】球的体积和表面积，，多面体外接球体。
高考数学球体截面有关的计算问题(解析版)
专题10 与球体截面有关的计算问题【母题来源一】【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为 A. 64π B. 48πC. 36πD. 32π【答案】A【解析】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin 60AB r =︒=，1OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，11,4OO O A R OA ∴⊥====，∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A【名师点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 【母题来源二】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ．D【答案】D 【解析】解法一：,PA PB PC ABC ==△为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA ，AB 的中点，EF PB ∴∥，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===P ABC ∴-为正方体的一部分，则2R ==R =344π338V R ∴=π=⨯=.故选D ．解法二：设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 的中点，EF PB ∴∥，且12EF PB x ==，ABC △为边长为2的等边三角形，CF ∴=，又90CEF ∠=︒，12CE AE PA x ∴===， 在AEC △中，由余弦定理可得()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 的中点，1cos 2AD EAC PA x∠==， 2243142x x x x +-+∴=，22121222x x x ∴+=∴==，，，PA PB PC ∴======2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==2R ∴=，344338V R ∴=π=π⨯=.故选D.【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．【命题意图】高考对本部分内容重点考查球的几何性质及体积与表面积的计算.考查直观想象、数学运算和逻辑推理的核心素养.【命题规律】本部分是高考考查的重点内容，考查的主要角度有两种：一是由球体截面的性质计算体积与表面积；二是球与多面体的切与接问题.命题形式以选择题与填空题为主，涉及空间几何体的结构特征、三视图等内容，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，能用转化与化归的思想解题.【答题模板】解答本类题目，一般考虑如下三步：第一步：确定球心；第二步：运用球体的性质求出球的半径；第三步：根据公式计算.【方法总结】1．解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．2．记住几个常用的结论：（1）正方体的棱长为a，球的半径为R.①对于正方体的外接球，2R；②对于正方体的内切球，2R＝a；③对于球与正方体的各棱相切，2R.（2）在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，球的半径为R，则2R=（3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.3．构造法在定几何体外接球球心中的应用（1）正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；（2）同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；（3）若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体； （4）若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体． 【好题训练】1．【2020广西南宁高三三模】已知过球面上三点,,A B C 的截面到球心距离等于球半径的一半，且ABC 是边长为6的等边三角形，则球表面积为 A ．42π B ．48πC ．64πD ．60π【答案】C【解析】取AB 的中点D ，连接CD ，由题意可得△ABC 的外心O '在线段CD 上，由ABC 是边长为6的等边三角形可得CD =23O C CD '== 设球的球心为O ，半径为R ，连接OC 、OO '，如图：由球的性质可得OC R =，OO '⊥平面ABC ，即2ROO '=，所以OO O C ''⊥，在Rt OO C '△中，222O O O C OC ''+=即(2222R R ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得4R =或4R =-（舍去），所以该球的表面积2464S R ππ==.故选：C.【名师点睛】本题考查了球的几何特征的应用及表面积的求解，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于基础题.2．【2020安徽合肥一六八中学高三模拟】球面上有三点,,A B C 组成这个球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中18AB =，24BC =，30AC =，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则该球的表面积为 A ．1200π B ．1400πC ．1600πD ．1800π【答案】A【解析】设所求球的球心为O ，半径为,R AC 中点为1O ，连1,OO OA ，18AB =，24BC =，30AC =，222,AB BC AC AB BC ∴+=∴⊥，1O ∴为过,,A B C 三点截面圆的圆心，1OO ∴⊥平面1,ABC OO AC ∴⊥，在1Rt OO A ∆中，22222211154R AO R OO AO ==+=+，解得2300R =，球O 的表面积为241200R ππ=.故选：A.【名师点睛】本题考查球的表面积，利用球的性质是解题的关键，属于中档题.3．【2020广东佛山高三调研】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为A ．3500cm 3πB ．3866cm 3πC ．31372cm 3πD ．32048cm 3π【答案】A【解析】设球的半径为R cm ，根据已知条件知，正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm ，球心到截面圆的距离为()2R -cm ，所以由()22242R R +-=，得5R =，所以球的体积为()333445005cm 333V R πππ==⨯=．故选：A ．【名师点睛】本题主要考查球的体积公式的应用，以及球的结构特征的应用，属于基础题．4．【2020重庆八中高三三模】用一根长为18cm 的铁丝围成正三角形框架，其顶点为,,A B C ，将半径为2cm 的球放置在这个框架上（如图）.若M 是球上任意一点，则四面体MABC 体积的最大值为A ．34cm B 3 C ．3 D ．3【答案】D【解析】设球的圆心为O ，半径为R ，ABC 内切圆圆心为1O ，由题意知ABC 三边长为6cm ，则ABC 内切圆半径1cos303r AB =⋅⋅︒=，则11OO ==，所以四面体MABC 的高max 13h OO R =+=.因为22ABCS AB ==，所以四面体MABC 体积的最大值3max max 13ABCV S h =⋅=.故选:D.【名师点睛】本题考查了三棱锥体积的求解.本题的难点是求出球心到三角形所在平面的距离.5．【2020湖北宜昌高三二模】已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为A ．3πB ．23π C ．πD ．43π 【答案】A【解析】如图所示：设内切球球心为O ，O 到平面ACM 的距离为d ，截面圆的半径为r ， 因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为1，又因为O AMC M AOC V V --=，所以123AMCAOCd SS ⨯⨯=⨯，又因为()()1122526,221222AMCAOCSS=⨯⨯-==⨯⨯=，所以1233d ⨯=，所以d =，所以截面圆的半径r ==23S ππ=⋅=⎝⎭.故选：A. 【名师点睛】本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算，难度一般.任何一个平面去截球，得到的截面一定是圆面，截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算.6．【2020湖南省长郡中学高三模拟】已知长方体1111ABCD A B C D -各个顶点都在球面上，8AB AD ==，16AA =，过棱AB 作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】 过棱AB 作该球的截面，则当截面面积最小时，截面的直径为8AB =， 长方体1111ABCD A B C D -各个顶点都在球面上，8AB AD ==，16AA =，∴，∴5=．故选：C. 【名师点睛】本题考查求球心到截面的距离，考查学生的计算能力，确定当截面面积最小时，截面的直径为8AB =是关键，是基础题．7．【2020四川南充高三三模】已知圆锥1SO 的顶点和底面圆周均在球O 的球面上，且该圆锥的高为8，母线12SA =，点B 在SA 上，且3SB BA =，则过点B 的平面被该球O 截得的截面面积的最小值为 A ．27π B ．36πC ．54πD ．81π【答案】A【解析】如图所示：设球的球心为O ，半径为R ，则8,,SM OA R AM ====，所以222OA OM AM =+， 即()(2228RR =-+，解得9R =，取SA 的中点N ，则3BN =，所以ON ==，OB ==设点C 为截面圆周上一点，若截面面积最小，则 OB ⊥截面，此时截面圆半径为 r BC ===，所以截面面积的最小值为227r ππ=.故选：A【名师点睛】本题主要考查球的截面面积的求法以及截面的性质，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.8．【2020福建泉州高三调研】在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为6的正方形，点E 在线段AD 上，且满足2AE ED =，过点E 作直四棱柱1111ABCD A B C D -外接球的截面，所得的截面面积的最大值与最小值之差为19π，则直四棱柱1111ABCD A B C D -外接球的半径为A B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直棱柱，且底面是正方形， 所以其外接球的球心位于直四棱柱的中心，记作O ， 过点O 向底面ABCD 作垂线，垂足为G ，则112OG AA =， 连接BD ，因为底面ABCD 是边长为6的正方形，所以点G 为BD 的中点， 取AD 中点为F ，连接OF ，OE ，OB ，设12AA a =，则OG a =，所以外接球的半径为R OB === 因为点E 在线段AD 上，且满足2AE ED =，则116EF DF DE AB =-==，又132FG AB ==，所以OF 因为直四棱柱中，AB ⊥侧面11ADD A ，//FG AB ，所以FG ⊥侧面11ADD A ， 所以FG AD ⊥，又OG ⊥底面ABCD ，所以OG AD ⊥， 又FG OG G ⋂=，所以OF AD ⊥，则OE =根据球的特征，过点E 作直四棱柱1111ABCD A B C D -外接球的截面， 当截面过球心时，截面圆面积最大，此时截面面积为2S R π=；当OE ⊥，所以此时截面圆面积为()2221S R OE ππ==-；又截面面积的最大值与最小值之差为19π， 所以()2222119S S R R OEOEππππ-=--=⋅=，因此21019a +=，即29a =，所以R ==.故选：C.【名师点睛】本题主要考查求几何体外接球的半径，熟记直四棱柱以及球的结构特征即可，考查空间想象能力，属于常考题型.9．【2020山西师大附中高三质检】设直线l 与球O 有且只有一个公共点P ，从直线l 出发的两个半平面,αβ截球O 的两个截面圆的半分别为1l αβ--的平面角为150︒，则球O 的表面积为 A ．