速度与位移的关系

【规范解答】设飞机运动方向为正方向,由题意知,飞机匀加速 滑行时v01=0,a1=4m/s2,v1=80m/s。 根据公式v2-v02=2ax
2 2 v 80 1 得其位移x1= m=800 m。 ＝ 2a1 2 4
匀减速滑行时v02=80m/s,a2=-5m/s2,v2=0。
根据公式v2-v02=2ax
拓展延伸
(1)中间位置的速度公式：在匀变速直线运动中，某段位移x
的初、末速度分别是v0和v,加速度为a,中间位置的速度为 v x，
则 vx v v 。
2 0 2 2
2
2
(2)公式的推导：据速度与位移关系式，对前一半位移有
x 即 2 x 对后一半位移有 2 2 2 2 v v v v 2a ， v2 v 2a ， x 0 x x 0 2 2 2 2 2 2 2 v0 v 所以 v2 v2 ， vx 。 x 2 2 2
为负。
2.已知舰载飞机在甲板上加速的加速度为a,起飞速度为v,请问
航空母舰上飞行甲板的长度至少是多少。
提示：由速度位移关系式v2-v02=2ax得,飞机跑道的最小长度为
v2 x= 。 2a
【盲区扫描】 1.公式v2-v02=2ax适用于匀变速直线运动,而不是所有的直线运 动。 2.物体做匀加速直线运动,应用公式v2-v02=2ax求解问题时,一 般取初速度的方向为正方向。
2.初速度为零的匀变速直线运动的常用推论： (1)等分运动时间(以T为时间单位)。 ①1T末、2T末、3T末…瞬时速度之比： v1∶v2∶v3…=1∶2∶3… ②1T内、2T内、3T内…位移之比： x1∶x2∶x3…=1∶4∶9… ③第一个T内、第二个T内、第三个T内…的位移之比：
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ…=1∶3∶5…
2
)
C.A、B间的距离为5vt D.在后一半时间所通过的距离比前一半时间通过的距离多3vt
【解析】选A、B。设A、B中点位臵时的速度是v′，则有 (7v)2-v′2=v′2-v2=2ax，计算可得v′=5v，A正确。从A到B所 需时间的中点(
t )的速度即为该过程的平均速度，是首尾两点 2
速度的算术平均值，B正确，C错误。前一半时间的平均速度是
(2)物体做初速度为v0(>0),加速度为a(<0)的匀变速直线运动, 取初速度的方向为正方向,应用公式v2-v02=2ax求解运动位移 x(>0)时的速度v,v有一正一负两解,两解都有意义吗?为什么? 提示：物体先减速运动,速度减到零后再反向加速运动,速度的 两个解都有意义,正值与负值分别表示减速运动过程中和加速 运动过程中经过位移x处的速度。
2 2 v 80 02 得其位移x2= m=640 m。 ＝ 2a 2 2 5
跑道长度至少为x=x1+x2=1440m。 答案：1440m
【通关1+1】
1.(多选)物体先做初速度为零的匀加速运动,加速度大小为a1,
当速度达到v时,改为以大小为a2的加速度做匀减速运动,直至
速度为零。在加速和减速过程中物体的位移和所用时间分别为
飞机匀加速运动 的 【解题探究】(1)该题的求解思路：先求解_______________
飞机匀减速运动到静止 的位移,最后求解_______, 总位移 位移,再求解_____________________
即为跑道的最小长度。 选取运动的方向为正方 (2)求解飞机匀减速运动位移的思路：_____________________ 向，确定初速度、加速度的正负，代入公式v2-v02=2ax求解。 ______________________________________________________
(2)等分位移(以x为单位)。
①通过x、2x、3x…所用时间之比：
t1∶t2∶t3…=1∶ 2 ∶ 3 …
