4-第四讲直角三角形和勾股定理.docx

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第四讲直角三角形与勾股走理

、知识梳理/提炼

1.直角三角形的性质

(1)Rt△的两个锐角互余(ZA+ZB二90° )

(2)斜边上的屮线等于斜边的一半(若D为斜边AB的屮点，则CD=^AB)

2

(3)30°角所对直角边等于斜边的一半(若ZA = 30° , ZC=90° , CB二丄AB)

2

(4)勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方(若ZC二90。，则

2.直角三角形的判定

(1)有两个锐角互余的三角形是直角三角形。

(2)如果一个三角形屮，一条边上的屮线等于这条边的一半，那么这条边所对的角为90。

(3)勾股定理的逆定理：如果三角形三边满足a2+b2=c2,则ZC = 90°。

用法：(1)选出最大边；(2)计算较小两边的平方和；(3)比较最大边的平方与较小两边的平方和；(4)如果两者相等，则最大边所対的角为直角。

(2)直角三角形斜边上的高=两直角边乘积除以斜边。公式为h c= —

c

(3)常见的勾股数：

(3k, 4k, 5k) (5k, 12k, 13k) (7k, 24k, 25k) (8k, 15k, 17k) (9k, 40k, 41k)

(4)在求曲面上的最短距离时，先把曲面展开成平面图形，画出起点到终点的线段，就是最短

距离，一般需耍用到勾股定理。

二、方法归纳

1.因为直角三角形斜边上的屮线的特殊性质，在解决有关直角三角形的问题时，不妨试试添

加斜边上的中线这条辅助线。

2.勾股定理是现阶段求线段长度的主要方法，如果图形中缺乏直角条件，则可以通过作辅助

线的方法构造出直角三角形，为勾股定理创造条件。

3.勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形, 而

且可以判定三角形屮哪个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法。利用勾股定理

的逆定理，通过计算来证明，这中间体现了代数方法解几何题的一些思想，即数形结合思想，

方程思想。

4.在初中阶段，许多求线段的长度、角度的大小；线段与线段，角与角，线段与角间的关系

问题，常常会用到勾股定理或逆定理来解决。

三、课堂精讲例题

例题1

题目：如图，RtAABC屮，ZACB=90° , ZA二50°,将其折叠，使点A落在边CB

3.常用几个结论:

(1)

上A'处，折痕为CD,则ZA‘ DB为__________________

C

难度分级：A类

-试题来源：2008年中考试题汇编

-选题意图（对应知识点）：轴对称的性质；直角三角形的性质；三角形的外角性质.

-解题思路：根据轴对称的性质可知ZCA' D二ZA二50。,然后根据外角定理可得出ZA Z DB.

-解法与答案：

-由题意得：ZCA' D二ZA二50° , ZB=40°

-由外角定理可得：ZCA' D二ZB+ZA' DB

-・•・可得：ZA Z DB二10。

搭配课堂训练题

题目：如图，在RtAABC中，ZACB二90° , ZAVZB,沿厶

ABC的中线CM将ACMA折叠，使点A落在点D处，若CD

恰好与MB垂直，则ZA的值为 ___________ .

- 解析：沿AABC的屮线CM将ACMA折亮，使点A落在点D处，若CD恰好与MB 垂直，可得：ZB=2ZA,且ZACB二90°,故ZA=30°

例题2

题目：直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm,则它的面积是cm2.

-难度分级：A类

・试题来源：课时训练班

-选题意图（对应知识点）：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

-解题思路：由于直角三角形斜边上的中线是6cm,因而斜边是12cm,而高线已知, 因而可以根据面积公式求出三角形的面积.

-解法与答案：

・解：•・•直角三角形斜边上的中线是6cm,

-・•・斜边是12cm,

-・：S△二一X5X12二30

・•・它的面积是30cm2.

搭配课堂训练题

题目：如图，RtAABC 中，ZB 二90° , BD 丄AC 于D,点E 为AC 的中点，若 BC=7, AB=24,贝ij BE= _______ , BD= ________ .

-

解析：根据勾股定理即可求得AC 的长，再依据直角三角 形斜边上的屮线等于斜边的一半，即可求得BE 的长； - 根据AABC 的而积二丄AB ・BC 二丄AC ・BD 即可求

解.

2 2 - 答案：BE 二 12. 5, BD=6. 72

例题3

题目：如图，在RtAABC 中，ZC 二90° , ZB=15° , DE 垂直平分

AB 交 BC 于点 E, BE 二6,则 AC 二 ______ .

- 难度分级：A 类 ・试题来源：菁优网 - 选题意图（对应知识点）：线段垂直平分

线的性质；含30度角的直角三角形.

・ 解题思路：①AE 二BE 二6；②ZAEC=2ZB=30° ；③AE 二2AC. - 解法与答案: - 解：VDE 垂直平分AB, ・・・AE 二BE 二6,

- TZB 二 15° ,

-

・・・ZAEC 二ZB^ZBAE 二30° ・

・ ・・・AE=2AC.

-故 AC 二3. -

故填3.

搭配课堂训练题

题目：如图,等腰ZkABC 中顶角ZA=120° , AB 二AC,

AC 的垂直平分线分别交AC 、BC 于点E 、F.求证： BF

二 2CF.

- 解析：首先根据条件求IBZB=ZC=3O° ,再

在直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的-半可得到A^BF,又有

AF 二CF 可证出结论.

根据线段垂直平分线的性质求出Z1二ZC 二30。

,进而得到ZBAF=90° ,然后利用 C

A