快速傅里叶变换原理及其应用
FFT的算法原理应用
FFT的算法原理应用FFT（快速傅里叶变换）是一种用于计算傅里叶变换的算法，它通过分治法和迭代的方式，将O(n^2)时间复杂度的离散傅里叶变换（DFT）算法优化到O(nlogn)的时间复杂度。
FFT算法在信号处理、图像处理、通信系统等领域应用广泛。
1.算法原理：FFT算法的核心思想是将一个长度为n的序列分解为两个长度为n/2的子序列，然后通过递归的方式对子序列进行FFT计算。
在将子序列的FFT结果合并时，利用了傅里叶变换的对称性质，即可以通过递归的方式高效地计算出整个序列的FFT结果。
具体来说，FFT算法可以分为升序计算和降序计算两个过程。
升序计算是将原始序列转换为频域序列的过程，而降序计算则是将频域序列转换回原始序列的过程。
在升序计算中，序列的奇数项和偶数项被分开计算，而在降序计算中，FFT结果被奇数项和偶数项的和和差重新组合成原始序列。
2.算法应用：2.1信号处理：FFT算法在数字信号处理中广泛应用，可以将信号从时域转换为频域，从而实现滤波、降噪、频谱分析等操作。
例如，在音频处理中，可以利用FFT算法对音频信号进行频谱分析，从而实现声音的等化处理或实时频谱显示。
2.2图像处理：FFT算法在图像处理中也有重要的应用。
图像的二维傅里叶变换可以将图像从空间域转换为频域，从而实现图像的频域滤波、频域增强等操作。
例如，可以通过对图像进行傅里叶变换，找到图像中的频域特征，进而实现图像的降噪、边缘检测等功能。
2.3通信系统：FFT算法在通信系统中也有广泛应用，特别是在OFDM （正交频分复用）系统中。
OFDM系统可以将高速数据流分成多个低速子流，然后利用FFT对每一个子流进行频域调制，再通过并行传输的方式将它们叠加在一起。
这样可以提高信号的传输效率和容量，降低频率的干扰。
2.4数据压缩：FFT算法在数据压缩领域也得到了广泛应用。
例如，在JPEG图像压缩算法中，就使用了离散余弦变换（DCT），它可看做是FFT的一种变种。
快速傅里叶变换原理及其应用
快速傅里叶变换原理及其应用快速傅里叶变换的原理基于傅里叶级数展开定理，它认为任何一个周期信号可以由一组正弦和余弦函数的和表示。
快速傅里叶变换通过将时域信号划分为若干个频率组成的离散点，然后对这些点进行计算，得到频域信号的表示。
快速傅里叶变换的核心思想是将一个N点的DFT（离散傅里叶变换）分解为若干个较小的DFT，然后通过递归的方式进行计算。
这样可以大大减少计算量，提高算法的效率。
FFT算法的时间复杂度为O(NlogN)，远远优于传统的DFT算法的时间复杂度O(N^2)。
由于快速傅里叶变换具有高效、快速的特点，因此被广泛应用于多个领域。
在音频处理中，FFT常用于信号的频谱分析和频率检测。
通过对音频信号进行FFT变换，可以得到频谱图，从而分析音频信号的频率成分和强度分布。
这在音乐制作、语音识别、音频编码等领域具有重要的应用。
在图像处理中，FFT常用于图像的频域滤波和图像压缩。
通过对图像进行二维FFT变换，可以将图像从空域转换到频域，然后对频域图像进行一系列的滤波操作，最后再通过逆变换将图像转换回空域。
这样可以实现图像的去噪、增强、模糊等效果。
在通信领域，FFT常用于信号的调制和解调。
通过对信号进行FFT变换，可以将信号从时域转换到频域，然后进行调制或解调操作，最后再通过逆变换将信号从频域转换回时域。
这在无线通信、数字电视等领域具有广泛的应用。
在科学研究领域，FFT常用于信号的频谱分析和频率测量。
通过对科学实验中的信号进行FFT变换，可以得到信号的频率成分和幅度信息，从而帮助科学家研究信号的特性和变化规律。
总之，快速傅里叶变换作为一种高效的计算算法，在音频、图像、通信、科学研究等多个领域都具有重要的应用价值。
它不仅可以将时域信号转换为频域信号，还可以对频域信号进行滤波、压缩、调制等操作，从而实现对信号的处理和分析。
《快速傅里叶变换》课件
FFT的历史背景
01
1960年代，Cooley和Tukey提 出了基于“分治”思想的FFT 算法，为快速傅里叶变换的实 用化奠定了基础。
02
随后，出现了多种FFT算法的 变种和优化，如Radix-2、 Radix-4等。
03
随着计算机技术的发展，FFT 算法在硬件实现上也得到了广 泛应用，如FPGA、GPU等。
《快速傅里叶变换》ppt课件
contents
目录
• FFT简介 • FFT基本原理 • FFT实现 • FFT的应用 • FFT的优化与改进 • FFT的挑战与未来发展
01 FFT简介
FFT的定义
快速傅里叶变换（FFT）：一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换的 算法。它将复杂度为$O(N^2)$的DFT计算降低到$O(Nlog N)$，大大提高了计 算效率。
详细描述
混合基数FFT算法结合了基数-2和基数-4算法的特点，利用两者在计算过程中的 互补性，减少了计算量，提高了计算效率。同时，该算法在处理大规模数据时 ，能够保持较高的精度。
分段FFT算法
总结词
分段FFT算法将输入数据分成若干段，对每一段进行快速傅里叶变换，以降低计算复杂度和提高计算效率。
详细描述
02 FFT基本原理
离散傅里叶变换（DFT）
定义
应用
DFT是时间域信号到频域的变换，通 过计算信号中各个频率成分的幅度和 相位，可以分析信号的频谱特性。
DFT在信号处理、图像处理、频谱分 析等领域有广泛应用。
计算量
DFT的计算量随着信号长度N的增加 而呈平方关系增长，因此对于长信号 ，计算量巨大。
快速傅里叶变换推导
快速傅里叶变换推导摘要：1.快速傅里叶变换的概念与意义2.傅里叶变换的定义与性质3.快速傅里叶变换的算法原理4.快速傅里叶变换的实际应用正文：一、快速傅里叶变换的概念与意义快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种高效的计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）及其逆变换的算法。
DFT 是一种将时间域信号转换到频率域的方法，常用于信号处理、图像处理等领域。
然而，当信号长度很长时，DFT 的计算复杂度较高，因此，为了加速计算，提出了快速傅里叶变换算法。
二、傅里叶变换的定义与性质傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法。
对于一个信号f(t)，其傅里叶变换结果为频谱F(ω)，可以通过以下公式计算：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt) dt]，其中积分范围为-∞到∞。
傅里叶变换具有以下性质：1.傅里叶变换是线性的，即满足线性性质的信号可以通过傅里叶变换分开。
2.傅里叶变换是可逆的，即频域信号可以通过傅里叶逆变换转换回时域信号。
3.傅里叶变换具有时域与频域之间的帕斯卡三角关系，即频谱的幅度与相位分别对应时域信号的幅度与相位。
三、快速傅里叶变换的算法原理快速傅里叶变换算法的原理是将DFT 分解成更小的子问题，并重复利用子问题的计算结果。
