八年级数学二次根式的概念和性质

二次根式的概念及性质

用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：

（1）面积为3的正方形的边长为__________，面积为S 的正方形的边长为___________。 （2）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130平方米，则它的宽为___________。

（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t （单位：s ）与开始落下时离地面的高度h （单位：m ）满足关系：h=52

t 。如果用含有h 的式子表示t ，那么t 为____________。

【知识梳理1】二次根式的概念

形如_____（a≥0）的式子叫做二次根式， 叫做 。 注：（1）二次根式的定义是从形式上界定的，即必须含有二次根号“

”，如：2、

3

2

等都是二次根式。尽管9的结果为3，但由于9满足二次根式的特征，所以9是二次根式；

（2）二次根式的被开方数可以是一个数字，也可以是一个代数式，但必须满足被开方数大于等于0，如

21x ﹣－，由于被开方数小于0，所以它不是二次根式；

（3）根指数是2，这里的2可以省略不写，如37不是二次根式，因为它的根指数不是2；

形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，它表示b 与a 的乘积，当b 是带分数或小数时，要写成假分数的形式，如352不能写成1

152

的形式。

【例题精讲】二次根式的定义

例1. 在式子()12,02,1,42

2

2

3+-<--+x x x x a y x ，，4，x 中，是二次根式的有（ ）

A 、2个

B 、3个

C 、4个

D 、5个 【试一试】

1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、12+a

2. 在、、、、中是二次根式的个数有______个。

【知识梳理2】二次根式有意义的条件 要使二次根式a 有意义，则 ≥0。 根据具体的情况可分类讨论如下：

a 2a

b 1x +2

1x +3

（1）单个二次根式如

A 有意义的条件：A≥0；

（2）多个二次根式相加如

A B N ＋＋…＋有意义的条件：

000A B N ⎧⎪⎪

⎨⎪⎪⎩≥，≥，…≥；

（3）二次根式作为分式的分母如

B

A

有意义的条件：A ＞0； （4）二次根式与分式的和如

1

A B ＋

有意义的条件：0.

A B ⎧⎨⎩≥0，≠ 重点剖析：当二次根式的被开方数是分式时，除了要保证被开方数是非负数外，还要同时保证分母不能为零。

【例题精讲】二次根式有意义的条件 例1. 当x 取什么实数时，下列各式有意义?

（1）x -； （2）()2

12-x ； （3）x x -⋅-21；

（4）()()x x --21； （5）

5124

--x x ； （6）311

x

--．

【试一试】

1. 若32-a 是二次根式,则字母a 应满足的条件是( ) A 、23

≠a B 、 23≤a C 、 23>a D 、 2

3≥a 2. 当a 满足__________时， a

2

-有意义。 3. 当

2

1-a 有意义时，a 的取值范围是_________________。

4. 若x x -+有意义，则x 的取值范围是_______________。

5. 使式子x -4有意义且取得最小值的x 的取值是( )

A 、0

B 、4

C 、2

D 、不存在

【知识梳理3】二次根式的性质

性质1：式子a （a≥0）具有双重非负性：它既表示二次根式，又表示非负数a 的算术平方根。具体描述为（1）a 是非负数，a 的最小值是0；（2）a 的被开方数a 是非负数。 性质2：(a )2＝a (______)，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。 注：不能忽略被开方数为非负数这个限制条件，从而出现类似()()2

5﹣

＝﹣5式的错误。

性质3：2a ＝a ＝____0)__0)((__a a ⎧⎨

⎩≥＜，

，

即当一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于 ；当一个

数为负数时，它的平方的算术平方根等于 。

注：a 的取值范围是任意实数，不一定总是非负数，须避免出现类似(

)2

7﹣＝﹣7式的错误。

【例题精讲1】二次根式的性质

例1. 已知443422-=++++-c c b a ，求c

b

a

)(的值。

例2. 已知实数a 在数轴上的位置如图所示，化简2

1a a －

＋。

【试一试】

1. 若0)1(32

=++-n m ，则m n +的值为 。

2. 已知y x ,为实数，且()02312

=-+-y x ，则y x -的值为（ ）

A 、3

B 、– 3

C 、1

D 、– 1

3. 已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为__________。

4. 若

1

a b -+与

24a b ++互为相反数，则()

2005

_____________

a b -=。

5. 实数a 、b 在数轴上的位置如下图所示，且a b ＞，化简2

a －a

b ＋。