北师大数学必修二导学同步课时作业：第2章 解析几何初步 圆与圆的方程习题课 含解析
2019-2020学年北师大版数学必修二导学同步课时作业：第2章 解析几何初步 圆与圆的方程习题课
姓名，年级：时间：圆与圆的方程习题课A级基础巩固一、选择题1．点M在圆(x－5）2＋(y－3)2＝9上,则点M到直线3x＋4y－2＝0的最短距离为（ D ）A．9 B．8C．5 D．2［解析］圆心（5,3)到直线3x＋4y－2＝0的距离为d＝错误!＝5。
又r＝3，则M到直线的最短距离为5－3＝2．2．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是( B ）A．R B．（－∞，1)C．（－∞，1］D．［1，＋∞）[解析] ∵D2＋E2－4F>0,∴16＋4－20k>0，∴k〈1,故选B．3．已知圆x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0和定点P(1，－1)，若过点P的圆的切线有两条,则k的取值范围是（ C ）A．(－2,＋∞）B．（－∞，2)C．（－2，2）D．(－∞，－2)∪（2，＋∞)[解析] 因为方程x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0表示一个圆，所以4＋4－4k>0，解得k〈2。
又由题意知，要使P在圆外,则k>－2，故－2〈k〈2，故选C．4．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝（ A )A．－错误!B．－错误!C．错误!D．2[解析] 配方得(x－1)2＋(y－4）2＝4，∴圆心为C（1,4）．由条件知错误!＝1.解之得a＝－错误!．故选A．5．圆C1：x2＋y2－2x－6y＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的公切线有且仅有( C ) A．1条B．2条C．3条D．4条［解析] 圆C1的圆心C1（1,3），半径r1＝3，圆C2的圆心C2（－2，－1)，半径r2＝2，∴｜C1C2|＝错误!＝5＝r1＋r2，故两圆外切,公切线有3条．二、填空题6．直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧,则a2＋b2＝__2__．［解析］本题考查直线与圆的位置关系．依题意，圆心O（0,0）到两直线l1：y＝x＋a，l2：y＝x＋b的距离相等，且每段弧长等于圆周的错误!，即错误!＝错误!＝1×sin45°＝错误!，得|a｜＝｜b｜＝1.故a2＋b2＝2．7．(2018·江苏省启东中学期中）圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为__(x－3)2＋（y＋1)2＝16__．[解析］解法1 由错误!解得错误!错误!故圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4x－6＝0的交点为A(－1，－1），B(3,3），线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－（x－1)．由错误!解得错误!所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为错误!＝4，所以所求圆的方程为（x－3)2＋（y＋1）2＝16．解法2 同解法1，求得A(－1，－1)，B(3，3），设所求圆的方程为（x－a)2＋（y－b）2＝r2（r＞0）,由错误!解得错误!所以所求圆的方程为(x－3）2＋(y＋1）2＝16．解法3 设所求圆的方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6）＝0(λ≠－1），其圆心坐标为错误!,代入x－y－4＝0，得λ＝－错误!．故所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0，即(x－3)2＋(y＋1）2＝16．三、解答题8．求圆心在直线4x＋y＝0上,且与直线l:x＋y－1＝0切于点P(3，－2)的圆的方程，并找出圆的圆心及半径．[解析] 设圆的标准方程为(x－a）2＋（y－b）2＝r2，由题意有错误!,化简得错误!,解得错误!.所求圆的方程为（x－1)2＋（y＋4)2＝8，它是以(1,－4）为圆心，以2错误!为半径的圆．9．(2017·金华高一检测）已知圆O：x2＋y2＝1和定点A(2，1),由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q,｜PQ｜＝｜PA｜成立,如图．(1）求a，b间的关系；（2)求|PQ｜的最小值．［解析］(1）连接OQ，OP，则△OQP为直角三角形，又|PQ｜＝|PA｜,所以｜OP｜2＝|OQ｜2＋｜PQ|2＝1＋｜PA｜2，所以a2＋b2＝1＋（a－2)2＋（b－1）2，故2a＋b－3＝0．（2）由（1）知，P在直线l:2x＋y－3＝0上,所以|PQ｜min＝|PA|min，为A到直线l的距离，所以｜PQ|min＝错误!＝错误!．B级素养提升一、选择题1．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限,那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过（ D )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析］圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为(a,－错误!b)，则a<0,b〉0.直线y＝－1ax－ba，其斜率k＝－错误!>0，在y轴上的截距为－错误!〉0，所以直线不经过第四象限,故选D．2．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E（0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( B ）A．5错误!B．10错误!C．15错误!D．20错误!［解析] 圆x2＋y2－2x－6y＝0化成标准方程为（x－1）2＋（y－3)2＝10，则圆心坐标为M(1，3)，半径长为错误!.由圆的几何性质可知：过点E的最长弦AC为点E所在的圆的直径，则|AC｜＝2错误!。
高中数学第二章解析几何初步2.2.1圆的标准方程课时作业北师大版必修2(2021年整理)
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2.2。
1 圆的标准方程[学业水平训练］1。
圆(x－3)2＋（y＋2)2＝13的周长是（)A。
13πB．2错误!πC．2πD．23π解析：选B.由圆（x－3)2＋（y＋2)2＝13，得圆的半径r＝错误!,则圆的周长C＝2πr＝2错误!π。
错误!已知某圆的一条直径的端点分别是A（4，0），B（0，－6)，则该圆的标准方程是（）A．(x＋2)2＋（y－3）2＝13B．(x＋2)2＋（y－3)2＝52C．（x－2)2＋（y＋3)2＝52D．（x－2)2＋（y＋3）2＝13解析:选D.由中点坐标公式得圆心（2，－3），r＝错误!｜AB｜＝错误!错误!＝错误!,故圆的标准方程为(x－2）2＋（y＋3)2＝13。
3．点P（m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是（）A．在圆内B．在圆外C．在圆上D．不确定解析：选B.由m4＋25〉24可知，点P(m2，5)在圆x2＋y2＝24的外部．4．已知圆C经过A（5，2），B（－1，4)两点，圆心在x轴上,则圆C的标准方程是（）A．(x－2)2＋y2＝13B．（x＋2)2＋y2＝17C．(x＋1)2＋y2＝40D．(x－1)2＋y2＝20解析：选D。
北师大数学必修二导学同步课时作业：第2章 解析几何初步223 第1课时 含解析
第二章 §2 2.3 第1课时A 级 基础巩固一、选择题1．直线4x ＋3y －40＝0与圆x 2＋y 2＝100的位置关系是( C ) A ．相离 B ．相切 C ．相交D ．相切或相离[解析] 圆心O 到直线的距离d ＝|－40|5＝8<10＝r ，∴直线与圆相交．2．直线x －y －4＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的位置关系是( D ) A ．相交 B ．相切 C ．相交且过圆心D ．相离[解析] 圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4． 圆心到直线的距离d ＝|1－1－4|2＝22>2．∴直线与圆相离．3．直线x ＋y ＝m 与圆x 2＋y 2＝m (m >0)相切，则m ＝( D ) A ．12B ．22 C ． 2D ．2[解析] 由圆心到直线的距离d ＝|－m |2＝m ，解得m ＝2．4．(2018·南京师范大学附属中学期中)直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是( B )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定[解析] 直线ax －y ＋2a ＝0过定点(－2,0)，而(－2,0)满足22＋02＜9，所以直线与圆相交．5．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( D )A ．x ＋3y －2＝0B ．x ＋3y －4＝0C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0[解析] 设所求切线方程为y －3＝k (x －1)．解法1：⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0y ＝kx －k ＋3⇒x 2－4x ＋(kx －k ＋3)2＝0．该二次方程应有两个相等实根，则Δ＝0，解得k ＝33． ∴y －3＝33(x －1)，即x －3y ＋2＝0． 解法2：点(1，3)在圆x 2＋y 2－4x ＝0上，∴点P 为切点，从而圆心与P 的连线应与切线垂直． 又∵圆心为(2,0)，∴0－32－1·k ＝－1.解得k ＝33，∴切线方程为x －3y ＋2＝0．解法3：把x 2＋y 2－4x ＝0配方，得(x －2)2＋y 2＝22，圆心坐标为(2,0)，而过点P 的半径所在直线的斜率为－3，则切线斜率为33，由此排除A 、B ，再代入P (1，3)，排除C ． 6．(陕西高考)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( B )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定[解析] 本题考查直线与圆的位置关系判定，点到直线距离公式等．由点(a ，b )在圆x 2＋y 2＝1外知a 2＋b 2>1，而圆心(0,0)到直线ax ＋by ＝1的距离为d ＝1a 2＋b 2<1，所以直线与圆相交．二、填空题7．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于__254__．[解析] 本题考查直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式以及运算能力． 由题意知切线的斜率存在，设为k ，切线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， 由点到直线的距离公式，得|2－k |k 2＋1＝5， 解得k ＝－12，∴切线方程为－12x －y ＋52＝0，令x ＝0，y ＝52，令y ＝0，x ＝5，∴三角形面积为S ＝12×52×5＝254．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋C ＝0的距离为1，则实数C 的取值范围是__(－13,13)__．[解析] 圆的半径为2，圆心(0,0)到直线12x －5y ＋C ＝0的距离小于1，即|C |13<1，所以C的取值范围是(－13,13)．三、解答题9．已知一个圆C 与y 轴相切，圆心C 在直线l 1：x －3y ＝0上，且在直线l 2：x －y ＝0上截得的弦长为27，求圆C 的方程．[解析] ∵圆心C 在直线l 1：x －3y ＝0上， ∴可设圆心为C (3t ，t )．又∵圆C 与y 轴相切，∴圆的半径为r ＝|3t |.再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形可得(|3t －t |2)2＋(7)2＝|3t |2，解得t ＝±1．∴圆心为(3,1)或(－3，－1)，半径为3．故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9．10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．[解析] (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设圆心C 为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1．则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3．所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0． 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0． 因此x 1,2＝(8－2a )±56－16a －4a 24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0． 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ， 所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1．B 级 素养提升一、选择题1．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点有( C ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个[解析] 圆心(3,3)到直线3x ＋4y －11＝0的距离，d ＝|3×3＋4×3－11|5＝2，又r ＝3，故有三个点到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1．2．如果实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，那么yx 的最大值是( D )A ．12B ．33C ．32D ． 3[解析] y x ＝y －0x －0，即圆(x －2)2＋y 2＝3上的点和原点(0,0)连线斜率的最大值．如图所示，OA 取得最大值k OA ＝ 3.故选D ．二、填空题3．已知圆的方程是x 2＋y 2＝2，则经过圆上一点(1，－1)的切线方程是__x －y ＝2__． [解析] 因为过x 2＋y 2＝r 2上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2，故x －y ＝2即为所求．4．设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为__4π__．[解析] 圆C 的圆心坐标为(0，a )，半径为a 2＋2，∵|AB |＝23，∴圆心(0，a )到直线y ＝x ＋2a 的距离d ＝|a |2， 即a 22＋3＝a 2＋2，∴a 2＝2，∴r ＝2，S ＝4π． 三、解答题5．若直线4x －3y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝100：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a 的取值范围．[解析] 解法1：(代数法)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋a ＝0，x 2＋y 2＝100，消去y ，得25x 2＋8ax ＋a 2－900＝0． Δ＝(8a )2－4×25(a 2－900)＝－36a 2＋90 000． ①当直线和圆相交时，Δ>0， 即－36a 2＋90 000>0，－50<a <50； ②当直线和圆相切时，Δ＝0， 即a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，Δ<0， 即a <－50或a >50． 