已知函数单调性求参数范围公开课教案
已知函数fxxax在区间上单调求实数a的取值范围学习教案
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(4)并不是所有函数都具有单调性．若一个函数在定义区间上既 有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性． 提醒 若函数出现两个或两个以上的单调区间时，两单调区间 不能用“∪”连接呦！而用“和”或“，”连接．
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2．判断函数单调性的常用方法 (1)定义法：这是证明或判定函数单调性的常用方法．这种判断 函数单调性的最基本的方法在高考中常有考查，一定要引起重 视． (2)图象法：根据函数图象的升、降情况进行判断． (3)依据已知函数的单调性判断：如根据已学过的一次函数、二 次函数、反比例函数的单调性情况．
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例题已知函数y=-x2-2x+3且x [0，2],
求函数的最值？ 解析(jiě xī)：y= -x2-2x+3
= -(x+1)2+4 因为x[0，2]如右图 则ymax=f(0)= 0+0+3=3 ymin=f(2)= -4-4+3=-5
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(8 分)
解得12<m≤2.(10 分)
∴所求 m 的取值范围是12，2.(12 分)
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已知函数(hánshù)f(x)＝x2－2ax－3在区间 [1,2]上单调，求实数a的取值范围．
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解 函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向 上，对称轴为直线x＝a，画出草图(cǎotú) 如图所示．由图象可知函数在(－∞，a]和 (a，＋∞)上分别单调，因此要使函数f(x) 在区间[1,2]上单调，只需a≤1或a≥2(其中 当a≤1时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递增； 当a≥2时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递减)， 从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．
函数的单调性市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案
函数的单调性教案一、引入函数的单调性是高中数学中的重要概念，它描述的是函数在定义域上的变化趋势。
在解题中，了解函数的单调性能够帮助我们简化问题，提高解题效率。
本教案将通过详细的讲解和例题分析，帮助学生掌握函数的单调性的概念、判断和应用。
二、概念剖析1. 单调递增函数：设函数 f(x) 在定义域上有定义，若对任意的x1 和 x2，当 x1 < x2 时，有 f(x1) ≤ f(x2)，则称 f(x) 在定义域上是单调递增的。
2. 单调递减函数：设函数 f(x) 在定义域上有定义，若对任意的x1 和 x2，当 x1 < x2 时，有 f(x1) ≥ f(x2)，则称 f(x) 在定义域上是单调递减的。
3. 严格单调递增函数：设函数 f(x) 在定义域上有定义，若对任意的 x1 和 x2，当 x1 < x2 时，有 f(x1) < f(x2)，则称 f(x) 在定义域上是严格单调递增的。
4. 严格单调递减函数：设函数 f(x) 在定义域上有定义，若对任意的 x1 和 x2，当 x1 < x2 时，有 f(x1) > f(x2)，则称 f(x) 在定义域上是严格单调递减的。
三、判断方法1. 导数判断法：对于函数 f(x)，通过求导数 f'(x)，可以判断函数的单调性。
当 f'(x) > 0 时，函数 f(x) 单调递增；当 f'(x) < 0 时，函数f(x) 单调递减。
2. 一阶差分判断法：对于函数 f(x)，通过计算相邻两点之间的函数值差来判断函数的单调性。
当 f(x2) - f(x1) > 0 时，函数 f(x) 单调递增；当 f(x2) - f(x1) < 0 时，函数 f(x) 单调递减。
四、应用示例1. 实例1：判断函数 f(x) = 3x + 2 的单调性。
解析：根据导数判断法，求出函数 f(x) 的导数 f'(x) = 3。
《函数单调性教案》
《函数单调性教案》一、教学目标：1. 理解函数单调性的概念，掌握函数单调增和单调减的定义。
2. 学会利用单调性判断函数的性质，如极值、最值等。
3. 能够运用单调性解决实际问题，如求函数的极值、最值等。
二、教学内容：1. 函数单调性的概念及单调增、单调减的定义。
2. 单调性的判断方法及应用。
3. 实际问题中的单调性应用。
三、教学重点与难点：1. 函数单调性的概念及判断方法。
2. 单调性在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 讲授法：讲解函数单调性的概念、判断方法及应用。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用单调性解决问题。
3. 互动教学法：提问、讨论，激发学生的思考。
五、教学过程：1. 导入：复习函数的概念，引导学生思考函数的性质。
2. 讲解：讲解函数单调性的概念，引导学生理解单调增、单调减的定义。
3. 举例：分析具体函数的单调性，让学生学会判断。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固单调性的判断方法。
5. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用单调性解决问题。
6. 总结：回顾本节课的内容，强调单调性的重要性。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学内容。
六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数单调性的理解和掌握程度。
2. 练习题：收集学生练习题的答案，评估学生对单调性判断方法的掌握。
3. 案例分析：评估学生在实际问题中运用单调性的能力。
七、教学拓展：1. 引导学生思考函数单调性在实际生活中的应用，如经济学中的需求曲线、供给曲线等。
2. 介绍函数单调性在数学其他领域的应用，如微分、积分等。
八、教学资源：1. 教材：提供相关教材，为学生提供系统性的学习材料。
2. 课件：制作课件，辅助教学，提高课堂效果。
3. 练习题：准备练习题，巩固所学内容。
4. 实际问题案例：收集实际问题案例，用于教学实践。
九、教学建议：1. 注重概念的理解：在教学过程中，要强调函数单调性概念的理解，让学生明白单调性是什么。
已知函数单调性求参数范围公开课教案
肥东锦弘中学高中部数学公开课教案已知函数单调性求参数范围教学目标1.知识与技能:学会利用导数来解决已知单调性求参数范围问题;2.过程与方法:通过实例讲解,归纳,解决问题的方法;3.情感与态度:通过问题的解决,体会转化思想的应用. 教学重点已知单调性,利用导数求参数范围.教学难点不同问题的处理方法.教学过程(一)知识梳理函数y =f (x )的导数为)('x f y =,对于区间(a ,b ).1.若y =f (x )的单调区间为(a ,b ),则⎩⎨⎧==0)('0)('b f a f 2.若y =f (x )在区间(a ,b )上单调递增(递减),则)0)('(0)('≤≥x f x f 在(a ,b )上恒成立.(二)典例分析例1 函数)(ln )(22R a ax x a x x f ∈+-=的单调递减区间是),1(+∞,求a 的值.例2 函数)(ln )(22R a ax x a x x f ∈+-=在),1(+∞上是减函数, 求a 的取值范围.例3 函数)0(221ln )(2<--=a x ax x x f 在定义域内单调递增,求a 的取值范围.例4 函数1331)(223+-+=x m mx x x f 在区间)3,2(-上是减函数,求m 的取值范围.例5已知R a ∈,函数3)1()(223+-+-=x a ax x x f 在)0,(-∞和),1(+∞上都是增函数, 求a 的取值范围.(三)课时小结本节课主要介绍了已知函数单调性来利用导数求参数范围.(四)备用练习1.函数)0(3)(223>+-+=a x a ax x x f 在[-1,1]上没有极值点, 求a 的值.2.函数)0(1)(2>+=a axe xf x在R 上为单调函数, 求a 的取值范围.3.函数1)5()1()(23-++-+=x k x k x x g 在区间）（3,0上有极值点，求参数k 的取值范围。
