菲涅耳衍射仿真

������ ������
+⋯
k
������ − ������1
2
+ ������ − ������1 3 8z1
2 2
≪ ������
上面第三项以及以后的各项都可略去，简化为 1 r = z1 + ������ − ������1 2 + ������ − ������1 2������1 = z1 +
平行光入射情况下圆孔和圆屏的菲涅耳衍射图样仿真
摘要：在平行光入射情况下，利用Matlab编程仿真不同尺寸的圆孔和圆屏的 菲涅耳衍射图样，并验证巴比涅原理。 关键词：菲涅耳衍射巴比涅原理 matlab 仿真
引言
菲涅耳衍射是在菲涅耳近似条件成立的距离范围内所观察的衍射现象。 此时 直接运用公式定量计算菲涅耳衍射，数学处理十分复杂。因此，为研究菲涅耳衍 射现象，可采用 matlab 仿真的方式。 1 菲涅耳衍射原理 1.1 基尔霍夫衍射公式 最早成功地用波动理论解释衍射现象的是菲涅耳，他用光的干涉理论对惠更 斯原理加以补充，并予以发展，从而相当完善地解释了光的衍射现象。 基尔霍夫的研究弥补了菲涅耳理论的不足，他从微分波动方程出发，利用数 学场论中的格林定理以及电磁场的边值条件，给出了惠更斯-菲涅耳原理较完善 的数学表达式，建立了光的衍射理论。
Biblioteka Baidu
E3 (������)图样
E3 (������)分布图
E3 ������ 与对应正方形衍射屏中央剖面光强分布对比图 可见巴比涅定理成立。
3.4 夫琅禾费衍射
菲涅耳数F ≪ 1时，衍射图样为夫琅禾费衍射。 选取F=0.1,n=400,p=2
F=0.1时圆孔衍射图样
F=0.1时圆孔衍射光强分布图
F=0.1时圆孔衍射中央剖面光强分布图 图样与教科书基本相符。
当F ≪ 1时，可以使用夫琅禾费积分式来计算其物理性质。 可知菲涅耳数决定了衍射的图样，所以希望只输入菲涅耳数，输出衍射图样。
2.3.2 屏幕尺寸 采用正方形屏幕，令其半边长为L。令圆孔半径为r,则有如下关系 L = βr β≥1 2.3.3 采样间隔 由 ik 2 ℎ(������, ������) = exp x + y2 2z1 可知，其角频率ω为 k ω= 2z1
由采样定理可知，采样频率。ω1 必须满足以下条件 ω1 ≥ 2������ 令 g(x, y) = x 2 + ������ 2 则 ik ℎ(������, ������) = exp g(x, y) 2z1 设g(x, y)的采样间隔为∆T,x,y有相同的采样间隔∆t,则 ∆T = 2x∆t + 2y∆t 2π 2������������1 ∆T = ≤ ω1 ������ 所以 ������������1 πz1 ∆t ≤ ≤ 2������������ ������ ������ + ������ 所以 πz1 ∆t = ������������������ 其中 p≥2 p越大，采样间隔越小。 容易得到行与列采样数n为 2L n= ∆t 2L2 ������������ n= ������������1 将菲涅耳数F代入得 n = 4β2 pF β= ������ ≥1 4������������
【2】 叶玉堂, 饶建珍, 肖峻. 光学教程[M]. 北京: 清华大学出版社, 2005.
【3】 维基百科编者. 菲涅耳衍射[G/OL]. 维基百科, 2014(20140701)[2015-12-23]. https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%8 F%B2%E6%B6%85%E8%80%B3%E8%A1%8D%E5%B0%84&oldid=31753533.
