应用三角函数中的数学思想

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备战2024高考数学二轮复习讲义第二讲-整体思想在三角函数中的应用

第2讲整体思想在三角函数中的应用“整体思想”是高中数学的一类最基本、最常用的数学思想。

整体思想要求我们在处理数学问题时，将需要解决的问题视为一个整体,从不同侧面、不同角度,全面地分析问题的整体形式、整体结构,或对整体结构作适当调整、变形,从而达到找出解题思路或简便方法的目的。

运用整体的思想方法解题，在思维方向上，既有正向的，也有逆向的，在思维形态上，既有集中的，也有发散的，既有直观的，也有抽象的。

运用整体的思想方法解题，常与换元法结合起来，对题目进行整体观察、整体变形、整体配对、整体换元、整体代入，在运用整体的思想进行转化问题时一定要注意等价性。

三角函数是高考的重点与难点，公式相对较多，应用比较灵活，不少学生由于公式使用不恰当，常常陷入纷繁的运算中，在解答某些函数题的时候，若能仔细观察题目，注意与已知条件的联系，实现等价转化，采用整体思想进行求解，往往能起到很好的效果。

例如整体思想在正切函数定义域、在三角函数单调性、对称性、值域，在给值求值问题中都有广泛的重要应用。

而本文会重点就整体思想在三角函数中的几类应用展开详细讲解。

【应用一】整体思想在已知x x cos sin ±求解x x cos sin 或x 2cos 中的应用我们在学习三角函数的概念及同角三角函数的基本关系，诱导公式及三角恒等变换时，会遇到给值求值的试题，有时待求的给值求值会比较好化简，可以拼凑角或借助同角关系求解，但有时也会遇到这样一类题，给定x x cos sin ±的值，待求x x cos sin 或x 2cos 的值，常规利用同角三角函数及恒等变换转化也可以求解，解题思路为：①第一步：对原方程“M x x =±cos sin ”平方得到ααcos sin 的值或α2sin 的值②第二步：对待求式子进行平方，进而代入第一步ααcos sin 的值，结合角度象限范围求解x x cos sin 的值③第三步：利用()()αααααsin cos sin cos 2cos -+=即可求解此方法解题时稍过于繁琐，那有没有简洁一点的解题方法呢？我们不妨先来证明一个恒等式()()2sin cos sin cos 22=-++αααα，证明：()ααααcos sin 21sin cos 2+=+，()ααααcos sin 21sin cos 2-=-，相加可得()()2sin cos sin cos 22=-++αααα，而此公式就是整体思想的应用，可以做到“知一求一”，也就是说，在后续学习中，再有给定x x cos sin ±的值，待求x x cos sin 或x 2cos 此类题型，我们都可以用整体思想来求解，例如下面这道例题：通过观察及上述方法介绍的学习，本题用常规方法计算稍显繁琐，我们可以直接使用整体思想来求解，从而达到提升解题能力的效果【应用二】整体思想在三角函数求单调性、对称轴及对称中心的应用我们在学习三角函数图象与性质及三角恒等变换综合时，会遇到这样一类题，给出对应的三角函数的解析式，求解三角函数的单调性和对称性。

三角函数中的数学思想

三角函数中的数学思想三角函数是中学数学的重要内容之一，符号与变元、集合与对应、数形结合等基本数学思想在研究三角函数时起着重要作用，分析、探索、化归、类比、平行移动、伸长和缩短这些常用的基本方法时隐时现。

这些数学思想方法为学生学习数学和应用数学提供了一个新的领域，教科书对此作了渗透，教学时应注意及时提醒或强调。

下面谈谈这些具体的数学思想和方法：一、数形结合思想数形结合思想是通过“以形助数”或“以数助形”，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来解决问题的数学思想方法。

例1：已知0＜θ<，求证sinθ<θ<tanθ。

分析：本题所要证明的不等式中各个部分的意义完全不同（分别是角θ的正弦值、角θ、角θ的正切值），因此，证明的关键是找到联系三者的纽带，这就是单位圆中的三角函数线。

评注：本题是一道新颖而别致的题目，此证法体现了数学中数与形的完美结合。

二、分类讨论思想数学基础知识（如法则、公式、定理、性质、基本方法等）的应用都有一定的条件，就是说只能在一定的范围内使用它们。

当在一个比它需要的条件更广的范围内求解问题时，要应用这些基础知识，就需要把这一更广的范围划分成几个较小的范围以适应基本知识所需的条件，在每一个较小的范围内都把问题解决掉。

通俗地讲，就是“化整为零、各个击破”，或者说不同的情况要采用不同的方法去对待。

这种处理问题的思想就是“分类讨论”的思想。

点评：已知α在第几象限，要确定（n∈N+，n≥2）所在的象限，常用的方法是分类讨论，并且按被n除所得的余数0、1、2、…、n-1分为n类。

三、函数思想函数的思想是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，使问题获得解决。

点评：本题若不注意考察题设特点用函数看问题，而是按照通常方法去括号、因式分解去证就比较繁琐。

高中数学：三角函数中的常用数学思想方法

一、方程的思想例1、已知sinθ+cosθ=，θ（0，π），则cotθ=________。

解析：由sinθ+cosθ=平方得sinθcosθ=。

又θ（0，π），所以sinθ＞0，cosθ＜0，且sinθ＞，将sinθ，cosθ看作是方程的两根。

所以sinθ=，cosθ=。

从而cotθ=，应填。

二、函数的思想例2、已知x，y ∈[]，且x3+sinx-2a=0①，4y3+sinycosy+a=0②，求cos(x+2y)的值。

解析：设f(u)=u3+sinu。

由①式得f(x)=2a，由②式得f(2y)=－2a。

因为f（u）在区间[]上是单调奇函数，所以f(x)=-f(2y)=f(-2y)。

又所因x,-2y∈[]，所以x=-2y，即x+2y=0。

所以cos(x+2y)=1。

三、数形结合的思想例3、函数f(x)=sinx+2，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是______。

解析：f(x)=函数f(x)=sinx+2，x∈[0，2π]的图象（如图1）与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则1＜k＜3。

