理论力学第9章刚体的平面运动

vvBA 总是垂直于AB连线，即vvBA在AB连线上的投影等于零。
所以
vvB AB vvA AB
速度投影定理：刚体上任意两点的速度在过这两点的直线 上的投影相等。
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
例 题 9-1
椭圆规尺的A端以速度vA沿 x 轴的负向运动，如图 所示，AB=l。试求B端的速度以及规尺AB的角速度。
取A为基点, 将动系铰接于A点,牵连运动是随同基点A的
平动，相对运动是绕基点A的转动。所以B点的牵连速
度等于基点A的速度，B点的相对运动是以基点A为圆心AB， 为半径的圆周运动，则动点B点的运动可视为牵连运动
为平动和相对运动为圆周运动的合成。
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
求平面图形内任一点速度的基点法
y
SM
O
o
x
§9.1 刚体平面运动的概述和运动分解
刚体平面运动方程
xo xo (t )
yo
yo (t )
(t)
刚体的平面运动可以看成是平动和转动的合成运动。
四、刚体的平面运动分解为平动和转动
刚体平面运动可以分解为随同基点的平动和绕基点 的转动，平面图形随同基点平动的速度和加速度与基点 的选取的有关。绕基点转动的角速度和角加速度则与基 点的选择无关。
vA
A
ω
连杆AB作平面运动，以A为基点，B点
vA B vB
vBA
的速度为
vB = vA+ vBA
其中，vA方向与OA垂直， vB沿BO方向， vBA与AB垂直。
⑴ 当 60 时， AB 3r
此时OA恰与AB垂直，由速度合成矢量图可得
vB vA
cos 30 2 3 r
得
vB vA cot
v BA
vA
sin
x
故规尺AB的角速度
vBA vBA v A AB l l sin
（顺时针）
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
例 题 9-2
如图所示平面机构中，AB=BD=DE=l=300 mm。在图示位置时， BD∥AE。杆AB的角速度为ω=5 rad·s－1。试求此瞬时杆DE的角速度 和杆BD中点C 的速度。
主要内容
§9.1 刚体平面运动的概述和运动分解 §9.2 求平面图形内各点速度的基点法 §9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法 §9.4 用基点法求平面图形内各点的加速度 §9.5 运动学综合应用举例
§9.1 刚体平面运动的概述和运动分解
一、刚体平面运动的概念 在运动过程中，刚体上所有各点到某一固定平面的距
E 60
vD vDB vB 1.5 m s－1
vDB 为D点绕B的转动速度，应有
vDB BD BD
于是可得此瞬时杆BD的角速度为
BD vBD l 5 rad s－1
转向为逆时针
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
例 题 9-2
2. 求杆BD中点C的速度。
B ω
A 60
vCB C vC D
vB vB
60
仍以B点为基点，应用速度合成定理，C点 的速度可表示为
vC vB vCB
其中vB大小和方向均为已知，vCB 方向与BD
E 杆垂直，大小为
vCB
BD
l 2
0.75
m s－1
由此瞬时速度矢的几何关系，得出此时vC
的方向恰好沿杆BD，大小为
vc vB2 vCB2 1.3 m s－1
离始终保持不变，刚体的这种运动称为刚体的平面运动。
二、刚体平面运动的简化
对于刚体所作的平面运动的研究，可以不必考虑它的 厚度，而简化为以一个截面代表的平面图形在其自身平面 内的运动来研究。研究刚体的平面运动，就是要确定代表 刚体的平面图形的运动，确定图形上各点的速度和加速度。
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刚体平面运Fra Baidu bibliotek实例
y
B O
ω
φ x
A
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
例 题 9-1
运动演示
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
例 题 9-1
解 ： 基点法
y
vB
vBA
vA
B
O
规尺AB作平面运动 。以A点为基点，应用速度 合成定理，B点的速度可表示为
vB v A vBA
ω
φ vA
A
其中， vA的大小已知。由速度合成矢量图可
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刚体平面运动实例
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刚体平面运动实例
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刚体平面运动简化
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刚体平面运动简化实例
§9.1 刚体平面运动的概述和运动分解
三、刚体平面运动的方程
为了确定平面图形的运动，取静系OX，Y 在图形 上S任取 一点 （O称 为基点），并取任一线段 ，O只M要确定了 的O位M 置， 的位S 置也就确定了
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
例 题 9-3
A
ω
曲柄连杆机构如图所
示，OA= r ，AB 3r 。如
曲柄OA以匀角速度ω转动，
B
求当
， 和60 0 时点90B的
速度。
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
例 题 9-3
运动演示
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
例 题 9-3
解： 基点法
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刚体平面运动分解
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平面运动
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平面运动
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平面运动分解
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平面运动
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平面运动分解
动画
平面运动分解
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
一．基点法（合成法）
已一知点求A：：的图某速形瞬度上时vv任平A 一面，点运图B动形的平角速面速度图度vv形B S内
A vvA
C B
ω
D
A 60
E 60
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
例 题 9-2
运动演示
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
例 题 9-2
解： 基点法
B ω
A 60
vDB
vD
C
60
60
vB D vB
E 60
1. 求杆DE的角速度。
杆BD作平面运动， vB大小为 vB l 1.5 m s－1
vve vvA vvr vvBA v rvAB
vvB vva vve vvr vvA vvBA
vvB
vvBA B vvA
A vvA
定理：刚体作平面运动时，其上任一点的速度等于该瞬 时基点的速度与该点随图形绕基点作圆周运动时的速度 的矢量和。
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
二、速度投影定理
方向与AB垂直。 以B点为基点，应用速度合成定理，D点的
速度可表示为 vD vB vDB
其中，D 点绕 B 的转动速度 vDB 的方向与BD垂直，D点的速度 vD与 DE 垂直。
§9.2 求平面图形内各点速度的基点法
例 题 9-2
由速度合成矢量图可得
vDB
ωBD
B
C
60
vD
60
ω
D
vB
vB
A 60