最新2013年考研数学二试题及答案

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案1一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，2 只有一个选项符合3 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 41、设cos 1sin ()x x x α-=⋅，()2x πα<，当0x →时，()x α（ ）5（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 6（C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 是等价无穷小7【答案】（C ） 8【考点】同阶无穷小 9【难易度】★★10【详解】cos 1sin ()x x x α-=⋅，21cos 12x x --1121sin ()2x x x α∴⋅-，即1sin ()2x x α- 12∴当0x →时，()0x α→，sin ()()x x αα131()2x x α∴-，即()x α与x 同阶但不等价的无穷小，故选（C ）. 142、已知()y f x =由方程cos()ln 1xy y x -+=确定，则2lim [()1]n n f n→∞-=（ ）15（A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2 16【答案】（A ）17【考点】导数的概念；隐函数的导数 18【难易度】★★19【详解】当0x =时，1y =.20002()12(2)1(2)(0)lim [()1]lim lim 2lim 2(0)12n n x x f f x f x f n n f f n x xn→∞→∞→→---'-==== 21方程cos()ln 1xy y x -+=两边同时对x 求导，得221sin()()10xy y xy y y''-++⋅-= 23将0x =，1y =代入计算，得 (0)(0)1y f ''==24所以，2lim [()1]2n n f n→∞-=，选（A ）.253、设sin [0,)()2[,2]x f x πππ⎧=⎨⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）26（A ）x π=为()F x 的跳跃间断点 （B ）x π=为()F x 的可去间断点27（C ）()F x 在x π=处连续不可导 （D ）()F x 在x π=处可导28【答案】（C ）29【考点】初等函数的连续性；导数的概念 30【难易度】★★31【详解】22(0)sin sin sin 2F tdt tdt tdt πππππ-==+=⎰⎰⎰，(0)2F π+=，32(0)(0)F F ππ∴-=+，()F x 在x π=处连续.33()()()lim0xx f t dt f t dtF x ππππ--→-'==-⎰⎰，0()()()lim2xx f t dt f t dtF x ππππ++→-'==-⎰⎰，34()()F F ππ-+''≠，故()F x 在x π=处不可导.选（C ）.354、设函数1111(1)()1ln x e x f x x e x x αα-+⎧<<⎪-⎪=⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）36（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<< 37【答案】（D ）38【考点】无穷限的反常积分 39【难易度】★★★ 40【详解】11()()()e ef x dx f x dx f x dx +∞+∞=+⎰⎰⎰41由1()f x dx +∞⎰收敛可知，1()e f x dx ⎰与()ef x dx +∞⎰均收敛.421111()(1)eef x dx dx x α-=-⎰⎰，1x =是瑕点，因为111(1)edx x α--⎰收敛，所以43112αα-<⇒<44111()(ln )ln eeef x dx dx x x x ααα+∞+∞+∞-+==-⎰⎰，要使其收敛，则0α>45所以，02α<<，选D.465、设()yz f xy x=，其中函数f 可微，则x z z y x y ∂∂+=∂∂（ ） 47（A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x- 48【答案】（A ）49【考点】多元函数的偏导数 50【难易度】★★51【详解】22()()z y y f xy f xy x x x ∂'=-+∂，1()()z f xy yf xy y x ∂'=+∂ 52221[()()][()()]x z z x y y f xy f xy f xy yf xy y x y y x x x∂∂''∴+=-+++∂∂ 5311()()()()2()f xy yf xy f xy yf xy yf xy x x'''=-+++=，故选（A ）. 54556、设k D 是圆域{}22(,)1D x y x y =+≤位于第k 象限的部分，记56()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（ ）57（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > 58【答案】（B ）59【考点】二重积分的性质；二重积分的计算 60【难易度】★★61【详解】根据对称性可知，130I I ==.6222()0D I y x dxdy =->⎰⎰（0y x ->），44()0D I y x dxdy =-<⎰⎰（0y x -<）63因此，选B.6465 7、设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则（ ） 66（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 67（B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 68（C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 69（D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价70【考点】等价向量组 