112π B ．28πC ．16πD ．4π【答案】A【解析】过P 与O 作直线l 的垂面如图所示，设球的半径为r ，,OE QP OF PM ⊥⊥，垂足为,E F，则有1,EP PF ==设5,6OPE OPF απα∠=∴∠=-，所以有cos sin 5cos()6r r αααπα⋅=⇒=⋅-， 而22sin cos 1αα+=，所以21cos 28α=，所以228r =，因此球O 的表面积等于：24112r ππ=.故选：A【名师点睛】本题考查了二面角的有关知识，考查了球的表面积公式，考查了空间想象能力.10．【2020广东惠州高三三模】已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，该四棱锥的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若正四棱锥P ABCD -的高为2，则球O 的表面积为 A ．8π B ．9πC ．12πD ．16π【答案】A【解析】如图所示，圆O '是正方形ABCD 和等腰△P AB 的外接圆，设圆O '的半径为r ,则,O E AE BE O P r ''====，所以12PE r ⎛=+ ⎝⎭所以2222(2AP AE PE r =+=+设点O 是四棱锥P - ABCD 的外接球的球心，F 为正方形ABCD 的中心，如图，则PF ⊥平面ABCD ，所以在Rt AFP 中有2222(24AF AP PF r =-=+-又因为AF 的长度为圆O '的半径r ,所以22(24r r +-=所以221)AF r === 设四棱锥P - ABCD 的外接球的半径为R ,在Rt AFO 中，222OF OA AF =-，所以221)OF R =-，因为OF PF OP =-，所以22(2)OF R =-所以221)(2)R R -=-解得R =所以四棱锥P - ABCD 的外接球的表面积为248S R ππ==，故选：A【名师点睛】本题主要考查了四棱锥的外接球，球的性质，三角形、正方形外接圆的性质,考查了空间想象力，属于难题.。
球体的外接与内切小题综合(教师卷)- 十年(2015-2024)高考真题数学分项汇编(全国通用)
专题12球体的外接与内切小题综合考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1直接求球的表面积与体积及相关应用（10年3考）2021·全国新Ⅰ卷、2020·山东卷、2017·上海卷理解、掌握球体的表面积公式和体积公式，熟练掌握不同模型的球体的外接球和内切球的相关计算，会利用（二级）结论快速解题本节内容是新高考卷的常考内容，一般有特殊几何体、墙角问题、对棱相等、侧棱垂直于底面、侧面垂直于底面的外接内切问题，需强化复习.考点2正方体与长方体中的球体切接问题（10年4考）2023·全国甲卷、2020·天津卷、2017·天津卷2016·全国卷、2016·全国卷考点3圆锥与圆柱中的球体切接问题（10年3考）2021·天津卷、2020·全国卷、2017·江苏卷考点4棱锥与棱台中的球体切接问题（10年5考）2023·全国乙卷、2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国甲卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2019·全国卷考点5球体切接问题中的最值及范围问题（10年5考）2023·全国甲卷、2022·全国乙卷、2022·全国新Ⅰ卷、2018·全国卷、2016·全国卷、2015·全国卷考点01直接求球的表面积与体积及相关应用1．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r πα=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比约为（）A ．26%B ．34%C ．42%D ．50%【答案】C【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得，S 占地球表面积的百分比约为：226400164003600002(1.cos )1cos 44242%22r r πααπ---+==≈=.故选：C.2．（2020·山东·高考真题）已知球的直径为2，则该球的体积是.【答案】43π【分析】根据公式即可求解.【详解】解：球的体积为：344133V ππ=⨯⨯=,故答案为：43π3．（2017·上海·高考真题）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于【答案】9π【详解】由球的体积公式，可得34363r ππ=，则3r =，所以主视图的面积为239S ππ=⨯=.考点02正方体与长方体中的球体切接问题1．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，11C D 的中点，以EF 为直径的球的球面与该正方体的棱共有个公共点．【答案】12【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解.【详解】不妨设正方体棱长为2，EF 中点为O ，取CD ，1CC 中点,G M ，侧面11BB C C 的中心为N ，连接,,,,FG EG OM ON MN ，如图，由题意可知，O 为球心，在正方体中，22222222EF FG EG =++=，即2R =则球心O 到1CC 的距离为2222112OM ON MN =++，所以球O 与棱1CC 相切，球面与棱1CC 只有1个交点，同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，所以以EF 为直径的球面与正方体棱的交点总数为12.故答案为：122．（2020·天津·高考真题）若棱长为23）A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π【答案】C【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即()()()22223232332R ++==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.3．（2017·天津·高考真题）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为.【答案】92π【详解】设正方体边长为a ，则226183a a =⇒=，外接球直径为34427923,πππ3382R V R ====⨯=.【考点】球【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.4．（2016·全国·高考真题）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为A ．12πB ．323πC ．8πD ．4π【答案】A【详解】试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为2412ππ⋅=，故选A.【考点】正方体的性质，球的表面积【名师点睛】与棱长为a 的正方体相关的球有三个：外接球、内切球和与各条棱都相切的球，其半径分别、2a 5．（2016·全国·高考真题）长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为.【答案】14π【详解】长方体的体对角线长为球的直径，则2R ==，2R =，则球的表面积为24(142ππ=.考点03圆锥与圆柱中的球体切接问题1．（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A ．3πB ．4πC ．9πD ．12π【答案】B【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D ，设圆锥AD 和圆锥BD 的高之比为3:1，即3AD BD =，设球的半径为R ，则343233R ππ=，可得2R =，所以，44AB AD BD BD =+==，所以，1BD =，3AD =，CD AB ⊥ ，则90CAD ACD BCD ACD ∠+∠=∠+∠= ，所以，CAD BCD ∠=∠，又因为ADC BDC ∠=∠，所以，ACD CBD △∽△，所以，AD CDCD BD=，CD ∴=因此，这两个圆锥的体积之和为()21134433CD AD BD πππ⨯⋅+=⨯⨯=.故选：B.2．（2020·全国·高考真题）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．【答案】3【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于AM =122S =⨯⨯=△ABC 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()13322r =⨯++⨯=解得：r =，其体积：343V r π==.故答案为：3.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.3．（2017·江苏·高考真题）如图，在圆柱O1O2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1,球O 的体积为V2，则12V V的值是【答案】32【详解】设球半径为r ，则213223423V r r V r π⨯==π．故答案为32．点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．考点04棱锥与棱台中的球体切接问题1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点,,,S A B C 均在半径为2的球面上，ABC 是边长为3的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，则SA =．【答案】2【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.【详解】如图，将三棱锥S ABC -转化为正三棱柱SMN ABC -，设ABC 的外接圆圆心为1O ，半径为r ，则2sin AB r ACB ==∠，可得r =，设三棱锥S ABC -的外接球球心为O ，连接1,OA OO ，则112,2OA OO SA ==，因为22211OA OO O A =+，即21434SA =+，解得2SA =.故答案为：2.【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；（2）若球面上四点P 、A 、B 、C 构成的三条线段PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解；（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．2．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为同一球面上，则该球的表面积为（）A ．100πB ．128πC ．144πD ．192π【答案】A【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r，所以1222r r ==123,4r r ==，设球心到上下底面的距离分别为12,d d ，球的半径为R ，所以1d =2d =故121d d -=或121d d +=，1=1，解得225R =符合题意，所以球的表面积为24π100πS R ==．故选：A ．3．（2021·全国甲卷·高考真题）已知A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（）A ．12B ．12C ．4D ．4【答案】A【分析】由题可得ABC 为等腰直角三角形，得出ABC 外接圆的半径，则可求得O 到平面ABC 的距离，进而求得体积.【详解】,1AC BC AC BC ⊥== ，ABC ∴ 为等腰直角三角形，AB ∴=则ABC ，又球的半径为1，设O 到平面ABC 的距离为d ，则2d ==，所以11111332212O ABC ABC V S d -=⋅=⨯⨯⨯⨯=.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.4．