数学建模 湖水污染问题
数学建模--湖水的自我净化问题
湖水的自我净化问题摘要本题是一容积为V的大湖受到某种物质污染，从某时刻起污染源被切断，湖水开始更新，更新速率为r，建立求污染物浓度下降至原来的3%需要多长时间的数学模型问题。
解决本问题需要用到微元法的思想，也就是在很小的时间内流出的湖水污染物浓度不变，然后利用湖水污染物的变化量等于流出湖水的污染量建立等式关系，对该等式求导后得出一个微分方程，利用Matlab中dsolve 函数解该微分方程，求得污染物浓度下降至原来的3%所需时间为440.4天。
本模型涉及到解微分方程，所以模型的应用很广泛，可以应用到动态分析问题中，利用该模型可以解决大量实际生活和生产问题。
关键词：微元法；微分方程；动态分析；Matlab一、问题重述1.1背景资料与条件有一容积为V （单位：3m ）的大湖受到某种物质的污染，污染物均匀的分布在湖中。
若从某时刻起污染源被切断，设湖水更新的速率是r （单位：3/m d ）。
试建立求污染物浓度下降至原来的3%需要多长时间的数学模型。
1.2需要解决的问题在湖的容积为35.176*10^12()m ，湖水更新速率为34.121*10^10(/)m d 的条件下，求污染终止后，污染物下降到原来的3%所需的时间。
二、基本假设2.1模型的假设1) 假设一：湖水保持体积V 不变。
2) 假设二：污染物始终均匀的分布在湖中。
（假设合理性见背景资料与条件。
）3) 假设三：在很小的时间内污染物浓度不变。
（微元法思想）2.2本文引用数据、资料均真实可靠。
三、符号说明3.1模型的符号说明A:():w t t 时刻湖区的污染物浓度。
B:(0):w 表示初始时刻湖中水的污染浓度。
C: t 为污染源切断后湖水更新的时间(单位：天)。
四、模型的建立与求解4.1模型的建立从开始到t 天内湖水含污染物改变量为：由于流入湖中的水没有污染物，所以t 天内更新流出污染物量为：利用湖水污染物的变化量=流出湖水的污染量得：对t 求导得微分方程为：r t w dtt Vdw )()(-=, 变换后可得：()()dw t w t r dt V-=， 然后利用Matlab 中dsolve 函数求解微分方程，代入()3%(0)w t w =求得时间t 。
江河水质污染物浓度分析数学建模论文
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
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针对江水中的污染物随着时间的变化会不断被降解，污染物的浓度的变化受污染物在水中的降解率r 的影响。
污染物浓度的大小直接影响人、畜等的安全，为确保污染物浓度对人、畜等不会产生任何危害，需要对水质监测处理，当污染物浓度大于10单位时就需要采取相应的措施降低污染物浓度。
建立合适的模型，及时分析、处理监测数据就显得尤其重要。
本文的模型建立采用微积分方程和数据拟合的方法来对江水中污染物的浓度进行分析，因为江水的流动是一个瞬间变化的过程，利用微积分可以有效减少误差，同时结合软件MATLAT 拟合出的图形来解决问题。
对于第一问，江水中的污染物浓度随着时间的变化会不断被降解,根据江水中污染物浓度差的关系结合微积分的定义，确定污染物浓度变化的积分方程：()()dc t rc t dt=再结合水流速度，算出所要求的污染物的浓度。
数学建模案例分析-- 模糊数学方法建模4控制与调节废水排放的模糊控制策略
§4 控制与调节废水排放的模糊控制策略研究一条受到污染的河流，总是先寻找其污染源在何处，然后就可采取处理措施以保护环境。
这里研究的是工业污染源（或称点源）问题，一条受到复杂的工业污染源污染的河流，如果解剖其为最基本的形态就称为污染细胞。
污染细胞不外乎如下图所示的关系造成，图中：a ）系由已经汇入许多污染源的排污沟入河；b ）系污染源直接入河。
在图中，无论a ）或b ），总可以把它用三个断面来控制。
令排污口（或排污河）出口断面为A ；以河流接受污染物前的断面（本底断面）为B ；混合以后的干河下游断面为C 。
如果假定在中小河流中污染物一旦排入干河，则在流向下游很短的距离内即可达到断面完全混合。
因此，在制作模糊控制污染物排放策略时，不再考虑距离远近和某些污染物随时间的降解（随时间而变化的降解值，相对于模糊语言来讲，在短距离之内可以忽略），同时也不再考虑污染物的横向不均匀扩散和纵向分散以及底泥、藻类等待因素。
这样一来A 、B 、C 三者的平衡关系可表示为：A AB B A BC W L W L qQ qL Q L L +=++=（1）式中C B A L L L ,,分别表示A 、B 、C 断面监测的水质参数的浓度； Q 表示干河在汇入排污口（或排污沟）前的流量； q 表示排污口（或排污沟）的流量； A B W W ,分别表示B 、A 的权重。
一、模糊集合概念的建立如果我们把浓度为~A L 的污水在排污口（或排污沟）出口断面A 处的污水排放浓度的量级用零、小、中、大、特大等模糊语言的辞来表达，每一个辞就可以看作是基础变量为浓度值的一个模糊限制标记。
它可以由隶属函数来表征，隶属函数把基础变量的每一个值与区间[0，1]中的一个数结合起来，这个数就表示了每个值与模糊限制间的隶属度。
如果我们把某水质参数在A 断面的浓度作为语言变量在其基础变量为0，0.01，0.1，0.5……mg/L 之间的浓度值。
那么，“小”、“中”、“大”……等这些辞的语言值就可以解释是基础变量数值上的一个模糊限制的标记。
数学建模期末作业(嘉兴)
数学建模期末作业题一 河水污染问题如图是一个容量为32000m 的小湖，小河A 以310.1/m s -的速率向小湖注入河水，而小湖又以同样的速率通过小河B 流出，在上午9:20， 该地区发生交通事故，一个装有有毒化学物质的容器倾翻，在图中点X 处注入湖中，采取紧急措施后，于9:50分得到控制。
但数量不祥的有毒化学物质Z 流入湖中。
据估计Z 的量在35m 与320m 之间。
