人教版高中数学必修1-1.2课本延伸：复合函数
高中数学 函数概念及其性质知识总结 新人教版必修1
高中数学函数(hánshù)概念及其性质知识总结新人教版必修1高中数学函数(hánshù)概念及其性质知识总结新人教版必修1数学必修(bìxiū)1函数概念及性质〔知识点总结(zǒngjié)〕〔一〕函数的有关(yǒuguān)概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数某，在集合B中都有唯一确定的数f(某)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(某)，某∈A．其中，某叫做自变量，某的取值范围A叫做函数的定义域；与某的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(某)|某∈A}叫做函数的值域．2如果只给出解析式y=f(某)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域即是指能使这个式注意：○子有意义的实数的集合；○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．定义域补充能使函数式有意义的实数某的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)而成的.那么，它的定义域是使各局部都有意义的某零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：〔1〕构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等〔或为同一函数〕〔2〕两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(见课本21页相关例2)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法那么，不管采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的根底.(3).求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等.3.函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(某),点P(某，y)的集合C，叫做函数y=f(某),(某∈A)的图象．C上每一点的坐标(某，y)均满足函数关系y=f(某)，反过来，y为坐标的点(某，y)，均在C上.即记为C={P(某,y)|y=f(某),某图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与交点的假设干条曲线或离散点组成.(2)画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出某,y的一些对应值并列表，以内描出相应的点P(某,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来B、图象变换法〔请参考必修4三角函数〕常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。
高一数学复合函数
高一数学复合函数复合函数是高一数学中的一个重要概念，它在函数学习的过程中起着关键作用。
本文将详细介绍复合函数的定义、性质以及其在实际问题中的应用。
1. 复合函数的定义复合函数是由两个函数相互组合而成的新函数。
设有函数f(x)和g(x)，则复合函数记作f(g(x))，表示先用g(x)对x进行映射，然后再将结果代入f(x)进行映射。
2. 复合函数的性质（1）复合函数的定义域：复合函数的定义域取决于中间函数的定义域，要求中间函数的值域必须在f(x)的定义域内。
（2）复合函数的值域：复合函数的值域取决于最后一个函数的值域，要求最后一个函数的值域在f(x)的值域内。
（3）复合函数的可逆性：当复合函数中的所有函数都是可逆函数时，复合函数才是可逆的。
（4）复合函数的性质：复合函数满足结合律，即f(g(h(x)))=(f∘g)∘h(x)。
3. 复合函数的应用举例（1）物理问题：假设一辆汽车的速度与时间的函数关系为v(t)，而时间与位置的函数关系为s(t)，则汽车的位置随时间的变化可以用复合函数s(v(t))来表示。
（2）经济问题：假设某商品的价格与销量的函数关系为p(x)，而销量与利润的函数关系为l(x)，则利润随销量的变化可以用复合函数l(p(x))来表示。
（3）生物问题：假设某种细胞的密度与时间的函数关系为d(t)，而时间与增长率的函数关系为r(t)，则细胞的密度随时间的变化可以用复合函数d(r(t))来表示。
4. 复合函数的求导对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则来求导。
链式法则规定，复合函数的导数等于外函数对内函数的导数乘以内函数对自变量的导数。
通过链式法则，可以将复合函数的求导简化为对中间函数和最后一个函数的导数的求导。
5. 复合函数的图像复合函数的图像可以通过画出中间函数和最后一个函数的图像，并根据复合函数的定义进行变换得到。
具体来说，先画出中间函数的图像，然后根据复合函数的定义，将中间函数的输出作为最后一个函数的输入，再画出最后一个函数的图像。
高一数学新人教A版必修1课件《复合函数的单调性》
f(x)+f(x－2) ≤3
又f ( x) f ( x 2) f ( x2 2x)
解此类题型关 由题意有f ( x2 2x) f (8)
键在于充分利用题 f ( x)为R＋上的 增函数
目所给的条件，本 题就抓住这点想办 法构造出f(8)=3,这 样就能用单调性解 不等式了。
练习：
求函数y x2 4x 3的单调区间。
注意： 在原函数定义域内讨论函数的单调性
例2：设y=f(x)
解：y=f(2-x)是由y=f(u)和u=2-x 复合而成
的单调增区间
由已知得2<u<6 2<2-x<6
是(2,6)，求函 数y=f(2－x)的
x （－4，0） y=f(u)在（2，6）上是增函数， u 2 x在x (4, 0)上是减函数，
即f(x2) f(x1)<0,f(x1)>f(x2)
由函数单调性定义知，f(x)是R上的减函数
练习：已知函数f(x)对任意x,y R,总有f(x+y)=f(x)+f(y),
且当x>0时,f(x)<0,f(1)=- 2 3
(1)求证:f(x)是R上的减函数;
(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
且f(x－1)<f(x2－1),
1 x 1 1 易错点
求x的取值范围。
1 x2 1 1
注： 在利用函数的
单调性解不等式的 时候，一定要注意 定义域的限制。
x 1 x2 1
0 x2
0
x2
21
x
2
保证实施的是等价 转化
高一必修一复合函数知识点
高一必修一复合函数知识点复合函数是高中数学中的一个重要概念，它在函数的运算和应用中扮演着重要的角色。
本文将详细介绍高一必修一中与复合函数相关的知识点。
一、复合函数的定义及表示方法复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，通过一系列的运算得到最终结果。
一般表示为f(g(x))，其中g(x)是先于f(x)进行的函数操作。
二、复合函数的求解方法1. 基本复合函数的求解：将内函数的输出作为外函数的输入，逐步代入求解。
2. 复合函数的符号表示法：若f(x) = u(x)和g(x) = v(x)，则复合函数可以表示为(u∘v)(x)，即f(g(x))。
3. 复合函数的运算规则：满足结合律，即(f∘g)∘h = f∘(g∘h)。
三、复合函数的图像变换1. 反函数的复合：若f(g(x)) = x，g(f(x)) = x，即f(x)和g(x)互为反函数，则(f∘g)(x) = (g∘f)(x) = x。
2. 复合函数的图像对称性：若f(x)在点x处对称，则(f∘g)(x)在g(x)处也有对称性。
四、复合函数的应用领域复合函数在高中数学的各个章节中都有广泛的应用，包括函数的求导、函数的极值、解函数方程等各个方面。
1. 函数的求导：对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导，即[f(g(x))]' = f'(g(x)) * g'(x)。
2. 函数的极值：根据函数的极值存在性定理，可以通过求解复合函数的导数等方法求得函数的极值。
3. 解函数方程：对于给定的函数方程f(g(x)) = 0，可以通过求解复合函数的根来解得方程的解。
综上所述，复合函数是高一必修一数学中重要的知识点之一。
它不仅在数学理论的研究中有重要应用，也在实际问题的求解中占据重要地位。
通过对复合函数的学习和理解，同学们可以更好地应用数学知识解决实际问题，提高数学水平。
希望本文对大家的学习有所帮助！。
人教版高中数学必修1--第四章指数函数、对数函数有关的复合函数问题 4
高中数学 必修 第一册
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第四章 指数函数与对数函数
知识点三 对数函数在实际问题中的应用 某公司制订了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不 超过 10 万元时，按销售利润的 15%进行奖励；当销售利润超过 10 万 元时，若超出 A 万元，则超出部分按 2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为 y(单位：万元)，销售利润为 x(单元：万元). (1)写出奖金 y 关于销售利润 x 的解析式； (2)如果业务员老江获得 5.5 万元的奖金，那么他的销售利润是多 少万元？
强弱等级 L/dB
10
m
பைடு நூலகம்
求 a 和 m 的值．
很嘈杂 的马路 1×10－3
90
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第四章 指数函数与对数函数
解：将 I0＝1×10－12 W/m2，I＝1×10－11 W/m2 代入 L＝a lg
I I0
，
得 10＝alg
1×10－11 1×10－12
＝a lg 10＝a，即 a＝10，m＝10lg
解：由题意知(x－3)(x＋3)>0， 解得 x<－3 或 x>3， ∴函数 y＝loga(x－3)(x＋3)的定义域为(－∞，－3)∪(3，＋∞).