《函数的单调性》公开课教案
1.3.1：《函数的单调性》一、本节内容在教材中的地位与作用：《函数的单调性》是人教版高中数学必修一第一章第三节第一课时的内容，该内容包括函数的单调性的定义与判断及其证明。
这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。
教材中从形和数来判断函数的增减性。
函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数最值性和奇偶性，合称为函数的简单性质。
函数的单调性为进一步学习函数其它性质提供了方法依据。
同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。
二、学情、教法分析：按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。
对于函数单调性，学生的认知困难可能存在以下两个方面的问题：（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．因此，在教学过程中，要注意学生第一次接触代数形式的证明，为使学生能迅速掌握代数证明的格式，要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程，在形式上要从有意识的模仿逐渐过渡到独立的证明。
三、教学目标1.知识与技能：(1)使学生理解函数单调性和最值的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性和最值。
(2)能够利用函数的单调性及最值进行综合运用。
(3)启发学生发现问题和提出问题，培养学生分析问题、认识问题和解决问题的能力。
2.过程与方法：(1)通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法.(2)从已有知识出发，培养学生学会运用函数图象理解和研究函数的性质的能力。
3.情感、态度与价值观：(1)通过知识的探究过程，突出学生的主观能动性：(2)培养学生认真分析、严谨论证的数学思维习惯,让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。
利用导数求参数的取值范围教案
利用函数的单调性求参数的取值范围【教学目标】：1、熟练掌握原函数)(x f 的单调性与导函数)('x f 的关系.2、利用分离参数法求参数的取值范围；3、利用分类讨论的方法求参数的取值范围.【教学重点】：求参数取值范围的常用方法；【教学难点】：利用分类讨论法求参数的取值范围【教学类型】：习题课【教学方法】：启发引导，讲练结合【教学用具】：幻灯片、实物投影【教学过程】：一、知识回顾：请同学们思考：对于函数)(x f ，若导函数在区间),(b a 内0)('>x f ，则)(x f 是_ 单调递增____函数；反之，若)(x f 在区间),(b a 内是单调递增函数，则0≥)('x f ，即导函数)('x f 的图像恒位于x 轴的上方（或x 轴上）.即0)('>x f 是)(x f 在区间),(b a 内为增函数的__充分不必要___________条件.二、典例探究：例1：已知函数13)(23++-=x ax x x f 在[2,4]是单调递增函数，求参数a 的取值范围.答案：415≤a设计意图：本题是求参数取值范围的经典题型，也是高考题的改编，设计本题的主要意图是启发学生用“分离参数法”求参数的取值范围。
练习1：已知函数13)(3++-=x ax x x f 在 ),0[+∞上是单调递增函数，求参数a 的取值范围.说明：本题是例题的一个变式，比例1要简单，所以作为学生的一道练习题，并且这道题中提供的区间是开区间，可以是学生对比与例题的区别和联系答案：3≤a练习2：若函数1)(23+-=ax x x f 在（0,2）内单调递减，求实数a 的取值范围. 答案：3≥a【提炼方法】：分离参数法：分离参数----构造函数g(x)---求g(x)的最值---得参数范围例2：已知函数123223++-=x a ax x x f )(在[0,2]是单调递增函数，求参数a 的取值范围. 答案：330+≥≤a a 或设计意图：本题也是例1的改编，在例1的基础上将x 的系数变成22a ，使题目不能使用分离参数法，从而引出新的方法分类讨论法。
《单调性与最大(小)值》教案
《单调性与最大（小）值》教案教学目标1、理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念.2、掌握增（减）函数的证明和判别.3、学会运用函数图像进行理解和研究函数的性质.教学重难点重点：判断函数单调性，找出单调区间，熟练求函数的最大（小）值.难点：理解函数的最大（小）值，能利用单调性求函数的最大(小)值.教学过程在教法学法方面，采用启发式、探讨式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流。
通过学生身边熟悉的事物，教师创造疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，学生以自己的努力找到了解决问题的方法。
一、情景导入问题：1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：（1）随x 的增大，y 的值有什么变化？（2）能否看出函数的最大、最小值？二、新课教学（一）函数单调性定义1．增函数一般地，设函数y =f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数（increasing function ）．思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。
○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) ．注意“任意”两字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换，两个任意的自变量是属于同一个单调区间。
2．函数的单调性定义如果函数y =f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f(x)的单调区间：3．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；○2 作差f(x 1)－f(x 2)；○3 变形（通常是因式分解和配方）；○4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．4、判定函数单调性的常见方法（1）定义法：如上述步骤，这是证明或判定函数单调性的常用方法（2）图象法：根据函数图象的升降情况进行判断。
函数的单调性优秀教案(教学设计)(公开课比赛优秀教案)
函数的单调性优秀教案(教学设计)(公开课比赛优秀教案)教学目标：知识目标：让学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。
能力目标：通过探究函数单调性定义，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过证明函数单调性，提高学生的推理论证能力。
德育目标：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维惯，让学生经历从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程。
教学重点：函数单调性的概念、判断及证明。
教学难点：归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性。
教材分析：函数的单调性是函数的重要性质之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性的联系在一起。
本节课在教材中的作用如下：1）函数的单调性在初中数学中有广泛的应用。
它与前一节内容函数的概念和图像知识的延续有密切的联系，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础。
2）函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材。
本节课通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。
教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格证明方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系。