（2020·全国·高考真题）已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（）A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【答案】A【分析】由已知可得等边ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r ππ=∴=， ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin 60AB r =︒=，1OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，11,4OO O A R OA ∴⊥====，∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.5．（2020·全国·高考真题）已知△ABC 且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（）AB ．32C ．1D 【答案】C【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离d =【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =.设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC21224a ∴⨯=，解得：3a =，2233r ∴===∴球心O 到平面ABC 的距离1d ===.故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.6．（2019·全国·高考真题）已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ．D【答案】D【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得PA PB PC ===-P ABC 为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆ 为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点，//EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥ 平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===P ABC ∴-为正方体一部分，2R =34433R V R =∴=π==π，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆ 为边长为2的等边三角形，CF ∴90CEF ∠=︒1,2CE AE PA x ∴===AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x +--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC = ，D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x+-+∴=，2212122x x x ∴+=∴==，PA PB PC ∴======2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴=R ∴=，34433V R ∴=π==，故选D.【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．考点05球体切接问题中的最值及范围问题1．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体1111ABCD A B C D -中，4,AB O =为1AC 的中点，若该正方体的棱与球O 的球面有公共点，则球O 的半径的取值范围是．【答案】【分析】当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为4的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最小.【详解】设球的半径为R .当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，正方体的外接球直径2R '为体对角线长1AC =2R R ''==，故max R =分别取侧棱1111,,,AA BB CC DD 的中点,,,M H G N ，显然四边形MNGH 是边长为4的正方形，且O 为正方形MNGH 的对角线交点，连接MG，则MG =MNGH 的外接圆，球的半径达到最小，即R 的最小值为综上，R ∈.故答案为：3．（2022·全国乙卷·高考真题）已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A ．13B ．12CD．2【答案】C【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r ，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式设该四棱锥底面为四边形ABCD ，四边形ABCD 所在小圆半径为r ，设四边形ABCD 对角线夹角为α，则2111sin 222222ABCD S AC BD AC BD r r r α=⋅⋅⋅≤⋅⋅≤⋅⋅=（当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r 又设四棱锥的高为h ，则22r h 1+=，2123O ABCD V r h -=⋅⋅=≤=当且仅当222r h =即h .故选：C [方法二]：统一变量＋基本不等式由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a ，底面所在圆的半径为r，则2r =，所以该四棱锥的高h =，13V a =(当且仅当22142a a =-，即243a =时，等号成立)所以该四棱锥的体积最大时，其高h .故选：C ．[方法三]：利用导数求最值由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a ，底面所在圆的半径为r ，则2r =，所以该四棱锥的高h =，13V a =2(02)a t t =<<，V =()322t t f t =-，则()2322t f t t -'=，403t <<，()0f t '>，单调递增，423t <<，()0f t '<，单调递减，所以当43t =时，V 最大，此时h =故选：C.【点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法．3．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3l ≤≤）A ．8118,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2781,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2764,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[18,27]【答案】C 【分析】设正四棱锥的高为h ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵球的体积为36π，所以球的半径3R =,[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，则2222l a h =+，22232(3)a h =+-,所以26h l =，2222a l h =-所以正四棱锥的体积42622411214()=333366936l l l V Sh a h l l ⎛⎫==⨯⨯=⨯-⨯- ⎪⎝⎭，所以5233112449696l l V l l ⎛⎫⎛⎫-'=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3l ≤≤0V '>，当l <≤0V '<，所以当l =时，正四棱锥的体积V 取最大值，最大值为643，又3l =时，274V =，l =814V =,所以正四棱锥的体积V 的最小值为274，所以该正四棱锥体积的取值范围是276443⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故选：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以()()()3221224211646122(333333h h h V a h h h h h h h ⎡⎤-++==-=-⨯⨯=⎢⎥⎣⎦当且仅当4h =取到)，当32h =时，得a 22min 11327;3324V a h ==⨯=当l =39322h =+=，a ⇒，正四棱锥体积221119816433243V a h ==⨯=<，故该正四棱锥体积的取值范围是2764[,].434．（2018·全国·高考真题）设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】分析：作图，D 为MO 与球的交点，点M 为三角形ABC 的中心，判断出当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大，然后进行计算可得．详解：如图所示，点M 为三角形ABC 的中心，E 为AC 中点，当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大此时，OD OB R 4===2334ABC S AB == AB 6∴=,点M 为三角形ABC 的中心2BM 33BE ∴==Rt OMB ∴ 中，有22OM 2OB BM =-=DM OD OM 426∴=+=+=()max 1361833D ABC V -∴=⨯=故选B.点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大很关键，由M 为三角形ABC 的重心，计算得到2BM 233BE ==OM ，进而得到结果，属于较难题型．5．（2016·全国·高考真题）在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则该球体积V 的最大值是A ．4πB ．92πC ．6πD ．323π【答案】B【详解】试题分析：设的内切圆半径为，则，故球的最大半径为，故选B.考点：球及其性质.6．（2015·全国·高考真题）已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（）A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π【答案】C【详解】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．考点：外接球表面积和锥体的体积．。
高考中的球体问题
高考中的球体问题例1球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．分析：求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，ABC ∆是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式222d R r -=求出球半径R ．解：∵18=AB ，24=BC ，30=AC ，∴∴例222MC +∴2MA 例3 则由ππ43,3433V r V r ==，343πVr =，由,3V a =得3V a =． 322324)43(44V V r S ππππ===球．32322322166)(66V V V a S ====正方体． ∴<2164π <324V π32216V ，即正方体球S S <．例4 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？分析：先作出轴截面，弄清楚圆锥和球相切时的位置特征，利用铁球取出后，锥内下降部分(圆台)的体积等于球的体积，列式求解．解：如图作轴截面，设球未取出时水面高h PC =，球取出后，水面高x PH = ∵r AC 3=，r PC 3=，则以AB 为底面直径的圆锥容积为PC AC V ⋅⋅=231π圆锥3233)3(31r r r ππ=⋅=，球取出后水面下降到EF ，水体积为32291)30tan (3131x PH PH PH EH V πππ=︒=⋅⋅=水．又球圆锥水V V V -=，则33334391r r x πππ-=，解得r x 315=．例5．设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比设R ∴为r 3．例6 而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为3622+． 例7．