大学生数学建模全国一等奖

承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：19036001所属学校（请填写完整的全名）：肇庆学院参赛队员(打印并签名) ：1. 李熠2. 赖天安3. 谢曼指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：钟一兵（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。

以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。

如填写错误，论文可能被取消评奖资格。

）日期： 2014 年 9 月15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：创意平板折叠桌摘要折叠型实用工具是创新商品中的典型代表，具有体型小巧便于使用的优点。

本文主要在三维直角坐标系下，讨论平板折叠桌的折叠动态过程以及折叠桌优化设计的相关问题。

对于问题一，根据桌面边缘方程和桌高，利用距离公式与直线方程，以最外侧木条的折叠角度为变量，求得折叠过程中，钢筋所在的直线方程，进而获得钢筋与各木条的交点，从而给出了木条所在直线方程。

依据木条长度进一步得到动态变化的钢筋点坐标，也求得最外 侧木条旋转角为2πθ-时，第i 木条末端点坐标为：1,3,i i x x =，1,1,3,)i i i i y t y y =+，1,3,cos 2ii i i t z L z θ=-由不同的旋转角度，即可获得各木条末端的动态变化图。

在此基础上，可求得开槽长度,k i L （见表格八）和桌角边缘线的参数方程。

根据此模型，我们分别计算不同旋转角度下的的端点数据（见表格五、六），由此得到各木条的动态旋转过程。

该模型的动态变化过程见图六至八，桌角边缘线的空间曲线见图九至十二。

对于问题二，当最外侧木条旋转角2πθ-时，以θ和a 为决策变量（其中a 为最外侧木条钢筋点到上端点距离），求得各木条端点坐标及方程和木条下端点的动态坐标。

进而得到目标函数：min 2cos H l θ=+1)sin 1cos Ha θθ+<+ 0cos H a θ<<，111836πθπ≤≤ 由此，我们建立了一个非线性优化模型，经过适当化简，运用MATLAB 软件，计算得以上模型中折叠桌最优设计加工参数为：木板长度170.9784l cm =，18πθ=（即最外侧木条折叠角为80︒左右），54a cm =，开槽长度21.79len cm =。

对于问题三，我们以椭圆形桌面为例，建立与问题二相同的决策变量，先求得在某个旋转角度下的钢筋点位置，以及下端点的动态坐标：1211(10)(,,sin )10k ay y y z θ--再用类似问题二的目标函数与约束条件，获得非线性优化模型。

最后，我们设定长轴为25d cm =，短轴为15a cm =，高度为72cm 时，得到木板长度为110cm ，随之计算出不同角度下的开槽长度，其中最优为当502πθ-=︒时，桌面一侧总开槽长度为191.0472cm ，并画出其折叠过程的动态示意图（见图十五）。

关键字：折叠椅、开槽长度、钢筋所在直线、非线性优化模型一、问题重述随着社会和科技的进步，消费者对于商品的要求越要越高，实用便捷又富有创意的商品往往受到大家的追捧，与此同时，丰厚的设计收益也不断推动着设计者的创新创作脚步。

在这些新型商品中，可折叠的商品往往具有体型小巧便于携带，操作过程简单易懂，使用寿命较长，外形美观等优点，其中可折叠桌子就是一个突出创新成果。

某公司的可折叠桌子，桌面呈圆形，桌腿由若干根木条组成，外形如直纹曲面，并且由于木条加工设有开槽，它随着铰链的活动可以平摊成一张平板。

本题要求我们建立数学模型，描述折叠桌子的折叠过程，并设计别的创新折叠桌，具体如下：cm cm cm；木条宽2.5cm；连接1. 给定折叠桌的数据：长方形平板尺寸为120*50*3木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置；折叠后桌子的高度为53cm。

试建立模型描述折叠桌的折叠动态过程，并求出它的设计加工参数：桌腿木条开槽的长度和桌脚边缘线。

2.在满足产品稳固性好、加工方便、用材最少的条件下，对于桌高70 cm，桌面直径80 cm而其他设定不做要求的折叠桌，要怎么确定长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。

3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。

现要求设计这一软件的数学模型，并根据所建立的模型给出几个新设计的创意平板折叠桌。

要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。

二、模型假设1.假设长方形平板加工切割成桌腿木条时没有切割多余材料，即确定有20条桌腿木条。

2.假设折叠过程中和折叠后，木条都没有发生形变。

3.问题二中，假设长方形木板切割成木条的条数仍为20，木板的厚度仍为3cm三、符号说明四、问题分析4.1问题一4.1.1问题解读据题意，同一块平板可由于桌面大小，桌子高度，桌腿条数，桌子稳定度等变量的参数不同而折叠成外形各不相同的折叠桌。