72【难易度】★★73【详解】将矩阵A 、C 按列分块，1(,,)n A αα=，1(,,)n C γγ=74由于AB C =，故111111(,,)(,,)n n n n nn b b b b ααγγ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭75即1111111,,n n n n nn n b b b b γααγαα=++=++76即C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示.77由于B 可逆，故1A CB -=，A 的列向量组可由C 的列向量组线性表示，故选（B ）.788、矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与20000000b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件是（ ）79（A ）0,2a b ==80（B ）0,a b =为任意常数81（C ）2,0a b ==82（D ）2,a b = 为任意常数83【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件 85【难易度】★★86【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征87 值.88由20000000b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的特征值为2，b ，0可知，矩阵1111a A a b a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值也是2，b ，890.90因此，221111220224011020aaE A a b a b a a a a a-----=---=---=-=---0a ⇒=91将0a =代入可知，矩阵10100101A b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值为2，b ，0.92此时，两矩阵相似，与b 的取值无关，故选（B ）.9394 二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 959、10ln(1)lim(2)x x x x→+-= . 96【答案】12e97 【考点】两个重要极限 98【难易度】★★ 99【详解】100011ln(1)1ln(1)1ln(1)1ln(1)1(1)(1)lim (1)000ln(1)ln(1)lim(2)lim[1(1)]lim x x x x x xx x xx xxxx x x x x eex x→++++-⋅-⋅-⋅-→→→++-=+-==101其中，20000111ln(1)ln(1)11lim (1)lim lim lim 22(1)2x x x x x x x x x x x xx x x →→→→-+-++⋅-====+102故原式=12e103104 10、设函数()xf x -=⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数105 0y dxdy== .106107【考点】反函数的求导法则；积分上限的函数及其导数 108【难易度】★★109【详解】由题意可知，(1)0f -=1101()y x dy dx dx dxf x dx dy dy dy==-'==⇒=⇒==.111112 11、设封闭曲线L 的极坐标方程方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，则L 所围平面图113 形的面积是 . 114【答案】12π 115【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积 116【难易度】★★117【详解】面积622666000611cos 61sin 6()cos 3()222612S r d d d πππππθθπθθθθθθ-+====+=⎰⎰⎰ 11811912、曲线arctan ,x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩1t =点处的法线方程为 .120【答案】ln 204y x π+--=121【考点】由参数方程所确定的函数的导数 122【难易度】★★★123【详解】由题意可知，12//1dy dy dt t dx dx dtt -===+，故11t dy dx == 124曲线对应于1t =点处的法线斜率为111k -==-. 125当1t =时，4x π=，ln 2y =.126法线方程为ln 2()4y x π-=--，即ln 204y x π+--=.127128 13、已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23x y xe =-是某二阶常系数非齐次线性微129 分方程的3个解，则该方程满足条件00x y ==，01x y ='=的解为y = . 130【答案】32x x x y e e xe =--131【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 132【难易度】★★133【详解】312x x y y e e -=-，23x y y e -=是对应齐次微分方程的解. 134由分析知，*2x y xe =-是非齐次微分方程的特解.135故原方程的通解为3212()x x x x y C e e C e xe =-+-，12,C C 为任意常数. 136由00x y ==，01x y ='=可得 11C =，20C =. 137通解为32x x x y e e xe =--.13814、设()ij A a =是3阶非零矩阵，A 为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若1390(,1,2,3)ij ij a A i j +==，则A = .140【答案】-1 141【考点】伴随矩阵 142【难易度】★★★143【详解】**0T T ij ij ij ij a A A a A A AA AA A E +=⇒=-⇒=-⇒=-= 144等式两边取行列式得230A A A -=⇒=或1A =- 145当0A =时，00T AA A -=⇒=（与已知矛盾）146所以1A =-.147三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写148 出文字说明、证明过程或演算步骤. 