具体来说，如果将信号长度为N 的DFT 表示为：X_k = ∑[x_n * e^(-j2πnk/N)]，其中n 为时域索引，k 为频域索引。
那么，如果将信号长度分解为2 的幂次方形式（如N = 2^m），则可以将DFT 分解为两个较短的DFT 的加权和，即：X_k = ∑[x_n * e^(-j2πnk/N)] = ∑[x_n * e^(-j2πn(k-m)/2^m)] + e^(-j2πkm/2^m) * ∑[x_n * e^(-j2πn(k+m)/2^m)]其中，第一个和式计算偶数项的DFT，第二个和式计算奇数项的DFT。
FFT算法在通信的应用与原理
FFT算法在通信的应用与原理1. 简介快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）算法是一种高效计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）的方法。
它通过利用对称性和递归的方式，将原本需要O(N^2)次计算的DFT算法，降低到只需要O(NlogN)次计算，大大提高了傅里叶变换的计算效率。
FFT算法在通信领域起着重要的作用，本文将介绍FFT算法的原理及其在通信中的应用。
2. 原理FFT算法的原理基于蝶形运算和分治递归的思想。
其基本思路是将长度为N的DFT分解成两个长度为N/2的DFT，通过递归调用FFT算法，不断地将DFT分解成更小的DFT，直到长度为1。
然后通过进行蝶形运算，将这些小的DFT逐层合并，最终得到完整的DFT结果。
蝶形运算是FFT算法中的核心运算，它通过对两个复数进行加法和乘法运算，得到两个结果。
具体地，设A和B是两个复数，蝶形运算的计算公式如下：C = A + W*BD = A - W*B其中，W是复数，称为旋转因子。
FFT算法中使用的旋转因子与单位复数相对应，定义为：W = exp(-j*2π/N)其中，j是虚数单位，N是DFT的长度。
可以看出，FFT算法通过对复数进行一系列的加法、乘法和幂运算，实现了高效的DFT计算。
3. 应用3.1 信号处理FFT算法在通信领域广泛应用于信号处理。
通过将信号从时域转换到频域，可以对信号进行频谱分析、滤波、降噪等处理。
例如，在音频信号处理中，可以利用FFT算法将音频信号从时域转换到频域，然后根据频域的特征对信号进行降噪处理，去除噪声信号，提高音频的质量。
3.2 无线通信FFT算法在无线通信中也具有重要的应用。
在OFDM（Orthogonal Frequency Division Multiplexing）系统中，FFT算法被广泛用于将高速数据流分成多个低速子载波，实现信号的并行传输。
编程实现快速傅里叶变换(fft)
一、概述傅里叶变换是信号处理和数据压缩中常用的数学工具，它可以将时域信号转换为频域信号，从而便于分析和处理。
而快速傅里叶变换（FFT）则是一种高效的计算傅里叶变换的方法，可以大大提高计算效率，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。
二、傅里叶变换原理傅里叶变换的基本思想是将一个时域信号分解为不同频率的正弦和余弦函数的叠加，从而得到该信号的频谱图。
具体来说，对于一个连续信号x(t)，它的傅里叶变换X(ω)定义为：X(ω) = ∫[0,∞]x(t)e^(-jωt)dt其中，ω为频率变量，X(ω)表示在频率ω处的信号能量。
而对于离散信号x[n]，它的傅里叶变换X[k]则定义为：X[k] = ∑[n=0,N-1]x[n]e^(-j2πkn/N)其中，N为信号的采样点数，k为频率域的序号。
上述公式称为离散傅里叶变换（DFT），计算复杂度为O(N^2)。
而快速傅里叶变换则通过巧妙的算法设计，将计算复杂度降低到O(NlogN)。
三、快速傅里叶变换算法概述快速傅里叶变换的算法最早由Cooley和Tukey在1965年提出，它的基本思想是将一个长度为N的DFT分解为两个长度为N/2的DFT的组合，通过递归地分解和合并，最终实现对整个信号的快速计算。
下面我们来介绍一种常用的快速傅里叶变换算法：递归式分治法。
四、递归式分治法递归式分治法是一种高效的计算DFT的方法，它的基本思想是将长度为N的DFT分解为两个长度为N/2的DFT，并通过递归地调用自身，最终实现对整个信号的傅里叶变换。
具体来说，假设有一个长度为N的信号x[n]，对其进行快速傅里叶变换的过程可以分为如下几个步骤：1. 将长度为N的信号x[n]分为长度为N/2的偶数序号和奇数序号的两个子信号x_even[n]和x_odd[n]；2. 对子信号x_even[n]和x_odd[n]分别进行快速傅里叶变换，得到它们的频域表示X_even[k]和X_odd[k]；3. 结合X_even[k]和X_odd[k]，计算原信号的频域表示X[k]。
试说明快速傅里叶变换的基本思路和原理
快速傅里叶变换的基本思路和原理一、引言快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的算法，用于计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换。
它通过将DFT计算中的复杂度从O(N^2)降低到O(N log N)，极大地提高了计算效率，成为信号处理、图像处理、通信等领域中的重要工具。
本文将介绍快速傅里叶变换的基本思路和原理，主要包括分治策略、递归实施、周期性和对称性、蝶形运算、高效算法等方面。
二、分治策略快速傅里叶变换的基本思路是将原问题分解为若干个子问题，通过对子问题的求解，逐步递归地得到原问题的解。
这种分治策略的思想来源于算法设计中的“分而治之”原则，即将一个复杂的问题分解为若干个较小的、简单的问题来处理。
在FFT中，分治策略将DFT的计算过程分为多个步骤，逐步简化问题规模，最终实现高效的计算。
三、递归实施递归是实现分治策略的一种常用方法。
在快速傅里叶变换中，递归地实施分治策略，将问题规模不断缩小，直到达到基本情况（通常是N=1或2），然后逐步推导到原问题。
递归实施使得FFT算法的代码简洁明了，易于实现和理解。
同时，递归也使得算法能够利用计算机的存储器层次结构，将计算过程中的中间结果存储起来，避免重复计算，进一步提高计算效率。
四、周期性和对称性在快速傅里叶变换中，利用了离散傅里叶变换的周期性和对称性。
周期性是指DFT的结果具有周期性，即对于输入序列x[n]，其DFT的结果X[k]具有N的周期性。
对称性是指DFT的结果具有对称性，即对于输入序列x[n]，其DFT的结果X[k]具有对称性。
这些性质在FFT算法中得到了广泛应用，它们有助于简化计算过程，提高计算效率。
例如，在蝶形运算中，利用周期性和对称性可以避免某些不必要的计算，从而减少运算量。
五、蝶形运算蝶形运算是快速傅里叶变换中的基本运算单元。
它利用离散傅里叶变换的周期性和对称性，将多个复数相加和相乘组合在一起，形成一个类似蝴蝶形状的运算流程。
蝶形运算的复杂度为O(log N)，是实现快速傅里叶变换的关键步骤之一。
数字信号处理中的快速傅里叶变换