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；分析：此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图2的截面图，在图2中，观察R 与r 和棱长间的关系即可．解：如图2，球心1O 和2O 在AC 上，过1O ，2O 分别作BC AD ,的垂线交于F E ,．则由3,1==AC AB 得R CO r AO 3,321==．3)(3=+++∴R r R r ，233133-=+=+∴r R ． 练习：1、一个四棱柱的底面是正方形,侧棱与底面垂直,其长度为4,棱柱的体积为16,棱柱的各顶点在一个球面上,则这个球的表面积是( ) A .16π B .20π C .24π D宽、高分别为2,2,4.的半径R 2四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为) 则正方体内接于球,正方体棱长为3,.设2=6a 2.V 4.四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( )A.3πB.4πD.6π 答案:A解析:以PA ,PB ,PC 为棱作长方体,则该长方体的外接球就是三棱锥P -ABC 的外接球,所以球的半径R =2,所以球的表面积是S =4πR 2=16π.图5.过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．解：由条件可抓住BCD A -是正四面体，A 、B 、C 、D 为球上四点，则球心在正四面体中心，设a AB =，则截面BCD 与球心的距离R a d -=36，过点B 、C 、D 的截面圆半径a r 33=，所以222)36()33(R a R a --=得R a 362=． 6.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（B ）A 7.,∠解:89.A1a =A 。
(word完整版)高考数学中的内切球和外接球问题
高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24 ,则该球的体积为.2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ,则此球的表面积为.例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为（）.A. 16B. 20C. 24D. 323.求多面体的外接球的有关问题例5一个六棱柱的底面是正六边形， 其侧棱垂直于底面，已知该 六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9,底面周长 为3,则这个球的体积为.解设正六棱柱的底面边长为x ,高为h ,则有 6x 3 9 会 3 2.6 — x h 8 4的半径的常用公式二、构造法（补形法）1、构造正方体例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 V 3 ,则其外 接球的表面积是.例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为V 3 ,则其外 接球的表面积是.故其外接球的表面积S 4 r 2 9 .小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分 别为a,b,c ,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体， 于是长方体的体 对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ,则 有2R va 2 b 2 c 2.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
高考球体知识点总结
高考球体知识点总结高中阶段，物理学科中的球体知识点在高考中占据了重要的地位。
掌握了这些知识点，不仅可以在物理考试中取得良好的成绩，还能够帮助我们更好地理解物理世界中的现象和规律。
本文将对高考中常见的球体知识点进行总结，并提供相应的解析与示例，帮助考生更好地掌握这一部分内容。
一、球体的定义与性质球体是由一条定长的直线以其中一点为端点而绘制的轨迹形成的几何图形。
球体具有以下基本性质：1. 球体的表面积公式：球体的表面积公式为4πr²，其中r为球体的半径。
2. 球体的体积公式：球体的体积公式为(4/3)πr³，其中r为球体的半径。
二、球体的运动学球体在运动学中常涉及到以下几个重要的知识点：1. 球体的匀速直线运动：当球体在直线上做匀速运动时，可以通过位移、速度和时间之间的关系进行求解。
根据物体匀速直线运动的定义，球体在单位时间内位移的大小是恒定的。
2. 球体的自由落体运动：当球体在自由落体过程中，只受到重力作用，可以利用运动方程进行求解。
根据重力加速度g的定义，球体在自由落体过程中，其速度将以每秒增加9.8米的速度下降。
三、球体的静力学球体在静力学中经常涉及的知识点包括以下几个：1. 球体的支持力：当球体放在水平面上静止时，球体受到的支持力垂直于水平面并与地面接触。
根据牛顿第三定律，此时球体受到地面对球体的支持力，与球体所受的重力大小相等、方向相反。
2. 球体光滑斜面的运动：当球体沿着光滑斜面滚动时，可以利用重力分解成平行和垂直于斜面的分力进行分析。
根据物体在斜面上的运动规律，球体的加速度与斜面的倾角有关。
四、球体的能量转化球体在能量转化中常涉及以下几个重要概念：1. 动能与势能的转化：当球体从高处滚动到低处时，其势能逐渐转化为动能。
根据动能和势能的定义，球体的动能与其质量和速度的平方成正比，而势能与球体的高度和重力加速度的乘积成正比。
2. 球体的滚动摩擦：当球体滚动时，摩擦力会对其产生作用。
(完整版)与球有关的高考试题
2016年高考数学微专题：与球体有关的问题一、高考趋势分析：立体几何章节在传统的高考中分值占22分左右，以两小一大的形式出现较多。
与球相关的问题也时有考题出现，现针对近年高考考题形式总结如下 ，也是每年高考热点，每年高考中主要考查选择、填空题目、解答题。
二、基础知识点拨：1．长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径．2．正方体的内切球其棱长为球的直径．3．正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线． 4．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 方法主要是“补体”和“找球心”考试核心：性质的应用22212r R OO d -==，构造直角三角形建立三者之间的关系。
三、高考试题精练1.（2015高考新课标2，理9）已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C【考点定位】外接球表面积和椎体的体积．2．(2015·辽宁高考)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172 B ．210C.132D ．310解析：选C 如图，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋62＝132.3．(2016·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.解析：设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2π6a 2＝63π.答案：63π4．四棱锥P -ABCD 的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E ，F 分别是棱AB ，CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为( )A ．9πB ．3πC ．22πD ．12π解析：选D 该几何体的直观图如图所示，该几何体可看作由正方体截得，则正方体外接球的直径即为PC .由直线EF 被球面所截得的线段长为22，可知正方形ABCD 对角线AC 的长为22，可得a ＝2，在△PAC 中PC ＝ 22＋?22?2＝23，球的半径R ＝ 3，∴S 表＝4πR 2＝4π×(3)2＝12π.四、典型例题精析类型一：有公共底边的等腰三角形，借助余弦定理求球心角。
立体几何高考专题--外接球的几种常见求法
高三微专题：外接球一、由球的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．简单多面体外接球问题是立体几何中的重点，难点，此类问题实质是①确定球心的位置 ②在Rt △用勾股定理求解外接球半径（其中底面外接圆半径r 可根据正弦定理求得）．二、球体公式1.球表面积S=4π2R 2.球体积公式V=334Rπ三、球体几个结论：（1）长方体，正方体外接球直径=体对角线长 （2）侧棱相等，顶点在底面投影为底面外接圆圆心 （3）直径所对的球周角为90°（大圆的圆周角） （4）正三棱锥对棱互相垂直四、外接球几个常见模型 1.长方体（正方体）模型O例1（2017年新课标Ⅱ)长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）答案：14练习1（2016新课标Ⅱ）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） 答案：12π2.正棱锥（圆锥）模型(侧棱相等，底面为正多边形）球心位置：位于顶点与底面外心连线线段(或延长线）上半径公式：222)(r R h R +-=（R 为外接球半径，r 为底面外接圆半径，h 为棱锥的高，r 可根据正弦定理r Aa2sin = （一边一对角)例2.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为，体积为，则这个球的表面积是____. 【解析】正四棱锥的高为，体积为，易知底面面积为，底面边长为．正四棱锥的外接球的球心在它的高上，记为，，，，在中，，由勾股定理得．所以，球的表面积.练习2．正三棱锥ABC S -中，底面ABC 是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于 .解析：ABC ∆外接圆的半径为 ，三棱锥ABC S -的直径为3460sin 22==R ，外接球半径32=R ，或1)3(22+-=R R ，32=R ，外接球体积2733233834343πππ=⋅==R V 3. 侧棱与底面垂直锥体（直棱柱，圆柱）(1) 侧棱与底面垂直：球心位置：底面外心正上方，侧棱中垂面交汇处（高的一半处）半径公式：222)2(h r R +=,（R 为外接球半径，r 为底面外接圆半径，h 为棱锥的高，r 可根据正弦定理r Aa2sin = （一边一对角)(2) 直棱柱(圆柱)球心位置：上下底面外心连线中点处公式公式：222)2(h r R +=,（R 为外接球半径，r 为底面外接圆半径，h 为棱锥的高，r 可根据正弦定理r Aa2sin = （一边一对角)例3.在四面体中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC则该四面体的外接球的表面积为（ ）π11.A π7.B π310.C π340.D 解析：在ABC ∆中，7120cos 2222=⋅⋅-+=BC AB AB AC BC ，7=BC ，ABC ∆的外接球直径为372237sin 2==∠=BAC BC r ， ∴310,)2(2222=+=R SA r R ，340π=S ，选D 练习3（1）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。
高考总复习 球体典型例题及答案
1. （2010辽宁）已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC =O 的表面积等于（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π2. （2010四川）（11）半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ， BCD 是平面α内边长为R 的正三角形，线段AC 、与球面交于点M ，N ，那么M 、N 两点间的球面距离是（A ）17arccos25R （B ）18arccos 25R （C ）13R π （D ）415R π3. （2010全国卷1）（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为(C)4. （2010全国卷2）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 和圆N 的公共弦，AB=4。