②通过第一个x、第二个x、第三个x…所用时间之比：
tⅠ∶tⅡ∶tⅢ…=1∶( 2 -1)∶( 3 - 2 )…
③x末、2x末、3x末…的瞬时速度之比：
v1∶v2∶v3…=1∶ 2 ∶ 3 …
【微思考】
L 6
【解析】选B。若物体到达底端时的速度为v，对于整个下滑过 程有v2-0=2aL，若当物体速度为 v 时，下滑的距离为L′，则 有( v )2-0=2aL′，由以上两式可得，L′= L ，B正确。
3
9
3
2.汽车正在以12 m/s的速度在平直的公路上前进,在它的正前
方15 m处有一障碍物,汽车立即刹车做匀减速运动,加速度大小
【题组通关】
【示范题】光滑斜面的长度为L,一物体自斜面顶端由静止开始
匀加速滑至底端,经历的时间为t,则下列说法不正确的是( )
A.物体运动全过程中的平均速度是 L
B.物体在 t 时的瞬时速度是 2L
2
t t
C.物体运动到斜面中点时瞬时速度是
2L t 2t 2
D.物体从顶点运动到斜面中点所需的时间是
【解析】选D。由vB2=2as,vC2=2a·2s,vD2=2a·3s,vE2=2a·4s, 可得：vB∶vC∶vD∶vE=1∶ 2 ∶ 3 ∶2,A正确。由v=at得： tE∶tB=vE∶vB=2∶1,tB∶tC=vB∶vC=1∶ 2 ,tC∶tD=vC∶vD=
5vt 后一半时间的平均速 ， 2 2 4 2 2 度是 4v 7v 11v ，通过的位移为 11v t 11vt ， 在后一半时 2 2 4 2 2 间所通过的距离比前一半时间通过的距离多 3vt ，D错误。 2
v 4v 5v ，通过的位移为 5v t
(1)物体做匀加速直线运动,一段过程中间时刻的速度与中间位
置的速度哪个大?
提示：中间位臵的速度大,因为物体做加速运动,后一半时间内
的平均速度较大,故经过一半的时间时,还没有到达中间位臵。
(2)物体做匀减速直线运动,一段过程中间时刻的速度与中间位 置的速度哪个大? 提示：中间位臵的速度大,因为物体做减速运动,后一半时间内 的平均速度较小,故经过一半的时间时,已经经过了中间位臵, 即先经过中间位臵后到达中间时刻。
a1 t 2 进一步可得 x1 t1 选项A、C正确。 , , x2 t2 a 2 t1 x1 a 2 ， x 2 a1
2.两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若
它们的初速度之比为1∶2,它们运动的最大位移之比为( )
A.1∶2
B.1∶4
C.1∶ 2
2=2ax得
D.2∶1
【解析】选B。由0-v0
4 匀变速直线运动的速度与位移的关系
1.了解匀变速直线运动的位移与速度的关系推导
学习
目标
方法。 2.理解匀变速直线运动的位移与速度的关系。 3.掌握匀变速直线运动的位移与速度的关系式,
会用此公式求解匀变速直线运动的问题。
速度与位移的关系式 2ax 。 1.公式：v2-v02=____ v0+at 。 2.推导：速度公式：v=_____
2ax 。 位移公式：x= v0 t 1 at 2 。由以上两式可得：v2-v02=____
2
【自我思悟】 1.公式v2-v02=2ax中有几个矢量?如何确定各个矢量的正负? 提示：公式v2-v02=2ax涉及4个物理量,每个量都是矢量,选取正 方向之后,与正方向相同的物理量为正,与正方向相反的物理量
【题组通关】 【示范题】(2014·徐州高一检测)某种类型的飞机起飞滑行时, 从静止开始做匀加速运动,加速度大小为4m/s2,飞机速度达到 80 m/s时离开地面升空。如果在飞机达到起飞速度时,突然接 到命令停止起飞,飞行员立即使飞机制动,飞机做匀减速运动, 加速度大小为5 m/s2。如果要求你为该类型的飞机设计一条跑 道,使在这种特殊情况下,飞机不滑出跑道,你设计的跑道长度 至少要多长?