建立相应的模型来估计湖水受污染的程度随时间的变化函数关系并估计⑴湖水何时达到污染高峰；⑵何时污染可降至安全水平？(≤题二 选址问题考虑A,B,C 三地，每地都生产一定数量的原料，也消耗一定数量的产品（见下表），已知制成每吨产品需3吨原料，各地之间的距离为A —B ：150,km B —C ：200,km A —B ：100.km 又每万吨原料运输1km 的运价是5000元，每万吨产品运输1km 的运价是6000元，由于地区条件的差异，在不同地点设厂的生产费用也不同，问怎样在何处设厂，规模多大，才能使总费用最小，由于其它条件限制，在B 处建厂的规模不能超过5万吨。
题三 雇员的聘用问题某服务部门一周中每天需要不同数目的雇员：周一到周四每天至少50人，周五和周日每天至少需要80人，周六至少需要90人，现规定应聘者每周需连续工作5天，试确定聘用方案，即周一到周日每天需要聘用多少人，使在满足需要的条件下，所聘用的总人数最少。
如果周日的需要量由80增至90人，方案应该怎样改变？若全时雇员（一天工作8小时）可以通过临时聘用的半时雇员（一天工作4小时，且无需连续工作）来代替，但规定半时雇员的工作量不得超过工作总量的四分之一，又设全时雇员和半时雇员每小时的酬金分别为5元和3元，试确定聘用方案，使在满足需要的前提下，所付的酬金为最小。
题四 肿瘤问题肿瘤大小V 生长的速率与V 的a 次方成正比，其中a 为形状参数，01;a ≤≤而其比例系数K 随时间减小，减小速率又与当时的K 值成正比，比例系数为环境系数.b 设某肿瘤参数1,0.1,a b ==K 的初始值为2,V 的初始值为1,问⑴此肿瘤生长不会超过多大？⑵过多长时间肿瘤大小翻一倍？⑶何时肿瘤生长速率由递增转为递减？⑷若参数2/3a =呢？题五 油气田的开发问题油气田开发试验表明：准确预测油气产量和可开采储量，对石油工作者来说，始终是一项既重要又困难的工作. 1995年，有人通过对国内外一些油气田的开发资料，得出结论：油气田的产量与累积产量之比()r t 与其开发时间存在着半指数关系：()lg .r t A Bt =-根据某气田1957~1976年总共20个年度的产气量数据（如下表），建立该气田的产量预测模型，并将预测与实际值进行比较.10m.注：产量单位83要求：每位学生在上面五题中可以任选一题，最迟于17周的周二前上交作业.。
数学建模_湖水污染问题
湖水污染问题一.问题提出下图是一个容量为2000m3的一个小湖的示意图，通过小河A水以/s的速度流入，以相同的流量湖水通过B流出。
在上午8:00，因交通事故，一辆运输车上一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，在图中X点处注入湖中。
在采取紧急措施后，于上午9：00事故得到控制，但数量不详的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z 的数量在5m3至20m3之间。
（1）请建立一个数学模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化；（2）估计湖水何时到达污染高峰；（3）何时污染程度可降至安全水平(<=%)。
二.模型假设1、湖水流量为常量，湖水体积为常量；2、流入流出湖水水污染浓度为常量三.问题分析分析：湖水在时间t时污染程度，可用污染度F（t）表示，即每立方米受污染的水中含有Fm3的化学污染物质和（1-F）m3的清洁水。
用分钟作为时间t的单位。
在0<t<60的时间内，污染物流入湖中的速率是Ｚ/60（m3*min-1），而排出湖外的污染物的速率是60*（m3*min-1）。
因为每立方流走的水中含有Fm3的污染物，而湖水始终保持2000m3的容积不变。
四.模型的建立湖水中含污染物的变化率＝污染物流入量－污染物排出量2000*(dF/dt)=Z/F(0)=0；2000F’=Z/2000F’+=Z/60F’+2000=Z/120000所以:P(t)=2000,Q(t)=Z/120000;y=[]=[（Z/120000）（2000/）*+C]=Z/432+C*又因为：F(0)=0所以：C=-Z/432所以：y=Z/432[1- ]求得以特解为：F（t）= Z/432[1- ]在0<t<60之间求t为多少时，F（t）最大。
显然是t=60时，污染达到高峰。
此时污染浓度为：F（60）=Z/432（1-）= *10-4Z然后污染物被截断，故方程为：2000*dF/dt=,F(t)=F（60）；当它达到安全水平时，即F（t）=%，可求出t=D。
数学建模A题
A题：湖泊污染的治理
水资源污染的治理关系到社会生产和人民生活的方方面面。
随着现代工业的发展，湖泊遭受着各种各样污染物的破坏。
污染物的出现影响着湖泊的水质。
为了提高湖泊水质，科研人员提出了一类通过种植河藕、菱、水葫芦等水生植物来降解污染物的方法。
（1）请建立数学模型对这一方法的有效性进行分析；
（2）为尽量减少对下游水质的影响，请对模型进行改进或者对这一治污方法进行完善，并说明理由；
（3）如何更有效地提高受污染的湖泊水质，请提出你的建议，并加以说明。
湖水污染问题的数学建模与求解
中国传媒大学2010 学年第一学期数学建模与数学实验课程数学建模与数学实验题目Pristine湖污染问题的建模与求解学生姓名学号班级学生所属学院任课教师教师所属学院成绩Pristine湖污染问题的建模与求解摘要本文讨论了湖水污染浓度变化趋势的预测问题。
通过分析水流输入输出湖泊的过程，建立了湖水污染浓度随时间变化的含参变量的微分方程模型，在河水污染浓度恒定和自然净化速率呈线性关系的情况下，求得其精确解，带入具体数据得到结论：在PCA声称的河水污染浓度下，湖的环境不会恶化；在工作人员实地测得的河水浓度下，湖的环境将会恶化。
同时建立了计算机模拟模型，带入具体数值，运用时间步长法来仿真模拟了在湖水污染浓度稳定以前湖水每天的变化情况，输出自PCA建厂以来每年的湖水污染浓度，得到与微分方程模型相同的结论。
在全停产和半停产时，通过前面的两个模型可以计算湖水污染浓度在自然净化影响下的恢复到净化指标所需的年限。
并可得到结论：在半停产状态下，在选定的自然净化速率常数的约束下，只有当河水污染浓度降至原来的3.15%（自然净化速率呈线性关系），4.7%（自然净化速率呈指数关系），才有可能使河水在100年内恢复至0.001mol/l，然后给出整改建议。
