高中数学北师大版必修二课件：第一章 立体几何初步§6 6-2 (1)
2014届北师大版高中数学必修二(高一)课件 第一章§6.1
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 直线与平面垂直的判定 例1
在正方体A1B1C1D1-ABCD中，E，F分别是棱AB，BC的
中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.
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第一章
立体几何初步
【证明】 如图所示，连接AC，BD,则O是AC和BD的交点，∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BO，∵B1B⊥平面ABCD，AC
∴BB1⊥AC. ∵E、F分别是棱AB、BC的中点， ∴AC∥EF， ∴EF⊥BO，EF⊥BB1.
平面ABCD，
又∵BO∩BB1＝B，
∴EF⊥平面BB1O.
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第一章
立体几何初步
【名师点评】
证明直线与平面垂直时， 一定要证明直线和
平面内两条相交直线垂直，如果没有考虑相交的情况就可能 把本来不垂直的情况证明成垂直的，得到错误结论．
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第一章
立体几何初步
又∵ AO 平面 AA1C1C， ∴ BD⊥ A1O. 在矩形 AA1C1C 中，
2 A1O＝ AA1 ＋ AO2， 2 OM＝ MC2＋ OC2， A1M＝ A1C2 ＋ C M . 1 1
设正方体的棱长为 1， 则在△ A1OM 中， A1M2＝ A1O2＋ OM2， ∴∠ A1OM＝ 90° ，即 A1O⊥ OM. 又∵ BD∩ OM＝ O， BD 平面 MBD， OM 平面 MBD， ∴ A1O⊥平面 MBD.
平面角是直角 的二面角叫作直二面角． ⑤直二面角： _____________ (2)平面与平面的垂直 直二面角 ， ①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是 __________ 就说这两个平面互相垂直．
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新教材高中数学第6章立体几何初步6简单几何体的再认识 球的表面积和体积课件北师大版必修第二册
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
球的表面积
例 1 一个球内有相距9 cm的两个平行截面,面积分别为49π cm2和400π cm2,试求球的表面积．
[分析] 求球的表面积或体积只需要求出球的半径,要求球的半径只 需解球的半径、截面圆半径和球心到截面的距离组成的直角三角形．
[解析] (1)当球心在两个截面同侧时,如右图,设OD＝x,由题意知 π·CA2＝49π,
(B)
4．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为
A．R
B．2R
(D)
C．3R
D．4R
[解析] 设圆柱的高为h，则πR2h＝3·43πR3，∴h＝4R.
4π 5．球的表面积为4πcm2,则其体积为______3_cm3.
[解析] 设球的半径为r，则4πr2＝4π，∴r＝1(cm)． ∴V＝43πr3＝43π(cm3)．
知识点2 球的表面积和体积公式 S球面＝__4_π_R__2 __,V球＝_____43_π_R_3.其中R为球的半径．
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)球心和球的小圆圆心的连线和球的小圆垂直．
(2)球的表面积S和体积V的大小是关于半径R的函数．
2．球的体积是323π，则此球的表面积是
知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为 4
3 ，底面周长
为3，那么这个球的体积为___3_π__.
[分析] 要求球的体积，关键是求出其半径R，而正六棱柱外接球的 直径恰好是正六棱柱的体对角线长．
[解析] ∵底面是正六边形， ∴边长为12.∴AD＝1． AD1为球直径，其长度为 3＋1＝2，∴R＝1． ∴V＝43πR3＝43π.
第1章 §2 直观图-2020秋北师大版高中数学必修二课件(共55张PPT)
小 结
·
探
提
新 你发现直观图的面积与原图形面积有何关系？
素
知
养
合
课
作
时
探
分
究
层
释
作
疑
业
难
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·
32
·
自
课
主
堂
预
小
习
结
探
提示：由题意，易知在△ABC 中，AC⊥AB，且 AC＝6，AB＝3， 提
·
新
素
知
∴S△ABC＝12×6×3＝9.
养
合
课
作 探 究
又
S△A′B′C′＝12×3×(3sin
45°)＝9 4 2，∴S△A′B′C′＝
结
探
OB＝2O′B′＝2 2，OC＝O′C′＝AB＝
·
提
新
素
知 A′B′＝1，
养
·
·
合
且 AB∥OC，∠BOC＝90°.
BC ＝ B′C′ ＝ 1 ＋
2，在
y
轴上截取线段
BA ＝
课 堂
预
小
习 2B′A′＝2.
·
结
探
提
新 知
过 A 作 AD∥BC，截取 AD＝A′D′＝1.