数字信号处理中的快速傅里叶变换快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）是数字信号处理中一种重要的算法，用于将时域信号转换为频域信号。
通过将信号分解成不同频率的正弦和余弦波，可以提取出信号的频谱信息，进而进行频域分析和滤波等操作。
本文将介绍快速傅里叶变换的原理、算法流程以及在数字信号处理中的应用。
一、快速傅里叶变换的原理快速傅里叶变换是以傅里叶变换为基础的一种高效的算法。
傅里叶变换是将一个周期函数（或有限长的信号）分解成若干个不同频率的正弦和余弦波的叠加。
这些正弦和余弦波的频率和振幅反映了原始信号的频谱特征。
传统的傅里叶变换算法复杂度较高，难以在实时信号处理中应用。
而快速傅里叶变换通过巧妙地利用信号的对称性和周期性，将传统傅里叶变换的复杂度从O(n^2)降低到O(nlogn)，大大提高了计算效率。
二、快速傅里叶变换的算法流程快速傅里叶变换算法采用分治法的思想，将信号逐步分解成更小的子问题，并通过递归地计算子问题的频域结果来获得最终的结果。
其算法流程如下：1. 输入原始信号，设信号长度为N。
2. 如果N为1，则直接返回原始信号。
3. 将原始信号分为偶数项和奇数项两部分。
4. 对偶数项序列进行快速傅里叶变换，得到频域结果D1。
5. 对奇数项序列进行快速傅里叶变换，得到频域结果D2。
6. 根据傅里叶变换的性质，将D1和D2组合成整体的频域结果，得到最终结果。
7. 返回最终结果。
三、快速傅里叶变换在数字信号处理中的应用1. 频谱分析：快速傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，通过分析信号的频谱特征，可以提取信号的频率成分，并得到各频率成分的振幅和相位信息。
在音频、图像处理等领域，频谱分析是常见的操作，可以实现音乐信号的频谱可视化、图像去噪和图像压缩等任务。
2. 滤波操作：快速傅里叶变换可以将信号转换到频域后进行滤波操作。
在通信系统中，为了提高信号抗干扰能力和传输效率，通常使用滤波器对信号进行处理。
实验一 快速傅里叶变换及其应用
实验一快速傅里叶变换及其应用一、实验目的1．在理论学习的基础上，通过本实验，加深对FFT的理解，熟悉FFT子程序。
2．熟悉应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法。
3.了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题以便在实际中正确应用FFT。
4．熟悉应用FFT实现两个序列的线性卷积的方法。
二、实验原理与方法在各种信号序列中，有限长序列信号处理占有很重要地位，对有限长序列，我们可以使用离散Fouier变换(DFT)。
这一变换不但可以很好的反映序列的频谱特性，而且易于用快速算法在计算机上实现，当序列x(n)的长度为N时，它的DFT定义为：反变换为：有限长序列的DFT是其Z变换在单位圆上的等距采样，或者说是序列Fourier变换的等距采样，因此可以用于序列的谱分析。
FFT并不是与DFT不同的另一种变换，而是为了减少DFT运算次数的一种快速算法。
它是对变换式进行一次次分解，使其成为若干小点数的组合，从而减少运算量。
常用的FFT是以2为基数的，其长度。
它的效率高，程序简单，使用非常方便，当要变换的序列长度不等于2的整数次方时，为了使用以2为基数的FFT，可以用末位补零的方法，使其长度延长至2的整数次方。
(一)在运用DFT进行频谱分析的过程中可能产生三种误差：(1)混叠序列的频谱时被采样信号的周期延拓，当采样速率不满足Nyquist定理时，就会发生频谱混叠，使得采样后的信号序列频谱不能真实的反映原信号的频谱。
避免混叠现象的唯一方法是保证采样速率足够高，使频谱混叠现象不致出现，即在确定采样频率之前，必须对频谱的性质有所了解，在一般情况下，为了保证高于折叠频率的分量不会出现，在采样前，先用低通模拟滤波器对信号进行滤波。
(2)泄漏实际中我们往往用截短的序列来近似很长的甚至是无限长的序列，这样可以使用较短的DFT来对信号进行频谱分析，这种截短等价于给原信号序列乘以一个矩形窗函数，也相当于在频域将信号的频谱和矩形窗函数的频谱卷积，所得的频谱是原序列频谱的扩展。
快速傅里叶变换和逆变换
快速傅里叶变换和逆变换一、前言快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算傅里叶变换的算法，它在信号处理、图像处理等领域得到了广泛应用。
本文将介绍FFT算法的基本原理、实现方法和应用场景，以及逆变换的概念和实现方法。
二、傅里叶变换1. 傅里叶级数傅里叶级数是指将周期函数表示为正弦函数和余弦函数的无限级数之和的形式。
它可以用来分析周期信号的频率成分。
2. 傅里叶变换傅里叶变换是将一个信号从时域转换到频域的过程，它可以将一个复杂的信号分解成若干个简单的正弦波或余弦波，从而更好地理解信号。
3. 傅里叶反演公式傅里叶反演公式是指将一个频域信号转换回时域信号的过程。
它可以通过对频域中每个频率分量进行加权求和来还原原始信号。
三、快速傅里叶变换1. FFT算法基本原理FFT算法是一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）的方法，它可以将DFT的时间复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)。
FFT算法的基本思想是将DFT分解为若干个小规模DFT的组合，从而达到减少计算量的目的。
2. FFT算法实现方法FFT算法有多种实现方法，其中最常用的是蝴蝶算法。
蝴蝶算法将DFT分解为两个规模较小的DFT，并通过旋转因子进行组合，从而得到原始信号的频域表示。
3. FFT应用场景FFT算法在信号处理、图像处理、音频处理等领域得到了广泛应用。
例如，在音频压缩中，可以使用FFT算法对音频信号进行频谱分析并提取重要信息，以便进行压缩。
四、傅里叶逆变换1. 逆变换概念傅里叶逆变换是将一个频域信号转换回时域信号的过程。
它可以通过对频域中每个频率分量进行加权求和来还原原始信号。
2. 逆变换实现方法傅里叶逆变换可以通过傅里叶反演公式来计算。
具体而言，可以对每个频率分量乘以相应的旋转因子，并将结果相加得到原始信号的时域表示。
3. 逆变换应用场景傅里叶逆变换在信号恢复、图像重建等领域得到了广泛应用。
例如，在图像处理中，可以使用傅里叶逆变换将频域中的图像还原为时域中的图像，以便进行后续处理。
fft算法原理
fft算法原理FFT算法原理。
快速傅里叶变换（FFT）是一种计算机算法，用于高效地计算离散傅里叶变换（DFT），是信号处理、图像处理、数据压缩、密码学等领域中广泛应用的重要算法。
本文将介绍FFT算法的原理及其应用。
傅里叶变换是一种信号处理中常用的数学工具，它可以将一个信号从时间域转换到频率域，从而揭示出信号的频率成分。
DFT是傅里叶变换的离散形式，它将N个离散时间点的信号转换为N个离散频率点的频谱。
然而，传统的DFT算法复杂度为O(N^2)，计算量较大，特别是对于大规模数据而言，计算时间将会变得非常长。