14915、（本题满分10分）150当0x →时，1cos cos2cos3x x x -⋅⋅与n ax 为等价无穷小，求n 和a 的值. 151【考点】等价无穷小；洛必达法则152【难易度】★★★153【详解】00cos6cos 4cos 2111cos cos 2cos34limlim n n x x x x x x x xaxax→→+++--⋅⋅= 1541003cos6cos 4cos 26sin 64sin 42sin 2lim lim 44n n x x x x x x x xax anx -→→---++== 1552036cos 616cos 44cos 2lim4(1)n x x x xan n x -→++=-156故20n -=，即2n =时，上式极限存在. 157当2n =时，由题意得158001cos cos 2cos336cos616cos 44cos 236164limlim 188n x x x x x x x x ax a a →→-⋅⋅++++====159 7a ⇒= 160 2,7n a ∴==161162 16、（本题满分10分）163设D 是由曲线13y x =，直线x a =(0)a >及x 轴所围成的平面图形，x V ，y V 分别164 是D 绕x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若10y x V V =，求a 的值. 165【考点】旋转体的体积 166【难易度】★★167【详解】根据题意，15523330033()55aax V x dx x a πππ===⎰168177333066277aay V x x dx x a πππ=⋅==⎰.169因10y x V V =，故7533631075a a a ππ=⨯⇒=170171 17、（本题满分10分）172 设平面区域D 由直线3x y =，3y x =，8x y +=围成，求2Dx dxdy⎰⎰173【考点】利用直角坐标计算二重积分 174【难易度】★★175【详解】根据题意 3286y x x x y y ==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，16328x y x y x y ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎩176故23682220233x xx xDx dxdy dx x dy dx x dy -=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰264340228132416()12833333x x x =+-=+=177178 18、（本题满分10分）179设奇函数()f x 在[1,1]-上具有二阶导数，且(1)1f =，证明：180（Ⅰ）存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξ'=；181（Ⅱ）存在(1,1)η∈-，使得()()1f f ηη'''+=. 182【考点】罗尔定理 183【难易度】★★★184【详解】（Ⅰ）由于()f x 在[1,1]-上为奇函数，故(0)0f =185令()()F x f x x =-，则()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且(1)(1)10F f =-=，186 (0)(0)00F f =-=.由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈，使得()0F ξ'=，即()1f ξ'=.187（Ⅱ）考虑()()1(()())(())x x x x f x f x e f x f x e e f x e ''''''''+=⇔+=⇔=188[()]0x x e f x e ''⇔-=189令()()x x g x e f x e '=-，由于()f x 是奇函数，所以()f x '是偶函数，由（Ⅰ）的结190 论可知，()()1f f ξξ''=-=，()()0g g ξξ⇒=-=.由罗尔定理可知，存在(1,1)η∈-，191 使得()0g η'=，即()()1f f ηη'''+=. 19219、（本题满分10分）193求曲线331(0,0)x xy y x y -+=≥≥上的点到坐标原点的最长距离和最短距离. 194【考点】拉格朗日乘数法 195【难易度】★★★196【详解】设(,)M x y为曲线上一点，该点到坐标原点的距离为d =197构造拉格朗日函数 2233(1)F x y x xy y λ=++-+-198由22332(3)02(3)010x y F x x y F y y x F x xy y λλλ'⎧=+-=⎪'=+-=⎨⎪'=-+-=⎩ 得 11x y =⎧⎨=⎩199点(1,1)到原点的距离为d ==，然后考虑边界点，即(1,0)，(0,1)，它200 们到原点的距离都是 1.因此，曲线上点到坐标原点的最长距离为，最短距离为201 1.20220、（本题满分11分） 203设函数1()ln f x x x=+204（Ⅰ）求()f x 的最小值；205（Ⅱ）设数列{}n x 满足11ln 1n n x x ++<，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.206【考点】函数的极值；单调有界准则 207【难易度】★★★208【详解】（Ⅰ）由题意，1()ln f x x x =+，0x >22111()x f x x x x-'⇒=-= 209令()0f x '=，得唯一驻点1x =210当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>.211所以1x =是()f x 的极小值点，即最小值点，最小值为(1)1f =.212（Ⅱ）由（Ⅰ）知1ln 1n n x x +≥，又由已知11ln 1n n x x ++<，可知111n n x x +>，即1n n x x +> 213故数列{}n x 单调递增.214又由11ln 1n n x x ++<，故ln 10n n x x e <⇒<<，所以数列{}n x 有上界. 215所以lim n n x →∞存在，设为A.216在11ln 