素 养
·
·
合
连接 CD，则四边形 ABCD 就是四边形 A′B′C′D′的平面图 课
作
时
探 形．
分
究
层
释 疑
四边形 ABCD 为直角梯形，上底 AD＝1，下底 BC＝1＋
自
课
主
堂
预
小
习
结
高中数学必修二第一章立体几何初步知识点
高中数学必修二第一章立体几何初步知识点立体几何初步是高中数学必修二第一章的内容，有哪些知识点需要掌握的呢?下面是店铺给大家带来的高中数学必修二立体几何初步知识点，希望对你有帮助。
高中数学必修二第一章立体几何初步棱柱表面积A=L*H+2*S,体积V=S*H(L--底面周长,H--柱高,S--底面面积)圆柱表面积A=L*H+2*S=2π*R*H+2π*R^2,体积V=S*H=π*R^2*H(L--底面周长,H--柱高,S--底面面积,R--底面圆半径)球体表面积A=4π*R^2,体积V=4/3π*R^3(R-球体半径)圆锥表面积A=1/2*s*L+π*R^2,体积V=1/3*S*H=1/3π*R^2*H (s--圆锥母线长,L--底面周长,R--底面圆半径,H--圆锥高)棱锥表面积A=1/2*s*L+S,体积V=1/3*S*H(s--侧面三角形的高,L--底面周长,S--底面面积,H--棱锥高)长方形的周长=(长+宽)×2 正方形 a—边长 C=4aS=a2 长方形 a和b-边长 C=2(a+b)S=ab 三角形 a,b,c-三边长 h-a边上的高s-周长的一半 A,B,C-内角其中s=(a+b+c)/2 S=ah/2 =ab/2·sinC [s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2a2sinBsinC/(2sinA) 四边形d,D-对角线长α-对角线夹角S=dD/2·sinα 平行四边形 a,b-边长 h-a边的高α-两边夹角S=ah =absinα =菱形 a-边长α-夹角 D-长对角线长 d-短对角线长 S=Dd/2=a2sinα 梯形 a和b-上、下底长 h-高m-中位线长 S=(a+b)h/2 =mh d-直径C=πd=2πrS=πr2 =πd2/4 扇形 r—扇形半径正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积= (长×宽+长×高+宽×高)×2 长方体的体积 =长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体(正方体、圆柱体)的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S a—圆心角度数C=2r+2πr×(a/360) S=πr2×(a/360)弓形l-弧长b-弦长h-矢高r-半径α-圆心角的度数S=r2/2·(πα/180-sinα) =r2arccos[(r-h)/r] -(r-h)(2rh-h2)1/2 =παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2=r(l-b)/2 + bh/2≈2bh/3 圆环R-外圆半径r-内圆半径D-外圆直径d-内圆直径S=π(R2-r2)=π(D2-d2)/4 椭圆 D-长轴 d-短轴S=πDd/4立方图形名称符号面积S和体积V 正方体 a-边长 S=6a2 V=a3 长方体 a-长 b-宽 c-高 S=2(ab+ac+bc)V=abc 棱柱 S-底面积 h-高 V=Sh 棱锥 S-底面积h-高V=Sh/3 棱台S1和S2-上、下底面积h-高V=h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3拟柱体 S1-上底面积 S2-下底面积S0-中截面积 h-高 V=h(S1+S2+4S0)/6圆柱 r-底半径 h-高 C—底面周长S底—底面积 S侧—侧面积 S表—表面积C=2πr S底=πr2S侧=Ch S表=Ch+2S底 V=S底h =πr2h空心圆柱 R-外圆半径 r-内圆半径h-高V=πh(R2-r2) 直圆锥 r-底半径 h-高V=πr2h/3圆台 r-上底半径 R-下底半径h-高V=πh(R2+Rr+r2)/3 球 r-半径d-直径V=4/3πr3=πd2/6 球缺 h-球缺高 r-球半径a-球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6 =πh2(3r-h)/3 a2=h(2r-h) 球台r1和r2-球台上、下底半径 h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/6 圆环体 R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=2π2Rr2 =π2Dd2/4桶状体 D-桶腹直径 d-桶底直径 h-桶高V=πh(2D2+d2)/12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心) V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)三视图的投影规则是：主视、俯视长对正主视、左视高平齐左视、俯视宽相等点线面位置关系公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上公理三：三个不共线的点确定一个平面推论一：直线及直线外一点确定一个平面推论二：两相交直线确定一个平面推论三：两平行直线确定一个平面公理四：和同一条直线平行的直线平行异面直线定义：不平行也不相交的两条直线判定定理：经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线。
2014届北师大版高中数学必修二(高一)课件 第一章§6.2
(1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB.
栏目 导引
第一章
立体几何初步
【证明】 (1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB ＝60°， ∴△ABD为正三角形． ∵G是AD的中点，∴BG⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴BG⊥平面PAD.
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 线面垂直的性质定理的应用 例1 如图,已知直线a⊥α，直线b⊥β，且AB⊥a，AB⊥b, 平面α∩β＝c.求证：AB∥c.
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第一章
立体几何初步
【证明】 如图，过点 B 作直线 a′∥ a， a′与 b 确定的 平面设为 γ. 因为 a′∥ a， AB⊥ a，所以 AB⊥ a′， 又 AB⊥ b，a′∩b＝ B， 所以 AB⊥ γ. 因为 b⊥ β， c β， 所以 b⊥ c.① 因为 a⊥ α， c α，所以 a⊥ c， 又 a′∥a，所以 a′⊥ c.② 由①②可得 c⊥ γ，又 AB⊥ γ，所以 AB∥ c.
栏目 导引
第一章
立体几何初步
做一做
判断下列说法是否正确．
(1)若两个平面垂直，经过一个平面内一点垂直于另一平
面的垂线必在该平面内．( √ ) (2)垂直于同一平面的两直线平行．( √ ) (3)两平行直线中，若其中一条垂直于平面，则另一条直 线也垂直于该平面．( √ )
栏目 导引
第一章
立体几何初步
(3)直线必须垂直于两平面的交线．
栏目 导引
第一章
立体几何初步
跟踪训练 2．如图，S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面 SAB⊥平面SBC. 求证：AB⊥BC.
2014届北师大版高中数学必修二(高一)课件 第一章§1.1
圆锥；若绕其斜边所在的直线旋转得到的是两个同底面圆锥
构成的一个几何体，如图(1)．B项错误，没有说明这两个平行 截面的位置关系,当这两个平行截面与底面平行时正确，其他
情况则结论是错误的，如图 (2) ． D 项错误，通过圆台侧面上
一点，只有一条母线，如图(4)．C项正确，如图(3)．
栏目 导引
第一章
由圆柱、圆锥、圆台定义可知,三者分别为矩形、
三角形、直角梯形旋转而得，所以其上、下底面都是圆面， 故正确； B 圆台的母线是直角梯形不垂直于旋转轴的边，不
是上、下底面圆周上任意两点的连线，故错误； C 球的截面
一定是圆，用平行于圆柱底面的面截圆柱得到的截面是圆， 其他平面截得的截面不是圆，故错误； D 以直角三角形的一 条直角边所在的直线为轴旋转，其余各边旋转而成的旋转面 形成的曲面所围成的几何体叫作圆锥，以斜边为轴旋转形成
第一章
立体几何初步
第一章 立体几何初步
栏目 导引
第一章
立体几何初步
§1 简单几何体
1．1 简单旋转体栏目 导引Fra bibliotek第一章
立体几何初步
学习导航
学习目标
理解
实例 ― ― → 旋转体
了解
― ― → 圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征 重点难点 重点：圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征．
难点：多面体和旋转体概念的理解及几何体形状的判断．
栏目 导引
第一章
立体几何初步
想一想 2.“ 直角三角形绕其一边旋转一周所形成的几何体必是圆
锥”，这种说法正确吗？
提示：不正确，当以斜边所在直线为轴旋转时，其余各边 旋转形成的曲面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，是
由两个同底圆锥组成的几何体．
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.6 棱柱、棱锥、棱
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 2】 已知正六棱台的两底面边长分别为 1 cm 和 2 cm,高是 1 cm,求它的侧面积.