FFT算法的出现正是为了解决这一问题，它将DFT的计算复杂度降低到O(NlogN)，大大提高了计算效率。
FFT算法的原理主要基于分治法和递归思想。
它将一个长度为N的DFT分解为两个长度为N/2的DFT，然后通过递归地计算子问题的DFT，最终将问题规模缩小到1。
在计算过程中，FFT算法利用了信号的周期性质，通过旋转因子来降低计算复杂度。
具体而言，FFT算法利用了蝶形运算结构，将DFT的计算过程分解为多个阶段，每个阶段都是对一组蝶形运算的计算，从而实现了计算量的大幅度减少。
除了计算效率高之外，FFT算法还具有良好的数值稳定性和精度。
它可以准确地计算出信号的频谱分量，并且由于其递归的特性，FFT算法非常适合于并行计算，可以充分利用多核处理器和分布式计算系统的优势，进一步提高计算效率。
在实际应用中，FFT算法被广泛应用于数字信号处理、音频处理、图像处理、通信系统、雷达系统等领域。
例如，在音频处理中，FFT算法可以用于音频频谱分析、音频合成、降噪等方面；在通信系统中，FFT算法可以用于调制解调、信道均衡、频谱分析等方面。
此外，FFT算法还被广泛应用于科学计算、地震勘探、医学影像处理等领域。
总之，FFT算法作为一种高效的计算傅里叶变换的算法，具有计算效率高、精度高、稳定性好等优点，被广泛应用于各个领域。
随着计算机硬件性能的不断提升，FFT算法的应用前景将更加广阔，有望在更多领域发挥重要作用。
快速傅里叶变换原理
快速傅里叶变换原理快速傅里叶变换（FFT）是一种计算机科学和数学领域中常用的算法，它在信号处理、图像处理、数据压缩等领域都有着广泛的应用。
快速傅里叶变换的原理是基于傅里叶变换的思想，通过巧妙地利用对称性和周期性，实现了计算复杂度的大幅度降低，从而提高了计算效率。
傅里叶变换是将一个信号分解成不同频率的正弦波和余弦波的过程，它可以将时域的信号转换到频域，从而能够更好地理解信号的频率成分。
然而，传统的傅里叶变换算法在计算上存在着较大的复杂度，当信号的长度较大时，计算量将会非常庞大，这就导致了计算效率的低下。
为了解决这一问题，快速傅里叶变换应运而生。
它的核心思想是利用信号的周期性和对称性，将原本的O(n^2)的计算复杂度降低到了O(nlogn)，这样就大大提高了计算效率。
快速傅里叶变换的算法由Cooley和Tukey于1965年提出，至今仍然被广泛应用。
快速傅里叶变换的原理主要包括以下几个方面：1. 分治策略，快速傅里叶变换算法采用了分治策略，将一个长度为n的信号分解为两个长度为n/2的子信号，然后分别对这两个子信号进行傅里叶变换，最后再将结果合并起来。
这样就将原本复杂的问题分解为了规模较小的子问题，从而降低了计算复杂度。
2. 蝶形运算，快速傅里叶变换算法中的蝶形运算是其核心操作，它是一种迭代计算的方法。
在蝶形运算中，对输入信号进行一系列的加法和乘法操作，最终得到傅里叶变换的结果。
蝶形运算的特点是可以通过迭代的方式高效地计算出傅里叶变换的结果。
3. 对称性和周期性，快速傅里叶变换算法充分利用了信号的对称性和周期性，通过这种特性可以大大减少计算量。
例如，当信号长度为2的幂时，可以将原始信号分解为偶数位和奇数位，然后利用对称性和周期性，将计算量降低到了原来的1/2。
总的来说，快速傅里叶变换算法通过巧妙地利用信号的对称性和周期性，将原本复杂的傅里叶变换计算问题转化为了规模较小的子问题，从而大大提高了计算效率。
快速傅里叶变换的原理及公式
快速傅里叶变换的原理及公式快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种快速计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）的算法。
DFT是将时域的离散信号转换为频域的频谱表示的技术，它在信号处理、图像处理、语音识别等领域有着广泛的应用。
FFT算法通过利用信号的特殊性质，提高了计算效率，使得在计算复杂度为O(NlogN)的时间内，完成了DFT的计算。
FFT的原理基于傅里叶级数展开的思想。
任何周期为T的信号，都可以用一组正弦信号和余弦信号的和来表示。
傅里叶级数展开公式如下所示：f(t) = A0 + Σ[Ak*cos(kω*t) + Bk*sin(kω*t)]其中，f(t)表示信号的时域表示，A0表示直流分量，Ak和Bk表示信号的谐波分量，ω=2π/T表示信号的角频率。
FFT算法的主要思想是将DFT的计算分解为多个较小规模的DFT计算。
假设原始信号的长度为N，当N为2的幂时，可以将信号分为两个长度为N/2的子序列。
通过对这两个子序列分别进行FFT计算，然后合并计算结果，就得到了原始信号的DFT。
FFT算法可以描述为分治法的一个典型应用。
通过将信号分为两个子序列，FFT的计算可以分为两个阶段：变址和蝶形算法。
变址阶段的目标是将原始信号重新排列成迭代结构的形式，这样方便后续的计算。
变址操作通过位逆序运算实现，即将信号的各个元素按照二进制位翻转顺序重新排列。
蝶形算法是FFT计算的核心部分。
蝶形算法通过将信号的DFT计算分解为一系列蝶形运算，每个蝶形运算只涉及到两个元素的计算。
一个蝶形运算可以表示为如下公式：Xk=Xk_0+W_N^k*Xk_1Xk+N/2=Xk_0-W_N^k*Xk_1其中，Xk和Xk+N/2表示将原始信号分为两部分计算得到的结果，Xk_0和Xk_1分别是这两部分的数据，W_N^k表示旋转因子，计算公式为W_N^k = exp(-2πi*k/N)。
快速傅里叶变换FFT原理及源程序
快速傅里叶变换FFT原理及源程序快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）是一种高效的计算傅里叶变换的算法。
在信号处理、图像处理、通信等领域中广泛应用。
它的原理基于傅里叶变换的线性性质和周期性质，通过分治的思想将傅里叶变换的计算复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大提高了计算的效率。
下面是FFT算法的一种实现：1.假设需要计算N点离散傅里叶变换（DFT），将N分解为N=N1*N2，其中N1和N2都是正整数。
这里采用的分解方法是使得N1为2的幂次，N2为能被2整除的数。
2.将原始序列x[n]的下标按照奇偶分为两组，分别得到x1[n]和x2[n]。
3.对x1[n]和x2[n]分别进行N1点的DFT计算，得到X1[k]和X2[k]。
4. 根据蝴蝶（Butterfly）算法，将得到的X1[k]和X2[k]重新组合成X[k]，具体操作如下：- 对于每一个k，X[k] = X1[k] + W_Nk * X2[k]，其中W_Nk是旋转因子，满足W_Nk = exp(-i * 2 * π * k / N)，i是虚数单位，π是圆周率。
-对于每一个k，X[k+N/2]=X1[k]-W_Nk*X2[k]。
5.重复步骤2至4，直到计算完成。
最终得到的X[k]就是原始序列x[n]的N点DFT。
