江西理工大学机械制图-机类-2-直线的投影-OK

◆若点在直线上, 则点的 投影必在直线的同名投 影上。并将线段的同名
V
b
c (d )
●
B
a
D
●
C
●
投影分割成与空间相同 的比例。即：
AC/CB=ac/cb= ac / cb
A ● d
a ●c
b H
定比定理
◆若点的投影有一个不在直线的同名投影上， 则
该点必不在此直线上。
例1：判断点C是否在线段AB上。
§3.2 直线的投影
两点确定一条直线，将两 点的同名投影用直线连接，就 得到直线的同名投影。
一、直线的投影特性
⒈ 直线对一个投影面的投影特性
A● M● B●
●
a≡b≡m
B
●
A●
●b a●
a● b
●
● a ● b
a● b●
●B
A●
●b a●
直线垂直于投影面 直线平行于投影面
投影重合为一点 投影反映线段实长
二、直线与点的相对位置
V
b′
c′ B
a′
C
Ac b aH
b″ c ″W
a″
b′ Z c′ a′
X
O
b
c
b″ c″ a″
Y
a
Y
◆若点在直线上, 则点的投影必在直线的同名投影上。
◆点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相同 的比例。即：
AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb
定比定理
点在直线上的判别方法：
例1：过C点作水平线CD与AB相交。
c●
k
a
b d
a k
c●
d
b
先作正面投影
例2：判断直线AB、CD的相对位置。
c′ b′
a′ d′
a
d
b c
相交吗？ 不相交！ 为什么？
交点不符 合空间一个点 的投影特性。 判断方法？
⒈ 应用定比定理
⒉ 利用侧面投影
⒊ 两直线交叉
b′
c′ d′
a′
X
O
a
d
c
b
(1)投影面平行线
水平线
V a ′ b′
Aβ γ
a″ B b″W
a βγ Hb
a ′ b ′ Za ″ b″
X
O
Y
a βγ
实长 b Y
投影特性： ① 在其平行的那个投影
面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投 影面倾角的实大。
② 另两个投影面上的投 影平行于相应的投影 轴，其到相应投影轴 距离反映直线与它所 平行的投影面之间的 距离。
①
c
a
●
b
② a
c●
在
不在
b
c
a
●
③ a
c ● b
b
ac
●
b
a
不在
●
c b
另一判断法?
a
应用定比定理
c●
b
例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。
解法一： （应用第三投影）
解法二： （应用定比定理）
a
a
k ●
k ●
a
●
k ●
●
b
b
b
b
b
k●
k●
a
a
三、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉（异面）。 ⒈ 两直线平行
●
c 3 1(2) b
★ 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间 一个点的投影规律。
★ “交点”是两直线上的一 对重影点的投影， 用其可帮助判断两直线的空间位置。
四、直角三角形法求实长
1. 求直线的实长及对水平投影面的夹角角
V
b
铅垂线
正垂线
侧垂线
a
a c(d) d c e f e(f)
●
●
b
b
d
●
a(b)
c
ef
投影特性:
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。
② 另外两个投影，反映线段实长，且垂直 于相应的投影轴。
(3) 一般位置直线
V
b
B b
a
βγ
W
a
X
Ab
a
aH
a
投影特性
b Z b
a
O
Y
b
Y
三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角 并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个 投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段 的实长。
两不直相线交相！交吗？
V c′ a′ AC
a
c
b′ d′
B D
d bHBiblioteka 为交什点么不？符合一个点的投影规律！
V c′
3
′
(4
′
)
1′
●
●●
b′ d′
a′
2′ Ⅳ Ⅰ ●
B
●
A
C
D ● ●
ⅢⅡ
a
●4
d
●●
c 3 1(2) b H
投影特性：
1′ b′
3′ (4′ ) ●
c′
●●
2′
d′
a′
X
O
a
●4
d
●
②直线的水平投影ab和侧面投影 a〞b 〞分别平行于
OX 轴和OZ 轴。
同样，对于水平线和侧平线也可得到类似的特性。
铅笔常削成圆锥形和矩形，圆 锥形用于画细线和写字，矩形用于 绘制粗实线。
铅笔的使用方法
修磨成锥形、 画细线、写字
修磨成矩 形断面用 棱画粗线
画细线时 垂直纸面， 向前进方 向倾斜15°
对于特殊位置直 线，只有两个同名投 影互相平行，空间直 线不一定平行。
如何判断？
求出侧面投影
求出侧面投影后可知：
AB与CD不平行。
⒉ 两直线相交
V c
b
k
a
d
C A
K
B D
X
O
a
d
ck
b
H
交点是两直 线的共有点
b c k
a
d
a
d
ck
b
若空间两直线相交，则其同名投影必 相交，且交点的投影必符合空间一点的投 影特性。
积聚性
ab=AB
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短
ab=AB.cos
⒉ 直线在三个投影面中的投影特性
其投影特性取决于直线与三个投影 面间的相对位置。
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
投影面平行线
统称特殊位置直线
垂直于某一投影面 投影面垂直线
正平线（平行于Ｖ面） 侧平线（平行于Ｗ面） 水平线（平行于Ｈ面）
侧平线
Z
a
a
A
a
b
b
X
O
a B
b
X
a
b
Y
b
Z
a
b
O
YW
YH
判断下列直线是什么位置的直线？
正平线
侧平线
实长 a
a
a
γ
b
b
b
a 实长
β
b
a
b
a
b
直线与投影面夹角的表示法：
与H面的夹角: 与V面的角:β
与W面的夹角:γ
(2) 投影面垂直线--正垂线
Z
（a）b
A
B
X
O
a
b
a b
Y
（a）b z a
V d
c a
A C
a
b B
D
c
b
d
H
d b
c a
X
O
a
b
c
d
空间两直线平行，则其各同名投影必 相互平行，反之亦然。
例：判断图中两条直线是否平行。
① b
d a
c
ac
bd
b d
a
c
对于一般位置直 线，只要有两个同名 投影互相平行，空间 两直线就平行。
AB//CD
② c
a
d b
c b
da
c a
b d
X
O
a
b
YH
b
YW
投影特性:
①直线AB的正面投影a′b′积聚成一点;
②水平投影ab⊥OX, 侧面投影a″b″⊥OZ。
同样，对于铅垂线、侧垂线也可得到类似的特性。
铅垂线
Z
a
A
b
X
B
a(b)
a
Z
a
a
b
b
X
O
YW
b
Y
a(b)
YH
侧垂线
Z
a
a
b
ab
A
B
X
X
a
a
Y
b
b Z
ab
O
YW
b YH
(2) 投影面垂直线
正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面）
与三个投影面都倾斜的直线
一般位置直线
(1)投影面平行线—正平线
b Z
Z
b
b
a
B
a
a
a
A
b
X
O
YW
X
O
a
b
投影特性：
a
b
YH
Y 翻到书上第10页
①直线的正面投影a′b′反映直线 AB 的实长,并且反映
直线 AB 对H、W面的倾角α、γ。