解:如图所示是正六棱台的一个侧面及其高组成 的一部分(其余部分省略),则侧面 ABB1A1 为等腰梯 形,OO1 为高,且 OO1=1 cm,AB=1 cm,A1B1=2 cm,取 AB 和 A1B1 的中点 C,C1,连接 OC,CC1,O1C1,则 CC1 为正六 棱台的斜高,且四边形 OO1C1C 为直角梯形.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】 如图所示,正四棱锥底面正方形的边长为 4 cm,高与斜 高的夹角为 30°,求该正四棱锥的侧面积和表面积.
思路分析:根据多面体的侧面积公式,必须求出相应多面体的底面边长 和各侧面的斜高,我们可以把问题转化到三角形内加以分析求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:正四棱锥的高 PO,斜高 PE,底面边心距 OE 组成一个 Rt△POE. 因为 OE=2 cm,∠OPE=30°, 所以 PE=sin���3������0��� °=4(cm).
思考 1 斜棱柱的侧面展开图是什么?它的侧面积如何求解?
提示:斜棱柱的侧面展开图是一些平行四边形连接起来的不规则图形, 它的侧面积等于各个侧面面积之和,也等于直截面(与侧棱垂直相交的截面) 的周长与侧棱长的乘积.
2.圆柱、圆锥的侧面积 几何体 侧面展开图 圆柱
圆锥
侧面积公式
S 圆柱侧=2πrl r 为底面半径 l 为侧面母线长
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
课程目标
1.掌握棱柱、棱锥和棱台的表面积公式 的推导方法,进一步加强空间问题与平 面问题相互转化的思想,并熟练运用公 式求面积. 2.了解棱柱、棱锥和棱台的侧面积的求 法——侧面展开图. 3.了解球的表面积公式,并会熟练运用公 式求球的表面积. 4.了解旋转体的构成,并会求旋转体的表 面积.
高中数学北师大版必修二课件：第一章 立体几何初步
向量的加法运算：向量加法遵循平行四边形 法则如(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)
添加 标题
向量的减法运算：向量减法遵循平行四边形 法则如(x1, y1, z1) - (x2, y2, z2) = (x1x2, y1-y2, z1-z2)
向量积的坐标表示：两个向量的向 量积的坐标表示为两个向量坐标的 乘积
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
混合积：三个向量的混合积是一个 向量其坐标表示为三个向量坐标的 乘积
混合积的坐标表示：三个向量的混 合积的坐标表示为三个向量坐标的 乘积
总结与展望
本章内容的总结与回顾
本章主要介绍了立体几何的基本概念和性质包括点、线、面、体等。 学习了立体几何的度量方法如长度、角度、体积等。 掌握了立体几何的证明方法如平行、垂直、相似等。 学习了立体几何的应用如空间图形的绘制、空间物体的测量等。 展望未来我们将继续深入学习立体几何掌握更多的知识和技能为未来的学习和工作打下坚实的基础。
棱锥的表面积和体积
棱锥的定义： 由一个多边 形底面和若 干个侧面组 成的几何体
棱锥的表面 积：底面积+ 侧面积
棱锥的体积： 底面积×高 ÷3
棱锥的表面 积和体积的 计算公式： S=πr²+n(l ×h)V=πr²h /3
棱锥的表面 积和体积的 应用：建筑、 工程等领域
球的表面积和体积
球的表面积：4πr^2 球的体积：4/3πr^3 球的表面积和体积公式推导 球的表面积和体积在实际生活中的应用
几何性质：立体几何具有空间位置、 形状、大小等性质平面几何具有位 置、形状等性质
2014届北师大版高中数学必修二(高一)课件 第一章§2
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第一章
立体几何初步
3．立体图形的直观图的画法 立体图形与平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应于z 轴的是z′轴,平面x′O′y′水平平面 表示___________,平面y′O′z′ 和x直立平面 ′O′z′表示___________．平行于z轴的线段，在直观图 长度 都不变． 平行性 和______ 中________
D′F′＝2.5.
(5)连线成图(擦去辅助线)(如图)．
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第一章
立体几何初步
【名师点评】 (1)斜二测画法可根据意义记为“斜”“二 测”，即“斜” ——轴成 45° 角；“二测”——横不变，纵 减半． (2)解决此类问题的步骤是 建系 → 定点 → 连线 → 成图 . (3)画直观图时，选择不同的坐标系，图形的画法可能不同， 所以选取恰当的坐标系原点， 能使整个作图变得简便， 若点 所在的线段不与坐标轴平行， 则寻找平行于坐标轴或在坐标 轴上的线段，根据平行于 x 轴的长度不变，平行于 y 轴的长 度减半的原则画出．
(3)画侧棱．过A、B、C、D、E、F各点分别作z轴的平行线,并
在这些平行线上分别截取AA′＝BB′＝CC′＝DD′＝EE′＝ FF′＝3 cm.