若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=______________.5. （2009全国卷2）设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45角的平面截球O 的表面得到圆C 。
若圆C 的面积等于74π，则球O 的表面积等于___________。
6. （2008全国卷2）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆。
若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距分别是A. 1B.C. D. 27. （2011重庆）高为4的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为A．4 B．2 C ．1 D8. （2011全国大纲）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 A ．7π B ．9π C ．11π D ．13π9. （2011辽宁）已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，3,30AB ASC BSC =∠=∠=，则棱锥S —ABC 的体积为 （A ）33 （B ）32 （C ）3 （D ）110. （2011四川）如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与改圆柱的侧面积之差是_______________。
高考数学复习考点题型专题讲解 题型47 球体与几何体(解析版)
高考数学复习考点题型专题讲解题型:球体与几何体【高考题型一】：多面体的外接球体。
【题型1】：长方体的外接球体。
『解题策略』：球的直径是长方体的体对角线：R =2222c b a ++(c b a ,,为三条棱长)。
特例：正方体外接球体：R =a 23(a 为棱长)。
1.(2010年新课标全国卷)设长方体的长、宽、高分别为2,,,a a a 其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ( )A.23a πB.26a πC.212a πD.242a π【解析】：()a a a a R =++=22222，选B 。
2.(2017年新课标全国卷II)长方体的长、宽、高分别为3、2、1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 。
【解析】：2142123122=++=R ，ππ1442==R S 。
3.(高考题)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )A.332πB.π4C.π2D.34π 【解析】：()12211222=++=R ，选D 。
【题型2】：直角三棱锥的外接球体。
『解题策略』：R =2222c b a ++(c b a ,,为三条直角棱长)，还原后为长方体，即长方体的外接球体。
1.(2012年辽宁卷)已知正三棱锥P-ABC ，点P 、A 、B 、C 都在半径为3的球面上，若PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为 。
【解析】：323==a R ，2=a ，球心到截面ABC 的距离为球的半径减去正三棱锥P-ABC 在面ABC 上的高，可求得正三棱锥P-ABC 在面ABC 上的高为体对角线的31，23所以球心到截面ABC =2.(高考题)若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 。
【解析】：23323=⨯=R ，π9=S 。
【题型3】：阳马的外接球体。
『解题策略』：阳马：四棱锥ABCD P -，ABCD PA ⊥，底面是矩形，其还原为长方体。
高考数学专题19 几何体中与球有关的切、接问题(解析版)
专题19 几何体中与球有关的切、接问题球的截面的性质(1)球的任何截面是圆面；(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 的关系为r ＝R 2－d 2几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ，①假设球为正方体的外接球，那么2R ＝3a ；②假设球为正方体的内切球，那么2R ＝a ；③假设球与正方体的各棱相切，那么2R ＝2a .(2)假设长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，那么2R ＝a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 一、题型选讲题型一 、几何体的外接球解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，那么球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置．对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置．例1、【2021年高考全国Ⅰ卷理数】,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，假设⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，那么球O 的外表积为 A ．64π B ．48πC ．36πD ．32π【答案】A【解析】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意， 得24,2r r π=π=∴，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin60AB r =︒=1OO AB ∴==1OO ⊥平面ABC ，11,4OO O A R OA ∴⊥====，∴球O 的外表积2464S R ππ==.应选：A.此题考查球的外表积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于根底题.例2、【2021年高考天津】假设棱长为 A ．12π B ．24πC ．36πD ．144π【答案】C【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的外表积为2244336S R πππ==⨯=. 应选：C ．此题考查正方体的外接球的外表积的求法，求出外接球的半径是此题的解题关键，属于根底题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：〔1〕三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；〔2〕直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；〔3〕如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心. 例3、〔2021届山东省潍坊市高三上学期统考〕边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的2BDC π∠=，那么过A ，B ，C ，D 四点的球的外表积为〔 〕A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【答案】C【解析】边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的2BDC π∠=，构成以D 为顶点的三棱锥，且三条侧棱互相垂直，可构造以其为长宽高的长方体，其对角线即为球的直径，三条棱长分别为1,12R ==24(52S ππ==，应选C.例4、〔2021届山东省日照市高三上期末联考〕四棱锥P ABCD -的体积是，底面ABCD 是正方形，PAB ∆是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，那么四棱锥P ABCD -外接球体积为〔 〕A ．BCD ．【答案】A【解析】设AB 的中点为Q ，因为PAB ∆是等边三角形，所以PQ AB ⊥，而平面PAB ⊥平面ABCD ， 平面PAB ⋂平面ABCD AB =，所以PQ ⊥平面ABCD ，四棱锥P ABCD -的体积是，13AB AB PQ =⨯⨯⨯13AB AB AB =⨯⨯，所以边长6AB =，PQ =OH x =，OM x =，()(222222R OA OM AM x ==+=+，2222223R OP OH PH x ==+=+，x =2212321R =+=343V R π==球.应选：A.例5、〔2021届山东省德州市高三上期末〕中国古代数学经典?九章算术?系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，AD =ED =，假设鳖臑P ADE -的外接球的体积为，那么阳马P ABCD -的外接球的外表积等于______.【答案】20π 【解析】四边形ABCD 是正方形，AD CD ∴⊥，即AD CE ⊥，且AD =ED ，所以，ADE ∆的外接圆半径为122AE r ===设鳖臑P ADE -的外接球的半径1R ，那么3143R π=，解得1R =.PA ⊥平面ADE ，1R ∴=，可得2PA ==PA ∴正方形ABCD 的外接圆直径为22r AC ==，2r ∴=PA ⊥平面ABCD ，所以，阳马P ABCD -的外接球半径2R ==因此，阳马P ABCD -的外接球的外表积为22420R ππ=. 故答案为：20π.题型二、几何体的内切球求解多面体的内切球的问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径．例6、【2021年高考全国Ⅲ卷理数】圆锥的底面半径为1，母线长为3，那么该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如下图， 其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点， 设内切圆的圆心为O ，由于AM =122S =⨯⨯=△ABC 设内切圆半径为r ，那么：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()13322r =⨯++⨯=解得：22r，其体积：3433V r =π=π.. 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出适宜的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.例7、〔2021届山东省潍坊市高三上期中〕如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如下图粽子形状的六面体，那么该六面体的外表积为__________；假设该六面体内有一小球，那么小球的最大体积为___________．【答案】2 729【解析】〔1〕因为16(1222S =⨯⨯⨯=，所以该六面体的外表积为2. 〔2〕由图形的对称性得，小球的体积要到达最大，即球与六个面都相切时，2倍，所以六面体体积是6. 由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，设球的半径为R ，所以16()63R R =⨯⇒=，所以球的体积3344()393297V R ππ===.故答案为：. 二、达标训练1、〔2021届山东省泰安市高三上期末〕正三棱锥S ABC -的侧棱长为6，那么该正三棱锥外接球的外表积是〔 〕 A ．16π B ．20πC ．32πD ．64π【答案】D【解析】如下图，因为正三棱锥S ABC -的侧棱长为6，那么263AE ==6SE ===, 又由球心O 到四个顶点的距离相等，在直角三角形AOE 中，,6AO R OE SE SO R ==-=-，又由222OA AE OE =+，即222(6)R R =+-，解得4R =， 所以球的外表积为2464S R ππ==， 应选D.2、【2021年高考全国II 卷理数】△ABC 的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.假设球O的外表积为16π，那么O 到平面ABC 的距离为A B ．32C ．1D 【答案】C【解析】设球O 的半径为R ，那么2416R π=π，解得：2R =.设ABC △外接圆半径为r ，边长为a ，ABC △的等边三角形，212a ∴=，解得：3a =，2233r ∴==∴球心O 到平面ABC 的距离1d =.应选：C ．