同时还要综合利用前面的知识解决函数单调性的一些问题，有利于学生数学能力的提高。
3）函数的单调性有着广泛的实际应用。
在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个数学教学。
函数的单调性在中学数学中扮演着十分重要的角色，因为它反映了函数的变化趋势和特点。
在解决问题时，利用函数单调性的观点是十分重要的，这为培养创新意识和实践能力提供了重要的途径和方式。
“函数的单调性”教案
“函数的单调性”教案一、教学目标1. 理解函数单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法。
2. 能够运用函数单调性解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生对函数知识的兴趣。
二、教学内容1. 函数单调性的定义与性质2. 判断函数单调性的方法3. 函数单调性在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 函数单调性的定义与性质2. 判断函数单调性的方法3. 函数单调性在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用启发式教学，引导学生主动探究函数单调性的定义与性质。
2. 通过例题讲解，让学生掌握判断函数单调性的方法。
3. 结合实际问题，培养学生运用函数单调性解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入新课：回顾上一节课的内容，引导学生思考函数的单调性。
2. 讲解函数单调性的定义与性质：详细讲解函数单调性的概念，引导学生理解并掌握函数单调性的性质。
3. 判断函数单调性的方法：讲解如何判断函数的单调性，引导学生通过实例分析来掌握判断方法。
4. 运用函数单调性解决实际问题：给出实际问题，引导学生运用函数单调性进行解决，培养学生的应用能力。
5. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调函数单调性的重要性。
6. 布置作业：设计具有针对性的作业，巩固学生对函数单调性的理解和掌握。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数单调性的理解程度，及时发现并解决学生在学习过程中遇到的困惑。
2. 作业批改：重点关注学生对函数单调性概念的掌握和判断方法的运用，及时给予反馈和指导。
3. 课堂练习：设计一些具有代表性的练习题，让学生在课堂上独立完成，检验学生对函数单调性的掌握情况。
七、教学拓展1. 引导学生思考函数单调性与其他数学概念的联系，如导数、极限等。
2. 介绍函数单调性在实际应用中的重要作用，如经济学、物理学等领域。
3. 鼓励学生进行课外阅读，了解函数单调性的更多相关知识，提高学生的知识面。
八、教学反思1. 反思教学过程中的优点和不足，总结经验教训，为今后的教学提供参考。
《函数的单调性和最值(1)》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】
《函数的单调性和最值（1）》教学设计1．理解增函数、减函数、最值等概念．2．培养学生利用函数概念进行判断推理的能力及数形结合的能力．3．使学生养成细心观察、认真分析的良好思维习惯．重点：函数单调性的概念．难点：对函数单调性概念中关键词的理解． 一、新课导入 复习函数的概念，回答以下问题： 1．函数是如何定义的?函数概念包含几个要素?各是什么?2．函数常见的表示法有几种?各有什么特点?3．函数的定义域怎样确定?如何表示?4．函数研究的主要内容是什么?5．下列函数具有什么特征?如何说明函数具有这些特征?为什么具有这些特征?（1）y =2x +1 （2）y =−x 2+1 （3）y =1x1．函数概念：给定实数集R 中的两个非空数集A 和B ，如果存在一个对应关系f ，使对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就把对应关系f 称为定义在集合A 上的一个函数，记作y =f (x )，x ∈A ．函数的三要素：定义域、对应法则、值域．2．解析法的特点：简明、全面地概括了变量间的关系；图象法的特点：直观形象地表示出函数变化的趋势；列表法的特点：不需计算直接就可看出自变量相应的函数值．3．函数的定义域：使函数有意义的自变量的取值范围．通常用集合或者区间来表示．4．函数研究的主要内容是函数的概念与性质．5．(1)中函数值随自变量的增大而增大；随自变量的减小而减小．(2)中，在对称轴的左侧，函数值随自变量的增大而增大；在对称轴的右侧，函数值随自变量的增大而减小．(3)中在第一象限和第三象限，函数值均随自变量的增大而减小．设计意图：(1)复习函数概念及函数的表示法，引导学生从概念出发研究函数的性质;(2)回顾初中对函数性质的认识及研究方法，与本节课的学习内容形成对比． ◆教学目标 ◆教学重难点 ◆ ◆教学过程二、新知探究问题1：（展示某只股票在某一天内的变化图）请学生观察股市图，说一说这只股票当天的走势．答案：随着时间的增加，股票价格不断增长，最后随着时间的增加，价格稳定不变．问题2：观察函数图象，分析当自变量x变化时，函数值f(x)是怎样随之变化的．答案：从左至右观察函数f(x) (x∈[-6，9])的图象上点的位置变化，可以看出：对于区间[-6，-5]，[-2，1]，[3，4.5]，[7，8]，图象是上升的，每个区间上的函数值f(x)都随x值的增大而增大；对于区间[-5，-2]，[1，3]，[4.5，7]，[8，9]，图象是下降的，每个区间上的函数值f(x)都随x值的增大而减小．函数值随着自变量的增大而增大，或随着自变量的增大而减小，这种变化规律称为函数的单调性．追问：怎样用数学的符号语言来表达函数值f(x)在区间[-6，-5]上随x值的增大而增大呢?答案：对于任意的x1、x2∈[-6，-5]．当x1<x2时，f(x1)< f(x2)．设计意图：在观察分析的过程中，将点的位置变化转化为随自变量的变化函数值的变化，由对函数图象的观察转化为对函数性质的研究．问题３：通过上面的学习，我们如何用数学的符号语言表达函数的单调性呢？一般地，设函数f(x)的定义域D：如果对于任意的x1、x2∈D，当x1<x2，都有f(x1)< f(x2)，那么就称函数y=f(x)是增函数，特别的，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y= f(x)在区间I上单调递增．如果对于任意的x1、x2∈D，当x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数y=f(x)是减函数，特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y=f(x)在区间I上单调递减．如果函数y=f(x)在区间上单调递增或递减，那么就称函数y=f(x)在区间I上具有单调性．此时I为函数y=f(x)的单调区间．追问１：如何理解函数单调性定义中的关键词“任意的”“都有”？答案：“任意的”“都有”指的是在定义域当中存在两个变量满足条件，是不能确定函数的单调性的，需要对定义域内任意选取的所有x1、x2，只要满足x1<x2都有f(x1)< f(x2)或者f(x1)> f(x2)成立，才能确定函数的单调性．追问２：函数单调递增或者单调递减还有其他表示形式吗？答案：在函数y=f(x)定义域内的一个区间I上，对于任意的x1、x2∈I且x1≠x2，>0，则称函数y=f(x)在区间I上是增函若[f(x1)－f(x2)](x1−x2)>0或f(x1)－f(x2)x1−x2数或函数y=f(x)在区间I上单调递增．若[f(x1)－f(x2)](x1−x2)＜0或f(x1)－f(x2)＜0，则称函数y=f(x)在区间I上是减函数x1−x2或函数y=f(x)在区间I上单调递减．问题４：观察问题２中函数的图象，函数值f(x)在哪个范围内变化？从函数图象上看，函数的最大值（最小值）在哪个自变量处取到？答案：根据函数图象，函数值在f(3)和f(2)这两个函数值之间变化，其中在x=3处取得最小值，在x=2处取得最大值．函数的最值：若存在实数M，对所有的x∈D，都有f(x)≤M，且存在x0∈D，使得f(x0)=M，则称M为函数y=f(x)的最大值．同样的，可以定义函数y=f(x)的最小值．函数的最大值和最小值统称为最值．总结：（1）M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素；（2）最大（小）值定义中的“对所有的”是说对于定义域内的每个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y=f(x)的图象不能位于直线y=M的上（下）方．三、应用举例例1．