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第一章
立体几何初步
(4)成图．依次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，
E′F′，F′A′，并加以整理，即得底面边长为2 cm，高为3 cm的正六棱柱的直观图．如图所示．
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第一章
立体几何初步
【名师点评】
(1)用斜二测画法画空间几何体的直观图的画
法规则可简记为：两轴夹角为45°，竖轴垂直仍不变，平行不
变，长度变，横竖不变，纵折半． (2)画空间图形直观图的主要步骤为： ①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图．
高中数学 第一章 立体几何初步 1.7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积 1.7.3 球
7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积7.3 球的表面积和体积学习目标 1.理解柱体、锥体、台体的体积公式(重点)；2.理解球的表面积和体积公式(重点)；3.能运用体积公式求解有关的体积问题，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系(重、难点).知识点一 柱、锥、台体的体积公式几何体体积公式柱体圆柱V 柱体＝ShS —柱体底面积 h —柱体的高棱柱 锥体圆锥V 锥体＝13ShS —锥体底面积 h —锥体的高 棱锥 台体圆台V 台体＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)·hS 上、S 下—台体的上、下底面面积，h —高棱台【预习评价】简单组合体分割成几个几何体，其表面积如何变化？其体积呢？ 提示 表面积变大了，体积不变. 知识点二 球的体积公式与表面积公式 1.球的体积公式V ＝43πR 3(其中R 为球的半径).2.球的表面积公式S ＝4πR 2. 【预习评价】球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ 提示 球没有底面，球的表面不能展开成平面.题型一 柱体、锥体、台体的体积【例1】 (1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.解析 由所给三视图可知，该几何体是由相同底面的两个圆锥和一个圆柱组成，底面半径为1 m ，圆锥的高为1 m ，圆柱的高为2 m ，因此该几何体的体积V ＝2×13×π×12×1＋π×12×2＝83π(m 3). 答案 83π(2)在四棱锥E －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设E －ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M －EBC 的体积为多少？解 如图，设点B 到平面EMC 的距离为h 1，点D 到平面EMC 的距离为h 2. 连接MD .因为M 是AE 的中点， 所以V M －ABCD ＝12V .所以V E －MBC ＝12V －V E －MDC .而V E －MBC ＝V B －EMC ，V E －MDC ＝V D －EMC ， 所以V E －MBC V E －MDC ＝V B －EMC V D －EMC ＝h 1h 2. 因为B ，D 到平面EMC 的距离即为到平面EAC 的距离，而AB ∥CD ，且2AB ＝3CD ，所以h 1h 2＝32.所以V E －MBC ＝V M －EBC ＝310V .规律方法 (1)求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的投影组成直角三角形，进而求解. (2)锥体的体积公式V ＝13Sh 既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以是正棱锥，也可以不是正棱锥.(3)三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面，所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换，这一方法叫作等积法.(4)台体的体积计算公式是V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h ，其中S 上，S 下分别表示台体的上、下底面的面积.计算体积的关键是求出上、下底面的面积及高，求解相关量时，应充分利用台体中的直角梯形、直角三角形.另外，台体的体积还可以通过两个锥体的体积差来计算. 【训练1】 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1 B.π2＋3 C.3π2＋1 D.3π2＋3 解析 由三视图可知原几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，半圆锥的底面半径为1，高为3，三棱锥的底面积为12×2×1＝1，高为3.故原几何体体积为：V ＝12×π×12×3×13＋1×3×13＝π2＋1.答案 A【训练2】 四边形ABCD 中，A (0，0)，B (1，0)，C (2，1)，D (0，3)，绕y 轴旋转一周，求所得旋转体的体积.解 ∵C (2，1)，D (0，3)， ∴圆锥的底面半径r ＝2，高h ＝2. ∴V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×22×2＝83π. ∵B (1，0)，C (2，1)，∴圆台的两个底面半径R ＝2，R ′＝1，高h ′＝1. ∴V 圆台＝13πh ′(R 2＋R ′2＋RR ′)＝13π×1×(22＋12＋2×1)＝73π， ∴V ＝V 圆锥＋V 圆台＝5π.【训练3】 如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明PQ ⊥平面DCQ ；(2)求棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值. (1)证明 由条件知PDAQ 为直角梯形. 因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD . 又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ， 所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC . 在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ ＝22PD ，则PQ ⊥QD .又DC ∩QD ＝D .所以PQ ⊥平面DCQ . (2)解 设AB ＝a .由题设知AQ 为棱锥Q －ABCD 的高， 所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝13a 3.由(1)知PQ 为棱锥P －DCQ 的高. 而PQ ＝2a ，△DCQ 的面积为22a 2， 所以棱锥P －DCQ 的体积V 2＝13a 3.故棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值为1.题型二 球的表面积和体积【例2】 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为5003π，求它的表面积.解 (1)设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4， 所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝2563π.(2)设球的半径为R ，则43πR 3＝5003π，解得R ＝5，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.规律方法 (1)已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积. (2)已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径.【训练4】 (1)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比是________.(2)如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为________.解析 (1)设圆锥的底面半径为R ， 由题意知球的半径为R2， V 圆锥＝13πR 2h (h 为圆锥的高)，V 球＝43π(R 2)3＝16πR 3，∴13πR 2h ＝16πR 3，h ＝12R ，则圆锥的母线l ＝R 2＋h 2＝52R ， 圆锥的侧面积为π×R ×52R ＝52πR 2. 球的表面积为4π×(R2)2＝πR 2. ∴圆锥的侧面积与球面面积之比为5∶2.(2)由三视图知该几何体由圆锥和半球组成，且球的半径和圆锥底面半径都等于3，圆锥的母线长等于5，所以该几何体的表面积为S ＝2π×32＋π×3×5＝33π. 答案 (1)52(2)33π【例3】 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的直径为( )A.3172B.210C.13D.310解析 因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直.△ABC 的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC ，其中点是球心，即侧面B 1BCC 1，经过球的球心，球的直径是侧面B 1BCC 1的对角线的长，因为AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，BC 1＝52＋122＝13，所以球的直径为13.答案 C【迁移1】 本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R ，内切球的半径为r . 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43， 从而V 外接球＝43πR 3＝43π×(23)3＝323π，V 内切球＝43πr 3＝43π×23＝32π3. 【迁移2】 本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为多少？解 设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径r 为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa 26＝63π. 【迁移3】 本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是32的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？解 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为（32）2－（12×6）2＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.规律方法 空间几何体与球接、切问题的求解方法：(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解. (2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解(其R为球的半径).课堂达标1.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( ) A.43π B.8π3C.43πD.323π解析 由题意可知，6a 2＝24，∴a ＝2. 