解法2：(几何法)圆x 2＋y 2＝100的圆心为(0,0)，半径r ＝10， 则圆心到直线的距离d ＝|a |32＋42＝|a |5． ①当直线和圆相交时，d <r ， 即|a |5<10，－50<a <50； ②当直线和圆相切时，d ＝r ， 即|a |5＝10，a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，d >r ， 即|a |5>10，a <－50或a >50． 6．已知直线l 过点P (2,3)且与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝1相切，求直线l 的方程．[解析] 经检验知，点P (2,3)在圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝1的外部，①若直线l 的斜率存在， 则设直线l 的方程为y －3＝k (x －2)． ∵直线l 与圆相切，∴|k ×1－(－2)－2k ＋3|k 2＋1＝1，解得：k ＝125．∴所求直线l 的方程为：y －3＝125(x －2)，即：12x －5y －9＝0． ②若直线l 的斜率不存在， 则直线x ＝2也符合题意， ∴所求直线l 的方程为：x ＝2， 综上可知，所求直线l 的方程为 12x －5y －9＝0或x ＝2．C 级 能力拔高已知圆C ∶(x －3)2＋(y －4)2＝4和直线l ∶kx －y －4k ＋3＝0． (1)求证：不论k 取何值，直线和圆总相交；(2)求k 取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长．[解析] 解法1：(1)∵圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝4， ∴圆心为C (3,4)，半径为2， ∴圆心到直线的距离为d ＝|3k －4－4k ＋3|k 2＋1＝|k ＋1|k 2＋1.假设d ＝|k ＋1|k 2＋1<2，即3k 2－2k ＋3>0． ∵Δ＝(－2)2－36<0， ∴k 为任意实数，∴不论k 取什么值，d <2，即不论k 取什么值时，直线和圆都相交． (2)设直线和圆的交点为A ，B ，则由勾股定理得(12|AB |)2＝r 2－d 2，当d 最大时，AB 最小． ∵d ＝|k ＋1|k 2＋1＝(k ＋1)2k 2＋1＝1＋2k k 2＋1； ∵k 2＋1－2k ＝(k －1)2≥0； ∴k 2＋1≥2k ．∴2kk 2＋1≤1，当k ＝1时取等号． ∴当k ＝1时，d 的值最大，且为2，此时有 (12|AB |)2＝r 2－d 2＝4－2＝2， 即|AB |＝22．∴当k ＝1时，圆被直线截得的弦最短，最短弦长为22． 解法2：圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝4， ∴圆心为C (3,4)，半径为r ＝2． (1)直线方程可化为k (x －4)＋(3－y )＝0， ∴直线过定点P (4,3)． ∵(4－3)2＋(3－4)2<4，∴点P 在圆C 内部．∴直线kx －y －4k ＋3＝0与圆C 总相交． (2)∵直线经过定点P (4,3)，∴当PC 与直线垂直时，圆被直线截得的弦最短． 设直线与圆的交点为A ，B ，则由勾股定理得 (12|AB |)2＝r 2－|CP |2＝4－2＝2． ∴|AB |＝22．∵PC 与直线kx －y －4k ＋3＝0垂直，直线PC 的斜率为k PC ＝3－44－3＝－1，∴直线kx －y －4k ＋3＝0的斜率为k ＝1，∴当k ＝1时，圆被直线截得的弦最短，最短弦长为22．。
新版高中数学北师大版必修2习题第二章解析几何初步2.2.3.2含解析
第2课时圆与圆的位置关系1.已知A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|(x-5)2+(y-5)2=4},则A∩B等于()A.⌀B.{(0,0)}C.{(5,5)}D.{(0,0),(5,5)}解析:集合A是由圆O:x2+y2=1上所有点组成的,集合B是由圆C:(x-5)2+(y-5)2=4上所有点组成的.又O(0,0),圆O的半径r1=1,C(5,5),圆C的半径r2=2,|OC|=5,所以|OC|>r1+r2=3.所以圆O和圆C相离,无公共点,即A∩B=⌀.答案:A2.若圆C1:(x+2)2+(y-2)2=m(m>0)与圆C2:x2+y2-4x-10y+13=0有3条公切线,则m=()A.1B.2C.3D.4答案:A3.已知圆O1:x2+y2-4x+6y=0和圆O2:x2+y2-6x=0交于A,B两点,则公共弦AB的垂直平分线的方程为()A.x+y+3=0B.2x-y-5=0C.3x-y-9=0D.4x-3y+7=0解析:由题意知,两圆的圆心分别为(2,-3),(3,0),=3, 因为公共弦AB的垂直平分线即为两圆圆心连线所在直线,所以所求直线的斜率为k=---故直线方程为3x-y-9=0.答案:C4.已知两圆相交于点A(1,3),B(m,-1),两圆的圆心均在直线x-y+c=0上,则m+c的值为()A.-1B.2C.3D.0解析:由题意知,AB的中点在直线x-y+c=0上,∴-1+c=0,m+2c=1.又直线AB的斜率k AB=--=-1,--∴m=5.∴c=-2.∴m+c=3,故选C.答案:C5.过点A(4,-1)且与圆x2+y2+2x-6y+5=0切于点B(1,2)的圆的方程是()A.(x+3)2+(y+1)2=5B.(x-3)2+(y+1)2=5C.(x-3)2+(y-1)2=5D.(x+3)2+(y-1)2=5解析:设所求圆的圆心为(a,b),半径为r,则有------解得所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.答案:C6.以两圆C1:x2+y2+4x+1=0及C2:x2+y2+2x+2y+1=0的公共弦为直径的圆的方程为()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.D.--解析:两圆方程相减,得相交弦所在直线为x-y=0,因为所求圆的圆心在直线x-y=0上,排除C,D选项.画图可知所求圆的圆心在第三象限,排除A,故选B.答案:B7.若点A(a,b)在圆x2+y2=4上,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是.解析:两圆的圆心距d=,又a2+b2=4,则d==2.两圆的半径之和为1+1=2,所以两圆的圆心距等于两圆的半径之和,故两圆外切.答案:外切8.若圆O1:x2+y2=5与圆O2:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是.解析:由题意知O1(0,0),O2(m,0),且<|m|<3,又O2A⊥AO1,所以有m2=()2+(2)2=25⇒m=±5,所以|AB|=2×=4.答案:49.若某圆的圆心为点(2,1),且它与圆x2+y2-3x=0的公共弦所在的直线经过点(5,-2),求此圆的方程.解设所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2,即x2+y2-4x-2y+5-r2=0,所求圆的方程与已知圆的方程作差可得公共弦所在直线的方程为x+2y-5+r2=0.又公共弦所在的直线经过点(5,-2),将点(5,-2)代入直线方程x+2y-5+r2=0,得5-4-5+r2=0,解得r2=4,故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.10.求过点(0,6)且与圆C:x2+y2+10x+10y=0相切于原点的圆的方程.解方法一:将圆C的方程化为标准方程得(x+5)2+(y+5)2=50,则圆心为点(-5,-5).所以经过此圆心和原点的直线方程为x-y=0.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.由题意得-----解得故所求圆的方程是(x-3)2+(y-3)2=18.方法二:由题意,所求的圆经过点(0,0)和(0,6),所以所求圆的圆心一定在直线y=3上,又由方法一,知所求圆的圆心在直线x-y=0上,所以由-得圆心坐标为(3,3).所以r==3,故所求圆的方程为(x-3)2+(y-3)2=18.★11.如图,已知圆心坐标为M(,1)的圆M与x轴及直线y=x均相切,切点分别为A,B,另一圆N与圆M,x轴及直线y=x均相切,切点分别为C,D.(1)求圆M和圆N的方程;(2)过B点作MN的平行线l,求直线l被圆N截得的弦的长度.解(1)由于圆M与∠BOA的两边相切,故M到OA及OB的距离均为圆M的半径,则M在∠BOA的角平分线上,同理,N也在∠BOA的角平分线上,即O,M,N三点共线,且OMN为∠BOA的角平分线,因为M的坐标为M(,1),所以M到x轴的距离为1,即圆M的半径为1,所以圆M的方程为(x-)2+(y-1)2=1;设圆N的半径为r,由Rt△OAM∽Rt△OCN,得OM∶ON=MA∶NC,即⇒r=3,OC=3,所以圆N的方程为(x-3)2+(y-3)2=9.(2)由对称性可知,所求弦长等于过A点的MN的平行线被圆N截得的弦长,此弦所在直线方程为y=(x-),即x-y-=0,圆心N到该直线的距离d=-,则弦长=2-.。
2020-2021学年高中数学 第二章 解析几何初步 2.1 圆的标准方程课时作业（含解析）北师大版
第二章 解析几何初步[课时作业] [A 组 基础巩固]1．圆(x －3)2＋(y ＋2)2＝13的周长是( ) A.13π B ．213π C ．2πD ．23π解析：由方程知圆的半径r ＝13，于是周长C ＝2π·13＝213π. 答案：B2．直线x ＋2y ＋3＝0将圆(x －a )2＋(y ＋5)2＝3的周长平分，则a 等于( ) A ．13 B ．7C ．－13D ．以上答案都不对解析：当直线过圆心时直线才将圆的周长平分，所以将圆心(a ，－5)代入直线方程x ＋2y ＋3＝0，得a ＋2×(－5)＋3＝0.解得a ＝7. 答案：B3．圆心在直线5x －3y ＝8上，且与坐标轴都相切的圆的标准方程是( ) A ．(x －4)2＋(y －4)2＝16 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1D ．(x －4)2＋(y －4)2＝16或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1解析：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)． ∵圆与坐标轴相切，∴a ＝±b ，r ＝|a |，∵圆心(a ，b )在直线5x －3y ＝8上，∴5a －3b ＝8， 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，5a －3b ＝8，r ＝|a |或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－b ，5a －3b ＝8，r ＝|a |，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝4，r ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，r ＝1.∴所求圆的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝16或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，故选D. 答案：D4．若直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：由题意，知(－a ，－b )为圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心，由直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，得a ＜0，b ＞0，即－a ＞0，－b ＜0，故圆心位于第四象限． 5．已知点P (4a ＋1,2a )在圆(x ＋1)2＋y 2＝1上，则a ＝________. 解析：由已知得(4a ＋2)2＋(2a )2＝1，即20a 2＋16a ＋3＝0， 解得a ＝－12或a ＝－310.答案：－12或－3106．圆心在C (－1,2)，且一条直径的两个端点分别落在两坐标轴上的圆的方程是__________________．解析：因为直径的两个端点在两坐标轴上，所以该圆一定过原点，所以半径r ＝(－1－0)2＋(2－0)2＝5，又圆心为C (－1,2)，故圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5. 答案：(x ＋1)2＋(y －2)2＝57．圆(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝1关于原点对称的圆的方程是________．解析：圆(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝1的圆心为A (－2，－3)，半径等于1，圆心A 关于原点(0,0)对称的圆的圆心B (2,3)，故对称圆的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1. 答案：(x －2)2＋(y －3)2＝18．已知△ABC 的顶点A (－1,0)，B (1,0)，C 在圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上移动，则△ABC 面积的最小值为________．解析：∵|AB |＝2，若△ABC 面积最小，只要顶点C 到AB 距离最小即可，由平面几何知识可知，C 到AB 距离的最小值为圆心到AB 之间距离减去圆半径，即2－1＝1， ∴S △ABC 最小值＝12×2×1＝1.答案：19．直线3x －y －2＝0过已知圆的圆心，点A (3,1)，B (－1,3)均在这个圆上，求此圆的方程． 解析：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )2＋(1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(3－b 2)＝r 2，3a －b －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4，r ＝10.所以所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10.10．已知圆P 过点A (1,0)，B (4,0)．(1)若圆P 还过点C (6，－2)，求圆P 的标准方程； (2)若圆心P 的纵坐标为2，求圆P 的标准方程． 解析：(1)设圆P 的方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋b 2＝r 2(4－a )2＋b 2＝r 2(6－a )2＋(－2－b )2＝r2解得a ＝52，b ＝－72，r ＝582.故圆P 的标准方程为(x －52)2＋(y ＋72)2＝292.(2)由圆的对称性，可知圆P 的横坐标为1＋42＝52，故圆心P (52，2)，故圆P 的半径r ＝|AP |＝(1－52)2＋(0－2)2＝52，故圆P 的标准方程为(x －52)2＋(y －2)2＝254.[B 组 能力提升]1．方程|x |－1＝1－(y －1)2所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．半个圆D ．两个半圆解析：由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧|x |－1＝1－(y －1)2|x |－1≥0，则⎩⎨⎧(x －1)2＋(y －1)2＝1x ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2＋(y －1)2＝1x ≤－1，所以原方程表示两个半圆． 答案：D2．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点A (－2,0)及点B (2，a )，从A 点观察B 点，要使视线不被圆C 挡住，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(－1，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－∞，－433∪⎝⎛⎭⎫433，＋∞ D ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)解析：在Rt △AOC 中，由|OC |＝1，|AO |＝2，可求出∠CAO ＝30°.