下面是一个简单的FFT的源程序（使用Python实现）：```pythonimport cmathdef fft(x):N = len(x)if N == 1:return xeven = fft(x[0::2])odd = fft(x[1::2])X=[0]*Nfor k in range(N // 2):W_Nk = cmath.exp(-2j * cmath.pi * k / N) X[k] = even[k] + W_Nk * odd[k]X[k + N // 2] = even[k] - W_Nk * odd[k] return X#测试示例x=[0,1,2,3,4,5,6,7]X = fft(x)print(X)```。
快速傅里叶变换的原理
快速傅里叶变换的原理一、前言快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算傅里叶变换的方法，它的应用广泛，如信号处理、图像处理、数值分析等领域。
本文将详细介绍快速傅里叶变换的原理。
二、傅里叶变换在介绍快速傅里叶变换之前，我们需要先了解傅里叶变换。
傅里叶变换是将一个信号在时域上的函数转化为在频域上的函数，它可以将信号分解成不同频率的正弦波和余弦波组成的谱。
具体来说，对于一个连续时间函数f(t)，它的傅里叶变换F(ω)定义为：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt其中，j为虚数单位，ω为角频率。
对于一个离散时间函数f(n)，它的傅里叶变换F(k)定义为：F(k) = Σf(n)e^(-j2πkn/N)其中，N为采样点数。
三、暴力计算傅里叶变换直接使用定义式计算离散时间信号的傅里叶变换需要进行N^2次复杂度的计算，这种方法被称为暴力计算。
当N很大时，计算量会非常大，因此需要寻找更高效的算法。
四、快速傅里叶变换快速傅里叶变换是一种高效的计算离散时间信号的傅里叶变换的方法。
它的基本思想是将一个长度为N的离散时间信号分解成两个长度为N/2的子信号，然后递归地对子信号进行FFT计算，最终将两个子信号合并成一个长度为N的信号。
具体来说，假设我们要计算一个长度为N的离散时间信号f(n)的FFT变换F(k)，其中k=0,1,2,...,N-1。
我们可以将f(n)分解成两个长度为N/2的子信号：f_even(n) = f(2n)f_odd(n) = f(2n+1)然后对f_even(n)和f_odd(n)分别进行FFT计算：F_even(k) = FFT(f_even(n))F_odd(k) = FFT(f_odd(n))最后将F_even(k)和F_odd(k)合并成F(k)，其中：F(k) = F_even(k) + e^(-j2πk/N)*F_odd(k)F((k+N/2)%N) = F_even(k) - e^(-j2πk/N)*F_odd(k)其中，e^(-j2πk/N)*F_odd(k)被称为旋转因子。
快速傅里叶变换原理及其应用
快速傅里叶变换的原理及其应用摘要快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。
它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。
傅里叶变换的理论与方法在“数理方程”、“线性系统分析”、“信号处理、仿真”等很多学科领域都有着广泛应用,由于计算机只能处理有限长度的离散的序列,所以真正在计算机上运算的是一种离散傅里叶变换. 虽然傅里叶运算在各方面计算中有着重要的作用，但是它的计算过于复杂，大量的计算对于系统的运算负担过于庞大，使得一些对于耗电量少，运算速度慢的系统对其敬而远之，然而，快速傅里叶变换的产生，使得傅里叶变换大为简化，在不牺牲耗电量的条件下提高了系统的运算速度，增强了系统的综合能力，提高了运算速度，因此快速傅里叶变换在生产和生活中都有着非常重要的作用，对于学习掌握都有着非常大的意义。
关键词快速傅氏变换；快速算法；简化；广泛应用AbstractFast Fourier Transform (FFT), is a discrete fast Fourier transform algorithm, which is based on the Discrete Fourier Transform of odd and even, false, false, and other characteristics of the Discrete Fourier Transform algorithms improvements obtained. Its Fourier transform theory has not found a new, but in the computer system or the application of digital systems Discrete Fourier Transform can be said to be a big step into. Fourier transform theory and methods in the "mathematical equation" and "linear systems analysis" and "signal processing, simulation," and many other areas have a wide range of applications, as the computer can only handle a limited length of the sequence of discrete, so true On the computer's operation is a discrete Fourier transform. Fourier Although all aspects of computing in the calculation has an important role, but its calculation was too complicated, a lot of computing system for calculating the burden is too large for some Less power consumption, the slow speed of operation of its system at arm's length, however, have the fast Fourier transform, Fourier transform greatly simplifying the making, not in power at the expense of the conditions to increase the speed of computing systems, and enhance the system The comprehensive ability to improve the speed of operation, the Fast Fourier Transform in the