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第四章 指数函数与对数函数
求含对数式的函数定义域的关键是真数大于 0，底数大于 0 且不 为 1.如需对函数式变形，须注意真数底数的取值范围是否改变．
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第四章 指数函数与对数函数
角度 2
求对数函数的解析式
3
已知函数
f(x)是对数函数，且
f
人教版高中数学必修一 第一章 1.2.2 复合函数问题练习(含答案)
( x1 2 x1 3) ( x 2 2 x 2 3) = ( x 2 x1 )( x 2 x1 2)
∵ x 2 x1 3
2
2
2
∴ x 2 x1 0
2
x2 x1 2 0
又底数 0
∴ ( x1 2 x1 3) > ( x 2 2 x 2 3) ∴ y 2 y1 0 即 y 2 y1
2
整理得 y x 7 x 6 ，
g ( x) x 2 7 x 6 ．
5、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造 方程组，通过解方程组求得函数解析式． 例5 设 f ( x)满足f ( x) 2 f ( ) x, 求 f ( x) ．
三 复合函数定义域问题 (1)、已知
n(n 1) ， 2
f ( x)
的定义域 ，所以 ，E 为 的作用范围为 D，又 f 对 的定义域。 的定义域为_____________。 ，所以 的作用范围为（0，1）
思路：设函数
的定义域为 D，即
x x 2 x x 4 则 2 ，解得： ， y y 6 y y 3 2
点 M ( x , y ) 在 y g ( x) 上 ， y x 2 x ．
把
x x 4 2 代入得： 6 y ( x 4) ( x 4) ． y 6 y
① 1得 ：
式 中 的 x＝ 1， 2， …， n－ f (2) f (1) 2，f (3) f (2) 3， ，f (n) f (n 1) n
将上述各式相加得： f ( n) f (1) 2 3 n ，
河南省太康县第一高级中学人教版高中数学必修1_1.2函数及其表示 课件
第三十三页，编辑于星期日：十五点 一分。
实数集R可用区间表示为(-∞,+∞)，
我们把满足x≥a，x>a,x≤b，x<b的实数x的集合分
别表示为[a,+∞)，(a,+∞)，(-∞,b]，(-∞,b)。
“” 读作“无穷大”， “” 读作“负无穷大”， “+” 读作“正无穷大”.
问题： （1）写出时间t的变化范围的集合A. A={t|1991≤t≤2001} （2）写出恩格尔系数的变化范围的集合B.
B={53.8,52.9,50.1,49.9,48.6,46.4,44.5,41.9,39. 2,37.9}
由问题的实际意义可知，对于数集A中的每一个 时间t,按照表中数据，在数集B中都有唯一确定 的恩格尔系数和它对应.
第十七页，编辑于星期日：十五点 一分。
例2. 求函数y 3x 1和y 1 的定义域. 3x 1
第十八页，编辑于星期日：十五点 一分。
C C
第十九页，编辑于星期日：十五点 一分。
第二十页，编辑于星期日：十五点 一分。
探究结论
(1)如果y=f (x)是整式，则定义域是 实数集R (2)如果y=f (x)是分式，则定义域是
第二十八页，编辑于星期日：十五点 一分。
1.2.1 函数的概念（2）
第二十九页，编辑于星期日：十五点 一分。
复习导入
问：什么是函数？
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关 系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯
一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A 到集合B的一个函数（function），记作 y=f(x),x∈A
（4）y2 =x
新课标人教A版高一数学必修知识点总结
高中数学必修1知识点 第一章 集合与函数概念一、集合有关概念：1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：〔1〕元素确实定性； 〔2〕元素的互异性； 〔3〕元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是公平的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比拟它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 〔1〕用大写英文字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 〔2〕集合的表示方法：列举法与描述法。
〔Ⅰ〕列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
〔Ⅱ〕描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①言语描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x ∈R| x-3>2}或{x| x-3>2} 〔3〕图示法〔文氏图〕： 4、常用数集及其记法：非负整数集〔即自然数集〕记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集Q 实数集 R 5、“属于〞的概念集合的元素通常用小写的英文字母表示，如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A 记作 a ∈A ，相反，a 不属于集合A 记作 a ∉A 6、集合的分类：1．有限集 含有有限个元素的集合2．无限集 含有无限个元素的集合3．空集 不含任何元素的集合 二、集合间的根本关系 1.“包含〞关系———子集对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊆B注意： 有两种可能〔1〕A 是B 的一局部，；〔2〕A 与B 是同一集合。
高中新课程数学(新课标人教A版)必修一《1.2.1函数的概念》课件
Ａ
【例1】 判断下列对应是否为函数：
版 必 修 一
(1)x→2x，x≠0，x∈R. (2)x→y，这里y2＝x，x∈N，y∈R.