一、问题重述Pure河是流入Pristine湖的唯一河流。
50年前PCA公司在此河旁建起一个生产设施并投入运行。
PCA将为处理的湖水排入河中，导致Pristine湖被污染。
PCA公司声称：已排放的废水的标准多年从未改变切不会对湖的环境有影响。
10L，流入（流出）的水流速度为149.1L/年。
现已知：Pristine湖的湖容量为15PCA公司声称河水污染浓度仅为0.001mol/L，自工厂以来没有改变过。
讨论下列问题：（1）建立数学模型用PCA提供的公开数据判断湖的环境是否会恶化；（2）以目前湖水污染浓度0.03mol/L，和河水污染浓度0.05mol/L为新数据判断湖的环境是否会恶化；二、模型的合理假设和符号系统2.1 模型的合理假设（1）降水量和增发量相等；（2）湖中流入量和流出量相等且一直未变；（3）污水量远小于河水注入量，且污水与河水混合均匀；（4）湖水混合均匀，且流入污水的扩散速度无限大；（5）湖内除Pure河外，无其他污染源；二三2.2 符号系统0ρ：河水污染浓度mol/L ；ρ：湖水污染物浓度mol/L ；V ：湖泊容量1510L ；c ：自然净化速率mol/（L 。
数学建模
代入式中，得: + w(500)=5.1178% + 在问题(二)中，m=0,从而rm*⊿t=0,其中 v=4.871e12,r=3.6635132e10,w(t)=5%* wo + 代入表示式(1)中，得:t=398.3(天)。
+ + + + + + + + + + + +
+Leabharlann 一、问题重述+ 设一容积为V(m3)的大湖受到某种物质的污染，污
染物均匀地分布在湖中，没湖水更新的速率为 r(m3/天)，并假设湖水的体积没有变化，试建立湖 水污染浓度的数学模型。 + 美国安大略湖容积5941*109(m2)，湖水的流量为 4.45365*1010(m3/天)。湖水现阶段的污染浓度 为104，外面进入湖中的水的污染浓度为5%，并假 设该值没有变化，求经过500天湖水污染浓度。 + 美国密西根湖的容积为4871*109(m2)。湖水的流 量为3.6635132*1010(m3/天)由于治理污染措施 得力及某时刻起污染源被切断，求污染被中止后， 污染物浓度下降到原来的5%所需时间。
谢谢！
陈雅君
+ 随着市场经济和现在工业的飞速发
展，人类面临了直接危害人类生存 的新的问题--环境污染，为了治 理污染，提出治理污染的新的方案， 我们必须建立客观合理的数学模型 来解决,通过对问题的分析，我们 利用微积分方程的求解方法，得出 湖水污染变化的结果。
+ 问题(一)湖水污染浓度为
5.1178%; + 问题(二)下降到原来的5%所需 时间为398.3120天。在模型建 设中我们采用了比较理想的求 解方法，在实际中还是比较有 指导意义的。
数学建模湖水污染
⎛ f x1 A=⎜ ⎜ gx ⎝ 1
f x2 ⎞ ⎟ g x2 ⎟ ⎠
, q = det A
P1 稳定， P2 不稳定
d + r0 / V < c0 r2
r0 ⇒ <V c0 r2 − d
则 c0 越小，V 越大
V1 − c1，b1 (输入), r1;V2 − c2，b2 (输出)
⎧ dc1 Q ⎪ dt = V (c0 − c1 ) − r1b1c1 ⎪ 1 ⎨ ⎪ db1 = b ( r c − d − Q ) 1 2 1 ⎪ dt V1 ⎩
有害物质被微生物分解、转化而消失的速率与微生物 浓度成正比。
[b( t + Δt ) − b( t )]V = r2 c ( t )b( t )V − b( t )Vd − r0 ( t )b( t ) − −( r1 = r0 ) Δt
[c( t + Δt ) − c( t )]V = c0 r1 ( t ) − cr0 ( t ) − rs b( t )c ( t )V Δt
p1 ( t ) = K 0e − at 控制污染物的排放： dp 1 = − ( p( t ) − K 0e − at ) dt τ p( 0 ) = K 0
p( t ) = ( K 0 /(1 − aτ ))(e − at − aτ e − t / τ ) ⇒ lim p( t ) = 0 t →∞
t 时刻，
流入湖水的流速 r1 ( t ) 流入湖水的污染物的浓度 p1 ( t ) 流出湖水的流速 r0 ( t ) 流出湖水的污染物的浓度 p0 ( t ) 湖水的体积
V (t )
湖水的污染物的浓度 p( t )
[ p( t + Δt ) − p( t )]V = p1 ( t )r1 ( t ) − p0 ( t )r0 ( t ) Δt dp ⇒V = p1 ( t )r1 ( t ) − p0 ( t )r0 ( t ) = r0 ( t )( p1 ( t ) − p( t )) dt
[数学建模]湖水污染问题
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湖水污染问题Pure河是流入Pristine湖的唯一河流。
50年前PCA公司在此河旁建起一个生产设施并投入运行。
PCA将为处理的废水排入河中,导致了Pristine湖被污染。
PCA公司声称:已排放的废水的标准多年从未改变且不会对湖的环境有影响。
假设：1.假设降水量和蒸发量相等；2.湖中流入量和流出量相等且一直未变；3.湖水混合均匀；4.湖内无其它污染源。
已知:Pristine湖的湖容量为l159.114l年。
PCA声1010，流入(流出)的水流速度为/称河水污染浓度仅为0.001mol/l，自工厂开工以来没有改变过。
问题：1.在花费时间和经费去测试之前，建立数学模型用PCA提供的公开数据判断湖的环境是否会恶化。
2.派出野外工作人员测得目前湖水污染浓度为0.03 mol/l，再测得河水污染浓度为0.05 mol/l。
以新数据为依据考虑湖水污染问题的数学模型。
3.现在假设你是环保局的所聘请的高级顾问，请向你的雇主提交一份报告.内容包括:(1)在工厂停产(或半停产)条件下，湖水自然净化所需年限(净化指标为污染浓度不超过0.001 mol/l)；(2)为保护环境，对PCA进行整改的建议。
模型的建立1.假设1.假设降水量和蒸发量相等；2.湖中流入量和流出量相等且一直未变；3.湖水混合均匀；4.湖内无其它污染源。