在Rt △BAD 中，由|AD |＝4，∠BAD ＝30°，可求得BD ＝433，再由图直观判断(图略)，故选C.答案：C3．圆(x ＋3)2＋(y －1)2＝25上的点到坐标原点的最大距离是________．解析：圆心C (－3,1)，结合图形可知，当P 、C 、O 三点共线时，点P 到原点O 的距离最大． |OP |＝|OC |＋|PC |＝10＋5. 答案：10＋54．已知圆心为(2，－3)，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是________． 解析：法一 因为直径所对的圆周角是直角，所以圆恰好过原点，所以半径为22＋(－3)2＝13，所以圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13.法二 设直径的两个端点的坐标分别为A (0，a )，B (b,0)，则由中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝0＋b2－3＝a ＋02，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝4，所以圆的半径r ＝12×(－6)2＋(－4)2＝13，所以圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝135．△ABC 的三个顶点分别为A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)，求其外接圆的方程． 解析：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.因为A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，于是有⎩⎪⎨⎪⎧(0－a )2＋(5－b )2＝r 2，(1－a )2＋(－2－b )2＝r 2，(－3－a )2＋(－4－b )2＝r 2，解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1，r 2＝25，所以所求外接圆的方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25.6．已知圆心在x 轴上的圆C 与x 轴交于两点A (1,0)，B (5,0)． (1)求此圆的标准方程；(2)设P (x ，y )为圆C 上任意一点，求点P (x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值和最小值． 解析：(1)由题意，结合图①可知圆心C (3,0)，r ＝2，所以圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝ 4.(2)如图②所示，过点C 作CD 垂直于直线x －y ＋1＝0，垂足为D .由点到直线的距离公式可得|CD |＝|3＋1|2＝22，又P (x ，y )是圆C 上的任意一点，而圆C 的半径为2.结合图形易知点P 到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值为22＋2，最小值为22－2.。
2021-2022年高中数学 第二章解析几何初步之直线与圆同步练习 北师大版必修2
2021-2022年高中数学 第二章解析几何初步之直线与圆同步练习 北师大版必修21.（北师大版必修2 第93 页A 组第1题）已知点，求直线的斜率.变式1：已知点，则直线的倾斜角是（ ）A. B. C. D.解：∵，∴，∵，∴，故选（C ）.变式2：（xx 年北京卷）若三点)0)(,0(),0,(),2,2(≠ab b C a B A 共线，则的值等于 .解：∵、、三点共线，∴，∴，∴，∴.变式3：已知点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半，求直线的斜率.解：设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，依题意有，∴，∴，∴或.由，得，∴，∴，∴直线的斜率为.2.（人教A 版必修2 第111页A 组第9题）求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程.变式1：直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则（ ）A. B. C. D.解：令得，∴直线在轴上的截距为；令得，∴直线在轴上的截距为，故选（B ）.变式2：过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 .解：依题意，直线的斜率为1或直线经过原点，∴直线的方程为或，即或.变式3：直线经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线的方程.解：依题意，直线的斜率为±1，∴直线的方程为或，即或.3.（人教A 版必修2 第124页A 组第3题）求直线与坐标轴围成的三角形的面积.变式1：过点（-5，-4）且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是 .解：设所求直线方程为，依题意有，∴（无解）或，解得或.∴直线的方程是或.变式2：（xx 年上海春季卷）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则△OAB 面积的最小值为 .解：设直线的方程为， 则4])1()4(24[21)]1()4(4[2114421)21)(12(21=-⋅-+≥-+-+=--=--=∆kk k k k k k k S OAB ，当且仅当即时取等号，∴当时，有最小值4.变式3：已知射线和点，在射线上求一点，使直线与及轴围成的三角形面积最小.解：设，则直线的方程为0)4)(6()6)(44(00=-----y x x x .令得，∴]211)1[(101]1)1[(101104)15(2100020020000+-+-=-+-=-=⋅-=x x x x x x x x x S 40]211)1(2[1000=+-⋅-≥x x ，当且仅当即时取等号，∴当为（2，8）时，三角形面积最小.4.（北师大版必修2 第117页A 组第10题）求过点，且与直线平行的直线的方程.变式1：（xx 年全国卷）已知过点和的直线与直线平行，则的值为（ ）A.0B.-8C.2D.10解：依题意有，解得，故选（B ）.变式2：与直线平行，且距离等于的直线方程是 .解：设所求直线方程为，则，解得或，∴直线方程为或.变式3：已知三条直线0,0134,0532=-=+-=++y mx y x y x 不能构成三角形，求实数的取值集合.解：依题意，当三条直线中有两条平行或重合，或三条直线交于一点时，三条直线不能构成三角形，故或或，∴实数的取值集合是.5.（北师大版必修2 第117页A 组第7题）若直线和直线0)1()1(2=-+++a y a a x 垂直，求的值.变式1：（1987年上海卷）若直线与直线0)1()1(:22=-+-+a y a x l 平行但不重合，则等于（ ）A.-1或2B.-1C.2D.解：∵，∴且，∴且，解得，故选（B ）.变式2：（xx 年北京春季卷）“”是“直线与直线03)2()2(=-++-y m x m 相互垂直”的（ ）A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解：由20)2(3)2)(2(0212121-=⇔=++-+⇔=+⇔⊥m m m m m B B A A l l 或，知由可推出，但由推不出，故是的充分不必要条件，故选（B ）.变式3：设直线与圆相交于点、两点，为坐标原点，且，求的值.解：∵圆经过原点，且，∴是圆的直径，∴圆心（1，-2）在直线上，∴.6.（人教A 版必修2 第110页A 组第3题）已知，，求线段的垂直平分线的方程.变式1：已知关于直线的对称点为，则直线的方程是（ ）A. B. C. D.解：依题意得，直线是线段的垂直平分线.∵，∴，∵的中点为（1，1），∴直线的方程是即，故选（B ）. 变式2：已知圆与圆关于直线对称 ，则直线的方程是 .解：依题意得，两圆的圆心与关于直线对称，故直线是线段的垂直平分线，由变式1可得直线的方程为. 变式3：求点关于直线的对称点的坐标.解：设.由，且的中点在直线上，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--⋅-+⋅-=⋅-+0124527615674y x x y ，解得，∴.7.（北师大版必修2 第118页B 组第2题）光线自点射到点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程.变式1：一条光线从点射出，经轴反射，与圆相切，则反射光线所在直线的方程是 .解：依题意得，点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上，故可设反射光线所在直线的方程为，即.由反射光线与圆相切得，解得或，∴反射光线所在直线的方程是或，即或.变式2：（xx 年全国卷）已知长方形的四个顶点、、和，一质点从的中点沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、和（入射角等于反射角）.设的坐标为.若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.解：用特例法，取，则、、、分别为、、、的中点，此时.依题意，包含的选项（A ）（B ）（D ）应排除，故选（C ）. 变式3：已知点，在直线上求一点P ，使最小.解：由题意知，点A 、B 在直线的同一侧.由平面几何性质可知，先作出点关于直线的对称点，然后连结，则直线与的交点P 为所求.事实上，设点是上异于P 的点，则PB PA B A B P A P B P A P +=>+=+''''''. 设，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++⋅--⋅-=⋅+-0425423314335y x x y ，解得，∴，∴直线的方程为.由，解得⎪⎩⎪⎨⎧==338y x ，∴.8.（人教A 版必修2第144页A 组 3）求以为圆心，并且与直线相切的圆的方程.变式1：（xx 年重庆卷）过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线的方程为（ ） A.或 B.或C.或D.或解：设直线方程为，即.∵圆方程可化为，∴圆心为（2，-1），半径为.依题意有，解得或，∴直线方程为或，故选（A ）.变式2：（xx 年湖北卷）已知直线与圆相切，则的值为 .解：∵圆的圆心为（1，0），半径为1，∴，解得或.变式3：求经过点，且与直线和都相切的圆的方程.解：设所求圆的方程为，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+r b a b a r b a 5252)5(222，解得⎪⎩⎪⎨⎧===531r b a 或⎪⎩⎪⎨⎧===55155r b a ，∴圆的方程为或.9.（人教A 版必修2 第144页 A 组 第5题）求直线被圆截得的弦的长.变式1：（xx 年全国卷）直线截圆得的劣弧所对的圆心角为（ ）A. B. C. D.解：依题意得，弦心距，故弦长，从而△OAB 是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为，故选（C ）. 变式2：（xx 年天津卷）设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则 .解：由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，得，解得.变式3：已知圆6)2()1(:22=-++y x C ，直线.（1）求证：不论取什么实数，直线与圆恒交于两点；（2）求直线被圆截得的弦长最小时的方程.解：（1）∵直线恒过定点，且，∴点在圆内，∴直线与圆恒交于两点.（2）由平面几何性质可知，当过圆内的定点的直线垂直于时，直线被圆截得的弦长最小，此时，∴所求直线的方程为即.10.（北师大版必修2第117页A 组 第14题）已知直线和圆，判断此直线与已知圆的位置关系.变式1：（xx 年安徽卷）直线与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.解：依题意有，解得.∵，∴，故选（A ）.变式2：（xx 年湖北卷）若直线与圆有两个不同的交点，则的取值范围是 .解：依题意有，解得，∴的取值范围是.变式3：若直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的取值范围.解：∵曲线表示半圆，∴利用数形结合法，可得实数的取值范围是或.11.（北师大版必修2第101页例8）判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系，并画出图形.变式1：（1995年全国卷）圆和圆的位置关系是（ ）A.相离B.外切C.相交D.内切解：∵圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，∴1,3,5122121=-=+=r r r r O O .∵，∴两圆相交，故选（C ）. 变式2：若圆042222=-+-+m mx y x 与圆08442222=-+-++m my x y x 相切，则实数的取值集合是 .解：∵圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，且两圆相切，∴或，∴或，解得或，或或，∴实数的取值集合是. 变式3：求与圆外切于点，且半径为的圆的方程.解：设所求圆的圆心为，则所求圆的方程为.∵两圆外切于点，∴，∴，∴，∴所求圆的方程为.12.（人教A 版必修2 第145页B 组第2题）已知点)2,4(),6,2(),2,2(----C B A ，点在圆上运动，求的最大值和最小值.变式1：（xx 年湖南卷）圆0104422=---+y x y x 上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（ ）A.36B.18C.D.解：∵圆的圆心为（2，2），半径，∴圆心到直线的距离，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是262)()(==--+r r d r d ，故选（C ）.变式2：已知，，点在圆上运动，则的最小值是 .解：设，则828)(2)2()2(222222222+=++=+-+++=+OP y x y x y x PB PA .设圆心为，则，∴的最小值为.变式3：已知点在圆上运动.（1）求的最大值与最小值；（2）求的最大值与最小值.解：（1）设，则表示点与点（2，1）连线的斜率.当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值.由，解得，∴的最大值为，最小值为.（2）设，则表示直线在轴上的截距. 当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值.由，解得，∴的最大值为，最小值为.13.（人教A 版必修2第135页B 组第3题）已知点与两个定点，的距离的比为，求点的轨迹方程.变式1：（xx 年四川卷）已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的面积等于（ ）A. B. C. D.解：设点的坐标是.由，得2222)1(2)2(y x y x +-=++，化简得，∴点的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为，故选（B ）.变式2：（xx 年全国卷）由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，=600，则动点的轨迹方程是 .解：设.∵=600，∴=300.∵，∴，∴，化简得，∴动点的轨迹方程是.变式3：（xx 年北京春季卷）设为两定点，动点到点的距离与到点的距离的比为定值，求点的轨迹.解：设动点的坐标为.由，得，化简得0)1()1(2)1()1(2222222=-+++-+-a c x a c y a x a . 当时，化简得01)1(222222=+-+++c x a a c y x ，整理得222222)12()11(-=+-+-a ac y c a a x ； 当时，化简得.