四、化归的思想例4、设α为第四象限的角，若，则tan2α=_________。

解析：因为===，所以，tan2=。

又因为为第四象限的角，所以tan=，从而求得tan2=。

五、分类讨论的思想例5、若△ABC的三内角满足sinA=①，问此三角形是否可能为直角三角形？解析：假设△ABC可以为直角三角形。

（1）若B=90°，则A=90°-C，代入①中，得sin(90°-C)=，所以cos2C=1+sinC，1-sin2C=1+sinC，所以sinC=1，即C=90°。

这是不可能的，所以B≠90°。

（2）同理，C≠90°。

（3）若A=90°。

①式右边=①式左边=sinA=sin90°=1。

所以此三角形可为直角三角形，此时A=90°。

三角函数章节教学中学生数学思想培养

浅谈三角函数章节教学中学生数学思想的培养摘要：本文作者在认真研析三角函数知识的基础上，结合切身教学实践体会，就三角函数知识教学中围绕各种问题的有效解决，实现学生数学思维有效培养和提升，进行了初步的论述。

关键词：高中数学三角函数数学思想有效教学学习能力数学思想是作为学生学习数学学科知识过程中形成的有效思想方法，它是学生学习效果显著提升的重要标志。

“数学思想方法”已被中学数学课程标准列为数学目标之一。

美国心理学家布鲁纳曾经指出：“掌握基本的数学思想方法能使数学更易于理解和更易于记忆，领会基本数学思想方法是通向迁移大道的‘光明之路’。

”三角函数知识章节内容作为高中数学学科知识体系的重要组成部分，在各章节知识体系中具有桥梁和纽带作用，在其他章节知识中又广泛应用，三角函数知识在学生学习能力和数学思想等方面有效培养上具有重要的促进和推动作用。

本人现就三角函数知识在学生数学思想方面的有效培养进行简单论述。

一、函数与方程思想的培养函数与方程思想是解决三角函数问题的一个重要思想，在求最值、求值域、求参数中有具体的体现。

教师在进行函数与方程思想的培养过程中，就可以设置求最值、求值域、求参数等相关知识问题，引导学生进行解题训练，使学生在实践中得到函数与方程思想的锻炼和培养。

案例：求y=（4sinx-1）/（5cosx-10）的最值。

通过对此题的分析，学生发现此题可以通过万能公式，将函数转化为y=（-tan2x/2+8tanx/2-1）/（5tan2x/2+15）的形式，令tanx/2=t，再转化为关于t的一元二次方程，利用一元二次方程实数根存在的条件求y的范围，从而求出其最大值和最小值。

因此，解题过程为：解：令tanx/2=t（t∈r），则y=（-t2+8t-1）/（5t2+15），去分母，得（1+5y）t2-8t+15y+1=0.当（1-5y）=0时，即y=-1/5时，t=-1/4（t∈r）当1+5y≠0时，△=64-4（1+5y）（15y+1）≥0，整理得15y2+4y-3≤0，解得-3/5≤y≤1/3，又-1/5∈［-3/5，1/3］，∴ymax=1/3，ymin=-3/5.二、数形结合思想的培养形与数的结合使几何问题获得了现代工具，也使代数问题获得了直观的几何解释，开拓出了新的研究方向。