假设1.2保证了湖的体积稳定，为V。
假设3保证了湖泊的中溶液是均一稳定的假设4保证了Pure河作为流入Pristine湖的唯一河流对Pristine湖中污染的决定性作用。
2.问题1由于PCA声称河水污染浓度仅为0.001mol/l，自工厂开工以来没有改变过。
我们姑且可以认为污染源的浓度为恒定的常量C。
通过生态环境物质守恒原理：积累量=输入量-输出量+生成量建立平衡过程模型由于假设湖内没有其他污染源，可以断定不存在生成量。
已知湖泊体积为V ，污染源的河水浓度为C ，流入和流出的体积为Vq ，湖泊内污染浓度为r （t ）则我们可以建立每年的污染积累量的模型：[r(n)-r(n-1)]V=CVq-r(a)Vq其中r(n)表示第n 年的湖泊污染浓度；n-1≤a ≤n ，r(a)表示在第n 年与第n-1年中的任意时刻的湖泊内污染浓度。
数学建模-湖水的自我净化问题
数学建模与数学实验课程设计学院数理学院专业数学与应用数学班级学号学生姓名指导教师2015年6月湖水的自我净化问题摘要问题：本题是一容积为V的大湖受到某种物质污染，从某时刻起污染源被切断，湖水开始更新，更新速率为r，建立求污染物浓度下降至原来的5%需要多长时间的数学模型问题。
模型：解决本问题需要用到微元法建模。
方法：假设在很小的时间内流出的湖水污染物浓度不变，然后利用湖水中污染物的变化量等于流出湖水的污染量建立等式关系，对该等式求导后得出一个微分方程，利用Matlab中dsolve函数解该微分方程。
结果：求得污染物浓度下降至原来的5%所需时间为398.3天。
一.问题重述1）背景资料与条件设一个容积为V （m 3）的大湖受到某种物质的污染，污染物均匀的分布在湖中。
若从某时刻起污染源被切断，设湖水更新的速率是r （m 3/天）。
试建立求污染物浓度下降至原来的5%需要多长时间的数学模型。
2）需要解决的问题美国密西根湖的容积为4871⨯109（m 3），湖水的流量为 3.663 959 132⨯1010（m 3/天），求污染中止后，污染物浓度下降到原来的5%所需要的时间。
二．模型假设1）假设一：湖水体积V 保持不变。
2）假设二：污染物始终均匀分布在湖中。
3）假设三：在很小的时间内污染物浓度不变。
三．分析与建立模型1）符号说明w(t):t 时刻湖水中污染物的浓度。
w(0):表示初始时刻湖水中的污染物浓度。
t :表示污染源切断后湖水更新的时间（单位：天）。
2）分析2.1假设的合理性分析如果湖水体积变化，那么题目就没法做了，因此这个假设是必要的且是合理的。
污染物始终均匀的分布在湖中，题目条件中已给出，所以此假设合理可靠。
在很小的时间内污染物浓度不变，这是利用微元法的思想，故假设的合理性毋庸置疑。
2.2模型的误差分析本模型的误差主要在数字的处理上，即保留几位的问题上，也就是说存在舍入误差，本题在最后结果中保留了一位小数。
数学建模-湖水的自我净化问题剖析
数学建模与数学实验课程设计学院数理学院专业数学与应用数学班级学号学生姓名指导教师2015年6月湖水的自我净化问题摘要问题：本题是一容积为V的大湖受到某种物质污染，从某时刻起污染源被切断，湖水开始更新，更新速率为r，建立求污染物浓度下降至原来的5%需要多长时间的数学模型问题。
模型：解决本问题需要用到微元法建模。
方法：假设在很小的时间内流出的湖水污染物浓度不变，然后利用湖水中污染物的变化量等于流出湖水的污染量建立等式关系，对该等式求导后得出一个微分方程，利用Matlab中dsolve函数解该微分方程。
结果：求得污染物浓度下降至原来的5%所需时间为398.3天。
一.问题重述1）背景资料与条件设一个容积为V （m 3）的大湖受到某种物质的污染，污染物均匀的分布在湖中。
若从某时刻起污染源被切断，设湖水更新的速率是r （m 3/天）。
试建立求污染物浓度下降至原来的5%需要多长时间的数学模型。
2）需要解决的问题美国密西根湖的容积为4871⨯109（m 3），湖水的流量为 3.663 959 132⨯1010（m 3/天），求污染中止后，污染物浓度下降到原来的5%所需要的时间。
二．模型假设1）假设一：湖水体积V 保持不变。
2）假设二：污染物始终均匀分布在湖中。
3）假设三：在很小的时间内污染物浓度不变。
三．分析与建立模型1）符号说明w(t):t 时刻湖水中污染物的浓度。
w(0):表示初始时刻湖水中的污染物浓度。
t :表示污染源切断后湖水更新的时间（单位：天）。
2）分析2.1假设的合理性分析如果湖水体积变化，那么题目就没法做了，因此这个假设是必要的且是合理的。
污染物始终均匀的分布在湖中，题目条件中已给出，所以此假设合理可靠。
在很小的时间内污染物浓度不变，这是利用微元法的思想，故假设的合理性毋庸置疑。
2.2模型的误差分析本模型的误差主要在数字的处理上，即保留几位的问题上，也就是说存在舍入误差，本题在最后结果中保留了一位小数。
数学建模_湖水污染问题(1)
[(Z/120000) (2000/7.2 ) +C]•问题提出下图是一个容量为2000nm 的一个小湖的示意图，通过小河 A 水以0.12m 3 /s 的 速度流入，以相同的流量湖水通过 B 流出。
在上午8:00，因交通事故，一辆运 输车上一个盛有，毒性化学物质的容器倾翻，在图中X 点处注入湖中。
在采取紧急 措施后，于上午9： 00事故得到控制，但数量不详的化学物质 Z 已泻入湖中，初步估计Z 的数量在5m 至2om 之间。
(1) 请建立一个数学模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化；(2) 估计湖水何时到达污染高峰；(3) 何时污染程度可降至安全水平(<=0.05%)。
二. 模型假设1、 湖水流量为常量，湖水体积为常量；2、 流入流出湖水水污染浓度为常量三. 问题分析分析：湖水在时间t 时污染程度，可用污染度 F (t )表示，即每立方米受污染 的水中含有Fm 的化学污染物质和(1-F )m 的清洁水。
用分钟作为时间t 的单位。
在0<t<60的时间内，污染物流入湖中的速率是Z /60 (m*min -1)，而排出湖外的 污染物的速率是60*0.12F (m*min -1)。