所以当时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；当时，点的轨迹是轴.14.（人教A 版必修2第133页例5）已知线段的端点的坐标是（4，3），端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.变式1：已知定点，点在圆上运动，是线段上的一点，且，则点的轨迹方程是（ ）A. B.C. D.解：设.∵，∴),3(31),(11y x y y x x --=--， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-y y y x x x 31)3(3111，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=y y x x 3413411.∵点在圆上运动，∴，∴，即，∴点的轨迹方程是，故选（C ）. 变式2：已知定点，点在圆上运动，的平分线交于点，则点的轨迹方程是 .解：设.∵是的平分线，∴， ∴.由变式1可得点的轨迹方程是.变式3：已知直线与圆相交于、两点，以、为邻边作平行四边形，求点的轨迹方程.解：设，的中点为.∵是平行四边形，∴是的中点，∴点的坐标为，且.∵直线经过定点，∴，∴0)12(2)2()12,2()2,2(2=-+=-⋅=⋅y y x y x y x CM OM ，化简得.∴点的轨迹方程是.15.（人教A 版必修2第144页练习第3题）某圆拱桥的水面跨度20，拱高4.现有一船宽10，水面以上高3，这条船能否从桥下通过？变式1：某圆拱桥的水面跨度是20，拱高为4.现有一船宽9，在水面以上部分高3，故通行无阻.近日水位暴涨了1.5，为此，必须加重船载，降低船身.当船身至少应降低时，船才能通过桥洞.（结果精确到0.01）解：建立直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为.∵圆经过点（10，0），（0，4），∴，解得.∴圆的方程是)40(5.14)5.10(222≤≤=++y y x . 令，得.故当水位暴涨1.5后，船身至少应降低，船才能通过桥洞.变式2：据气象台预报：在城正东方300的海面处有一台风中心，正以每小时40的速度向西北方向移动，在距台风中心250以内的地区将受其影响.从现在起经过约，台风将影响城，持续时间约为 .（结果精确到0.1）解：以为原点，正东方向所在直线为轴，建立直角坐标系，则台风中心的移动轨迹是，受台风影响的区域边界的曲线方程是222250)()(=++-a y a x . 依题意有，解得14251501425150+-≤≤--a . ∴6.64014502402,0.240142515024021211≈⨯=-=∆≈+-==a a t a t . ∴从现在起经过约2.0，台风将影响城，持续时间约为6.6.变式3：有一种商品，、两地均有出售，且两地价格相同.某地区的居民从两地购买此种商品后往回贩运时，单位距离的运费地是地的3倍.已知、两地的距离是10，顾客购买这种商品选择地或地的标准是：包括运费在内的总费用比较便宜.求、两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出在曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地点.解：以的中点为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，则，.设是售货区域分界线上的任意一点，单位距离的运费为元，则，∴2222)5()5(3y x a y x a +-=++，化简得.∴、两地售货区域的分界线是以为圆心，为半径的圆.因此在曲线内的居民选择去地购货，在曲线外的居民选择去地购货，在曲线上的居民去、两地购货均可.31253 7A15 稕35440 8A70 詰Y23300 5B04 嬄22323 5733 圳0.J[<31422 7ABE 窾34016 84E0 蓠40714 9F0A 鼊22938 599A 妚35718 8B86 讆。
高中数学 第二章 解析几何初步 2.2.2 圆的一般方程练习 北师大版必修2
2.2 圆的一般方程A组1.若圆的方程为(x-1)(x+2)+(y-2)(y+4)=0,则圆心坐标为()A.(1,-1)B.C.(-1,2)D.解析:将圆的方程化为+(y+1)2=,即可得到圆心坐标为.答案:D2.将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是()A.x+y-1=0B.x+y+3=0C.x-y+1=0D.x-y+3=0解析:能将圆平分的直线必过圆心,将圆方程x2+y2-2x-4y+1=0化成标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4,知圆心坐标为(1,2),代入四个选项中,只有C符合.故选C.答案:C3x,y的方程x2+mxy+y2+2x-y+n=0表示的曲线是圆,则m+n的取值范围是()A.B.C.D.解析:依题意应有所以于是m+n<.答案:A4.经过点(-1,1)和(1,3),且圆心在x轴上的圆的方程是()A.x2+y2-4y-6=0B.x2+y2-4x-4y-6=0C.x2+y2-4x-6=0D.x2+y2-4x+4y+6=0解析:设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,依题意有解得故所求圆的方程是x2+y2-4x-6=0.答案:C5.方程x(x2+y2-4)=0与x2+(x2+y2-4)2=0表示的曲线()A.都表示一条直线和一个圆B.前者是两个点,后者是一条直线和一个圆C.都表示两个点D.前者是一条直线和一个圆,后者是两个点解析:x(x2+y2-4)=0⇒x=0或x2+y2-4=0,x2+(x2+y2-4)2=0⇒x=0且y=±2.故选D.答案:D6.圆x2+y2-2x-2y+1=0的圆心到直线x-y-2=0的距离为.解析:已知圆的圆心坐标为(1,1),由点到直线的距离公式得圆心到直线x-y-2=0的距离d=.答案:7.动圆x2+y2-2x-k2+2k-2=0的半径的取值范围是.解析:由已知得半径r=,由于(k-1)2≥0,(k-1)2+2≥2,所以r≥,即r的取值范围是[,+∞).答案:[,+∞)8.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是.解析:由于圆心在第一象限且与x轴相切,故设圆心为(a,1),又由圆与直线4x-3y=0相切,得=1,解得a=2或-(舍去).故圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.答案:(x-2)2+(y-1)2=19C的圆经过点A(1,0),B(2,1),且圆心C在y轴上,求此圆的一般方程.解:AB的中点为,且中垂线的斜率k=-1,∴AB的中垂线的方程为y-=-,令x=0,得y=2,即圆心为(0,2).∴圆C的半径r=|CA|=.∴圆的方程:x2+(y-2)2=5,即x2+y2-4x-1=0.10.已知点P在圆C:x2+y2-4x+3=0上运动,求线段OP的中点M的轨迹方程.解:设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),点O的坐标为(0,0),由中点坐标公式,得x=,y=,于是x0=2x,y0=2y.①∵点P在圆(x-2)2+y2=1上,∴点P的坐标满足方程(x-2)2+y2=1,即(x0-2)2+=1.②把①代入②,得(2x-2)2+(2y)2=1.整理,得(x-1)2+y2=.∴点M的轨迹方程是(x-1)2+y2=.B组1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的圆与x轴相切于原点,则()A.D=0,E=0,F≠0B.D=0,E≠0,F=0C.D≠0,E=0,F=0D.D=0,E≠0,F≠0解析:圆心在y轴上,所以D=0,又圆与x轴相切于原点,所以F=0,E≠0.答案:B2.已知圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时,圆心坐标为()A.(1,1)B.(0,1)C.(-1,0)D.(0,-1)解析:∵r=,∴当S最大时,k=0,此时圆心坐标为(0,-1).答案:D3.若圆x2+y2-2kx-4=0关于直线2x-y+3=0对称,则k等于()A. B.- C.3 D.-3解析:圆心为(k,0),在直线2x-y+3=0上,所以2k-0+3=0,所以k=-,故选B.答案:B4A,B是直线3x+4y+2=0与圆x2+y2+4y=0的两个交点,则线段AB的垂直平分线的方程是()A.4x-3y-2=0B.4x-3y-6=0C.3x+4y+6=0D.3x+4y+8=0答案:B5.已知圆x2+y2-4x+2y+c=0与y轴交于A,B两点,其圆心为P,若∠APB=90°,则实数c的值是()A.-3B.3C.2D.8解析:圆x2+y2-4x+2y+c=0化成标准方程,得(x-2)2+(y+1)2=5-c,所以圆的圆心为P(2,-1),半径r=.因为圆与y轴交于A,B两点,满足∠APB=90°,所以r=2,解得c=-3.答案:A6.若曲线x2+y2+a2x+(1-a2)y-4=0关于直线y-x=0的对称曲线仍是其本身,则实数a=.解析:若曲线x2+y2+a2x+(1-a2)y-4=0关于直线y-x=0的对称曲线仍是其本身,则它是圆心在此直线上的圆,而圆心坐标是,则-=-,解得a=±.答案:±7x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是.解析:x2+y2-4x-4y-10=0可化为(x-2)2+(y-2)2=(3)2,圆心到直线x+y-14=0的距离d==5>r=3,∴圆上的点到直线的距离的最大值与最小值的差为2r=6.答案:68.一圆经过A(4,2)和B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是2,求该圆的方程.解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0,得x2+Dx+F=0,所以圆在x轴上的截距之和为x1+x2=-D.同理,圆在y轴上的截距之和为y1+y2=-E,由题设-D-E=2,①又点A,B在圆上,所以16+4+4D+2E+F=0,②1+9-D+3E+F=0,③由①②③联立,解得D=-2,E=0,F=-12.即所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0.9.已知一曲线上的点与定点O(0,0)的距离和定点A(3,0)的距离的比是,求此曲线的方程,并说明此曲线表示的图形.解:设点M(x,y)是曲线上的任意一点,则点M属于集合.由两点间的距离公式,得.化简得x2+y2+2x-3=0,①这就是所求的曲线方程.把方程①的左边配方,得(x+1)2+y2=4.所以曲线是以C(-1,0)为圆心,2为半径的圆.。
2019_2020学年高中数学第二章解析几何初步2.2圆的一般方程练习(含解析)北师大版必修2
2．2 圆的一般方程填一填二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的图形(1)变形：把方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4.(2)结论：①当D 2＋E 2－4F >0时，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，以12D 2＋E 2－4F 为半径的圆．②当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程只有一组解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－D 2，y ＝－E2，表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2.③当D 2＋E 2－4F <0时，方程无实数解，所以不表示任何图形．当D 2＋E 2－4F >0时，称二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0为圆的一般方程.判一判1.2．圆的一般方程和圆的标准方程可以互化．(√)3．若方程x 2＋y 2－2x ＋Ey ＋1＝0表示圆，则E ≠0.(√)4．二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0一定是某个圆的方程．(×)5．圆x 2＋y 2＋ax －2ay ＝0过原点．(√)6．圆x 2＋y 2－Dx －Ey ＋F ＝0的圆心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2.(×)7．若D 2＋E 2－4F <0，则方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不表示任何图形．(√)8．若直线l 将圆x 221)．(√)想一想1.提示：x 2＋y 2＋F ＝02．若二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，需满足什么条件？提示：①A ＝C ≠0；②B ＝0；③D 2＋E 2－4AF >0. 3．待定系数法求圆的一般方程的步骤是什么？提示：(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. (2)根据已知条件，建立关于D ，E ，F 的方程组． (3)解此方程组，求出D ，E ，F 的值．(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程． 4．求与圆有关的轨迹问题的方法有哪些？提示：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 思考感悟：练一练1．若方程x 2＋y 2＋x －y ＋m ＝0表示的曲线是一个圆，则m 的取值范围是( )A ．m ≤12B ．m ＝12C ．m >12D ．m <12答案：D2．圆x 2＋y 2＋2x －3y ＝0的圆心坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 C ．(2,3) D.⎝⎛⎭⎪⎫1，－32 答案：A 3．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213 C.253 D.43 答案：B4．圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0的周长为________． 答案：22π5．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的一般方程为________．答案：x 2＋y 2－4y ＋3＝0知识点一 二元二次方程与圆的关系1.(1)x 2＋y 2＋x ＋1＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＋a 2＝0(a ≠0)．解析：(1)D ＝1，E ＝0，F ＝1，D 2＋E 2－4F ＝1－4＝－3<0，所以方程(1)不表示任何图形．(2)D ＝2a ，E ＝0，F ＝a 2，D 2＋E 2－4F ＝4a 2－4a 2＝0，所以方程(2)表示点(－a,0)． 2．下列方程能表示圆吗？若能表示圆，求出圆心坐标和半径．(1)2x 2＋y 2－7x ＋5＝0；(2)x 2－xy ＋y 2＋6x ＋yt ＝0.解析：(1)不能表示圆，因为方程中x 2，y 2的系数不相同． (2)知识点二 求圆的一般方程3.与圆x 2A ．x 2＋y 2－4x ＋6y －8＝0B ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0C ．x 2＋y 2＋4x －6y －8＝0D ．x 2＋y 2＋4x －6y ＋8＝0解析：设所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋m ＝0，由该圆过点(1，－1)，得m ＝8，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0.答案：B4．已知圆过A (2,2)，C (3，－1)，且圆关于直线y ＝x 对称，求圆的一般方程．解析：设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧22＋22＋2D ＋2E ＋F ＝0，9＋1＋3D －E ＋F ＝0，－D 2＝－E 2，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝1，E ＝1，F ＝－12.