北师大数学必修二导学同步课时作业：第2章 解析几何初步 圆与圆的方程习题课 含解析

圆与圆的方程习题课

A 级 基础巩固

一、选择题

1．点M 在圆(x －5)2＋(y －3)2＝9上，则点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离为( D ) A ．9 B ．8 C ．5

D ．2

[解析] 圆心(5,3)到直线3x ＋4y －2＝0的距离为d ＝|3×5＋4×3－2|32＋42＝5.又r ＝3，则M

到直线的最短距离为5－3＝2．

2．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值范围是( B ) A ．R B ．(－∞，1) C ．(－∞，1]

D ．[1，＋∞)

[解析] ∵D 2＋E 2－4F >0，∴16＋4－20k >0， ∴k <1，故选B ．

3．已知圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋k ＝0和定点P (1，－1)，若过点P 的圆的切线有两条，则k 的取值范围是( C )

A ．(－2，＋∞)

B ．(－∞，2)

C ．(－2,2)

D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

[解析] 因为方程x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋k ＝0表示一个圆，所以4＋4－4k >0，解得k <2.又由题意知，要使P 在圆外，则k >－2，故－2

4．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( A ) A ．－43

B ．－34

C ． 3

D ．2

[解析] 配方得(x －1)2＋(y －4)2＝4， ∴圆心为C (1,4)．

由条件知|a ＋4－1|a 2＋1＝1.解之得a ＝－4

3

．

故选A ．

5．圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的公切线有且仅有( C )

A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．4条

[解析] 圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝3，圆C 2的圆心C 2(－2，－1)，半径r 2＝2， ∴|C 1C 2|＝

[1－(－2)]2＋[3－(－1)]2＝5＝r 1＋r 2，

故两圆外切，公切线有3条． 二、填空题

6．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝__2__．

[解析] 本题考查直线与圆的位置关系．

依题意，圆心O (0,0)到两直线l 1：y ＝x ＋a ，l 2：y ＝x ＋b 的距离相等，且每段弧长等于圆周的14，即|a |2＝|b |2

＝1×sin45°＝22，得|a |＝|b |＝1.故a 2＋b 2＝2．

7．(2018·江苏省启东中学期中)圆心在直线x －y －4＝0上，且经过圆x 2＋y 2－4x －6＝0与圆x 2＋y 2－4y －6＝0的交点的圆的方程为__(x －3)2＋(y ＋1)2＝16__．

[解析] 解法1 由⎩⎪⎨⎪⎧

x 2＋y 2－4x －6＝0，x 2＋y 2－4y －6＝0，

解得⎩⎪⎨

⎪⎧

x 1＝－1，

y 1＝－1，

⎩⎪⎨

⎪⎧

x 2＝3，

y 2＝3.

故圆x 2＋y 2－4x －6＝0与圆x 2＋y 2－4x －6＝0的交点为A (－1，－1)，B (3,3)，线段AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－(x －1)．由⎩⎪⎨

⎪⎧

y －1＝－(x －1)，

x －y －4＝0，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝3，

y ＝－1.

所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为(3－3)2＋(3＋1)2＝4，所以所求

圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16．

解法2 同解法1，求得A (－1，－1)，B (3,3)，设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，

由⎩⎪⎨⎪

⎧

a －

b －4＝0，(－1－a )2

＋(－1－b )2

＝r 2

，(3－a )2

＋(3－b )2

＝r 2

，

解得⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＝3，

b ＝－1，

r 2

＝16.

所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16．

解法3 设所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －6＋λ(x 2＋y 2－4y －6)＝0(λ≠－1)，其圆心坐标为⎝ ⎛

⎭

⎪⎫21＋λ，2λ1＋λ，代入x －y －4＝0，得λ＝－1

3．

故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －6＝0，即(x －3)2＋(y ＋1)2＝16． 三、解答题

8．求圆心在直线4x ＋y ＝0上，且与直线l ：x ＋y －1＝0切于点P (3，－2)的圆的方程，并找出圆的圆心及半径．

[解析] 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意有

⎩⎪⎨⎪⎧

4a ＋b ＝0

b ＋2a －3＝1

(3－a )2

＋(－2－b )2

＝r

2

，

化简得⎩⎪⎨⎪

⎧

4a ＋b ＝0

b ＝a －5

(3－a )2

＋(－2－b )2

＝r

2

，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝1

b ＝－4

r 2

＝8

.所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8，它是以(1，－4)为圆心，以22

为半径的圆．

9．(2017·金华高一检测)已知圆O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由圆O 外一点P (a ，b )向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，|PQ |＝|P A |成立，如图．