此题考查球的相关问题的求解，涉及到球的外表积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.3、【2021年高考全国Ⅰ卷理数】三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，那么球O 的体积为A ．B ．C ．D【答案】D 【解析】解法一：,PA PB PC ABC ==△为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA ，AB 的中点，EF PB ∴∥，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===P ABC ∴-为正方体的一局部，2R ==即344π33R V R =∴=π==，应选D ．解法二：设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 的中点，EF PB ∴∥，且12EF PB x ==，ABC △为边长为2的等边三角形，CF ∴，又90CEF ∠=︒，12CE AE PA x ∴===， AEC △中，由余弦定理可得()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 的中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x+-+∴=，2212122x x x ∴+=∴==，，PA PB PC ∴=== 又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==，2R ∴=，344338V R ∴=π=π⨯=，应选D.此题主要考查学生的空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．4、【2021年高考全国Ⅰ卷理数】设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为 A． B ．C ．D ．【答案】B【解析】如下图，设点M 为三角形ABC 的重心，E 为AC 中点，当点D 在平面ABC 上的射影为M 时，三棱锥D ABC -的体积最大，此时，4OD OB R ===，2ABCS AB ==△，6AB ∴=,点M 为三角形ABC 的重心，23BM BE ∴==Rt OBM ∴△中，有2OM ==，426DM OD OM ∴=+=+=， ()max 163D ABC V -∴=⨯= B.5、【2021年新高考全国Ⅰ卷】直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．【答案】2. 【解析】如图：取11B C 的中点为E ，1BB 的中点为F ，1CC 的中点为G ，因为BAD ∠=60°，直四棱柱1111ABCD A BC D -的棱长均为2，所以△111D B C 为等边三角形，所以1D E=111D E B C ⊥，又四棱柱1111ABCD A BC D -为直四棱柱，所以1BB ⊥平面1111D C B A ，所以111BB B C ⊥， 因为1111BB B C B =，所以1D E ⊥侧面11BC CB ，设P 为侧面11BC CB 与球面的交线上的点，那么1DE EP ⊥，1D E ，所以||EP ===所以侧面11BC CB 与球面的交线上的点到E因为||||EF EG ==11BC CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧FG ， 因为114B EFC EG π∠=∠=，所以2FEG π∠=，所以根据弧长公式可得2FG π==.故答案为：2. 6、〔2021届山东省滨州市三校高三上学期联考〕三棱锥S ABC -，SA ⊥平面ABC ，6ABC π∠=，3SA =，1BC =，直线SB 和平面ABC 所成的角大小为3π.假设三棱锥S ABC -的四个顶点都在同一球面上，那么该球的外表积为________.【答案】13π【解析】如图：SA ⊥平面ABC ，那么SBA ∠为直线SB 和平面ABC 所成的角，即3SBA π∠=在Rt SAB ∆中：tan 3SAAB π=== 如图，设O 为三棱锥S ABC -外接球的球心，G 为ABC ∆外接圆圆心，连结,,,,OA OB GA GB OG ，那么必有OG ⊥面ABC在ABC ∆，2222cos31216AC AB BC AB BC π=+-⋅⋅=+-=， 那么1AC = 其外接圆半径122,1sin sin 6AC r r ABC π====∠， 又1322OG SA ==， 所以三棱锥S ABC -外接球半径为R ===该球的外表积为21344134S R πππ==⨯=, 故答案为：13π.7、〔2021届山东省枣庄、滕州市高三上期末〕如图，在三棱锥P -ABC 中，,PA AB ⊥PC BC ⊥，,AB BC ⊥22,AB BC ==PC ，那么PA 与平面ABC 所成角的大小为________；三棱锥P -ABC外接球的外表积是________.【答案】45︒ 6π【解析】如图，作平行四边形ABCD ，连接PD ，由AB BC ⊥，那么平行四边形ABCD 是矩形．由BC CD ⊥，BC PC ⊥，PC CD C =，∴BC ⊥平面PCD ，而PD ⊂平面PCD ，∴BC PD ⊥，同理可得AB PD ⊥，又AB BC B ⋂=，∴PD ⊥平面ABCD ．,PD CD PD AD ⊥⊥，PAD ∠是PA 与平面ABC 所成角．由2,CD AB PC ===1PD =，又1AD BC ==，∴45PAD ∠=︒．∴PA 与平面ABC 所成角是45︒．由,PA AB ⊥PC BC ⊥知PB 的中点到,,,A B C P 的距离相等，PB 是三棱锥P -ABC 外接球的直径．由BC ⊥平面PCD 得BC PC ⊥，PB ===24()62PB S ππ==． 故答案为：45︒；6π．8、〔2021届山东省烟台市高三上期末〕三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的外表上，PA ⊥平面ABC ，6PA =，AB =2AC =，4BC =，那么：〔1〕球O 的外表积为__________；〔2〕假设D 是BC 的中点，过点D 作球O 的截面，那么截面面积的最小值是__________．【答案】52π 4π【解析】〔1〕由题,根据勾股定理可得AC AB ⊥,那么可将三棱锥P ABC -可放入以,,AP AC AB 为长方体的长,宽,高的长方体中,那么体对角线为外接球直径,即2r ==,那么r =,所以球的外表积为224452r πππ=⨯=；〔2〕由题,因为Rt ABC ,所以D 为底面ABC 的外接圆圆心,当DO ⊥截面时,截面面积最小,即截面为平面ABC ,那么外接圆半径为2,故截面面积为224ππ⨯=故答案为：〔1〕52π；〔2〕4π9、〔2021届山东省滨州市高三上期末〕在四面体S ABC -中，2SA SB ==，且SA SB ⊥，BC =，AC =________，该四面体外接球的外表积为________.8π【解析】因为2SA SB ==，且SA SB ⊥，BC ，AC =AB ==因此222BC AC AB +=，那么AC BC ⊥；取AB 中点为O ，连接OS ，OC ，那么OA OB OC OS ====所以该四面体的外接球的球心为O ，半径为OC =所以该四面体外接球的外表积为248S ππ=⋅=；又因为SA SB =，所以SO AB ⊥；因为底面三角形ABC 的面积为定值122AC BC ⋅=，SO因此，当SO ⊥平面ABC 时，四面体的体积最大，为13ABC V S SO =⋅=故答案为：(1). (2). 8π10、〔2021届山东省济宁市高三上期末〕下列图是两个腰长均为10cm 的等腰直角三角形拼成的一个四边形ABCD ，现将四边形ABCD 沿BD 折成直二面角A BD C --，那么三棱锥A BCD -的外接球的体积为__________3cm ．【答案】【解析】由题设可将该三棱锥拓展成如下图的正方体，那么该正方体的外接球就是三棱锥的外接球，由于正方体的对角线长为2l R ==即球的半径R =该球的体积343V R π==，应填答案．。
2024高考数学专项立体几何系统班7、外接球与内切球
第7讲外接球与内切球知识与方法1.外接球与内切球是全国高考常考题型，模型杂、方法多，但归纳起来不外乎两大类处理方法.（1）补形：将几何体补全成长方体、正方体、直棱柱等常见几何体，计算外接球半径.（2）构建平面截球模型：寻找截面圆心以及球心到截面的距离，通过222R r d =+计算外接球半径.2.设球的半径为R ，有5个常用计算公式.（1）正方体外接球半径：R =，其中a 为正方体棱长，如图1.（2）长方体外接球半径：R =a ，b ，c 分别为长方体的长、宽、高，如图2.（3）正四面体外接球半径，4R a =，其中a 为正四面体棱长，如图3.（4）直三棱柱外接球半径：R =，其中r 为底面外接圆半径，h 为直三棱柱的高，如图4.（5）圆柱外接球半径：R =，其中r 为底面圆半径，h 为圆柱的母线长，如图5.提醒：①上面列出了一些简单模型的外接球半径计算公式，需结合图形将其记住，还有一些其他模型可以通过补形的方法转化为上述模型处理；②一些不能通过简单补形求解的模型，如球内接正棱锥，球内接圆锥等，可以通过分析几何关系，转化为平面截球模型计算外接球的半径.题组一1.（★★）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_______.【解析】设正方体的棱长为a ，则2618a =，故a =3322R a ==，其体积34932V R ππ==.【答案】92π2024高考数学专项立体几何系统班7、外接球与内切球【提炼】正方体棱长a 与其外接球半径R 之间的关系为32R =.2.（★★★）如图，在等腰梯形ABCD 中，22AB DC ==，60DAB ∠=︒，E 为AB 中点，将ADE 与BEC 分别沿ED ，EC 向上折起，使点A ，B 重合于点P ，则三棱锥P DCE -的外接球的体积为（）【解析】由题意，可将平面图形等腰梯形ABCD 补全为正三角形FAB ，如图，那么在完成题干所描述的翻折后，还可将CDF △沿着CD 翻折，使得点F 也与点P 重合，显然此时得到的是一个棱长为1的正四面体，即三棱锥P DCE -是棱长为1的正四面体，其外接球半径R =343V R π==.【答案】C【提炼】正四面体的棱长为a ，则其外接球半径为64a ，内切球半径为612a ，证明方法可参考附赠的小册子《高考数学常用二级结论》.3.（★★）长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为______.【解析】长方体的外接球半径R =，其中a ，b ，c 分别为长、宽、高，故R =O 的表面积2414S R ππ==.【答案】14π【提炼】设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则其外接球半径2R =4.（★★）已知底面边长为1的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）A.323π B.4π C.2π D.43π【解析】首先得知道什么是正四棱柱，它指的是底面为正方形、侧棱与底面垂直的四棱柱，也是一种特殊的长方体，高考这种名词都是直接给，必须清楚其结构特征.外接球半径1R ==，故该球的体积34433V R ππ==.【答案】D5.（★★）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A.16πB.20πC.24πD.32π【解析】设正四棱柱底面边长为a ，则2416a =，即2a =，其外接球的半径2242R ==，故所求球的表面积2424S R ππ==.【答案】C 6.（★★★）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为______cm 2.【解析】设正四棱柱的高为h cm ，则1112=，故h =，即该棱柱的表面积(2S =+cm 2.【答案】2+题组二7.（★★★）已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（）B. C.132D.【解析】这道题可能不少同学会有这么一个困惑，就是题干没给出三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，是不是题干有问题呢？当然不是，事实上，斜棱柱是没有外接球的，所以题干的说法本身就隐含了三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱这一条件.本题的直三棱柱可通过补形为长方体来计算外接球半径，如图，三棱柱111ABC A B C -与长方体有相同的外接球，该球的半径为34121322R ==.【答案】C 8.（★★★）3______.