设f(x)是定义在R上的函数，判断下列命题是否成立，并说明理由．（1）若存在x1、x2∈R，且x1<x2，使得f(x1)< f(x2)成立，则函数f(x)在R上单调递增；（2）若存在x1、x2∈R，且x1<x2，使得f(x1) ≤f(x2)成立，则函数f(x)在R上不可能单调递减；（3）若存在x2>0，对于任意的x1∈R，都有f(x1)< f(x1+x2)成立，则函数f(x)在R上单调递增；（4）对任意的x1、x2∈R，且x1<x2，都有f(x1) ≥f(x2)成立，则函数f(x)在R上单调递减．解：（1）不成立，比如函数y=−x2−1<0，f(−1)< f(0)．函数在对称轴的左侧单调递增，右侧单调递减，并不是在R上单调递增．（2）成立，由函数单调递减的定义可知，在给定区间上，当x1<x2，都有f(x1)> f(x2)．所以存在x1、x2∈R，且x1<x2，使得f(x1) ≤f(x2)成立，则函数f(x)在R上不可能单调递减．（3）成立，当x2>0时，x1<x1+x2恒成立，且满足f(x1)< f(x1+x2)，根据函数单调递增的定义可知成立．（4）不成立，由函数单调递减的定义可知当x1<x2，都有f(x1)> f(x2)，不能带等号．设计意图：（1）改变概念的内涵或外延，有利于学生从较高层次把握概念的本质，从而认识到概念中哪些因素是重要的，起关键作用的，哪些因素容易出错，形成对数学概念的全面理解和认识．（2）引入反例、错例，可以帮助学生从另一个角度形成对数学概念的更深入、更全面的认识．例2．设f(x)=1x(x<0)画出f(x+3)(x<−3)的图象，并通过图象直观判断它的单调性．解：依题意知f(x)=1x+3(x<−3)其图象可由f(x)=1x(x<0)的图象向左平移3个单位长度得到．该函数在区间(−∞，−3)上单调递减．探究：对于f(x)=1x+3，(−∞，−3)和(−3，+∞)都是它的单调区间，并且函数f(x)=1x在这两个区间上都是单调递减，那么能否说函数f(x)=1x+3在整个定义域上是减函数?解：不能，因为函数f(x)=1x+3的定义域不连续，当我们在区间(−3，+∞)上取一个数比如1，在区间(−∞，−3)上取一个数比如−4，我们知道−4<1，但f(−4)=1−1=−1<f(1)=11+3=1 4，即不能说函数f(x)=1x+3在整个定义域上是减函数．例３．根据函数图像直观判断y=|x−1|的单调性，并求出最小值．解：函数y=|x−1|可以表示为y={1−x，x≤1，x−1，x>1．画出该函数的图象．由图象可知该函数在区间（-∞，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增，当x=1时，y=|x−1|取得最小值，最小值为0．探究：函数在区间[1，+∞）上是否存在最大值？为什么？答案：函数在区间[1，+∞）上不存在最大值，因为函数在区间上单调递增，因此不存在函数值M使得对于定义域内的每个值都满足不等式f(x)≤M．四、课堂练习1．请根据函数图象直观判断下列函数在给定区间上的单调性，并求出它们的最值：（1）y=−5x，x∈[2，7]（2）f(x)=3x2−6x+1，x∈[3，4)；（3）y=|x2−2x|，x∈[−1，3]．2．某型号汽车使用单位体积燃料行驶的路程f（x）（单位：km）是行驶速度x（单位：km/h）的函数．由实验可知，这一函数关系是f（x）=−0.01x2+1.2x−5.8．（1）求f（50），并说明它的实际意义；（2）当速度x为多少时，汽车最省油？参考答案：1．．解析：（1）y=−5x在区间[2，7]单调递减．最小值是f(7)=−35，最大值是f(2)=10．（2）函数f(x)=3x2−6x+1的开口向上，对称轴为x=1，所以在区间[3，4)单调递增．最小值是f(3)=10，无最大值．（3）由题意，函数y=|x2−2x|，在区间[−1，0]和[1，2]上单调递减；在(0，1)和(2，3]单调递增．最小值是0，最大值是f(3)=f(−1)=3．2．解析：（1）f(50)=29.2，表示当行驶速度为50km/h时，行驶路程是29.2km．(2)由题意，函数f（x）=−0.01x2+1.2x−5.8的对称轴为x=60，此时函数最大值为f(60)=30.2，即速度为60km/h时，汽车最省油．五、课堂小结1．函数单调性的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D：如果对于任意的x1、x2∈D，当x1<x2，都有f(x1)< f(x2)，那么就称函数y=f(x)是增函数，特别的，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y=f(x)在区间I上单调递增．如果对于任意的x1、x2∈D，当x1<x2，都有f(x1)> f(x2)，那么就称函数y=f(x)是减函数，特别的，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y=f(x)在区间I上单调递减．2．函数的单调区间：如果函数y=f(x)在区间上单调递增或递减，那么就称函数y= f(x)在区间I上具有单调性．此时I为函数y=f(x)的单调区间．3．函数的最值：若存在实数M，对所有的x∈D，都有f(x)≤M，且存在x0≤D，使得f(x0)=M，则称M为函数y=f(x)的最大值．同样的，可以定义函数y=f(x)的最小值．函数的最大值和最小值统称为最值．六、布置作业教材第60页练习题第2~4题．。
《函数单调性教案》
《函数单调性教案》word版章节一：引言1.1 课程背景本节课主要讲解函数的单调性。
函数单调性是数学中的一个重要概念，也是高中数学的核心内容之一。
通过学习函数单调性，学生可以更好地理解函数的性质，提高解决问题的能力。
1.2 教学目标1. 理解函数单调性的概念及意义。
2. 学会判断函数的单调性。
3. 能够应用函数单调性解决实际问题。
章节二：单调性的定义与性质2.1 单调性的定义本节课我们将引入单调性的定义。
一个函数在某个区间内，如果对于任意的x1和x2，当x1 < x2时，都有f(x1) ≤f(x2)，则称该函数在区间内是单调递增的；如果对于任意的x1和x2，当x1 < x2时，都有f(x1) ≥f(x2)，则称该函数在区间内是单调递减的。
2.2 单调性的性质本节课我们将学习单调性的几个重要性质。
如果函数在某个区间内是单调递增的，它在该区间内的任意子区间内也是单调递增的；同样地，如果函数在某个区间内是单调递减的，它在该区间内的任意子区间内也是单调递减的。
如果两个函数在某个区间内具有相同的单调性，它们的和函数在该区间内也具有相同的单调性。
章节三：判断单调性3.1 判断单调性的方法本节课我们将介绍几种判断函数单调性的方法。
可以通过求导数来判断函数的单调性。
如果函数在某个区间内的导数大于0，则函数在该区间内是单调递增的；如果函数在某个区间内的导数小于0，则函数在该区间内是单调递减的。
可以通过观察函数的图像来判断函数的单调性。
如果函数的图像在某个区间内是上升的，则函数在该区间内是单调递增的；如果函数的图像在某个区间内是下降的，则函数在该区间内是单调递减的。
3.2 判断单调性的应用本节课我们将通过一些实际问题来应用单调性的判断方法。
例如，我们可以通过判断函数的单调性来确定函数的最大值和最小值所在的区间，或者判断两个函数的交点位置等。
章节四：单调性与实际应用4.1 单调性与最值本节课我们将学习单调性与函数最值的关系。
函数的单调性公开课
例2：已知y f ( x)和y g ( x)是R的增函数 求证：F ( x) f ( x) g ( x)是R上的增函数
证明：任取 x1 , x 2 R且 x1 f ( x ), g ( x )在R上是增函数 f ( x1) f ( x 2) 0, g ( x1) g ( x2) 0 F ( x1) F ( x2) 0 F ( x )在R上是增函数 F x1 F x 2 f ( x1) f ( x2) g ( x1) g ( x2)
4 练 : 求函数f ( x ) x 在区间[2， 6]上的最大值与最小值. x 4 思考 : 试判断函数f ( x ) x ( x 0)的单调性, 并说明理由. x
b 评 : 当x 0时,函数f ( x ) ax (a , b为正常数)的单调性： x b b 在(0, ]上单调递减，在 [ ,)上单调递增。 a a
x
f x
x
2
1 ( x 0) x
函数单调性的应用
1.根据单调性求参数取值范围 （ 1 ） 函数 f(x) ＝ x2 － 2ax － 3 在区 间[1,2]上单调递增，则( A ) • A．a∈(－∞，1] • B．a∈[2，＋∞) • C．a∈[1,2] • D．a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)
增函数 b x 在 - - ， 2a 减函数
类型二：利用定义判断证明函数单调性 例 1:证明函数 f ( x) 3 x 2 在R上是 增函数.