所以所求的圆的方程为x 2＋y 2＋x ＋y －12＝0.知识点三 求动点的轨迹方程(或轨迹)5.已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1过点A (1,0)，则圆C 的圆心的轨迹是( ) A ．点 B ．直线 C ．线段 D ．圆解析：∵圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1过点A (1,0)，∴(1－a )2＋(0－b )2＝1，即(a －1)2＋b 2＝1，∴圆C 的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径长的圆． 答案：D 6.如图，经过圆x 2＋y 2＝4上任意一点P 作x 轴的垂线，垂足为Q .求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．解析：设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y .又点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4.所以x 2＋2综合知识 圆的一般方程7.已知A 解析：方法一 设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12.所以△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0. 方法二 设所求的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＋2－b 2＝r 2，5－a2＋3－b2＝r 2，3－a2＋－1－b 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，r 2＝5.故所求的圆的方程为(x －4)2＋(y －1)2＝5.8．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解析：如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分， 故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 当点P 在直线OM 上时，有x ＝－95，y ＝125或x ＝－215，y ＝285.因此所求轨迹为圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.基础达标一、选择题1．圆2x 2＋2y 2＋6x －4y －3＝0的圆心坐标和半径分别为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1和4 B ．(3,2)和4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1和192 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1和19解析：由一般方程的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F ，易知圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1，半径为192.答案：C2．已知圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋(a －1)2＝0(0<a <1)，则原点O 在( ) A ．圆内 B ．圆外C ．圆上D ．圆上或圆外解析：先化成标准方程(x －a )2＋(y －1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0－a )2＋(0－1)2＝a 2＋1>2a ，即原点在圆外．答案：B3．若动圆M 在x 轴与y 轴上截得的弦长总相等，则圆心M 的轨迹方程是( ) A ．x －y ＝0 B ．x ＋y ＝0C ．x 2＋y 2＝0D ．x 2－y 2＝0解析：圆心M 的坐标(x ，y )应满足y ＝x 或y ＝－x ，等价于x 2－y 2＝0. 答案：D4．已知点P (2,1)在圆C ：x 2＋y 2＋ax －2y ＋b ＝0上，点P 关于直线x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上，则圆C 的圆心坐标为( )A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(2,1)D ．(1,2) 解析：由题意圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，1在直线x ＋y －1＝0上，从而有－a2＋1－1＝0，所以a ＝0，所以圆C 的圆心坐标为(0,1)，故选A.答案：A5．下列四条直线中，将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0解析：由题意，知圆心是(1,2)，将圆平分的直线必过圆心，所以将圆心的坐标代入各选项验证知选C.答案：C6．若圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，则D ＋E 的值为( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4解析：由题知直线l 1，l 2过已知圆的圆心，所以⎩⎪⎨⎪⎧－D 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＋4＝0，－D 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝－2，所以D ＋E ＝4.答案：D7．已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，则圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－4x ＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2－2x －3＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0解析：设圆心为C (m,0)(m >0)，因为所求圆与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，所以|3m ＋4×0＋4|32＋42＝2， 整理，得|3m ＋4|＝10，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，故选A. 答案：A 二、填空题8．圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)的圆心为________，半径为________．解析：圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)化为(x ＋a )2＋y 2＝a 2其圆心为(－a,0)，半径为|a |. 答案：(－a,0) |a |9．已知圆x 2＋y 2－2x －8y ＋1＝0的圆心到直线ax －y ＋1＝0的距离为1，则a ＝________.解析：圆x 2＋y 2－2x －8y ＋1＝0的圆心C (1,4)，因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋1＝0的圆心到直线ax －y ＋1＝0的距离为1，所以d ＝|a －4＋1|a 2＋1＝1，解得a ＝43.答案：4310．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值为________．解析：圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0化为(x 2－2x ＋1)＋(y 2＋2y ＋1)＝2，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，由题意即为在圆上找一点到线段AB 的距离最小即可，k AB ＝2－00－－2＝1，直线AB ：y －2＝x ，所以线段AB ：y ＝x ＋2(－2≤x ≤0)，圆心(1，－1)到其距离d ＝|1＋2－－1|12＋12＝22， 所以圆上某点到线段AB 的距离最小值为22－2＝2，因为|AB |＝－2－02＋0－22＝22，所以S △ABC min ＝12|AB |×2＝12×22×2＝2.答案：211．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为________．解析：由题意，得直线l 过圆心M (－2，－1)，则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.答案：512．动圆x 2＋y 2－(4m ＋2)x －2my ＋4m 2＋4m ＋1＝0的圆心的轨迹方程为________．解析：设动圆圆心为(x ，y )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4m ＋22＝2m ＋1，y ＝2m2＝m ，整理得x －2y －1＝0.答案：x －2y －1＝0三、解答题13．判断下列方程是否表示圆，若是，求出圆心和半径．(1)x 2＋y 2－x ＋14＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)；(3)x 2＋y 2＋2ay －1＝0.解析：方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是否表示圆，关键看将该方程配方转化为圆的标准方程的形式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4后，D 2＋E 2－4F 是否大于0，若大于0则表示圆，否则不表示圆．方法一 (1)将原方程转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝0，表示一个点，坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.(2)将原方程转化为(x ＋a )2＋y 2＝a 2(a ≠0)， 表示圆，圆心为(－a,0)，半径r ＝|a |.(3)将原方程转化为x 2＋(y ＋a )2＝1＋a 2，表示圆，圆心为(0，－a )，半径r ＝1＋a 2.方法二 (1)因为D 2＋E 2－4F ＝(－1)2＋02－4×14＝0，所以表示一个点，其坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. (2)因为D 2＋E 2－4F ＝4a 2＋0－0＝4a 2>0(a ≠0)，所以表示圆．又因为－D 2＝－a ，－E 2＝0，12D 2＋E 2－4F ＝12·4a 2＝|a |，所以圆心为(－a,0)，半径r ＝|a |.(3)因为D 2＋E 2－4F ＝02＋(2a )2＋4＝4(1＋a )2>0， 所以表示圆．又因为－D 2＝0，－E2＝－a ，12D 2＋E 2－4F ＝1＋a 2， 所以圆心为(0，－a )，半径r ＝1＋a 2.14．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，求它的外接圆的方程．解析：由题意得，等腰三角形顶点的坐标为(0,5)或(0，－5)．当顶点坐标为(0,5)时，设三角形外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧25＋5E ＋F ＝0，16－4D ＋F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0，E ＝－95，F ＝－16.所以圆的方程为x 2＋y 2－95y －16＝0.当顶点坐标是(0，－5)时，同理可得圆的方程为x 2＋y 2＋95y －16＝0.综上，它的外接圆的方程为x 2＋y 2－95y －16＝0或x 2＋y 2＋95y －16＝0.能力提升15.已知曲线C ：(1＋a )x (1)当a 取何值时，方程表示圆；(2)求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点； (3)当曲线C 表示圆时，求圆面积最小时a 的值．解析：(1)当a ＝－1时，方程为x ＋2y ＝0，为一条直线；当a ≠－1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －21＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4a 1＋a 2＝4＋16a 21＋a 2表示圆． (2)证明：方程变形为x 2＋y 2－4x ＋a (x 2＋y 2＋8y )＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋8y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝165，y ＝－85.故C 过定点A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫165，－85.(3)因为圆恒过点A ，B ，所以以AB 为直径的圆面积最小，则圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，－45.所以21＋a ＝85，解得a ＝14.16．已知直角△ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，求： (1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 中点M 的轨迹方程．解析：(1)方法一 设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1.又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，且k AC ·k BC ＝－1， 所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)． 方法二 同方法一得x ≠3且x ≠－1.由勾股定理得|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，即(x ＋1)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝16，化简得x 2＋y 2－2x－3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．方法三 设AB 中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知，|CD |＝12|AB |＝2，由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，以2为半径长的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．设C (x ，y )，则直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)．(2)设点M (x ，y )，点C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32(x ≠3且x ≠1)，y ＝y 0＋02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 在圆(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)上运动，将x 0，y 0代入该方程得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(x ≠3且x ≠1)．。
北师大数学必修二导学同步课时作业：第2章 解析几何初步23 含解析
