对数与对数函数经典例题.doc

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经典例题透析

类型一、指数式与对数式互化及其应用

1．将下列指数式与对数式互化：

(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ；(6) .

思路点拨：运用对数的定义进行互化 .

解： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；

(6).

总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重

要手段 .

举一反三：

【变式 1】求下列各式中x 的值：

(1)(2)(3)lg100=x (4)

思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.

解： (1)；

(2) ；

(3)10 x=100=102，于是 x=2；

(4) 由.

类型二、利用对数恒等式化简求值

2．求值：解：.

总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数. 举一反三：

【变式 1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)

思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.

解：.

类型三、积、商、幂的对数

3．已知 lg2=a ， lg3=b ，用 a、 b 表示下列各式.

实用文档(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15

解： (1)

2 6

原式 =lg3 =2lg3=2b(2) 原式 =lg2 =6lg2=6a

(3) 原式 =lg2+lg3=a+b(4) 原式 =lg2 2+lg3=2a+b

(5) 原式 =1-lg2=1-a(6) 原式 =lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a

举一反三：

【变式1】求值

(1) (2)lg2 · lg50+(lg5) 2 (3)lg25+lg2 · lg50+(lg2) 2

解：

(1)

(2) 原式 =lg2(1+lg5)+(lg5) 2=lg2+lg2lg5+(lg5) 2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1

(3) 原式 =2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2) 2

=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2) 2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.

【变式 2】已知 3a=5b=c，，求c的值.

解：由 3a=c 得：

同理可得

.

【变式 3】设 a、 b、c 为正数，且满足a2+b2=c2. 求证：.

证明：

.

【变式4】已知：a2+b2=7ab， a>0， b>0. 求证：.

证明：∵ a 2+b2=7ab，∴ a 2+2ab+b2=9ab，即 (a+b) ∵ a>0 ， b>0，∴ 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb

2=9ab，∴ lg(a+b)2=lg(9ab)

∴ 2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb

，

即.

类型四、换底公式的运用

4．(1) 已知 log x y=a，用 a 表示；

(2) 已知 log a x=m， log b x=n， log c x=p，求 log abc x.

解：(1) 原式=；

(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底 .

方法一： a m=x， b n=x， c p=x

∴，

∴；

方法二：.

举一反三：

【变式 1】求值： (1) ； (2) ；(3) .

解：

(1)

(2)；

(3)法一：

法二：.

1 任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中

总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0 不为

某个对数的底为标准，或都换成以10 为底的常用对数也可.

类型五、对数运算法则的应用

5．求值

(1) log89·log 2732

(2)

(3)

(4)(log

2 125+log 25+log

8

5)(log 8+log

25

4+log

5

2)

4 125

解：(1) 原式=.

(2)原式 =

(3)原式 =

(4)原式 =(log 2125+log 425+log 85)(log 1258+log 25 4+log 52)

举一反三：

【变式 1】求值：

解：

另解：设=m (m>0). ∴，

∴，∴，∴ lg2=lgm ，∴ 2=m，即.

【变式 2】已知： log 23=a， log 37=b，求： log 4256=?

解：∵∴，

类型六、函数的定义域、值域

求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.

6.求下列函数的定义域：

(1)；(2).

思路点拨：由对数函数的定义知：x2>0， 4-x>0 ，解出不等式就可求出定义域.

解： (1) 因为 x2>0，即 x≠0，所以函数；

(2) 因为 4-x>0 ，即 x<4，所以函数.

举一反三：

【变式 1】求下列函数的定义域.

(1) y=

x x

且 a1 1， k? R).

(2) y=ln(a -k · 2 )(a>0

解：(1) 因为，所以，

所以函数的定义域为(1，)(，2).

x x x

(2) 因为 a -k · 2 >0，所以 ( ) >k.

[1]当 k≤ 0 时，定义域为 R；

[2]当 k>0 时，

(i) 若 a>2，则函数定义域为(k，+∞ ) ；

(ii) 若 0

(iii)若 a=2，则当 0