因为每立方流走的水中含有 Fn ^的污染物, 3而湖水始终保持2000m 的容积不变。
四. 模型的建立湖水中含污染物的变化率二污染物流入量-污染物排出量2000*(dF/dt)=Z/60-7.2FF(0)=0 ；2000F ' =Z/60-7.2F2000F ' +7.2F=Z/60F ' +7.2F/2000=Z/120000所以:P(t)=7.2/2000,Q(t)=Z/120000;厂 .y=湖水污染问题[]=Z/432+C*又因为：F(0)=0所以：C=-Z/432所以：y=Z/432[1- ]求得以特解为：F (t) = Z/432[1- ]在0<t<60之间求t为多少时，F (t)最大。
湖水污染问题的数学建模与求解
中国传媒大学2010学年第一学期数学建模与数学实验课程数学建模与数学实验题目Pristine湖污染问题的建模与求解学生姓名学号班级学生所属学院任课教师教师所属学院成绩Pristine湖污染问题的建模与求解摘要本文讨论了湖水污染浓度变化趋势的预测问题。
通过分析水流输入输出湖泊的过程，建立了湖水污染浓度随时间变化的含参变量的微分方程模型，在河水污染浓度恒定和自然净化速率呈线性关系的情况下，求得其精确解，带入具体数据得到结论：在PCA声称的河水污染浓度下，湖的环境不会恶化；在工作人员实地测得的河水浓度下，湖的环境将会恶化。
同时建立了计算机模拟模型，带入具体数值，运用时间步长法来仿真模拟了在湖水污染浓度稳定以前湖水每天的变化情况，输出自PCA建厂以来每年的湖水污染浓度，得到与微分方程模型相同的结论。
在全停产和半停产时，通过前面的两个模型可以计算湖水污染浓度在自然净化影响下的恢复到净化指标所需的年限。
并可得到结论：在半停产状态下，在选定的自然净化速率常数的约束下，只有当河水污染浓度降至原来的%（自然净化速率呈线性关系），%（自然净化速率呈指数关系），才有可能使河水在100年内恢复至l，然后给出整改建议。
一、问题重述Pure河是流入Pristine湖的唯一河流。
50年前PCA公司在此河旁建起一个生产设施并投入运行。
PCA将为处理的湖水排入河中，导致Pristine湖被污染。
PCA公司声称：已排放的废水的标准多年从未改变切不会对湖的环境有影响。
现已知：Pristine 湖的湖容量为1510L ，流入（流出）的水流速度为149.1L/年。
PCA 公司声称河水污染浓度仅为L ，自工厂以来没有改变过。
讨论下列问题：（1）建立数学模型用PCA 提供的公开数据判断湖的环境是否会恶化； （2）以目前湖水污染浓度L ，和河水污染浓度L 为新数据判断湖的环境是否会恶化；二、模型的合理假设和符号系统模型的合理假设（1）降水量和增发量相等；（2）湖中流入量和流出量相等且一直未变；（3）污水量远小于河水注入量，且污水与河水混合均匀； （4）湖水混合均匀，且流入污水的扩散速度无限大； （5）湖内除Pure 河外，无其他污染源；符号系统0ρ：河水污染浓度mol/L ； ρ：湖水污染物浓度mol/L ；V ：湖泊容量1510L ；c ：自然净化速率mol/（L 。
数学建模
1东华大学数学建模试题A(2006-07秋，数学系)班级 姓名 学号 得分一、（15分）一个淡水湖受到上游化工厂污染影响。
化工厂的污水以一定流量a (立方米/天)进入湖中且污染物质迅速均匀混合于湖水中，湖水以同样流量a 流出从而湖水体积b (立方米)一直保持不变。
湖水污染程度用每立方米湖水所含污染物质的克数描述，称为污染浓度c （克/立方米）。
设化工厂的污水浓度为k （克/立方米）， 试建立一个数学模型来刻画湖中污染浓度c 的变化。
要求写出解的表达式并说明怎样利用模型推测湖水受到了多长时间的污染。
解：b[c(t+dt)-c(t)]=a(k-c(t))dtc’(t)=a/b(k-c(t)), c(0)=0 (8分), 解得c(t)=k(1-exp(-at/b)。
(4分)推测湖水受到了多长时间的污染: 测得c, 再用模型解出t= -b/aln(1-c/k). (3分)二、（15分）一贸易公司专门经营某种杂粮的批发业务。
公司现有库容50吨的仓库(不考虑贮存费)。
一月一日，公司拥有库存20吨杂粮。
估计第一季度杂粮价格如下表月份 进货价(千元/吨) 出货价(千元/吨)一月 2.80 3.15 二月 3.00 3.25 三月 2.90 2.95 假设每个月上旬卖出杂粮，买进的杂粮当月中旬到货。
(1) 公司希望本季末库存为25吨，问应采取怎样的买卖策略使本季度总利润最大？列出问题的数学模型，不必求解。
(提示：设第i 个月上旬卖出x i 吨，中旬买进y i 吨，下旬库存z i 吨)(2) 如果某个月有进货，则这个月会导致2千元附加的固定成本，且公司规定：某个月要进货的话则起码要进10吨。
模型应如何修改？解(1)123123111211211232112321123123123max 3.15 3.25 2.95(2.83 2.9)202050202050.. 202025,,,,,0x x x y y y x y x x y x y y x x s t x y y x x y y y x x x x x x y y y ++−++≤⎧⎪+−≤⎪⎪≤+−⎪++−−≤⎨⎪≤++−−⎪+++−−−=⎪⎪≥⎩(5+6分)(2)设w i =1(第i 月进货)或0(第i 月进货)， 目标函数增加+2(w 1+w 2+w 3) (2分), 约束条件增 y i >=10w i , y i <=50w i . (2分)三、(20分)(1)考虑显示屏x和电脑y这两个互相依存的产业，他们可以独立地发展并各自有一定的市场饱和度。
数学建模作业
湖水的自我净化问题摘要MATLAB 求解出所求问题的结果。
即：污染源被切断后，440.4257天。
MATLAB 、动态分析 一、 问题重述某种物质的污染，污染物均匀的分布在湖中。
r （单位：m 3/天）。
试建立求污染物浓5176*10^9（m 3）,湖水的流量3%所需的时间。