数学思想方法在三角函数中的应用

数学思想方法在三角函数中的应用四川张继海数学思想方法属于方法范畴，但更多地带有思想、观点的属性，是数学知识在更高层次上的抽象和概括．中学教学与高考考查中，常用的数学思想有：化归与转化的思想，函数与方程的思想，数形结合的思想，分类与整合的思想，特殊与一般的思想，有限与无限的思想，或然与必然的思想等．本文主要说明的是，数学思想方法在三角函数中的应用．在三角函数一章中，主要用到的数学思想方法有：1．化归与转化的思想把未知化归为已知，如用诱导公式把求任意角的三角函数值逐步化归为求锐角的三角函数值；把特殊化归为一般，如把正弦函数的图象逐步化归为函数y = A sin （ωx + φ），x ∈R （其中A ＞0，φ＞0）的简图，把已知三角函数值求特殊范围内的角逐步化归为求适合条件的所有角的集合等；等价化归，如进行三角函数式的化简、恒等变形和证明三角恒等式．2．函数与方程思想在某些等式条件中，余弦定理，特别是已知三角函数值求角时，可将其看作是关于某个元的方程（组），借助解方程（组）的思想使问题得以解决．3．数形结合的思想如将角的研究纳入直角坐标系下，利用三角函数线作正弦、余弦、正切函数的图象，利用图象求解某些三角等式或不等式问题．4．分类与整合的思想如已知角α 的某一三角函数值，求α 的其余三角函数值或求角α 时，则应分情况讨论α 的范围或所在象限，用正弦定理解已知两边和一边的对角这类斜三角形问题时亦应分类讨论．例1 在△ABC 中，已知364=AB ，66cos =B ，AC 边上的中线BD =5，求sin A 的值．分析与解设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE ∥AB ，且DE =36221=AB ．设BE = x ，在△BDE 中，利用余弦定理可得： BD 2 = BE 2 + ED 2－2 BE ·ED ·cos ∠BED ，∴ 5663622382=⋅⋅++x x ， 3x 2 + 4x －7 = 0，解得 x = 1，37-=x （舍去），故 BC = 2．从而 328cos 2222=⋅⋅-+=B BC AB BC AB AC ，即 3212=AC ．∵ 630sin =B ， ∴ 3063212sin 2⋅=A ， 1470sin =A ．评注本题内涵丰富，结构特别，有很多（至少5种）解法，同学们不妨一试．它不仅对方程的思想、数形结合的思想有较深入的考查，而且对等价转化的思想方法也有很高的要求．例2 已知锐角三角形ABC 中，53)sin(=+B A ，51)sin(=-B A ．（1）求证：tan A = 2tan B ；（2）设AB = 3，求AB 边上的高．分析与解题目给出的条件是两角和与差的正弦值，用和、差角公式将其展开，得53sin cos cos sin =+B A B A ， ①B EC D A51sin cos cos sin =-B A B A ． ② 此时有sin A ，cos A ，sin B ，cos B 四个未知数，显然不能通过两个方程求出，因此将sin A cos B ，cos A sin B 看成两个未知数（二元一次方程组），将其整体解出，得52cos sin =B A ，51sin cos =B A ．由于两个等式相除可得正切与余切，tan A ·cot B = 2，即tan A = 2 tan B ．（这也可从转化待定式 ⇐ BBA A cos sin 2cos sin = ⇐ sin A cosB = 2cos A sin B 得到有效支撑）．由第（1）问的结论，能得关于tan A 与tan B 的一个方程 tan A = 2 tan B ．③ 还需要再建立一个关于tan A 与tan B 的方程，这个方程可由已知条件53)sin(=+B A 及ππ<+<B A 2求得，先得出43)tan(-=+B A ，展开后，得43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ．④ 解由③、④组成的方程组，可求出 62tan +=A ，262tan +=B ．求CD 时，同样需要列方程：AB = AD + DB =623tan tan +=+CDB CD A CD ，由AB = 3，可解得AB 边上的高62+=CD ．评注本题是对三角恒等变形及求值问题的考查，重点放在方程思想和转化思想上，其解题过程是方程思想与转化思想的最佳体现．例3 已知函数y = tan （2x + ϕ）的图象过点)0,12(π，则ϕ 可以是（）．A ．6π-B ．6π C ．12π- D ．12π分析与解 ∵ y = tan （2x + ϕ）过点)0,12(π，∴ 0)6t a n (=+ϕπ，即 πϕπk =+6，6ππϕ-=k ，k ∈Z ．当 k = 0时，得 6πϕ-=，选A ．评注将点代入后，化为已知三角函数值求角的问题，这时应通过坐标系写出满足条件的角的终边所在象限的所有角，再结合题目要求求出其解．例4 已知α，β，γ 是成公比为2的等比数列（α∈[ 0，2π ]），且sin α，sin β，sin γ 也成等比数列．求α，β，γ 的值．分析与解 ∵ α，β，γ 是成公比为2的等比数列， ∴ β = 2α，γ = 4α．（减少变量，消元） ∵ sin α，sin β，sin γ 成等比数列，∴ βγαβsin sin sin sin = ⇔ αααα2sin 4sin sin 2sin = ⇒ cos α = 2cos 2α－1，即 2cos 2α－cos α－1 = 0，（化归为关于cos α 的二次方程）解得 cos α = 1，或 21cos =α．当 cos α = 1时，sin α = 0，与等比数列的首项不为零矛盾，故cos α = 1应舍去．当 21cos =α，α∈[ 0，2π ] 时，32πα= 或 34πα=．所以 32πα=，34πβ=，38πγ= 或 34πα=，38πβ=，316πγ=．评注本题通过将文字叙述向等式（符号）转化，使用方程思想（消元）化为关于cos α的一元二次方程，并时时注意字母取值范围，而简捷获解．例5 已知 6 sin 2α + sin α·cos α－2cos 2α = 0，],2[ππα∈，求)32sin(πα+的值．分析与解首先从已知出发，需要将二次式转化为一次式（因式分解转化），（或减少函数名种类，转化为关于tan α 的一元二次方程），有（3sin α + 2cos α）（2sin α－cos α）= 0，即 3sin α + 2cos α = 0 或 2sin α－cos α = 0．由已知条件可知cos α≠0，所以2πα≠，即),2(ππα∈，从而tan α＜0，∴ 32tan -=α．其次从待求式出发，有 3sin 2cos 3cos 2sin )32sin(παπαπα+=+=)sin (cos 23cos sin 22αααα-+=αααααααα222222sin cos sin cos 23sin cos cos sin +-⋅++ =αααα222tan 1tan 123tan 1tan +-⋅++=ααα22tan 22tan 3tan 23+-+．于是将tan α 的值代入，不难计算出)32sin(πα+的值等于261235-，为所求．评注本题对已知和待求式一再进行等价转化，目的是沟通它们的联系，寻到一个联结点tan α．事实上，若借助于计算器（机），亦可由32tan -=α直接求出角α≈－33.69︒，代入)32sin(πα+快速求得其值为－0.12845，与上述结果一致．例6 若513sin 3sin =αα，求cos α 的值．分析与解 αααααs i n )2s i n (s i n 3s i n +==513sin sin 2cos cos 2sin =+ααααα， ∴513sin sin 2cos cos sin 22=+ααααα，即 5132cos cos 22=+αα，518cos 42=α， 109cos 2=α．∴ 10103cos ±=α．评注本题通过和角公式、倍角公式（或变形）对已知条件一再实施转化，使其和结论联系起来．例7 函数xxx f cos 2cos 1)(-=（）．A ．在]2,23(),23,[,],2(),2,0[πππππππ在上递增上递减B ．在]2,23(),,2[,]23,(),2,0[πππππππ在上递增上递减C ．在]23,(),2,0[,]2,23(],,2(πππππππ在上递增上递减D ．在]2,2(),2,0[,],23(),23,0[ππππππ在上递增上递减分析与解将函数f （x ）简单化、明显化，有x x x x x x x f cos |sin |2cos sin 2cos )sin 21(1)(22==--=是分段函数，即⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=.0sin ,tan 2,0sin ,tan 2)(x x x x x f（1）在一、二象限时sin x ＞0，x x f tan 2)(=单调递增；（2）在三、四象限时sin x ＜0，x x f tan 2)(-=单调递减．于是，结合备选项，选A ．评注本题综合考查三角函数式的化简及分段函数知识，同时较好地考查了三角函数的性质，整个解题过程十分深刻地蕴含了多种数学思想的应用．例8 函数y = A ·sin （ω x + ϕ）（ω＞0，| ϕ |＜2π，x ∈的部分图象如图所示，则函数表达式为（）．A ．)48sin(4ππ+-=x yB ．)48sin(4ππ-=x yC ．)48sin(4ππ--=x yD ．)48sin(4ππ+=x y 分析与解由图象可以看出，A = 4，262+=T ， ∴ T = 16，于是 8162ππω==．将点（－2，0）（或（6，0））代入函数)8sin(4ϕπ+=x y 中，得0)4sin(=+-ϕπ，∴ πϕπ=+-4（比照到正弦函数五点作图简法，此处对应于π），∴ )458sin(4ππ+=x y ．又 ∵ 2||πϕ<， ∴ 函数表达式为 )48sin(4πππ++=x y =)48sin(4ππ+-x ，选A ．评注本题考查给定三角函数图象，求三角函数表达式，考查方程、数形结合和化归的数学思想．自我检测一、选择题1．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（）． D A ．sin （α + β）＞ sin α + sin β B ．sin （α + β）＞ cos α + cos β C ．cos （α + β）＜ sin α + sin β D ．cos （α + β）＜ cos α + cos β2．当20π<<x 时，函数xx x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（）． CA ．2B ．32C ．4D ．34 解将函数式等价化为xx x x x x x x x x x f tan 1tan 4cos sin 4sin cos cos sin 2sin 8cos 2)(22+=+=+=，所以，当20π<<x 时，有f （x ）≥ 4，选C 。