【解析】本模型一般称为墙角三棱锥，可补形为正方体（或长方体）来处理．如图，将三棱锥B ACD -补全为正方体，并放到了球体之中，可以看到二者有相同的外接球，正方体棱332R =，故外接球表面积249S R ππ==.【答案】9π【提炼】三条侧棱两两垂直的三棱锥（墙角三棱锥）可补形为长方体或正方体来计算外接球半径.题组三9.（★★★）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A.2a π B.273a π C.2113a π D.25a π【解析】如图，设G 为ABC △的中心，ABC △外接圆半径233323r AG ==⨯=，1122a OG AA ==，球的半径22712R r OG a =+，故球的表面积22743S R a ππ==.【答案】B【提炼】①设直三棱柱底面外接圆半径为r ，高为h ，则其外接球半径222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②关键是计算底面三角形外接圆半径，对于直角三角形，外接圆半径等于斜边长的一半，若是倍，等于高的23倍；若是普通的三角形，则可利用正弦定理计算外接圆半径.10.（★★★）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA -==，120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于______.【解析】如图，在ABC △中，由余弦定理得222122222122BC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得BC =.由正弦定理得42sin BC r BAC ==∠，解得2r =，故1112OG AA ==，所以球的半径R ==，故球的表面积2420S R ππ==.【答案】20π题组四11.（★★★）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（）A. B. C. D.【解析】如图，先计算ABC △外接圆的半径r ，设ABC △边长为a .则2122a ⋅⋅=，解得6a =，所以62sin 60r =︒，解得r =，所以2OG ==，当D 点位于GO 延长线上时，三棱锥D ABC -的高最大，底面积不变，此时体积最大，最大值为()1243V =⨯+=【答案】B【提炼】本题三棱锥D ABC -的体积最大时，D ABC -是正三棱锥，正三棱锥外接球的计算问题，解题的关键是构建AOG △，在这个三角形中，满足222OA AG OG =+，即222R r d =+，其实这就是前一小节的平面截球模型，只要是正棱锥，都可以采用这个办法处理.12.（★★★）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A.814πB.16πC.9πD.274π【解析】如图，由题意，得14PO =，1AO =设外接球的半径为R ，则OA OP R ==，故14OO R =-.在1OO A △中，22211AO OO AO +=，即()2224R R +-=，解得94R =，故该球的表面积28144S R ππ==.【答案】A【提炼】正四棱锥外接球的有关计算，关键是构建1AOO ，在这个三角形中，利用22211OA AO OO =+建立等量关系，其实就是平面截球模型的处理方法.13.（★★★）正四棱锥S ABCD -点S ，A ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的体积为_____.【解析】解法1：如图1，设正方形ABCD 的中心为1O ，由题意，11AO =，11SO =.设正四棱锥外接球球心为O ，半径为R ，则OA R =，11OO R =-，在1AOO 中，22211OO AO AO +=，故()2211R R -+=，解得1R =，即外接球体积为34433V R ππ==.解法2：设正方形ABCD 的中心为1O ，由题意，11AO =，11SO ==，因为11SO AO =，所以1O 即为球心，球的半径为1，体积34433V R ππ==，本题实际的图形是图2.【答案】43π14.（2021·全国甲卷·理·11·★★★）已知A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且AC BC ⊥，1AC BC ==，则三棱锥O ABC -的体积为（）A.212B.312C.24D.34【解析】如图，由题意，2AB =，设D 为ABC △的外心，则1222AD AB ==，2222OD OA AD =-=，所以1112211332212O ABC ABC V S OD -=⋅=⨯⨯⨯⨯ .【答案】A题组五15.（★★）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A.πB.34πC.2π D.4π【解析】如图，由题意得1OA =，112OO =，故132O A =，圆柱体积233124V ππ⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭.【答案】B【提炼】圆柱外接球半径222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中r 为底面圆半径，h 为圆柱的高.16.（★★★★）如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是______.【解析】设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则2224h r R rh +=≥，当且仅当2h r =时等号成立，故圆柱的侧面积2S rh π=的最大值为22R π，此时球的表面积与圆柱的侧面积之差为222422R R R πππ-=.【答案】22R π题组六17.（★★）正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）A. B.1:3C.1:D.1:9【解析】设正方体的棱长为a ，则其内切球、外接球的半径分别为12aR =，2R =，故正方体的内切球与其外接球的体积之比3113224343R V V R ππ==.【答案】C【提炼】设正方体的棱长为a ，则其内切球的半径2a R =.18.（★★）如图，圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是______.【解析】如图，设球的半径为R ，则213223423V R R V R ππ⋅==.【答案】3219.（2020·新课标Ⅲ卷·理·15·★★★）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_______.【解析】如图，该圆锥内半径最大的球即圆锥的内切球，设其半径为R ，则OB OG R ==，1AB AG ==.由题意得PG =OP R =-，2PB PA AB =-=.在POB 中，222OB PB OP =+，故()224R R +=，解得22R =，即球的体积3433V R π==.【答案】2320.（★★★★）在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球.若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（）A.4π B.92π C.6π D.323π【解析】要解决这道题，得先搞清楚一件事，那就是最大的球到底是和棱柱的侧面相切，还是与底面相切？如图，可求得底面直角三角形的斜边10AC =，将底面Rt ABC △单独拿出来分析其内切圆半径r ，图中BP NQ r ==，故8PC r =-，即8CM PC r ==-，PN BQ r ==，故6AQ r =-，即6AM AQ r ==-，所以8614210AC CM AM r r r =+=-+-=-=，解得2r =，由123r AA >=知最大球的半径为32，体积3439322V ππ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭.【答案】B题组七21.（★★★）已知A，B是球O的球面上两点，90AOB∠=︒，C为该球面上的动点.若三棱锥O ABC-体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A.36πB.64πC.144πD.256π【解析】设球O的半径为R，当点C位于如图所示位置（OC⊥平面AOB）时，三棱锥O ABC-的体积最大，最大值为321136326RR R⨯⨯==，即6R=，故球O的表面积24144S Rππ==.【答案】C22.（★★★）已知三棱锥S ABC-的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA AC=，SB BC=，三棱锥S ABC-的体积为9，则球O的表面积为________.【解析】如图，由题意知，SAC△，SBC△都是以SC为斜边的等腰直角三角形，设球O的半径为R，故31129323S ABCRV R R R-=⋅⋅⋅⋅==，即3R=，故球O的表面积2436S Rππ==.【答案】36π第8讲经典模型之对棱相等知识与方法四面体ABCD 中，AB CD m ==，AC BD n ==，AD BC t ==，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类四面体的外接球问题.如图，设长方体的长宽高分别为a 、b 、c ，则222222222a b t b c n a c m ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，三式相加可得2222222m n t a b c ++++=，而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R ，则22224a b c R ++=，所以R =.典型例题【例题】四面体ABCD中，AB CD ==AC BD ==，5AD BC ==，则该四面体外接球的体积为_______.【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型3464233R V R π⇒===.【答案】3变式1三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，5AC BD AD BC ====，则该三棱锥外接球表面积为（）C.432π D.43π【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型24432R S R ππ⇒====.【答案】D 变式2A 、B 、C 、D四点在半径为2的球面上，且5AC BD ==，AD BC ==，AB CD =，则四面体ABCD 的体积为______.【解析】由题意，四面体ABCD 是对棱相等模型，设AB CD x ==，则R x ==ABCD补全为如图所示的长方体，设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则222222413425a b b c a c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得：453a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以四面体ABCD 的体积1134543452032V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=.【答案】20强化训练1.（★★★）四面体ABCD中，AB CD ==AC BD ==，AD BC ==，则四面体ABCD 外接球的表面积为（）A.25πB.45πC.50πD.100π【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型，2524502R S R ππ====.【答案】C2.（★★★）半径为1的球面上有不共面的A 、B 、C 、D 四点，且AB CD x ==，BC AD y ==，AC BD z ==，则222x y z ++=（）A.16B.8C.4D.2【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型，22218R x y z =⇒++=【答案】B3.（★★★）四面体ABCD 中，5AB CD ==，AC BD ==，AD BC ==接球的半径为（）A.2B. C.132 D.13【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型，132R =【答案】C4.（★★★）在四面体ABCD 中，2AB CD ==，AC BD AD BC ====接球的表面积为_______.【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型，2144R S R ππ==⇒==【答案】4π5.（★★★★）在三棱锥P ABC -中，2PA BC ==，PB AC =，PC AB =，且4PB PC ⋅=，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积的最小值为________.【解析】设PB AC x ==，PC AB y ==，则4xy =，所以三棱锥P ABC -的外接球半径62R =≥，当且仅当2x y ==时取等号，所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积的最小值为246ππ⨯=⎝⎭.【答案】6π6.（★★★★）四面体ABCD 的顶点都在球O 的表面上，4AB BC CD DA ====，AC BD ==，E 为AC 中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最大值与最小值之比为（）A.5:42D.5:2【解析】四面体ABCD是对棱相等模型，所以R =，将四面体ABCD 放入长方体如图，截面面积的最大值为215S R ππ==，当截面面积最小时，截面与OE 垂直，其中O 为球心，设FA a =，FB b =，FC c =，则222222216182216a a b a c b OE b r c b c =⎧⎧+=⎪⎪+=⇒=⇒=⇒=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎩，即截面面积的最小值为222S r ππ==，故12:5:2S S =.【答案】D。