第二章§3A级基础巩固一、选择题1．有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b，c)；②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)；③在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0,0，c)；④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)．其中正确的个数是(C)A．1B．2C．3 D．4[解析]②③④正确．2．△ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC边上中线的长是(B)A．2 B． 6C．3 D．2 2[解析]由题意可知A(0,0,1)，B(4,0,0)，C(0,2,0)，所以BC边的中点坐标为D(2,1,0)，所以BC边的中线长|AD|＝(2－0)2＋(1－0)2＋(0－1)2＝6．3．已知点A(－1,2,7)，则点A关于x轴对称的点的坐标为(A)A．(－1，－2，－7) B．(－1，－2,7)C．(1，－2，－7) D．(1,2，－7)[解析]在空间中，若点关于x轴对称，则x坐标不变，其余均变为相反数．由于点A(－1,2,7)关于x轴对称，因此对称点A′(－1，－2，－7)．4．点A(1,2,3)关于xOy平面的对称点为A1，点A关于xOz平面的对称点为A2，则d(A1，A2)＝(A)A．213 B．13C．6 D．4[解析] A (1,2,3)关于xOy 的平面的对称点为A 1(1,2，－3)，点A 关于xOz 平面的对称点为A 2(1，－2,3)，∴d (A 1，A 2)＝(1－1)2＋(2＋2)2＋(－3－3)2＝16＋36＝213．5．如图所示，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，点P 在BD ′上，BP ＝13BD ′，则P 点坐标为( D )A ．⎝⎛⎭⎫13，13，13B ．⎝⎛⎭⎫23，23，23 C ．⎝⎛⎭⎫13，23，13D ．⎝⎛⎭⎫23，23，13[解析] 连BD ′，点P 在坐标平面xOy 上的射影在BD 上， ∵BP ＝13BD ′，所以P x ＝P y ＝23，P z ＝13，∴P ⎝⎛⎭⎫23，23，13．6．已知三点A ，B ，C 的坐标分别为A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，λ)，若AB ⊥AC ，则λ等于( D )A ．28B ．－28C ．14D ．－14[解析] ∵AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形， ∠A ＝90°.∴|BC |2＝|AB |2＋|AC |2．而|BC |2＝λ2－2λ＋146，|AB |2＝44，|AC |2＝(3－λ)2＋37，解得λ＝－14． 二、填空题7．以棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则面AA 1B 1B 对角线交点的坐标为__⎝⎛⎭⎫12，0，12__． [解析] 如图所示，A (0,0,0)，B 1(1,0,1)．面AA 1B 1B 对角线交点是线段AB 1的中点，由中点坐标公式得所求点的坐标为(12，0，12)．8．在空间直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标分别是A (0,3,4)，B (3，－1,4)，C (32，72，4)，则△ABC 是__直角__三角形． [解析] ∵|AB |＝(0－3)2＋(3＋1)2＋(4－4)2＝5，|AC |＝(0－32)2＋(3－72)2＋(4－4)2＝102，|BC |＝(3－32)2＋(－1－72)2＋(4－4)2＝3102，而|AB |2＝|AC |2＋|BC |2， ∴△ABC 是直角三角形． 三、解答题9．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面边长为2，高为3，D 为A 1B 1的中点，建立适当的坐标系，写出A 、B 、C 、D 、C 1、B 1的坐标，并求出CD 的长．[解析] 取AC 的中点为坐标原点，射线OA 、OB 分别为x 轴、y 轴，过点O 作垂直于底面ABC 的垂线为z 轴，如图所示，建立空间直角坐标系，由题意知A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－1,0,0)，D (12，32，3)，C 1(－1,0，3)，B 1(0，3，3)．∴|CD |＝(12＋1)2＋(32)2＋(3)2＝6． 10．坐标平面yOz 上一点P 满足： (1)三坐标之和为2；(2)到点A (3,2,5)，B (3,5,2)的距离相等，求P 点的坐标．[解析] 设P (0，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝2，(－3)2＋(y －2)2＋(z －5)2＝(－3)2＋(y －5)2＋(z －2)2，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，z ＝1，所以P 点的坐标为(0,1,1)．B 级 素养提升一、选择题1．已知A (1－t ,1－t ，t )，B (2，t ，t )则|AB |的最小值为( C ) A ．55B ．555C ．355D ．115[解析] |AB |＝(1－t －2)2＋(1－t －t )2＋(t －t )2＝5t 2－2t ＋2＝5⎝⎛⎭⎫t －152＋95≥95＝355． 2．已知ABCD 为平行四边形，且A (－3,1,5)，B (1，－2,4)，C (0,3,7)，则点D 的坐标为( B )A ．(－4,2,1)B ．(－4,6,8)C ．(2,3,1)D ．(5,13，－3)[解析] 设D (x ，y ，z )，由ABCD 为平行四边形知，AC 与BD 互相平分，即AC 与BD 的中点重合，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＝－32，y －22＝2，z ＋42＝6，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝6，z ＝8.故选B ．二、填空题3．有一个棱长为1的正方体，对称中心在原点且每一个面都平行于坐标平面，给出以下各点：A (1,0,1)，B (－1,0,1)，C (13，13，15)，D (15，12，12)，E (25，－12，0)，F (1，12，13)，则位于正方体之外的点是__A 、B 、F __．[解析] 由题意知，位于正方体内的点的三坐标的绝对值均小于或等于12．4．已知点P 在z 轴上，且满足|PO |＝1(O 为坐标原点)，则点P 到点A (1,1,1)的距离是__2或6__．[解析] 由题意P (0,0,1)或P (0,0，－1)， 所以|P A |＝2或6． 三、解答题5．如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，P 、Q 分别是D ′B ，B ′C 的中点，求PQ 的长．[解析] 建立如图所示空间直角坐标系∴B (a ，a ,0)，C (0，a ,0)，B ′(a ，a ，a )，D ′(0,0，a )， ∴P (a 2，a 2，a 2)，Q (a 2，a ，a 2)．∴|PQ |＝(a 2－a 2)2＋(a 2－a )2＋(a 2－a 2)2 ＝a 2． 6．正方形ABCD 和ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0<a <2)，(1)求MN 的长；(2)求a 为何值时，MN 的长最小．[解析] (1)∵面ABCD ⊥面ABEF ，而ABCD ∩ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ，∴BE⊥面AB C．∴AB、BC、BE两两垂直．∴以B为原点，以BA、BE、BC所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则M(22a,0,1－22a)，N(22a，22a,0)．|MN|＝(22a－22a)2＋(0－22a)2＋(1－22a－0)2＝a2－2a＋1＝(a－22)2＋12．(2)则当a＝22时，|MN|最短为22，此时，M、N恰为AC、BF的中点．C级能力拔高在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)，试问：(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|?(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标．[解析](1)假设在y轴上存在点M满足|MA|＝|MB|，设M(0，y,0)，则有32＋(－y)2＋12＝(－1)2＋y2＋32，由于此式对任意y∈R恒成立，即y轴上所有点均满足条件|MA|＝|MB|．(2)假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．由(1)可知，y轴上任一点都满足|MA|＝|MB|，所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等边三角形．∵|MA|＝(3－0)2＋(0－y)2＋(1－0)2＝10＋y2，|AB|＝(1－3)2＋(0－0)2＋(－3－1)2＝20，∴10＋y2＝20，解得y＝10或y＝－10．故y轴上存在点M使△MAB为等边三角形，点M的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0)．。
高中数学 第二章 解析几何初步 圆与圆的方程及综合应用练习 北师大版必修2
习题课——圆与圆的方程及综合应用2.若圆O1:(x-a)2+(y-b)2=b2+1始终平分圆O2:(x+1)2+(y+1)2=4的周长,则实数a,b应满足的关系是()A.a2-2a-2b-3=0B.a2+2a+2b+5=0C.a2+2b2+2a+2b+1=0D.3a2+2b2+2a+2b+1=0解析:若要圆O1始终平分圆O2的周长,只需两圆的公共弦经过圆O2的圆心即可.公共弦方程为(x-a)2+(y-b)2-b2-1-[(x+1)2+(y+1)2-4]=0,即(2+2a)x+(2+2b)y-1-a2=0,小圆圆心为(-1,-1),代入上式得a2+2a+2b+5=0,故选B.答案:B3.使得方程-x-m=0有实数解的实数m的取值范围是()A.-4≤m≤4B.-4≤m≤4C.-4≤m≤4D.4≤m≤4解析:设f(x)=,g(x)=x+m,在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图像,如图所示,则m是直线y=x+m在y轴上的截距.由图可知-4≤m≤4.答案:B4.已知圆O:x2+y2=1和点A(-2,0),若定点B(b,0)(b≠-2)和常数λ满足:对圆O上任意一点M,都有|MB|=λ|MA|,则b=,λ=.解析:由点M的任意性,取两个特殊点,建立方程组求解b和λ.因为点M为圆O上任意一点,所以不妨取圆O与x轴的两个交点(-1,0)和(1,0).当M点取(-1,0)时,由|MB|=λ|MA|,得|b+1|=λ;当M点取(1,0)时,由|MB|=λ|MA|,得|b-1|=3λ.消去λ,得|b-1|=3|b+1|.两边平方,化简,得2b2+5b+2=0,解得b=-或b=-2(舍去).由|b+1|=λ,得λ=.答案:-5.设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是.解析:当x0=0时,M(0,1),由圆的几何性质得在圆上存在点N(-1,0)或N(1,0),使∠OMN=45°.当x0≠0时,过M作圆的两条切线,切点为A,B.若在圆上存在N,使得∠OMN=45°,应有∠OMB≥∠OMN=45°,∴∠AMB≥90°.∴-1≤x0<0或0<x0≤1.综上,-1≤x0≤1.答案:[-1,1]6.导学号62180146在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是.解析:∵圆C的方程可化为:(x-4)2+y2=1,∴圆C的圆心坐标为(4,0),半径为1.设直线y=kx-2上存在一点A(x0,kx0-2),使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点, 则|AC|min≤2.∵|AC|min即为点C到直线y=kx-2的距离,∴≤2,解得0≤k≤.∴k的最大值是.答案:7.在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限,半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.(1)求圆C的方程;(2)试探求圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长,若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)设圆心为C(a,b),由题意易知线段OC与直线y=x垂直,∴k OC==-1,故b=-a.由题意知|OC|=2,即=2,解得由点C(a,b)位于第二象限知故圆C的方程为(x+2)2+(y-2)2=8.(2)假设存在Q(m,n)符合题意,则解得故圆C上存在异于原点的点Q,使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长.8.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A,B是切点,C是圆心.(1)求四边形PACB面积的最小值.(2)直线上是否存在点P,使∠BPA=60°?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)∵P在直线3x+4y+8=0上,∴设点P的坐标为.又C点坐标为(1,1),圆C的半径为1,∴四边形PACB的面积S=2S△PAC=2×|PA|·|AC|=|AP|.∵|AP|2=|PC|2-|AC|2=|PC|2-1,∴当|PC|最小时,|AP|最小,四边形PACB的面积最小.∵|PC|2=(1-x)2++9.∴|PC|min=3.∴S min=2.(2)不存在.理由如下:假设直线上存在点P满足题意.∵∠APB=60°,∴∠APC=30°.∴|AP|=|AC|=,|PC|=2.设P(x,y),则有消去y,整理可得25x2+40x+96=0,Δ=402-4×25×96<0,∴这样的点P是不存在的.。
「精品」高中数学课时作业212.2圆与圆的方程北师大版必修2
11．(2016·全国卷甲)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()
A．－ B．－
C. D．2
解析：圆的方程可化为(x－1)2＋(y－4)2＝4，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为 ＝1，解得a＝－ .故选A.
答案：A
12．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，该圆的方程为________．
课时作业21圆的一般方程
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一、选择题(每小题5分，共25分)
1．如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的取值范围是()
A．(－∞，5)B.
C. D.
解析：由(－2)2＋12－4k>0，得k< .
答案：B
2．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是()
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
答案：±
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求经过点A(6,5)，B(0,1)，且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程．
解析：设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则其圆心坐标为 ，
ห้องสมุดไป่ตู้依题意有
即 解得
因此圆的方程是x2＋y2－14x＋6y－7＝0.
10．已知以点C为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，且圆心在直线x＋3y－15＝0上．设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．
则圆心是 ，
由题意知， 解得D＝E＝－4，F＝－2，
即所求圆的一般方程是x2＋y2－4x－4y－2＝0.