二、模型假设三、变量说明/天）；；四、问题分析dt 时间内，通过建立数学建模 湖水的自我净化问题五、模型的建立与求解在任意t时刻，湖水中污染物的排出量为p(t)= (1）由于在dt时间内被污染的湖水排出的体积为rdt，则dt时间内排出的污染物的量为，所以在[0,t]时间段内，湖水中污染物的排出量为p(t)= (2）所以由（1）（2）得等式：=;对等式两边求导可得： (3）对等式(3)：运用MATLAB进行求解（详细程序见附件中程序1）可得 (4）则切断污染源后，污染物浓度下降至原来的a%有：（即： (5)对等式（5）两边求对数得等式：即： (6)故当，,时，进而利用MATLAB求解（详细程序见附件中程序2）可得切断污染源后，污染物下降至原来的3%所需时间t=440.4257 (天)六、模型结果的分析与检验通过分析，建立的模型表达式为关于时间t的呈负指数增长的模型，即随着时间t的增大，污染物浓度逐渐减小，且，即：时，（。
令，并把本题已知数据，，代入模型表达式。
运用MATLAB 可以画出模型表达式的图形（详细程序见附件中程序3），可得湖水污染物浓度与时间的关系图图象显示了随着时间的增长，湖水污染物浓度逐渐减小。
在现实生活中，当污染源被切断后，湖水在逐渐进行自我净化（污染物的逐渐分解、被污染的湖水流出），所以湖水中污染物的浓度逐渐减小。
即：经过分析，所建立的模型符合实际情况。
七、模型的推广与改进方向从建立的模型可以看出，本题是一个特例，只考虑了污染源被切断的情况，而实际问题中大多是污染源未被切断的问题。
我们可以将该模型推广到未被切断污染源的情况下，同样是运用微分方程等来研究污染浓度随时间变化的动态关系。
数学建模湖水污染问题
湖水污染问题1121943 刘烁1121940 庄静1121946 刘蔚[摘要] 随着市场经济和现在工业的飞速发展。
人类面临了直接危害人类生存的新的问题——环境污染，为了治理污染，提出治理污染的新的方案，我们必须建立客观合理的数学模型来解决现实问题。
湖水不仅为人类的生存提供了大量的水资源和生物资源，还提供了丰富的旅游，度假和休闲的精神资源，但湖泊也承受着人们倾倒垃圾、废水等污染物的破坏，由于人们缺乏保护生态环境的意识，它们越来越受到工业和生物废水的污染，从而导致生物资源的灭绝，水质变坏，给人类带来了灾难。
所以保护生态环境成为了人们越来越关心的问题。
湖水治理的工作是困难的，因为一般湖水覆盖的面积比较大，周围污染源比较复杂，很难指明所有污染的原因。
通常治理水体污染的办法是靠水体本身的自净能力来缓解污染，这对河流的污染一般是有效的，但对于被污染的湖水来说是行不通的。
通过对问题的分析，我们利用微积分方程的求解方法，得出湖水污染的结果。
下降到原来的0.05%所需时间，在模型建设中我们采用了比较理想的求解方法，在实际中还是比较有指导意义的。
[关键字] 湖水污染微分方程模型一.问题提出下图是一个容量为2000m3的一个小湖的示意图，通过小河A水以 0.12m3 /s的速度流入，以相同的流量湖水通过B流出。
在上午8:00，因交通事故，一辆运输车上一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，在图中X点处注入湖中。
在采取紧急措施后，于上午9：00事故得到控制，但数量不详的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的数量在5m3至20m3之间。
（1）请建立一个数学模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化；（2）估计湖水何时到达污染高峰；（3）何时污染程度可降至安全水平(<=0.05%)。
二.模型假设1、湖水流量为常量，湖水体积为常量；2、流入流出湖水水污染浓度为常量三.符合说明F：污染物浓度Z：倒入湖中的污染物总量D：处于某浓度的时间四.问题分析分析：湖水在时间t时污染程度，可用污染度F（t）表示，即每立方米受污染的水中含有Fm3的化学污染物质和（1-F）m3的清洁水。
湖水污物浓度
湖水污物浓度某湖泊每天有4103m的河水流入，河水中污物浓度为0.02g\3m,经渠道排水后湖泊溶剂保持200×4103m不变，现测定湖泊中污物浓度为0.2 g\3m，建立差分方程计算湖泊中1年内逐月（每月按30天计）下降的污物浓度，问要多长时间才能达到环保要求的浓度0.04g\3m？为了把这个时间缩短为1年，应将河水中污物浓度降低到多少？一．模型假设假设湖非常大，流出的湖水浓度来不及变化。
二、模型建立中心问题是数学语言表示湖水污物浓度的差分方程。
用变量表示天数，用前一天的湖水污物浓度来推得后一天的湖水污物浓度。
记K为天数， P为河水中污物浓度，VIN为流如河水体积，V为湖泊体积，X0为最初湖泊污物浓度。
命题已知P=0.02g\3m，VIN=4103m，V=200×4103m，X0=0.2 g\3m。
三、模型求解1．可以写出第K+1天的污物浓度为X（K+1）=｛V×X（K）+VIN×P-VIN×X（K）｝/V用MATLAB编写函数M文件如下：function x=wuran(p,n)x=0.2;for k=1:nx(k+1)=(2000000*x(k)+10000*p-10000*x(k))/2000000;end输入命令：k=1:450;y1=wuran(0.02,450)得到在第439天即第湖水污物浓度降为0.04 g\3m。
如下图：2．输入命令k=1:360;y2=wuran(0.01,360)得到湖水污物浓度在一年后降为0.0413 g\3m。
不满足要求。
继续输入命令：k=1:360;y3=wuran(0.008,360)得到湖水污物浓度在一年后降为0.0396\3m。
超过要求。
继续输入命令：k=1:360;y=wuran(0.0085,360)得到，湖水污物浓度在一年的最后一天即第360天降为0.04 g\3m。
即为所求。
四、评注用MATLAB软件方便的求解了该问题。
湖水污染模型
精品湖水污染模型1．问题重述Pure 河是流入 Pristine湖的唯一河流。
50年前PCA公司在此河旁建起一个生产设施并投入运行。
PCA 将未经处理的废水排入河中，导致了Pristine湖被污染，PCA声称：已排放的废水标准多年从未改变且不会对湖的环境产生影响。
已知：Pristine 湖容量为 1015L ，流入（流出）的水流速度为 1.9 × 1014L/年。