设正方体外接球的半径为R ，则3a ＝2R ，∴R ＝3，∴V 球＝43πR 3＝43π.答案 C2.已知高为3的直棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B 1－ABC 的体积为( ) A.14 B.12 C.36D.34解析 S 底＝12×1×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，所以V 三棱锥B 1－ABC ＝13S 底·h ＝13×34×3＝34.答案 D3.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________.解析 由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面圆面积的和，即12×4π＋π＝3π.答案 3π4.一个几何体的三视图(单位：m)如图所示，则该几何体的体积为________ m 3.解析 由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为32；上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1， 所以V ＝43π×278×2＋1×3×6＝9π＋18(m 3).答案 9π＋185.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面积. 解 如图，设球心为O ，半径为r ，则Rt△AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94，∴该球的表面积为4πr 2＝4π×(94)2＝814π.课堂小结1.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为2.在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3VS △BCD.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC ，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求.3.求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.4.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算.5.解决球与其他几何体的切接问题，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算.基础过关1.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A.16B.13C.23D.1解析 如图，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，有一条侧棱和底面垂直，且其长度为2，故三棱锥的高为2，故其体积V ＝13×12×1×1×2＝13，故选B. 答案 B2.已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线的长是214，则这个长方体的体积是( ) A.6B.12C.24D.48解析 设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x 、2x 、3x (x >0)，又对角线长为214，则x 2＋(2x )2＋(3x )2＝(214)2，解得x ＝2，∴三条棱长分别为2、4、6，∴V 长方体＝2×4×6＝48. 答案 D3.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.2π＋2 3B.4π＋2 3C.2π＋233D.4π＋233解析 该空间几何体由一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为13×(2)2×3＝233，所以该几何体的体积为2π＋233.答案 C4.圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析 设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r ＝6πr 3，高度为8 cm 的水的体积为8πr 2，3个球的体积和为3×43πr 3＝4πr 3，由题意6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得r ＝4 cm. 答案 45.如图为某个几何体的三视图，则该几何体的体积为________.解析 由三视图可知，该几何体是由一个正四棱柱挖掉一个半圆锥所得到的几何体，其直观图如图所示，其中正四棱柱的底面正方形的边长a ＝2，半圆锥的底面半径r ＝1，高h ＝3，所以正四棱柱的体积V 1＝a 2h ＝22×3＝12，半圆锥的体积V 2＝12×π3r 2h ＝π6×12×3＝π2，所以该几何体的体积V ＝V 1－V 2＝12－π2. 答案 12－π26.如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求A 到平面A 1BD 的距离d .解 在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1⊥平面ABD ，AB ＝AD ＝AA 1＝a ，A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ，∵V A 1－ABD ＝V A －A 1BD ，∴13×12a 2×a ＝13×12×2a ×32×2a ×d . ∴d ＝33a . 7.已知底面半径为 3 cm ，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积.解 作轴截面如图，设挖去的圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则l ＝（6）2＋（3）2＝9＝3(cm)，r ＝ 3 (cm).故几何体的表面积为 S ＝πrl ＋πr 2＋2πrAD＝π×3×3＋π×(3)2＋2π×3× 6＝33π＋3π＋62π＝(33＋3＋62)π(cm 2).几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝πr 2AD －13πr 2AD ＝π×3×6－13×π×3× 6 ＝26π(cm 3).能力提升8.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4C.π2D.π4 解析 如图画出圆柱的轴截面ABCD ，O 为球心.球半径R ＝OA ＝1，球心到底面圆的距离为OM ＝12. ∴底面圆半径r ＝OA 2－OM 2＝32，故圆柱体积V ＝πr 2h ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝3π4. 答案 B9.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )A.500π3cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3 cm 3 解析 作出该球的轴截面图如图所示，依题意BE ＝2，AE ＝CE ＝4，设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，因为AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3，故该球的半径AD ＝5，所以V ＝43πR 3＝500π3(cm 3). 答案 A10.若球的半径由R 增加为2R ，则这个球的体积变为原来的________倍，表面积变为原来的________倍.解析 球的半径为R 时，球的体积为V 1＝43πR 3，表面积为S 1＝4πR 2，半径增加为2R 后，球的体积为V 2＝43π(2R )3＝323πR 3，表面积为S 2＝4π(2R )2＝16πR 2. 所以V 2V 1＝323πR 343πR 3＝8，S 2S 1＝16πR 24πR 2＝4， 即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍.答案 8 411.已知三棱锥A －BCD 的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为________. 解析 如图，构造正方体ANDM －FBEC .因为三棱锥A －BCD 的所有棱长都为2，所以正方体ANDM －FBEC 的棱长为1.所以该正方体的外接球的半径为32. 易知三棱锥A －BCD 的外接球就是正方体ANDM －FBEC 的外接球，所以三棱锥A －BCD 的外接球的半径为32.所以三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为S 球＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3π. 答案 3π12.已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝18，BC ＝24，AC ＝30，求球的表面积和体积.解 ∵AB ∶BC ∶AC ＝18∶24∶30＝3∶4∶5，∴△ABC 是直角三角形，∠B ＝90°.∵球心O 到截面△ABC 的投影O ′为截面圆的圆心，也即是Rt△ABC 的外接圆的圆心，∴斜边AC 为截面圆O ′的直径(如图所示).设O ′C ＝r ，OC ＝R ，则球半径R ，截面圆半径r ，在Rt△O ′CO 中，由题设知sin∠O ′CO ＝OO ′OC ＝12， ∴∠O ′CO ＝30°，∴rR ＝cos 30°＝32，即R ＝23r ，① 又2r ＝AC ＝30⇒r ＝15，代入①得R ＝10 3.∴球的表面积为S ＝4πR 2＝4π(103)2＝1 200π.球的体积为V ＝43πR 3＝43π(103)3＝4 0003π. 13.(选做题)有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度. 解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面.根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V＝V 圆锥－V 球＝13π·(3r )2·3r －43πr 3＝53πr 3， 而将球取出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ， 从而容器内水的体积是V ′＝13π·(33h )2·h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h ＝315r . 即容器中水的深度为315r .。
6.3球的表面积和体积(教学课件)-高中数学北师大版(2019)必修第二册
探究三 球的体积
情境引入
新知探究
新知探究
应用举例
巩固练习
课堂小结
布置作业
看微课，回答问题
问题4 如何求球的体积？
探究三 球的体积
问题4 如何来求球的体积？
情境引入
用距圆柱下底面高为ℎ的平面分别截这两个几何体，
新知探究
新知探究
截得左边几何体的截面面积为：1 = π2 − πℎ2 ，
情境引入
新知探究
应用举例
巩固练习
巩固练习
课堂小结
布置作业
练习2 表面积与圆柱的侧面积之比是(
D )
A．3∶2
B．2∶3
C．1∶2
D．1∶1
课堂小结
情境引入
本节课你学到了什么？
新知探究
应用举例
巩固练习
课堂小结
课堂小结
布置作业
简
单
几
何
体
的
再
认
识
球的表面积
球的体积
布置作业
情境引入
1.已知过球面上, , 三点的截面和球心的距离为球半
新知探究
应用举例
径的一半，且 = = = 2,求球的表面积.
2.两个球的半径相差1,表面积之差为28π,求它们的体积
之和.
巩固练习
课堂小结
布置作业
布置作业
3.已知球的大圆周长为16π cm,求这个球的表面积.