三角函数中的数学思想

透视三角函数，感悟数学思想数学思想方法是数学的精髓，它蕴含着数学知识发生、发展和应用的过程，对它的灵活运用，是数学能力的集中体现。

三角函数中的思想方法主要有：一、数形结合思想由数到形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深同学们对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合有利于分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，拓宽思路，迅速找到解题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。

例1 在)(π2,0内，使x x cos sin >成立的x 取值范围是（）. A ⎝⎛⎪⎭⎫⎪⎭⎫ ⎝⎛ππππ45,2,4 B )ππ,4 ⎝⎛ C ⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ45,4 D ) ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ππππ23,45,4 解析:作出在)(π2,0区间上正弦和余弦函数图像，解出两交点得横坐标ππ454和，由图选C练习：比较π52sin ，π56cos ,π57tan 的大小。

二、分类讨论思想分类是根据对象的本质属性的异同将其划分为不同种类，即根据对象的共性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类。

分类讨论是数学解题的重要手段，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性。

例2 求函数),20(1sin 2cos )(2R a x x a x x f ∈≤≤-+=π 的最大值。

解：x a x x a x x f sin 2sin 1sin 2cos )(22+-=-+=设,sin t x = 则.11≤≤-t则 ,)(2)()(222a a t at t t F x f +--=+-== .11≤≤-t 当a <1-时，)(t F 在[]1,1-上单调递减，∴a F t f F x 21)1()(max max )(--=-==当.11时≤≤-a 2)()(max max )(a a F t f F x ===当a >1时，)(t F 在[]1,1-上单调递增，12)1()(max max )(-===a F t f F x综上可得()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--<--=1,1211,1,21)(2max a a a a a a x f 练习：设)20(214sin cos )(2π≤≤--+=x a x a x x f ，用a 表示)(x f 的值。

灵活运用数学思想，高效解答三角函数问题

备考指南三角函数是高考的必考内容之一.解答三角函数问题，不仅需灵活运用三角函数的性质、公式、图象，还需运用各种数学思想，如换元思想、分类讨论思想、方程思想、整体代换思想来求解.本文主要谈一谈如何灵活运用数学思想，高效解答三角函数问题.一、整体代换思想整体代换思想是指将某些式子看作一个整体，用新元进行代换.在求三角函数值、化简三角函数式、求三角函数的单调区间时，灵活运用整体代换思想，可使问题快速获解.在解题时，需将一些较为复杂的式子、频繁出现的式子进行代换，这样便于简化运算.例1.已知函数f ()x =A sin ()ωx +ϕ(A ＞0,ω＞0,0＜||ϕ＜π2)部分图象如图1所示，若x 4-x 1=π，x 2=π6.(1)求函数f ()x 的解析式；(2)求f æèöøπ6-x 的单调递增区间.图1O解：(1)f ()x =2sin æèöø2x -π6;(过程略)(2)由(1)可得，f æèöøπ6-x =2sin éëêùûú2æèöøπ6-x -π6=2sin æèöøπ6-2x =-2sin æèöø2x -π6,而2sin æèöø2x -π6的单调递增区间与函数y =2sin θ的单调递增区间一致，因为π2+2k π≤θ≤3π2+2k π()k ∈Z ，所以π2+2k π≤2x -π6≤3π2+2k π，k ∈Z ，解得π3+k π≤x ≤5π6+k π，k ∈Z ，则f æèöøπ6-x 的单调递增区间为éëùûπ3+k π,5π6+k π，k ∈Z .我们需先用π6-x 替换f ()x =2sin æèöø2x -π6中的x ，通过整体代换求得函数f æèöøπ6-x 的解析式；然后将其与函数y =2sin θ的单调递增区间π2+2k π≤θ≤3π2+2k π()k ∈Z 相对应，于是将θ替换成2x -π6，通过整体代换求得x 的取值范围，即为函数的单调递增区间.二、数形结合思想正弦函数、余弦函数、正切函数的图象均有其独特的性质和形状.在解答三角函数问题时，可灵活运用数形结合思想，借助三角函数的图象来分析问题.首先需根据题意和函数式画出函数的图象；然后通过观察图象，确定函数的对称轴、最高点、最低点、零点，并明确函数的变化趋势；再根据题目的要求建立关系式.例2.已知函数f ()x =sin x +2||sin x ，x ∈[]0,2π的图象与直线y =k 有且仅有两个交点，则k 的取值范围为______.解：由题意可得，f ()x =ìíî3sin x ()0≤x ≤π，-sin x ()π≤x ≤2π，画出函数的图象，如图2所示.图2当x ∈[]0,π时，f ()x 的最大值为3，当x ∈[]π,2π时，f ()x 的最大值为1，由图可知，要使f ()x 的图象与直线y =k 有且仅有两个交点，需使1＜k ＜3.根据函数f ()x =sin x +2||sin x 的解析式，我们很容易画出函数的图象，于是在同一个坐标系中分别画出函数f ()x =sin x +2||sin x 和直线y =k 的图象，并移53动直线.通过观察图象，可以发现，只有在1＜k ＜3时，函数f ()x 与直线y =k 有两个交点.这样运用数形结合思想，就能快速求得参数k 的取值范围.例3.已知函数f ()x =23sin ωx 2cosωx 2+2cos 2ωx 2-1(ω＞0)的周期为π，当x ∈éëùû0,π2时，方程f ()x =m 恰好有两个不同的实数解x 1、x 2，则f ()x 1+x 2=_____.解：∵f ()x =23sin ωx 2cosωx 2+2cos 2ωx 2-1=3sin æèöøωx +π6，而函数的周期为π，∴T =2πω=π，ω=2，∴函数f ()x =3sin æèöø2x +π6，画出函数f ()x =3sin æèöø2x +π6和直线f ()x =m在éëùû0，π2上的图象，如图3所示.0图3由图可知，关于x 1、x 2，x 1+x 2=2×π6=π3，则f æèöøπ3=2sin æèöø2×π3+π6=2×12=1.将函数式f ()x 化简后，在同一坐标系中画出函数f ()x =3sin æèöø2x +π6和直线f ()x =m 在éëùû0，π2上的图象，即可通过观察图象，发现当方程f ()x =m 有两个不同实数解时，函数f ()x 的对称轴为x =π6，根据函数的对称性就能快速求得x 1+x 2的值.三、方程思想运用方程思想解答三角函数问题，需寻找问题中的等量关系，选取合适的变量，建立关于变量的方程或者方程组，通过解方程或方程组求得问题的答案.例4.已知sin θ+cos θ=15，θ∈()0,π，则cot θ=_____.解：将sin θ+cos θ=15平方，可得sin θcos θ=-1225，因为θ∈()0,π，所以sin θ＞0，cos θ＜0，且sin θ＞||cos θ，将sin θ，cos θ看作方程x 2-15x -1225=0的两个根，则sin θ=45，cos θ=-35，可得cot θ=cos θsin θ=-34.已知关系式中含有sin θ、cos θ，而由同角三角函数的商式关系式可知cot θ=cos θsin θ，于是将已知关系式平方，根据同角三角函数的平方关系式sin 2θ+cos 2θ=1，得到sin θcos θ=-1225，即可根据韦达定理，构造一元二次方程x 2-15x -1225=0，并将sin θ、cos θ看作方程的两个根，通过解方程，求得问题的答案.例5.若2sin 2x -cos 2x +sin x cos x -6sin x +3cos x=0，求2cos 2x +sin 2x 1+tan x 的值.解：2sin 2x -cos 2x +sin x cos x -6sin x +3cos x =2sin 2x +()cos x -6sin x +3cos x -cos 2x ，Δ=(cos x 22x =9()cos x -22，可得sin x =()6-cos x ±()6-3cos x 4，整理得sin x =3-cos x (舍去)或sin x =12cos x ，则tan x =12，所以2cos 2x +sin 2x 1+tan x =2cos x ()cos x +sin x sin x +cos xcos x=2cos 2x =2cos 2x sin 2x +cos 2x =2tan 2x +1=85.将已知关系式看作关于sin x 的一元二次方程，即可通过解方程求得sin x 的表达式，进而求得tan x 的值.可见，灵活运用数学思想，能有效提升解答三角函数问题的效率.在解题的过程中，需根据题意，将已知关系式进行代换，将数形结合起来，构造出合适的方程或方程组，以便运用整体代换思想、数形结合思想、方程思想，快速求得问题的答案.（作者单位：冯艳玲，福建省三明市第九中学；谢定亮，福建省三明第一中学）备考指南54。