证明：设x1,x2是R上的任意两个实数， 且x1<x2 ,则 f(x1)－f(x2)=(3x1+2)－(3x2+2) =3(x1－x2). 由x1<x2 ,得x1－x2<0, 于是f(x1)－f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 所以, f(x)=3x+2在R上是增函数. 任意取值 作差变形 判断符号 得出结论
函数的单调性(公开课课件)
单调减函数是指函数在某个区间内，对于任意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），如果$x_1$和$x_2$ 都在这区间内，那么函数值$f(x_1) geq f(x_2)$。也就是说，函数的图像随着$x$的增加而下降。
严格单调函数的定义
总结词
严格单调函数是指函数在某个区间内，严格满足单调增或单调减条件的函数。
利用单调性解方程
利用函数的单调性，可以求解方程。
通过分析函数的单调性，可以确定方程解的范围，从而求解方程。例如，对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，如果$a > 0$，则函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在区间$(-infty, -frac{b}{2a})$上单调递减，在区间$(-frac{b}{2a}, +infty)$上单调递增 ，因此方程的解必定落在$(-frac{b}{2a}, +infty)$区间内。
函数单调性的反例
04
单调增函数的反例
总结词
非严格单调增函数
详细描述
有些函数在其定义域内并非严格单调递增，即存在某些区间内函数值先减小后 增大。例如，函数$f(x) = x^3$在区间$(-2, -1)$内是单调减函数。
单调减函数的反例
总结词
非严格单调减函数
详细描述
有些函数在其定义域内并非严格单调递减，即存在某些区间 内函数值先增大后减小。例如，函数$f(x) = frac{1}{x}$在区 间$(1, +infty)$内是单调增函数。
详细描述
单调增函数是指函数在某个区间内，对于任 意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$ ），如果$x_1$和$x_2$都在这区间内，那么 函数值$f(x_1) leq f(x_2)$。也就是说，函数 的图像随着$x$的增加而上升。
函数的单调性(公开课课件)
VS
单调性与极值大小的关系
单调性可以用来比较不同区间上的极值大 小。
单调性与最值的关系
单调性与最值点的关系
单调性可以用来判断函数在某点是否为最值 点。
单调性与最值大小的关系
单调性可以用来比较不同区间上的最值大小 。
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函数单调性的应用
利用单调性求参数范围
通过函数的单调性，我们可以确定参数的取值范围，进而解决一些数学问题。
在函数中，如果函数在某区间内单调递增或递减，那么我们可以根据函数值的变化趋势，确定参数的取值范围。例如，如果 函数$f(x)$在区间$(a, b)$内单调递增，且$f(x_0) = 0$，那么对于任意$x in (a, b)$，都有$f(x) > 0$，从而可以得出参数的 取值范围。
单调性可以通过函数的导数来判断，如果函数的导数大于等于0，则函数在该区 间内单调递增；如果函数的导数小于等于0，则函数在该区间内单调递减。
单调增函数和单调减函数
01
单调增函数是指函数在某个区间 内随着自变量的增加而增加。
02
单调减函数是指函数在某个区间 内随着自变量的增加而减少。
函数单调性的几何意义
导数与函数单调性
总结词
导数可以判断函数的单调性，当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时 ，函数单调递减。
详细描述
导数表示函数在某一点的切线斜率。如果导数大于0，说明切线斜率为正，函数 在该区间内单调递增；如果导数小于0，说明切线斜率为负，函数在该区间内单 调递减。
复合函数的单调性
总结词
复合函数的单调性取决于内外层 函数的单调性以及复合方式。
“函数的单调性”教案
函数的单调性教案一、教学目标：1. 理解单调性的概念，能判断简单函数的单调性。
2. 掌握单调性的证明方法，能运用单调性解决实际问题。
3. 理解单调性在数学分析中的重要性，培养学生的逻辑思维能力。
二、教学内容：1. 单调性的定义与性质2. 单调性的判断方法3. 单调性的证明方法4. 单调性在实际问题中的应用5. 单调性的进一步探讨三、教学重点与难点：1. 单调性的定义与性质2. 单调性的判断方法3. 单调性的证明方法四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解单调性的定义、性质、判断方法和证明方法。
2. 利用实例分析，让学生直观地理解单调性。
3. 引导学生运用单调性解决实际问题，培养学生的应用能力。
4. 开展小组讨论，激发学生的思考与创新。
五、教学过程：1. 导入：回顾函数的基本概念，引导学生思考函数的性质。
2. 新课讲解：（1）介绍单调性的定义与性质，通过示例让学生理解单调递增和单调递减的概念。
（2）讲解单调性的判断方法，引导学生学会如何判断函数的单调性。
（3）教授单调性的证明方法，让学生掌握如何证明函数的单调性。
3. 实例分析：分析实际问题，运用单调性解决问题。
4. 小组讨论：让学生围绕单调性展开讨论，分享自己的观点和心得。
5. 总结与拓展：回顾本节课的内容，布置课后作业，引导学生进一步探讨单调性的相关问题。
六、课后作业：（1）f(x) = x²（2）f(x) = -x（1）f(x) = x³（2）f(x) = x + 13. 运用单调性解决实际问题：（1）已知函数f(x) = x²4x + 3，求函数的最大值。
（2）已知函数f(x) = 2x 3，求函数在区间[1, +∞）上的最小值。
七、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习积极性。
2. 课后作业：检查学生的作业完成情况，评价学生对单调性的理解和掌握程度。
3. 小组讨论：评价学生在讨论中的表现，包括思考问题、分享观点和合作意识等方面。
高中数学《函数的单调性》公开课优秀教学设计
高中数学《函数的单调性》公开课优秀教学设计函数的单调性是高中数学中的核心知识，它不仅为学生进一步研究函数的其它性质提供了方法依据，而且在解决数学问题时也有重要的应用。
因此，教师应该引导学生正确看待函数的单调性，认识到它的重要性和实用性，培养学生对数学的兴趣和热爱，以及掌握数学思维方法的能力。
教学内容分析：函数的单调性是学生在掌握了函数的概念和表示方法等基础知识后，研究的第一个性质。
它主要刻画了函数在定义域内某区间上图像（上升或下降）的变化趋势，为进一步研究函数的其它性质提供了方法依据。
同时，它在解决比较数的大小、解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。
因此，函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。
教学目标设置：知识与技能：1.准确归纳、抽象概括增函数和减函数的定义，并理解单调性的定义；2.利用图像和定义判断函数的单调性，正确书写单调区间，并用单调性定义证明函数在给定区间上的单调性；3.培养学生抽象概括能力、类比化归能力及数形结合思想方法的运用能力。
过程与方法：1.通过现实问题创设情境，引出函数单调性，借助多媒体直观演示，让学生观察图像变化趋势，过渡到用自变量和函数的变化进行语言表述；2.设置问题引导学生自主探究、尝试、归纳、总结，师生互相讨论交流，形成严格的数学概念；3.引导学生自主探究，通过生生互动，师生互动，加深学生对概念的理解；巩固练问题为了加深学生对单调性定义中自变量取值“任意”性的理解；变式题体现“逆向思维”，深化对定义的理解；通过教师的引导，对判断方法进行适当的深入和拓展，加深学生对单调性定义的理解，为在高三阶段利用导函数研究函数的单调性奠定良好的知识基础；4.知识应用部分，师生合作完成用单调性定义证明一个一次函数单调性，让学生初步体会用符号语言刻画单调性的代数描述过程，然后由教师演示实验让学生直观感知压强和体积的关系，培养了学生数学建模思想和在物理问题中应用数学知识解决问题的能力，最后让学生运用本节课所学知识进行单调性判定和证明，使学生能够学以致用。
已知函数的单调性求参数课件
解答示例
求当$f(x)$在$[2,3]$上单调递增 时，$a,b$的取值范围。
解：根据上述规则，有$a>0$且 $b\ge0$。
练习题二：二次函数单调性求参数
