三年高考全国卷数学真题之数列

三年高考数学真题全国卷

数列部分

1．（2018全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则=5a （ ）

A ．12-

B ．10-

C ．10

D ．12

答案：B 解答：

1111113243

3(3)24996732022

a d a d a d a d a d a d ⨯⨯+

⨯=+++⨯⇒+=+⇒+=6203d d ⇒+=⇒=-，∴51424(3)10a a d =+=+⨯-=-.

2.（2018北京理）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________．

【答案】63n a n =-

【解析】13a =Q ，33436d d ∴+++=，6d ∴=，()36163n a n n ∴=+-=-．

3．（2017全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4

D ．8

【答案】C

【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，61165

6615482

S a d a d ⨯=+

=+=，联立11

2724

,61548a d a d +=⎧⎨

+=⎩解得4d =，故选C. 秒杀解析：因为166346()

3()482

a a S a a +==+=，即3416a a +=，则4534()()24168a a a a +-+=-=，

即5328a a d -==，解得4d =，故选C.

4.（2017全国新课标Ⅱ理）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）

A ．1盏

B ．3盏

C ．5盏

D ．9盏

【答案】B

5.（2017全国新课标Ⅲ理）等差数列{}n

a 的首中·华.资*源%库 项为1，公差不为0．若2a ，3a ，

6a 成等比数列，则{}n

a 前6项的和为（ ）

A ．24-

B ．3-

C ．3

D ．8

【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d . 则2326a a a =⋅，即()()()2

11125a d a d a d +=++

又∵11a =，代入上式可得220d d += 又∵0d ≠，则2d =-

∴()616565

61622422

S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A.

6．（2017全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4

D ．8

【答案】C

【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，61165

6615482

S a d a d ⨯=+

=+=，联立11

2724

,61548a d a d +=⎧⎨

+=⎩解得4d =，故选C. 秒杀解析：因为166346()

3()482

a a S a a +==+=，即3416a a +=，则4534()()24168a a a a +-+=-=，

即5328a a d -==，解得4d =，故选C.

7.（2015福建文）若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个

数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于________．

【答案】9

8.（2017全国新课标Ⅲ理）等差数列{}n

a 的首中·华.资*源%库 项为1，公差不为0．若2a ，3a ，

6a 成等比数列，则{}n

a 前6项的和为（ ）

A ．24-

B ．3-

C ．3

D ．8

【答案】A 【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d .

则2

3

26a a a =⋅，即()()()2

11125a d a d a d +=++ 又∵11a =，代入上式可得220d d += 又∵0d ≠，则2d =-

∴()616565

61622422

S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A.

9.（2016全国Ⅰ理）已知等差数列

{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = （ ）

（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97

【解析】：由已知,11

93627

,98a d a d +=⎧⎨

+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C.

考点：等差数列及其运算

【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这

些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一

10．（2016四川理）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）

（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）

（ A ）2018年 （B ）2019年 （C ）2020年 （D ）2021年 【答案】B 【解析】

试题分析：设第n 年的研发投资资金为n a ，1130a =，则1

130 1.12

n n a -=⨯，由题意，需

1130 1.12200n n a -=⨯≥，解得5n ≥，故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200万，选B.

考点：等比数列的应用.

11．（2018全国新课标Ⅰ理）记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若21n n S a =+，则6S =_____________．

答案：63- 解答：依题意，1121,

21,

n n n n S a S a ++=+⎧⎨

=+⎩作差得12n n a a +=，所以{}n a 为公比为2的等比数列，又因为

11121a S a ==+，所以11a =-，所以1

2n n a -=-，所以661(12)

6312

S -⋅-==--.

12.(2017北京理)若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1，a 4=b 4=8，则2

2

a b =_______.

【答案】1

【解析】试题分析：设等差数列的公差和等比数列的公比为d 和q ，3138d

q -+=-= ，求得

2,3q d =-= ，那么

221312

a b -+== . 13.(2017江苏) 等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知36763

44

S S ==

,,则8a = . 【答案】32

【解析】当1q =时，显然不符合题意；

当1q ≠时，316

1(1)7

14(1)6314a q q a q q

⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=

⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=. 【考点】等比数列通项