production and life have a very important role in learning to master all have great significance.Key words Fast Fourier Transform; fast algorithm; simplified; widely used目录摘要………………………………………………………………………………１ABSTRACT………………………………………………………………………２绪论………………………………………………………………………………４快速傅里叶变换原理……………………………………………………………５快速傅里叶的实际应用…………………………………………………………７１快速傅里叶变换在喇曼光谱信号噪声平滑中的应用…………………７引言………………………………………………………………………７实验原理及结果…………………………………………………………８结论………………………………………………………………………９２采用异步实现的快速傅里叶变换处理器………………………………９引言……………………………………………………………………９实验原理及结果………………………………………………………１０结论……………………………………………………………………１０３快速傅里叶算法在哈特曼夏克传感器波前重构算法中的应用………１１引言……………………………………………………………………１１实验原理及结果………………………………………………………１１结论……………………………………………………………………１２参考文献…………………………………………………………………………１３绪论傅立叶变换在生产生活中的重要性非常突出，它将原来难以处理的时域信号相对比较容易地转换成了易于分析的频域信号，可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工，把信号转化为可以对其进行各种数学变化的数学公式，对其进行处理。
FFT的算法原理应用
FFT的算法原理应用FFT（快速傅里叶变换）是一种高效的计算离散傅里叶变换（DFT）的算法。
DFT是一种将时域信号转换为频域信号的数学操作，它在信号处理、图像处理、通信等领域中具有广泛的应用。
FFT算法的原理基于对称性和周期性的特性，通过将DFT分解成较小规模的子问题，从而减少计算量。
它的核心思想是利用傅里叶变换的对称性，将一个N点的DFT分解为两个N/2点的DFT，然后递归地继续分解，直到问题规模降低到一个常数。
最后通过合并子问题的结果，得到完整的DFT结果。
FFT算法的应用非常广泛。
以下是几个主要的应用领域：1.信号处理：FFT可以将时域信号转换为频域信号，用于分析和处理各种信号，如音频信号、图像信号、生物信号等。
在音频处理中，可以通过FFT来实现频谱分析、滤波、降噪等操作。
在图像处理中，可以使用FFT来实现图像增强、去噪、边缘检测等。
2.通信系统：FFT广泛应用于调制解调器、OFDM（正交频分复用）等通信系统中。
在调制解调器中，FFT用于将信号从频域转换为时域或将信号从时域转换为频域。
在OFDM系统中，FFT用于将数据信号分成多个子信道，从而提高信号传输的效率。
3.映像处理：FFT在图像压缩、图像识别、图像匹配等方面有重要应用。
例如，在JPEG压缩中，可以使用FFT将图像转换为频域信号，然后通过量化和编码来实现图像压缩。
4.数据分析：FFT可以用于处理时序数据，如股票价格、气象数据、心电图等。
通过将时序数据转换为频域信号，可以分析数据的周期性、频谱特征等。
例如，在股票市场中，可以使用FFT来分析股票价格的周期性和趋势。
5.数字滤波：FFT可以用于实现各种数字滤波器，如低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。
通过将信号转换到频域，可以对信号进行滤波处理，去除噪声或选择感兴趣的频率成分。
总之，FFT算法是一种高效的计算离散傅里叶变换的方法，广泛应用于信号处理、通信系统、映像处理、数据分析和数字滤波等领域。
fft的原理和应用
FFT的原理和应用一、FFT的原理FFT（Fast Fourier Transform，快速傅里叶变换）是一种高效实现离散傅里叶变换（DFT）的算法。
FFT算法通过将一个N点的DFT分解为多个规模更小的DFT运算，从而大大减少了计算量。
FFT的基本原理可以简单总结为以下几个步骤： 1. 将N个离散时域样本点展开为复指数项的线性组合。
2. 将这个线性组合过程转换为一个矩阵乘法问题。
3. 对矩阵乘法问题应用分治策略，将其分解为多个规模更小的矩阵乘法问题。
4. 递归地应用上述过程，直到问题规模缩小到可以直接求解的程度。
通过以上步骤，FFT算法能够大幅度提高计算效率，尤其在要求计算速度较快的实时应用中得到广泛应用。
二、FFT的应用FFT在信号处理和数据分析等领域有着广泛的应用。
下面列举了几个常见的应用场景：1. 音频处理FFT在音频处理中扮演着重要的角色。
音频信号可以被视为一个时域信号，在音频处理中经常需要将时域信号转换为频域信号进行分析。
通过对音频信号进行FFT变换，可以获得频谱信息，进而对音频信号进行分析、滤波、降噪等处理。
2. 图像处理FFT在图像处理中也有广泛的应用。
图像可以被视为一个二维时域信号，通过对图像进行二维FFT变换，可以将图像转换为频域表达，从而进行图像增强、去噪、边缘检测等操作。
FFT在频域中的局部能量分布也被用于图像特征提取。
3. 通信系统在现代通信系统中，FFT被广泛应用于调制解调和多载波通信系统。
FFT可以将信号从时域转换为频域，使得信号的频谱特征得以分析。
在OFDM（正交频分复用）系统中，FFT用于将信号分成多个子载波，并进行调制。
4. 振动分析FFT在振动分析中被用于提取信号的频谱特征。
通过对振动信号进行FFT处理，可以得到信号的频谱分量，用于故障诊断和机械状态监测。
振动传感器通常将机械振动信号转换为电信号，再进行FFT分析。
5. 声纳信号处理在声纳信号处理中，FFT被广泛用于提取水下信号的频谱特征。
快速傅里叶变换fft mathmatica
快速傅里叶变换（FFT）是一种非常重要的数学工具，它在信号处理、图像处理、计算机视觉等领域有着广泛的应用。
快速傅里叶变换算法的发明有利于对信号频谱的快速计算，从而加快了信号处理的速度。
在本文中，我们将从多个角度来探讨快速傅里叶变换，并深入理解它的原理和应用。
1. 什么是傅里叶变换？傅里叶变换是一种数学工具，它可以将一个函数从时间或空间域转换到频率域。
通过傅里叶变换，我们可以将一个信号拆分成不同频率的成分，从而更好地理解信号的特性。
在信号处理领域，傅里叶变换被广泛应用于声音、图像等数据的分析和处理中。
2. 快速傅里叶变换的原理快速傅里叶变换是一种高效的傅里叶变换算法，它可以在对数时间内完成信号频谱的计算。
其原理是基于分治法和递归思想的，通过将信号分解成子问题，并利用对称性质和周期性质，从而快速计算出频谱信息。
快速傅里叶变换算法的发明极大地加速了信号处理的速度，使得实时处理成为可能。