三角函数中的数学思想

三角函数中的数学思想三角函数是数学中重要的一个分支，在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。

它是描述三角形内角关系和三角形边长比例关系的一种数学工具，同时也是研究周期现象和波动现象的重要数学方法。

三角函数的数学思想涵盖了角度、周期、无穷、变化等多个数学概念，下面将具体地探讨一些三角函数中的数学思想。

首先，角度是描述旋转和方向的概念，是三角函数的基本元素之一、在三角函数中，我们用角度来度量角的大小。

角度的概念使得我们能够对角进行比较、计算和研究。

它允许我们将三角函数扩展到所有实数范围内，从而更广泛地应用到各种领域中。

另外，角度的概念也为我们理解周期性现象提供了有效的数学工具。

其次，周期是三角函数中的重要数学思想之一、三角函数是周期函数，它们在一定的间隔内具有相同的函数值。

周期性是许多现象和问题的本质特征之一，比如地球的自转和公转、天体的运动、电流的变化等。

通过数学上的表示和分析，我们能够更好地理解和预测这些周期性现象。

同时，周期函数也有许多重要的性质和应用，如傅里叶级数的展开和信号处理等。

此外，无穷是三角函数中的另一个重要数学思想。

三角函数的定义域为实数集，因此可以取无穷多个不同的输入值。

这使得我们能够研究和描述更加广泛的现象和问题。

无穷也在三角函数的图像表示中起到关键的作用，例如正弦函数和余弦函数的图像是以水平中心线为轴无限延伸的波动曲线。

最后，三角函数中的数学思想还包括变化和导数等概念。

三角函数的图像随角度的变化呈现出周期性、波动性和对称性等特点，这种图像变化是数学中重要的研究对象。

而导数则描述了函数在其中一点处的变化率，对于三角函数而言，导数的概念使我们能够研究它们的变化特征和性质，如局部极值点、拐点等。

导数的引入使得三角函数能够与微积分相结合，进一步扩展了三角函数的研究深度和应用领域。

综上所述，三角函数中涌现了许多重要的数学思想，包括角度、周期、无穷、变化和导数等。

这些数学思想不仅丰富了三角函数的内涵和外延，还为我们理解和应用三角函数提供了宝贵的数学工具。

数学思想背景下高中数学三角函数教学研究

数学思想背景下高中数学三角函数教学研究随着现代社会的快速发展，人们越来越重视教育。

在高中数学教学中，三角函数是一种很重要的应用，其内涵很深，所以在高中数学教学中，三角函数教学具有重要意义。

在此背景下，本文着重分析了数学思想背景下高中数学三角函数教学的内容和特点。

数学思想背景下的数学三角函数教学，包括两个主要方面：一方面，数学思想背景应通过三角函数的利用，使学生充分感知数学的客观性、严谨性、精确性、可加工性。

另一方面，数学思想背景应使学生深入理解数学三角函数的实质和内涵，以更深层次的认识数学三角函数。

首先，在数学思想背景下，教师应让学生深刻理解三角函数的客观性，掌握其特点、规律、方法和测量原理，使学生理解三角函数的实质和内涵。

其次，用数学思维的方法，让学生深入理解三角函数的形成背景，从比例算法、极坐标、泰勒级数、旋转矩阵等角度解析三角函数的形成过程，使学生深入理解三角函数的实质。

最后，在数学思想背景下，教师应补充新概念，增强学生对抽象概念的应用能力，引领学生通过综合运用数学思维、分析解决实际问题的能力，使学生充分理解三角函数的严谨性、精确性及可加工性。