·
新 课 标
·
数 学
人
解：(1)对于任意一个非零实数x，2x被x唯一确定，所
教 Ａ
以当x≠0时，x→2x是函数，这个函数也可以表示为f(x)＝2x
版 必 修
(x≠0)． (2)取x＝4，则y＝±2，y的值并不唯一．∴x→y(y2＝x)
课
标
·
·
数 学
思路分析：由题目可获取以下主要信息：
人 教
①已知函数的解析式；
Ａ
②由解析式可确定函数定义域．
版
必
解答本题结合相同函数的定义判断函数三要素是否一
修 一
致即可．
新
解：(1)f(x)的定义域是{x|x≠1}，g(x)的定义域是R，它
课 们的定义域不同，故不相同． 标
(2)定义域相同，都是R，但是g(x)＝|x|，即它们的解析
教 Ａ
(2)f[g(2)]＝f(6)＝17；
版 必 修
(3)f[g(x)]＝f(x2＋2)＝1＋(x12＋2)＝x2＋1 3.
一
·
新 课 标
·
数 学
温馨提示：求函数值主要利用代入法，多步代入时要
人 教
注意式子的化简和符号的变化．
Ａ
版
必
修
一
·
新 课 标
·
数 学
类型四 函数的定义域问题
人
【例4】 求下列函数的定义域：
A．－12
版
必
C．1
修
B．0 1
D.2
高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.2 复合函数求导及应用课件 新人教A版选修2-2
实际生活中的一些问题，如在生活和生产及科研中经常遇到 的成本问题、用料问题、效率问题和利润等问题，在讨论其改变 量时常用导数解决.
某港口在一天 24 小时内潮水的高度近似满足关系 s(t)＝ 3sin(1π2t＋56π)(0≤t≤24)，其中 s 的单位是 m，t 的单位是 h，求 函数在 t＝18 时的导数，并解释它的实际意义．
将复合函数的求导法则与导数的几何意义结合起来考查是 近几年高考命题的热点，解决这类问题的关键是正确对复合函数 求导，并掌握考查导数几何意义的相应题型的解法.
(1)设曲线 y＝xx＋－11在点(3,2)处的切线与直线 ax＋y＋1＝0 垂
直，则 a＝( D )
A．2
B．12
C．－12
D．－2
解析：y＝xx＋－11＝1＋x－2 1，y′＝－x－212，y′|x＝3＝－12，
类型二 复合函数的切线问题
【例 2】 设 f(x)＝ln(x＋1)＋ x＋1＋ax＋b(a，b∈R，a，b 为常数)，曲线 y＝f(x)与直线 y＝32x 在(0,0)点相切．求 a，b 的值．
【思路分析】 由曲线过(0,0)点可求得 b 的值；利用导数的 几何意义求出切线的斜率，结合已知条件列等式可求得 a 的值．
3．已知函数 f(x)＝(2x＋a)2，且 f′(2)＝20，则 a＝ 1 .
解析：因为 f(x)＝(2x＋a)2，所以 f′(x)＝4(2x＋a)， 所以 f′(2)＝4(4＋a)＝20，所以 a＝1.
4．曲线 y＝sin3x 在点 P(π3，0)处的切线斜率为 －3 . 解析：因为 y′＝(sin3x)′＝3cos3x，
因为曲线在点(3,2)处的切线与直线 ax＋y＋1＝0 垂直，所以－a
＝2，a＝－2.故选 D.
人教A版数学必修一《1.2.2《函数的表示法》(1)》教案
四川省泸县第九中学高中数学《 1.2.2函数的表示法（1）》教案 新人教A 版必修1课 型：新授课 教学目标：（1）掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），了解三种表示方法各自的优点； （2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； （3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。
教学重点：会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
教学难点：分段函数的表示及其图象。
教学过程： 一、课前准备（预习教材19p ---21p ，找出疑惑之处)复习1.回忆函数的定义；复习2.函数的三要素分别是什么？ 二、新课导学： （一）学习探究探究任务：函数的三种表示方法讨论：结合课本P 15 给出的三个实例，说明 三种表示方法的适用范围及其优点小结：解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（1）； 优点：简明扼要；给自变量求函数值。
图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（2）； 优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势。
列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（3）； 优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图； 列车时刻表；银行利率表等。
*典型例题例1．（课本P 19 例3）某种笔记本的单价是2元，买x (x ∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．{}5,4,3,2,1,5∈=x x y变式：作业本每本0.3元，买x 个作业本的钱数y （元），试用三种方法表示此实例中的函数。
反思：例1及变式的函数有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？例2：（课本P 20 例4）下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级例3：某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5公里以内（含5公里），票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的俺公里计算）。
22人教A版新教材数学必修第一册知识总结--复合函数的图象与性质