这些小锥体的底面并不是真正
的多边形，但只要这些小锥体的底
面足够地小，就可以把它们近似地
看成棱锥．
例1 如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌，
情境引入
新知探究
北师大版必修第二册第六章立体几何初步专题课：平面与平面垂直的证明技法课件
证明：取BC的中点D，连接AD，SD。由题意知
, 为等边三角形，所以 = ,易证 ⊥
。
因为 ∆是等腰直角三角形，所以 =SD，可得
2
2
2
2
2
2
+ = + = = 。
在 ∆中，由勾股定理的逆定理知 ⊥SD.由 ∩
B.垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C.两个平面与第三个平面垂直，则这两个平面互相平行
D.两个平行平面中的一个平面与第三个平面垂直，则另一
个平面也与第三个平面垂直
分析：本题主要考查空间直线与直线，直线与平
面，平面与平面的位置关系。
解：对于A，平行于同一个平面的两条直线可能
的位置关系有相交、异面、平行，因此不一定是
互相平行。
对于B，垂直于同一条直线的两条直线的位置关
系有平行、相交、异面，因此不一定是互相平行。
对于C，如图3所示，平面ABC与平面ABE都垂直
平面BCE，但平面ABC与平面ABE相交 。D是正
确的。
说明
这种方法用的比较少，在理论中行得通，
在实践中，针对性的题比较少。
四、向量法
已知两个平面α，β，两个平面的法向量分别为
垂线在平面BDM内.
(1)如图所示，取EC的中点F，连接DF.
∵EC⊥平面ABC，
∴EC⊥BC，
又由已知，易得DF∥BC，
∴DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中，EF＝EC＝BD，
且由已知，易得FD＝BC＝AB，
∴Rt△DFE≌Rt△ABD，故ED＝DA.
(2)取CA的中点N，连接MN，BN，
则MN∥EC，又BD∥CE，且MN=EC，又BD=CE
北师大版高中数学必修2课件1.3简单组合体的三视图课件(北师大版)
平行投影
把在一束平行光线照射下形成的投影，叫平行投影
投影线平行
投影法分类 投影法
中心投影法 平行投影法 正投影 斜投影
一、三视图相关概念
视图
正投影
从上面看
主视图
正面
主视图 高 长
左视图 宽 宽
从左面看
俯视图
从正面看
你能总结出三视图的概念吗
三视图概念：
将空间图形分别从正面，左面和上面向三个两两 垂直的平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布
作业
1.预习下一节“三视图的还原” 2.课本P22 习题1.2 A组 1、2
4.检查。
我相信你一定能画 出这个复杂几何体 的三视图！
巩固提高
10 6 12 8
组合体的三视图
归纳总结
1.三视图 主视图——从正面看到的图 左视图——从左面看到的图
俯视图——从上面看到的图
2.画物体的三视图时,要符合如下原则: 位置： 主视图 左视图 俯视图 大小：长对正,高平齐,宽相等。
北京师范大学出版社 | 必修二
第一章 · 立体几何初步
简单组合体的三视图
横看成岭侧成峰， 远近高低各不同。 不识庐山真面目， 只缘身在此山中。 ——苏轼
新课导入
中心投影
把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影
投影线交于一点，随着 物体距离光源（屏幕） 的远近，形成的投影大 小不同，相似图形。
局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的
三视图。
三视图的形成及其投影规则(1)
三视图的形成及其投影规则(2)
二、三视图的作图规则 主—俯：长对正 主—左：高平齐 左—俯：宽相等
主 视 图 左视图
俯视图
新教材高中数学第6章立体几何初步§66.1柱锥台的侧面展开与面积课件北师大版必修第二册
知识点 2 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
多面体
侧面展开图
侧面积公式
直棱柱
S 直棱柱侧＝_c_h__ c—底面周长，h—高
多面体 正棱锥
侧面展开图
侧面积公式
S 正棱锥侧＝12ch′ c—底面周长， h′—棱
侧面积公式
S 正棱台侧＝12(c1＋c2)h′ c1，c2—上、下底面周长 h′—棱台侧面的高
2.如何求一个斜棱柱的侧面积？ 提示：求出各侧面的面积，各侧面的面积之和就是斜棱柱的侧面 积．
2.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)斜三棱柱的侧面积也可以用 cl 来求解，其中 l 为侧棱长，c 为
底面周长．
()
(2)多面体的表面积等于各个面的面积之和．
()
(3)圆柱的一个底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么这个
∴S 表＝π·EC·DC＋π(EC＋AB)·BC＋π·AB2＝4 2π＋35π＋25π ＝60π＋4 2π.
NO.3 当堂达标·夯基础
1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为 1，2，3，则该长 方体的表面积为( )
A．22 B．20 C．10 D．11 A [所求长方体的表面积 S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3) ＝22.]
圆柱的侧面积是 2πS.
