比例线段教案

教师姓名 学生姓名 年 级

上课日期 2014/6/12 学 科 数学

课题名称

比例线段（一）

计划时长

2h

教学目标 1、掌握比例的性质，了解黄金分割的意义。 2、理解两条线段的比和比例线段的概念。 教学重难点

重点：比例线段的有关性质

难点：用比例线段的有关性质进行证明或计算

一 知识点梳理

知识点1 两条线段的比 如果d c b a ::=（或

d

c b a =），那么就说a ，b ，c ，

d 叫做成比例. 两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 【注意】（1）两条线段的比，就是在同一个单位下它们的长度比.因此，比与所选线段的长度单位无关，但必须选定同一长度单位.

（2）由于b a ,的长度都是正数，所以两条线段的比是一个正数.

（3）两条线段的比是有顺序的，不可颠倒，除了b a =时外，a b b a :≠

:，但b a 与a

b

互为倒数. 【例1】如图所示，已知M 为线段AB 上一点，5:3:=MB AM ，且AB=16cm ，求线段AM 、BM 的长度.

【例2】“若m b cm a 6,6==，则两线段b a ,的比为1.”请你判断这种说法是否正确.

知识点2 成比例线段

线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即

d

c

b a =，那么这四条线段a ，b ，

c ，

d 叫做成比例线段，简称比例线段.

【例3】判断下列各组长度的线段是否成比例？

（1）2cm ，3cm ，4cm ，1cm （2）1.5cm ，2.5cm ，4.5cm ，6.5cm （3）1.1cm ，2.2cm ，3.3cm ，4.4cm （4）1cm ，2cm ，2cm ，4cm

知识点3 比例的基本性质 如果

d c b a =，那么bc ad =；如果bc ad =(a ，b ，c ，d 都不为0)，那么d

c b a =. 【例4】若a ，b ，c ，

d 是成比例线段，且2,5,3===d b a ，求C.

知识点4 合比性质 如果

d c b a =,则b b a +＝d d c +；如果d c b a =,那么d

d

c b b a -=- 【例5】已知

32=b a ，则=+b

b a _________，b b a -=______________.

知识点5 等比性质 如果

)0(≠+++===n d b n

m d c b a ，那么

b a

n d b m c a =++++++ . 【例6】（1）若753z y x ==,则z y x z y x -++-=________.（2）若6

5432+==+c b a ,且2a －b +3c =21.试求a ∶b ∶c .

知识点6 黄金分割

1.黄金分割及其有关概念

如图所示，如果点C 把线段AB 分割成AC 和CB （AC>CB ）两条线段，且

AC

BC

AB AC =，那么称这种分割为黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 是BC 与AB 的比例中项，AC 与AB 的比值叫做黄金分割数（简称黄金数）.由计算可知，=

AB AC :2

1

5-：1≈0.618：1=0.618.

2.黄金分割的应用

黄金分割不仅应用于建筑、艺术等领域，还广泛应用于服装设计、汽车制造、几何图形创作等各类工艺造型中. 【例7】若点C 是线段AB 的黄金分割点，且AB=2，则AC=（ ）

12.在同一时刻物高与影长成比例，如果一古塔在地面上的影长为50 m ，同时高为1.5 m 的测杆的影长为2.5 m ，那么古塔的高是多少?

13.在△ABC 中，D 是BC 上一点，若AB =15 cm ，AC =10 cm ，且BD ∶DC =AB ∶AC ，BD －DC =2 cm ，求B C.

14.现有三个数1，2，2，请你再添上一个数写出一个比例式，这样的比例式唯一吗？

*15.如果一个矩形ABCD (AB ＜BC )中，

2

1

5-=BC AB ≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感.在黄金矩形ABCD 内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE (如图1)，请问矩形ABFE 是否是黄金矩形？请说明

你的结论的正确性.

图1

B 组----能力提升

一、请你填一填

（1）如图4—2—1，若点P 是AB 的黄金分割点，则线段A P 、PB 、AB 满足关系式________，即AP 是________

与________的比例中项.

图4—2—1

（2）黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到0.001）.

（3）如果线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a =2 cm,b =4 cm,c =5 cm,则d =_____________cm. （4）已知O 点是正方形ABCD 的两条对角线的交点，则AO ∶AB ∶AC =________. （5）若

d c b a ==3（b +d ≠0），则d

b c a ++=________. 二、认真选一选 （1）已知y

x

2

3=

,那么下列式子成立的是（ ）A.3x =2y B.xy =6 C.

32=y x D.3

2=x y （2）把ab =21

cd 写成比例式，不正确的写法是（ ） A.

b

d

c a 2= B.

b d

c a =2 C.b

d c a =2 D.d

a b c

2=

（3）已知线段x ,y 满足（x +y ）∶（x －y ）=3∶1,那么x ∶y 等于（ ） A.3∶1 B.2∶3 C.2∶1 D.3∶2 （4）有以下命题:

①如果线段d 是线段a ,b ,c 的第四比例项，则有

d

c b a = ②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项

③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项 ④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC >BC ，且AB =2，则AC =5－1 其中正确的判断有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

三、细心算一算 已知实数a ,b ,c 满足

c

b a b a

c a c b +=+=+,求a c

b +的值.

四、好好想一想

以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF =PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图4—2—2.