PCA 声称河污染浓度仅为 0.001mol/L，自工厂开工以来没有改变过。
(1) 在花费时间和经费去测试之前，建立数学模型，用PCA 提供的公开数据判断湖的环境是否会恶化。
(2)派出野外工作人员测得目前湖水污染浓度为 0.03mol/L ，再测得河水污染浓度为 0.05mol/L 。
在这样的状况下湖的污染程度又将如何变化？(3)假设你是环保局所聘请的高级顾问，在仅考虑湖水自然净化（净化指标为污染浓度不超过 0.001mol/L ）的情况下，为保护环境，对 PCA 提出整改建议。
2．问题分析2.1 问题（ 1 ）分析要想知道湖水的环境是否会恶化，就要知道湖每年流进的污染物浓度以及流出的污染物浓度，由这些数据后就可以算出湖每一年的污染情况，从而判断湖的水环境是否会恶化。
2.2 问题（ 2 ）分析要想湖的污染程度又将如何变化，就要通过题目中给的数据与湖水每一年的污染物浓度建立合适的关系，从中推算出湖水每一年的污染情况，找到湖水的变化趋势。
2.3 问题（ 3 ）分析为了保护环境，是湖水自然净化，最直接的办法就是让PCA 公司停止排放污染物质，但是如果让PCA 公司停止排放，那么 PCA 公司就要停产，这是不符合实际的，而且无法实现。
要想使湖水达到标准，除了让PCA 公司停止排放污染物质外还可以是它减少排放量，这样也可以使湖水净化到合理标准。
3. 模型假设假设 1 湖水与河水流量常年不变。
假设 2 忽略降雨、蒸发等其它因素对湖水容量的影响。
安大略湖污染问题
安大略湖和伊利湖的污染问题摘要本文利用数学建模的方法，分析了安大略湖和伊利湖的湖水污染问题，运用了差分方程、等级结构理论和马氏链模型定量分析了两个湖泊系统的污染物流入流出的过程。
首先，通过对安大略湖的相关因素分析，适当的做出了相关假设，安大略湖的换水和污染物进入过程看成一个时间离散的过程，引入了差分方程的方式，构建了一个湖泊污染物总量随时间变化的模型，最终得到了，安大略湖的污染总额是随着时间的推移衰减的，并在相对长的时间上是维持在一个相对稳定的水平。
接着，在考量安大略湖污染物衰减的过程中，通过对湖水的流入与流出的分开分析，引入换水系数和水质因子相关概念，分析得到了安大略湖湖水污染物下降到10%以下大概需要34年的时间。
其次，在描述安大略湖与伊利湖的长期情况时，利用马氏链模型与等级结构的相关理论，考虑到了相关政策对湖水水质的要求，查阅了相关的资料，假设了相关的污染物含量标准，并得到了需达到这个状态的两个湖泊系统的长期行为。
最后，基于对问题的分析与认识，提出了对模型的进一步改进的方面，讨论了模型的有点与不足。
以期能全面分析问题的本质，同时也针相关的问题给出了一些建议。
1.问题复述Background Information:Most of the water flowing into Lake Ontario is from Lake Erie. Suppose that pollutionof the lakes ceased, except for pollution from an aluminum factory on Lake Ontario. How long would it take for the pollution level in each lake to be reduced to 10 percent of its present level?First, to simplify matters, let's assume that 100 percent of the water in Lake Ontario comes from Lake Erie. Let a(n) and b(n) be the total amount of pollution in Lake Erie and Lake Ontario, respectively, after n years. Since pollution has stopped, the concentration of pollution in the water coming into Lake Erie is c = 0. It has also been determined that, each year, the percentage of water replaced in Lakes Erie and Ontario is approximately 38 and 13 percent, respectively. Additionally, suppose that an aluminum factory on Lake Ontario directly dumps 25 units of pollutant into the lake each year. Initially, there are 2500 units of pollutant in Lake Ontario, and 3150 unitsof pollution in the lake after 1 year.Problem:1. Build a model to estimate the total amount of current pollution in Lake Ontario.2. Find the particular solution and determine how long it would take for thepollution level in Lake Ontario to be reduced to 10 percent of its present level.3. Describe the long term behavior of this system.2.问题分析染物变化的分析，在化学与热动力学上，湖泊污染物的分布是一个相当复杂的问题。
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湖水污染问题
1121943 刘烁
1121940 庄静
1121946 刘蔚[摘要] 随着市场经济和现在工业的飞速发展。
人类面临了直接危害人类生存的新的问题——环境污染，为了治理污染，提出治理污染的新的方案，我们必须建立客观合理的数学模型来解决现实问题。