为6 m/s2,刹车后3 s末汽车和障碍物之间的距离为(
A.3 m B.6 m C.12 m D.9 m
)
v0 =2 s,刹车后3 s末 a 2 2 0 v 12 0 汽车已静止,此过程汽车前进的距离x= m=12 m, 2a 2 6
【解析】选A。汽车从刹车到静止用时t=
故刹车后3 s末汽车和障碍物之间的距离为15 m-12 m=3 m,A正 确。
深化理解
1.适用条件：公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关
系,适用于匀变速直线运动。
2.意义：公式v2-v02=2ax反映了初速度v0、末速度v、加速度a、 位移x之间的关系,当其中三个物理量已知时,可求另一个未知 量。
3.公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量,应用时必须选 取统一的正方向,一般选v0方向为正方向。 (1)物体做加速运动时,a取正值,做减速运动时,a取负值。 (2)x>0,说明物体通过的位移方向与初速度方向相同;x<0,说明 位移的方向与初速度的方向相反。
L 1 2 所以 度为a，到达中间位臵用时t′，则 L 1 at 2， at ， t t
t
t
2
2
t
2
t
t′=
2 ，D对。 t 2
2
2
2
【通关1+1】 1.(多选)(2013·深圳高一检测)做匀加速直线运动的物体,先 后经过A、B两点时,其速度分别为v和7v,经历的时间为t,则 ( A.经A、B中点位置时的速度是5v B.从A到B所需时间的中点 t 的速度是4v
x1、t1和x2、t2,下列各式成立的是(
x1 t1 A. x2 t2 a 1 t1 B. a2 t2 x1 a 2 C. x 2 a1
)
x1 a1 D. x2 a2
【解析】选A、C。在加速运动阶段v2=2a1x1，v=a1t1；在减速 运动阶段0-v2=2(-a2)x2，0-v=-a2t2。由以上几式可得
4.两种特殊形式： (1)当v0=0时,v2=2ax。(初速度为零的匀加速直线运动) (2)当v=0时,-v02=2ax。(末速度为零的匀减速直线运动)
【微思考】 (1)物体做初速度为v0,加速度为a的匀加速直线运动,取初速度 的方向为正方向,应用公式v2-v02=2ax求解运动位移x时的速度 v,v有一正一负两解,两解都有意义吗?为什么? 提示：物体做单一方向的加速直线运动,速度不可能是负值,故 正值有意义,负值无意义应舍掉。
【素养升华】
运动学问题的一般求解思路
(1)弄清题意。建立一幅物体运动的图景,尽可能地画出草图,
并在图中标明一些位臵和物理量。
(2)弄清研究对象。明确哪些是已知量,哪些是未知量,据公式
特点选用恰当公式。
(3)列方程、求解。必要时要检查计算结果是否与实际情况相 符合。
二、匀变速直线运动的几个规律 1.中间位置的速度与初、末速度的关系：
【解题探究】(1)对于匀变速直线运动，某段时间内的平均 速度、中间时刻的速度与初、末速度之间的关系式是 v =
v0 v vt 2 。 _________ 2
(2)匀变速直线运动中，中间位置的速度与初、末位置的速度
2 v0 v2 的关系式是 v x =________ 。 2
2
【规范解答】选B。全程的平均速度v= x L,A对。 t 时，物体 的速度等于全程的平均速度 L ,B错。若末速度为v，则 v L ， v= 2L ,故中间位臵的速度 v中 v 2L , C对。设物体的加速
1 2 1 x1 v 012 故 x1 ( ) ， , x2 2 4 x 2 v 02 2
B正确。
【变式训练】1.已知长为L的光滑斜面，物体从斜面顶端由静 止开始以恒定的加速度下滑，当物体的速度是到达斜面底端速 度的 1 时，它沿斜面已下滑的距离是(
3
)
A.
L 3
B.
L 9
C.
3L 3
D.
2.(2014·邢台高一检测)如图所示,光滑斜
面AE被分成四个相等的部分,一物体由A点
从静止释放,下列结论不正确的是(
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)
A.物体到达各点的速率之比vB∶vC∶vD∶vE=1∶ 2 ∶ 3 ∶2
B.物体到达各点经历的时间tE=2tB= 2 tC= 2 tD
3
C.物体从A到E的平均速度 v =vB D.物体通过每一部分时,其速度增量vB-vA=vC-vB=vD-vC=vE-vD
3.物体做加速度与初速度方向相反的匀变速直线运动,应用公 式v2-v02=2ax求解问题时,不一定取初速度的方向为正方向,也 可以取加速度的方向为正方向。 4.对于末速度为零的匀减速直线运动,利用逆向思维法,速度与 位移的关系可表示为v02=2ax(a表示加速度的大小)。
一、对公式v2-v02=2ax的理解