()
[提示] (1)错误．若斜三棱柱的侧面多边形的高与侧棱长 l 不相 等时，不能用公式 cl 来求解．
(2)正确． (3)错误．圆柱的侧面积是 4πS. [答案] (1)× (2)√ (3)×
NO.2
合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 旋转体的侧面积 【例 1】 (教材北师版 P238 例 1 改编)设圆台的高为 3，在轴截面 中，母线 AA1 与底面圆直径 AB 的夹角为 60°，且轴截面的一条对角 线垂直于腰，求圆台的侧面积．
北师大版必修二数学教材帮目录
北师大版必修二数学教材帮目录第一章立体几何初步(第1页)第一章立体几何初步(第2页)1.1简单旋转体(第3页)1.2简单多面体(第4页)1.2简单多面体(第5页)习题1-1(第6页)2.直观图(第7页)2.直观图(第8页)2.直观图(第9页)2.直观图(第10页)2.直观图(第11页)习题1-2(第12页)3.1简单组合体的三视图(第13页)3.1简单组合体的三视图(第14页）3.1简单组合体的三视图(第15页)3.2由三视图还原成实物图(第16页)3.2由三视图还原成实物图(第17页)习题1-3(第18页)习题1-3(第19页)习题1-3(第20页)习题1-3(第21页)4.1空间图形基本关系的认识(第22页) 4.2空间图形的公理(第23页)4.2空间图形的公理(第24页)4.2空间图形的公理(第25页)习题1-4(第26页)习题1-4(第27页)5.1平行关系的判定(第28页)5.1平行关系的判定(第29页)5.2平行关系的性质(第31页)5.2平行关系的性质(第32页)5.2平行关系的性质(第33页)习题1-5(第34页)6.1垂直关系的判定(第35页)6.1垂直关系的判定(第36页)6.1垂直关系的判定(第37页)6.2垂直关系的性质(第38页)6.2垂直关系的性质(第39页)6.2垂直关系的性质(第40页)习题1-6(第41页)习题1-6(第42页)7.1简单几何体的侧面积(第43页) 7.1简单几何体的侧面积(第44页)7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积(第45页) 7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积(第46页) 7.3球的表面积和体积(第47页)习题1-7(第48页)习题1-7(第49页)阅读材料蜜蜂是对的(第50页)课题学习正方体截面的形状(第51页)本章小结(第52页)本章小结(第53页)复习题一(第54页)复习题一(第55页)复习题一(第56页)第二章解析几何初步(第57页)第二章解析几何初步(第58页)1.1直线的倾斜角和斜率(第59页)1.1直线的倾斜角和斜率(第60页)1.1直线的倾斜角和斜率(第61页)1.1直线的倾斜角和斜率(第62页)1.2直线的方程(第63页)1.2直线的方程(第64页)1.2直线的方程(第65页)1.2直线的方程(第66页)1.2直线的方程(第67页)1.3两条直线的位置关系(第68页)1.3两条直线的位置关系(第69页)1.4两条直线的交点(第70页)1.4两条直线的交点(第71页)1.5平面直角坐标系中的距离公式(第72页) 1.5平面直角坐标系中的距离公式(第73页) 1.5平面直角坐标系中的距离公式(第74页) 1.5平面直角坐标系中的距离公式(第75页) 习题2-1(第76页)习题2-1(第77页)2.1圆的标准方程(第78页)2.2圆的一般方程(第79页)2.2圆的一般方程(第80页)2.3直线与圆、圆与圆的位置关系(第81页) 2.3直线与圆、圆与圆的位置关系(第82页) 2.3直线与圆、圆与圆的位置关系(第83页) 2.3直线与圆、圆与圆的位置关系(第84页) 习题2-2(第85页)习题2-2(第86页)3.1空间直角坐标系的建立(第87页)3.2空间直角坐标系中点的坐标(第88页)3.2空间直角坐标系中点的坐标(第89页)3.3空间两点间的距离公式(第90页)3.3空间两点间的距离公式(第91页)3.3空间两点间的距离公式(第92页)习题2-3(第93页)阅读材料笛卡尔与解析几何(第94页)本章小结(第95页)本章小结(第96页)复习题二(第97页)复习题二(第98页)探究活动1打包问题(第99页)探究活动1打包问题(第100页)探究活动1打包问题(第101页)探究活动2追及问题(第102页)探究活动2追及问题(第103页)附录1部分数学专业词汇中英对照表(第104页)。
北师版高中数学必修第二册精品课件 第6章 构成空间几何体的基本元素 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
基本立体图形
1.1 构成空间几何体的基本元素
1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
一 题 多 变
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.了解空间几何体的分类及相关概念.
2.通过对实物模型的观察、归纳认识棱柱、棱
锥、棱台的结构特征.
3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现
实生活中简单几何体的结构和进行有关计算,提
升直观想象与数学运算的核心素养.
一、构成空间几何体的基本元素
【问题思考】
1.射线绕其顶点旋转一周的轨迹是什么?
提示:水平放置的射线绕顶点在水平面内旋转一周,可形成平
面.其他情况,可形成曲面.
2.如图6-1-1,该几何体是某同学课桌的大致轮廓,请你从这个
②多面体至少有四个面;
③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点.
其中,错误的个数是(
).
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:①显然是正确的;
对于②,显然一个图形要成为空间几何体,则它至少需有四个
顶点,因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形,当有四个
顶点时,易知它可以围成四个面,因而一个多面体至少应有四
个面,而且这样的面必是三角形,故②是正确的;
故△AEF 周长的最小值为√.
答图6-1-6
反思感悟 解决空间几何体表面上两点间的最短线路问题,一
般都是将空间几何体表面展开,转化为求平面内两点间的线
段长,这体现了数学中的转化思想.
【变式训练3】 如图6-1-6,已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为4 cm,高为10 cm,则一质点
自点A出发,沿着三棱柱的侧面,绕行两周到达点
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阶
段
段
一
三
6.2 垂直关系的性质
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
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1．理解直线与平面、平面与平面垂直的性质定理．(重点) 2．理解并掌握空间“平行”与“垂直”之间的相互转化．(难点、易错点) 3．能灵活地应用线面与面面垂直的性质定理证明有关问题．(难点)
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[基础·初探] 教材整理 1 直线与平面垂直的性质定理 阅读教材 P39“练习 2”以下至 P40“例 3”以上部分，完成下列问题． 1．文字语言：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 2．符号语言：l⊥α，m⊥α⇒ l∥m .
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[再练一题] 1．如图 1-6-21，已知平面 α∩平面 β＝l，EA⊥α，垂足为 A，EB⊥β，垂足 为 B，直线 a β，a⊥AB.求证：a∥l.
图 1-6-21
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【证明】 因为 EA⊥α，α∩β＝l， 即 l α，所以 l⊥EA.
同理 l⊥EB， 又 EA∩EB＝E， 所以 l⊥平面 EAB.因为 EB⊥β，a
【自主解答】 连接 AB1，B1C，BD，B1D1，如图所示． ∵DD1⊥平面 ABCD，AC 平面 ABCD，
∴DD1⊥AC. 又∵AC⊥BD，BD∩DD1＝D， ∴AC⊥平面 BDD1B1， ∴AC⊥BD1. 同理 BD1⊥B1C，又 AC∩B1C＝C，
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∴BD1⊥平面 AB1C. ∵EF⊥A1D，且 A1D∥B1C， ∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C， ∴EF⊥平面 AB1C，∴EF∥BD1.
β，所以 EB⊥a，
又 a⊥AB，EB∩AB＝B， 所以 a⊥平面 EAB，因此，a∥l.
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面面垂直性质的应用 如图 1-6-22，A，B，C，D 为空间四点，在△ABC 中，AB＝2，AC
＝BC＝ 2.等边三角形 ADB 以 AB 为轴转动．
(1)当平面 ADB⊥平面 ABC 时，求 CD； (2)当△ADB 转动时，是否总有 AB⊥CD？证明你的 结论.