14．求一个动点P在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点A(3,0)连线的中点M的轨迹方程．
2020_2021学年高中数学第二章解析几何初步2.2圆的一般方程课时作业含解析北师大版必修2202
第二章 解析几何初步[课时作业] [A 组 基础巩固]1．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，则直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为(a ，－32b )，则a ＜0，b ＞0.直线x ＋ay ＋b ＝0化为y ＝－1a x －b a ，则斜率k ＝－1a ＞0，在y 轴上的截距－ba＞0，所以直线一定不经过第四象限．答案：D2．若关于x ，y 的方程x 2＋mxy ＋y 2＋2x －y ＋n ＝0表示的曲线是圆，则m ＋n 的取值X 围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，54B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞ 解析：依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，4＋1－4n >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n <54，于是m ＋n <54.答案：A3．与圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＋3＝0同心，且过点(1，－1)的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2－4x ＋6y －8＝0 B ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0 C ．x 2＋y 2＋4x －6y －8＝0 D ．x 2＋y 2＋4x －6y ＋8＝0解析：设所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋m ＝0，由该圆过点(1，－1) ，得m ＝8，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0. 答案：B4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝1 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：设圆上任意一点的坐标为(x 1，y 1)，其与点P 连线的中点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 答案：A5．圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心到直线x －y －2＝0的距离为________．解析：已知圆的圆心坐标为(1,1)，由点到直线的距离公式得圆心到直线x －y －2＝0的距离d ＝|1－1－2|12＋12＝2.答案：26．已知点A (2,0)，动点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，则线段AQ 的中点P 的轨迹方程是________． 解析：设点Q 的坐标为(x 0，y 0)，点P 的坐标为(x ，y )，由已知得x ＝2＋x 02，y ＝y 02，于是x 0＝2x －2，y 0＝2y ，由点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，得x 20＋y 20＝4，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4，整理得(x －1)2＋y 2＝1.答案：(x －1)2＋y 2＝17．若实数x ，y 满足x 2＋y 2－6x ＋8y ＋24＝0，则x 2＋y 2的最大值等于________．解析：依题意，点P (x ，y )在圆x 2＋y 2－6x ＋8y ＋24＝0上，即(x －3)2＋(y ＋4)2＝1，而x 2＋y 2表示点P 与原点O 距离的平方．由于已知圆的圆心为C (3，－4)，半径r ＝1， 又|OC |＝5，所以点P 与原点O 距离的最大值为1＋5＝6，从而x 2＋y 2的最大值是36. 答案：368．点M ，N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上，且点M ，N 关于直线x －y ＋1＝0对称，则该圆的面积是________． 解析：将x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝5＋k 24，故圆心坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，－1.由题意知，直线x －y ＋1＝0过圆心，故－k2＋1＋1＝0，解得k ＝4，此时圆的半径为3，圆的面积是9π. 答案：9π9．圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于A (0，－4)，B (0，－2)两点，求圆C 的方程．解析：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)， 则圆心C (－D 2，－E2)在直线2x －y －7＝0上，所以2×(－D 2)－(－E2)－7＝0， 即D －E2＋7＝0. ① 又∵A (0，－4)，B (0，－2)在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧(－4)2－4E ＋F ＝0， ②(－2)2－2E ＋F ＝0. ③由①②③解得D ＝－4，E ＝6，F ＝8，∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0.10．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (0，－1)，B (0,1)，设P 是圆C 上的动点，令d ＝|PA |2＋|PB |2，求d 的最大值及最小值． 解析：如图，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，∴d ＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2 ＝2(x 20＋y 20)＋2 ＝2|PO |2＋2.问题转化为求点P 到原点O 的距离的最值．∵O 在圆C 外，∴|PO |max ＝|CO |＋1＝5＋1＝6，|PO |min ＝|CO |－1＝4， ∴d max ＝2×62＋2＝74，d min ＝2×42＋2＝34.[B 组 能力提升]1．若a ∈{－2,0,1,3}，则方程x 2＋y 2＋3ax ＋ay ＋52a 2＋a －1＝0能表示圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由(3a )2＋a 2－4(52a 2＋a －1)＞0，得a ＜1，满足条件的a 只有－2与0，所以方程x 2＋y 2＋3ax ＋ay ＋52a 2＋a －1＝0能表示圆的个数为2.答案：C 2．由方程x 2＋y 2＋x ＋(m －1)y ＋12m 2＝0所确定的圆中，最大圆的面积是( )A.π4B.π2 C.3π4D ．π解析：r 2＝1＋(m －1)2－4×12m 24＝－m 2－2m ＋24.所以当m ＝－1时，r 2max ＝34，则S max ＝3π4. 3．设圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －5＝0，若此圆的一条弦AB 的中点为P (3,1)，则直线AB 的方程为________．解析：由题可设直线AB 的斜率为k ，由圆的知识可知：CP ⊥AB . 所以k CP ·k ＝－1.又k CP ＝1－03－2＝1⇒k ＝－1. 所以直线AB 的方程为y －1＝－(x －3)，即x ＋y －4＝0. 答案：x ＋y －4＝04．当动点P 在圆x 2＋y 2＝2上运动时，它与定点A (3,1)连线中点Q 的轨迹方程为________．解析：设Q (x ，y )，P (a ，b )，由中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋32y ＝b ＋12，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x －3b ＝2y －1，因为点P (2x －3,2y －1)满足圆x 2＋y 2＝2的方程，所以(2x －3)2＋(2y －1)2＝2，化简，得(x －32)2＋(y －12)2＝12，此即为点Q 的轨迹方程． 答案：(x －32)2＋(y －12)2＝125．已知方程x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，求x 2＋y 2的最大值．解析：方程x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0可以化为(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，它表示圆心为A (－2,1)，半径为3的圆，如图所示．x2＋y2＝((x－0)2＋(y－0)2)2表示圆上的点到坐标原点O的距离的平方，显然，连接OA并延长交圆较远一端于点B，则|OB|2为最大值，即x2＋y2的最大值为|OB|2＝(|OA|＋3)2＝(5＋3)2＝14＋6 5. 6．已知圆O：x2＋y2＝4上的一定点A(2,0)，点B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解析：(1)设AP的中点为M(x，y)，则点P的坐标为(2x－2,2y)．因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，整理，得(x－1)2＋y2＝1.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，即x2＋y2－x－y－1＝0.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.。
高中数学 第二章 解析几何初步 2.2.1 圆与圆的方程练习 北师大版必修2
2.1 圆的标准方程A组1.圆(x-3)2+(y+2)2=13的周长是()A.πB.2πC.2πD.2π解析:由方程知圆的半径r=,于是周长C=2π·=2π.答案:B2y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是()A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1解析:设圆心的坐标为(0,m),则有=1,解得m=2,所以圆的方程是x2+(y-2)2=1.答案:A3.方程y=-表示的曲线是()A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆解析:由y=-两边平方可得y2=12-x2,即x2+y2=12,又因为y≤0,所以该方程表示圆x2+y2=12的下半部分.答案:D4.圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离的最小值是()A.6B.4C.5D.1解析:圆的半径r=1,圆心(0,0)到直线3x+4y-25=0的距离d==5,故所求的最小值为d-r=4.答案:B5.圆(x+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为()A.(x-2)2+y2=5B.x2+(y-2)2=5C.(x+2)2+(y+2)2=5D.x2+(y+2)2=5解析:(x+2)2+y2=5的圆心为(-2,0),圆心关于原点的对称点为(2,0),即为对称圆的圆心,所以圆(x+2)2+y2=5关于原点对称的圆的方程为(x-2)2+y2=5.答案:A6.圆心在C(-1,2),且一条直径的两个端点分别落在两坐标轴上的圆的方程是.解析:因为直径的两个端点在两坐标轴上,所以该圆一定过原点,所以半径r=,又圆心为C(-1,2),故圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.答案:(x+1)2+(y-2)2=57.已知圆C1的方程(x+3)2+(y-2)2=5,圆C2与圆C1是同心圆,且与x轴相切,则圆C2的标准方程为.解析:由圆C1的方程知圆心C1(-3,2).因为圆C2与圆C1是同心圆,所以圆C2的圆心也为(-3,2).又圆C2与x轴相切,则半径为2,所以(x+3)2+(y-2)2=4.答案:(x+3)2+(y-2)2=48.若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为.解析:根据题意得点(1,0)关于直线y=x对称的点(0,1)为圆心,又半径r=1,所以圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1.答案:x2+(y-1)2=19C与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且经过点A(6,1),求圆C的方程.解:设圆心坐标为(3a,a),因为圆心在直线x-3y=0上,又圆C与y轴相切,所以半径r=|3a|,圆的标准方程为(x-3a)2+(y-a)2=|3a|2.又过点A(6,1),所以(6-3a)2+(1-a)2=9a2,即a2-38a+37=0,解得a=1或a=37.所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x-111)2+(y-37)2=1112.10.已知平面直角坐标系中有四个点A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2),判断这四个点能否在同一个圆上,为什么?解:设经过A,B,C三点的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).代入三点的坐标得解方程组,得所以经过A,B,C三点的圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=5.将点D 的坐标代入圆的标准方程,左边=右边,所以点D在圆上,故A,B,C,D四点能在同一个圆上.B组1x+2y+3=0将圆(x-a)2+(y+5)2=3的周长平分,则a等于()A.13B.7C.-13D.以上答案都不对解析:当直线过圆心时直线才将圆的周长平分,所以将圆心(a,-5)代入直线方程x+2y+3=0,得a+2×(-5)+3=0,解得a=7.答案:B2.方程|x|-1=表示的曲线是()A.一个圆B.两个圆C.半个圆D.两个半圆解析:由题意得即或故原方程表示两个半圆.答案:D3.设实数x,y满足(x+3)2+y2=6,那么的最大值是()A. B. C. D.解析:令=k,即y=kx,直线y=kx与圆相切时恰好k取最值,如图所示,易得k=tan α=.答案:C4.如图所示,ACB为一弓形,且点A,B,C的坐标分别为(-4,0),(4,0),(0,2),那么弓形所在圆的方程为()A.x2+y2=16B.x2+y2=4C.x2+(y+2)2=20D.x2+(y+3)2=25解析:∵圆心在弦AB的中垂线上,∴圆心在y轴上,可设P(0,b).∵|AP|=|CP|,∴=|2-b|,解得b=-3.∴圆心P(0,-3),半径r=|CP|=5.∴圆的标准方程为x2+(y+3)2=25.答案:D5.设圆C:(x-a)2+(y-1)2=1(a为常数)被y轴截得的弦为线段AB,若弦AB所对的圆心角为,则实数a=.答案:±6.已知△ABC的顶点A(-1,0),B(1,0),点C在圆(x-2)2+(y-2)2=1上移动,如图所示,则△ABC面积的最小值为.解析:∵|AB|=2为定长,∴当△ABC的高即点C到AB的距离最小时,S△ABC最小,又圆心为(2,2),半径为1.所以此时点C的坐标为(2,1),S△ABC的最小值为1.答案:17.导学号62180120一束光线从点A(-1,1)发出,经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1,最短路程为.解析:设光线与x轴交于B(x,0),依题意得k BC+k BA=0,即=0.解得x=-,于是最短路程为d=|AB|+|BC|-1=-1=4.答案:48.已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0),B(5,0).(1)求此圆的标准方程;(2)设点P(x,y)为圆C上任意一点,求点P(x,y)到直线x-y+1=0的距离的最大值和最小值.解:(1)由题意,结合图①可知圆心C(3,0),r=2,所以圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4.(2)如图②所示,过点C作CD垂直于直线x-y+1=0,垂足为D.由点到直线的距离公式可得|CD|==2,又P(x,y)是圆C上的任意一点,而圆C的半径为2.结合图形易知,点P到直线x-y+1=0的距离的最大值为2+2.。
北师大数学必修二导学同步课时作业：第2章 解析几何初步222 含解析
第二章 §2 2.2A 级 基础巩固一、选择题1．方程x 2＋y 2＋2x －4y －6＝0表示的图形是( D ) A ．以(1，－2)为圆心，11为半径的圆 B ．以(1,2)为圆心，11为半径的圆 C ．以(－1，－2)为圆心，11为半径的圆 D ．以(－1,2)为圆心，11为半径的圆[解析] D ＝2，E ＝－4，F ＝－6，故圆心为(－1,2)，半径为11．2．已知圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0的圆心在直线x ＋y ＝1上，则D 与E 的关系是( D ) A ．D ＋E ＝2 B ．D ＋E ＝1 C ．D ＋E ＝－1D ．D ＋E ＝－2[解析] 依题意得，圆心(－D 2，－E 2)在直线x ＋y ＝1上，因此有－D 2－E2＝1，即D ＋E＝－2．3．过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别为2和3的圆的方程为( A ) A ．x 2＋y 2－2x －3y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x －3y ＝0 C ．x 2＋y 2－2x ＋3y ＝0D ．x 2＋y 2＋2x ＋3y ＝0[解析] 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，由题意知圆过(0,0)，(2,0)和(0,3)点，∴⎩⎪⎨⎪⎧F ＝022＋2D ＋F ＝032＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0D ＝－2E ＝－3．∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －3y ＝0．4．(新课标全国卷Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( C )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10[解析] 设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20，故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0.令x ＝0，得y 2＋4y －20＝0，设M (0，y 1)，N (0，y 2)，则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－20，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝46．5．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与两坐标轴都相交的条件是( D ) A ．D >E >4F B ．E >D >4F C ．D 2<4F 且E 2<4FD ．D 2>4F 且E 2>4F[解析] 令x ＝0得，y 2＋Ey ＋F ＝0，要使与y 轴相交，应有E 2－4F >0即E 2>4F ；令y ＝0得，x 2＋Dx ＋F ＝0，要使与x 轴相交，应有D 2－4F >0即D 2>4F .故应选D ．6．方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r (r >0)的圆，则该圆圆心在( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] 圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－a2，a ． ∵a 2＋4a 2－4(2a 2＋3a )>0，∴－4<a <0． ∴圆心在第四象限．故选D ． 二、填空题7．若直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴交点为A ，B ，则以线段AB 为直径的圆的一般方程为__x 2＋y 2＋4x －3y ＝0__．