3. 快速傅里叶变换的应用快速傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用。
在音频处理中，通过快速傅里叶变换，我们可以快速计算出音频信号的频谱信息，从而进行音频分析、音频合成等操作。
在图像处理中，快速傅里叶变换可以用于图像的频域滤波、图像压缩等操作。
在通信领域，快速傅里叶变换也被应用于调制解调、信道估计等方面。
4. 我对快速傅里叶变换的个人观点和理解作为一种重要的数学工具，快速傅里叶变换在现代科学技术中扮演着不可或缺的角色。
它的高效性和广泛应用性使得它成为了信号处理领域中的核心算法之一。
虽然快速傅里叶变换算法本身较为复杂，但通过对其原理和应用的深入理解，我们可以更好地利用这一工具，为实际问题提供更好的解决方案。
总结在本文中，我们对快速傅里叶变换进行了全面的探讨，从傅里叶变换的基本概念到快速傅里叶变换算法的原理和应用，希望读者能更全面、深刻和灵活地理解这一重要的数学工具。
通过对快速傅里叶变换的研究，我们可以更好地处理和分析信号数据，为实际问题的解决提供更好的方法和工具。
快速傅里叶变换数学原理解释
快速傅里叶变换数学原理解释快速傅里叶变换（FFT）是一种在信号处理和数据分析中广泛应用的算法。
它能够快速计算离散傅里叶变换（DFT），将一个连续的时间域信号转换为频域表示。
傅里叶变换是一种信号处理技术，它将信号表示为不同频率的正弦和余弦函数的叠加。
这种转换可以揭示信号的频率成分和强度，对于音频、图像、视频等不同类型的信号分析非常有用。
传统的傅里叶变换算法复杂度较高，需要进行大量的乘法和加法运算，特别是对于大规模的数据集来说，计算时间较长。
为了解决这个问题，快速傅里叶变换算法被提出。
FFT利用了DFT的对称性和周期性的特点，将计算复杂度从O(n^2)降低到了O(nlogn)。
它通过将DFT分解成多个较小的DFT，通过使用旋转因子来重新组合这些小的DFT结果，从而加快了计算速度。
FFT的主要思想是将一个长度为n的离散序列分解为两个长度为n/2的子序列，并通过合适的旋转因子对它们进行组合。
这种分治策略可以一直递归下去，直到将序列分解为长度为1的序列。
在这个过程中，FFT通过巧妙地利用旋转因子的周期性质，减少了计算的复杂度。
快速傅里叶变换广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理和通信领域等。
它可以高效地进行频域分析，如滤波、频谱分析、相关性计算等。
通过快速傅里叶变换，我们可以更好地理解信号的频域特性，从而进行相应的处理和优化。
总结起来，快速傅里叶变换是一种用于高效计算离散傅里叶变换的算法。
它通过利用对称性和周期性的特点，将计算复杂度降低到O(nlogn)。
快速傅里叶变换在信号处理和数据分析中具有重要的作用，可帮助我们更好地理解信号的频域特性，并进行相应的处理和优化。
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快速傅里叶变换的原理及其应用摘要快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。
它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。
傅里叶变换的理论与方法在“数理方程”、“线性系统分析”、“信号处理、仿真”等很多学科领域都有着广泛应用,由于计算机只能处理有限长度的离散的序列,所以真正在计算机上运算的是一种离散傅里叶变换. 虽然傅里叶运算在各方面计算中有着重要的作用，但是它的计算过于复杂，大量的计算对于系统的运算负担过于庞大，使得一些对于耗电量少，运算速度慢的系统对其敬而远之，然而，快速傅里叶变换的产生，使得傅里叶变换大为简化，在不牺牲耗电量的条件下提高了系统的运算速度，增强了系统的综合能力，提高了运算速度，因此快速傅里叶变换在生产和生活中都有着非常重要的作用，对于学习掌握都有着非常大的意义。
关键词快速傅氏变换；快速算法；简化；广泛应用AbstractFast Fourier Transform (FFT), is a discrete fast Fourier transform algorithm, which is based on the Discrete Fourier Transform of odd and even, false, false, and other characteristics of the Discrete Fourier Transform algorithms improvements obtained. Its Fourier transform theory has not found a new, but in the computer system or the application of digital systems Discrete Fourier Transform can be said to be a big step into. Fourier transform theory and methods in the "mathematical equation" and "linear systems analysis" and "signal processing, simulation," and many other areas have a wide range of applications, as the computer can only handle a limited length of the sequence of discrete, so true On the computer's operation is a discrete Fourier transform. Fourier Although all aspects of computing in the calculation has an important role, but its calculation was too complicated, a lot of computing system for calculating the burden is too large for some Less power consumption, the slow speed of operation of its system at arm's length, however, have the fast Fourier transform, Fourier transform greatly simplifying the making, not in power at the expense of the conditions to increase the speed of computing systems, and enhance the system The comprehensive ability to improve the