加练课4 复合函数的图象与性质学习目标 1.会求复合函数的定义域.2.掌握复合函数奇偶性的判定方法.3.掌握复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.4.掌握复合函数零点的求法及零点个数的判定.自主检测·必备知识一、概念辨析，判断正误1.若f(x)=√x,g(x)=x+2，则f[g(x)]=√x+2.( √ )2.函数y=log2(x3−2)可分解为y=log2 t和t=x3−2.( √ )3.函数y=f[g(x)]的定义域与函数y=g(x)的值域相同.( × )4.若函数y=f(x)和y=g(x)的单调性相反，则函数y=f[g(x)]在公共定义域内是减函数.( √ )二、夯实基础，自我检测5.（2020陕西西安月考）已知f(x)=log13(x2−2x)，则f(x)的单调递增区间是( ) A.(2,+∞)B.(−∞,0)C.(1,+∞)D.（-2，1）答案：B6.已知函数f(x2−1)的定义域为[4，9]，则函数f(log2x)的定义域为.答案：[215,280]7.设a为大于1的常数，函数f(x)={log a x,x＞0,a x+1,x≤0,若关于x的方程[f(x)]2−b⋅f(x)=0恰有三个不同的实数解，则实数b的取值范围是.答案：(0,a]互动探究·关键能力探究点一复合函数的定义域精讲精练例（2020河北石家庄二中期中）已知函数f(x)=√log12(2−3x)，则f(2x−1)的定义域是( )A.[23,56）B.[−13,13）C.[13,23]D.[23,+∞）答案：A解析：由题意可得{log12(2−3x)≥0,2−3x＞0,即0＜2−3x ≤1 ， 解得13≤x ＜23 ，即f(x) 的定义域为{x|13≤x ＜23} . 令13≤2x −1＜23 ， 解得23≤x ＜56，所以f(2x −1) 的定义域为[23,56) . 故选A. 解题感悟复合函数的定义域，就是复合函数y =f(g(x)) 中x 的取值范围.①若f(x) 的定义域为[a ，b ]，则y =f(g(x)) 的定义域应由a ≤g(x) ≤b 解出; ②若y =f(g(x)) 的定义域为[a ，b ]，则f(x) 的定义域为g(x) 在[a ，b ]上的值域. 提醒：定义域永远都是y =f(g(x)) 中x 的取值范围. 迁移应用1.若y =f(x) 的定义域为(0，2] ，则函数g(x)=2√x−1的定义域是( )A.(1,√2]B.[0 ，1)C.（0，1）D.(0,1)∪(1,√2] 答案： A解析：由题意得{0＜x 2≤2,x −1＞0, 解得1＜x ≤√2 .故函数g(x)=2√x−1 的定义域为（1,√2] ，故选A.探究点二 复合函数的单调性精讲精练例 已知函数f(x)=log 2(x 2−ax +1) .（1）若f(x) 的定义域、值域都是R ，求a 的值; （2）当a =2 时，讨论f(x) 在区间[0,b] 上的值域.答案：（1）∵ 函数f(x)=log 2(x 2−ax +1) 的定义域为R ， ∴x 2−ax +1＞0 恒成立，∴ 方程x 2−ax +1=0 的判别式Δ=a 2−4＜0 ， 解得−2＜a ＜2 ， 故a 的取值范围为(-2,2). ∵ 函数的值域为R ，∴ 函数y =x 2−ax +1 能取遍所有的正实数，∴方程x2−ax+1=0的判别式Δ=a2−4≥0，解得a≥2或a≤−2，故a的取值范围为(−∞,−2]∪[2,+∞).若f(x)的定义域、值域都是R，则a的取值范围应是这两个取值范围的交集，显然，它们的交集为⌀，故满足条件的a不存在.（2）当a=2时，f(x)=log2(x2−2x+1).①若0＜b＜1，则f(x)在定义域内单调递减，故当x=0时，函数f(x)取得最大值f(0)= log21=0，当x=b时，函数取得最小值f(b)=log2(b2−2b+1)，故函数f(x)的值域为[log2(b2−2b+1),0].②若b=1，则函数f(x)=log2(x2−2x+1)在x=b=1时没有意义，故b≠1.③若1＜b≤2，则f(x)在区间[0,b]上没有单调性，故当x=0时，函数取得最大值f(0)= log21=0，当x=1时，函数值趋于最小且不存在，故函数f(x)的值域为(−∞,0].④若b＞2，则f(x)在区间[0,b]上没有单调性，当x=b时，函数取得最大值f(b)=log2(b2−2b+1)，当x=1时，函数值趋于最小且不存在，故函数f(x)的值域为(−∞,log2(b2−2b+1)].解题感悟求复合函数的单调性需要注意的点：（1）单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域;（2）f(x)，g(x)单调性相同，则f(g(x))为增函数;f(x)，g(x)单调性相异，则f(g(x))为减函数，简称“同增异减”.迁移应用已知函数f(x)=log a(x+1)−log a(1−x)，其中0＜a＜1.（1）求函数f(x)的定义域;（2）判断函数f(x)的单调性，并给予证明.答案：（1）由题意得{x+1＞0,1−x＞0,解得−1＜x＜1，故函数f(x)的定义域为(-1,1).（2）f(x)是(-1,1)上的减函数.证明：f(x)=log a(x+1)−log a(1−x)=log a x+11−x =log a(−1−2x−1)，设u=−1−2x−1,则y=log a u,易知u=−1−2x−1=−(1+2x−1)在区间(-1,1)上是增函数，又0＜a＜1,y=log a u为减函数，故f(x)是(-1,1)上的减函数.探究点三 复合函数的奇偶性精讲精练例 已知函数f(x)=log 6(x +3)−log 6(3−x) . （1）判断f(x) 的奇偶性;（2）用定义法证明f(x) 是定义域内的增函数. 答案：（1）由题意得{x +3＞0,3−x ＞0,解得−3＜x ＜3 ，即函数的定义域为(-3,3)，关于原点对称.又f(−x)=log 6(3−x)−log 6(3+x)=−f(x) ， 所以函数f(x) 为奇函数.（2）证明：f(x)=log 6(x +3)−log 6(3−x)=log 6x+33−x，其定义域为(-3,3)，∀x 1,x 2∈(−3,3) ,且x 1＜x 2 , 则f(x 1)−f(x 2)=log 6x 1+33−x 1−log 6x 2+33−x 2=log 6(x 1+3)(3−x 2)(x 2+3)(3−x 1)=log 69−x 1x 2+3(x 1−x 2)9−x 1x 2−3(x 1−x 2)，因为−3＜x 1＜x 2＜3 ，所以x 1−x 2＜0, 故9−x 1x 2+3(x 1−x 2)9−x 1x 2−3(x 1−x 2)＜1,则f(x 1)−f(x 2)=log 69−x 1x 2+3(x 1−x 2)9−x 1x 2−3(x 1−x 2)＜0,即f(x 1)＜f(x 2),则f(x) 是定义域内的增函数. 解题感悟对于复合函数f(g(x)) ，若g(x) 为偶函数，则f(g(x)) 为偶函数;若g(x) 为奇函数，则f(g(x)) 的奇偶性与f(x) 的奇偶性相同.其中f(g(x)) 的定义域关于原点对称. 迁移应用已知函数f(x)=log a (x +2),g(x)=log a (2−x)(a ＞0,a ≠1) . （1）当a =3 时，若f(x)＞0 ，求x 的取值范围;（2）设函数F(x)=f(x)+g(x) ，试判断F(x) 的奇偶性，并说明理由. 答案：（1）当a =3 时，f(x)=log 3(x +2) ，若f(x)＞0 ，则log 3(x +2)＞0 ，所以x +2＞1 ，解得x ＞−1 ，故x 的取值范围是(−1,+∞) .（2）F(x) 是偶函数.理由：根据题意得，函数F(x)=f(x)+g(x)=log a (x +2)+log a (2−x) ，则{x +2＞0,2−x ＞0, 解得−2＜x ＜2 ，即函数的定义域为(-2,2)，关于原点对称. 