最新2013年考研数学二试题及答案

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案

1

一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，2 只有一个选项符合

3 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 4

1、设cos 1sin ()x x x α-=⋅，()2

x π

α<

，当0x →时，()x α（ ）

5

（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 6

（C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 是等价无穷小

7

【答案】（C ） 8

【考点】同阶无穷小 9

【难易度】★★

10

【详解】cos 1sin ()x x x α-=⋅，21cos 12x x --

11

21

sin ()

2

x x x α∴⋅-，即1sin ()2

x x α- 12

∴当0x →时，()0x α→，sin ()()x x αα

13

1

()

2

x x α∴-，即()x α与x 同阶但不等价的无穷小，故选（C ）. 14

2、已知()y f x =由方程cos()ln 1xy y x -+=确定，则2

lim [()1]n n f n

→∞-=（ ）

15

（A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2 16

【答案】（A ）

17

【考点】导数的概念；隐函数的导数 18

【难易度】★★

19

【详解】当0x =时，1y =.

20

002

()1

2(2)1(2)(0)

lim [()1]lim lim 2lim 2(0)12n n x x f f x f x f n n f f n x x

n

→∞→∞→→---'-==== 21

方程cos()ln 1xy y x -+=两边同时对x 求导，得

22

1

sin()()10xy y xy y y

''-++

⋅-= 23

将0x =，1y =代入计算，得 (0)(0)1y f ''==

24

所以，2

lim [()1]2n n f n

→∞-=，选（A ）.

25

3、设sin [0,)

()2[,2]x f x πππ⎧=⎨⎩

，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）

26

（A ）x π=为()F x 的跳跃间断点 （B ）x π=为()F x 的可去间断点

27

（C ）()F x 在x π=处连续不可导 （D ）()F x 在x π=处可导

28

【答案】（C ）

29

【考点】初等函数的连续性；导数的概念 30

【难易度】★★

31

【详解】2

2

(0)sin sin sin 2F tdt tdt tdt πππ

ππ-==+=⎰⎰⎰，(0)2F π+=，

32

(0)(0)F F ππ∴-=+，()F x 在x π=处连续.

33

()()()lim

0x

x f t dt f t dt

F x π

π

ππ

-

-

→-'==-⎰⎰，0

()()()lim

2x

x f t dt f t dt

F x π

π

ππ

+

+

→-'==-⎰⎰，

34

()()F F ππ-+''≠，故()F x 在x π=处不可导.选（C ）.

35

4、设函数1

111(1)()1ln x e x f x x e x x αα-+⎧

<<⎪-⎪=⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1

()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）

36

（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<< 37

【答案】（D ）

38

【考点】无穷限的反常积分 39

【难易度】★★★ 40

【详解】1

1

()()()e e

f x dx f x dx f x dx +∞

+∞

=+⎰

⎰⎰

41

由1

()f x dx +∞

⎰

收敛可知，1

()e f x dx ⎰与()e

f x dx +∞

⎰

均收敛.

42

1

1

1

1

()(1)e

e

f x dx dx x α-=-⎰

⎰

，1x =是瑕点，因为

1

1

1

(1)e

dx x α--⎰

收敛，所以

43

112αα-<⇒<

44

111()(ln )

ln e

e

e

f x dx dx x x x α

αα

+∞

+∞

+∞

-+==-⎰

⎰

，要使其收敛，则0α>

45

所以，02α<<，选D.

46

5、设()y

z f xy x

=

，其中函数f 可微，则

x z z y x y ∂∂+=∂∂（ ） 47

（A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2

()f xy x

- 48

【答案】（A ）

49

【考点】多元函数的偏导数 50

【难易度】★★

51

【详解】22()()z y y f xy f xy x x x ∂'=-+

∂，1

()()z f xy yf xy y x ∂'=+∂ 52

221

[()()][()()]x z z x y y f xy f xy f xy yf xy y x y y x x x

∂∂''∴+=-+++∂∂ 53

11

()()()()2()f xy yf xy f xy yf xy yf xy x x

'''=-

+++=，故选（A ）. 54

55