01
02
03
总结词：根据二次函数 的对称轴和单调性，通 过给定的区间和单调性 ，求出参数的取值范围 。
减函数
对于定义域中的任意x1,x2，如果 x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则称 f(x)在定义域上为减函数
判断函数单调性的方法
导数法
对于可导函数，通过判断导数 的正负来判断函数的单调性
复合函数法
通过判断复合函数内外函数的 单调性来判断整个函数的单调 性
定义法
直接根据函数单调性的定义进 行判断
导数的正负与单调性的关系源自导数大于0对应递增，小于0对应递 减，这个关系是确定函数单调性的关 键。
端点值和极值点
在处理实际问题时，要注意端点值和 极值点对函数单调性的影响。
06
课后练习及答案
练习题一：一次函数单调性求参数
详细描述：对于一次函数 $f(x)=ax+b$，如果在区间$I$上为 增函数，则$a>0$且$b\ge0$；如果 在区间$I$上为减函数，则$a<0$且 $b\le0$。
图像法
根据函数的图像特征进行判断
运用定理法
根据函数的性质，如奇偶性、 周期性等来判断函数的单调性
03
利用单调性求参数的常见类型及 解题步骤
一次函数的单调性
总结词
利用一次函数的单调性求参数，首先 需要确定函数的单调区间，然后根据 单调性建立不等式求解。
《函数单调性教案》
《函数单调性教案》教案章节：一、函数单调性的概念教学目标：1. 了解函数单调性的概念；2. 学会判断函数的单调性；3. 能够应用函数单调性解决实际问题。
教学内容：1. 引入函数单调性的概念；2. 讲解函数单调性的判断方法；3. 举例说明函数单调性在实际问题中的应用。
教学步骤：1. 引入实例，引导学生思考函数的单调性；2. 给出函数单调性的定义，解释单调递增和单调递减的概念；3. 讲解函数单调性的判断方法，引导学生进行判断；4. 举例说明函数单调性在实际问题中的应用，如最优化问题、经济问题等；5. 总结本节课的重点内容，布置作业。
教案章节：二、函数单调性的判断方法教学目标：1. 学会判断函数的单调性；2. 掌握函数单调性的判断方法；3. 能够应用函数单调性解决实际问题。
教学内容：1. 回顾函数单调性的概念；2. 讲解函数单调性的判断方法；3. 举例说明函数单调性在实际问题中的应用。
教学步骤：1. 复习函数单调性的概念，引导学生回顾上一节课的内容；2. 讲解函数单调性的判断方法，如导数法、图像法等；3. 举例说明函数单调性在实际问题中的应用，如最优化问题、经济问题等；4. 练习判断函数的单调性，让学生巩固所学知识；5. 总结本节课的重点内容，布置作业。
教案章节：三、函数单调性与最优化问题教学目标：1. 了解函数单调性与最优化问题的关系；2. 学会应用函数单调性解决最优化问题；3. 能够应用函数单调性解决实际问题。
教学内容：1. 引入函数单调性与最优化问题的关系；2. 讲解函数单调性在解决最优化问题中的应用；3. 举例说明函数单调性在实际问题中的应用。
教学步骤：1. 引入实例，引导学生思考函数单调性与最优化问题的关系；2. 讲解函数单调性在解决最优化问题中的应用，如求函数的最大值、最小值等；3. 举例说明函数单调性在实际问题中的应用，如成本最小化问题、收益最大化问题等；4. 练习解决最优化问题，让学生巩固所学知识；5. 总结本节课的重点内容，布置作业。
函数单调性教案函数单调性教学设计(6篇)
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《函数的单调性》教学设计【教材分析】《函数单调性》是高中数学新教材必修一其次章第三节的内容。
在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
本节内容是高中数学中相当重要的一个根底学问点，是讨论和争论初等函数有关性质的根底。
把握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论根底，还有利于培育学生的抽象思维力量及分析问题和解决问题的力量.【学生分析】从学生的学问上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简洁函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应当连续讨论什么,从各种函数关系中讨论它们的共同属性，应当是顺理成章的。
从学生现有的学习力量看，通过初中对函数的熟悉与试验，学生已具备了肯定的观看事物的力量，积存了一些讨论问题的阅历，在肯定程度上具备了抽象、概括的力量和语言转换力量。
从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给函数性质以数学描述?如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。
函数的单调性是学生从已经学习的函数中比拟简单发觉的一共性质，学生也简单产生共鸣，通过比照产生顿悟，渴望获得这种学习的.积极心向是学生学好本节课的情感根底。
【教学目标】1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念.2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培育学生观看、归纳、抽象的力量和语言表达力量.3．通过学问的探究过程培育学生细心观看、仔细分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经受从详细到抽象，从特别到一般，从感性到理性的认知过程．【教学重点】函数单调性的概念.【教学难点】从形与数两方面理解函数单调性的概念.【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习．【教学手段】计算机、投影仪．【教学过程】教学根本流程1、视频导入------营造气氛激发兴趣2、直观的熟悉增（减）函数-----问题探究3、定量分析增（减）函数）-----归纳规律4、给出增（减）函数的定义------展现结果5、微课教学设计函数的单调性定义重点强调 ------ 稳固深化 7、课堂收获 ------提高升华（一）创设情景，提醒课题1．钱江潮，自古称之为“天下奇观”。
第二章 函数 专题三 由单调性求参数的范围 教案
专题三 由单调性求参数的范围一、多项式型参数在函数上：【例题1】若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,)+∞上为增函数， 试求实数a 的取值范围．解：函数()f x 的导数2()1(1)[(1)]f x x ax a x x a '=-+-=---，令()0f x '=得1x =或1x a =-．当11a -≤，即2a ≤时，函数()f x 在(1,)+∞上为增函数，不合题意．当11a ->，即2a >时，函数()f x 在(,1)-∞上为增函数，在(1,1)a -内为减函数，在(1,)a -+∞ 上为增函数．依题意应有当(1,4)x ∈时，()0f x '≤，当(6,)x ∈+∞时，()0f x '≥，∴416a ≤-≤，∴57a ≤≤．即a 的取值范围是[5,7]．【针对练习1】设a 为实数，函数322()(1)f x x ax a x =-+-在(,0)-∞和(1,)+∞都是增函数，求a 的取值范围．解：22()32(1)f x x ax a '=-+-，其判别式22241212128a a a ∆=-+=-．（ⅰ）若21280a ∆=-=，即a =，当(,)3a x ∈-∞或(,)3a x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(,)-∞+∞为增函数．∴a = （ⅱ）若21280a ∆=-<，恒有()0f x '>，()f x 在(,)-∞+∞为增函数．∴232a >，即(,)a ∈-∞+∞ ．（ⅲ）若21280a ∆=->，即a <<()0f x '=，解得13a x =，23a x =． 当1(,)x x ∈-∞或2(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数；当12(,)x x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数．依题意10x ≥且21x ≤．由10x ≥得a ≥12a ≤<．由21x ≤3a ≤-，解得22a -<<．从而2a ∈．综上，a 的取值范围为(,[)[1,)222-∞-+∞ ，即(,[1,)2-∞-+∞ ． 【例题2】已知向量2(,1)a x x =+ ，(1,)b x t =- ，若函数()f x a b =⋅ 在区间(1,1)-上是增函数，求t 的取值范围．