1n n x x ++<两边取极限得 1ln 1A A +≤ 217在1ln 1n n x x +≥两边取极限得 1ln 1A A+≥ 218所以1ln 11A A A+=⇒=即lim 1n n x →∞=.219220 21、（本题满分11分） 221设曲线L 的方程为211ln (1)42y x x x e =-≤≤满足 222（Ⅰ）求L 的弧长；223（Ⅱ）设D 是由曲线L ，直线1x =，x e =及x 轴所围平面图形，求D 的形心的224 横坐标.225【考点】定积分的几何应用—平面曲线的弧长；定积分的物理应用—形心 226【难易度】★★★227【详解】（Ⅰ）设弧长为S ，由弧长的计算公式，得2281111S ====⎰⎰⎰⎰229221111111()(ln )22424eee x dx x x x +=+=+=⎰ 230（Ⅱ）由形心的计算公式，得23122111ln 24210111ln 2421011(ln )4211(ln )42ex x Dex x Dxdxdyx x x dxdx xdyx dxdyx x dxdx dy ---===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰232422423311111()3(23)16164221114(7)12122e e e e e e e ---+--==---. 23322、（本题满分11分）234设110a A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，011B b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当,a b 为何值时，存在矩阵C 使得AC CA B -=，并求所235有矩阵C.236【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件 237【难易度】★★★238【详解】由题意可知矩阵C 为2阶矩阵，故可设1234xx C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.由AC CA B -=可得 23912123434101011011x x x x a x x x x b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 整理后可得方程组2312413423011x ax ax a ax x x x x ax b-+=⎧⎪-++=⎪⎨--=⎪⎪-=⎩240①241由于矩阵C 存在，故方程组①有解.对①的增广矩阵进行初等行变换：2420100101111011110101000100101110101000010100a a a a aa a a ab b b -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪---++⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭243方程组有解，故10a +=，0b =，即1a =-，0b =.244当1a =-，0b =时，增广矩阵变为10111011000000000000--⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭24534,x x 为自由变量，令341,0x x ==，代入相应齐次方程组，得211,1x x =-=246令340,1x x ==，代入相应齐次方程组，得210,1x x ==247故1(1,1,1,0)T ξ=-，2(1,0,0,1)T ξ=，令340,0x x ==，得特解(1,0,0,0)T η= 248方程组的通解为112212112(1,,,)T x k k k k k k k ξξη=++=++-（12,k k 为任意常数）249所以121121k k k C k k ++-⎛⎫= ⎪⎝⎭.250251 23、（本题满分11分）252设二次型2123112233112233(,,)2()()f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++，记123a a a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123b b b β⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭253（Ⅰ）证明二次型f 对应的矩阵为2T T ααββ+；254（Ⅱ）若,αβ正交且均为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为22122y y +255【考点】二次型的矩阵表示；用正交变换化二次型为标准形；矩阵的秩 256【难易度】★★★ 257【详解】（Ⅰ）证明：2582123112233112233(,,)2()()f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++2591111123212321232123233332(,,)(,,)(,,)(,,)a x b x x x x a a a a x x x x b b b b x a x b x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭260112323(,,)(2)T T T x x x x x x Ax x ααββ⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭，其中2T T A ααββ=+261所以二次型f 对应的矩阵为2T T ααββ+. 262（Ⅱ）由于,αβ正交，故0T T αβαβ==263因,αβ均为单位向量，故1α==，即1T αα=.同理1T ββ=2642(2)22T T T T T T A A ααββαααββααααββαα=+⇒=+=+=265由于0α≠，故A 有特征值12λ=.266(2)T T A βααββββ=+=，由于0β≠，故A 有特征值21λ=267又因为()(2)(2)()()()1123T T T T T T r A r r r r r ααββααββααββ=+≤+=+=+=<， 268所以0A =，故30λ=.269三阶矩阵A 的特征值为2，1，0.因此，f 在正交变换下的标准形为22122y y +.270。