speed of operation, the Fast Fourier Transform in the production and life have a very important role in learning to master all have great significance.Key words Fast Fourier Transform; fast algorithm; simplified; widely used目录摘要………………………………………………………………………………１ABSTRACT………………………………………………………………………２绪论………………………………………………………………………………４快速傅里叶变换原理……………………………………………………………５快速傅里叶的实际应用…………………………………………………………７１快速傅里叶变换在喇曼光谱信号噪声平滑中的应用…………………７引言………………………………………………………………………７实验原理及结果…………………………………………………………８结论………………………………………………………………………９２采用异步实现的快速傅里叶变换处理器………………………………９引言……………………………………………………………………９实验原理及结果………………………………………………………１０结论……………………………………………………………………１０３快速傅里叶算法在哈特曼夏克传感器波前重构算法中的应用………１１引言……………………………………………………………………１１实验原理及结果………………………………………………………１１结论……………………………………………………………………１２参考文献…………………………………………………………………………１３绪论傅立叶变换在生产生活中的重要性非常突出，它将原来难以处理的时域信号相对比较容易地转换成了易于分析的频域信号，可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工，把信号转化为可以对其进行各种数学变化的数学公式，对其进行处理。
最后还可以.利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号，它是一种特殊的积分变换。
它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。
然尔，它在运算上过于复杂，过于宏大的运算过程，对于一些相对简单的低功耗处理器来说，难以自如应对，因此，快速傅里叶变换则显出了它的优越性。
快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。
对于计算机处理信号方面上是一大进步。
系统的速度不但取决于本身的速度，而且还在相当大的程度上取决于算法，算法运算量的大小直接影响着对设备的控制质量。
通过傅立叶变换（DFT），运用测试软件进行检测，可以看出快速傅里叶变换大大的提高了运算速度，它为各系统的设计提供了简单算法，有着十分重要的意义。
Ⅰ.快速傅里叶变换原理数字信号的傅里叶变换,通常采用离散傅里叶变换(DFT)方法。
DFT 存在的不足是计算量太大,很难进行实时处理。
计算一个N 点的DFT ,一般需要2N 次复数乘法和N(N-1)次复数加法运算.因此,当N 较大或要求对信号进行实时处理时,往往难以实现所需的运算速度。
1965年,J.W.Cooly 和J.W.Tukey 发现了DFT 的一种快速算法,经其他学者进一步改进, 很快形成了一套高效运算方法,这就是现在通用的快速傅里叶变换, 简称FFT( The Fast Fourier Transform)。
快速傅里叶变换的实质是利用式(1)中的权函数nkN W 的对称性和周期性,把N 点DFT 进行一系列分解和组合,使整个DFT 的计算过程变成一系列叠代运算过程,使DFT 的运算量大大简化,为DFT 及数字信号的实时处理和应用创造了良好的条件。
快速傅里叶变换算法如下：由(1)式可知，对每一个n ，计算X(ｎ)须作N 次复数乘法及N-1次复数加法，要完成这组变换共需次乘法及N(N-1)次复数加法。
但以下介绍的快速傅里叶变换的算法，可大大减少运算次数，提高工作效率。
当2r N =时，n 和k 可用二进制数表示：1212012022r r r r r r n n n n n n n ------=+++=1212012022r r r r r r k k k k k k k ------=+++=又记 NW e ρπ-=,则（1）式可改写为0011011112001200()()r p r r r r k k k X n n n x k k k W =-=----==∑∑∑（2）式中：1212120120(22)(22)r r r r r r r r P nk k k k n n n --------==+++⨯+++12112212011202(22)2(22)2r r r r r r r r r r r r n n n k n n n k PW WW------------++++++=120120(22)r r r r K n n n W ----+++ (3)因为22[]1rrN N WWe πρ===所以（2）可改成0011011112001200()()r r r r r k k k X n n n x k k k =-=----=∑∑∑12112212120112020120(22)2(22)2(22)r r r r r r r r r r r r r r r r n n n k n n n k K n n n W W W ----------------+++++++++ （4）201201300020()()r r r kx n n k k x n k k -=--=∑102(2)22r n n r k W -+- (5)120011()()r r r r X n n n x n n n ---=则式（５）即为式（４）的分解形式。
将初始数据代入式（５）的第一个等式，可得每一组计算数据，一般将痗L-1组计算数据代入式（５）的第L 个等式，计算后可得第L 组计算数据（L ＝１，２，…，γ），计算公式也可表示为10110200120()()r r r r kx n k k x k k k -=---=∑121200(22)r r r r n n n k W----+++=10121201012120(0)(0)P l r r r l r r r x n n n k k k x n n n k k k W --------+ （6）式中121120222r r r l l P n n n -----=+++ （7）根据式（６），第L个数组中每个120120()()l l r r r r x k x n n n k k k ----=的计算只依赖于上一个数组的两个数据这两个数据的标号相差12/2Y l N -=，即/2l j i n =+，而且这两个数据只用于计算第L 个数组中标号的数据（等号右端为二进制数）。