解法一：依定义232()(1)(1)f x x x t x x x tx t =-++=-+++，则2()32f x x x t '=-++．由于()f x 在区间(1,1)-上是增函数，则在(1,1)-上可设()0f x '≥．∴2()032f x t x x '≥⇔≥-，在(1,1)-上恒成立，考虑函数2()32g x x x =-， 由于()g x 的图象是对称轴为13x =开口向上的抛物线， 故要使x x t 232-≥在区间(1,1)-上恒成立⇔(1)t g ≥-，即5t ≥．而当5t ≥时，()f x '在(1,1)-上满足()0f x '>，即()f x 在区间(1,1)-上是增函数，故t 的取值范围是5t ≥．解法二：依定义232()(1)(1)f x x x t x x x tx t =-++=-+++，2()32f x x x t '=-++．由于()f x 在区间(1,1)-上是增函数，则在(1,1)-上可设()0f x '≥．∵()f x '的图象是开口向下的抛物线，∴当且仅当(1)10f t '=-≥，且(1)50f t '-=-≥时，()f x '在(1,1)-上满足()0f x '>，即()f x 在区间(1,1)-上是增函数，故t 的取值范围是5t ≥．【针对练习2】已知函数321()3f x x x ax b =-++的图像在点(0,(0))P f 处的切线方程为32y x =-． （1）求实数a ，b 的值；（2）设()()1m g x f x x =+-是[2,)+∞上的增函数，求实数m 的最大值． 解：（1）由2()2f x x x a '=-+及题设得(0)3(0)2f f '=⎧⎨=-⎩，解得32a b =⎧⎨=-⎩． （2）由321()3231m g x x x x x =-+-+-，得22()23(1)m g x x x x '=-+--． ∵()g x 是[2,)+∞上的增函数，∴()0g x '≥在[2,)+∞上恒成立， 即22230(1)m x x x -+-≥-在[2,)+∞上恒成立．设2(1)x t -=．∵[2,)x ∈+∞，∴[1,)t ∈+∞， 即不等式20m t t+-≥在[1,)+∞上恒成立，∴22m t t ≤+在[1,)+∞上恒成立． 令22y t t =+，[1,)t ∈+∞，可得min 3y =，故3m ≤，即m 的最大值为3．【例题3】已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++(a ，)b R ∈．若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调，求a 的取值范围．解：2()32(1)(2)f x x a x a a '=+--+，函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，等价于导函数()f x '在(1,1)-既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数，即函数()f x '在(1,1)-上存在零点，根据零点存在定理，有①(1)(1)0f f ''-<，即：[32(1)(2)][32(1)(2)]0a a a a a a +--+---+<，整理得：2(5)(1)(1)0a a a ++-<，解得51a -<<-； 或②11130(1)0(1)0a f f -⎧-<<⎪⎪∆≥⎨⎪'>⎪'->⎩即222313(21)045010a a a a a -<-<⎧⎪+≥⎪⎨+-<⎪-<⎪⎩，解得11a -≤≤． 综上，a 的取值范围是51a -<≤．【针对练习3】函数3211()232f x x x ax =-++在2(,)3+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围． 解：)(x f 在2(,)3+∞上存在单调递增区间，即存在某个子区间2(,)(,)3m n ⊆+∞使得()0f x '>． 由2211()2()224f x x x a x a '=-++=--++， ()f x '在区间2[,)3+∞上单调递减，则只需2()03f '>即可． 由22()2039f a '=+>，解得19a >-，∴当19a >-时，)(x f 在2(,)3+∞上存在单调递增区间． 二、多项式型参数在区间上：【例题4】已知函数32()f x ax bx cx d =+++在0x =处取得极值，曲线()y f x =过原点和点(1,2)P -，若曲线()y f x =在点P 处的切线与直线2y x =的夹角为45︒且切线的倾斜角为钝角．（1）求)(x f 的表达式；（2）若)(x f 在区间[21,1]m m -+上递增，求m 的取值范围．解：（1）32()3f x x x =+．（2）2()363(2)f x x x x x =+=+，可知)(x f 在(,2)-∞-，(0,)+∞上单调递增；在(2,0)-上单调递减．从而只要保证[21,1]m m -+是(,2)-∞-或(0,)+∞的一个子区间， 所以12121m m m +≤-⎧⎨+>-⎩或210121m m m -≥⎧⎨+>-⎩，解得3m ≤-或122m ≤≤． 即实数m 的取值范围是1(,3][,2]2-∞- ． 【针对练习4】已知函数3221(313f x x mx m x =+-+）(0)m >．若函数)(x f 在区间(21,1)m m -+上单 调递增，求实数m 的取值范围．解：22()23(3)()f x x mx m x m x m '=+-=+-．令()0f x '=，得3x m =-或x m =．由于0>m ，当(,3)x m ∈-∞-时，()0f x '>，当(3,)x m m ∈-时，()0f x '<，当(,)x m ∈+∞时， ()0f x '>，∴函数)(x f 的单调递增区间是(,3)m -∞-和(,)m +∞．要使)(x f 在区间(21,1)m m -+上单调递增，应有13m m +≤-或21m m -≥， 解得14m ≤-或1m ≥．又0>m 且121m m +>-， ∴12m ≤<．即实数m 的取值范围是{|12}m m ≤<．三、含指数函数型：【例题5】已知函数2()()x f x ax x e =+，其中e 是自然数的底数，a R ∈．若()f x 在[1,1]-上是单调增函数，求a 的取值范围．解：22()(21)()[(21)1]x x x f x ax e ax x e ax a x e '=+++=+++，①当0a =时，()(1)x f x x e '=+，()0f x '≥在[1,1]-上恒成立，当且仅当1x =-时取等号，故0a =符合要求；②当0a ≠时，令2()(21)1g x ax a x =+++，∵22(21)4410a a a ∆=+-=+>，∴()0g x =有两个不相等的实数根1x ，2x ，不妨设12x x >，因此()f x 有极大值又有极小值．若0a >，∵(1)(0)0g g a -⋅=-<，∴()f x 在(1,1)-内有极值点，故()f x 在[1,1]-上不单调． 若0a <，可知120x x >>，∵()g x 的图象开口向下，要使()f x 在[1,1]-上单调，∵(0)10g =>，必须满足(1)0(1)0g g ≥⎧⎨-≥⎩，即3200a a +≥⎧⎨-≥⎩，∴203a -≤<． 综上可知，a 的取值范围是2[,0]3-． 【针对练习5】设2()1xe f x ax =+，其中a 为正实数．若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解：对)(x f 求导得22212()(1)x ax ax f x e ax +-'=⋅+， ① 若)(x f 为R 上的单调函数，则()f x '在R 上不变号，结合①与条件0a >，知2210ax ax -+≥，在R 上恒成立，因此2444(1)0a a a a ∆=-=-≤，由此并结合0a >，知01a <≤．【针对练习6】函数() (0)kx f x xe k =≠在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围．解：由()(1)0kx f x kx e '=+=，得1 (0)x k k=-≠． 若0k >，则当1(,)x k ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；若0k <，则当1(,)x k ∈-∞-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增．