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高考中的球体问题例 1 球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．分析：求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，ABC ∆是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式222d R r -=求出球半径R ．解：∵18=AB ，24=BC ，30=AC ，∴222AC BC AB =+，ABC ∆是以AC 为斜边的直角三角形． ∴ABC ∆的外接圆的半径为15，即截面圆的半径15=r ， 又球心到截面的距离为R d 21=，∴22215)21(=-R R ，得310=R ． ∴球的表面积为πππ1200)310(4422===R S ．说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式22d R r -=解题，我们可以通过两个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量．例2．自半径为R 的球面上一点M ，引球的三条两两垂直的弦MC MB MA ,,，求222MC MB MA ++的值．分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．解：以MC MB MA ,,为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥ABC M -补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．∴222MC MB MA ++=224)2(R R =．说明：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算．例3．试比较等体积的球与正方体的表面积的大小．分析：首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长，找出等量关系，再转化为其面积的大小关系．解：设球的半径为r ，正方体的棱长为a ，它们的体积均为V ，则由ππ43,3433V r V r ==，343πV r =，由,3V a =得3V a =． 322324)43(44V V r S ππππ===球． 32322322166)(66V V V a S ====正方体． ∴<2164π <324V π32216V ，即正方体球S S <．例4 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？分析：先作出轴截面，弄清楚圆锥和球相切时的位置特征，利用铁球取出后，锥内下降部分(圆台)的体积等于球的体积，列式求解．解：如图作轴截面，设球未取出时水面高h PC =，球取出后，水面高x PH = ∵r AC 3=，r PC 3=，则以AB 为底面直径的圆锥容积为PC AC V ⋅⋅=231π圆锥3233)3(31r r r ππ=⋅=， 球取出后水面下降到EF ，水体积为32291)30tan (3131x PH PH PH EH V πππ=︒=⋅⋅=水．又球圆锥水V V V -=，则33334391r r x πππ-=， 解得r x 315=．例5．设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比． 分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的．解：如图，正四面体ABCD 的中心为O ，BCD ∆的中心为1O ，则第一个球半径为正四面体的中心到各面的距离，第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离． 设R OA r OO ==,1，正四面体的一个面的面积为S ．依题意得)(31r R S V BCD A +=-， 又S r V V BCD O BCD A ⋅⨯==--3144 r r R 4=+∴即r R 3=．所以914422==R r ππ外接球的表面积内切球的表面积．271343433==R rππ外接球的体积内切球的体积．说明：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径h r 41=(h 为正四面体的高)，且外接球的半径r R 3=．例6．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2．解：四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高362)332(222=⋅-=h ． 而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为3622+．例7．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；分析：此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面 ，得如图2的截面图，在图2中，观察R 与r 和棱长间的关系即可．解：如图2，球心1O 和2O 在AC 上，过1O ，2O 分别作BC AD ,的垂线交于F E ,． 则由3,1==AC AB 得R CO r AO 3,321==．3)(3=+++∴R r R r ， 233133-=+=+∴r R ．图练习：1、一个四棱柱的底面是正方形,侧棱与底面垂直,其长度为4,棱柱的体积为16,棱柱的各顶点在一个球面上,则这个球的表面积是 ( ) A .16π B .20π C .24π D .32π 答案:C解:由题意知,该棱柱是一个长方体,其长、宽、高分别为2,2,4.所以其外接球的半径R .所以球的表面积是S =4πR 2=24π.2,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( )A.3πB.4πD.6π 答案:A以四面体的棱长为正方体的面对角线构造正方体,则正方体内接于球,正方体棱长为1,则体对角线长等于球的直径,即2R 所以S 球=4πR 2=3π.3.在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正方体的体积之比.解：将半球补成整个的球（见题中的图）,同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体,构成的长方体刚好是这个球的内接长方体,那么这个长方体的体对角线便是它的外接球的直径.设原正方体棱长为a ,球的半径为R ,则根据长方体的对角线性质,得(2R )2=a 2+a 2+(2a )2,即4R 2=6a 2.所以R a .从而V 半球=2π3R 3=32π3⎫⎪⎪⎝⎭3,V 正方体=a 3.因此V 半球∶V 正方体3∶a 3π∶2.4.四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( )A.3πB.4πD.6π 答案:A解析:以P A ,PB ,PC 为棱作长方体,则该长方体的外接球就是三棱锥P -ABC 的外接球,所以球的半径R =2,所以球的表面积是S =4πR 2=16π.5.过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．解：由条件可抓住BCD A -是正四面体，A 、B 、C 、D 为球上四点，则球心在正四面体中心，设a AB =，则截面BCD 与球心的距离R a d -=36，过点B 、C 、D 的截面圆半径a r 33=，所以222)36()33(R a R a --=得R a 362=． 6.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ B ） A ．433 B ．33 C ． 43 D ．1237. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA === ,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。
解:在ABC ∆中2AB AC ==,120BAC ∠=︒,可得BC =由正弦定理,可得ABC ∆外接圆半径r=2,设此圆圆心为O '，球心为O ，在RT OBO '∆中，易得球半径R =故此球的表面积为2420R ππ=.8．正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为π，则正三棱 柱的体积为 ． 答案 89.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A B ．13π C ．23π D答案 A【解析】此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由8= 1a =，故选A 。
10.已知正方体外接球的体积是π332，那么正方体的棱长等于（ D ）A.22B.332 C.324 D.334 11.正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( C )A . 1∶3B . 1∶3C . 1∶33D . 1∶9 12.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为 ．(34π) 13.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．14π14.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。
如果正四棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2.2+15.如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -， 则此正六棱锥的侧面积是________．16.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中 三角形(正四面体的截面)的面积是 .16.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（ C ） A ．π3 B ．π2 C ．316πD ．以上都不对17.设正方体的棱长为233，则它的外接球的表面积为（ C ）A ．π38 B ．2π C ．4πD ．π3418 ．（2012新课标理）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC ;则此棱锥的体积为 （ ）A ．6B ．6C ．3D ．219．（2012辽宁文）已知点P,A,B,C,D 是球O 表面上的点,PA ⊥平面ABCD,四边形ABCD 是边长为.若,则△OAB 的面积为______________.。