【自主解答】 (1)如图，取 AB 的中点 E，连接 DE，CE.因为△ADB 是等 边三角形，所以 DE⊥AB.
当平面 ADB⊥平面 ABC 时，因为平面 ADB∩平面 ABC ＝AB，所以 DE⊥平面 ABC，可知 DE⊥CE.由已知可得 DE ＝ 3，EC＝1.
在 Rt△DEC 中，CD＝ DE2＋EC2＝2.
又 CD 平面 CDE，得 AB⊥CD.
综上所述，总有 AB⊥CD.
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1．面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法．所以当已 知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线，这样就可利用面面垂直证明线面 垂直．
2．证明线面垂直主要有两种方法，一种是利用线面垂直的判定定理，另一 种是利用面面垂直的性质定理．应用后者时要注意：(1)两个平面垂直；(2)直线 在一个平面内；(3)直线垂直于交线．以上三点缺一不可．
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(2)当△ADB 以 AB 为轴转动时，总有 AB⊥CD. 证明：①当 D 在平面 ABC 内时， 因为 AC＝BC，AD＝BD， 所以 C，D 都在线段 AB 的垂直平分线上，即 AB⊥CD. ②当 D 不在平面 ABC 内时，由(1)知 AB⊥DE. 又因 AC＝BC，所以 AB⊥CE. 又 DE∩CE＝E，所以 AB⊥平面 CDE.
A．n∥α
B．n∥α 或 n α
C．n α 或 n 与 α 不平行 D．n α 【解析】 ∵l α，且 l 与 n 异面，∴n⊆/ α.
又∵m⊥α，n⊥m，∴n∥α. 【答案】 A
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2．已知平面 α⊥平面 β，α∩β＝l，点 P∈l，给出下面四个结论：
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(2)当 F 为 PC 的中点时，满足平面 DEF⊥平面 ABCD. 证明：取 PC 的中点 F，连接 DE，EF，DF， 在△PBC 中，FE∥PB. 在菱形 ABCD 中，GB∥DE， 而 FE 平面 DEF，DE 平面 DEF，EF∩DE＝E，
∴平面 DEF∥平面 PGB. 由(1)得 PG⊥平面 ABCD，而 PG 平面 PGB，
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图 1-6-24
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【提示】 垂直．连接 AC. ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC⊥BD.又 SA⊥平面 ABCD，∴SA⊥BD， ∴BD⊥平面 SAC，∴SC⊥BD. 又∵SC⊥BK，BK∩BD＝B，∴SC⊥平面 KBD. 又 SC 平面 SBC，∴平面 SBC⊥平面 KBD.
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探究 2 在上述问题中，判断平面 SBC 与平面 SDC 是否垂直，并说明理由．
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【提示】 不垂直．假设平面 SBC⊥平面 SDC. ∵BK⊥SC，∴BK⊥平面 SDC. ∵DC 平面 SDC，∴BK⊥DC，
又 AB∥CD，∴BK⊥AB. ∵ABCD 是正方形，AB⊥BC， ∴AB⊥平面 SBC，又 SB 平面 SBC，
(1)求证：AD⊥PB； (2)若 E 为 BC 边的中点，能否在 PC 棱上找到 一点 F，使平面 DEF⊥平面 ABCD，并证明你的结 论．
图 1-6-25
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【精彩点拨】 解答本题要首先从菱形、正三角形中找到其中所蕴含的垂 直关系，联系所学的判定定理与性质定理，得出结论．
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【自主解答】 (1)证明：设 G 为 AD 的中点，连接 PG，BG， ∵△PAD 为正三角形，∴PG⊥AD. 在菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°， G 为 AD 的中点，∴BG⊥AD. 又 BG∩PG＝G，∴AD⊥平面 PGB. ∵PB 平面 PGB，∴AD⊥PB.
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3．图形语言：如图 1-6-18 所示．
4．作用：证明两直线 平行．
图 1-6-18
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在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面
的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A．相交 C．异面
B．平行 D．相交或平行
【解析】 圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知 B 正确．
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线面垂直的性质
[小组合作型]
如图 1-6-20，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， EF 与异面直线 AC，A1D 都垂直相交．求证：EF∥BD1.
图 1-6-20 【精彩点拨】 连接 AB1 与 CB1，证明 EF 与 BD1 都与平面 AB1C 垂直．
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图 1-6-19 4．作用：证明直线与平面垂直．
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若平面 α⊥平面 β，且平面 α 内的一条直线 a 垂直于平面 β 内的一条直线 b， 则( )
A．直线 a 必垂直于平面 β B．直线 b 必垂直于平面 α C．直线 a 不一定垂直于平面 β D．过 a 的平面与过 b 的平面垂直
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图 1-6-26
【证明】 (1)∵E，F 分别为 AC，BC 的中点，∴EF∥AB. 又 EF⊆/ 平面 PAB，AB 平面 PAB，
∴EF∥平面 PAB. (2)∵PA＝PC，E 为 AC 的中点，∴PE⊥AC. 又∵平面 PAC⊥平面 ABC， ∴PE⊥平面 ABC，∴PE⊥BC.
∴BC⊥平面 VAB，VA 平面 VAB，∴BC⊥VA， 又 VB⊥平面 VAD，∴VB⊥VA，又 VB∩BC＝B， ∴VA⊥平面 VBC， ∵VA 平面 VAC， ∴平面 VBC⊥平面 VAC.
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[探究共研型] 垂直关系的综合应用 探究 1 如图 1-6-24，ABCD 是正方形，SA⊥平面 ABCD，BK⊥SC 于点 K， 连接 DK.判断面 SBC 与平面 KBD 是否垂直，并说明理由．
【导学号：10690024】
图 1-6-22
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【精彩点拨】 (1)取 AB 的中点 E，连接 DE，CE，由于平面 ADB⊥平面 ABC，故由面面垂直的性质定理得 DE⊥CE，从而在 Rt△DCE 中，可求 CD.
(2)分 D 是否在平面 ABC 内进行讨论．
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【解析】 α⊥β，a α，b β，a⊥b，当 α∩β＝a 时，b⊥α；当 α∩β＝b 时，a⊥β，其他情形则未必有 b⊥α 或 a⊥β，所以选项 A、B、D 都错误，故选 C.
【答案】 C
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________