因为F(−x)=log a (2−x)+log a (2+x)=F(x) ，所以函数F(x) 为偶函数.探究点四 复合函数的零点精讲精练例已知函数f(x)={3∣x−1∣,x＞0,−x2−2x+1,x≤0,若关于x的方程[f(x)]2−3f(x)+a=0(a∈R)有8个不等的实数根，则a的取值范围是( )A.(0,14)B.(13,3)C.（1，2）D.(2,94)答案：D解析：函数f(x)={3∣x−1∣,x>0,−x2−2x+1,x≤0的图象如图所示，令t=f(x)，则方程[f(x)]2−3f(x)+a=0(a∈R)有8个不等的实数根等价于g(t)=t2−3t+a=0(a∈R)在（1，2）上有2个不等的实数根，可得{9−4a>0, 1<32<2,g(1)=a−2>0,g(2)=a−2>0,解得2＜a＜94，所以a的取值范围是(2,94).解题感悟复合函数零点问题的特点：考虑关于x的方程g[f(x)]=0根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于f(x)的方程，观察有几个f(x)的值使得等式成立;第二层是结合着第一层f(x)的值求出每一个f(x)被几个x对应，将x的个数汇总后即为g[f(x)]=0的根的个数.迁移应用1.已知函数f(x)={e x,x≥0,lg(−x),x＜0,若关于x的方程[f(x)]2+f(x)+t=0有三个不同的实根，则实数t的取值范围为( )A.(−∞,−2]B.[1,+∞)C.[−2,1]D.(−∞,−2]∪[1,+∞)答案：A解析：作出函数f(x)的图象，如图所示，令m=f(x),y=m2+m+t,易知y=m2+m+t的图象的对称轴方程为m=−12，若原方程有3个不同的实根，则m=f(x)在[1,+∞)内有且仅有1个根，由对称轴m=−12可知，另外一个根在(−∞,−2]内，即方程m2+m+t=0在(−∞,−2],[1,+∞)内各有一个根，{4−2+t≤0，1+1+t≤0，解得t≤−2，即实数t的取值范围为(−∞,−2].故选A.2.已知函数f(x)={x+1,x≤0,log2x,x＞0,则函数y=f[f(x)]+1的零点个数是.答案：4解析：由y=f[f(x)]+1=0得f[f(x)]=−1，设t=f(x)，则f[f(x)]=−1等价于f(t)=−1，当t≤0时，由f(t)=t+1=−1解得t=−2; 当t＞0时，由f(t)=log2t=−1解得t=12，所以t=−2或t=12.当x≤0时，由f(x)=x+1=−2解得x=−3，由f(x)=x+1=12解得x=−12，故此时有两个零点;当x＞0时，由f(x)=log2x=−2解得x=14,由f(x)=log2x=12解得x=√2，故此时有两个零点.综上，函数y=f[f(x)]+1的零点个数为4.评价检测·素养提升1.已知函数y=f(x+1)的定义域为[−2,3]，则函数y=f(2|x|−1)的定义域为( )A.[0,52]B.[−1,4]C.[−52,52]D.[−32,72]答案：C2.下列函数中，定义域为R的偶函数是( )A.y=2xB.y={x|x|}C.y=|x2−1|D.y=log2|x|答案：C3.（2021福建福州高一期末）已知函数f(x)=a⋅2x −12x +1,且f(1)=13.（1）求实数a 及f(log 25) 的值; （2）判断函数f(x) 的奇偶性并证明. 答案：（1）根据题意f(1)=2a−12+1=13 ，解得a =1 ，则f(x)=2x −12x +1, 所以f(log 25)=5−15+1=23 . （2）函数f(x) 是奇函数. 证明：函数f(x)=2x −12x +1的定义域为R ，且f(−x)=2−x −12−x +1=1−2x1+2x =−2x −12x +1=−f(x), 故f(x) 为奇函数.4.（2021吉林长春外国语学校高一月考）已知函数f(x)=log 4(ax 2+2x +3) . （1）若f(1)=1 ，求函数f(x) 的单调递增区间; （2）若函数f(x) 的最小值是0，求实数a 的值; （3）若函数f(x) 的值域为R ，求实数a 的取值范围.答案：（1）由f(1)=1 ，得log 4(a +5)=1 ，即a =−1 .∴f(x)=log 4(−x 2+2x +3). 由−x 2+2x +3＞0 ，解得−1＜x ＜3 . ∴f(x) 的定义域为(-1,3)，令t(x)=−x 2+2x +3 ，该函数的图象是开口向下的抛物线，其对称轴方程为x =1 ， ∴t(x) 在(-1,1)上是增函数， 又y =log 4 t 在定义域内是增函数， ∴ 函数f(x) 的单调递增区间为(-1,1).（2）∵ 函数f(x)=log 4(ax 2+2x +3) 有最小值0， ∴ 函数t(x)=ax 2+2x +3 有最小值1.∴{a >0,3a−1a=1, 解得a =12 .（3）∵ 函数f(x)=log 4(ax 2+2x +3) 的值域为R , ∴ 函数t(x)=ax 2+2x +3 能够取到大于0的所有实数， 则a =0 或{a ＞0,22−12a ≥0,故a ∈[0,13] . 课时评价作业基础达标练1.已知函数f(x) 的定义域是[0,1) ，则函数F(x)=f[log 0.5(3−x)] 的定义域为( ) A.[0,1) B.(2,3] C.[2,52 ）D.(2,52]答案： C2.（2020贵州毕节实验高级中学高一期中）下列函数为奇函数的是( ) A.f(x)=(12)x B.f(x)=−|x +1|C.f(x)=12(2x −2−x ) D.f(x)=lg(x +1) 答案：C3.（2020陕西山阳校级月考）若f(x)=log a (3−ax) 在[0 ，1] 上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A.0＜a ＜3 B.a ＞1 C.1＜a ＜3 D.0＜a ＜1 答案：C4.已知函数f(x)={∣2x −1∣,x <2,3x−1,x ≥2, 则函数g(x)=f[f(x)]−2 的零点个数为( ) A.3B.4C.5D.6 答案：B5.已知函数f(x)={4∣x−1∣,x >0,−x 2−4x +1,x ≤0, .若关于x 的方程[f(x)]2−2af(x)+a +2=0 有8个不等的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A.(1,187) B.(1,94) C.(2,187) D.(2,94) 答案：C6.若函数f(x)=log 2(4x +1)−kx 为R 上的偶函数，则k = . 答案： 1解析： ∵ 函数f(x)=log 2(4x +1)−kx 为R 上的偶函数， ∴f(−x)=f(x) ，即log 2(4−x +1)+kx =log 2(4x +1)−kx ， 故log 24x +14−x +1=2kx,化简得log 24x =2kx,则log 222x =2kx, 即2x =2kx, 解得k =1 .7.