于是，若0k >，则当且仅当11k -≤-，即1k ≤时，函数()f x 在(1,1)-内单调递增； 若0k <，则当且仅当11k-≥，即1k ≥-时，函数()f x 在(1,1)-内单调递增， 综上可知，函数()f x 在(1,1)-内单调递增时，k 的取值范围是[1,0)(0,1]- ．四、含对数函数型：【例题6】已知函数()2ln ()p f x px x p R x=--∈，在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围． 解：22222()p px x p f x p x x x-+'=+-=(0)x >． ∵()f x 在定义域内是增函数，∴(0,)x ∀∈+∞，()0f x '≥，即220px x p -+≥恒成立．即22211x p x x x≥=++恒成立． 而∵0x >，∴12x x +≥，∴211x x≤+（当且仅当1x =时取等号）． ∴2211x x ≤+，∴1p ≥，故实数p 的取值范围是[1,)+∞． 【针对练习7】已知函数2()ln f x x x ax =+-在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围．解：∵2()ln f x x x ax =+-，∴1()2f x x a x'=+-． 由题意，知()0f x '≥在区间(0,)+∞上恒成立，即min 1(2)a x x≤+． 又0x >，12x x+≥2x =时等号成立．故min 1(2)x x+=a ≤ 【例题7】已知函数22()ln ()f x x a x ax a R =-+∈在区间(1,)+∞上是减函数，求实数a 的取值范围．解：显然函数22()ln f x x a x ax =-+的定义域为(0,)+∞． ∴222121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x-++-+-'=-+==． ①当0a =时，1()0f x x'=>，∴()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，不合题意． ②当0a >时，()0 (0)f x x '≤>等价于(21)(1)0ax ax +-≥，即1x a≥， 此时()f x 的单调递减区间为1[,)a +∞．依题意，得110a a ⎧⎪≤⎨⎪>⎩，解之得1a ≥．当0a <时，()0 (0)f x x '≤>等价于(21)(1)0ax ax +-≥，即12x a≥-， 此时()f x 的单调递减区间为1[,)2a -+∞．依题意，得1120a a ⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，解之得12a ≤-． 综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞ ． 说明：本题可采用下面方法：①当0a =时，1()0f x x'=>，∴()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，不合题意． ②当0a ≠时，要使函数()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，()0 (0)f x x '≤>在区间(1,)+∞上恒成立，∵0x >，∴只要22210a x ax --≥恒成立， ∴2214210a a a a ⎧≤⎪⎨⎪--≥⎩，解得1a ≥或12a ≤-． 综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞ ． 【针对练习8】已知函数22()ln f x a x x x=++在[1,)+∞上是单调增函数，求实数a 的取值范围． 解：由22()ln f x a x x x =++，得22()2a f x x x x'=+-． 若函数()f x 为[1,)+∞上的单调增函数，则()0f x '≥在[1,)+∞上恒成立， 即不等式2220a x x x +-≥在[1,)+∞上恒成立．也即222a x x≥-在[1,)+∞上恒成立． 令22()2x x x ϕ=-，则22()4x x x ϕ'=--．当[1,)x ∈+∞时，22()40x x xϕ'=--<， ∴22()2x x xϕ=-在[1,)+∞上为减函数，∴min ()(1)0x ϕϕ==． ∴0a ≥，即a 的取值范围为[0,)+∞．【例题8】已知函数21()2ln (0)2f x ax x x a =+-≠存在单调增区间，求a 的取值范围． 解：由已知，得2121()2ax x f x ax x x+-'=+-=． ∵函数()f x 存在单调递增区间，∴()0f x '>有解，即不等式2210ax x +->有解．当0a <时，221y ax x =+-的图象为开口向下的抛物线，要使2210ax x +->总有解，只需440a ∆=+>，即1a >-．即10a -<<；当0a >时，221y ax x =+-的图象为开口向上的抛物线，2210ax x +->一定有解．综上，a 的取值范围是(1,0)(0,)-+∞ ．【针对练习9】已知函数：()ln 3 ()f x a x ax a R =--∈，若函数()y f x =的图象在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45︒，对于任意的[1,2]t ∈，函数32()[()]2m g x x x f x '=++在区间(,3)t 上总不 是单调函数，求m 的取值范围． 解：(2)12a f '=-=得2a =-，()2ln 2 3 (0)f x x x x =-+->，2() 2 (0)f x x x -'=+>．∴32()(2)22m g x x x x =++-，∴2()3(4)2g x x m x '=++-． ∵()g x 在区间(,3)t 上总不是单调函数，且(0)2g '=-，∴()0(3)0g t g '<⎧⎨'>⎩． 由题意知：对于任意的[1,2]t ∈，()0g t '<恒成立，∴(1)0(2)0(3)0g g g '<⎧⎪'<⎨⎪'>⎩，∴3793m -<<-，∴m 的取值范围为37(,9)3--． 【方法总结】已知函数()f x 在某个区间上单调求参数的取值范围，这类题型有3种解法：第一种，我们可以带着参数求区间，再利用区间比较求出参数范围；第二种，可以转化为导出数在区间上恒成立（导数恒大于或小于等于零），再分离参数就转化为求最值问题；第三种，可以利用数形结合形，结合二次函数根的分布知识求解．量变以后就是质变，大量做题后就应该追求精做精练，举一反三，只有在做题中不断地思考，归纳总结，才能达到做题的真正效果．。
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已知函数单调性求参数范围
教学目标
1.知识与技能:学会利用导数来解决已知单调性求参数范围问题;
2.过程与方法:通过实例讲解,归纳,解决问题的方法;
3.情感与态度:通过问题的解决,体会转化思想的应用. 教学重点
已知单调性,利用导数求参数范围.
教学难点
不同问题的处理方法.
教学过程
(一)知识梳理
函数y =f (x )的导数为)('x f y =,对于区间(a ,b ).
1.若y =f (x )的单调区间为(a ,b ),则⎩
⎨⎧==0)('0)('b f a f 2.若y =f (x )在区间(a ,b )上单调递增(递减),则)0)('(0)('≤≥x f x f 在(a ,b )上恒成立.
(二)典例分析
例1 函数)(ln )(22R a ax x a x x f ∈+-=的单调递减区间是),1(+∞,求a 的值.
例2 函数)(ln )(22R a ax x a x x f ∈+-=在),1(+∞上是减函数, 求a 的取值范围.
例3 函数)0(22
1ln )(2<--=a x ax x x f 在定义域内单调递增,求a 的取值范围.
例4 函数1331)(223+-+=x m mx x x f 在区间)3,2(-上是减函数,求m 的取值范围.
例5已知R a ∈,函数3)1()(223+-+-=x a ax x x f 在)0,(-∞和),1(+∞上都是增函数, 求a 的取值范围.
(三)课时小结
本节课主要介绍了已知函数单调性来利用导数求参数范围.
(四)备用练习
1.函数)0(3)(223>+-+=a x a ax x x f 在[-1,1]上没有极值点, 求a 的值.
2.函数)0(1)(2>+=a ax
e x
f x
在R 上为单调函数, 求a 的取值范围.
3.函数1)5()1()(23-++-+=x k x k x x g 在区间）
（3,0上有极值点，求参数k 的取值范围。
(五)作业布置
<<状元之路>>第48页 11,12。