2
2 2 ������ 2 + ������ 2 xx1 + ������������1 ������1 + ������1 − + 2������1 ������1 2������1
这一近似称为菲涅耳近似，在这个区域内观察到的衍射现象叫菲涅耳衍射。 在菲涅耳近似下，P 点的光场复振幅为 ������ ������, ������ = 令 ℎ(������, ������) = exp ik 2 x + y2 2z1 exp ikz1 C= iλz1 exp ������������������1 ������������������1 ������������ ������ (������1 , ������1 )exp⁡ { [ ������ − ������1 2������1
2.3 参数选择 2.3.1 菲涅耳数 由于菲涅耳近似的条件过于繁琐，所以采用另一种判断方式，菲涅耳数F。 r2 kr 2 F= = ������������ 2������������
其中， 是孔径的尺寸， 是孔径与观察屏之间的距离， 是入射波的波长。 假若 ，则衍射波是处于近场，可以使用菲涅耳衍射积分式来计算其物理性质。
总结与展望
利用所学知识基本完成了菲涅耳衍射的仿真。但在完成课程设计的过程中深 深的感受到自身各方面的不足。还需更为努力。对于该仿真，因为使用了卷积， 当采样数过大时，运算速度会变得很慢。该仿真还有更好的实现方式，是基于傅 里叶变换的，可大大降低时间复杂度，无奈能力，精力有限，就不去实现了。
参考文献
【1】 奥本海姆., Oppenheim A, 刘树棠. 信号与系统[M].西安: 西安交通大学出 版社, 1998.
光强分布图
中央剖面光强分布图 3.2 圆屏的菲涅耳衍射 选取F=10,n=400,p=8时的圆屏衍射
圆屏衍射图样
光强分布图
中央剖面光强分布图 3.3 验证巴比涅定理 选取F=10,n=400,p=8时的正方形衍射屏
正方形衍射图样
光强分布图
中央剖面光强分布图 选取F=10,n=400,p=8时的圆孔衍射E1 (������)与F=10,n=400,p=8时的圆屏衍射 E2 (������) E3 ������ = ������1 ������ + ������2 (������)
2
+ ������ − ������1 2 ]} ������������1 ������������1
则 ������ ������, ������ = ������������ ������1 , ������1 ∗ ℎ(������, ������) 衍射的巴比涅原理 巴比涅原理描述的是两个互补屏的衍射场之间的关系。它可以由基尔霍夫衍 射公式直接导出。 若两个衍射屏中，一个屏幕的开孔部分正好与另一个屏的不透明部分相对应， 这样的一对衍射屏称为互补屏。 1.3 设������1 ������ 和������2 ������ 分别表示
其中， 、 分别是 、
与 之间的夹角。
1.2
菲涅耳近似
如图所示，孔径平面和观察平面分别取直角坐标系 ������1 , ������1 和 ������, ������ ,则由几何 关系有
2 r z1 x x1 y y1 2 2
对该式作二项式展开，有 ������ ������ ������ = ������������ + ������ − ������������ ������ + ������ − ������������ ������ − ������ ������ − ������������ ������ + ������ − ������������ ������������������ ������������������ 当z1 大到使得上式第三项引起的相位变化远远小于π时，即
ik 2 x + y2 2z1 exp ikz1 C= iλz1 因此，在matlab中可以使用函数conv2实现菲涅耳衍射。需要注意的是h x, y 存在于整个空间中,matlab自然无法实现，但可选取有限的h x, y ,使在������ ������1 , ������1 上的每一点的响应h(x, y)完全覆盖观察屏，即可达到相同效果。 2.2 衍射屏的实现 在matlab， 衍射屏与观察屏可以用一个二维矩阵表示。 因为使用平行光入射, 所以通光处光场复振幅相同；不通光处，复振幅为0。因此一个简单的圆孔衍射 屏可以用以下矩阵表示 ℎ(������, ������) = exp 0 0 0 0 0 而其互补屏则可用以下矩阵表示 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
菲涅耳数由k,z,r决定，屏幕尺寸则由n,p，F决定。 可令k = π,r = 1,则z = 2������������ 。 所以菲涅耳衍射的仿真函数接受3个参数，菲涅耳数F,采样数n,清晰度p。 3 仿真结果 3.1 圆孔的菲涅耳衍射 选取F=10,n=400,p=8时的圆孔衍射
kr 2
衍射图样
1
和
2
单独放在光源和观察屏之间时，观察
屏上 P 点的光场复振幅，������0 ������ 表示无衍射屏时 P 点的光场复振幅，根据惠更斯菲涅耳原理，������1 ������ 和������2 ������ 可表示成对
1
和
2
开孔部分的积分，而两个屏
的开孔部分加起来就相当于屏不存在，因此 ������0 ������ = ������1 ������ + ������2 ������ 该式说明，互补屏在衍射某点产生的复振幅之和等于光波自由传播时在该点 产生的光场复振幅。 2 matlab 仿真程序设计 2.1 菲涅耳衍射的实现 在菲涅耳近似下，P点的光场复振幅可表示为 ������ ������, ������ = ������������ ������1 , ������1 ∗ ℎ(������, ������) 其中