湖水不仅为人类的生存提供了大量的水资源和生物资源，还提供了丰富的旅游，度假和休闲的精神资源，但湖泊也承受着人们倾倒垃圾、废水等污染物的破坏，由于人们缺乏保护生态环境的意识，它们越来越受到工业和生物废水的污染，从而导致生物资源的灭绝，水质变坏，给人类带来了灾难。
所以保护生态环境成为了人们越来越关心的问题。
湖水治理的工作是困难的，因为一般湖水覆盖的面积比较大，周围污染源比较复杂，很难指明所有污染的原因。
通常治理水体污染的办法是靠水体本身的自净能力来缓解污染，这对河流的污染一般是有效的，但对于被污染的湖水来说是行不通的。
通过对问题的分析，我们利用微积分方程的求解方法，得出湖水污染的结果。
下降到原来的0.05%所需时间，在模型建设中我们采用了比较理想的求解方法，在实际中还是比较有指导意义的。
[关键字] 湖水污染微分方程模型
一.问题提出
下图是一个容量为2000m3的一个小湖的示意图，通过小河A水以 0.12m3 /s的速度流入，以相同的流量湖水通过B流出。
在上午8:00，因交通事故，一辆运输车上一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，在图中X点处注入湖中。
在采取紧急措施后，于上午9：00事故得到控制，但数量不详的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的数量在5m3至20m3之间。
（1）请建立一个数学模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化；
（2）估计湖水何时到达污染高峰；
（3）何时污染程度可降至安全水平(<=0.05%)。
二.模型假设
1、湖水流量为常量，湖水体积为常量；
2、流入流出湖水水污染浓度为常量
三.符合说明
F：污染物浓度
Z：倒入湖中的污染物总量
D：处于某浓度的时间
四.问题分析
分析：湖水在时间t时污染程度，可用污染度F（t）表示，即每立方米受污染的水中含有Fm3的化学污染物质和（1-F）m3的清洁水。
用分钟作为时间t的单位。
在0<t<60的时间内，污染物流入湖中的速率是Ｚ/60（m3*min-1），而排出湖外的污染物的速率是60*0.12F（m3*min-1）。
因为每立方流走的水中含有Fm3的污染物，而湖水始终保持2000m3的容积不变。
五.模型的建立和求解
湖水中含污染物的变化率＝污染物流入量－污染物排出量
2000*(dF/dt)=Z/60-7.2F
F(0)=0；
2000F’=Z/60-7.2F
2000F’+7.2F=Z/60
F’+7.2F/2000=Z/120000
所以:P(t)=7.2/2000,Q(t)=Z/120000;
y=e−∫(
7.2
2000
)dt [∫(Z/120000)e(7.2
2000
)dt+C]
=e−(
7.2
2000
)t[（Z/120000）（2000/7.2）*e(7.2
2000
)t+C]
=Z/432+C*e−(
7.2 2000
)t
又因为：F(0)=0 所以：C=-Z/432
所以：y=Z/432[1- e−(
7.2
2000
)t]
求得以特解为：
F（t）= Z/432[1- e−(
7.2
2000
)t]
在0<t<60之间求t为多少时，F（t）最大。
显然是t=60时，污染达到高峰。
此时污染浓度为：F（60）=Z/432（1-e−7.2∗60/2000）
= 4.497*10-4Z
然后污染物被截断，故方程为：
2000*dF/dt=-7.2F,
F(t)=F（60）e−7.2（t−60）/2000；
当它达到安全水平时，即F（t）=0.05%，可求出t=D。
F（60）e−7.2（t−60）/2000=0.05%
.即e−7.2（t−60）/2000=1.1119/Z
-7.2(t-60)/2000=ln(1.1119/Z)
t=-(2000/7.2)ln(1.1119/Z)+60
所以：D=-(2000/7.2)ln(1.1119/Z)+60
六.模型误差分析
本文中由微分方程法建立数学模型，可以说思路较为清晰，逻辑性强。
但由于在模型的假设过程中，我们认为水流速度不变，且污染物进入湖水后立即与湖水混合均匀，而这在实际中是很难实现的，因为污染物开始流入湖水时，数量比较小，向四周扩散速度较慢，以至于流入湖水中的浓度较小；随着污染物数量的增加，流入湖水的污染物逐渐增多，浓度变大，但不会以恒定的速度变化，流入湖水不可能立即混合均匀，而且水流速度因为污染物的介入会稍微减小，因此我们所得出的结果与实际是存在误差。
不过，这种误差不需过多考虑。
七.模型评价
7.1优点
1）模型通过严密的理论推导，能够比较准确地反应实际情况；
2）本题中由微分方程建立模型，数学逻辑强，思维细腻，对问题的求解过程层层递进。
7.2不足
1）在问题的过程中，有些假设有点理想化；
2）建立微分方程时，需要一定的数学功底，而且要求对题目意思把握准确，因此会导致方程难以准确确定；
3）本题的模型是基于较理想的假设下建立的，现在情况较复杂，还需对实际进行调查，改进模型。
八.模型的改进与推广
8.1模型的改进
由于模型的假设是比较理想的，实际中水流速度是在改变的，污染物进入湖水后也需要一定的时间才能混合均匀，这些所涉及的都是变化的量，这对实际问题的研究是有影响的。
因此，在本模型的基础上还需要对水流速度的变化情况和污染物进入湖水后的混和情况进行改进。
8.2模型的推广
我们可以充分使用本题中微分方程建模的方法解决生物学中以及人口问题中的“速率”、“增长”，在放射性问题中的“衰变”，在经济学中的“边际”等一系列问题的求解中。
九.参考文献
[1] 姜启源，谢金星，叶俊.数学建模（第四版）[M].北京:高等教育出版社，2011.
[2] 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型习题参考解答（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2011.
[3] 李学文，李炳照，王宏洲.数学建模优秀论文[M].北京：清华大学出版社，2011.。