总之，在数学思想背景下的高中数学三角函数教学，应培养学生理性思维、严谨判断、精确测量的能力，最终激发学生探索知识，创造社会知识的能力。

本文从数学思想背景下分析了高中数学三角函数教学的内容和特点。

从客观性、精确性、可加工性和严谨性几个方面，介绍了数学思想背景下高中数学三角函数教学的要点，希望能够给教师和学生带来积极的影响。

高中三角函数中基本数学思想的体现

高中三角函数中基本数学思想的体现作者：孙艳秋来源：《新一代》2018年第12期摘要：对于高中数学来讲，三角函数本身构成了其中关键性与核心性的部分。

近些年以来，数学学科高考也较多牵涉三角函数的各项知识点。

具体在涉及到学习三角函数时，同学们将会发现在这之中蕴含的数学思想，对于学科思路有必要着眼于灵活进行运用。

因此可见，高中三角函数涉及到多层次的基本数学思想，对此有必要深入予以挖掘，探求三角函数体现数学学科思想的有关要点。

关键词：高中三角函数；基本数学思想；具体体现在数学学科的体系中，三角函数占据了其中显著的比例。

但是截至目前，较多高中生在面对三角函数涉及到的有关习题时，对其仍然表现为畏难以及退缩的心态。

探究其中根源，就在于同学们尚未将数学思想渗透于化解三角函数习题，因而无法迅速找出此类习题密切相关的破解思路。

实质上，三角函数本身蕴含了多层次的数学思维，因此针对数学思想有必要灵活予以适用，在此前提下显著简化三角函数现有的学习难度。

一、高中三角函数中体现的基本数学思想在高中数学现有的学科体系中，三角函数应当属于其中不可或缺的要素。

与此同时，三角函数并非孤立性的，其中蕴含多种多样的函数思想。

例如在涉及到与之有关的数学题时，高中生通常来讲都会用到数形结合、化归思想、整体思想以及分类讨论思维等。

由此可见，针对三角函数类的数学题如果要着眼于妥善进行解答，则有必要紧密结合与之相应的各类数学思想，进而给出了可行性较强的习题解答模式。

在现阶段的数学高考中，仍有较多高中生倾向于惧怕三角函数类的高考题。

这主要是因为，三角函数题目一般而言都会牵涉复杂性的数学知识，而并非单纯局限于特定的学科知识。

因此在面对题目给出来的某些题设条件时，同学们需要将其迁移至自身现有的学科思路，然后迅速找出与之相符的习题解答思路。

为了从源头入手来转变现状，针对三角函数涉及到的各类习题以及知识学习而言都要更多关注基本性的数学思想。

只有全面渗透数学学科思想，针对此类题目才能予以灵活性的解答。

高中数学三角函数中的数学思想

三角函数中的数学思想一．数形结合思想：由数想形，以形助数的数形结合思想，可以使问题直观呈现，有利于理解，启迪思维，迅速找到解决问题的方法。

例1.求不等式x x cos sin >在区间[]ππ,-上的解集。

二．分类讨论思想：根据对象的本质属性的异同将其进行恰当的分类。

例2.设⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ，且022s i n 2c o s 2<--+m m θθ恒成立，求m 的取值范围。

三．整体思想：把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，往往能起到化繁为简、化难为易的效果。

例3.求函数()xx x x x f cos sin 1cos sin ++=的最值。

四．方程思想：把问题中的已知与未知量之间的相等关系，通过建立方程求出未知量的值，从而使问题得到解决。

例4.已知,2cos 3sin =+αα求ααααcos sin cos sin +-的值。

五．化归转化思想：处理数学问题的实质就是将新问题转化为旧问题、复杂问题转化为简单问题、抽象问题转化为具体问题。

例5.若,cos sin ,cos sin ,40n m =+=+<<<ββααπβα试确定n m ,的大小。

例6.已知非零实数b a ,满足158tan 5sin 5cos 5cos 5sin πππππ=-+b a b a ，求a b 的值。

六．函数思想：在解决问题的过程中，把变量之间的问题转化为函数问题，通过对函数问题的解决，达到解决变量之间问题的目的。

例7.已知1sin sin sin 222=++γβα，求证222sin 2sin 2sin ≤++γβα。

七．逆向思想：当问题从正向考虑烦琐或难以解决时，可以从问题的反向进行思考，正确使用这种策略，往往能绝处逢生，找到求解途径。

例8.将函数()x x f y sin =的图像向右平移4π个单位后，再作关于x 轴的对称变换得到函数x y 2sin 21-=的图像，求()x f 的解析式。

高中三角函数中的基本数学思想探析

一
角函数的转化可以表现为：多个三角函数向单一函数的转化，特殊函数向一般函数的转化，抽象函数向具体函数的转化等。在转化时要注意运用转化思想，注意转化的等价性。转换思想在三角函数中的应用非常重要，通过诱导公式可以将任意三角函数转化成锐角三角函数，而锐角三角函数比较容易计算；利用倍角公式、和差公式可以将一些角转化为特殊角；还可以运用三角公式将复杂的形式转换为简单三角函数形式。转化思想的运用，
一元二次方程来求解三角函数问题；还可以联渗透，意义非同寻常，不仅可以帮助学生们解决实际问题、处理疑用一元一次方程、
通过消元达到求值求解的目的，消元法是函数难问题，还可以提高学生实际应用能力，在解决问题的过程中增立几个三角公式，
强学生的数学运用能力和知识创新能力。二、高中三角函数中的基本数学思想的体现思想在三角函数问题中的最直接的应用体现。在求解三角函数
习数学知识的过程中，掌握知识固然很重要，但是仅以死记知识不仅可以培养学生的转化思维，还可以提高解决问题的应变能
式和数学思维，才能把知识变为一种能力，提高自己的学习能力，才能不断提高数学素质。释了。要想学好三角函数，并能进行实际应用，掌握一定的解题技
题。
要作图，通过作图使图形与问题结合，从而能更直观地表现问
法来解决问题。（二）转化思想
题。三角函数图象，可以直观地展现问题，有利于选取不同的方决，同样可以通过建模来完成。运用建模思想，可以把具体数据
转化思想在数学研究中是一种很重要的方法，通过合理地纳，那些不被人们熟悉、比较复杂的问题可以变得简单、熟悉起来。在三角函数中，很多复杂的问题都可以经过转化与归纳变得更容易解决。转化的实质就是用简单的问题去替代复杂困难的问题。三