已知点(8,m) 在幂函数f(x)=(m −3)x a 的图象上，则函数g(x)=log a (−x 2+mx +5) 的单调递减区间是 . 答案： (−1，2)8.已知奇函数f(x) 是R 上的单调函数，若函数y =f(x 2)+f(k −x) 只有一个零点，则实数k 的值是 .答案：149.（2021江苏南京鼓楼高一期末）设a为正实数，且a≠1，函数f(x)=log a(2x+1+a2x−4),x∈R.（1）若f(x)为偶函数，求a的值;（2）若函数f(x)的值域为R，求a的取值范围.答案：（1）由题意得f(−x)=log a(21−x+a2−x −4)=log a(22x+2x a−4)，若f(x)为偶函数，则f(x)=f(−x)，即log a(2x+1+a2x −4)=log a(22x+2x a−4)，则2x+1+a2x =22x+2x a,解得a=2.（2）根据题意，f(x)=log a(2x+1+a2x−4)，设g(x)=2x+1+a2x−4,若函数f(x)的值域为R，则必有g(x)min≤0，因为a＞0,所以g(x)=2x+1+a2x −4≥2√2x+1×a2x−4=2√2a−4,当且仅当2x+1=a2x时等号成立，即g(x)的最小值为2√2a−4，则有2√2a−4≤0，解得0＜a≤2，故a的取值范围为(0，2].10.已知函数f(x)=lg3−x3+x +1x+3.（1）求f(x)的定义域;（2）解关于x的不等式f(log2x)+lg5−15≤0.答案：（1）根据题意,必有3−x3+x＞0且x+3≠0,解得−3＜x＜3, 所以f(x)的定义域为(-3,3).（2）根据题意得,f(2)=lg15+15=−lg5+15.设g(x)=lg3−x3+x ,t=3−x3+x,则y=lgt,当−3＜x＜3时,t=3−x3+x =−1+6x+3为减函数,因为y=lgt为增函数,所以g(x)在(-3,3)上为减函数,又y=1x+3在(-3,3)上为减函数,所以f(x)=lg3−x 3+x+1x+3在(-3,3)上为减函数,f(log 2x)+lg5−15≤0⇒f(log 2x)−lg5+15⇒f(log 2x)≤f(2)⇒{log 2x ≥2,−3<log 2x <3,解得4≤x ＜8 ,即不等式的解集为[4,8) .素养提升练11.已知函数y =f(x +1x ) 的定义域为（12,3] ,则函数y =f(1−3x) 的定义域为( ) A.[−3,−12) B.[−23,16) C.[−79,−13] D.(12,3] 答案：C解析：令y =x +1x,由对勾函数的性质可知,当x =1 时,y =x +1x取得最小值2;当x =3时,y =x +1x取得最大值103.故y =x +1x∈[2,103] ,即f(x) 的定义域为[2,103] .令2≤1−3x ≤103,解得x ∈[−79,−13] .故函数y =f(1−3x) 的定义域为[−79,−13] .故选C. 12.定义在(0,+∞) 上的单调函数f(x) 满足：∀x ∈(0,+∞),f(f(x)−log 2x)=3 ,则方程f(x +1)−f(x)=2 的解所在的区间是( ) A.(0,12) B.(12,1) C.（1,2）D.（2,3） 答案：A解析：因为∀x ∈(0,+∞),f(f(x)−log 2x)=3 ,且函数f(x) 在(0,+∞) 上为单调函数,所以f(x)−log 2x 必为定值.设t =f(x)−log 2x ,则f(x)=t +log 2x ,又因为f(t)=3 ,所以t +log 2t =3 ,解得t =2 ,所以f(x)=log 2x +2 .所以方程f(x +1)−f(x)=2, 即log 2(x +1)−log 2x =2, 所以x+1x=4, 解得x =13 ,故选A.13.若函数f(x)=a x 2−2x+1在（1,3）上单调递减,则函数y =log a (x 2−2x) 的增区间是 . 答案： (−∞,0)解析：设y =a t ,t =x 2−2x +1 ,易知t =x 2−2x +1 在（1,3）上单调递增, ∵ 函数f(x)=a x2−2x+1在（1,3）上单调递减,∴y =a t 在（1,3）上单调递减,可得0＜a ＜1 ,∴ 函数y =log a (x 2−2x) 的增区间就是y =x 2−2x 的减区间, 令x 2−2x ＞0 ,解得x ＞2 或x ＜0 ,∴ 函数y =log a (x 2−2x) 的增区间是(−∞,0) .14.已知函数f(x)={2−∣x ∣,x ≤2,(x −2)2,x >2,函数g(x)=b −f(2−x) ,其中b ∈R ,若函数ℎ(x)=f(x)−g(x) 恰有4个零点,则实数b 的取值范围是 .答案： (74,2)解析： 由f(x)={2−∣x ∣,x ≤2,(x −2)2,x >2, 得f(2−x)={2−∣2−x ∣,x ≥0,x 2,x ＜0,∴y =f(x)+f(2−x)={2−∣x ∣+x 2,x <0,4−∣x ∣−∣2−x ∣,0≤x ≤2,2−∣2−x ∣+(x −2)2,x >2,即y =f(x)+f(2−x)={x 2+x +2,x ＜0,2,0≤x ≤2,x 2−5x +8,x ＞2,ℎ(x)=f(x)−g(x)=f(x)+f(2−x)−b ,所以ℎ(x)=f(x)−g(x) 恰有4个零点等价于方程f(x)+f(2−x)−b =0 有4个不同的解,即直线y =b 与函数y =f(x)+f(2−x) 的图象有4个公共点,由图象（图略）可知74＜b ＜2 .故实数b 的取值范围是(74,2) . 创新拓展练 15.已知函数f(x)=log a x−2x+2(a ＞0,且a ≠1) .（1）判断函数f(x) 的奇偶性并证明;（2）若函数f(x) 在区间[m,n](m ＞2) 上单调递减,且值域为[log a [a(n −1)],log a [a(m −1)]] ,求实数a 的取值范围.答案：（1）f(x)=log ax−2x+2 为奇函数. 证明：由题意得x−2x+2＞0 ,解得x ＞2 或x ＜−2 ,即函数f(x) 的定义域为{x|x >2或x <−2} ,关于原点对称,又f(−x)+f(x)=log a x+2x−2+log a x−2x+2=log a 1=0 ,所以函数f(x) 为奇函数.（2）根据题意,设t =x−2x+2=1−4x+2,y =log a t(t ＞0). 易知在区间(2,+∞) 上,t =1−4x+2 为增函数,若函数f(x) 在区间[m,n](m ＞2) 上单调递减,则y =log a t(t ＞0) 在(0,+∞) 上单调递减,故0＜a ＜1 .若函数f(x) 的值域为[log a [a(n −1)],log a [a(m −1)]] ,则log a n−2n+2=log a [a(n −1)],log a m−2m+2=log a [a(m −1)],即{m −2=a(m −1)(m +2),n −2=a(n −1)(n +2),则m 、n 为方程ax 2+(a −1)x −2a +2=0 的两个不等的实数根,且n ＞m ＞2 , 设g(x)=ax 2+(a −1)x −2a +2,则有{g(2)>0,1−a 2a >2,Δ>0, 解得0＜a ＜19 ,即实数a 的取值范围是(0,19) .。