（具体参数见图一）本问已经将这些影响因素设定了固定数据。

在此问题中，我们应该选择一些变动点来体现动态过程。

此外，折叠椅设计加工时需要在木条中某个区段开槽，以便折叠时中间的桌腿末端向内凹，而不至于因为钢筋而卡住。

（图一）4.1.2解决思路首先讨论折叠后的情形，折叠过程则再进一步由改变变动点的参数来实现。

我们可以运用几何知识来将各个点的位置量化，建立空间直角坐标系。

在坐标系中，根据桌面的平面方程，得到钢筋所在直线的方程和每一条桌腿木条所在直线的方程，进一步得到每根木条的末端点的坐标，这些末端点就是两条桌角边缘线。

最后，桌腿木条开槽长度由木条旋转角度，利用图形边角关系就可以计算得到。

4.2问题二4.2.1问题解读这一问中，题目限定的数据只有桌高和桌面直径，而其他数据，如木条长度，桌腿宽度，钢筋点位置，开槽长度都没有明确要求。

因此，考虑这些可变的量分别影响了折叠桌的哪些性能，反过来根据性能要求我们就可制定相应的参数。

4.2.2解决思路在这个问题中，最重要的就是在保证稳固性好，加工方便的情况下，达到用材最少这一目标。

所以需要假设木条钢筋点的位置，根据问题一的步骤，用包含有未知量a计算出木条上端点，末端点等坐标。

同样，我们就可以利用边角关系，计算出开槽长度等。

最后，用这些数据再列出关于木条长度的目标方程，以及相关约束条件，即可计算求解。

4.3问题三由前面两问，我们可以找到折叠桌各个量之间的联系，如木条钢筋点和折叠过程角度的关系等，所以对于设计折叠桌的设计加工参数，我们的求解步骤基本一致。

我们要设计的这款软件模型中，折叠桌高度，桌面边缘线的形状大小等是可以用数学表达式表达的。

那么，我们的模型只需要在问题二的基础上，再改变各个参数，使之可以根据给定的桌面方程等数学表达式，得到各个木条钢筋点位置，上端点位置，末端点位置。

这样就可以进行求解。

根据这个思想，我们给定一个高度，并设计一个桌面边缘线为椭圆的折叠桌，求出对应参数。

五、模型建立与求解5.1问题一：折叠桌动态过程及相关参数5.1.1建立模型以桌面中心点为原点，以长方形平板宽的方向为x 轴方向，以长方形平板长的方向为y 轴方向，建立三维直角坐标系。

为了体现动态过程，我们假设折叠过程桌腿与z 轴构成的夹角为θ，则随着θ的改变，各木条与钢筋的交点位置和木条的底端位置都随之改变。

为了方便理解，作图如下（图二）：（图二）建立数学模型如下：（1）设定桌面方程为222x y a z ⎧+=⎨=⎩（2）求左边各木条的顶端坐标1,1,(,,3)i i i A x y -，计算公式为：111,1,111023.75,2,...,20(1),i ir x i y x x i ⎧⎪⎪=-=⎨⎪=⎪⎩=+-，其中r 为桌面半径。

（3）计算各木条的长度1,...,20)2i L L i ==，其中L 为木板长度。

（4）求每根木条折叠时的旋转平面方程：1,(1,...,20)i x x i ==（5）折叠某一角度后桌面左边最外侧的木条的末端坐标3,13,13,1(,,)x y z ，3,11,13,11,13,1sin 3cos i i x x y y L z L θθ⎧=⎪=-⎨⎪=--⎩ 其中θ为左边最外侧的木条与z 轴的夹角。

（6）折叠某一角度后桌面左边最外侧的木条的中点坐标2,12,12,1(,,)x y z ，其中2,11,11,13,12,12,1213cos 2i x xy y y z L θ⎧=⎪⎪+⎪==⎨⎪⎪=--⎪⎩ 由对称性可得最外侧的木条的中点坐标2,202,202,20(,,)x y z ，其中2,11,11,13,12,12,1213cos 2i x xy y y z L θ⎧=-⎪⎪+⎪==⎨⎪⎪=--⎪⎩ （7）折叠某一角度后钢筋所在的直线方程为2,12,12,12,202,12,202,12,202,1x x y y z z x x y y z z ---==---。

（8）由联立方程1,2,12,12,12,202,12,202,12,202,1(1,...,20)i X x i x x y y z z x x y y z z==⎧⎪---⎨==⎪---⎩，可求得折叠某一角度后钢筋与各木头的相交点2,2,2,1,2,12,1(,,)(,,)i i i i x y z x y z =。

（9）求开槽长度,1,2,k i i i l d d =-。

其中1,i d =表示折叠后各木条与钢筋交点到木条顶端的距离，1,2,1,602ii i y d y -=+表示折叠前木条钢筋点与顶端连接点的距离。