[解析] 依题意A (－4,0)，B (0,3)，∴AB 中点C 的坐标为(－2，32)，半径r ＝|AC |＝(－2＋4)2＋(32)2＝52，∴圆的方程为(x ＋2)2＋(y －32)2＝(52)2，即x 2＋y 2＋4x －3y ＝0．8．若使圆x 2＋y 2＋2x ＋ay －a －12＝0(a 为实数)的面积最小，则a ＝__－2__． [解析] 圆的半径r ＝124＋a 2－4(－a －12) ＝12a 2＋4a ＋52＝12(a ＋2)2＋48，∴当a ＝－2时，r 最小，从而圆面积最小． 三、解答题9．判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，表示圆时求出圆心和半径． [解析] 解法1：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0，可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2， 因此，当m ＝2时，它表示一个点；当m ≠2时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m ，－m )， 半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|．解法2：原方程可化为 (x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2， 因此，当m ＝2时，它表示一个点； 当m ≠2时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝5|m －2|．10．已知方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9＝0表示一个圆． (1)求实数m 的取值范围； (2)求该圆半径的取值范围．[分析] (1)由二元二次方程表示圆的条件可求实数m 的范围．(2)可将圆的半径用m 表示出来，根据m 的范围可求r 的取值范围．[解析] (1)方程化为[x －(m ＋3)]2＋[y ＋(1－4m 2)]2＝－7m 2＋6m ＋1， ∴－7m 2＋6m ＋1>0，－17<m <1，∴方程表示圆时m 的取值范围为－17<m <1．(2)r ＝－7m 2＋6m ＋1＝－7(m －37)2＋1＋97≤477，∴圆的半径r 的取值范围为0<r ≤477．B 级 素养提升一、选择题1. 当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( C ) A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0[解析] 令a ＝0，a ＝1，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋1＝0，－y ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以C (－1,2)．则圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0．2．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( A ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1[解析] 本题考查代入法求动点的轨迹方程． 设中点坐标为(x ，y )，圆上的任意点为(x 0，y 0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x2y ＝－2＋y 02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4y 0＝2y ＋2，又点(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，∴(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，∴(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.二、填空题3．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝__－2__．[解析] 由题意知圆心(－1，－a 2)应在直线l ：x －y ＋2＝0上，即－1＋a2＋2＝0，解得a＝－2．4．若实数x ，y 满足x 2＋y 2－6x ＋8y ＋24＝0，则x 2＋y 2的最大值等于__36__． [解析] 依题意，点P (x ，y )在圆x 2＋y 2－6x ＋8y ＋24＝0上，即(x －3)2＋(y ＋4)2＝1，而x 2＋y 2表示点P 与原点O 距离的平方．由于已知圆的圆心为C (3，－4)，半径r ＝1．又|OC |＝5，所以点P 与原点O 距离的最大值为1＋5＝6，从而x 2＋y 2的最大值是36． 三、解答题5．已知x 2＋y 2＋(3t ＋1)x ＋ty ＋t 2－2＝0表示一个圆． (1)求t 的取值范围；(2)若圆的直径为6，求t 的值．[解析] (1)∵方程表示一个圆，则有D 2＋E 2－4F >0， ∴(3t ＋1)2＋t 2－4(t 2－2)>0． ∴23t >－9，即t >－332．(2)由条件知，圆的半径是3， ∴3＝12(3t ＋1)2＋t 2－4(t 2－2)．∴23t ＋9＝36.∴t ＝932>－32 3.∴t ＝923．6．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径为2，求圆的一般方程．[解析] 圆心C (－D 2，－E2)，∵圆心在直线x ＋y －1＝0上， ∴－D 2－E2－1＝0，即D ＋E ＝－2，①又r ＝D 2＋E 2－122＝2，∴D 2＋E 2＝20，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2.又圆心在第二象限，∴－D2<0，即D >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4，∴圆的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0．C 级 能力拔高已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明其轨迹．[解析] 设点M 的坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)． 由于点B 的坐标是(4,3)，且点M 是线段AB 的中点，所以x ＝x 0＋42，y ＝y 0＋32，于是有x 0＝2x －4，y 0＝2y －3． 因为点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动， 所以点A 的坐标满足方程(x ＋1)2＋y 2＝4， 即(x 0＋1)2＋y 20＝4．把x 0＝2x －4，y 0＝2y －3代入上面的方程得 (2x －4＋1)2＋(2y －3)2＝4， 整理得⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －322＝1． 所以，点M 的轨迹方程是⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －322＝1． 点M 的轨迹是以⎝⎛⎭⎫32，32为圆心，1为半径的圆．。
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圆与圆的方程习题课A 级 基础巩固一、选择题1．点M 在圆(x －5)2＋(y －3)2＝9上，则点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离为( D ) A ．9 B ．8 C ．5D ．2[解析] 圆心(5,3)到直线3x ＋4y －2＝0的距离为d ＝|3×5＋4×3－2|32＋42＝5.又r ＝3，则M到直线的最短距离为5－3＝2．2．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值范围是( B ) A ．R B ．(－∞，1) C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)[解析] ∵D 2＋E 2－4F >0，∴16＋4－20k >0， ∴k <1，故选B ．3．已知圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋k ＝0和定点P (1，－1)，若过点P 的圆的切线有两条，则k 的取值范围是( C )A ．(－2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－2,2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[解析] 因为方程x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋k ＝0表示一个圆，所以4＋4－4k >0，解得k <2.又由题意知，要使P 在圆外，则k >－2，故－2<k <2，故选C ．4．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( A ) A ．－43B ．－34C ． 3D ．2[解析] 配方得(x －1)2＋(y －4)2＝4， ∴圆心为C (1,4)．由条件知|a ＋4－1|a 2＋1＝1.解之得a ＝－43．故选A ．5．圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的公切线有且仅有( C )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条[解析] 圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝3，圆C 2的圆心C 2(－2，－1)，半径r 2＝2， ∴|C 1C 2|＝[1－(－2)]2＋[3－(－1)]2＝5＝r 1＋r 2，故两圆外切，公切线有3条． 二、填空题6．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝__2__．[解析] 本题考查直线与圆的位置关系．依题意，圆心O (0,0)到两直线l 1：y ＝x ＋a ，l 2：y ＝x ＋b 的距离相等，且每段弧长等于圆周的14，即|a |2＝|b |2＝1×sin45°＝22，得|a |＝|b |＝1.故a 2＋b 2＝2．7．(2018·江苏省启东中学期中)圆心在直线x －y －4＝0上，且经过圆x 2＋y 2－4x －6＝0与圆x 2＋y 2－4y －6＝0的交点的圆的方程为__(x －3)2＋(y ＋1)2＝16__．[解析] 解法1 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －6＝0，x 2＋y 2－4y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝3.故圆x 2＋y 2－4x －6＝0与圆x 2＋y 2－4x －6＝0的交点为A (－1，－1)，B (3,3)，线段AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝－(x －1)，x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为(3－3)2＋(3＋1)2＝4，所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16．解法2 同解法1，求得A (－1，－1)，B (3,3)，设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧a －b －4＝0，(－1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(3－a )2＋(3－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－1，r 2＝16.所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16．解法3 设所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －6＋λ(x 2＋y 2－4y －6)＝0(λ≠－1)，其圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ，2λ1＋λ，代入x －y －4＝0，得λ＝－13．故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －6＝0，即(x －3)2＋(y ＋1)2＝16． 三、解答题8．求圆心在直线4x ＋y ＝0上，且与直线l ：x ＋y －1＝0切于点P (3，－2)的圆的方程，并找出圆的圆心及半径．[解析] 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝0b ＋2a －3＝1(3－a )2＋(－2－b )2＝r2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝0b ＝a －5(3－a )2＋(－2－b )2＝r2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－4r 2＝8.所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8，它是以(1，－4)为圆心，以22为半径的圆．9．(2017·金华高一检测)已知圆O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由圆O 外一点P (a ，b )向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，|PQ |＝|P A |成立，如图．(1)求a，b间的关系；(2)求|PQ|的最小值．[解析](1)连接OQ，OP，则△OQP为直角三角形，又|PQ|＝|P A|，所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2＝1＋|P A|2，所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，故2a＋b－3＝0．(2)由(1)知，P在直线l：2x＋y－3＝0上，所以|PQ|min＝|P A|min，为A到直线l的距离，所以|PQ|min＝|2×2＋1－3|22＋12＝255．B级素养提升一、选择题1．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过(D)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为(a，－32b)，则a<0，b>0.直线y＝－1a x－ba，其斜率k＝－1a>0，在y轴上的截距为－ba>0，所以直线不经过第四象限，故选D．2．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(B)A．5 2 B．10 2C．15 2 D．20 2[解析]圆x2＋y2－2x－6y＝0化成标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10，则圆心坐标为M(1,3)，半径长为10.由圆的几何性质可知：过点E的最长弦AC为点E所在的圆的直径，则|AC|＝210.BD是过点E的最短弦，则点E为线段BD的中点，且AC⊥BD，E为AC与BD 的交点，则由垂径定理可是|BD |＝2|BM |2－|ME |2＝210－[(1－0)2＋(3－1)2]＝2 5.从而四边形ABCD 的面积为12|AC ||BD |＝12×210×25＝102．二、填空题3．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为__(x －2)2＋y 2＝9__．[解析] 设圆心为(a,0)(a >0)，则圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝|2a －0|4＋1＝455，解得a ＝2，半径r ＝(2－0)2＋(0－5)2＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9．4．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值是__5＋3__．[解析] 关键是搞清式子x 2＋y 2的意义．实数x ，y 满足方程x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，所以(x ，y )为方程所表示的曲线上的动点.x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，表示动点(x ，y )到原点(0,0)的距离．对方程进行配方，得(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，它表示以C (－2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点在圆内．连接CO 交圆于点M ，N ，由圆的几何性质可知，MO 的长即为所求的最大值．三、解答题5．求经过两点P (－2,4)、Q (3，－1)，且在x 轴上截得的弦长为6的圆的方程． [解析] 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20 ①3D －E ＋F ＝－10 ②，又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，由已知得|x 1－x 2|＝6(其中x 1、x 2是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根)，∴D 2－4F ＝36 ③ 由①②③联立组成方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2E ＝－4F ＝－8，或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6E ＝－8F ＝0．∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0． 6．已知动点M 到点A (2,0)的距离是它到点B (8,0)的距离的一半． (1)求动点M 的轨迹方程；(2)若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹．[解析] (1)设动点M (x ，y )为轨迹上任意一点，则点M 的轨迹就是集合P ＝{M ||MA |＝12|MB |}．由两点距离公式，点M 适合的条件可表示为(x －2)2＋y 2＝12(x －8)2＋y 2，平方后再整理，得x 2＋y 2＝16.可以验证，这就是动点M 的轨迹方程．(2)设动点N 的坐标为(x ，y )，M 的坐标是(x 1，y 1)．由于A (2,0)，且N 为线段AM 的中点，所以x ＝2＋x 12，y ＝0＋y 12，所以有x 1＝2x －2，y 1＝2y ，① 由(1)知，M 是圆x 2＋y 2＝16上的点，所以点M 坐标(x 1，y 1)满足：x 21＋y 21＝16，②将①代入②整理，得(x －1)2＋y 2＝4．所以N 的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆．C 级 能力拔高在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由．(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． [解析] (1)解：不能出现AC ⊥BC 的情况．理由如下： 设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2． 又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为(x 22，12)，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2(x 2－x 22)．由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2．联立⎩⎨⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2(x －x22)，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧x ＝－m2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－m 2，－12)，半径r ＝m 2＋92． 故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－(m2)2＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．。