应用三角函数中的数学思想

应用三角函数中的数学思想应用三角函数解决实际问题，常常涉及到一些数学思想，如方程思想，转化思想，建模思想等，熟练把握这些数学思想有利于我们更好的解决与之有关的问题.一、建模思想所谓建模思想，就是根据实际问题建立相应的数学模型来解决单纯的数学问题，以此达到解决实际问题的一种数学思想方法.例1如图1，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，计算需要准备多长水管？分析：要求水管的长，根据实际问题，可以抽象出一个Rt △ABC （如图2），其中BC 的长为水管出口的高度，AB 的长为水管的长，∠BAC 为斜坡与水平面所成角.只要借助三角函数即可解决问题.解：如图2，在Rt △ABC 中，BC=35m ，∠BAC=30°，因为sin ∠BAC=AB BC ，所以AB3521 ，所以AB=70，图1 图2所以需要准备70m 长水管.二、转化思想所谓转化思想，就是将未知转化为已知，将复杂转化为简单等的一种解题思想方法.如在解决实际问题中，可将非直角三角形转化为直角三角形，从而利用三角函数解决问题.例2 兰州市城市规划期间，欲拆除黄河岸边的一根电线杆，已知电线杆AB 的水平距离14m 处是河岸，即BD=14m.该河岸的坡面CD 的坡角∠CDF 的正切值为2，岸高CF 为2米，在坡顶C 处测得杆顶A 的仰角为30°，D 、E 之间是宽 2m 的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB 时，为确保安全，是否将此人行道封上? (在地面上以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域)析解：本题实质上是比较BE 与AB 的大小，若BE>AB 不用封道，若BE<AB ，必须封道，由题意可知BG=CF=2，但是AG 的长度仍无法求出，又知∠ACG=30°，∠AGC=90°，若是知道CG 的长，那么可通过三角函数求得AG ，由题意知：CG=BF ，而BF=BD+DF=14+DF ，也就是说只要算出DF 的长即可.在RT △DCF 中，tan ∠CDF=CF DF=2,所以DF=1，求得AB=10.66m ，BE=12m,BE>AB,不需要封人行道。

高考数学思想应用于三角函数解题教学研究

关键词:高考数学ꎻ数学思想ꎻ三角函数ꎻ解题教学研究
中图分类号:Ｇ６３２文献标识码:Ａ文章编号:１００８－０３３３(２０１９)３３－００２８－０２
一、高考数学背景下三角函数教学概述
根据高考数学命题大纲要求ꎬ高考数学命题不仅要
考查学生对数学基本概念和知识的掌握情况ꎬ还要考查
分类讨论思想和函数与方程思想. 需要注意的是ꎬ要在这
些问题的讲解过程中渗透数学思想ꎬ 提升学生的数学
思维.
二、高考数学背景下数学思想应用于三角函
数解题教学实践
为了更加直观地阐述高考数学背景下数学思想应用
与三角函数解题的应用ꎬ下面通过具体的数学教学设计
学生对数学思想方法的灵活应用和数学思维的厚度. 通
过对近些年高考数学试题的统计分析发现ꎬ关于三角函
数的考试题型正在不断发生变化ꎬ其中涉及到的选择题、
填空题正在逐渐减少ꎬ解答题的数量逐渐增加ꎬ考查知识
的重点放在正余弦定理、倍角公式、辅角公式、图象平移、
三角形面积公式等. 对数学思想的考查主要是化归思想、
π
－１ꎬｓｉｎφ ＝１. 又因为０ < φ < πꎬ所以 φ ＝ ꎬ所以ｆ( ｘ) ＝
２
π
ｓｉｎ( ｘ＋ ) ＝ｃｏｓｘ.
２
边ꎬ其中ａ＝１ꎬｂ＝２ ꎬｆ( Ａ) ＝
３
３
ꎬ 那么ｃｏｓＡ＝
. 又因为 ∠Ａ是
２
２
π
△ＡＢＣ的内角ꎬ所以∠Ａ＝ . 根据正弦定理得出ｓｉｎＢ＝
来进行分析ꎬ设计主要围绕教学目标和教学过程展开.
１. 教学目标
通过该部分知识的教学ꎬ学生能够了解高考数学三

三角函数中的数学思想方法归纳

一
、
化归转化思想是解决数学问题的一种重要思想方法。处理数学问题的实质就是实现新问题向旧问题的转化，复杂问题向简单问题转化，未知问题向已知问题转化，抽象问题向具体问题转化等。例３已知定义域为Ｒ的函数）为奇函数，
．
且在定义域上为单调递增函数，００詈］当 ∈［，时，
ｔ２
即（ｓ一二２２０ｃＯ詈）一叶＋ｍ一＞。ｏ
又 ’ Ｅ［，］．≤ｃｓ ≤１．Ｏ０等Ｏ０。
二
１
ｔ２
—
１１
一
２ ’
—
（当０詈≤ ， ≤ ≤ 时，２１ ≤二１）即０ｍ２则一－＋ｍｒ
２＞０：
・＝．＝ ’，∈ 一，ｕ一，・一１．ｆ — ’ １（ ÷ 一 ’Ｌ一）、１Ｙ， ‘ ［ＹＬ， ’
・．．
√ ］２。
，
（）＞１即，２贝一ｍｌ２２—，，＞时，０２ＩＨ一ｌＸ＋ｍ一２；＞０
。・．
一
（）例１求函数厂：
．
望一的最大、最
。
ｌ＋Ｓｎ十Ｃ０ｌＳ
小值。解析：由条件和问题联想到公式（ｉｘ±ｅｓ）ｓｎｏｘ１ｓｘｏｘ可实施整体代换求最值。 ±２ｉｃｓ，ｎ
＝
４：ｍ）且函数在定义域上单调递增，
．
例２设０，ｌ且ｃ２＋ｒｉ — ｍ一 ∈ｌ－，ｏ０２ｓ０２０Ｃｓｏｎ
２０恒成立，ｍ的取值范围。＜求解析：厂０令（）＝ｃｓ＋２ｉＯ一２一２＝ｏ２ｍｓｎｍｓｌ＋２ｎｉ０ｍ￣Ｏ一２一１令ｔ＝ｓ０由０∈ Ｉ２ｍ，ｉ，ｎ