人教版高中数学第一章1.2第3课时复合函数的求导问题
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x＋1
(2)对，y′＝e2x·(2x)′＝2e2x. (3)错，由 y＝(2x－1)2＝4x2－4x＋1，得 y′＝8x－4. 答案：(1)× (2)√ (3)×
2．函数 y＝sin 2x 的导数为( ) A．y′＝cos 2x B．y′＝2xsin 2x C．y′＝2cos 2x D．y′＝2sin 2x 解析：y′＝(sin 2x)′＝cos 2x·(2x)′＝2cos2x.
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
类型 3 导数运算法则的综合应用(误区警示) [典例 3] 求下列函数的导数： (1)y＝(ax＋b)n； (2)y＝a3x·cos (2x＋1)． 易错提示：对于复杂的复合函数的求导，往往由于弄
不清复合关系和不会选择恰当的导数公式而致误．
防范措施：对于较为复杂的复合函数的求导，首先要 弄清楚是由几个简单的基本初等函数符合而成的．第(2) 小题中的函数是由两个复合函数的乘积构成的函数，求 导时，既要考虑复合关系又要考虑求导法则的使用，稍 不仔细就会出错．
(完整版)人教版高中数学必修一第一章知识点
第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n-非空真子集.（8）交集、并集、补集【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A∈且}x B∈（1）A A A=（2）A∅=∅（3）A B A⊆A B B⊆BA并集A B{|,x x A∈或}x B∈（1）A A A=（2）A A∅=（3）A B A⊇A B B⊇BA补集U A {|,}x x U x A∈∉且1()UA A=∅2()UA A U=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a<>{|}x a x a-<<||(0)x a a>>|x x a<-或}x a>||,||(0) ax b c ax b c c+<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a>>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-∆>0∆=0∆<二次函数2(0)y ax bx c a=++>的图象O一元二次方程20(0) ax bx c a++=>的根21,242b b acxa-±-=（其中12)x x<122bx xa==-无实根20(0) ax bx c a++>>的解集1{|x x x<或2}x x>{|x}2bxa≠-R ()()()U U UA B A B=()()()U U UA B A B=〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．yxo〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减） （4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()ug x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞-、,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a 、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M=．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M=．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。
2020学年人教版高中数学必修一2.1.2指数函数及其性质的应用教学素材
课外拓展复合函数的概念及其性质一、复合函数的概念函数y=f（u)的定义域为集合B，函数u=g（x)的定义域为集合A，值域为集合D.如果D⊆B，那么对于A中每个x值，通过中间变量u，y都有唯一的值与之对应.这样，y是x的函数，记作y=f（g（x)).这个函数是由y=f（u)，u=g（x)复合而成的函数，我们把它叫做复合函数，其中y=f（u)叫做外层函数，u=g（x)叫做内层函数.例如，函数是由函数，+2x+1复合而成的.其中，是外层函数，+2x+1是内层函数.注意：1.复合函数y=f（g（x))的第二种表示法是y=f（u)，u=g（x)；2.复合函数y=f（g（x))的定义域是使y=f（u)和u=g（x)同时都有意义的x值组成的集合；3.在复合函数y=f（g（x))中，外层函数的定义域就是内层函数的值域,因为外层函数y=f （u)中u的取值不仅要使y=f（u)有意义，而且必须是内层函数u=g（x)的函数值.二、复合函数的定义域例1已知函数f（x)的定义域为（1，2］，求函数y=f（x+1)的定义域.分析：由已知函数的定义域，求复合函数的定义域，只需将所求式中括号内的式子看成已知式中的x，再解不等式，求其定义域.解：由1<x+1≤2，得0<x≤1.所以函数y=f（x+1)的定义域是{x|0<x≤1}.例2已知函数y=f（1-x)的定义域为（1，2］，求函数f（x)的定义域.分析：由复合函数的定义域求原来函数的定义域，只要根据x的范围确定复合函数中间变量的范围即可.解：设u=1-x，则由1<x≤2，得-2≤-x<-1，-1≤1-x<0，即-1≤u<0，所以函数f（x)的定义域是［-1，0).三、确定复合函数的值域求解复合函数y=f（g（x))的值域，首先要在函数的定义域上求出函数u=g（x)的值域，以确定函数y=f（x)的定义域，再求出函数y=f（x)的值域（对于两重以上的复合函数仍按此法依次进行).例3求函数的值域.解：设-2x，则，-1≥-1，所以=，所以函数的值域是 .四、复合函数的单调性设函数u=g（x)在区间M上有定义，又函数y=f（u)在区间N上有定义，且x∈M，g（x)∈N.1.若函数u=g（x)在区间M上是增函数，函数y=f（u)在区间N上是增函数，则y=f（g（x))在区间M上是增函数；2.若函数u=g（x)在区间M上是增函数，函数y=f（u)在区间N上是减函数，则y=f（g（x))在区间M上是减函数；3.若函数u=g（x)在区间M上是减函数，函数y=f（u)在区间N上是增函数，则y=f（g（x))在区间M上是减函数；4.若函数u=g（x)在区间M上是减函数，函数y=f（u)在区间N上是减函数，则y=f（g（x))在区间M上是增函数.