解三角函数题时常用的数学思想方法

解三角函数题时常用的数学思想方法厦门一中廖献武三角函数是高中数学的重要内容，它蕴含着丰富的数学思想方法。

灵活地借助数学思想方法解题，往往可以避免复杂的运算，优化解题过程，降低解题难度，加快解题速度。

在教学中应加以归纳与训练，这样会有助于提高学生的数学素养和思维能力，增强学生分析问题、解决问题的能力。

本文通过实例介绍解三角函数题时常用的数学思想方法。

一、函数与方程的思想方程的思想,就是从分析问题的数量关系入手,把变量之间的联系用方程的关系来反映,然后通过解方程或对方程进行讨论的方法,使问题得到解决.例1 已知2cos 3sin =+αα求ααααcos sin cos sin +-的值.解:令x=+-ααααcos sin cos sin ,则0cos )1(sin )1(=++-ααx x ①又2cos 3sin =+αα ②由①、②解得21cos ,21sin --=-+=x x x x αα1)21()21(22=--+-+∴x x x x 即0242=-+x x解得62±-=x 62cos sin cos sin ±-=+-∴αααα.函数的思想就是在解决问题的过程中,把变量之间的关系抽象成函数关系,把具体问题转化为函数问题,通过对函数相应问题的解决,便可达到解决具体问题的目的.例2 已知x ，y ∈[4,4ππ-]，且x 3+sin x －2a =0①，4y 3+sin y cos y +a =0②，求cos （x +2y ）的值.解：设f （u ）=u 3+sinu 。

由①式得f （x ）=2a ，由②式得 f （2y ）=－2a. 因为f （u ）在区间[2，2ππ-]上是单调奇函数，所以f （x ）=－f （2y ）=f （－2y ）. 又所因x ,－2y ∈[2，2ππ-]，所以x =－2y ，即x +2y =0。

所以cos （x +2y ）=1. 方程与函数是互相联系的，利用函数与方程之间的对立统一关系，能进一步提高综合运用知识分析问题和解决问题的能力．例3 试求方程80sin x x =的实根的个数以及所有实根的和．解：解决这类问题宜从函数的角度来考虑．由80sin x x =得sin 80x x =．∴1180x-≤≤，即2626x ππ-<<．设()sin f x x =，()(2626)80xg x x ππ=-<<，方程80sin x x =的实根，即是以上两个函数图象交点的横坐标．由于()sin f x x =，()80xg x =均为奇函数，其图象关于原点对称，因此只须画出[0,26)π内的图象．由于()sin f x x =和()80xg x =的单调性，可知在()sin f x x =的任意两个相邻的对称轴之间，这两个函数最多只能有一个交点（见图2），而()sin f x x =的对称轴方程为()2x k k Z ππ=+∈，当026x π<<时，两个函数图象共有25个交点，又由于两个图象均过原点，所以当2626x ππ-<<时，两个图象共有225151⨯+=个交点，即方程80sin x x =共有51个实根．由于这些实根关于原点对称，可知这51个实根之和为0．二、数形结合的思想数形结合思想就是把抽象的数和直观的形双向联系与沟通,使抽象思想与形象思维有机地结合起来化抽象为形象,以期达到化难为易的目的.三角函数中可利用的图形有两类，即函数图象和三角函数线（单位圆）．例 4 若,a b R ∈,记,()max(,),()a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，对于函数()max(sin ,cos )f x x x = ()x R ∈，给出下列4个命题：①该函数的值域是[1,1]-；②当且仅当2()2x k k Z ππ=+∈时，该函数取得最大值1；③该函数是以π为最小正周期的周期函数；④当且仅当322()2k x k k Z ππππ+<<+∈时，()0f x <．上述命题中正确的的命题是．解：根据题意，已知函数即为sin ,(sin cos )()cos ,(sin cos )x x x f x x x x ≥⎧=⎨<⎩，由此图象可知，该函数值域是[2-；当2x k π=或2()2x k k Z ππ=+∈时，该函数取得最大值1；该函数是以2π为最小正周期的周期函数，所以命题①、②、③都不正确，而命题④是正确的．图1三、分类讨论的思想分类讨论的思想就是整体问题分解为几个部分问题来解决,它是逻辑划分思想在解数学题中的具体运用.它有三个重要的原则，即不越级、不重复、不遗漏．例5 求函数),20(1sin 2cos )(2R a x x a x x f ∈≤≤-+=π的最大值和最小值.解:x a x x a x x f sin 2sin 1sin 2cos )(22+-=-+=,设11,sin ≤≤-=t t x则11,)(2)()(222≤≤-+--=+-==t a a t at t t F x f⑴1-<a 时,)(t f 在]1,1[-上单调递减,a F t F x f a F t F x f 21)1()()(,21)1()()(min min max max +-===--=-==∴⑵01<≤-a 时,,)()()(2max max a a F t F x f === a F t F x f 21)1()()(min min +-==⑶10≤≤a 时,,)()()(2max max a a F t F x f === a F t F x f 21)1()()(min min --=-==⑷1>a 时, )(t f 在]1,1[-上为增函数, ,21)1()()(max max a F t F x f +-===a F t F x f 21)1()()(min min --=-==例6 已知函数()2sin(2)3f x a x b π=-+的定义域为[0,]2π，值域为[5,1]-，求a和b 的值．解：因为a 值与函数的单调性有关，所以对a 要分a >0，0a =,a <0三种情况进行讨论． ∵02x π≤≤，∴22333x πππ-≤-≤，∴sin(2)13x π≤-≤． 1）当0a >时，则21,5,a b b +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩解得1223a b ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩2）当0a =时，()f x b =与值域为[5,1]-不符，故舍去.3）当0a <时，则25,1,a b b +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1219a b ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩在三角运算中，有关三角函数所在象限符号的选取常需要进行讨论，三角函数与二次函数综合问题以及三角函数最值等问题也要注意讨论.四、化归（转化）思想化归思想在三角函数中应用非常普遍，主要体现在：①化多角的形式为单角的形式；②化多种函数名称为一种函数名称；③化未知角为已知角；④化高次为低次；⑤化特殊为一般。

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