规律：复合函数单调性依y=f（u)，u=g（x)的单调性决定.即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减”.判断复合函数的单调性的步骤如下：（1)求复合函数的定义域；（2)将复合函数分解为若干个常用函数（一次函数、二次函数、指数函数等)；（3)判断每个常用函数的单调性；（4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；（5)求出复合函数的单调性.例4求函数的单调区间.解：设，则，函数在区间（-∞，0］上为增函数，在［0，+∞)上为减函数，而函数在（-∞，+∞)上为减函数，根据复合函数单调性的判断规律：同增异减，可知，函数在区间（-∞，0］上为减函数，在［0，+∞)上为增函数.指数式大小比较四法一、单调性法例1比较与的大小.解：∵，，又0.4<1.1，且函数在（-∞，+∞)上是增函数，∴，即< .二、中间量法例2比较解：∵，，∴点评：中间量法是指利用性质不易比较时，运用0，1等中间量进行比较，从而使问题获解.三、分类讨论法例3比较与（a>0，且a≠1)的大小.分析：解答此题既要讨论幂指数+1与+2的大小关系，又要讨论底数a与1的大小关系. 解：（1)令+2，得x>1或x<-1.当a>1时，若+2，从而有；当0<a<1时，则有.（2)令+2，得x=±1，则有.（3)令+2，得-1<x<1.当a>1时，若+2，从而有；当0<a<1时，则有.点评：分类讨论是一种重要的数学方法，运用分类讨论法时，首先要确定分类的标准，涉及指数函数问题时，通常将底数与1的大小关系作为分类标准.四、比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若A-B>0⇔A>B,A-B<0⇔A<B,A-B=0⇔A=B；②在两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断>1或<1即可.例4若0<b<a<1，c>0，试比较与的大小.解：∵ 0<b<a<1，∴>0，>0.∴=.又0<b<a<1，则，>0，∴>= >1.又c>0，∴>1，即.。
人教版高中数学必修1--第三章 抽象函数或复合函数的定义域 章末回顾与提升
故集合 M＝{m|0＜m＜4}．
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第三章 函数的概念与性质
[训练 4] 已知函数 f(x)＝－x|x－a|＋1(x∈R). (1)当 a＝2 时，试写出函数 g(x)＝f(x)－x 的单调区间； (2)当 a＞1 时，求函数 f(x)在[1，3]上的最大值．
1＜x≤4.故选 B．
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第三章 函数的概念与性质
二、求函数的解析式 1.求函数的解析式最常用的方法是换元法和待定系数法． 2．掌握常见的基本初等函数的类型和求解析式的方法，提升数学 运算和逻辑推理素养．
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第三章 函数的概念与性质
已知二次函数 f(x)的最小值为 1，且 f(0)＝f(2)＝3. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)求 f(x)在－12，32 上的最大值． 解：(1)由题意，设 f(x)＝a(x－1)2＋1， 因为 f(0)＝3，即 a(－1)2＋1＝3.解得 a＝2， 所以函数 f(x)的解析式为 f(x)＝2x2－4x＋3.
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第三章 函数的概念与性质
(2)若函数 f(x)的定义域为[－1，2]，则函数 g(x)＝f（xx－－21） 的定
义域是( B )
A．[1，4]
B．(1，4]
C．[1，2)
பைடு நூலகம்
D．(1，2]
解析：由函数 f(x)的定义域为[－1，2]，令－ x－11≤＞x－0，2≤2， 解得
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第三章 函数的概念与性质
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复合函数
一、复合函数的定义：
如果y 是a 的函数，a 又是x 的函数，即y=f （a ），a=g （x ），那么y 关于x 的函数y=f[g （x ）]叫做函数y=f （x ）和a=g （x ）的复合函数，其中a 是中间变量，自变量为x ，函数值y 。
例如：函数lg
)43(2x y x -+=是由lg a y = 和x x a 243-+=复合而成立。
a 是中间变量。
二、复合函数的定义域求法：
（1）已知f(x)的定义域为（a,b ），求f(g(x))的定义域；
求法：由a<x<b ，知a<g(x)<b ，解得的x 的取值范围即是f(g(x))的定义域。
（2）已知f(g(x))的定义域为（a,b ），求f(x)的定义域；
求法：由a<x<b ，得g(x)的取值范围即是f(x)的定义域。
例2．已知f(x)的定义域为[0,1]，求f(x ＋1)的定义
练习．已知函数()f x 的定义域为[1,2)-，则(1)f x -的定义域为（ ）.
A ．[1,2)-
B ．[0,2)-
C ．[0,3)-
D ．[2,1)-
例3．已知f(x-1)的定义域为[-1,0]，求f(x+1)的定义域。
巩固练习：
1．求下列函数定义域：
（1
）()f x = （2）1
()11f x x =+
2．（1）已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求2(1)f x +的定义域；
（2）已知函数f(2x-1)的定义域为[0，1]，求f(1-3x)的定义域。
三、相等函数(同一函数）：如果两个函数的 定义域 和对应关系 完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）
例题4：下列函数是同一函数的是（ ）
A. 1,x y y x
== B. 11,y x y =+=
C. ,y x y ==
D. 2||,y x y ==
例5：下列函数中哪个与函数y=x 相等？
（1）2y =； （2）y =
（3）y = （4） 2
x y x =。
练习1.下列各组中的两个函数是否为相同的函数，为什么？ 1.3)
5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y
2．111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y
3.21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f。